Untitled - Pegem Akademi
advertisement
akıcı ayrıntılı güncel kpss konu anlatımları örnekler yorumlar uyarılar 2014 pratik bilgiler ösym tarzında özgün sorular ve açıklamaları matematik sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme kpss’ 13 de 0 2 85 soru yeni s arla l u n o yeni k la r a l u r o tır ş ı yeni s m n ırla z a h e gör e n i stem i s v a ın Editörler : Kenan Osmanoğlu / Kerem Köker KPSS Matematik ISBN 978-605-364-522-1 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. © Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. “Bu kitapta yer alan geçmiş yıllarda ÖSYM'nin yapmış olduğu sınavlardaki ÇIKMIŞ SORULAR'ın her hakkı ÖSYM'ye aittir. Hangi amaçla olursa olsun, tamamının veya bir kısmının kopya edilmesi, fotoğraflarının çekilmesi, herhangi bir yolla çoğaltılması ya da kullanılması, yayımlanması ÖSYM'nin yazılı izni olmadan yapılamaz. Pegem Akademi Yayıncılık telif ücreti ödeyerek bu izni almıştır.” 16. Baskı: Eylül 2013, Ankara Yayın-Proje Yönetmeni: Ayşegül Eroğlu Dizgi-Grafik Tasarım: Didem Kestek Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Tuna Matbaacılık Sanayi ve Ticaret A.Ş. Bahçekapı Mahallesi 2460. Sokak No: 7 Şaşmaz/ANKARA (0312-278 34 84) Yayıncı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No: 16102 İletişim Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51 Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60 Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08 Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38 Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60 E-ileti: [email protected] SUNU Değerli Adaylar; Bu kitap Kamu Personeli Seçme Sınavı (KPSS) Genel Yetenek Testinde önemli bir yer tutan “Matematik” kapsamındaki 26 veya 27 soruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla hazırlanmıştır. Kitap, sorulmuş ve sorulması olası soruların titizlikle incelenmesiyle meydana getirilmiş olup; MATEMATİK - Temel Kavramlar, - Sayılar, - Bölme-Bölünebilme Kuralları, - Asal Çarpanlara Ayırma EBOB – EKOK, - Birinci Dereceden Denklemler, - Rasyonel Sayılar, - Üslü Sayılar, - Köklü Sayılar, - Çarpanlara Ayırma, - Eşitsizlik – Mutlak Değer, - Oran – Orantı, - Problemler, - Kümeler, - İşlem - Modüler Aritmetik, - Permütasyon – Kombinasyon – Olasılık - Tablo ve Grafikler bölümlerinden oluşmaktadır. Kitapta; bölümlerin sınav formatına uygun ve soru çözümünü kolaylaştıracak bir şekilde ele alınmasına ve bilgilerin açık ve anlaşılır bir dille ifade edilmesine özen gösterilmiştir. Her ünitenin sonunda, - çıkmış sorular - çözümlü testler ve - cevaplı testlere; yer verilmiştir. Bu kitabın hazırlanmasında yardım, destek ve katkılarını esirgemeyen Fikret Birer, Canan Sarıkaya, Eda Tuğçe Buluş ve tüm meslektaşlarımıza, PEGEM AKADEMİ yayınevi ve dershanesi çalışanlarına ve öğrencilerine teşekkürü bir borç biliriz. Bu kitap, uzun bir birikimin ve yoğun bir emeğin ürünüdür. Kitapla ilgili görüş ve önerileriniz bu ürünün niteliğini daha da arttıracaktır. Değerli görüş ve önerilerinizi lütfen bizimle [email protected] aracılığıyla paylaşınız. Kitabın çalışmalarınızda yararlı olması dileğiyle, KPSS’de ve meslek hayatınızda başarılar. Editörler: Kenan Osmanoğlu – Kerem Köker İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR ...............................................2 Küme..........................................................................2 Kümenin Elemanı ve Eleman Sayısı .......................2 Kümelerin Gösterilişi ...............................................2 Boş Küme ..................................................................3 Sayı Kümeleri ............................................................3 Tek - Çift Tamsayılar .................................................4 Tam Sayılarda İşlemler .............................................4 İşlem Önceliği ...........................................................6 Rasyonel Sayılar .......................................................6 Rasyonel Sayılarda İşlemler ....................................6 Harfli İfadeler.............................................................8 Denklemler ................................................................9 Çözüm Kümesi Bulma..............................................9 İkili..............................................................................10 Sıralama.....................................................................10 Eşitsizlik ....................................................................11 Oran – Orantı.............................................................11 Ortak Paranteze Alma ..............................................12 Çözümlü Test – 1 ......................................................13 Cevaplı Test – 1.........................................................17 Cevaplı Test – 2.........................................................19 2. BÖLÜM SAYILAR ....................................................................22 Sayı Kümeleri ............................................................22 Doğal Sayılar .............................................................23 Tam Sayılar................................................................26 Tek ve Çift Tam Sayılar .............................................27 Pozitif ve Negatif Sayılar ..........................................29 Ardışık Sayılar...........................................................31 Asal Sayı....................................................................36 Aralarında Asal Sayılar ............................................36 Basamak Analizi .......................................................37 Çözümleme ...............................................................42 Faktöriyel...................................................................44 Sayma Sistemleri ......................................................47 Çözümlü Test – 1 ......................................................54 Çözümlü Test – 2 ......................................................58 Çözümlü Test – 3 ......................................................62 Cevaplı Test – 1.........................................................66 Cevaplı Test – 2.........................................................68 Cevaplı Test – 3.........................................................70 Cevaplı Test – 4.........................................................72 Cevaplı Test – 5.........................................................74 Cevaplı Test – 6.........................................................76 Çıkmış Sorular ..........................................................78 3. BÖLÜM BÖLME – BÖLÜNEBİLME KURALLARI ..................82 Bölme.........................................................................82 Bölünebilme Kuralları ..............................................86 2 ile Bölünebilme ................................................86 3 ile Bölünebilme ................................................86 4 ile Bölünebilme ................................................87 5 ile Bölünebilme ................................................88 7 ile Bölünebilme ................................................89 8 ile Bölünebilme ................................................89 9 ile Bölünebilme ................................................89 10 ile Bölünebilme ..............................................91 11 ile Bölünebilme ..............................................91 Çözümlü Test - 1 .......................................................93 Cevaplı Test - 1 .........................................................97 Cevaplı Test - 2 .........................................................99 Çıkmış Sorular ..........................................................101 4. BÖLÜM ASAL ÇARPANLARA AYIRMA EBOB – EKOK .......103 Asal Çarpanlara Ayırma ...........................................104 Bir Tam Sayının Bölenleri ........................................105 Bir Tam Sayının Bölenleri Toplamı ....................107 En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ..........................108 En Küçük Ortak Kat (EKOK) ..............................111 Çözümlü Test ...........................................................116 Cevaplı Test - 1 .........................................................120 Cevaplı Test - 2 .........................................................122 Cevaplı Test - 3 .........................................................124 Çıkmış Sorular ..........................................................126 5. BÖLÜM BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER.....................127 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler ....128 Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler .....131 Denklem Sistemi .......................................................131 Yok Etme Metodu................................................131 Yerine Koyma Metodu ........................................132 Özel Denklemler........................................................133 Çözümlü Test ...........................................................136 Cevaplı Test - 1 .........................................................140 Cevaplı Test - 2 .........................................................142 Çıkmış Sorular ..........................................................144 vi 6. BÖLÜM RASYONEL SAYILAR ...............................................145 Kesir ve Kesir Türleri ...............................................146 Kesir.....................................................................146 Basit Kesir ...........................................................146 Bileşik Kesir ........................................................146 Tam Sayılı Kesir ..................................................147 Sabit Kesir ...........................................................148 Denk Kesir ...........................................................148 Rasyonel Sayılarda Dört İşlem ................................149 Toplama İşlemi ....................................................149 Çıkarma İşlemi ....................................................150 Çarpma İşlemi .....................................................150 Bölme İşlemi .......................................................150 Kuvvet Alma ........................................................150 İşlem Önceliği .....................................................151 Ondalık Kesirler ........................................................154 Ondalık Sayılarda Dört İşlem ...................................155 Devirli Ondalık Açılımlar ..........................................157 Rasyonel Sayılarda Sıralama...................................158 İki Rasyonel Sayı Arasındaki Sayıları Yazma .........160 Çözümlü Test - 1 .......................................................161 Çözümlü Test - 2 .......................................................165 Cevaplı Test - 1 .........................................................169 Cevaplı Test - 2 .........................................................171 Çıkmış Sorular ..........................................................173 7. BÖLÜM EŞİTSİZLİK – MUTLAK DEĞER ...............................175 Basit Eşitsizlikler ......................................................176 Özellikleri.............................................................176 Reel (Gerçel) Sayı Aralıkları .....................................179 Kapalı Aralık ........................................................179 Yarı Açık Aralık....................................................179 Açık Aralık ...........................................................180 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ....180 Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi .............................181 Mutlak Değer .............................................................183 Özellikleri.............................................................185 Çözümlü Test – 1 ......................................................189 Çözümlü Test – 2 ......................................................193 Cevaplı Test – 1.........................................................197 Cevaplı Test – 2.........................................................199 Cevaplı Test – 3.........................................................201 Çıkmış Sorular ..........................................................203 8. BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR .........................................................205 Özellikleri.............................................................206 Üslü Sayılarda Dört İşlem ........................................209 Toplama – Çıkarma .............................................209 Çarpma ................................................................210 Bölme...................................................................212 Çözümlü Test - 1 .......................................................215 Çözümlü Test – 2 ......................................................219 Cevaplı Test - 1 .........................................................223 Cevaplı Test - 2 .........................................................225 Çıkmış Sorular ..........................................................227 9. BÖLÜM KÖKLÜ SAYILAR ......................................................229 Köklü Sayıların Özellikleri........................................230 Köklü Sayılarda Dört İşlem ......................................234 Toplama-Çıkarma................................................235 Çarpma ................................................................235 Bölme...................................................................236 Kök Dışındaki Bir Sayının Kök İçine Alınması .......238 Eşlenik .......................................................................239 İç İçe Sonlu Kökler ...................................................241 İç İçe Sonsuz Kökler.................................................242 A ∓ 2 B Ifadesinin Kök Dışına Çıkarılması............244 Köklü Sayılarda Sıralama.........................................246 Köklü Sayılarda Denklem Çözme ............................247 Çözümlü Test -1 ........................................................248 Cevaplı Test - 1 .........................................................252 Cevaplı Test - 2 .........................................................254 Çıkmış Sorular ..........................................................256 10. BÖLÜM ÇARPANLARA AYIRMA ............................................259 Ortak Parantez Yöntemi .....................................260 Gruplandırma Yöntemi .......................................260 ax2+bx+c ifadesinin Çarpanlara Ayrılması .......261 Özdeşlikler ................................................................263 İki Kare Farkı .......................................................263 Tam Kare İfadeler................................................265 III. Dereceden Özdeşlikler ........................................268 Çözümlü Test – 1 ......................................................270 Çözümlü Test – 2 ......................................................274 Cevaplı Test – 1.........................................................278 Cevaplı Test – 2.........................................................280 Çıkmış Sorular ..........................................................282 11. BÖLÜM ORAN – ORANTI ......................................................285 Oran .....................................................................286 Orantı ...................................................................286 Orantının Özellikleri............................................286 Orantı Türleri .............................................................288 Doğru Orantı .......................................................288 Ters Orantılı Çokluklar .......................................290 Bileşik Orantı ......................................................291 Ortalamalar................................................................292 Aritmetik Ortalama .............................................292 Geometrik Ortalama ...........................................293 Çözümlü Test - 1 .......................................................295 Çözümlü Test - 2 .......................................................299 Cevaplı Test - 1 .........................................................303 Cevaplı Test - 2 .........................................................305 Çıkmış Sorular ..........................................................307 vii 12. BÖLÜM PROBLEMLER ..........................................................309 Denklem Kurma Problemleri ...................................310 Yaş Problemleri.........................................................316 Yüzde Problemleri ....................................................319 Faiz Problemleri ........................................................321 Kâr – Zarar Problemleri ............................................322 Karışım Problemleri..................................................325 İşçi Problemleri .........................................................328 Havuz Problemleri ....................................................330 Hareket Problemleri..................................................331 Çözümlü Test - 1 ......................................................337 Çözümlü Test - 2 ......................................................341 Çözümlü Test - 3 ......................................................345 Çözümlü Test - 4 .......................................................349 Çözümlü Test - 5 ......................................................353 Çözümlü Test - 6 ......................................................357 Çözümlü Test - 7 ......................................................361 Çözümlü Test - 8 ......................................................365 Çözümlü Test - 9 ......................................................369 Cevaplı Test – 1.........................................................373 Cevaplı Test – 2.........................................................375 Cevaplı Test – 3.........................................................377 Cevaplı Test – 4.........................................................379 Cevaplı Test – 5.........................................................381 Cevaplı Test – 6.........................................................383 Cevaplı Test – 7.........................................................385 Cevaplı Test – 8.........................................................387 Çıkmış Sorular ..........................................................389 Modüler Aritmetik .....................................................423 Modüler Aritmetiğin Özellikleri ..........................424 Modüler Aritmetikte Denklem Çözümü .............428 Çözümlü Test – 1 ......................................................429 Çözümlü Test – 2 ......................................................433 Cevaplı Test – 1.........................................................437 Cevaplı Test – 2.........................................................439 Çıkmış Sorular ..........................................................441 15. BÖLÜM PERMÜTASYON – KOMBİNASYON – OLASILIK....443 Saymanın Temel Kuralları ........................................444 Toplama Kuralı ....................................................444 Çarpma Yolu ile Sayma ......................................444 Saymanın Temel İlkesi .......................................444 Permütasyon (Sıralama) ..........................................446 Tekrarlı Permütasyon .........................................447 Dairesel Permütasyon ........................................448 Kombinasyon (Gruplama) .......................................449 Olasılık .......................................................................454 Olasılık Fonksiyonu ...........................................454 Olasılık Hesabı ....................................................455 Koşullu Olasılık...................................................459 Bağımsız ve Bağımlı Olasılık .............................460 Çözümlü Test – 1 ......................................................461 Çözümlü Test – 2 ......................................................465 Çözümlü Test – 3 ......................................................469 Cevaplı Test – 1.........................................................473 Cevaplı Test – 2.........................................................475 Çıkmış Sorular ..........................................................477 16. BÖLÜM 13. BÖLÜM KÜMELER ..................................................................397 Küme..........................................................................398 Kümelerin Elemanı ve Eleman Sayısı ...............398 Kümelerin Gösterimi ..........................................398 Küme Çeşitleri ....................................................399 Kümelerde İşlemler ............................................400 Alt Küme ..............................................................403 Küme Problemleri ...............................................405 Çözümlü Test ...........................................................407 Cevaplı Test ..............................................................411 Çıkmış Sorular ..........................................................413 14. BÖLÜM İŞLEM – MODÜLER ARİTMETİK ..............................415 Bağıntı .......................................................................416 Fonksiyon..................................................................416 İşlem ..........................................................................417 İşlem Tabloları.....................................................419 İşlemin Özellikleri ...............................................419 TABLO VE GRAFİKLER............................................479 Tablo ve Yorumlama .................................................480 Grafik ve Yorumlama ................................................484 Çizgi Grafik..........................................................484 Sütun Grafiği .......................................................486 Daire Grafiği ........................................................486 Çözümlü Test – 1 ......................................................489 Çözümlü Test – 2 ......................................................492 Cevaplı Test – 1.........................................................496 Cevaplı Test – 2.........................................................499 Çıkmış Sorular ..........................................................501 17. BÖLÜM SAYISAL MANTIK PROBLEMLERİ ..........................507 Sayı Örüntüleri .........................................................511 Sayı Dizileri ...............................................................511 Tablo ve Şekil Soruları .............................................513 Akıl Yürütme ve Mantık Soruları .............................522 Görsel Yetenek..........................................................530 Çözümlü Test ...........................................................536 Cevaplı Test – 1.........................................................547 Cevaplı Test – 2.........................................................549 Cevaplı Test – 3.........................................................551 Çıkmış Sorular ..........................................................553 Genel Yetenek’te 40 MATEMATİK ÖSYM SORULARI 31. 3 : e2 4 : e2 - 5 6 7 8 2013 31. o o 7 11 B) D) 32. 9 11 C) 10 9 E) 7 9 9 3. 0, 01 + 0, 002 + 0, 0004 0, 1 + 0, 02 + 0, 004 işleminin sonucu kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? B) 106 E) 2 Genel Yetenek Genel Kültür 15 Deneme Deneme 8 / 31. Soru 13 10 + 100 + 1000 0, 001 + 0, 01 + 0, 1 + 1 A) 107 1 1 6 :c + m 3 4 1 −5 3 işleminin sonucu kaçtır? 3 1 1 3 A) - B) - C) D) 4 2 2 4 işleminin sonucu kaçtır? A) PEGEM AKADEMİ SORULARI C) 105 A) 0,01 D) 104E) 103 B) 0,1 C) 1 D) 10 E) 100 Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sözel Soru Bankası / Test 35 / 3. Soru 4. 0, 4 + 0, 04 + 0, 004 1 − 0, 2 − 0, 02 − 0, 002 işleminin sonucu kaçtır? A) 0,5 B) 0,1 C) 0,2 D) 0,4 E) 2 Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sözel Soru Bankası / Test 35 / 4. Soru 33. 25 + 26 + 27 + 2 8 15. 2 −5 + 2 −6 + 2 −7 + 2 −8 işleminin sonucu kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 27 2 45 + 2 46 + 2 47 2 23 + 2 22 + 2 21 B) 211C) 213 D) 2-9 A) 88 E) 2-12 B) 410 D) 222 C) 810 E) 225 Genel Yetenek Genel Kültür 30 Deneme Deneme 14 / 15. Soru 34. (4!) 2 + (3!) 2 4. (4!) 2 − (3!) 2 işleminin sonucu kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 19 15 B) D) 19 12 17 15 10 ! − 9 ! 8! + 7! C) E) 13 12 13 A) 64 B) 65 C) 68 D) 70 E) 72 15 Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sözel Soru Bankası / Test 27 / 4. Soru MATEMATİK MATEMATİK ÖSYM SORULARI 2013 35. 3 − x − 2 = 3 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 6 B) 4 C) 2 PEGEM AKADEMİ SORULARI 9. x +1 + 4 = 6 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? D) -8E) -10 A) −4B) −3C) −2 D) 0 E) 2 Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sayısal Soru Bankası / Test 39 / 9. Soru 8. x − 3 − 5 = 2 eşitliğini sağlayan x değerleri toplamı kaçtır? A) −4 B) 0 C) 6 D) 10 E) 12 Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 192 / 8. Soru 36. a 4 − ab3 : (a + b) 2 8. a2 + ab + b2 a 4 − b 4 A) (a + b) 2 B) D) a (a + b) a2 + b2 a−1 (a + b) 2 C) E) A) b (a − b) a2 + b2 y D) 2 a-b ab - a 2 b2 C) b2 E) a 2 + ab b2 a+b b2 aob = a2 − b3 a b =a2 + 2ab + b2 şeklinde tanımlanıyor. Buna göre, (3 o2) (5 o3) kaçtır? A) 1 olduğuna göre, a kaçtır? 3 B) 13. Reel sayılar kümesinde tanımlı “” ve “” işlemleri +y B) b2 Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 275 / 8. Soru ax (aT2) = 8 1 a 2 - ab a2 + b2 biçiminde tanımlanıyor. A) a 2 − ab + b 2 a2 − b2 D) xxy = x : y + x x | a2 + b 37. Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde ve ∆ işlemleri xTy = ^ab + b 2 h2 ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? a−b a 4 + ab 3 2 3 C) 9 D) 16 E) 25 Genel Yetenek Genel Kültür Çek Kopar Yaprak Test - 73 / 13. Soru C) 1 E) 3 B) 4 3. Tam sayılar kümesi üzerinde, x4y = x + 3y x 3 y = 2x - y işlemleri tanımlanıyor. Buna göre, 24 (3 3 4) işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14 5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 217 / 3.Soru MATEMATİK ÖSYM SORULARI 2013 38. İki gerçel sayının çarpımı, bu sayılardan birine 2 eklenip diğerinden 2 çıkarılmasıyla elde edilen sayıların çarpımından 6 fazladır. 12. mn ile xy iki basamaklı doğal sayılardır. Buna göre, sayı doğrusu üzerinde bu iki sayı arasındaki uzaklık kaçtır? m nin sayısal değerinin 3 arttırılıp, x in sayısal değerinin 3 azaltılmasıyla oluşan sayıların çarpımı mn • xy çarpımından 120 fazla olduğuna göre, xy - mn işleminin sonucu kaçtır? A) 5 A) 30 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 B) 32 C) 34 D) 35 E) 36 Lisans Mezunları İçin Sayısal Soru Bankası Sayfa 44 / 12. Soru 39. Pozitif tamsayılarla yapılan bir bölme işleminde bölen, bölümün iki katından bir fazladır. 3. Bölüm 14 ve kalan 6 olduğuna göre bölünen sayı kaçtır? Bu bölme işleminde kalan 11 olduğuna göre, bölünen sayı en az kaçtır? A) 89 B) 87 C) 85 D) 83 A)151B)153C) 157 D) 160 E) 81 xy3z5 > 0 eşitsizliği veriliyor. I. x > 0 ve y < 0 ise z > 0 II. x < 0 ve z < 0 ise y > 0 I. x2 < y2 II. x3 < y ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur? D) Yalnız II C) Yalnız I E) Yalnız III B) Yalnız II D) I ve II C) Yalnız III E) I, II ve III Genel Yetenek Genel Kültür Çek Kopar Yaprak Test - 36 / 1. Soru önermelerinden hangileri doğrudur? B) II ve III A) Yalnız I III. y > 0 ve z < 0 ise x < 0 x < 0 < y olmak üzere, III. x + y < 0 Buna göre, A) I ve II E)163 Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sözel Soru Bankası / Sayfa 81 / 3. Soru 1. 40. x, y, z gerçel sayıları için Bir bölme işleminde bölünen ile bölenin toplamı 171 dir. 2. x, y reel (gerçel) sayılar x<y ifadesi için aşağıda verilenlerin hangisi ya da hangileri kesinlikle doğrudur? I. a > 0 için a ⋅ x > a ⋅ y II. a < 0 için a ⋅ x > a ⋅ y III. a < 0 için x + a > y + a IV. a > 0 için V. x2 < y2 A) I ve III x y < a a B) I ve II D) II, III ve IV C) I, II ve IV E) II ve IV Lisans Mezunları İçin Sayısal Soru Bankası Sayfa 118 / 2. Soru MATEMATİK MATEMATİK ÖSYM SORULARI 41. 1 2+ 3 + 1 3+ 2 + x 2 +1 PEGEM AKADEMİ SORULARI 2013 =2 1 14. − 3− 3 1 3+ 3 + 2 3 olduğuna göre, x kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 1 + 2 B) 1 + 2 2 C) 2 + 2 A) 3 3 B) 2 3 C) D) 2 + 3 E) 3 2 Lisans Mezunları İçin Sayısal Soru Bankası Sayfa 139 / 14. Soru 2 18. 2- 2 + 3 3 D) − 3 E) − 2 3 2+ 3 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 2 C) 2 3 B) D) 5 E) 8 5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 186 / 18.Soru 4. - 6. SORULARI AŞAĞIDAKİ BİLGİLERE GÖRE CEVAPLAYINIZ 45. Üç saat süren bir yarışta, bir otomobilin her bir saatlik zaman diliminde tamamladığı tur sayıları aşağıdaki grafikte verilmiştir. Tur sayısı Aşağıdaki tabloda, bir fabrikadaki aynı malı üreten 5 farklı makinenin zamana bağlı ürettikleri mal sayısı gösterilmiştir. 70 Mal sayısı sayısı(adet) Mal (adet) 60 50 125 40 30 20 10 110 90 60 40 1.saat 2.saat 3.saat Zaman Bu otomobil, yarışın son bir saatinde sabit hızla ilerlediğine göre, yarışın başlangıcından 135 dakika sonra toplam kaç tur tamamlamıştır? A) 125 B) 130 C) 145 D) 150 E) 170 4. A B C D E 10 12 15 20 25 Zaman ( dk ) Birim zamanda en çok mal üreten makine hangisidir? A) A B) B C) C D) D E) E 5. Hangi iki makinenin birim zamanda ürettiği mal sayısı eşittir? A) B ve D 6. B) A ve C D) C ve E C) D ve E E) B ve E B ve C makinelerinin 1 saatte ürettiği toplam malı, D makinesi kaç saatte üretir? A) 1,5 B) 2 C) 2,5 D) 3 E) 4 Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 488 / 4, 5 ve 6. Soru MATEMATİK ÖSYM SORULARI PEGEM AKADEMİ SORULARI 2013 47. Aşağıda A, B, C, D ve E şehirlerinden geçen yol hattı gösterilmiş ve bu yol hattına göre şehirler arasındaki bazı uzaklıklar kilometre olarak tabloda verilmiştir. B C E D E A D C B 170 1. - 3. SORULARI AŞAĞIDAKİ BİLGİLERE GÖRE CEVAPLAYINIZ. A DİKKAT! SORULARI BİRBİRİNDEN BAĞIMSIZ OLARAK CEVAPLAYINIZ. 130 Aynı yol üzerinde bulunan K, L, M, N, P kentleri arasındaki yolların uzunluklarını km türünden gösteren bir tablo hazırlanmıştır. Aşağıda bu uzunlukların bazıları verilmiştir. D ile E şehirleri arasındaki uzaklık, A ile C şehirleri arasındaki uzaklığın 2 katından 20 km eksiktir. L M N P Buna göre, A ile E şehirleri arasındaki uzaklık kaç km’dir? A) 230 B) 235 C) 240 D) 245 E) 250 140 310 K L M N Tablonun satır ve sütun kesişiminde verilen sayılar, bulundukları satır ve sütunun belirttiği iki kent arasındaki yolun uzunluğudur. Örneğin K ile N kentleri arasındaki yolun uzunluğu 140 km dir. 1. N ile P kentleri arasındaki yolun uzunluğu, N ile K arasındaki yolun uzunluğundan kaç km fazladır? A) 370 B) 380 C) 385 D) 390 E) 395 2. Kentlerin yol üzerindeki sıralanışı M, P, K, N, L şeklindeyse M ile L kentleri arasındaki yolun uzunluğu kaç km dir? A) 1540 3. B) 1555 D) 1600 C) 1580 E) 1625 Kentlerin yol üzerindeki sıralanışı P, L, K, N, M şeklindeyse K ile M kentleri arasındaki yolun uzunluğu kaç km dir? A) 240 B) 250 C) 320 D) 335 E) 380 Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 475 / Örnek Soru MATEMATİK MATEMATİK ÖSYM SORULARI PEGEM AKADEMİ SORULARI 2013 53. Özdeş oksijen tüpleri kullanan Cihan ve Levent isimli dalgıçların denizde bulundukları derinliğin zamana göre değişimi ve oksijen tüplerinin doluluk yüzdelerinin zamana göre değişimi aşağıdaki doğrusal grafiklerde verilmiştir. Derinlik (m) Doluluk (%) 15 28. - 30. SORULARI AŞAĞIDAKİ BİLGİLERE GÖRE CEVAPLAYINIZ. gelen ö÷renci giden ö÷renci kiúi sayÕsÕ 500 100 400 72 10 300 50 200 100 7 10 Zaman (dk) 5 7 10 Zaman (dk) 2002 Cihan Levent Levent, 15 metre derinlikte iken oksijen tüpünün yüzde kaçını kullanmıştır? A) 22 B) 20 C) 18 D) 16 2003 2004 2005 2006 2007 yÕllar Yukarıdaki grafik bir ilçeye ilçede bulunan üniversitede okumak için gelenlerin sayısını ve bu ilçeden üniversite okumak için ilçe dışına giden öğrencilerin sayılarını yıllara göre göstermektedir. E) 14 28. Gelen öğrenci sayısı ile giden öğrenci sayısı arasındaki fark hangi yıl en fazladır? A) 2003 B) 2004 D) 2006 C) 2005 E) 2007 29. 2002-2007 yıllarını kapsayan 6 yıllık dönemde bu ilçeden üni-versite okumak için yılda orta-lama kaç öğrenci ilçe dışına gitmiştir? A) 200 B) 250 D) 350 C) 300 E) 400 30. İlçede bulunan üniversitede okumak için gelenlerin sayısı hangi yıl, bir önceki yıla göre % 50 azalmıştır? A) 2002 B) 2003 D) 2006 C) 2004 E) 2007 Genel Yetenek Genel Kültür 30 Deneme Deneme 9 / 28, 29 ve 30. Soru MATEMATİK ÖSYM SORULARI 2013 38. İki gerçel sayının çarpımı, bu sayılardan birine 2 eklenip diğerinden 2 çıkarılmasıyla elde edilen sayıların çarpımından 6 fazladır. 12. mn ile xy iki basamaklı doğal sayılardır. m nin sayısal değerinin 3 arttırılıp, x in sayısal değerinin 3 azaltılmasıyla oluşan sayıların çarpımı mn • xy çarpımından 120 fazla olduğuna göre, xy - mn işleminin sonucu kaçtır? Buna göre, sayı doğrusu üzerinde bu iki sayı arasındaki uzaklık kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 PEGEM AKADEMİ SORULARI E) 1 D) 2 A) 30 B) 32 C) 34 D) 35 E) 36 Lisans Mezunları İçin Sayısal Soru Bankası Sayfa 44 / 12. Soru 39. Pozitif tamsayılarla yapılan bir bölme işleminde bölen, bölümün iki katından bir fazladır. 3. Bölüm 14 ve kalan 6 olduğuna göre bölünen sayı kaçtır? Bu bölme işleminde kalan 11 olduğuna göre, bölünen sayı en az kaçtır? A) 89 B) 87 C) 85 D) 83 A)151 E) 81 xy3z5 > 0 eşitsizliği veriliyor. I. x > 0 ve y < 0 ise z > 0 II. x < 0 ve z < 0 ise y > 0 E)163 x < 0 < y olmak üzere, I. x2 < y2 II. x3 < y ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur? D) Yalnız II C) Yalnız I E) Yalnız III B) Yalnız II D) I ve II C) Yalnız III E) I, II ve III Genel Yetenek Genel Kültür Çek Kopar Yaprak Test - 36 / 1. Soru önermelerinden hangileri doğrudur? B) II ve III A) Yalnız I III. y > 0 ve z < 0 ise x < 0 D) 160 C) 157 III. x + y < 0 Buna göre, A) I ve II B)153 Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sözel Soru Bankası / Sayfa 81 / 3. Soru 1. 40. x, y, z gerçel sayıları için Bir bölme işleminde bölünen ile bölenin toplamı 171 dir. 2. x, y reel (gerçel) sayılar x<y ifadesi için aşağıda verilenlerin hangisi ya da hangileri kesinlikle doğrudur? I. a > 0 için a ⋅ x > a ⋅ y II. a < 0 için a ⋅ x > a ⋅ y III. a < 0 için x + a > y + a IV. a > 0 için V. x2 < y2 A) I ve III x y < a a B) I ve II D) II, III ve IV C) I, II ve IV E) II ve IV Lisans Mezunları İçin Sayısal Soru Bankası Sayfa 118 / 2. Soru MATEMATİK MATEMATİK ÖSYM SORULARI 2013 B' 59. C' 3 D A 12. C 2 B R A noktasının B noktasına göre simetriği alınarak A' noktası • B noktasının C noktasına göre simetriği alınarak B' noktası • C noktasının D noktasına göre simetriği alınarak C' noktası A) 60 13 C) 80 D) 90 E) 100 ABCD ve EFGH kare 5DF? = 5AG? 5BH? = 5EC? B, G, H ile A, F, G noktaları doğrusal AD = 10 cm Buna göre, dörtgeninin alanı kaç cm2 dir? D) 18 B) 70 Lisans Mezunları İçin Sayısal Soru Bankası Sayfa 345 / 12. Soru A', B', C' ve D' noktalarının birleştirilmesiyle A'B'C'D' dörtgeni oluşturuluyor. C) 24 C F ABCD paralelkenar doğru parçalarıdır. L, E, F, K bulundukları kenarların orta noktaları ve taralı alan 16cm2'dir. Yukarıda verilenlere göre A(ABCD) kaç cm2'dir? D noktasının A noktasına göre simetriği alınarak D' noktası elde ediliyor. B) 28 K S R B • D T A' Kenar uzunlukları 2 cm ve 3 cm olan ABCD dikdörtgeninde A) 30 L A E D' • PEGEM AKADEMİ SORULARI GB = 6 cm Yukarıda verilenlere göre, A]EFGHg kaç cm2 dir? E) 16 A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 16 5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 266 / 13.Soru 60. ABCDE düzgün beşgen E D A B E m ( KDE ) = 95° 95° C D % Yukarıdaki verilenlere göre m ( FKD ) = α kaç derecedir? B O noktası, beşgenin köşelerinden geçen bir çemberin merkezi olduğuna göre, x kaç derecedir? B) 128 ABCDEF düzgün altıgeninde [KF] açıortay, F K α x C A) 110 A % m(BOD) = x O 11. C) 136 D) 144 E) 152 A) 55 B) 65 C) 75 D) 85 E) 95 Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 110 / 11. Soru TEMEL KAVRAMLAR � KÜME � KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI � KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ � BOŞ KÜME � SAYI KÜMELERİ 2008 - � TEK - ÇİFT TAMSAYILAR 07 20 - � TAM SAYILARDA İŞLEMLER 200 9 - � İŞLEM ÖNCELİĞİ 06 20 - � RASYONEL SAYILAR 10 - 20 � RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER � DENKLEMLER � ÇÖZÜM KÜMESI BULMA 2011 - 05 20 - � İKİLİ 12 - 20 � SIRALAMA � EŞİTSİZLİK 04 20 - � ORAN ORANTI 13 20 - � ORTAK PARANTEZE ALMA Çıkmış Soru Ağacı “Eksi çarpı eksi, artı edecek, böyle yazılacak, böyle bilinecek, kimse “neden?” demeyecek.” John Von Neumann 2 TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde yer verdiğimiz başlıkların bir kısmı KPSS de direkt olarak sorulan konulara dair değildir. Buradaki amacımız diğer konuların daha iyi anlaşılabilmesi için bazı temel bilgileri hatırlatmak ve işlem yeteneğinin gelişmesini sağlamaktır. Değindiğimiz konuların bir kısmı ilerleyen bölümlerde daha detaylı bir şekilde işlenecektir. Bu bölüm daha çok sözel bölümlerden mezun olan arkadaşlarımıza yönelik hazırlanmıştır. KÜME Net olarak tanımlanmış canlı veya cansız varlıkların oluşturduğu topluluğa küme denir. Kümeler A, B, C, D, E,… gibi büyük harflerle isimlendirilir. Örnek A = "a, b, "c , , "d, e , , f , kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 Çözüm: Örnek “Pegem” kelimesinin harfleri bir küme oluşturur Örnek “Haftanın bazı günleri” cümlesi bir küme oluşturmaz. Çünkü kümeyi oluşturacak günler net olarak söylenmemiştir. KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI Kümeyi oluşturan canlı ve cansız varlıklara kümenin elemanları denir. Kümenin elemanı olan nesneler “ ! ” sembolü ile kümenin elemanı olmayan nesneler ise “ ! ”sembolü ile gösterilir. Bir kümeyi oluşturan elemanların sayısına kümenin eleman sayısı denir ve s ( ) ile gösterilir. Kümeyi oluştururken ortak elemanlar bir kez yazılır. Örnek A kümesinin elemanlarını yazacak olursak a ! A , b ! A , " c , ! A , " d, e , ! A , f ! A olmak üzere A kümesinin eleman sayısı 5 dir. Dolayısıyla s (A) = 5 bulunur. Örnek ”PEGEM” kelimesinin harflerinin oluşturduğu kümenin elaman sayısı kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 Çözüm: “PEGEM” kelimesinin oluşturduğu küme A kümesi olsun. Küme yazılırken ortak olan elemanlar bir kez yazılacağından A = "P, E, G, M , olur. Dolayısıyla s (A) = 4 bulunur. Örnek A = "Kerem , kümesinin eleman sayısı kaçtır? 1 sayısı A kümesinin elemanı ise 1 d A A) 1 2 sayısı A kümesinin elemanı değil ise 2! A Çözüm: şeklinde gösterilir. KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ Liste yönteminde elemanlar virgüllerle ayrılır. Kümeyi inceleyecek olursak virgülle ayrılan eleman olmadığı için kümenin eleman sayısı s (A) = 1 bulunur. 1) Liste Yöntemi 2) Ortak Özellik Yöntemi Kümenin elemanlarının aralarına “,” konarak { } parantezi içine yazılmasına kümelerin liste biçiminde gösterilişi denir. Kümenin elemanlarının taşıdıkları ortak özellikler belirtilerek { } parantezi içine yazılmasına kümenin ortak özellik yöntemi ile gösterilişi denir. Liste yönteminde virgülle ayrılan her nesne kümenin bir elemanıdır. B) 2 C) 3 D) 4 Örnek Yüzden küçük doğal sayıların kümesi A = " x l x 1 100, x ! N , şeklinde gösterilir. E) 5 3 3) Venn Şeması SAYI KÜMELERİ Kümenin elemanlarının yanlarına “.” konarak kapalı bir şeklin içine yazılmasına kümenin venn şeması ile gösterilişi denir. 1) Sayma Sayıları Kümesi Örnek A = "a, b, c, d , kümesini venn şeması ile gösterilişi şekildeki gibidir. A a b d c "1, 2, 3,..... , kümesine sayma sayıları kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir sayma sayısı denir. Sayma sayıları kümesi " N + " ile gösterilir. 2) Doğal Sayılar Kümesi "0,1, 2, 3,..... , kümesine doğal sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir doğal sayı denir. Doğal sayılar kümesi "IN" sembolü ile gösterilir 3) Tam Sayılar Kümesi BOŞ KÜME "........, - 3, - 2, - 1, 0,1, 2, 3 ....... , kümesine tam sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir tam sayı denir. Tam sayılar kümesi “Z” sembolü ile gösterilir. Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme Q veya { } sembolleri ile gösterilir. Tam sayılar kümesi üç kümenin birleşimi olarak ifade edilir. Bu alt kümeleri inceleyecek olursak; a) Negatif Tam Sayılar Kümesi Örnek “Yılın S harfi ile başlayan ayları” cümlesinin oluşturduğu küme boş kümedir Not Bir kümenin elemanlarının yerlerinin değişmesi kümeyi değiştirmez. Yani kümenin elemanları farklı şekillerde sıralanabilir. Sıfırdan küçük (sayı doğrusu üzerinde sıfırın solunda olan) sayılara negatif tam sayılar bu sayıların oluşturduğu kümeye negatif tam sayılar kümesi denir. Negatif tam sayılar kümesi " Z - " ile gösterilir. Z − = "..............., − 3, − 2, − 1 , dir. Negatif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça büyürler. Dolayısıyla en büyük negatif tam sayı " - 1 " dir. b) Pozitif Tam Sayılar Kümesi Örnek A = "a, b, c , kümesinin elemanlarının yerleri değiştirilirse A kümesi değişmez. = A "= a, b, c , "= b, a, c , "c, a, b , gibi RAKAM: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gibi tek haneli sembollere rakam denir. SAYI: Rakamların tek başlarına veya bir çokluk oluşturacak şekilde bir araya gelmesiyle oluşan ifadelere sayı denir. Örnek 3 hem rakam hem de bir sayıdır. 16 iki rakamdan oluşan bir sayıdır. 348 üç rakamdan oluşan bir sayıdır. -7415 dört rakamdan oluşan negatif bir sayıdır. Sıfırdan büyük (sayı doğrusu üzerinde sıfırın sağında olan) sayılara pozitif tam sayılar bu sayıların oluşturduğu kümeye pozitif tam sayılar kümesi denir. Pozitif tam sayılar kümesi " Z + " ile gösterilir. Z + = "1, 2, 3,......... , dir. Pozitif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça küçülürler. Dolayısıyla en küçük pozitif tam sayı " 1 " dir. c) Sıfır bir tam sayıdır, fakat işaretsizdir. Yani pozitif ya da negatif tam sayı değildir. 4) Rasyonel Sayılar Kümesi a ve b birer tam sayı ve b ! 0 olsun. İki tam sayının bölümü şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi " Q " ile gösterilir. Örnek 2 - 17 6 , , ,14, - 1,... birer rasyonel sayıdır. 5 19 13 4 5) İrrasyonel Sayılar Kümesi Rasyonel olmayan sayılara yani iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar denir. İrrasyonel sayılar kümesi “Q´” ile gösterilir. Örnek 5 ,5 - 2 , 7 ,... birer irrasyonel sayıdır. 3 Örnek − 65 + 93 işleminde Sayıların biri (-) diğeri (+) işaretli olduğundan sayı değeri büyük olandan yani 93 den sayı değeri küçük olan yani 65 çıkarılır. Toplamın sonucu 93 2 65 olduğundan olur. Buradan − 65 + 93 = 28 bulunur. Örnek 6) Reel (Gerçel, Gerçek) Sayılar Kümesi 124 - 175 işleminde Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesine Reel sayılar kümesi denir. Sayılar zıt işaretli ve 175 2 124 olduğundan 175 den 124 çıkarılır. Toplama, 175 in işareti yani (- ) işareti verilir. Reel sayılar kümesi " R " ile gösterilir. Buradan 124 − 175 = − 51 bulunur. R = Q , Q ' şeklinde ifade edilir. TEK VE ÇİFT TAM SAYILAR a) Tek tam sayılar n bir tam sayı olmak üzere 2n - 1 veya 2n + 1 şeklinde yazılabilen sayılara tek tam sayı denir. Tek tam sayılar kümesi "..... - 5, - 3, - 1,1, 3, 5,... , şeklinde ifade edilir. b) Çift tam sayılar n bir tam sayı olmak üzere 2n şeklinde yazılabilen sayılara çift tam sayı denir. Çift tam sayılar kümesi "... - 4, - 2, 0, 2, 4,.... , şeklinde ifade edilebilir. Not Toplama işleminde sayıların yerlerini değiştirmek işlemin sonucunu değiştirmez. Yani a − b = − b + a dýr. Örnek − 354 + 195 işleminde sayıların yerlerinin değişmesi işlemin sonucunu değiştirmez. Buradan − 354 + 195 = 195 − 354 = − 159 bulunur. Not TAM SAYILARDA İŞLEMLER Toplama işlemi a) Aynı işaretli sayıların toplanması İşaretleri aynı olan tam sayılar toplanırken önce sayı değerleri toplanır. Sonra toplama ortak olan işaret verilir. Örnek 32 + 14 + 29 işleminde Sayılarının hepsi pozitif (+) olduğundan sayı değerleri toplanır. Toplamın işareti “+” olur. Buradan 32 + 14 + 29 = 75 bulunur. Örnek İşlemde ters işaretli birkaç sayı varsa önce işareti aynı olanlar kendi aralarında toplanarak ifade düzenlenir. Örnek 36 − 73 + 86 − 118 işleminde iki tane pozitif (+ ) , iki tane negatif (- ) sayı olduğundan önce bu sayılar kendi aralarında toplanarak işlem düzenlenir. Sonra bulunan zıt işaretli sayılar toplanır. 36 − 73 + 86 − 118 = 36 + 86 − 73 − 118 = 122 − 191 = − 69 bulunur . - 45 - 11 - 73 işleminde Çıkarma İşlemi Sayıların hepsi negatif (- ) olduğundan sayı değerleri toplanır. Toplamın işareti " - " olur. Tam sayılarda çıkarma işlemi yapılırken birinci sayı aynen yazılır. İkinci sayının işareti değiştirilerek sayılar toplanır. Buradan − 45 − 11 − 73 = − (45 + 11 + 73) = − 129 bulunur. b) Zıt İşaretli Sayıların Toplanması İşareti farklı olan tam sayılar toplanırken sayı değeri büyük olandan sayı değeri küçük olan çıkarılır. Toplama, sayı değeri büyük olanın işareti verilir. Örnek 48 - 19= 48 + ( -19)= 29 33 - 76 =33 + ( -76) =-43 141 - ( -214) = 141 + (214) = 355 5 Çarpma İşlemi Örnek Tam sayılarda çarpma işlemi yapılırken önce işaretler çarpılıp çarpımın işareti bulunur. Sonra sayı değerleri çarpılır. Aynı işaretli sayıların çarpımı daima pozitiftir. ! 84 21 ( -84) : (16) = = - (pay ve payda 4 ile sadeleştirilirse) 16 4 ( -100) : ( -35) = Uyarı Yani ( + ) ⋅ ( + ) =+ ( -) ⋅ ( -) =+ 100 20 (pay ve payda 5 ile sadeleştirilirse) = 35 7 Kuvvet Alma Tabanda yazılan sayı kuvveti (üssü) kadar yan yana yan zılıp çarpılır. Yani a sayısında a taban, n kuvvet olmak üzere Zıt işaretli sayıların çarpımı daima negatiftir. Yani ( -) ⋅ ( + ) =- n a = a ⋅ a ⋅ a ⋅⋅⋅⋅ a şeklinde yazılabilir. ( + ) ⋅ ( -) =- n tane Not Örnek Parantez dışındaki bir işlem parantez içerisine dağıtılırken işaretler çarpılır. 4 2 sayısının değeri hesaplanırken tabandaki 2 sayısı 4 kez yan yana yazılıp çarpılır. ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 bulunur. Buradan 24 = 2 4 tan e Örnek Örnek ( -5) ⋅ ( -23) =115 ( -12) ⋅ (11) = -132 (18) ⋅ (12) = 216 (-3)3 sayısının değeri hesaplanırken tabandaki -3 sayısı 3 kez yan yana yazılıp çarpılır. Buradan ( -3)3 =( -3) ⋅ ( -3) ⋅ ( -3) =-27 bulunur. Bölme İşlemi 3 tan e Tam sayılarda bölme işlemi yapılırken önce işaretleri bölünüp bölümün işareti bulunur. Sonra sayı değerleri bölünür. Not 1) Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir. Not 2) Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir. Aynı işaretli sayıların bölümü daima pozitiftir. Yani ( + ) : ( + ) =+ ( -) : ( -) =+ Örnek Zıt işaretli sayıların bölümü daima negatiftir. ( -5)4 = 54 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 625 Yani ( -) : ( + ) =- ( -2)7 =-27 =-2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 =-128 ( + ) : ( -) =- Örnek Örnek ( -4)3 + ( -7)2 - ( -5)3 işleminde ( -68) : (17) = -4 (120) : (12) = 10 ( -111) : (37) = -3 ( -180) : ( -15) = 12 Eğer sayılar tam olarak bölünmüyorsa kesir olarak yazılır ve ifade sadeleştirilir. negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir. ! Uyarı Buradan ( -4)3 + ( -7)2 - ( -5)3 = ( -64) + (49) - ( -125) = -64 + 49 + 125 = -64 + 174 = 110 bulunur. 6 Bir sayının kuvveti (üssü) negatif ise önce tabandaki sayı ters çevrilerek kuvveti pozitif hale getirilir. Sonra işlem yapılır. Yani n -n ! Örnek Uyarı n 1 a b = a ,= gibi (a ≠ 0, b ≠ 0) a b a -n ( -2)3 - 22 - ( -2)4 ifadesinde Önce kuvvet alınıp sonra toplama işlemi yapılır. O halde ( -2)3 - 22 - ( -2)4 =-8 - 4 - 16 = -28 bulunur. Örnek Örnek 3 1 1 1 1 -3 (4)= = = 4= 43 4 ⋅ 4 ⋅ 4 64 [15 + ( -10) : (5) + 1] : 2 + 3 5 1 1 1 1 ( -2) = = = - 2 = ( -2)5 ( -2)( -2)( -2)( -2)( -2) 32 -5 2 1 1 1 1 ( -5)-2 = = = -5 = ( -5)2 ( -5)( -5) 25 ifadesinde Önce parantez içindeki işlemler yapılır. O halde [15 + ( -10) : (5) + 1] : 2 + 3 =[15 - 2 + 1] : 2 + 3 = 14 : 2 + 3 = 7+3 = 10 bulunur. Not 1) Sıfırdan farklı bütün sayıların sıfırıncı kuvveti 1’dir. 2) Bütün tam sayıların birinci kuvveti kendisidir. Örnek [18 : ( -3) + 3 ⋅ ( -2)] - [2004 ⋅ 13 + 2007] 0 ifadesinde Önce parantez içindeki işlemler yapılır. O halde [18 : ( -3) + 3( -2)] - [ 2004 ⋅ 13 + 2007 ] Örnek 0 3 (8) =1, ( -27) =1, (2009) =1, =1 8 0 0 =[ -6 - 6] - 1 0 ýfýrdan (s farklýbütün (sıfırdan farklı bütün) ýlarýsayıların say n sýfýrýncýkuvveti 1 dir.) sıfırıncı kuvvetli 1’dir. = -12 - 1 = -13 bulunur. 1 1 1 3 = 3, ( -5) = -5, - = 5 5 1 0 1 İŞLEM ÖNCELİĞİ RASYONEL SAYILAR Parantezlerle ayrılmış ifadelerde önce parantez içindeki işlemler yapılır. a şeklinde yazıb labilen sayılara rasyonel sayı (kesir) denir. Parantez içerisinde, (i) Kuvvet alınır. a ve b birer tam sayı, b ≠ 0 olmak üzere a b kesrinde a’ya pay, b’ye payda denir. (ii) Çarpma işlemi veya bölme işlemi yapılır. (iii)Toplama işlemi veya çıkarma işlemi yapılır. Örnek 12 - ( -15) : 5 - 4 ifadesinde İşlem önceliğine göre önce bölme işlemi sonra çıkarma işlemi yapılır. O halde 12 - ( -15) : 5 - 4= 12 - ( -3) - 4 = 12 + 3 - 4 = 15 - 4 = 11 bulunur. RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Toplama ve Çıkarma İşlemi Paydaları eşit olan rasyonel sayılar toplanırken veya çıkarılırken ortak payda aynen yazılır. Payları toplanıp veya çıkarılıp paya yazılır. O halde a c a+c + = , b b b a c a-c - = dir. b b b 7 Bölme İşlemi Örnek Rasyonel sayılar bölünürken birinci kesir aynen yazılır. İkinci kesir ters çevrilip çarpılır. 3 11 5 + - ifadesinde 8 8 8 Yani Paydaları eşit olduğu için payları toplanır ve çıkarılır. O halde 3 11 5 3 + 11 - 5 14 - 5 += = 8 8 8 8 8 9 = bulunur. 8 a c a d a⋅d : = ⋅ = dir. b d b c b⋅c Örnek 64 24 : ifadesinde 21 35 24 Birinci kesir yani 64 aynen yazılır ikinci kesir yani 35 21 ters çevrilir çarpılır. Not Rasyonel sayıların paydaları farklı ise önce paydalar en küçük katında eşitlenir. Sonra toplama veya çıkarma işlemi yapılır. 8 O halde Örnek Not 3 2 1 ifadesinde paydalar birbirinden farklıdır. + + 4 3 6 Bundan dolayı önce kesirlerin paydaları en küçük ortak katları olan 12 de birleştirilir. O halde Tam sayılarda verilen işlem önceliği rasyonel sayılarda da geçerlidir. 3 2 1 9 + 8 + 2 19 bulunur. + = + = 4 3 6 12 12 (3) ( 4) Örnek (2) Örnek 3- 1 7 ifadesinde + 5 10 Tam sayıların paydaları 1 olarak alınıp işlem yapılır. Dolayısıyla paydalar en küçük katları yani 10 da birleştirilir. 4- 4 1 7 40 - 2 + 7 47 - 2 45 9 - + = = = = O halde bulunur. 1 5 10 10 10 10 2 (10) (2) 3 2 1 ⋅ + ifadesinde 4 6 2 Önce çarpma işlemi sonra toplama ve çıkarma işlemi yapılırsa, 3- 3 2 1 6 1 ⋅ + =3 + 4 6 2 24 2 3 1 1 = - + 1 4 2 ( 4) Çarpma İşlemi Rasyonel Sayılarda çarpma işleminden önce sayılar sadeleşebiliyorsa mutlaka sadeleştirilmelidir. Örnek 32 35 ifadesinde : 10 14 Önce sadeleştirme işlemleri yapılırsa 16 7 32 35 16 ⋅ = = 8 bulunur. 2 10 2 14 7 ! (2) 12 - 1 + 2 = 4 14 - 1 = 4 13 = bulunur. 4 Rasyonel sayılar çarpılırken paylar çarpılıp paya, paydalar çarpılıp paydaya yazılır. a c a⋅c Yani ⋅ = dir. b d b⋅d O halde 5 64 24 64 35 8 5 40 : = ⋅ = ⋅ = bulunur. 21 35 21 3 24 3 3 3 9 Uyarı Örnek 1 1 3 5 - : + ifadesinde 4 4 8 8 Önce bölme işlemi sonra toplama ve çıkarma işlemleri yapılırsa 2 1 1 3 5 1 1 8 5 + - : + = - ⋅ 4 4 8 8 4 4 3 8 1 2 5 = - + 4 3 8 (6) (8) (3) 6 - 16 + 15 = 24 5 = bulunur. 24 8 HARFLİ İFADELER Bir reel sayı ve a, b, c, x, y, z,… gibi harflerle yazılan ifadelere harfli ifadeler denir. 3x + 4xy + 6yx + x2 ifadesinde 4xy ile 6yx benzer terimdir. 3x ile x2 benzer terim değildir. Örnek 3x, - 17ab, Örnek 8 2 2 2 x y z , 4x + 5y - 2z,... 9 HARFLİ İFADELERLE İŞLEMLER ifadeleri birer harfli ifadedir. Toplama ve Çıkarma İşlemi 3x ifadesi 3 ve x den oluşan bir harfli ifadedir. -17ab ifadesi -17, a ve b den oluşan bir harfli ifadedir. Harfli ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi yapılırken benzer olan terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır. TERİM: Bir harfli ifadede toplama (+) veya çıkarma (-) işlemi ile ayrılan kısımlara terim denir. Örnek 8x + 13y - 4z ifadesinde 8x birinci terim, 13y ikinci terim -4z üçüncü terim olur. KATSAYI: Örnek 3x + 7x - 2x = (3 + 7 - 2)x = 8x dir. Örnek 4a + 9b + 2a - b = 4a + 2a + 9b - b = 6a + 8b dir. Örnek x 2 y + 5x 3 - 3x 2 y - 2x 3 = x 2 y - 3x 2 y + 5x 3 - 2x 3 Bir harfli ifadenin her bir teriminde bulunan reel sayıya bulunduğu terimin katsayısı denir. Örnek 3a + 7b + 5c ifadesinde Birinci terimin katsayısı 3, İkinci terimin katsayısı 7, Üçüncü terimin katsayısı 5’tir. BİLİNMEYEN: Bir harfli ifadenin her bir teriminde kullanılan x, y, z, a, b, c, … gibi harflere bilinmeyen denir. Örnek 3x ifadesinin katsayısı 3 ve bilinmeyeni x’dir. 8 ab ifadesinin katsayısı 8 ve bilinmeyenleri a ve b’dir. BENZER TERİM: Bir harfli ifadede bilinmeyenler ve bilinmeyenin kuvvetleri eşit ise bu terimlere benzer terim denir. Benzer terimlerin katsayıları farklı olabilir. Örnek 4a + 5b2 - 3a - 7b2 ifadesinde 4a ile -3a benzer terim, 5b2 ile -7b2 benzer terimdir. = -2x 2 y + 3x 3 dir. Çarpma İşlemi Harfli ifadeler çarpılırken önce katsayıları çarpılır. Sonra tabanları aynı olan bilinmeyenlerin kuvvetleri toplanır. Örnek +1 3x ⋅ 5x = 15x1= 15x 2 3 3 8x 2 ⋅ 6x= 48x 2 += 48x 5 7x 2 ⋅ 5xy 4= 35x 2 +1 ⋅ y 4= 35x 3 ⋅ y 4 -12x 5 ⋅ 4x 4 ⋅ y 4 = -48x 5 + 4 ⋅ y 4 = -48x 9 y 4 Örnek x(x 2 + x + 2) = x 3 + x 2 + 2x (x + 3)(2x + 5) = 2x 2 + 5x + 6x + 15 = 2x 2 + 11x + 15 Bölme İşlemi Harfli ifadeler bölünürken önce katsayıları bölünür. Sonra tabanları aynı olan bilinmeyenlerin kuvvetleri çıkarılır. Örnek 16x 7 7 -3 = 2x = 2x 4 8x 3 -60x 3 y 2 y 2 -1 4y = -4 4 - 3 = 4 15x ⋅ y x x 9 Kuvvet Alma Örnek Harfli ifadelerde kuvvet alınırken her bir çarpanın ayrı ayrı kuvvetleri alınıp çarpılır. Eğer bilinmeyenlerin kuvveti var ise kuvvet alınırken kuvvetler çarpılır. Örnek 5x - 4 = 11 ifadesinin sağlayan x değerini bulabilmek için 5x - 4 = 11 denkleminde bilinenler eşitliğin bir tarafına bilinmeyenler eşitliğin diğer tarafına alınır. Buradan 5x - 4 = 11 ⇒ 5x = 15 ⇒ x = (3x)2 = 32 ⋅ x 2 = 9x 2 ( -5x 3 )3 = ( -5)3 ⋅ (x 3 )3 = -125 ⋅ x 9 (x + y)2 ≠ x 2 + y 2 şeklinde yazılamaz. Toplam veya fark şeklinde yazılan harfli ifadelerin kuvvetleri çarpanlara ayırma konusu içerisinde anlatılacaktır. 15 = 3 bulunur. 5 Örnek ! Uyarı 3(x + 2) = 4x - 3 ifadesindeki denkleminin kökü, denklemi sağlayan bilinmeyenin değeri yani x in değeridir. O halde 3 (x + 2) = 4x − 3 & 3x + 6 = 4x − 3 & 6 + 3 = 4x − 3x 9 = x bulunur. DENKLEMLER Örnek BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a ve b birer reel sayı olmak üzere ax + b =şeklinde 0 yazılabilen denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Örnek x x + = 8 3 5 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) - 15 C) {-15} D) {15} E) {-15, 15} Çözüm: 3x + 7 = 18 birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. 4(x - 3) + 5 = 2x - 18 birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. Verilen ifadede önce eşitliğin her iki tarafındaki sayıların paydaları eşitlenmelidir. x x 8 5x + 3x 120 + = ⇒ = 3 5 1 15 15 (5) (3) (15) ⇒ 8x = 120 ÇÖZÜM KÜMESİ BULMA Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde denklemi sağlayan bilinmeyenin değerine denklemin çözümü ya da kökü denir. Denklemin kökünün oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir. Çözüm Kümesi Bulunurken; ⇒ x= 120 = 15 dir. 8 Buradan çözüm kümesi {15} bulunur. Örnek x-3 = 9 ise x kaçtır? 2 A) 22 B) 21 C) 19 x- 1) Payda eşitlemesi yapılır. 2) Parantezler dağıtılır. 3) Bilinmeyenler eşitliğin bir tarafına reel sayılar eşitliğin diğer tarafına alınır. 4) Eşitliğin her iki tarafı bilinmeyenin katsayısına bölünür. Sayılar ve bilinmeyenler eşitliğin bir tarafından diğer tarafına geçerken işaret değiştirir. B) 15 ! Uyarı D) 17 Çözüm: Verilen ifadede payda eşitlemesi yapılırsa x x-3 9 2x - (x - 3) 18 =⇒ = 1 2 1 2 2 (2) (2) ⇒ 2x - x + 3 = 18 ⇒ x+3= 18 ⇒ x = 18 - 3 = 15 bulunur. E) 15 10 Örnek x - 3 2x - 1 5 = ise x kaçtır? 4 3 12 A) -1B) -2C) - 18 21 D) - E) -5 5 5 Yok edilecek bilinmeyenin katsayısı zıt işaretli olacak şekilde düzenlenir. Sonra denklemler taraf tarafa toplanarak bilinmeyenlerden biri yok edilir. Bulunan değer denklemlerin birinde yerine yazılarak diğer bilinmeyenin değeri bulunur. Örnek x+y= 8 x-y= 14 denklem sisteminin çözüm kümesi bulunurken Çözüm: Verilen ifadede payda eşitlemesi yapılırsa, x - 3 2x - 1 5 3(x - 3) - 4(2x - 1) 5 =⇒ = 4 3 12 12 12 (3) ( 4) y lerin katsayıları eşit ve işaretleri zıt olduğundan y leri yok etmek daha kolaydır. x+ y =8 + (1) ⇒ 3x - 9 - 8x + 4 = 5 ⇒ - 5x - 5 =5 ⇒ - 5x =10 10 ⇒ x= = -2 bulunur. -5 BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a, b, c birer reel sayı olmak üzere, ax + by + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler denir. Örnek 3x + 2y = 6 birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklemdir. x y 1 + = birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklemdir. 5 3 9 2x = 22 x = 11 dir. x - y = 14 ⇒ 11 - y = 14 ⇒ 11 - 14 = y ⇒ -3 = y dir. Buradan çözüm kümesi {(11, - 3)} bulunur. Örnek x + 3y = 13 2x + y = 6 denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {1, 4} B) {1} C) {4} D) {(1, 4 )} E) {( 4, 1)} Çözüm: Birinci denklem -2 ile çarpılırsa ve ikinci denklemle toplanırsa x bilinmeyeni yok edilir. - 2 / x + 3y = 13 2x + y = 6 İKİLİ a ve b birer reel sayı olmak üzere (a, b) şeklinde yazılan ifadelere ikili denir. (a, b) ifadesinde a ya ikilinin birinci bileşeni, b ye ikilinin ikinci bileşeni denir. Örnek (3, 4) ifadesinde birinci bileşen 3 ve ikinci bileşen 4’tür. ÇÖZÜM KÜMESİ: Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerin kökleri (x, y) ikilisi şeklindedir. x - y = 14 - 2x - 6y = -26 + 2x + y = 6 - 5y = -20 -20 = y = 4 dür. -5 Bulunan y değeri herhangi bir denklemde yerine yazılırsa x + 3y = 13 ⇒ x + 12 = 13 ⇒ x = 1 olur. Burada çözüm kümesi {(1, 4)} bulunur. SIRALAMA > (büyük), ≥ (büyük ve eşit) Çözüm kümesi {(x, y)} şeklinde yazılır. < (küçük), ≤ (küçük ve eşit) İki bilinmeyenli denklemlerin çözüm kümesinin bulunabilmesi için en az iki denkleme ihtiyaç vardır. sembolleriyle yazılan ifadelere eşitsizlik denir. Birinci dereceden iki bilinmeyenli iki denklemin çözüm kümesi bulunurken bilinmeyenlerden birini yok etmek yeterlidir. x > y ifadesi x büyük y x < y ifadesi x küçük y şeklinde okunur. 11 Örnek Örnek x > 3, 3'ten büyük sayıları x ≥ 3, 3 ve 3'ten büyük sayıları x < 4, 4'ten küçük sayıları x ≤ 4, 4 ve 4'ten küçük sayıları ifade eder. x -1 x - 4 1 ≥ eşitsizliğinde çözüm aralığı bulunurken 2 3 4 öncelikle payda eşitlemesi yapılır ve ifade düzenlenirse x -1 x - 4 1 6(x - 1) - 4(x - 4) 3 ≥ ⇒ ≥ 2 3 4 12 12 (6) (4) ⇒ 6x - 6 - 4x + 16 ≥ 3 ⇒ 2x + 10 ≥ 3 ⇒ 2x ≥ -7 7 ⇒ x ≥ - bulunur. 2 Not 1) Pozitif sayılar sıfıra yaklaştıkça küçülür, sıfırdan uzaklaştıkça büyür. 18 > 13, 29 < 37...gibi 2) Negatif sayılar sıfıra yaklaştıkça büyür sıfırdan uzaklaştıkça küçülürler. -3 > -7, - 103 < -93 Örnek 18 ile 13 sayıları sıralarken sıfıra uzaklıklarına bakılmalıdır. Sıfıra yakın olan sayı 13 küçük, 18 büyüktür. Yani 18 > 13 dür. -13 ile -8 sayılarını sıralarken 0 (sıfır)’a olan uzaklıklarına bakılmalıdır. Sıfıra yakın olan sayı yani -8 büyük, -13 küçüktür. (3) ORAN – ORANTI Aynı türden çoklukların bölünerek karşılaştırılmasına oran denir. a şeklinde gösterilir. a'nın b'ye oranı b ORANTI İki veya daha fazla oranın eşitliğine orantı denir. a c ve ayrı ayrı birer orandır. Bu oranlar eşitlenirse b d a c = bir orantı olur. b d Yani -8 > -13 tür. Özellikler EŞİTSİZLİK 1. a c = şeklinde verilen bir orantıda a ⋅ d = b ⋅ c dir. b d a, b birer reel sayı olmak üzere ax + b > 0 şeklinde yazılan ifadelere eşitsizlik denir. 2. a c = = k ise a= b ⋅ k ve c= d ⋅ k dır. b d Eşitsizlikler denklemlerdeki çözüm yöntemlerine benzer şekilde çözülür. Eşitsizliklerin çözüm kümesi reel sayı aralıkları şeklindedir. 3. Bir orantıda her bilinmeyen karşısında bulunan reel sayının bir katıdır. Yani; Örnek x + 5 < 13 eşitsizliğinde x + 5 < 13 ⇒ x < 13 - 5 ⇒ x < 8 bulunur. Örnek 2(x + 3) < 3x + 4 eşitsizliğinde ifadeyi düzenleyecek olursak 2(x + 3) < 3x + 4 ⇒ 2x + 6 < 3x + 4 ⇒ 6 - 4 < 3x - 2x ⇒ 2 < x bulunur. a b = c d ise a = c ⋅ k ve b = d ⋅ k (k ∈ R) dir. Örnek a 3 = orantısında b 5 a'nın karşısında 3 olduğundan a= 3 ⋅ k b'nin karşısında 5 olduğundan b= 5 ⋅ k dır. Örnek 4x = 9y → orantısında x 9 = yazılabilir. y 4 x in karşısında 9 olduğundan x= 9 ⋅ k y nin karşısında 4 olduğundan y= 4 ⋅ k dır. 12 İki Kare Farkı Özdeşliği Örnek 2x + y 5 x = ise oranını hesaplayabilmek için x-y 3 y Verilen ifade de içler-dışlar çarpımı yapılırsa 2x + y 5 = x−y 3 & 6x + 3y = 5x − 5y & x = − 8y dir. x 8y = − 8 bulunur. O halde = y y x ve y birer reel sayı olmak üzere x 2 - y 2 = (x - y) ⋅ (x + y) dir. Örnek x 2 - 1 = x 2 - 12 = (x - 1) ⋅ (x + 1) x 2 - 4 = x 2 - 22 = (x - 2) ⋅ (x + 2) x 2 - 9 = x 2 - 32 = (x - 3) ⋅ (x + 3) 4x 2 - 9= (2x)2 - 32= (2x - 3) ⋅ (2x + 3) 16y 99x x 2 −-16 y 2 == ((3x 3x) 2)−-((4y) 4y) 2 ==(3(3x x − -4y4y) ) : (⋅3(3x x + 4+y4y) ) 2 Örnek 3x + 4 3 = ifadesinde x-5 2 Verilen ifade de içler-dışlar çarpımı yapılır denklem düzenlenirse 3x + 4 3 = ⇒ 2(3x + 4) = 3(x - 5) x-5 2 ⇒ 6x + 8 = 3x - 15 ⇒ 3x = -23 23 ⇒x= bulunur. 3 ORTAK PARANTEZE ALMA Verilen ifadelerde ortak olan en küçük kuvvetli terimi paranteze alma işlemine ortak paranteze alma denir. Örnek 3x + 21 ifadesinde her iki terimde de ortak olan 3 çarpanı olduğundan ifade 3 parantezine alınabilir. 2 2 xx −-yy== (( xx) )22−-(( yy) 2)2== (( xx−- yy) ): ⋅( ( xx++ y y) ) Örnek 103 2 - 97 2 ifadesinde 6 Kesrin pay kısmı iki kare farkı olduğundan 1032 - 972 (103 - 97) ⋅ (103 + 97) = 6 6 6 ⋅ 200 = 6 = 200 bulunur. Örnek 562 - 542 =⋅ k 11 ifadesinde eşitliğin sol tarafı iki kare farkı olduğundan 562 - 542 =k ⋅ 11 ⇒ (56 - 54) ⋅ (56 + 54) =11⋅ k ⇒ 2 ⋅ 110 Buradan 3x + 21 = 3(x + 7) bulunur. Örnek 2 10 = 11 ⋅ k ⇒k= 20 bulunur. Tam Kare Açılımları 3x 3 + 2x 2 ifadesinde her iki terimde de ortak olan çarpan x 2 olduğundan ifade x 2 ortak parantezine alınabilir. x ve y birer reel sayı olmak üzere Buradan 3x 3 + 2x 2= x 2 (3x + 2) bulunur. (x - y)2 =x 2 - 2xy + y 2 dir. Örnek (x + y)2 =x 2 + 2xy + y 2 Örnek x 2 y 5 + x 3 y 4 ifadesinde her iki terimde de ortak olan çarpan x 2 y 4 olduğundan ifade x 2 y 4 ortak parantezine alınabilir. (x + 1)2 = x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 1 + 12 = x 2 + 2x + 1 Buradan x 2 y 5 + x 3 y 4= x 2 y 4 (y + x) bulunur. (x + 3)2 = x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 3 + 32 = x 2 + 6x + 9 Örnek 98 ⋅ 47 - 96 ⋅ 47 ifadesinde 47 çarpanı ortak olduğundan ifade 47 ortak parantezine alınabilir. Buradan 98 ⋅ 47 - 96 ⋅ 47 = 47(98 - 96) = 47 ⋅ 2 = 94 bulunur. (x - 2)2 = x 2 - 2 ⋅ x ⋅ 2 + 22 = x 2 - 4x + 4 ( x + y )2 = x + 2 xy + y Örnek 4x 2 + 4x + 1 = (2x + 1) 2 9x 2 − 12x + 4 = (3x − 2) 2 x 4 − 4x 2 y 2 + 4y 4 = (x 2 − 2y 2) 2 x 6 − 2x 3 y 3 + y 6 = (x 3 − y 3) 2 13 ÇÖZÜMLÜ TEST - 1 1. (3 + 3 −1) − c 4 + A) 1 m işleminin sonucu kaçtır? 2 7 1 B) 6 6 1 7 C) - D) - E) -2 6 6 2. 6(− 9) + 16@: 4 − 2 işleminin sonucu kaçtır? 1 A) - 4 B) 0 C) 1 1 1 D) E) 4 3 2 6. 61 - (- 2) - (- 3) - (- 4) - (- 5)@: (- 3) işleminin sonucu kaçtır? 1 1 C) D) 3 E) 5 A) -5B) - 5 5 7. 63 - (- 2) : (2 - (- 3))@ : 13 -1 işleminin sonucu kaçtır? 1 D) 1 E) -13 A) 196 B) 13 C) 13 2 8. 8 3. 4 - 2 : (1 ⋅ 3 - 15 : (-5)) işleminin sonucu kaçtır? A) 2 11 17 19 22 B) C) D) E) 3 4 3 7 4. -1 + 2 - 3 + 4 ... - 29 işleminin sonucu kaçtır? A) 15 5. B) 14 C) -15D) -25E) -30 2 - 3 68 - 1 - (- 2) - 7@ işleminin sonucu kaçtır? - 1 - (- 3) - (5) A) 5 4 2 1 1 B) C) D) E) 3 3 3 3 4 4 işleminin sonucu kaçtır? 12 83 A) 7 0 9. (-3) B) 8 C) 9 D) 12 E) 16 ⋅ (-2)2 ⋅ (1 - 5)-1 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 1 2 C) 0 1 D) - E) -1 2 10.(100 - 1)2 (100 - 2)2 ... (100 - 200)2 işleminin sonucu kaçtır? A) -101! B) -100! C) 0 D) 101! E) 102! 14 5 5 4 4 8 8 11. : + : + : işleminin sonucu kaçtır? 6 6 7 7 9 9 1 1 1 B) C) 2 4 3 A) D) 2 J N K1 1 1 O 1 16. K − + O: işleminin sonucu kaçtır? KK 6 4 2 OO 3 3 9P L 13 25 47 43 29 B) C) D) E) A) 3 2 3 4 3 E) 3 2 6 4 c + − m 7 5 3 17. : 2 −1 işleminin sonucu kaçtır? 2 3 1 c − − m 3 5 7 1 1 1 1 1 1 12. − − c + − m + işleminin sonucu kaçtır? 3 4 5 3 4 2 1 3 2 3 4 B) C) D) E) 5 10 5 5 5 A) A) 6 18.1 − 13. 2 − 1 2 + 1 : 1 işleminin sonucu kaçtır? 1 2 2 1+ 2 1− A) 1 B) 4 8 C) 3 3 D) 3 A) E) J 1 N O K 1− 21: 3 + 1 3 O işleminin sonucu kaçtır? o:K 14. e 8: (− 2) + 3 KK −1 + 1 OO 3 3P L 3. B 4. C 5. B 6. A 7. B 8. A 1 1+ 1 2 B) 3 3 1 2 işleminin sonucu kaçtır? C) 1 D) 3 2 E) 2 1 2 1 2 1 B) C) D) - E) 2 3 6 3 2 20. c1 + 1 1 1 1 mc1 + mc1 + m ... c1 + m işleminin sonucu 2 3 4 12 kaçtır? 3 3 5 + işleminin sonucu kaçtır? 4 4 5 1 29 29 33 39 C) D) E) A) B) 2 20 10 10 10 2. A +1+ E) 8 15. 1. D 1 2 D) -3E) -4 0, 09 0, 21 0, 18 − + o + 1 işleminin sonucu kaçtır? 0, 9 0, 3 1, 8 A) D) 4 1 1− C) 2 10 3 19. e A) -8B) -6C) -4 B) 4 9. E 10. C A) 11. E 12. B 11 13 15 B) C) 2 2 2 13. C 14. A 15. E 16. C 17. E D) 8 18. B E) 19. A 17 2 20. B 15 ÇÖZÜMLER 2 7. 63 + 2 : (5)@ : 13 −1 = (13) 2 : 13 −1 = 169 : − 1. (3 + 3 1) − c 4 + 2 m = c 3 + 3 m − c 4 + 2 m 1 = 1 1 10 9 20 − 27 7 − = = − bulunur. 3 2 6 6 (2) 1 = 13 bulunur. 13 Cevap B (3) Cevap D 2. 6− 9 + 16@ : 4 − 2 = 7: 4 − 2 = 7 7 2 1 − 2 = − = − bulunur. 4 4 1 4 (4) Cevap A 8. 8 − 4 4 4 = 8− = 8 − = 7 bulunur. 12 4 8−4 3 8− Cevap A 3. 4 − 2: (3 + 3) = 4 − 2 4 2 22 11 = − = = bulunur. 6 1 6 6 3 (6) Cevap B 9. (− 3) 0 : (− 2) 2 : (1 − 5) −1 = 1 : 4 : −1 = − 1 bulunur. 4 Cevap E 4. Verilen ifade 2 şerli gruplandırılırsa − 1 + 2 − 3 + 4 + ... − 27 + 28 − 29 SS 1 44 2 44 3 1 1 1 1 + 1 + ... + 1 − 29 = 14 − 29 = − 15 bulunur. 1 444 2 444 3 14 tan e Cevap C 10. (100 − 1) 2 : (100 − 2) 2 ... (100 − 100) 2 ... (100 − 200) 2 1 4 44 2 4 44 3 0 olduğundan ifadenin çarpımı 0’a eşittir. − 6 − + − @ − − 5. 2 3 8 1 2 7 = 2 3 : 2 = 4 = 4 bulunur. −1 + 3 − 5 −3 −3 3 Cevap C Cevap B 6. 61 + 2 + 3 + 4 + 5@ : (− 3) = 15: (− 3) = − 5 bulunur. Cevap A 11. İfadede bölme işlemleri yapılacak olursa 5 6 4 7 8 9 : + : + : = 3 bulunur. 6 5 7 4 9 8 Cevap E 16 1 1 1 1 1 1 1 1 −2 + 5 3 − − + + =− + = = bulunur. 3 4 5 3 4 2 5 2 10 10 12. − (2) (5 ) Cevap B 17.Verilen ifadenin payı -2 ortak parantezine alınacak olursa − 2c − 1 3 2 − + m 1 7 5 3 : 2 −1 = (− 2) : = (− 2) : 2 = − 4 bulunur. 2 3 1 2 − − 3 5 7 Cevap E 13. 1 1 1 1 1 2 2 1 1 6−1+3 − + = 2− 2 + : = 2− + : = 3 2 2 3 2 1 1 3 1 3 (3) (3) 2 = 8 bulunur. 3 Cevap C 18.1 − 1 1 2 2 2 + 1 + = 2 − + = bulunur. 1 3 1 3 3 2 2 Cevap B J 2 N 7+1 K 3 O 8 O= mK 14. c : 1 = − 8 bulunur. −4 + 3 K1 1 O −1 K + O L3 3P Cevap A 19.İfadedeki terimler ondalıklı sayılardan kurtarılacak olursa 15. 3 3 5 5 3 1 15 3 + = 3: + : = + 4 4 4 5 4 4 20 (5) 5 = c 9 21 18 − + m + 1 olur. 90 30 180 c −5 1 7 1 1 − + m+ 1 = + 1 = bulunur. 10 10 10 10 2 Cevap A 78 39 = bulunur. 20 10 Cevap E 16.Verilen ifade düzenlenip, payda eşitlemesi yapılırsa J1 3 9N 3 2 − 9 + 54 3 m: K − + O: = c 12 1 K6 4 2O 1 L (2) (3) (6) P 47 = bulunur. 4 Cevap C 20.İfade düzenlenip rasyonel sayılarda çarpma işlemi uygulanacak olursa 3 4 5 13 13 = bulunur. : : ... 2 3 4 12 2 Cevap B 17 CEVAPLI TEST - 1 1. A = {FENERBAHÇE} kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 11 5. Tam sayılar kümesi ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) Sıfır pozitif tam sayıdır. B) Bütün doğal sayılar aynı zamanda tam sayıdır. C) Sıfır negatif tam sayıdır. D) İki tam sayının bölümü yine bir tam sayıdır. E) Pozitif bir tam sayı ile negatif bir tam sayının toplamı pozitiftir. 2. Aşağıdakilerden hangisi bir küme belirtmez? A) Tek doğal sayılar B) 12’den küçük tam sayılar C) 4 ile 5 arasındaki tam sayılar D) Bazı doğal sayılar 6. 12 - (-5 + 4) işleminin sonucu kaçtır? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 E) Pozitif olmayan sayılar 7. 18 : 6 - 4 ⋅ 2 + 3 işleminin sonucu kaçtır? A) 21 B) 14 C) 8 D) -1E) -2 3. A = {a, {b}, c, {d, e}} kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Eleman sayısı 4’tür. B) a, A kümesinin bir elemanıdır. C) b, A kümesinin bir elemanıdır. D) {d, e}, A kümesinin bir elemanıdır. 8. 22 + 50 - (-1)4 + 118 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 E) c, A kümesinin bir elemanıdır. 9. [8 - 3 - 15] - [6 - (3 - 2)] işleminin sonucu kaçtır? A) -15B) -10C) -5 D) 5 E) 10 4. Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur? A) En küçük rakam 1’dir. B) En küçük pozitif tam sayı 0’dır. C) En büyük negatif tam sayı -1’dir. D) En küçük doğal sayı 1’dir. E) En küçük tam sayı 1’dir. 2 -2 10.3 - 3 işleminin sonucu kaçtır? A) - 80 9 8 B) - 9 C) 8 D) 8 80 E) 9 9 18 11. 64 2 − 8 0 : 9@ : 68 + (− 6 − 4)@ işleminin sonucu kaçtır? 16. A) -1B) -7C) -14D) -21E) -24 12. 63 : 2 - 5 : 3 -1@ : 1 1 1 1 1 A) - B) - C) - D) E) 5 10 15 20 30 1 işleminin sonucu kaçtır? 6 A) -2B) -2 C) 0 D) 1 18 14 3 işleminin sonucu kaçtır? : 35 27 10 17. c E) 2 20 15 1 + işleminin sonucu kaçtır? m: 21 42 3 A) 3 13. 4 -1 : 8 1 -4 c m 2 B) 5 2 C) 2 D) 3 2 E) 1 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 18. c 1 1 1 1 C) D) E) 2 4 8 16 4 1 3 2 − m : c + m işleminin sonucu kaçtır? 3 4 2 3 A) 2 B) 3 2 C) 1 D) 1 1 E) 2 3 14.Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur? A) 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 5 ⋅ 3 B) 2 + 2 + 2 = 23 19. C) 80 = 0 A) 6 D) (-1) = 1 E) 3 15. -2 1. A 20. 5 29 17 25 23 B) C) D) E) 2 24 6 24 24 2. D 1 1 1 1 1 B) C) D) E) 6 5 4 3 2 = -9 5 3 1 + − işleminin sonucu kaçtır? 8 4 6 A) 3 4 6 : : işleminin sonucu kaçtır? 8 9 5 3. C 4. C 5. B 6. D 7. E 8. A 9. A 10. E 12 16 25 + + işleminin sonucu kaçtır? 36 48 75 A) 11. C 12. B 1 1 B) 3 2 13. D 14. D 15. B C) 1 16. E 17. A D) 2 18. D E) 3 19. B 20. C 19 CEVAPLI TEST - 2 1. 12x - 5y + 7xy ifadesinin katsayılar toplamı kaçtır? A) 24 B) 20 2 C) 16 D) 14 6. 43 ⋅ 64 + 43 ⋅ 36 işleminin sonucu kaçtır? A) 43000 E) 10 B) 4300 C) 430 D) 43 E) 4,3 2 2. A = 6x - 4y + 6xy - 5 B = 3y2 - 4x2 - 6xy + 7 olduğuna göre, A + B toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 7. A) 2008 A) 2x2 + y2 + 2 2 2009 2 - 1 işleminin sonucu kaçtır? 1005 B) 2416 D) 3416 C) 3016 E) 4016 2 B) 2x - y - 2 2 2 C) 2x - y + 2 D) x2 + 2y2 + 2 2 2 E) x - 2y + 2 8. xy - xz = 32 3. 10x 4 y 3 5x 2 y 2 − x2 y6 y5 + 4x 6 2x 6 y=z+4 olduğuna göre, x kaçtır? ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 16 2 A) 3x y - 2x B) x2y + 2 C) 2x2y - 2 2 D) 2x y + 2 E) x2y 9. x−7 − x = 5 denklemini sağlayan x değeri kaçtır? 4 A) -10B) -9C) -8D) -7E) -6 4. x - y = 8 2 2 x - y = 96 olduğuna göre, x + y nin değeri kaçtır? A) 16 B) 14 C) 13 D) 12 E) 10 2 2 5. x = y + 4 olduğuna göre, x - 2xy + y nin değeri kaçtır? A) 36 B) 32 C) 28 D) 20 E) 16 10.x - 2(3x - 1) = 4(x - 3) - 10x denkleminin kökü kaçtır? A) -10B) -12C) -13D) -14E) -15 20 11.x - 2y = 4 16.x ve y tam sayıdır. x<8 olmak üzere x - y farkı en az kaçtır? 2x + y = 13 y < − 14 denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 25 B) 24 C) 23 D) 22 E) 21 D) 2 E) A) "^- 6, - 1 h, B) "^- 6, 1 h, C) "^6, - 1 h, D) "^1, 6 h, E) "^6, 1 h, 17. 12.x ve y doğal sayıdır. a+b a 3 = ise oranı kaçtır? b 5 3a − b A) 4 B) 2 2 x - y = 13 olduğuna göre, y kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 3x + 4 4 = olduğuna göre, x kaçtır? 3 x−2 A) -4B) -3C) -2 A) D) 3 E) 4 14. x 2x 35 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam + > 2 3 6 sayı değeri kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 C) 3 3 2 E) 9 18.5x = 4y ise 13. 7 2 D) 7 E) 8 19. x2 − y2 oranı kaçtır? x2 + y2 7 9 19 9 7 B) C) D) E) 25 41 25 41 25 a a + 3b 7 = olduğuna göre, oranı kaçtır? b 3 a−b A) 1 4 B) 2 C) 4 D) 17 4 E) 5 15.x = -42 y = -35 z = -40 x, y, z nin küçükten büyüğe doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir? A) z < y < x B) y < z < x D) x < y < z 1. D 2. C 3. B 4. D C) y < x < z 20. E) x < z < y 5. E 6. B 7. E 8. C x y = ve 2x + y = 32 olduğuna göre, x ⋅ y çarpımı 3 2 kaçtır? A) 60 9. B 10. D 11. E 12. B 13. A B) 66 14. C 15. E C) 72 16. B D) 84 17. D 18. D E) 96 19. C 20. E
