elektr k ve manyet k alanların akı şkan hareketler ne b rl

5. Uluslararası İleri Teknolojiler Sempozyumu (IATS’09), 13-15 Mayıs 2009, Karabük, Türkiye
ELEKTRİK VE MANYETİK ALANLARIN AKIŞKAN HAREKETLERİNE
BİRLİKTE ETKİLERİNİN İNCELENMESİ
INVESTIGATION OF THE EFFECTS OF ELECTRIC AND MAGNETIC
FIELDS TOGETHER TO THE FLUID FLOW
a
*a
b
c
Ziyaddin RECEBLİ* , Mehmet ÖZKAYMAK , Metin KAYA
Karabük Üniversitesi, Karabük, Türkiye, E-posta: [email protected]
Karabük Üniversitesi, Karabük, Türkiye, E-posta: [email protected]
c
Karabük Üniversitesi, Karabük, Türkiye, E-posta: [email protected]
b
Özet
Çalışmada birbirine ve akışa dik uygulanan elektrik ve
manyetik alanların akışa birlikte gösterdikleri etkiler teorik
olarak incelenmiştir. Bu amaçla elektromanyetik kuvvet
içeren momentum denklemi ve süreklilik denkleminden
oluşturulan kısmi diferansiyel denklem sistemi, basınç
değişimi, akışkanın fiziksel özellikleri ve boru çapının sabit
kaldığı kabul edilerek Laplace dönüşümü yöntemi ile
çözülmüştür. Neticede yerel akış hızı için analitik formül
elde edilmiştir. Bu formüle göre farklı elektrik alan şiddeti
ve manyetik alan indüksiyonu için yerel hız değerleri
hesaplanmış ve grafikleri çizilmiştir. Akışkan olarak tuzlu
su kullanılmıştır.
Yapılan incelemeden elde edilen sonuçlara göre, elektrik
alanın akışı etkilemediği, manyetik alan ile birlikte
uygulanan elektrik alanın ise uygulanma yönüne bağlı
olarak akış hızındaki düşüşü etkilediği tespit edilmiştir.
Anahtar kelimeler: Manyetik alan, elektrik alan, boruda
tek fazlı akış, yerel hız.
Abstract
In this study the effect of electric and magnetic field which
are perpendicular each other and the flow line together
investigated theoretically. With this aim the equation that
produced from the equation of momentum and equation of
continuous is used as a method to solve the problem with
called Laplace transformation method which pressure
change, physical specifications of flows and pipe diameter
to be accepted to constant. As a result analytic equation
for local flow velocity achieved. According to the equation
of intensity of the different electric field and magnetic field
induction has been calculated and drawn the graphs for
the local velocity. Salted water was used as a fluid.
From the results that has been collected from the
investigations that individually electric field not effected to
the flow but if the electric field applied with magnetic field
together, they effected to the flow velocity depends on the
applied direction has been determined.
Keywords: Magnetic field, electric field, single phase flow
in pipe, local velocity
1. Giriş
Manyetik alanın akışkan hareketlerini etkilediği birçok
© IATS’09, Karabük Üniversitesi, Karabük, Türkiye
bilim adamı tarafından incelenmiş [1-7] ve akışkanların
akış hızlarının alan etkisiyle azaldığı görülmüştür.
Bronover ve ark. [1] ergimiş metal akışlarına manyetik alan
etkilerini teorik ve deneysel olarak incelemişler. Metallerin
elektriksel özelliklerinin akışkanlara göre çok büyük
olduklarından dolayı manyetik alandan daha çok
etkilendiklerini göstermişlerdir.
Ryabinin A.G ve Hojainov A.İ [2] MHD makinelerinde sabit
manyetik alanın etkisinden laminer hareketlerde bulunan
sıvı metallerin akış hızlarındaki azalmaları gösteren teorik
ve deneysel çalışma sonuçlarını vermişlerdir.
Racabov Z [3] iletken akışkanın silindirik borudaki
hareketlerine sabit manyetik alan etkisini deneysel ve
teorik olarak incelemiş, manyetik alan etkisinden ham
iletken akışkanın yerel hızının azaldığını göstermiştir.
Tashtoush B, Al-Odat, ve Jı. H.C, Gardner R.A [6,7]
çalışmalarında akışkan olarak cıva, galyum ve ergimiş
metaller kullanılmışlar. Genellikle deneyleri kanalda
yapılmışlardır. Manyetik alanın sabit basınç altındaki
akışkan hareketlerine etkilerini incelenmiş ve zayıf
manyetik ve elektriksel özellikli akışkanların akış hızlarının
alan etkisiyle azaldığı görülmüşlerdir.
Literatürde akışkan hareketlerine elektrik ve manyetik
alanların birlikte gösterdikleri etkilerin incelenmiş olduğu
makalelere az rastlanmaktadır.
Bu çalışmada
amaçlanmıştır.
konunun
teorik
olarak
incelenmesi
2. Materyal ve metot
Birbirine ve akışa dik olarak yöneltilen, E şiddetli elektrik
alanı ve B indüksiyonlu manyetik alanı içerisine
yerleştirilen R yarıçaplı silindirik, bakır veya plastik boruda
viskoziteli bir akışkanın hareket ettiği düşünülsün (Şekil 1).
Sabit fiziksel özellikli iletken bir akışkanın akış hızının
birlikte uygulanan elektrik ve manyetik alanlarından nasıl
etkileneceğinin incelenmesi istensin. Problemin çözümü
için kullanılacak elektromanyetik kuvvet içeren NavierStokes denklemi ve akışın sürekliliği denkleminin vektör
şeklindeki ifadeleri aşağıda verilmiştir.
Recebli, Z, Özkaymak, M. ve Kaya, M.
r = R olduğunda, u (R, t ) = 0 olacaktır.
(8)
(6) diferansiyel denklemi Laplace dönüşümü yöntemi ile
çözülmüştür. Zamana bağlı olan düz Laplace dönüşümü
formülü aşağıda verilmiştir[8,9].
∞
U(s, r) = ∫ u(r, t ) ⋅ e−st ⋅ dt
(9)
0
(7) başlangıç şartı için, (6) denkleminin düz dönüşüm
ifadesi,
Şekil 1. Manyetik ve Elektrik alanların etkisinde yerleştirilen
yatay boru.
Navier-Stokes denklemi:

→
→
→ → →
 ∂U

+ (U ∇) U  = −∇P + η∆ U +  J × B 
 ∂t





d 2U (r , s ) 1 dU (r , s )
N − σEB
+
− m 2U (r , s ) =
r dr
sµ
dr 2
(10)
şeklinde olacaktır. Burada,
→
ρ
(1)
N=
∂P
;
∂z
m2 =
σB 2 s σB 2 + sρ
+ =
µ ν
µ
(10) denkleminin (8) sınır şartını sağlayan çözümü, yani
yerel akış hızının düz dönüşüm ifadesi,
Burada,
→
→
→ → →
J = σ  E + U × B  ; div J = 0 ; div B = 0 ;


→
(2)
U (r , s ) =
Süreklilik denklemi:
(3)
Akışın tek boyutlu (yatay z ekseni boyunca), kararsız ve
simetrik olduğu düşünülürse, aşağıdakiler yazılabilir.
u r (r , t ) = 0 ;
uϕ (r , t ) = 0 ;
u = u z (r , t ) ≠ 0 ;
∂u r (r , t )
=0
∂ϕ
(4)
(
)
 I (mr ) 
⋅  0
− 1
 I o (mR ) 
∂u z (r , t ) ∂u
=
= 0;
∂z
∂z
(5)
şekillerinde yazılacaktır. Yapılan kabullerden sonra (1)-(3)
denklemleri birleştirilerek silindirik sistemde aşağıda
gösterildiği gibi yazılabileceklerdir.
ρ ∂u(r , t ) N − σEB
∂ 2 u(r , t ) 1 ∂u(r , t ) σB 2
+
−
u(r , t ) −
=
r ∂r
µ
µ ∂t
µ
∂r 2
(6)
(6) denkleminin çözümü için başlangıç şart:
u (r ,0 ) = 0;
(12)
I 0 (mr )
Modifiye edilmiş
1
(mr )2 + 1 (mr )4 + ....
4
64
(13)
Bessel fonksiyonudur:
I 0 (mr ) = 1 +
Çok küçük olacakları gerekçesiyle yüksek dereceli
terimlerinin tamamı ihmal edilerek, Bessel fonksiyonunun
seriye açılım ifadesinin ilk iki terimi kullanıldığında (12)
ifadesi,
U (r , s ) =
Bu durumda süreklilik denklemi
Sınır şartı ise:
N − σEB
s σB 2 + sρ
şeklinde olacaktır. Burada,
→
div U = 0
t = 0 olduğunda,
(11)
σEB − N
(R 2 − r 2 )
s[4 µ + (σB 2 + sρ )R 2 ]
(14)
şekline dönüştürülebilecektir. Yerel akış hızının ters
dönüşüm ifadesi, yani yerel akış hızının zaman ve
koordinata bağlı ifadesi ise,
u (r , t ) =
N − σEB
⋅ R 2 − r 2 ⋅ e st − 1
4 µ + σB 2 R 2
(
)(
)
(15)
olacaktır. Burada,
s=−
4 µ + σB 2 R 2
ρR 2
(16)
(7)
(15) ifadesinden kararlı akış durumunda yerel
grafiklerinin parabol şeklinde olacağı görülmektedir.
hız
Recebli, Z, Özkaymak, M. ve Kaya, M.
(15) ve (16) ifadeleri kullanılarak,
3,00E-03
−3
2
−1
[
−2
]
; R = 10 m ;
kg ⋅ s / m ; σ = 12 Ohm ⋅ m
3
−2
3
3
ρ = 10 kg / m ; t = (0 ÷ 200 )s ; N = 12 ⋅ 10 N / m ;
−3
E = 0 ÷ 4 ⋅ 10 V / m ; B = (0 ÷ 2 )T ;
E=0, B=2
2,00E-03
E=0,002, B=2
1,50E-03
)
Akış hızı
(
2,50E-03
(m/s)
µ = 10
E=0,004, B=2
E= -0,002, B=2
1,00E-03
E= -0,004, B=2
5,00E-04
değerleri için akışın yerel hızları hesaplanmıştır. Kararlı
akış için farklı B, E değerlerinde hesaplama sonuçlarına
göre yerel akış hızlarının değişim grafikleri Şekil 2-Şekil
5’de verilmiştir.
0,0035
E=0, B=0
0,003
(m/s)
E=0, B=1
E=0, B=2
0,0025
0,00E+00
0
0,004
0,006
Akış yarıçapı
0,008
0,01
0,012
(m)
Şekil 5. E=0, B=2; E=0,002, B=2; E= -0,002, B=2;
E=0,004, B=2; E= -0,004, B=2 değerleri için
yerel akış hız grafikleri.
E=0,002, B=1
0,002
E=0,002, B=2
0,0035
E=0,004, B=1
0,0015
E=0,004, B=2
0,003
E= -0,002, B=1
0,001
E= -0,002, B=2
E= -0,004, B=1
0,0005
(m/s)
Akış hızı
0,002
E= -0,004, B=2
0,0025
E=0, B=0
E=0, B=2
0,002
E= 0,002, B=2
0
0,002
0,004
0,006
Akış yarıçapı
0,008
0,01
0,012
Akış Hızı
0
(m)
Şekil 2. E ve B’ nin farklı sabit değerleri için yerel akış hız
grafikleri.
E= 0,004, B=2
0,0015
E= -0,002, B=2
E= -0,004, B=2
0,001
0,0005
0
0
50
100
Zaman
150
200
250
(s)
0,0035
(m/s)
Akış Hızı
0,003
0,0025
0,0015
0,002
E=0, B=0
E=0, B=1
Şekil 6. E=0, B=0; E=0, B=2; E=0,002, B=2; E= -0,002,
B=2; E=0,004, B=2; E= -0,004, B=2 değerleri için
r=0 noktasındaki akış hızlarının zamana bağlı
değişim grafikleri.
E=0, B=2
(15) nolu ifadeden anlaşılacağı gibi, akışa sadece elektrik
alanı etkidiğinde (B=0 T), yerel akış hızlarında hiç bir
değişiklik olmayacaktır.
0,001
0,0005
0
0
0,002
0,004
0,006
Akış Yarıçapı
0,008
0,01
0,012
(m)
Akış hızı
(m/s)
Şekil 3. E=0,B=0; E=0,B=1; E=0,B=2 değerleri için yerel
akış hız grafikleri.
3,50E-03
E=0, B=1
3,00E-03
E=0,002, B=1
2,50E-03
E=0,004, B=1
2,00E-03
E= -0,002, B=1
E= -0,004, B=1
1,50E-03
1,00E-03
5,00E-04
0,00E+00
0
0,002
0,004
0,006
Akış yarıçapı
0,008
0,01
0,012
(m)
Şekil 4. E=0, B=1; E=0,002, B=1; E= -0,002, B=1;
E=0,004, B=1; E= -0,004, B=1 değerleri için
yerel akış hız grafikleri.
Şekil 3’ten görülüğü gibi, akışa sadece manyetik alanı
etkidiğinde ise B değerinin artması ile yerel akış hızları
azalacaktır. r=0 noktasında bu düşüş B=1 T olduğunda %
23.3, B=2 T olduğunda ise % 54.6 olmuştur.
Şekil 2-Şekil 4’den B=1 T için elektrik alan şiddetinin E=0
-3
-3
V/m’ den E=+2.10
V/m ve
E=+4.10
V/m‘ye
yükseltildiğinde r=0 noktasında yerel akış hızının sırası ile
%16.6 ve % 28.5 arttığı, elektrik alan şiddetinin E=0 V/m’
den E= -2.10-3 V/m ve E= -4.10-3 V/m’ ye yükseltildiğinde
ise r=0 noktasında yerel akış hızının sırası ile % 20 ve %
40 azaldığı, B=2T için elektrik alan şiddetinin E=0 V/m’ den
-3
-3
E=+2.10 V/m ve E=+4.10 V/m‘ye yükseltildiğinde r=0
noktasında yerel akış hızının sırası ile % 28.8 ve % 44.5
arttığı, elektrik alan şiddetinin E=0 V/m’ den E=-2.10-3 V/m
-3
ve E=-4.10 V/m’ ye yükseltildiğinde ise r=0 noktasında
yerel akış hızının sırası ile % 39.8 ve % 80 azaldığı tespit
edilmiştir.
Görüldüğü gibi, manyetik alanı ile aynı anda uygulanan
elektrik alanı yön değiştirdiğinde akışı farklı şekilde
etkileyecektir. Elektrik alanı bir yönde etkidiğinde akış hızı
arttığı halde, ters yönde etkidiğinde akış hızı azalacaktır.
Recebli, Z, Özkaymak, M. ve Kaya, M.
Bu tür değişim, uygulanan elektrik ve manyetik alanların
karşılıklı etkileşiminden meydana gelen elektromanyetik
kuvvetin akış yönünde veya akışa ters yönde yönelmesi ile
izah edilebilmektedir.
Şekil 6’dan akışkanın kararsız akış halinden kararlı akışa
geçiş süresinin
(T ) elektrik ve manyetik alanlardan nasıl
g
etkilendikleri görülmektedir.
E=0 V/m, B=0 T olduğunda
olduğunda ise
Tg = 100s
Tg = 150 s , E=0
V/m, B=2 T
olmuştur. Yani, akışa sadece
manyetik alanı etkidiğinde kararlı akışa geçiş süresi
kısalacaktır.
B’ nin sabit tutularak E’ nin pozitif yönde artırıldığı halde
E=O V/m hali ile kıyaslandığında
Tg ’nin
negatif yönde artırıldığı halde ise
V/m
olduğunda
V/m
olduğunda
V/m
olduğunda
T,
E=+2.10
B=2
T,
E=+4.10
Tg = 120s ;
B=2
Tg = 90 s ;
B=2
T,
-2.10-3
-3
E=-4.10
nin azaldığı
-3
B=2
Tg = 110s ;
E=
Tg ’
-3
görülmüştür.
T,
arttığı, E’ nin
V/m
olduğunda
Tg = 80 s oldukları tespit edilmiştir.
3. Tartışma ve sonuç
Silindirik yatay bir borudaki laminer akışa elektrik ve
manyetik alanların birlikte etkisi teorik olarak incelenmiştir.
Neticede akışın yerel hızlarının akışkan ve borunun fiziksel
parametrelerine, manyetik alan indüksiyonuna, elektrik
alan şiddetine ve zamana bağlı olan değişim ifadeleri elde
edilmiştir.
Akış yönüne dik olarak yöneltilen manyetik alanın
etkisinden yerel akış hızlarının ve akışın kararlı duruma
geçiş süresinin azaldığı, akış yönüne dik olarak yöneltilen
elektrik alanından ise yerel akış hızlarında ve akışın kararlı
duruma geçiş süresinde hiç bir değişikliğin olmadığı
görülmüştür.
Akışkanın yerel akış hızlarının ve akışın kararlı duruma
geçiş süresinin birlikte uygulanan manyetik ve elektrik
alanlarından elektrik alanın yönüne bağlı olarak farklı
şekilde etkilendikleri tespit edilmiştir.
Manyetik alanı ile aynı anda uygulanan elektrik alanı pozitif
yönde artırıldığında, E=0 V/m ve B ≠ 0 T haline göre,
yerel akış hızlarının ve kararlı akış durumuna geçiş
süresinin arttığı, elektrik alanın yön değiştirerek negatif
yönde artırıldığı sırada ise yerel akış hızlarının ve kararlı
akış durumuna geçiş süresinin azaldığı görülmüştür.
4. Semboller
U
E
B
P
: Akışkanın yerel akış hızı (m/s),
: Elektrik alan şiddeti (V/m),
: Manyetik alan indüksiyonu (T),
2
: Basınç (N/m ),
u r , uϕ , u z
: Elektrik akım yoğunluğu (A/m),
3
: Basınç gradyanı N = ∂P / ∂z (N/m ),
: Borunun yarıçapı (m),
: Akışkanın kinematik viskozitesi (m2/s),
2
: Akışkanın dinamik viskozitesi (kg.s/m ),
3
: Akışkanın yoğunluğu (kg/m ),
: Akışkanın özgül elektriksel
iletkenliği ( 1 / Ohm.m ),
: Zaman (s),
: Laplace operatörü,
: Hız bileşenleri (m/s),
ϕ , z, r
: Silindirik koordinatlardır.
J
N
R
ν
η
ρ
σ
t
s
Kaynaklar
[1] Bronover,G.G,
Çinober,A.B.,
Magnitnaya
Gidrodinamika Nesjimayemıh Sred, İzd. Nauka,
Moskova, 1970.
[2] RyabininA.G., HojainovA.İ., Nestaçionarnoye teçeniya
jidkih metallov b MHD ystroystvah, Leningrad, İzd.
Maşinostroeniye, 1970.
[3] Kauling, T., Magnitnaya Gidrodinamika, Moskova,
1979.
[4] Çebes, A.O, Magnitnaya Gidrodinamika, Moskova,
1984.
[5] Racabov, Z.A., İssledovaniya vliyaniye magnitnogo
polya na dvijeniye jidkostey s çelyu sozdaniye
elektromagnitnoy ustanovki dlya otseçki neftegazovıh
fontanov, Doktora Tezi, Bakü, 1990.
[6] Ji, H.C., Gardner, R.A., Numerical Analysis of
Turbulent Pipe Flow in a Transverse Magnetic Field,
İnt. J. Heat Mass Transfer, 40 (8):1839-1851, 1996.
[7] Tastoush, B:, Al-Odat, M., Magnetic Field Effect on
Heat and Fluid Flow Over a Wavy Surface With a
Variable Heat Flux. J. of Magnetism and Magnetic
Materials, 268, 357-363, 2004.
[8] Karsloy, H., Eger, D., Operaçionnıye Metodı b
Prikladnoy Matematike, Moskova, IL, 295. 1948.
[9] Fogiel, M., Handbook of Mathematical, Scientific, and
Engineering Formulas, Tables, Functions, Graphs,
Transforms, New Jersey, 1030, 1992.