1 (2015-2016 BAHAR YARIYILI) VİZE SINAVI (24.11.2015)

FİNANSAL EKONOMETRİ BÖLÜMÜ – A GRUBU
İSTATİSTİK – 1 (2015-2016 BAHAR YARIYILI) VİZE SINAVI (24.11.2015)
Soru 1: ABD’de Chicago şehrinde yapılan bir çalışmada, 586 adet itfaiye eri arasından şeflik
sınavına giren Amerikalılar (562 kişi) ve diğer ırklar (24 kişi) arasındaki dağılım aşağıdaki
gibidir:
Başarılı
Başarısız
Diğer Irklar
10
14
Amerikalılar
417
145
a – Rastgele seçilen bir itfaiye erinin sınavda başarılı olan biri olma olasılığı nedir? (10 Puan)
b - Aşağıdaki iddiada geçen her bir olay için olasılıkları bulunuz, yorumlayınız ve iddia için
fikrinizi belirtiniz (25 puan):
İddia: Amerikalı olan birinin başarılı olma olasılığı, diğer ırklardan birinin başarılı olma
olasılığına eşit değildir. Dolayısıyla sınav sonuçları değerlendirilirken Amerikalılar lehine bir
ayrımcılık yapılmıştır.
Cevap 1 – a:
A olayı: Sınavda başarılı olma
Sınava toplamda 586 kişi katılmıştır. Sınavda başarılı olanların sayısı ise 427’dir.
Başarılı
Başarısız
Diğer Irklar
10
14
Amerikalılar
417
145
Toplam: 427
Rassal olarak seçilen birinin “başarılı” olma olasılığı % 72,8’dir:
𝑃 𝐴 =
427
= 0,728
586
Cevap 1 – b:
B olayı: Amerikalı olma
C Olayı: Diğer ırklardan olma
Sınava katılan toplam Amerikalı sayısı 562’dir.
Başarılı
Başarısız
Diğer Irklar
10
14
Amerikalılar
417
145
Toplam: 562
Rassal olarak seçilen birinin Amerikalı olma olasılığı % 95.9’dur.
𝑃 𝐵 =
562
= 0,959
586
1 Amerikalılar arasından seçilen birinin başarılı olma olasılığı ile ilgilenilmektedir. Bu sorudaki
koşul, Amerikalı olmaktır. Olasılığı ile ilgilenilen olay ise, başarılı olmaktır.
𝑃 𝐴𝐵 =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
Rassal olarak seçilen birinin aynı anda hem Amerikalı hem de başarılı biri olma olasılığı %
71.1’dir.
Başarılı
Başarısız
Diğer Irklar
10
14
Amerikalılar
417
145
417
= 0,711
586
𝑃 𝐴∩𝐵
0,711
𝑃 𝐴𝐵 =
=
= 0,741
𝑃 𝐵
0,959
𝑃 𝐴∩𝐵 =
Amerikalılar arasından rassal olarak seçilen birinin başarılı olma olasılığı % 74.1’dir.
İddia edilen, diğer ırklara mensup olanların başarı olasılıklarının da Amerikalılar ile
aynı olduğudur.
Sınava girenler arasından rassal olarak seçilen birinin diğer ırklara mensup olma
olasılığı % 4’tür.
Başarılı
Başarısız
Diğer Irklar
10
14
Amerikalılar
417
145
𝑃 𝐶 =
Toplam: 24
24
= 0,04
586
Diğer ırklara mensup olanlar arasından rassal olarak seçilen birinin başarılı olma olasılığı şu
şekilde bulunur:
𝑃 𝐴𝐶 =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐶)
𝑃(𝐶)
Burada koşul, diğer ırklara mensup olmaktır. Aranan olasılık ise başarılı olmaktır.
Rassal olarak seçilen birinin aynı anda hem diğer ırklara dâhil olma hem de başarılı olma
olasılığı % 1.7’dir.
Başarılı
Başarısız
Diğer Irklar
10
14
Amerikalılar
417
145
2 10
= 0,017
586
𝑃 𝐴∩𝐶
0,017
𝑃 𝐴𝐶 =
=
= 0,425
𝑃 𝐶
0,040
𝑃 𝐴∩𝐶 =
Diğer ırklara mensup olanlar arasından rassal olarak seçilen birinin sınavdan başarılı olma
olasılığı % 42.5’tir.
Sonuç: Elde edilen koşullu olasılık değerlerine bakılarak, Amerikalı olan birinin sınavdan
başarılı olma olasılığı ile diğer ırklara mensup olan birinin sınavdan başarılı olma olasılığının
aynı olmadığı görülmüştür. Bu değerlere dayanılarak Amerikalılar lehine bir ayrımcılığın
yapıldığı söylenebilir.
Soru 2: Filtreli ve filtresiz sigara türlerinden rastgele seçilen 10’ar adet sigaranın içerdiği
nikotin miktarı aşağıda verilmiştir. Aşağıdaki iki iddiayı ortalama ve standart sapma
yardımıyla değerlendiriniz ve kendi fikrinizi bu sonuçlara dayandırarak belirtiniz:
İddia 1: Filtreli sigaralar daha az nikotin içermektedir (15 puan).
İddia 2: Hangi marka olursa olsun şayet bir sigaranın filtresi varsa içerdiği nikotin miktarı,
filtresiz sigara ile karşılaştırıldığında, çok değişkenlik göstermez (15 puan).
Filtreli
Filtresiz
sigara
sigara
0,4
1,1
- 0,53
0,2809
- 0,15
0,0225
1,0
1,7
0,07
0,0049
0,45
0,2025
1,2
1,4
0,27
0,0729
0,15
0,0225
0,8
1,1
- 0,13
0,0169
- 0,15
0,0225
0,8
1,1
- 0,13
0,0169
- 0,15
0,0225
1,0
1,4
0,07
0,0049
0,15
0,0225
1,1
1,1
0,17
0,0289
- 0,15
0,0225
1,1
1,4
0,17
0,0289
0,15
0,0225
1,1
1,0
0,17
0,0289
- 0,25
0,0625
0,8
1,2
- 0,13
0,0169
- 0,05
0,0025
𝑥 = 9,3
Filtreli
Filtreli
Filtresiz
(𝑥 − 𝑥)!
(𝑥 − 𝑥)
(𝑥 − 𝑥)! = 0,425
9,3
= 0,93
𝑛
10
𝑥
12,5
=
=
= 1,25
𝑛
10
𝑥!"#$%& =
𝑥!"#$%&'"(
(𝑥 − 𝑥)!
(𝑥 − 𝑥)
(𝑥 − 𝑥)! = 0,501
𝑥 = 12,5
Filtresiz
𝑥
=
İddia 1: Ortalama olarak filtreli sigaraların daha az nikotin içerdikleri iddiası doğrudur.
3 (𝑥 − 𝑥)2
𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑡 𝑠𝑎𝑝𝑚𝑎!"#$%&#" =
𝑛−1
(𝑥 − 𝑥)2
𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑡 𝑠𝑎𝑝𝑚𝑎!"#$%&'"( =
𝑛−1
=
0,501
=
9
0,05566 = 0,2359
=
0,425
=
9
0,04722 = 0,2173
İddia 2: Filtreli sigaralardaki nikotin değişiminin daha az olduğu doğru değildir. Zira filtreli
sigaraların standart sapma değeri, filtresiz sigaraların standart sapma değerinden daha
yüksektir. Diğer bir ifadeyle, filtreli sigaralarda nikotin miktarı ortalama olarak düşük olmakla
birlikte, sigaradan sigaraya değişkenlik göstermektedir.
Soru 3: Bir havayolu şirketi uçuş için bilet alan yolcularının % 90 uçuşa geldiklerini
bilmektedir. 22 koltuğu olan bir uçak için 24 bilet satışı yapılmıştır. Her bir yolcunun uçuşa
gelme kararını bağımsız olarak verdiği kabul edilmiştir.
a – Bu uçuşa 24 yolcu gelme olasılığı nedir? (10 puan)
b – Bu uçuşa en fazla 22 yolcu gelme olasılığı nedir? (25 puan)?
Cevap 3 – a:
X rassal değişkeni: Uçuşa gelme
𝑛 = 24
𝑝 = 0.90
İki terimli bir değişken olarak değerlendirilmelidir. Zira uçuşa katılma veya katılmama kararı
verilmektedir (iki sonuçlu). Her bir yolcunun birbirinden bağımsız karar verdiği ve katılma
olasılığının da her bir yolcu için sabit olduğu kabul edilmektedir.
𝑃 𝑋 = 24 =?
𝑃 𝑋 = 24 =
𝑃 𝑋 = 24 =
𝑛!
𝑝 ! (1 − 𝑝)!!!
𝑥! 𝑛 − 𝑥 !
24!
0,9
24! 24 − 24 !
!"
0,1
!
= 0,079
Bu uçuşa 24 yolcu katılma olasılığı % 7.9’dur.
Cevap 3 – b: Soruda “en fazla 22 yolcu katılma” dediğine göre, 0 ile 22 yolcu katılma
olasılıklarının toplamı sorulmaktadır. Bu olasılığı bulabilmek için, 23 ve 24 yolcu katılma
olasılıkları ayrı ayrı hesaplanır ve “1” değerinden çıkartılır. Çünkü X rassal değişkeninin
bütün değerlerine ait olasılıkların toplamı “1” olacaktır:
𝑃 𝑋 ≤ 22 = 1 − [𝑃 𝑋 = 23 + 𝑃(𝑋 = 24)]
𝑃 𝑋 = 23 =
24!
0,9
23! 24 − 23 !
!"
0,1
!
= 0,2127
𝑃 𝑋 = 24 = 0,079
𝑃 𝑋 ≤ 22 = 1 − 0,2127 + 0,079
Bu uçuşa en fazla 22 yolcu katılma olasılığı % 70’tir.
4 = 0,7083
FİNANSAL EKONOMETRİ BÖLÜMÜ – B GRUBU
İSTATİSTİK – 1 (2015-2016 BAHAR YARIYILI) VİZE SINAVI (24.11.2015)
Soru 1: Yapılan bir araştırmada motosiklet kullanımı esnasında trafik kazası geçiren 3562
kişinin bilgileri kullanılmıştır. Trafik kazası esnasında kask (helmet) takan motosiklet
sürücüleri ile kask takmayan motosiklet sürücülerinin baş bölgesinin yaralanma istatistikleri
aşağıdaki gibi çıkmıştır:
Yaralanma var
Yaralanma yok
Kask var
96
656
Kask yok
480
2330
a – Rastgele seçilen bir kişinin kask takmayan biri olma olasılığı nedir? (10 Puan)
b - Aşağıdaki iddiada geçen her bir olay için olasılıkları bulunuz, yorumlayınız ve iddia için
fikrinizi belirtiniz (25 puan):
İddia: Kask takan birinin yaralanma olasılığı ile kask takmayan birinin yaralanma olasılığı
aynıdır. Dolayısıyla, motosiklet sürerken kask takmak gerekli değildir.
Cevap 1 – a:
A olayı: Kask takmamak
3562 kişiye ait bilgiler bulunmaktadır. Kask takmayanların sayısı 2810’dur.
Yaralanma var
Yaralanma yok
Kask var
96
656
Kask yok
480
2330
Toplam=2810
Rassal olarak seçilen birinin “kask takmayan” biri olma olasılığı % 78,8’dir:
𝑃 𝐴 =
2810
= 0,788
3562
Cevap 1 – b:
B olayı: Kask takmak
C Olayı: Yaralanma var
Kask takan toplam kişi sayısı 752’dir.
Yaralanma var
Yaralanma yok
Kask var
96
656
Kask yok
480
2330
Rassal olarak seçilen birinin kask takma olasılığı % 21.1’dir.
𝑃 𝐵 =
562
= 0,211
3562
5 Toplam=752
Kask takan ve kask takmayan kişilerin yaralanma olasılıkları ile ilgilenilmektedir. Bu
sorudaki koşullar, kask takmak ve kask takmamaktır. Olasılığı ile ilgilenilen olay ise, kazada
yaralanmaktır.
Öncelikle kask takanlar arasından rassal olarak seçilen birinin kaza yapma olasılığını bulalım:
𝑃 𝐶𝐵 =
𝑃(𝐶 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
Rassal olarak seçilen birinin aynı anda hem kask takma hem de yaralanma olasılığı %
2,69’dur.
Yaralanma var
Yaralanma yok
Kask var
96
656
Kask yok
480
2330
96
= 0,0269
3562
𝑃 𝐶∩𝐵
0,0269
𝑃 𝐶𝐵 =
=
= 0,127
𝑃 𝐵
0,211
𝑃 𝐶∩𝐵 =
Kask takanlar arasından rassal olarak seçilen birinin yaptığı kaza sonucunda yaralanma
olasılığı % 12.7’dir.
İddia edilen, kask takmayanların da kaza sonucu yaralanma olasılıklarının aynı
olduğudur.
𝑃 𝐶𝐴 =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐶)
𝑃(𝐴)
Aynı anda hem kask takmayan hem de kaza sonucu yaralanmaya maruz kalan kişi
sayısı 480’dir. Rassal olarak seçilen birinin hem kask takmama hem de yaralanma olasılığı
13.4’tür.
Yaralanma var
Yaralanma yok
Kask var
96
656
Kask yok
480
2330
𝑃 𝐴∩𝐶 =
480
= 0,134
3562
Kask takmamak koşuluyla kaza yapan birinin yaralanma olasılığı %1’dir.
𝑃 𝐶𝐴 =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) 0,134
=
= 0,17
𝑃(𝐴)
0,788
Sonuç: Kask takmayanların yaralanma olasılığı, kask takanlara göre daha yüksektir. Bu
durumda kask takmak, yaralanma riskine daha az maruz kalmak demektir. İddia edildiği gibi,
kask takmak ile kask takmamak sonucun yaralanma riski aynı değildir.
6 Soru 2: İki farklı ilaç kullananların iyileşme süreleri hakkında fikir sahibi olabilmek için,
10’ar hastaya tedavi uygulanmış ve iyileşme süreleri (gün olarak) aşağıdaki gibi elde
edilmiştir. Verilen bilgiler ışığında aşağıdaki iddiaları ortalama ve standart sapma değerlerini
kullanarak değerlendiriniz ve kendi görüşünüzü ifade ediniz:
İddia 1: Culton marka ilaçlar, insanları daha hızlı iyileştirmektedir (15 puan).
İddia 2: Flexi marka ilaçların iyileştirme süreleri daha istikrarlıdır (15 puan).
Culton
Flexi
Culton
Culton
Flexi
(𝑥 − 𝑥)!
(𝑥 − 𝑥)
Flexi
(𝑥 − 𝑥)!
(𝑥 − 𝑥)
11
14
11 – 14,5 = - 3,5
12,25
17
15
17 – 14,5 = 2,5
6,25
15 – 12,9 = 2,1
4,41
9
11
9 – 14,5 = - 5,5
30,25
11 – 12,9 = - 1,9
3,61
18
13
18 – 14,5 = 3,5
12,25
13 – 12,9 = 0,1
0,01
15
12
15 – 14,5 = 0,5
0,25
12 – 12,9 = - 0,9
0,81
21
9
21 – 14,5 = 6,5
39,06
9 – 12,9 = - 3,9
15,21
11
14
11 – 14,5 = - 3,5
12,25
14 – 12,9 = 1,1
1,21
16
16
16 – 14,5 = 1,5
2,25
16 – 12,9 = 3,1
9,61
18
14
18 – 14,5 = 3,5
12,25
14 – 12,9 = 1,1
1,21
9
11
9 – 14,5 = - 5,5
30,25
11 – 12,9 = - 1,9
3,61
𝑥 = 145
14 – 12,9 = 1,1
1,21
(𝑥 − 𝑥)! = 157,3
𝑥 = 129
145
= 14.5
𝑛
10
𝑥
129
=
=
= 12.9
𝑛
10
𝑥!"#$%& =
𝑥!"#$%
(𝑥 − 𝑥)! = 40,9
𝑥
=
İddia 1: Culton ilaçlarının insanları daha kısa sürede iyileştirdiği iddiası, ortalamalar dikkate
alındığında, doğru değildir.
𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑡 𝑠𝑎𝑝𝑚𝑎!"#$%& =
𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑡 𝑠𝑎𝑝𝑚𝑎!"#$% =
(𝑥 − 𝑥)2
𝑛−1
(𝑥 − 𝑥)2
𝑛−1
=
157,3
=
9
14,47 = 4,18
=
40,9
=
9
4,54 = 2,13
İddia 2: Flexi marka ilaçların iyileştirme sürelerindeki değişkenlik daha düşüktür. Bu verilere
dayanılarak flexi marka ilaçların iyileştirme sürelerinde bir istikrar vardır denilebilir.
7 Soru 3: Bir firmada üretilen ürünlerin % 5’inin kusurlu olduğu bilinmektedir. Birbirinden
bağımsız oldukları bilinen 6 parça ürün incelenmek üzere alınmıştır.
a – Bu parçalardan hiçbirinin kusurlu olmama olasılığı nedir? (10 puan)
b – Bu parçalardan en az 2 kusurlu parça çıkma olasılığı nedir (25 puan)?
Cevap 3 – a:
X rassal değişkeni: Kusurlu ürünler
𝑛=6
𝑝 = 0.05
İki terimli bir değişken olarak değerlendirilmelidir. Zira üretilen ürünün kusurlu olması veya
kusurlu olmaması ile ilgilenilmektedir (iki sonuçlu). Her bir üretilen ürünün birbirinden
bağımsız olduğu ve ürünler için kusurlu olma olasılığının sabit olduğu kabul edilmelidir.
𝑃 𝑋 = 0 =?
𝑃 𝑋=0 =
𝑃 𝑋=0 =
𝑛!
𝑝 ! (1 − 𝑝)!!!
𝑥! 𝑛 − 𝑥 !
6!
0,05
0! 6 − 0 !
!
0,95
!
= 0,7350
Üretilen 6 parçanın tamamının kusursuz olma olasılığı % 73.5’tir.
Cevap 3 – b: Soruda “en az 2 kusurlu parça” denildiğine göre, 2 ile 6 dahil olmak üzere, bu
aralıktaki tüm kusurlu parça ile karşılaşma olasılıklarının toplamı sorulmaktadır. Bu olasılığı
bulabilmek için, “0” ve “1” kusurlu parça ile karşılaşma olasılıkları ayrı ayrı hesaplanır ve “1”
değerinden çıkartılır. Çünkü X rassal değişkeninin bütün değerlerine ait olasılıkların toplamı
“1” olacaktır:
𝑃 𝑋 ≥ 2 = 1 − [𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃(𝑋 = 1)]
𝑃 𝑋=1 =
6!
0,05
1! 6 − 1 !
!
0,95
!
= 0,2321
𝑃 𝑋 = 0 = 0,7350
𝑃 𝑋 ≥ 2 = 1 − 0,7350 + 0,2321
= 0,0329
Rassal olarak seçilen 6 ürün içerisinden en az 2 kusurlu parça ile karşılaşma olasılığı %
3.29’dur.
8 FİNANSAL EKONOMETRİ BÖLÜMÜ – C GRUBU
İSTATİSTİK – 1 (2015-2016 BAHAR YARIYILI) VİZE SINAVI (24.11.2015)
Soru 1: Bir firma işe alım sınavına katılan 270 kişinin başarı durumlarını ilan etmiştir. Ayrıca
adayların medeni durumlarına dair bilgileri de paylaşmıştır:
Başarılı
Başarısız
Evli
78
52
Bekâr
54
86
a – Rastgele seçilen bir kişinin evli olma olasılığı nedir? (10 Puan)
b - Aşağıdaki iddiada geçen her bir olay için olasılıkları bulunuz, yorumlayınız ve iddia için
fikrinizi belirtiniz (25 puan):
İddia: Evli olan birinin başarılı olma olasılığı, bekâr olan birinin başarılı olma olasılığına eşit
değildir. Bu sınavda evli bireyler lehine ayrımcılık yapılmıştır.
Cevap 1 – a:
A olayı: Evli olma
Evli olan 130 kişi var.
Başarılı
Başarısız
Evli
78
52
Bekâr
54
86
Bu durumda rassal olarak seçilen birinin evli olma olasılığı % 48.1’dir.
𝑃 𝐴 =
78 + 52
= 0,481
270
Cevap 1 – b:
B olayı: Bekâr olma
Bekâr olan 140 kişi var.
Başarılı
Başarısız
Evli
78
52
Bekâr
54
86
Bu durumda rassal olarak seçilen birinin bekâr olma olasılığı % 51.8’dir.
𝑃 𝐵 =
78 + 52
= 0,518
270
İddiada medeni durumun başarılı olasılığını etkilediği vurgulanmaktadır.
Öncelikle evli olan bir kişinin başarılı olma olasılığını bulalım. Bu durumda ilgilenilen
olasılık “başarılı olma”, koşul ise “evli olma”dır:
9 C olayı: Başarılı olma
𝑃 𝐶𝐴 =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐶)
𝑃(𝐴)
Aynı anda hem evli olan hem de başarılı olan 78 kişi vardır.
Başarılı
Başarısız
Evli
78
52
Bekâr
54
86
Bu durumda rassal olarak seçilen birinin hem evli hem de başarılı olma olasılığı % 28.8’dir.
78
= 0,288
270
𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) 0,288
𝑃 𝐶𝐴 =
=
= 0,598
𝑃(𝐴)
0,481
𝑃 𝐴∩𝐶 =
Evli olanlar arasından rassal olarak seçilen birinin başarılı olma olasılığı % 59.8’dir.
Şimdi bekâr olanlar arasından rassal olarak seçilen birinin başarılı olma olasılığını
bulalım. Burada ilgilenilen olasılık “başarılı olma” ve koşul ise “bekâr olma”dır:
𝑃 𝐶𝐵 =
𝑃(𝐵 ∩ 𝐶)
𝑃(𝐵)
Aynı anda hem bekâr hem de başarılı olan 54 kişi vardır.
Başarılı
Başarısız
Evli
78
52
Bekâr
54
86
Rassal olarak seçilen birinin hem bekâr hem de başarılı olma olasılığı % 20’dir.
54
= 0,20
270
𝑃(𝐵 ∩ 𝐶)
0,20
𝑃 𝐶𝐵 =
=
= 0,386
𝑃(𝐵)
0,518
𝑃 𝐵∩𝐶 =
Bekârlar arasından rassal olarak seçilen birinin başarılı olma olasılığı % 38.6’dır.
Bu sonuçlar ışığında evli olanların başarılı olma olasılıkları daha yüksektir. Diğer bir ifadeyle,
evli olanlara için bir ayrımcılık söz konusu olabilir.
10 Soru 2: İki farklı 100 metre koşucusunun 10 farklı yarışta yapmış oldukları dereceler, saniye
olarak kaydedilmiştir. Verilen bilgiler ışığında aşağıdaki iddiaları ortalama ve standart sapma
değerlerini kullanarak değerlendiriniz ve kendi görüşünüzü ifade ediniz:
İddia 1: F. Lazer, C. Thunder’a göre daha hızlıdır (15 puan).
İddia 2: C. Thunder daha istikrarlı dereceler elde etmektedir (15 puan).
F. Lazer
C. Thunder Lazer
Lazer
(𝑥 − 𝑥)
Thunder
Thunder
(𝑥 − 𝑥)!
(𝑥 − 𝑥)
(𝑥 − 𝑥)!
11.0
10.2
11,0-10,45 = 0 ,55
(0,55)! = 0,3025
10,2-10,56 = -0 ,36
(0,36)! = 0,1296
10.3
11.2
10,3-10,45 = -0,15
(0,15)! = 0,0225
11,2-10,56 = 0,64
(0,64)! = 0,4096
9.8
11.0
9,8-10,45 = -0,65
(0,65)! = 0,4225
11,0-10,56 = 0,44
(0,44)! = 0,1936
9.7
9.1
9,7-10,45 = -0 ,75
(0,75)! = 0,5625
9,1-10,56 = -1 ,46
(1,46)! = 2,1316
10.9
12.0
10,9-10,45 = 0,45
(0,45)! = 0,2025
12,0-10,56 = 1,44
(1,44)! = 2,0736
10.7
9.9
10,7-10,45 = 0,25
(0,25)! = 0,0625
9,9-10,56 = -0,66
(0,66)! = 0,4356
11.7
10.6
11,7-10,45 = 1,25
(1,25)! = 1,5625
10,6-10,56 = 0,04
(0,04)! = 0,0016
10.8
9.7
10,8-10,45 = 0,35
(0,35)! = 0,1225
9,7-10, 56 = -0,86
(0,86)! = 0,7396
9.9
10.8
9,9-10,45 = -0,55
(0,55)! = 0,3025
10,8-10,56 = 0,24
(0,24)! = 0,0576
9.7
11.1
9,7-10,45 = -0 ,75
(0,75)! = 0,5625
11,1-10,56 = 0,54
(0,54)! = 0,2916
𝑥 = 104,5
(𝑥 − 𝑥)! = 4,125
𝑥 = 105,6
104,5
= 10,45
𝑛
10
𝑥
105,6
=
=
= 10,56
𝑛
10
𝑥!"#$% =
𝑥!!!"#$%
(𝑥 − 𝑥)! = 6,464
𝑥
=
İddia 1: Her ne kadar en iyi derece 9.1 ile Thunder’a aitse de, ortalama performanslar
dikkate alındığında, Lazer’ın daha hızlı olduğu görülmektedir.
𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑡 𝑠𝑎𝑝𝑚𝑎!"#$% =
𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑡 𝑠𝑎𝑝𝑚𝑎 !!!"#$% =
(𝑥 − 𝑥)2
𝑛−1
=
(𝑥 − 𝑥)2
𝑛−1
=
4,125
=
9
6,464
=
9
0,4583 = 0,6770
0,7182 = 0,8474
İddia 2: Lazer’ın derecelerindeki değişkenlik daha düşük olduğundan Lazer daha istikrarlı bir
performans göstermiştir denilebilir.
11 Soru 3: Gönüllülük esasına göre çalışılan bir işte öğrenciler çalıştırılmaktadır. Genelde
öğrencilerin % 70’i, iki hafta geçtikten sonra işi bırakmaktadır. Birbirinden bağımsız olarak 6
öğrenci işe alınmıştır.
a – İki hafta sonunda 1 öğrencinin işi bırakma olasılığı nedir? (10 puan)
b – İki hafta sonunda en fazla 4 öğrencinin işi bırakma olasılığı nedir (25 puan)?
Cevap 3 –a:
X rassal değişkeni: İşi bırakma
𝑛=6
𝑝 = 0,70
İki terimli bir değişken olarak değerlendirilmelidir. Zira işi bırakma veya bırakmama ile
ilgilenilmektedir (iki sonuçlu). Her bir kişinin birbirinden bağımsız olduğu ve işi bırakma
olasılığının sabit olduğu kabul edilmelidir.
𝑃 𝑋 = 1 =?
𝑃 𝑋=1 =
𝑃 𝑋=1 =
𝑛!
𝑝 ! (1 − 𝑝)!!!
𝑥! 𝑛 − 𝑥 !
6!
0,70
1! 6 − 1 !
!
0,30
!
= 0,01
İşe başlayan 6 kişiden 1 kişinin işi bırakma olasılığı % 1’dir.
Cevap 3 – b: Soruda “en fazla 4 öğrenci” denildiğine göre, 0 ile 4 dahil, bu aralıktaki tüm
kişilerin işi bırakma olasılıklarının toplamı sorulmaktadır. Bu olasılığı bulabilmek için, “5” ve
“6” kişinin işi bırakma olasılıkları ayrı ayrı hesaplanır ve “1” değerinden çıkartılır. Çünkü X
rassal değişkeninin bütün değerlerine ait olasılıkların toplamı “1” olacaktır:
𝑃 𝑋 ≤ 4 = 1 − [𝑃 𝑋 = 5 + 𝑃(𝑋 = 6)]
𝑃 𝑋=5 =
6!
0,70
5! 6 − 5 !
!
0,30
!
= 0,3025
𝑃 𝑋=6 =
6!
0,70
6! 6 − 6 !
!
0,30
!
= 0,1176
𝑃 𝑋 ≤ 4 = 1 − 0,3025 + 0,1176
= 0,5799
Rassal olarak seçilen 6 kişiden en fazla 4 kişinin işi bırakma olasılığı % 57,99’dur.
12 FİNANSAL EKONOMETRİ BÖLÜMÜ – D GRUBU
İSTATİSTİK – 1 (2015-2016 BAHAR YARIYILI) VİZE SINAVI (24.11.2015)
Soru 1: Bir şehirde oldukça popüler olan bir spor merkezine üyelik başvurusu yapan 520
kişinin cinsiyet bilgileri ve üyelik başvuru sonuçları aşağıdaki gibidir:
Kabul
Red
Kadın
110
165
Erkek
98
147
a – Rastgele seçilen bir kişinin kadın olma olasılığı nedir? (10 Puan)
b - Aşağıdaki iddiada geçen her bir olay için olasılıkları bulunuz, yorumlayınız ve iddia için
fikrinizi belirtiniz (25 puan):
İddia: Erkek olan birinin kabul edilme olasılığı, kadın olan birinin kabul edilme olasılığına
eşittir. Dolayısıyla üyelik kabulü açıklanırken cinsiyet ayrımcılığı yapılmamaktadır.
Cevap 1 – a:
A olayı: Kadın olma
Kadın olan 275 kişi var.
Kabul
Red
Kadın
110
165
Erkek
98
147
Toplam = 275
Bu durumda rassal olarak seçilen birinin kadın olma olasılığı % 52,8’dir.
𝑃 𝐴 =
110 + 165
= 0,528
520
Cevap 1 – b:
B olayı: Erkek olma
Erkek olan 245 kişi var.
Kabul
Red
Kadın
110
165
Erkek
98
147
Toplam = 245
Bu durumda rassal olarak seçilen birinin erkek olma olasılığı % 47,1’dir.
𝑃 𝐵 =
98 + 147
= 0,471
520
İddiada cinsiyetin üyelik kabul olasılığını etkilediği vurgulanmaktadır.
Öncelikle kadın olan bir kişinin üye olma olasılığını bulalım. Bu durumda ilgilenilen olasılık
“üye olma”, koşul ise “kadın olma”dır:
13 C olayı: Üye olma
𝑃 𝐶𝐴 =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐶)
𝑃(𝐴)
Aynı anda hem kadın olan hem de üye olan 110 kişi vardır.
Kabul
Red
Kadın
110
165
Erkek
98
147
Bu durumda rassal olarak seçilen birinin hem kadın hem de üye olma olasılığı % 21,1’dir.
110
= 0,211
520
𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) 0,211
𝑃 𝐶𝐴 =
=
= 0,399
𝑃(𝐴)
0,528
𝑃 𝐴∩𝐶 =
Kadın olanlar arasından rassal olarak seçilen birinin üye olma olasılığı % 39,9’dur.
Şimdi erkek olanlar arasından rassal olarak seçilen birinin üye olma olasılığını
bulalım. Burada ilgilenilen olasılık “üye olma” ve koşul ise “erkek olma”dır:
𝑃 𝐶𝐵 =
𝑃(𝐵 ∩ 𝐶)
𝑃(𝐵)
Aynı anda hem erkek hem de üye olan 98 kişi vardır.
Kabul
Red
Kadın
110
165
Erkek
98
147
Rassal olarak seçilen birinin hem erkek hem de başarılı olma olasılığı % 20’dir.
98
= 0,188
520
𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) 0,188
𝑃 𝐶𝐵 =
=
= 0,399
𝑃(𝐵)
0,471
𝑃 𝐵∩𝐶 =
Erkekler arasından rassal olarak seçilen birinin üye olma olasılığı % 39,9’dur.
Bu sonuçlar ışığında erkek olanların üye olma olasılıkları ile kadın olanların üye olma
olasılıklarının aynı olduğu bulunmuştur. Diğer bir ifadeyle, cinsiyete dayalı bir ayrımcılık
yapılmadığı görülmektedir.
14 Soru 2: İki farklı arabanın 100 kilometrede tükettikleri benzin miktarı litre olarak
kaydedilmiştir. İki modelden örnek olarak alınan 10’ar aracın tüketim miktarları aşağıdaki
tabloda verilmiştir. Aşağıdaki iddiaları ortalama ve standart sapma yardımıyla değerlendiriniz
ve yorumlarınızı yazınız:
İddia 1: Catty marka araçlar daha az benzin tüketmektedir (15 puan).
İddia 2: Patty marka araçların benzin tüketimi daha istikrarlıdır (15 puan).
Patty
Catty
Patty
Patty
(𝑥 − 𝑥)!
(𝑥 − 𝑥)
6.8
8.7
7.8
7.4
5.9
9.1
6.4
6.4
7.1
6.8
5.8
8.4
8.4
7.5
7.6
8.9
6.4
5.9
7.2
8.7
𝑥 = 69,4
Catty
Patty
(𝑥 − 𝑥)!
(𝑥 − 𝑥)
6,8 – 6,94 = -­‐0,14 (0,14)! =0,0196 8,7 – 7,78 = 0,92 (0,92)! =0,8464 7,8 – 6,94 = 0,86 (0,86)! =0,7396 7,4 – 7,78 = -­‐0,38 (0,38)! =0,1444 5,9 – 6,94 = -­‐1,04 (1,04)! =1,0816 9,1 – 7,78 = 1,32 (1,32)! =1,7424 6,4 – 6,94 = -­‐0,54 (0,54)! =0,2916 6,4 – 7,78 = -­‐1,38 (1,38)! =1,9044 7,1 – 6,94 = 0,16 (0,16)! =0,0256 6,8 – 7,78 = -­‐0,98 (0,98)! =0,9604 5,8 – 6,94 = -­‐1,14 (1,14)! =1,2996 8,4 – 7,78 = 0,62 (0,62)! =0,3844 8,4 – 6,94 = 1,46 (1,46)! =2,1316 7,5 – 7,78 = -­‐0,28 (0,28)! =0,0784 7,6 – 6,94 = 0,66 (0,66)! =0,4356 8,9 -­‐7,78 = 1,12 (1,12)! =1,2544 6,4 – 6,94 = -­‐0,54 (0,54)! =0,2916 5,9 – 7,78 = -­‐1,88 (1,88)! =3,5344 7,2 – 6,94 = 0,26 (0,26)! =0,0676 8,7 – 7,78 = 0,92 (0,92)! =0,8464 𝑥 = 77,8
(𝑥 − 𝑥)! = 11,696
(𝑥 − 𝑥)! = 6,384 69,4
= 6,94
𝑛
10
𝑥
77,8
=
=
= 7,78
𝑛
10
𝑥!"##$ =
𝑥!"##$
𝑥
=
İddia 1: Ortalama olarak Patty marka araçlar daha az yakıt tüketmektedir.
𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑡 𝑠𝑎𝑝𝑚𝑎!"##$ =
𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑡 𝑠𝑎𝑝𝑚𝑎!"##$ =
(𝑥 − 𝑥)2
𝑛−1
(𝑥 − 𝑥)2
𝑛−1
=
6,384
=
9
0,7093 = 0,8421
=
11,696
=
9
1,299 = 1,1399
İddia 2: Patty marka araçların yakıt tüketimindeki değişimin ortalaması daha düşüktür. Diğer
bir ifadeyle, Patty marka araçların yakıt tüketimi daha istikrarlıdır.
15 Soru 3: Bir firma, montajını yaptığı ürünlerin % 15’inin montaj sonrası arıza verdiğini
bilmektedir. Birbirinden bağımsız olarak montajı yapılan 6 ürün vardır.
a – Montajı yapılan ürünlerin 2’sinin arıza verme olasılığı nedir? (10 puan)
b – Montajı yapılan en az 2 ürünün arıza verme olasılığı nedir (25 puan)?
Cevap 3 –a:
X rassal değişkeni: Arıza verme
𝑛=6
𝑝 = 0,15
İki terimli bir değişken olarak değerlendirilmelidir. Zira arıza verme veya vermeme ile
ilgilenilmektedir (iki sonuçlu). Her bir ürünün birbirinden bağımsız olduğu ve arıza
olasılığının sabit olduğu kabul edilmelidir.
𝑃 𝑋 = 2 =?
𝑃 𝑋=1 =
𝑃 𝑋=2 =
𝑛!
𝑝 ! (1 − 𝑝)!!!
𝑥! 𝑛 − 𝑥 !
6!
0,15
2! 6 − 2 !
!
0,85
!
= 0,1761
Montajı yapılan 2 ürünün arıza verme olasılığı % 17’61’dir.
Cevap 3 – b: Soruda “en az 2 ürün” denildiğine göre, 2 ile 6 dahil, bu aralıktaki tüm ürünlerin
arıza verme olasılıklarının toplamı sorulmaktadır. Bu olasılığı bulabilmek için, “0” ve “1”
ürünün arıza verme olasılıkları ayrı ayrı hesaplanır ve “1” değerinden çıkartılır. Çünkü X
rassal değişkeninin bütün değerlerine ait olasılıkların toplamı “1” olacaktır:
𝑃 𝑋 ≥ 2 = 1 − [𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃(𝑋 = 1)]
𝑃 𝑋=0 =
6!
0,15
0! 6 − 0 !
!
0,85
!
= 0,3771
𝑃 𝑋=1 =
6!
0,15
1! 6 − 1 !
!
0,85
!
= 0,3993
𝑃 𝑋 ≤ 4 = 1 − 0,3771 + 0,3993
= 0,2236
Rassal olarak seçilen 6 üründen en az 2 ürünün arıza verme olasılığı % 22,36’dır.
16