EM302 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI 2. YARIYILİÇİ SINAVI Y.Doç.Dr

EM302 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI
2. YARIYILİÇİ SINAVI
Y.Doç.Dr. Özgür Kabak
28.12.2012
SORULAR VE CEVAPLAR
1. Ayşe kırmızı başlığı ile şirin ve yardımsever bir kızdır. Her gün annesinin pişirdiği yemekleri babaannesine
götürmektedir. Küçük kızın babaannesinin evine gitmesi için ormanın içinden geçmesi gerekmektedir.
Aşağıdaki şekilde A annesinin evini, B Babaannesinin evini ve aradaki yollar ise ormandaki patikaları
gösterir.
Kötü kalpli kurt Ayşe’nin her gün ormanın içinde geçtiğini bilmekte ve kızın babaannesine götürdüğü
yemekleri araklamak için ormandaki yollardan birinde pusu kurmaktadır. Endüstri Mühendisli eğitimi
alan Ayşe, kurdun hangi yolda pusu kurduğu ile ilgili veri toplamış ve her yol için pusu kurma olasılığını
çıkarmıştır (pij: kurdun (i,j) bağlantısında pusu kurma olasılığı). Şekil üzerinde pij değerleri verilmiştir
(Dikkat! Kurt her gün sadece bir yolda pusu kurmaktadır, o yüzden yollardaki olasılıkların toplamı 1’dir).
Küçük kızın kendi evinden babaannesinin evine kurda yakalanma olasılığını en küçükleyecek şekilde
varması için izlemesi gereken rotayı Dinamik Programlama ile bulunuz. Yaptığınız hesaplamaları ayrıntılı
olarak gösteriniz.
%8
1
pij
2
% 21
%6
%7
A
% 11
3
% 10
B
%8
% 19
4
% 10
CEVAP
fi : i noktasından B noktasına en kısa mesayeyi göstermek üzere;
fB = 0
f4 = fB + 0,10 = 0,10
f2 = Min { fB + 0,21 ; f4 + 0,08 } = Min {0,21 ; 0,18} = 0,18
f3 = Min { f2 + 0,19 ; f4 + 0,10 } = Min {0,37 ; 0,20} = 0,20
f1 = Min { f2 + 0,08 ; f3 + 0,07 } = Min {0,26 ; 0,27} = 0,26
fA = Min { f1 + 0,06 ; f3 + 0,11 } = Min {0,32 ; 0,31} = 0,31
( 4 üzerinden)
( 4 üzerinden)
( 2 üzerinden)
( 3 üzerinden)
Ayşe’nin izlemesi gereken rota: A-3-4-B, bu rotada giderse yakalanma olasılığı %31 olacaktır.
2. ATK-San küçük çaplı bir tersanede sandal üretimi yapan bir firmadır. Firmanın önümüzdeki dört
sezondaki sandal talepleri tabloda verilmiştir. Sezonluk işçi bulunabilirliği ve hammadde maliyetlerindeki
değişimden ötürü sezonluk üretim maliyetleri farklılık göstermektedir ve tabloda her sezon için üretim
maliyeti verilmiştir. Bir sezonda sabit üretim maliyetinin 80.000TL’dir. Bir sandalı bir sezon stokta
bulundurma maliyeti ise 10.000 TL’dir. ATK-San’ın en küçük maliyetle talepleri karşılayabilmesi için
uygulaması gereken üretim planını Wagner-Whitin yöntemi kullanarak bulunuz.
Sezon
1
2
3
4
Üretim maliyeti
(1.000TL/adet)
25
30
25
20
Talep (adet)
4
7
3
2
CEVAP
ft = t. sezonda üretim yapılması durumunda t, t+1, … 4. sezonlardaki talebi karşılamanın en küçük maliyeti
ft 
min
j 0 ,1, 2 ,...T t
c
tj
 f t  j 1 
ctj  K  ct (d t  d t 1  ...  d t  j )  h(d t 1  2 * d t 2  ...  j * d t  j )
f5 = 0
f4 = 80 + 20 (2) + f5 = 120
{ sadece 4. Sezon için üret}
f3 = Min 80 + 25 (3) + f4 = 275
80 + 25 (3+2) + 10 (2) + f5 = 225*
{ sadece 3. sezon için üret }
{ 3 ve 4. sezonlar için üret } **
80 + 30 (7) + f3 = 515
f2 = Min 80 + 30 (7+3) + 10 (3) + f4 = 530
80 + 30 (7+3+2) + 10 (3 + 2*2) + f5 = 510*
{ sadece 2. sezon için üret }
{ 2 ve 3. sezonlar için üret }
{ 2,3 ve 4. sezonlar için üret } **
80 + 25 (4) + f2 = 690
f1 = Min 80 + 25 (4+7) + 10 (7) + f3 = 650*
80 + 25 (4+7+3) + 10 (7 + 2*3) + f4 = 680
80 + 25 (4+7+3+2) + 10 (7 + 2*3 + 3*2) + f5 = 670
{ sadece 1. sezon için üret }
{ 1 ve 2. sezonlar için üret }**
{ 1,2 ve 3. sezonlar için üret }
{ 1,2,3 ve 4. sezonlar için üret }
Sonuç: 1. sezonda 1 ve 2. sezonlar için 11 adet; 3. sezonda 3 ve 4. sezonlar için 5 adet üretim yapılmalıdır.
2. ve 4. Sezonlarda üretim yapılmamalıdır.
Verilen üretim planının maliyeti 650 bin TL’dir.
3. Aşağıdaki doğrusal olmayan programlama modelini uç noktalarını analiz ederek çözünüz.
CEVAP
DURUM 1. a < x < b içerisindeki f’(x) = 0 olan noktalar:
(
)
f’(x) =
olan noktalar x = 0 ve x = 2’dir.
Bu noktaların yerel min veya maks olduğunu anlayabilmek için ikinci türevine bakılır.
f’’(x) = 6x-6
f’’(0)= -6 yerel maksimum
f’’(2)= 6 yerel minimum – Aday uç nokta (x = 2)
DURUM 2. f’(x)’in tanımlı olmadığı noktalar:
Verilen problemde f’(x)’in tanımlı olmadığı nokta yoktur
DURUM 3. [a,b] aralığının a ve b noktaları
x = -2 ve x = 4 noktalarının yerel min veya maks olduğunu anlayabilmek için bu noktalardaki birinci türevlere
bakılır.
f’(x) =
f’(-2) = 24
yerel minimum – aday uç nokta (x = -2)
f’(4) = 24
yerel maksimum
sonuç olarak (x = 2) ve (x = -2) olmak üzere iki yerel miminum belirlenmiştir.
f (2 ) = -5 ; f (-2 ) = -21 olduğu için çözüm x = -2, f = -21
4. Aşağıda bir projenin kritik yolunu bulabilmek için kurulmuş DP’nin Lindo kodları ve çözüm raporu
verilmiştir. Buna göre soruları cevaplayınız.
a) Proje ağını çiziniz ve faaliyet sürelerini ağ üzerinde gösteriniz.
b) Proje faaliyetlerini ve öncelik ilişkilerini bir tabloda gösteriniz.
c) Proje kritik yolunu belirleyiniz. Proje en kısa ne kadar sürede bitirilebilir?
d) Tüm faaliyetler için en olası (m), en iyimser (a) ve en kötümser (b) faaliyet sürelerini; m = önceki
aşamada bulunan faaliyet süresi, a = 0,8m ve b = 1,2m kabul ederek projenin 30 günden önce
bitirilme olasılığını hesaplayınız.
Lindo kodu
min x8-x1
st
A) x2-x1 >
B) x3-x2 >
C) x5-x2 >
D) x4-x2 >
E) x5-x4 >
F) x5-x3 >
G) x6-x3 >
H) x7-x6 >
I) x6-x5 >
J) x7-x5 >
K) x7-x4 >
L) x8-x7 >
End
3
3
4
2
3
4
5
6
5
4
2
6
Sonuç Raporu
LP OPTIMUM FOUND AT STEP
6
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
27.00000
VARIABLE
X8
X1
X2
X3
X5
X4
X6
X7
ROW
A)
B)
C)
D)
E)
F)
G)
H)
I)
J)
K)
L)
VALUE
27.000000
0.000000
3.000000
6.000000
10.000000
5.000000
15.000000
21.000000
SLACK OR SURPLUS
0.000000
0.000000
3.000000
0.000000
2.000000
0.000000
4.000000
0.000000
0.000000
7.000000
14.000000
0.000000
NO. ITERATIONS=
6
REDUCED COST
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
DUAL PRICES
-1.000000
-1.000000
0.000000
0.000000
0.000000
-1.000000
0.000000
-1.000000
-1.000000
0.000000
0.000000
-1.000000
CEVAP
a)
b)
Faaliyet
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
Öncül Faaliyet
A
A
A
D
B
B
G, I
C, E, F
C, E, F
D
H, J, K
Süre
3
3
4
2
3
4
5
6
5
4
2
6
c) Projenin kritik yolunu Lindo çıktısında gölge fiyatı -1 olan kısıtlarla ilgili faaliyetler oluşturur:
Kritik faaliyetler: A, B, F, H, I, L
Kritik yol: 1-2-3-5-6-7-8
Toplam süre: 27
d) Kritik faaliyetlerin a, b ve m değerleri ile beklenen değerleri ve varyansları aşağıdaki tablodaki gibi
hesaplanır:
Faaliyet
A
B
F
H
I
L
Proje
a
b
2,4
2,4
3,2
4,8
4
4,8
3,6
3,6
4,8
7,2
6
7,2
m
3
3
4
6
5
6
E(Tij)
3
3
4
6
5
6
27
Var(Tij)
0,04
0,04
0,071111
0,16
0,111111
0,16
0,582222
Projenin tamamlanma süresi beklenen değeri 27, varyansı 0,58 (veya standart sapması 0,76.) olan normal
dağılıma uyar.
P(CP≤30) = P[(CP-27)/0,76 ≤ (30-27)/0,76)]
= P(Z≤3,93) = 0.9990