Ethan Frome

KALİBRASYONDA ÖLÇE BELİRSİZLİĞİ
GİRİŞ
“Belirsizlik” sözcüğü tek başına kullanıldığında “kesin olmayış”, “güvenilir olmayış” gibi
olumsuz anlamlar çağrıştırır. Ancak, “ölçüm belirsizliği” veya “kalibrasyon sonucunun
belirsizliği” gibi teknik deyim biçiminde kullanıldığında, daha özgül, daha masum bir anlama
bürünür. Ölçüm belirsizliği ölçüm sonucuyla beraber mutlak bir sürette yer alması gereken bir
parametredir. Bunun bir çok nedeni var. Örneğin, herhangi bir laboratuvar belirli bir
büyüklüğün ölçümünü yaparak tek bir sonuç beyan etmiştir. Bir başka laboratuvar da aynı
ölçümü gerçekleştirdikten sonra farklı bir sonuca ulaşmıştır. Bu durumda iki laboratuvar
tarafından bulunan değerler arasındaki farkın neden kaynaklandığının yorumu bir hayli
zordur. Oysa, ölçüm sonucuyla birlikte belirsizlik değeri de verilirse, her laboratuvar bu
ölçümde sonuçların bulunabileceği aralık güvence altına almış olacak. İki laboratuvar güvence
altına aldıkları aralıkların örtüşmesi halinde yoruma açık bir durum söz konusu değildir.
Dolayısıyla, ölçüm belirsizliği saptanıp ölçüm sonucu ile birlikte verildiğinde, elde edilen
değerlerin olası hangi aralıkta yer alacağını ve güven düzeyini yansıtır [1]. İki farklı
laboratuvar aynı ölçümü gerçekleştirme yeteneğine sahip olduğu zaman, daha düşük
belirsizlik değeri veren laboratuvarın teknik kapasitesi diğerine göre daha üstün sayılır.
Ölçüm sonucu rapor edilirken, sonucun kalitesini belirten sayısal bir gösterge olmalıdır ki
bu sonucu kullanan kişiler sonucun güvenilirliğini tayin edebilsinler.
Ölçüm kalitesinin ve ölçüm sonuçlarının güvenilirliğinin göstergesi belirsizlik
değeridir.
Ölçüm belirsizliğinin hangi şekilde ve ne amaçla kullanıldığını açıklamak için basit bir
laboratuvralararası karşılaştırma örneğini inceleyelim. 5 farklı metroloji laboratuvar 100 g’lık
nominal kütleye sahip bir kütle standardının kalibrasyonunu gerçekleştirdiğini varsayalım.
Herbir laboratuvar tarafından kütle değeri ve bunun belirsizliği için beyan ettikleri değer
Tablo 1’de verilmiştir.
Tablo 1. Laboratuvarlararası karşılaştırma sonuçları
Laboratuvar
Ölçüm Sonucu (g)
Belirsizlik (g)
A
B
C
D
E
Ortalama
100.02
100.10
100.08
100.04
100.07
100.06
0.03
0.06
0.03
0.05
0.04
Ortalamadan Sapma
(g)
-0.04
+0.04
+0.02
-0.02
+0.01
Laboratuvarların beyan ettikleri kütle değerleri mA, mB, mC, mD ve mE kullanılarak ortalama
kütle değeri m aşağıdaki formülle hesaplandığında 100.06 g bulunmuştur.
m C m D m E 100.02 100.10 100.04 100.07
g 100.06 g
5
5
Tablodaki veriler incelendiğinde, sadece laboratuvarların beyan ettikleri belirsizlik değerleri
dikkate alınırsa en iyi kalibrasyon yeteneğine A ve C laboratuvarlarının sahip olduğu kararı
verilebilir. Çünkü A ve C laboratuvarları karşılaştırmada kullanılan referans kütlenin
kalibrasyonunu diğer laboratuvarlardan daha düşük bir belirsilikle gerçekleştirmişler. Ancak
m
mA
mB
Kütle Değeri (g)
100.20
100.10
O rtalama
100.00
99.90
A
B
C
D
E
Laboratuvar
Şekil 1. Karşılaştırma sonuçlarının grafiksel gösterimi
laboratuvarlararası karşılaştırmaların sonuçlarını değerlendirme aşamasında daha önemli bir
kriter kullanılmaktadır. Kritere göre her laboratuvarın beyan ettiği değerin ortalama değerden
farkı beyann etiği belirsizlikten küçük olmalıdır. İkinci kritere göre değerlendirme yapılırsa A
laboratuvarının karşılaştırma sonuçlarının tatmin edici olmadığı kararına varılabilir. Verilen
bu örnekte en basit değerlendirme örneği kullanılmıştır. Karşılaştırmalarda ortalama değer
yerine karşılaştırmanınn referans değeri olarak adlandırılan parametre kullanılmaktadır.
Referans değer ise farklı ölçüm dallarında farklı yöntemlerle hesaplanmaktadır. Bu aşamada
yukarıdaki örnekteki gibi genel ortalama hesaplanabilir veya sadece laboratuvarların beyan
ettikleri sonuç değil belirsizlik değerini de dikkate alan ağırlıklı ortalama, veya median
değerleri kullanılabilir [1].
2
Belirsizlik Hesaplarının Tarihçesi
1960 yıllara kadar hem metroloji hem de mühendisliğin farklı dallarında kullanılan terimler
hata ve hata analiziydi
1970 yıllarda terimler sözlüğüne belirsizlik kelimesi dahil edildi
1977-1978 yıllarında BIPM’in 32 ulusal laboratuvarın katılımıyla gerçekleşen anket çalışması
1979 yılında BIPM’in önerisi doğrultusunda ISO bazında TAG4/WG3 çalışma grubu kuruldu
1981 yılında Belirsizlik Hesapları ile ilgili ISO TAG4/WC3’ün ilk önerileri sunuldu
1981, daha sonra 1986 ve 1991 yıllarında öneriler revizyondan geçirildi
1993 yılında ISO tarafından kılavuz niteliğinde “Guide to the Expression of Uncertainty in
Measurement” hazırlanarak yayınlandı.
3
1. GENEL TANIMLAR VE KAVRAMLAR
Ölçüm ve kalibrasyonlardaki belirsizlik hesaplamalarında kullanılan temel yöntemlerden
bahsetmeden önce, metrolojide sık sık kullanılan bazı tanımların açıklanması gerekir.
KALİBRASYON
( CALİBRATİON )
Tanımlanmış şartlar altında, ölçme sistemi veya ölçüm cihazının göstermiş olduğu değer
(yada referans materyal değerleri) ile buna karşılık gelen standartlarda yer alan değerlerin
karşılaştırılması işlemleri dizisidir.
Kalibrasyon sonuçları standartlara karşılık ölçülen büyüklüklerin belirlenmesinde
kullanılabileceği gibi, bu standartlara göre oluşan düzeltme değerlerinin tayin edilmesinde de
kullanılabilir.
Kalibrasyon, ölçüm sonuçlarına etki eden önemli metrolojik özelliklerin saptanmasını sağlar.
Kalibrasyon sonuçları, kalibrasyon sertifikası yada kalibrayon raporu adı altında
belgelendirilmelidir.
Kalibrasyon; standartlara karşılık gelen ölçülen büyüklüğü ortaya koymayı sağlar, elde
edilen sonuçlara bağlı olarak herhangi bir ayar işlemini kapsamaz.
ÖLÇÜM
( MEASUREMENT )
Ölçüm; ölçülecek niceliğin sayılabilen, azalıp çoğalabilen durumunun ya da miktarının belirli
standartlarla (veya prosedürlerle) tanımlanmış işlemler sonucunda elde edilen tahmini
değerdir.
Ölçüm ile ölçülecek niceliğin değeri değil miktarı ortaya konulur.
Ölçüm (işlem)
Ölçüm (Sonuç)
Cihaz (İzlenebilirlik, kalibrasyon)
Ortam Şartları
Yöntem
Eleman
Nominal Değer
Tekrarlanabilirlik
Belirsizlik
Güvenilirlik
4
ÖLÇME İŞLEMİ
(PROCEDURE MEASUREMENT)
Ölçme işlemi aşağıdaki sıralama göz önünde bulundurularak yapılır.
Ölçülecek nesne belirlenir.
Ölçülecek büyüklük belirlenir.
Ölçülecek metod belirlenir.
Ölçülecek cihazların seçilir ve ölçüm düzeneğinin kurulur.
Ölçme işlemi gerçekleştirilir.
Ölçme sonuçları değerlendirilir ve kontrol edilir.
ÖLÇÜM SONUCU
(RESULT OF A MEASUREMENT)
Ölçülen büyüklüğün ölçüm sonucunda elde edilen değerdir. Ölçüm sonucunda tahmini bir
değer elde edildiği için yapılan ölçüme ait belirsizlik ifadesi ile birlikte verilmelidir. Ölçme
sonucunda elde edilen değerin aşağıdakilerden hangisi olduğu açıkça belirtilmelidir.
Gösterge Değeri
Düzeltilmemiş Sonuç
Düzeltilmiş Sonuç
DÜZELTME
(CORRECTİON))
Ölçüm sırasında ölçüm sisteminden kaynaklı sistematik hataların önceden belirlenmesi
gerekir. Bir ölçüm sonucuna, hesaplanan sistematik hataların eklenmesi ya da çıkarılması
işlemine düzeltme denir.
Sistematik hata kaynaklarından gelebilecek belirsizlik faktörleri ölçüm sonucuna ait toplam
belirsizlik bileşenleri içerisinde yer alır.
DÜZELTME FAKTÖRÜ
(CORRECTİON FACTOR)
Sistematik hataların düzeltilmesi için ölçüme ait düzeltilmemiş sonuç ile çarpılan sayısal
faktördür.
Sistematik hataların tam olarak bilinmesi mümkün olmadığından bu hatalara karşılık gelen
değerlerin en doğru şekilde saptanması mümkün değildir. Ancak tahmin edilen sistematik hata
istenilen doğruluk üzerinde ciddi bir etkilemede bulunuyorsa, bir düzeltme ya da düzeltme
faktörü bu etkiyi minumum düzeye indirmek amacıyla kullanılabilir.
Düzeltme yada düzeltme faktörü uygulandıktan sonra sistematik etkiden kaynaklanan hatanın
sıfır olduğu varsayılır.
5
DÜZELTİLMİŞ VE DÜZELTİLMEMİŞ SONUÇ
(CORRECTED AND UNCORRECTED RESULT)
Düzeltilmemiş Sonuç:
Sistematik hatalar için düzeltme yapılmadan elde edilen yalın ölçüm sonucudur.
Düzeltilmiş Sonuç:
Sistematik hatalar için düzeltme yapıldıktan sonra elde edilen ölçüm sonucudur.
Rastgele hatalara bağlı olarak ve sistematik hatalardan kaynaklanan düzeltmelerin yeterince
belirlenememesi yüzünden düzeltilmiş ölçüm sonucu, ölçülen büyüklükle aynı değildir.
Oluşturulan büyüklük ile bunu ölçen sistemin ortaya koyduğu değerler hiçbir zaman kesin
olarak bilinemez; bu iki değer sadece ölçmeleri beklenen mutlak değerlerine yaklaşık bir
sonucu ortaya koyarlar.
Örnek olarak; Belirli bir sıcaklıktaki levha kalınlığını mikrometre yardımıyla ölçmek istiyoruz
Belirlenen sıcaklığa yakın bir değere levhanın sıcaklığı getiriliyor ve kalınlığı da numunenin
belirli bir noktasından ölçülüyor.
Bu noktadaki ve sıcaklıktaki numune kalınlığı mikrometre tarafından uygulanan basınç altında
ölçülen büyüklüktür.
Aşağıdakilerin herbiri ölçüm sonucuna etki eden bilinmeyen hata parametrelerinden biri
olabilir:
Tekrar edilen her ölçüm için mikrometrenin gösterdiği okuma değerleri arasındaki fark
Mikrometrenin kalibrasyon belirsizliği
Sıcaklık ve uygulanan basınçdan kaynaklanan hatalar
Ortam sıcaklığı, barometrik basıncın ve nemin mikrometre ve numune levha (veya her ikisi)
üzerindeki etkilerinden kaynaklanan hatalar
Örnek: Direnç üzerinden geçen belirli bir akım değerine karşılık gelen gerilim değerini
ölçelim.
U
U
i
Ohm Kanununa göre;
Ui
Rs
I=
Ölçülen Büyüklük
Sonuç
Gerilim ( U)
Akım (I),
Formül 1’e Göre
Akım (I),
Formül 2’e Göre
Gösterge
R
RS 1
t
to
Ui = kU
Düzeltilmemiş
I
Düzeltilmiş
(1)
Ui
kR s 1
t - to
(2)
6
ÖLÇÜM HATASI
(ERROR OF A MEASUREMENT)
Ölçüm hatası, ölçüm sonucunun ölçülen büyüklüğe ait gerçek değerin çıkartılmasıyla elde
edilen değerdir.
Gerçek değer, ele alınan belirli bir büyüklüğün tanımına karşılık gelen ve ancak büyüklüğün
eksiksiz ve ideal koşullarda ölçümü ile elde edilecek bir değerdir. Ancak gerçek hayatta,
eksiksiz ve ideal koşulları oluşturamayacağımız için gerçek değer kavramı asla elde edilemez.
Ancak pratik uygulamalar için herkesin kabul ettiği konvansiyonel (üzerinde uzlaşılmış)
gerçek değer, belirli bir büyüklüğe verilen ve ele alınan amaç için uygun bir belirsizliğe sahip
olduğu bazen üzerinde uzlaşılarak kabul edilen değer olarak kullanılabilinir. Örneğin, belirli
bir mahalde, referans standart tarafından gerçekleştirilen büyüklüğe verilen değer, veya
Avagadro sabiti için önerilen değer NA = 6.0221367 x 1023 mol-1 konvansiyonel gerçek değer
olarak alınabilir
Ölçüm hatası birinci derece de, ölçme cihazının çözünülürlüğü ile sınırlıdır. Çözünülürlük, bir
gösterge elemanının, gösterge değerleri arasındaki anlamlı olarak algılanabilir en küçük fark
olarak tanımlanır. Ölçüm sonucunda, şans eseri olarak bile, mutlak değere ulaşma olasılığı
oldukça düşüktür. Öyleyse amaç, ölçüm hatalarının tümünü elimine etmek veya ortadan
kaldırmak değil, ölçümün yapılma amacına yönelik olarak, kabul edilebilir en düşük seviyeye
ulaşmasını sağlamaktır. Bu amaca ulaşabilmek için, ölçüm hatalarının kaynağı ve tipi
hakkında yeterli bilgiye sahip olmak gerekmektedir.
Ölçüm hatası, genel olarak rasgele ve sistematik hatanın birleşiminden oluşur. Bir çok
durumda sistematik ve rasgele hataları birbirinden ayırmak çok zordur.
HATA TÜRLERİ
Bağıl hata (Relative error):
Mutlak ölçüm hatasının ölçülen büyüklüğün konvansiyonel gerçek değerine bölünmesiyle
bağıl hata elde edilir.
Rasgele hata (Random error):
Aynı tekrarlanabilirlik koşulları altında olmak şartıyla, ölçülecek olan büyüklüğün sonsuz
sayıda alınan ölçüm sonuçlarının ortalama değerinden, yapılan ölçüm sonucunun
çıkarılmasıyla elde edilir.
Rasgele hata belirli istatistiksel dağılım gösterir ve bu hata için düzeltme yapmak mümkün
değildir.
7
Sistematik hata (Systematic error):
Aynı tekrarlanabilirlik koşulları altında olmak şartıyla, ölçülecek olan büyüklüğün sonsuz
sayıda alınan ölçüm sonuçlarının ortalama değerinden aynı büyüklüğün gerçek değerinden
çıkarılmasıyla elde edilir.
Gerçek değerde olduğu gibi sistematik hata ve sebepleri tam anlamıyla belirlenemez.
ÖLÇÜM DOĞRULUĞU
(ACCURACY OF A MEASUREMENT)
Ölçülen büyüklüğün konvansiyonel gerçek değeri ile ölçüm sonucunun arasındaki uygunluk
derecesidir. Bir ölçümün doğruluğu niteleyici bir kavramdır. Bu yüzden doğruluk rakamsal
olarak ifade edilmemeli, rakamlar ölçümün belirsizliği için verilmelidir.
Uygulamada, ölçülecek olan büyüklüğün tanımı ya da gerekli özellikler istenilen ölçüm
doğruluğu tarafından belirlenir. Başka bir deyişle elde edilmek istenen doğruluk göz önünde
bulundurularak ölçüm sistemi kurulur.
Örneğin, nominal olarak 1 m uzunluğa sahip çelik bir cetvel mikrometre düzeyinde bir
doğrulukla ölçülmek istenirse ölçüm sırasındaki sıcaklık ve basınç değerlerinin uzunluk
değişimine etkisi bilinmeli ve uygun doğrulukta bir matematiksel ifade ile verilmelidir.
Ancak milimetre düzeyindeki bir doğrulukla ölçüm yapmak isteniyorsa yukarıda bahsedilen
sıcaklık ve basınç değerlerinin ölçülmesi gerekli değildir.
Not: Doğruluk yerine kesinlik teriminin kullanımından kaçınılmalıdır.
CİHAZ DOĞRULUĞU
(ACCURACY OF A MEASURİNG İNSTRUMENT)
Ölçüm cihazının gerçek değere yakın bir değer verebilme kapasitesidir.
Bir voltmetrenin doğruluğu(voltmetrenin tüm aralığında doğrusal olduğu düşünülürse)
voltmetrenin o aralığında tam sapmasının %2 si olarak verildiğinde, bu voltmetrede o aralıkta
okunan bütün değerler için gerçek değer ± %2 farklıdır.
KESİNLİK
(PRECİSİON)
Tanımlanmış belirli şartlar altında birbirinden bağımsız ölçüm sonuçlarının birbirleriye olan
uygunluk derecesidir.
Belirsizlik hesaplamalarındaki yerini tekrarlanabilirlik ve tekrarüretilebilirlik kavramlarına
bırakmıştır.
8
Kesinlik kavramı tekrarlanabilirlik ve tekrarüretilebilirlik kavramlarını içeriri. Bununla
birlikte kesinlik genellikle tekrarlanabilirlik anlamda kullanılır.
Kesinlik nitel bir kavramdır bu yüzden dikkatli kullanılmalıdır. Örneğin “tekrarlanabilirlik
şartları altında ölçüm sonuçlarının kesinliği sonuçların standart sapma değeri olarak
hesaplanmış olup 2 µΩ ’dur.” ifadesi kabul edilebilir bir ifade iken “Ölçüm sonuçlarının
kesinliği 2 µΩ ’dur.” ifadesi kabul edilemez.
DENEYSEL STANDART SAPMA
(EXPERİMENTAL STANDARD DEVİATİON)
Aynı ölçülen büyüklüğe ait n adet ölçümden oluşan bir seri için, aşağıdaki formülle verilen s
parametresi deneysel standart sapmadır ve sonuçların dağılımını karakterize eder;
n
( xi
s xi
x)2
i 1
n 1
xi : i. ölçüm sonucu
x : değerlendirilen n adet sonucun aritmetik ortalamasıdır.
s xi
ifadesi x ’ne ait dağılımın standart sapmasıdır ve ortalamanın deneysel standart sapması
n
olarak adlandırılır.
ortalamanın deneysel standart sapması bazı durumlarda ortalamanın standart hatası olarak
adlandırılır ancak bu yanlış bir tanımlamadır.
Örnek:
Veriler: A={7,8,11,13,17,21} olsun.
Verilerin aritmetik ortalaması:
1 n
X
xi ,
ni1
XA
12.8
Deneysel standart sapma:
SA
1
{(12.8 7) 2 (12.8 8) 2 ... (12.8 21) 2 } 5.38
5
Standart Sapmanın Özellikleri
 belli bir x değerinin ne kadar saçıldığının ölçüsüdür .
 ve x aynı birimle ifade edilir.
 gözlemlenen bütün olası değerlerin, gerçek değer m’den sapmalar karelerinin
toplamının kareköküdür.
9
ÖLÇÜM SONUÇLARININ TEKRARLANABİRLİĞİ
(REPEABİLİTY OF RESULTS OF MEASUREMENTS)
Aşağıdaki tekrarlanabilirlik koşulları altında, aynı ölçülen büyüklüğe ait ardışık ölçüm
sonuçları arasındaki uygunluk derecesidir.
•aynı ölçüm yöntemi
•aynı gözlemci,
•aynı ölçme cihazı
•aynı konum,
•aynı şartlar altında kullanılan aynı ölçüm cihazı
•kısa zaman aralığı içerisinde ölçümlerin tekrarlanması
Not : Tekrarlanabilirlik, sonuçların dağılımı cinsinden nicel olarak ifade edilebilir.
ÖLÇÜM SONUÇLARININ TEKRAR GERÇEKLEŞTİRİLEBİLİRLİĞİ
(REPRODUCİBİLİTY OF RESULTS OF MEASUREMENTS)
Aşağıda yer alan değiştirilebilecek koşullar altında, aynı ölçülen büyüklüğe ait ölçüm
sonuçları arasındaki uygunluk derecesidir.
•ölçüm yöntemi,
•gözlemci,
•ölçme cihazı,
•referans standart,
•konum,
•kullanım koşulları,
•zaman.
Notlar :
1) Tekrar gerçekleştirilebilirlik ifadesinin geçerli olabilmesi için koşulların tanımlanması
gerekir.
2) Tekrar elde edilebilirlik, sonuçların dağılımı cinsinden nicel olarak ifade edilebilir.
KORELASYON
(CORRELATİON)
İki yada daha fazla rasgele değişkeni olan dağılım içindeki iki veya daha fazla rasgele
değişken arasındaki ilişki olarak tanımlanır.
10
İKİ YÖNLÜ GÜVENİLİRLİK ARALIĞI
(TWO-SİDED CONFİDENCE İNTERVAL)
T1 ve T2 ölçülen değerlerin iki farklı fonksiyonu olmak üzere ve θ bulunmak istenen yoğunluk
parametresi (population parameter) olsun. Olasılık Pr (T1 θ T2 ) en az (1- ) eşittir. (1- )
sabit bir sayı olup, pozitif ve 1’den küçüktür. T1ve T2 arasındaki aralık, θ için iki yönlü (1- )
güvenilirlik aralığıdır.
TEK YÖNLÜ GÜVENİLİRLİK ARALIĞI
(ONE-SİDED CONFİDENCE İNTERVAL)
T ölçülen değerlerin bir fonksiyonu olsun ve θ bulunmak istenen yoğunluk parametresi
(population parameter) olsun. Olasılık Pr (T θ) (veya Pr (T θ)) en az (1- ) eşittir.
θ’nın olası en küçük değerinden T’ye kadar olan aralık (veya T’den θ nın olası en yüksek
değerine kadar olan aralık), θ için tek yönlü (1- ) güvenilirlik aralığıdır.
GÜVENİRLİK DÜZEYİ
(CONFİDENCE LEVEL)
Güvenilirlik düzey aralığının veya istatistiksel kapsam aralığı belirli bir olasılık dağılımına
sahiptir. Bu olasılığının (1- ) değeri güvenilirilk düzeyi olarak tanımlanır.
(1- ) genellikle % değer olarak ifade edilir.
GÜVENİRLİK DÜZEYİ
(CONFİDENCE LEVEL)
Güven aralığı veya istatistiksel olarak belirlenmiş kapsam aralığı ile ilişkili olasılık değeri.
Bir ölçüme ait ölçüm sonuçlarının oluşturduğu olasılık yoğunluğu fonksiyonuna (oyf)
hakkında fikir veren bir değerdir.
Olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip, belirli ölçüm sonuçlarının karşılaştırılmasına dair bir
ölçüttür.
Her karşılaştırmalı ölçüme, bir olasılık yoğunluk fonksiyonu ile eşlik eden değerdir. Ölçülen
değerin, olasılık yoğunluk fonksiyonun en olası değerinden ne kadar uzağında olma olasılığını
ifade eder. Örneğin, olasılık yoğunluk fonksiyonunun, ölçülen değerden sonsuza kadar alınan
entegral değerine denk düşer.
Güvenirlik sınırları ile belirlenmiş olan güvenirlik aralığı , bilinmeyen bir parametrenin
verilmiş olan güvenirlik düzeyinde alabileceği değerler dizisidir. Güvenirlik düzeyleri
genellikle yüzde cinsinden ifade edilirler.
11
2. ÖLÇÜM BELİRSİZLİĞİ
(UNCERTAİNİTY OF MEASUREMENT)
Ölçülen büyüklüğün ortalama değer etrafında bulunabileceği aralığı tanımlayan tahmini değer.
Ölçüm belirsizliği, genel olarak bir çok bileşeni içerir. Bu bileşenlerin bir kısmı, ölçüm
serilerinin sonuçlarının istatistiksel dağılımına bakılarak deneysel standart sapma yardımıyla
karakterize edilebilir. Diğer bileşenlerin tahmini ise sadece tecrübeye veya eldeki diğer
bilgilere dayandırılabilir.
Metroloji laboratuvarlarında belirsizlik hesaplamalarda iki farklı hesaplama yöntemi
kullanılmaktadır: A-tipi ve B-tipi belirsizlik hesaplama yöntemleri.
A-tipi belirsizlik hesaplama yöntemi: Gözlem serileri sonuçlarıına göre istatistiksel analize
dayalı belirsizlik hesaplama yöntemidir.
B-tipi belirsizlik hesaplama yöntemi: Gözlem serileri sonuçlarıına göre istatistiksel
analizden farklı yollarla yapılan belirsizlik hesaplama yöntemidir.
Bileşik Standart Belirsizlik
(Combined Standart Uncertainty)
Bir ölçümün pek çok sayıda başka büyüklüklerin ölçüm sonuçlarından elde edilmiş sonucun
bileşik standart belirsizliği, bu büyüklük değerlerindeki değişimlerin ölçüm sonucunu nasıl
etkilediği de göz önüne alınarak hesaplanan varyans veya kovaryans ifadeleri toplamının
pozitif kare köküne eşittir.
Genişletilmiş belirsizlik
(Expanded uncertainty)
Ölçülen bir büyüklüğün beklentiye göre ölçüm sonucu değerlerinin büyük bir kısmını içeren
aralık olarak tanımlanır.
Kapsam Faktörü
(Coverage Factor)
Bileşik standart belirsizlikten genişletilmiş belirsizliği elde etmek için kullanılan çarpan.
3. BELİRSİZLİĞİN OLASI NEDENLERİ
Ölçülen değerin tanımındaki eksiklik
Ölçülen değerin tanımının gerçekleşmesindeki eksiklik
Ölçüm şartları/çevre koşullarındaki değişim
Analog cihazların okumasında personeldeki belli yönde eğilim
Ölçüm cihazlarının sonlu çözünürlüğü
Ölçüm standartlarının ve referans malzemelerin değerlerinin tam olarak bilinmemesi
Dış kaynaklardan elde edilen sabit parametrelerin değerlerinin tam olarak bilinmemesi
Ölçüm yöntemi ve işleminde yaklaşımlar veya ekstrapolasyonlar
12
4. İDEAL BELİRSİZLİK HESAPLAMA YÖNTEMİNİN ÖZELLİKLERİ
Evrensellik: Yöntem her çeşit ölçüme ve her ölçüm için kullanılan her çeşit veriye
uygulanabilir olmalıdır.
Kendi içinde tutarlılık: Ölçüm belirsizliği, belirsizliğe katkıda bulunan bileşenlerden,
bileşenlerin gruplandırma şeklinden veya alt bileşenlere ayrılmış olmasından bağımsız olarak
elde edilebilmelidir.
Taşınabilirlik: Bir ölçümün sonucunu ikinci bir ölçümde kullanmak gerektiğinde birinci
ölçümün belirsizliği doğrudan ikinci ölçümde kullanılabilmelidir.
5. BELİRSİZLİK HESAPLARINDA KULLANILAN İSTATİSTİKSEL DAĞILIMLAR
Altı tip istatistiksel dağılım bilinmektedir. Bunlardan ilk üçü en çok metrolojide en sık
kullanılan dağılımlardandır.






Student Dağılım
Normal Dağılım
Dikdörtgen Dağılım
Üçgen Dağılım
Trapezoidal Dağılım
U-tipi Dağılım
5.1. STUDENT DAĞILIM
Student dağılı çok yakından tanıdığımız Normal dağılımın benzeri olup, ölçüm sayısının
kısıtlı olduğu zaman (n<10) kullanılmaktadır. Student dağılımı ile normal dağılım arasında
farkı dengelemek için ekte kullanılan Tablo’daki veriler kullanılmaktadır.
13
5.2. NORMAL DAĞILIM
Ölçüm Sonucu
6.0
6.1
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
7.0
Toplam
Ortalama:
Sayı (n)
5
7
12
18
32
19
13
9
6
4
125
P=n/N
0.04
0.056
0.096
0.144
0.256
0.152
0.104
0.072
0.048
0.032
6.5168
Normal Dağılım = Gauss Dağılımı
Ölçüm sonuçlarının grafiksel gösterimi
0,30
Çıkama Olasılığı
P ,P
0,25
0,20
0,15
0,10
s
s
0,05
0,00
5,9
6,1
6,3
6,5
6,7
6,9
Ortalama Değer, X
7,1
X
Ölçüm sonuçlarının dağılımı aşağıdaki formül ile tanımlanır
1
2
f ( x)
z
x
x
exp(
;
z2
)
2
1 N
(x
ni 1
)2
: Ölçüm Sonucu
: Ölçülen Büyüklüğün Gerçek Değeri
: Standart Sapma
14
5.3 DİKDÖRTGEN DAĞILIMI
Bu dağılım, bir büyüklüğün sadece değişim gösterebilecek aralık bilindiği takdirde kullanılır.
a
a
p(x)
u( x )
a
a
,
2 3
u( x )
a
3
0
x
a-
x
a+
5.4. ÜÇGEN DAĞILIM
Bu dağılım, bir büyüklüğün değişim gösterebilecek aralık ve eğilim bilindiği takdirde
kullanılır.
a
a
p(x)
u( x )
a
a
,
2 6
u( x )
a
6
0
x
a-
x
a+
15
6. BELİRSİZLİK HESAPLAMA YÖNTEMLERİ
6.1. A-TİPİ BELİRSİZLİK HESAPLAMA YÖNTEMİ
İstatistiksel yöntemler kullanılarak yapılan A-tipi belirsizlik hesaplama yöntemi tekrarlanan
ölçüm sonuçlarına uygulanır.
A-tipi Belirsizlik Hesaplama Yönteminde Kullanılan Dağılımlar:
 Normal Dağılım
 Student Dağılımı
6.2. B-TİPİ BELİRSİZLİK HESAPLAMA YÖNTEMİ
İstatistiksel yöntemler kullanılmadan yapılan belirsizlik değerlendirmesi
B-tipi Belirsizlik hesaplama yönteminde kullanılan bilgiler;
 Daha önce yapılan ölçümlerde elde edilen veriler
 İlgili malzemeler ve kullanılan cihazlar konusundaki deneyim ve daha önce edinmiş
bilgiler
 Üretici firmanın belirttiği özellikler
 Kalibrasyon ve diğer sertifikalarda bulunan veriler
 El kitaplarından alınan referans verilere ilişkin belirsizlikler
B-tipi Belirsizlik Hesaplama Yönteminde Kullanılan Dağılımlar:
 Dikdörtgen dağılımı
 Üçgen dağılım
 U-tipi dağılım
7. BİLEŞİK BELİRSİZLİĞİN HESAPLANMASI
A-tipi ve B-tipi değerlendirme sonucunda uygun bir birleşimden elde edilen belirsizlik
değerine bileşik belirsizlik denir.
N
uc ( y )
i 1
f
xi
2
u 2 ( xi )
8. GENİŞLETİLMİŞ BELİRSİZLİĞİN HESAPLANMASI
Bileşik belirsizlikten kapsam faktörü ile çarpılarak elde edilen belirsizliğe genişletilmiş
belirsizlik denir.
U k uc ( y )
16
Kapsam Faktörü Ve Güvenilirlik Düzeyi
Güvenilirlik Düzeyi
Kapsam Faktörü
p ( %)
kp
68.27
1
90
1.645
95
1.960
99
2.576
100
3
9. ÖLÇÜM SONUÇLARININ RAPORLANMASI
Belirsizlik hesaplarının sonucunda verilen rapor:
 Ölçüm sonuçlarının ve bunların belirsizliklerini deney verilerinden ve girdi
büyüklüklerinden hesaplama yöntemini açıklamalıdır
 Tüm belirsizlik bileşenlerini ve bu bileşenlerin hesaplama yöntemini göstermelidir;
 Verilerin hesaplama yöntemleri öyle bir şekilde açıklanmalıdır ki, bu hesaplamalar
tekrarlandığında açıklanan aynı belirsizlik değeri bulunabilsin,
 Hesaplamalarda kullanılan tüm düzeltme değerleri ve sabitler açıklanmalıdır
Kalibrasyon Sertifikasında ölçüm sonucu eksiksiz olarak y ± U şeklinde verilmelidir.
Bu ifadede,
y
U=ku
: Ölçüm sonuçlarının ortalaması,
: Genişletilmiş belirsizliktir.
Kalibrasyon / Ölçüm Belirsizliği ile ilgili açıklama
Kalibrasyondaki belirsizlik ”Guide to the Expression of Uncertainity in Measurement (GUM),
ISO 1993)” dökümanına uygun olarak hesaplanmıştır. Kalibrasyonun toplam belirsizliği
genişletilmiş belirsizlik olup bileşik belirsizlikten kapsam faktörü k=2.0 kullanılarak elde
edilmiştir. Güvenilirlik düzeyi %95’tir.
Raporlama Örnekleri
•ms=100.02147 g ve uc=0.35 mg
•ms=100.02147(35) g
•ms=100.02147(0.00035) g
•ms=(100.02147±0.00035) g
ms=(100.02147±0.00071) g
Parantez içerisinde verilen belirsizlik, genişletilmiş belirsizlik olup bileşik belirsizlikten
kapsam faktörü k=2.0 kullanılarak elde edilmiştir.
17
10. BELİRSİZLİK HESAPLARINDA İZLENECEK PROSEDÜR
 Kalibrasyonun / Ölçümün Modellenmesi
y= F(x1 , x2 , x3 , ..., xn )
Örnek:
I
V
R
I
kV
RS (1
(t t0 )
F (V , R )
f (k ,Vİ , RS , , t , t0 )
 Belirsizlik bileşenlerinin listesinin oluşturulması
u1 Ref. Standardın belirsizliği
u2 Okuma hatası / Çözünürlük
un
Bileşenlerin değerlerinin bulunması ( İstatistiksel Dağılımlar )
BELİRSİZLİK HESAPLARINDA İZLENECEK PROSEDÜR
Girdi büyüklüklerinin değerleri, çıktı büyüklüklerinin değerleri arasındaki matematiksel
ilişkiyi belirlemek
y
F ( x1 , x2 , x3 ,..., xn )
Ölçüm koşullarında ölçüm sonucunu etkileyen tüm faktörleri belirlemek
Düzeltme ve düzeltilmemiş sistematik hatalara bağlı olan belirsizlik bileşenlerin listesini
yapmak
Belirsizliğin sistematik bileşenleri için, daha önce yapılmış olası dağılımlardan ve
belirsizlik çalışmalarından yararlanmak
Belirsizliğin her bir sistematik bileşeni için ya dikdörtgen dağılım varsayarak
u( x )
i
a
i
3
veya normal dağılım varsayarak,
u ( xi )
belirsizlik
k
hesaplamak.
18
Tekrarlanan ölçümler sonucu elde edilen değerlerin belirsizliğini hesaplamak için önce
deneysel standart sapma değerini,
sq
Ortalamanın sapması ;
Sq
1
n 1
Sq
n
(q qi ) 2
1
n
Bileşik belirsizliğin değerini hesaplamak.
N
uc ( y )
i 1
f
xi
2
u 2 ( xi )
Genişletilmiş belirsizliğin değerini hesaplamak.
U
kuc ( y )
Ölçüm sonuçlarını, ölçülen değeri ve hesaplanan belirsizlik değeri kullanarak aşağıda
verilen şekilde raporlamak.
y= Ölçümlerin Ortalaması ± Genişletilmiş Belirsizlik
19
11. ÖRNEKLER
Örnek 1. Sayısal Göstergeli Termometre Kalibrasyonu
Sayısal göstergeli termometre kalibrasyonu için belirsizlik hesaplama örneğini inceleyelim.
Ölçümler 29.9°C referans sıcaklık değerinde, su banyosu kullanılarak gerçekleştirilmektedir.
Sayısal termometrenin okuduğu sıcaklık değerlerine karşılık, referans termometrenin okuduğu
sıcaklık değerleri karşılaştırmalı ölçümler şeklinde alınmaktadır.
İlk buz noktası ölçümü: 0.3°C
Son buz noktası ölçümü: 0.2°C
Gerçekleştirilen ölçüm sonuçları Tablo da verilmiştir.
Referans Termometre
/ °C
29.927
29.934
29.935
29.941
29.934
29.934 29.9
0.0049 0.005
Ölçüm No
1
2
3
4
5
Ortalama:
Std sapma:
Test Termometre
/ °C
30.0
29.7
30.1
29.9
29.4
29.82 29.8
0.277
Sayısal Termometrenin kalibrasyonundaki olası belirsizlik bileşenleri aşağıda sıralanmıştır:
Tekrarlanabilirlik
Referans Termometrenin belirsizlik değeri
Sıcaklık Kaynağının (sıvı banyo) belirsizlik değeri
Kalibre edilen sayısal termometrenin çözünülürlüğü
Histerisis den kaynaklanan belirsizlik
Kullanılan buz noktasının belirsizliği
Tekrarlanabilirlik
Tekrarlanabilirlik olarak adlandırdığımız belirsizlik bileşeninin hesaplanması için önce
deneysel standart sapma, daha sonra ortalamanın sapması hesaplanmaktadır.
Deneysel standart sapma
s ti
1
n 1i
n
(t i
t) 2
1
1
5
5
(t i
t) 2
0.277 C
i 1
Ortalamanın sapması da
st
s ti
s ti
n
5
0.277 C
2.24
0.124 C
olarak bulunur.
20
Referans Termometre belirsizliği
Referans Termometrenin 29.9 °C değerindeki belirsizlik değeri termometrenin kalibrasyon
sertifikasında %95 güvenilirlik düzeyinde 0.001 °C olarak beyan edilmiştir. Belirsizlik
bütçesinde 29.9 °C ‘de belirsizliğin normal dağılıma sahip olduğu ve k=2 faktörü ile
hesaplandığı dikkate alınmalıdır. Bu durumda kalibratör belirsizliğinin toplam belirsizlikte
katkısı
u ref
u ser
k
0,001 C
2.0
0.0005 C
olacaktır.
Sıcaklık Kaynak belirsizliği
Sıcaklık Kaynağının (sıvı banyo) 29.9°C’de Referans Termometrelerle zaman içerisindeki
hesaplanmış sıcaklık dağılım değişiminin (kararlılığı) belirsizlik değeri; 0.010°C
u kaynak
u ser
k
0,01 C
3
0.0057 C
Kalibre edilen termometrenin çözünürlüğü
Kalibre edilen termometre dijitli okuma cihazı olduğu için Ölçüm sonuçları XX.X °C
formatında elde edilmektedir. Bu durumda okunabilir en küçük sıcaklık değeri 0.1°C ’dir. Bu
değerin yarısı dikdörtgen dağılımın değişim aralığı olarak dikkate alındığında ve
çözünürlükten kaynaklanan belirsizlik bileşeni Test termometresinin çözünürlüğü;
u çöz
a
0.05
1.73
3
0.0289 C
olarak bulunmaktadır.
Histerisiz belirsizliği
Histerisis(ilk-son) buz noktaları arasındaki fark: 0.1°C;
u histerisis
a
3
0.1
1.73
0.057 C
0.01
1.73
0.0057 C
Buz Noktası belirsizliği
Kullanılan buz noktasının belirsizliği: 0.01°C
u buznokta
a
3
21
Bileşik belirsizlik
Yukarıdaki belirsizlik bileşenlerin değerleri kullanılarak kalibrasyonun bileşik belirsizliği
u c (t )
2
u ref
2
u kaynak
2
u çöz
2
2
u histerisis
ubuznokta
st2
0.15 C
olarak bulunmaktadır.
Genişletilmiş belirsizlik
Bileşik belirsizlik değeri kapsam fatörü k=2.0 ile çarpılarak kalibrasyonun genişletilmiş
belirsizliği bulunur.
U (t )
k u c (t )
2.0 0.15
0.3 C
Ölçüm sonucunda raporlanacak sonuç
Ölçümlerin ortalaması 29.8 °C ve belirsizlik 0.3°C’dir.
Kalibrasyondaki belirsizlik “Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM,
ISO 1993)” dokümanına uygun olarak hesaplanmıştır. Kalibrasyonun toplam belirsizliği
genişletilmiş belirsizlik olup, bileşik belirsizlikten kapsam faktörü k=2.0 kullanılarak elde
edilmiştir. Güvenilirlik düzeyi % 95’tir.
22
Örnek 2. Multimetre Kalibrasyonu
6½ dijitlik bir multimetrenin 10V DC gerilim değerinde kalibrasyonu için belirsizlik
hesaplama örneğini inceleyelim. Ölçümler tek bir noktada (10 V) kalibratör kullanılarak
gerçekleştirilmektedir. Kalibratörden multimetreye uygulanan referans gerilimin değeri
multimetreden okunarak kaydedilmektedir. Ölçülen değer üzerinde herhangi bir düzeltme
yapılmamaktadır.
Gerçekleştirilen ölçüm sonuçları Tablo 1’de verilmiştir.
Ölçüm No
1
2
3
4
5
Ölçülen DC Gerilim
(V)
10.00001
10.00003
10.00002
10.00001
10.00002
ORTALAMA
Ölçüm No
6
7
8
9
10
Ölçülen DC Gerilim
(V)
10.00003
10.00003
10.00002
10.00002
10.00001
10.000020
Multimetrenin kalibrasyonundaki olası belirsizlik bileşenleri aşağıda sıralanmıştır:
Kalibratörün belirsizliği
Kalibratör değerinin kayması
Kalibre edilen multimetrenin çözünülürlüğü
Tekrarlanabilirlik
Kablo ve bağlantılardan kaynaklanan hatalar
Kalibratörün belirsizliği
Kalibratörün 10 V değerindeki belirsizlik değeri kalibratörün kalibrasyon sertifikasında %95
güvenilirlik düzeyinde 20 µV olarak beyan edilmiştir. Belirsizlik bütçesinde 50 µV’luk
belirsizliğin normal dağılıma sahip olduğu ve k=2 faktörü ile hesaplandığı dikkate alınmalıdır.
Bu durumda kalibratör belirsizliğinin toplam belirsizlikte katkısı
u kal
u ser
k
20 µV
2.0
10.0 µV
olacaktır.
Kalibratör değerinin kayması
Kalibratörün son kalibrasyonundan beri muhtemel kayma değeri ya üretici firma tarafından
beyan edilmekte veya kalibrasyon laboratuvarı cihazın perfomansını sık aralıklarla kontrol
ederek belirlenmektedir. Laboratuvar kayma değerini daha önceki ölçümlerin sonuçlarına
dayanarak 0.5 µV olarak hesaplamıştır. Bu kayma dikdörtgen dağılımının değişim aralığı
olarak kabul edilecek ve kaymadan dolayı belirsizliğinin toplam belirsizlikte katkısı
a
0.5 µV
u kay
0.29 µV
1.73
3
23
şeklinde hesaplanacaktır.
Kalibre edilen multimetrenin çözünürlüğü
Kalibre edilen multimetrenin 61/2 dijitli multimetre olduğu için Ölçüm sonuçları XX.XXXXX
V formatında elde edilmektedir. Bu durumda okunabilir en küçük gerilim değeri 10 µV’dur.
Bu değerin yarısı dikdörtgen dağılımın değişim aralığı olarak dikkate alındığında ve
çözünürlükten kaynaklanan belirsizlik bileşeni
u çöz
a
3
5 µV
1.73
2.89 µV
olarak bulunmaktadır.
Tekrarlanabilirlik
Tekrarlanabilirlik olarak adlandırdığımız belirsizlik bileşeninin hesaplanması için önce
deneysel standart sapma, daha sonra ortalamanın sapması hesaplanmaktadır.
Deneysel standart sapma
1
s Vi
n 1
n
( Vi
1
9
V) 2
i 1
10
(Vi
V) 2
8.16 µV
i 1
Ortalamanın sapması da
sV
s Vi
s Vi
n
10
8.16 µV
3.16
2.58 µV
olarak bulunur.
Kablo ve bağlantılardan kaynaklanan hatalar
Kablo ve bağlantılardan kaynaklanan hataların belirsizliğe etkisi düşük olduğundan belirsizlik
bütçesine katılmamıştır.
Bileşik belirsizlik
Yukarıdaki belirsizlik bileşenlerin değerleri kullanılarak kalibrasyonun bileşik belirsizliği
u c (V)
u 2kal
u 2kay
2
u çöz
s2
V
10.73 µV
olarak bulunmaktadır.
Genişletilmiş belirsizlik
Bileşik belirsizlik değeri kapsam fatörü k=2.0 ile çarpılarak kalibrasyonun genişletilmiş
belirsizliği bulunur.
24
U( V )
k u c ( V)
2.0 10.73 µV
21.46 µV
Genişletilmiş belirsizlik değeri bağıl olarak ifade edilecek olursa
U(V)
21.46 µV
10.00002 V
2.15
µV
veya ppm
V
Yukarıda açıklanan tüm bilgi ve veriler Tablo 2’de özetlenmiştir.
Tablo 2. Multimetrenin kalibratör ile DCV kalibrasyonu için belirsizlik bütçesi
Dağılım
ci
k
Bileşenin
değeri
( V)
u(xi)
Belirsizlik Bileşeni
Veri
(µV)
ukal
Kalibratörün 10V belirsizliği
20
Normal
1
2.00
10.0
0.5
Dikdörtgen
1
1.73
0.29
5
Dikdörtgen
1
1.73
2.89
ukay
uçöz
Kalibratörün değerinin
kayması
Multimetrenin Çözünürlük
Hatası
sV
Tekrarlanabilirlik
2.58
Normal
1
1.00
2.58
u(V)
Bileşik Belirsizlik
-
Normal
-
1.00
10.73
U(V) Genişletilmiş Belirsizlik
-
Normal
-
2.00
21.46
Ölçüm sonucunda raporlanacak sonuç
Ölçümlerin ortalaması 10.00002 V ve belirsizlik 2 µV/V’dur.
Kalibrasyondaki belirsizlik “Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM,
ISO 1993)” dokümanına uygun olarak hesaplanmıştır. Kalibrasyonun toplam belirsizliği
genişletilmiş belirsizlik olup, bileşik belirsizlikten kapsam faktörü k=2.0 kullanılarak elde
edilmiştir. Güvenilirlik düzeyi % 95’tir.
25
Örnek 3. 10 kg’lık Ağırlık Kalibrasyonu
Nominal ağırlığı 10 kg olan OIML M1 sınıf kütlenin nominal 10 kg’lık ağırlıklı OIML F2
sınıf referans kütle ile kütle komparatörü kullanılarak karşılaştırılmalı kalibrasyonun
belirsizliğinin hesaplayalım.
Bilinmeyen kütlenin ağırlığı aşağıdaki formülle belirlenmektedir.
mx
ms
mD
m
mc
B
Bu formülde,
: standart kütlenin ağırlığı
: standart kütlenin değerinde son kalibrasyon tarihinden itibaren kayma
: standart ile bilinmeyen kütle arasında komparatörle ölçülen fark
: eksantrik ve manyetik etkiden kaynaklanan düzeltme
: havanın kaldırma kuvveti düzeltmesi
ms
mD
m
mc
B
Standart ve bilinmeyen kütle arasındaki fark 3 farklı ölçüm (gözlem) yapılarak yerine koyma
yöntemi ile belirlenmiştir. Yerine koyma yöntemi şematik olarak ABBA ABBA ABBA olarak
gösterilebilir.
Ölçüm
No
1.
2.
3.
Kütle
Ölçülen Değer
(g)
standart
+ 0.010
bilinmeyen
+ 0.020
bilinmeyen
+ 0.025
standart
+ 0.015
standart
+ 0.025
bilinmeyen
+ 0.050
bilinmeyen
+ 0.055
standart
+ 0.020
standart
+ 0.025
bilinmeyen
+ 0.045
bilinmeyen
+ 0.040
standart
+ 0.020
ORTALAMA
Fark Değeri
(g)
+ 0.01
+ 0.03
+ 0.02
+ 0.02
Referans Kütlenin değeri ms, kalibrasyon sertifikasında 10 000.005 g olarak beyan edilmiş
olup, genişletilmiş belirsizlik değeri de 45 mg (kapsam faktörü k=2 ) olarak verilmiştir.
Kalibrasyon sırasında herhangi bir düzeltme yapılmadan, kalibre edilen kütlenin ağırlık değeri
mx
ms
m
26
Standardın Kayma Değeri Düzeltmesi ( mD ) : Referans standardın kayma değeri önceki
kalibrasyonlarından elde edilen 15mg
Komparatör Düzeltmesi ( m , mc ) :
Havanın Kaldırma Kuvvet Düzeltmesi ( B ) : Havanın kaldırma kuvvet etkisi için elde edilen
düzeltme yok, elde edilen kayma miktarı 1 x 10-6 limitleri içindedir.
Düzeltme :
Aritmetik Ortalama :
Tüm ölçümlerin standart Sapması:
= 0,020 g
=25 mg
25mg
u ( m) = s ( m) =
=14,4 mg
3
m
sp ( m )
Standart Belirsizlik :
Belirsizlik Bütçesi:
Değer
Xİ
ms
mD
m
mc
B
mx
Okunan
Değer
xi
10 000,005 g
Standart
Belirsizlik
u(xi)
22,5 mg
İstatistiksel
Dağılım
0,000 g
normal
Hassaasiyet
Katsayısı
ci
1,0
Belirsizlik
Bileşeni
ui(y)
22,5 mg
8,95 mg
dikdörtgen
1,0
8,95 mg
0,020 g
0,000 g
14,4 mg
5,77 mg
normal
dikdörtgen
1,0
1,0
14,4 mg
5,77 mg
0,000 g
10 000,025 g
5,77 mg
dikdörtgen
1,0
5,77 mg
29,3 mg
Genişletilmiş Belirsizlik
U
k u (m x ) 2 x 29,3 mg
59 mg
Sonuç Raporu
10 kg nominal ağırlıktaki kütle 10,000 025 kg 59 mg olarak ölçülmüştür.
Ölçüm raporunda verilen genişletilmiş belirsizlik; ölçüm için hesaplanan standart belirsizliğin
düzeltme faktörü k= 2 ile çarpımı olarak verilmiştir. Verilen sonuçlar normal dağılım içinde,
yaklaşık %95’lik bir alanda yer almaktadır.
27
KAYNAKLAR
[1].
D.Yücel, Ölçüm Belirsizliği ve Laboratuvar, Referans, yıl 1, sayı 2, 2003, s. 30 – 32
[2].
Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, first edition, 1993, corrected
and reprinted 1995, International Organization for Standardization, Geneva,
Switzerland
[3].
International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology, second edition,
1993, International Organization for Standardization, Geneva, Switzerland
[4].
International Standard ISO 3534-1, Statistics - Vocabulary and symbols - Part I:
Probability and General Statistical Terms, first edition, 1993, International
Organization for Standardization, Geneva, Switzerland
[5].
C.Elster, A.Link, Analysis of Key Comparison Data: Assessment of Current Methods
for Determining a Reference Value, Meas. Science and Tech., vol.12, no.9, 2001,
pp.1431-1438
[6].
EA-4/02 Expression of the Uncertainty of Measurement in Calibration, European
Accreditation, December 1999
[7].
R.P.Benedict, Fundamentals of Temperature, Pressure and Flow Measurements, John
Wiley & Sons Inc.,1984
[8].
R.P.Benedict, Uncertainty in Measurement, Electro-Technol., Oct.1964, p.51
[9].
A.J.Duncan, Quality Control and Industrial Statistics, 4th edition, Irwin Il, 1974
[10].
E.Sadıkhov, R.Kangı, S.Uğur, Ölçüm Belirsizliği, UME 95-014
[11].
T.G.Beckwith, R.D.Marangoni, J.H.Lienhard, Mechanical Measurements, 5th edition,
1993
[12].
C.F.Dietrich Uncertainty, Calibration and Probability, Adam Hilger, 1991
[13].
B.N.Taylor and C.E.Kuyatt, Guidelines for Evaluating and Expressing the Uncertainty
of NIST Measurement Results, NIST Tech. Note 1297, 1993
28
Serbestlik
derecesi =n-1
Yüzde p (Güvenilirlik düzeyi) %
68.27
90
95
95.45
99
99.73
1
1.84
6.31
12.71
13.97
63.66
235.80
2
1.32
2.92
4.30
4.53
9.92
19.21
3
1.20
2.35
3.18
3.31
5.84
9.22
4
1.14
2.13
2.78
2.87
4.60
6.62
5
1.11
2.02
2.57
2.65
4.03
5.51
6
1.09
1.94
2.45
2.52
3.71
4.90
7
1.08
1.89
2.36
2.43
3.50
4.53
8
1.07
1.86
2.31
2.37
3.36
4.28
9
1.06
1.83
2.26
2.32
3.25
4.09
10
1.05
1.81
2.23
2.28
3.17
3.96
11
1.05
1.80
2.20
2.25
3.11
3.85
12
1.04
1.78
2.18
2.23
3.05
3.76
13
1.04
1.77
2.16
2.21
3.01
3.69
14
1.04
1.76
2.14
2.20
2.98
3.64
15
1.03
1.75
2.13
2.18
2.95
3.59
16
1.03
1.75
2.12
2.17
2.92
3.54
17
1.03
1.74
2.11
2.16
2.90
3.51
18
1.03
1.73
2.10
2.15
2.88
3.48
19
1.03
1.73
2.09
2.14
2.86
3.45
20
1.03
1.72
2.09
2.13
2.85
3.42
25
1.02
1.71
2.06
2.11
2.79
3.33
30
1.02
1.70
2.04
2.09
2.75
3.27
35
1.01
1.70
2.03
2.07
2.72
3.23
40
1.01
1.68
2.02
2.06
2.70
3.20
45
1.01
1.68
2.01
2.06
2.69
3.18
50
1.01
1.68
2.01
2.05
2.68
3.16
100
1.005
1.660
1.984
2.025
2.626
3.077
1.000
1.645
1.960
2.000
2.576
3.000
29