∫ ( ) 36 ∫

Probability Distributions
Probability
Distributions
Discrete
Probability
Distributions
SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER
ve
OLASILIK DAĞILIMLARI
Continuous
Probability
Distributions
Sürekli Uniform
Binomial
Gamma
Dr. Mehmet AKSARAYLI
Üstel
Dokuz Eylül Üniversitesi
İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi
Ekonometri Bölümü
Yöneylem Araştırması Anabilim Dalı
Poisson
www.mehmetaksarayli.com
www.mehmetaksarayli.com
Sürekli Şans Değişkenleri

Normal
2
ÜSTEL (EXPONENTIAL) DAĞILIM
Sürekli bir aralıktaki tüm değerleri alabilen değişkenlerdir.
Bir yolun uzunluğu 25m < x < 50m olabilir.
x, Dx tanım aralığına sahip sürekli bir şans değişkeni
olsun. f(x)’in x’e ait bir olasılık yoğunluk fonksiyonu
(oyf) olabilmesi için;
Her x için
olmalıdır.
f
x
dx
(
).

1

Dx
 = E(x) =
x
.
f
(
x
).
dx

Dx
V(x) = E[ (Xi  E( X 2 )  E( X )2
www.mehmetaksarayli.com
3
t (zaman)
Zaman ekseninde belirli bir zaman aralığındaki olay sayısı Poisson,
iki olay arasında geçen süre ise ÜSTEL dağılış gösterir.
Bir(ilk) olayın (r = 1 ) meydana gelmesine kadar geçen zamanın
olasılığı ile ilgili dağılış üslü dağılıştır.
  .e x
f ( x)  
0
E( X ) 
1

x0
: birim zamandaki olay sayısı
diger
P( X  x)  .ex dx  1 ex
V (X ) 
www.mehmetaksarayli.com
Shape of the exponential distribution
P( X  x)  ex
ÖRNEK
A marka televizyonun ömrü yıl olarak X şans değişkeni ile
gösterilsin. X’in oyf:
1
1
E(X ) 

 6 yil
1

1  16 x
6
 .e
x0
1
1
f (x)  6
V (X )  2 
 36
2

1
0
diger
6
Televizyonun ömrünün en az 6 yıl olması olasılığı nedir?
f(x)
 = 3.0
(mean = .333)
 
 = 1.0
(mean = 1.0)
= 0.5
(mean = 2.0)

1
1
 .6
1  x
P( X  x)   .e 6 dx  e 6  e1  0.367
6
6
x
www.mehmetaksarayli.com
0
2
4
Exponential Distribution

1
x
5
www.mehmetaksarayli.com
6
Normal Dağılım
Example
Example: Customers arrive at the claims counter at
the rate of 15 per hour (Poisson distributed). What
is the probability that the arrival time between
consecutive customers is less than five minutes?

Time between arrivals is exponentially distributed
with mean time between arrivals of 4 minutes (15
per 60 minutes, on average)

1/ = 4.0, so  = .25

P(x < 5) = 1 - e-x = 1 – e-(.25)(5) = .7135
www.mehmetaksarayli.com
Özellikleri:

1.‘Çan-Şekilli’ ve simetrik



2. Ortalaması, modu ve
medyanı eşit
X
3.’Orta yayılımı’= 1.33 
Ortalama
Mod
Medyan
4. Şans değişkeni sonsuz
aralığa sahip
Normal Dağılımın Önemi
 1. Çoğu rassal süreçleri ve sürekli olayları tanımlar.
 2. İstatistiksel yorumlamanın temelidir.
7
• Sürekli ve kesikli şans değişkenlerinin dağılımları
birlikte ele alındığında istatistikte en önemli dağılım
Normal dağılımdır.
• Normal dağılım ilk olarak 1733’te Moivre tarafından
p başarı olasılığı değişmemek koşulu ile binom
dağılımının limit şekli olarak elde edilmiştir. 1774’te
Laplace hipergeometrik dağılımını limit şekli olarak
elde ettikten sonra 19. yüzyılın ilk yıllarında
Gauss 'un katkılarıyla da normal dağılım istatistikte
yerini almıştır.
www.mehmetaksarayli.com
9
www.mehmetaksarayli.com
8
 Normal dağılımın ilk uygulamaları doğada gerçekleşen
olaylara karşı başarılı bir biçimde uyum göstermiştir.
Dağılımın göstermiş olduğu bu uygunluk adının Normal
Dağılım olması sonucunu doğurmuştur.
 İstatistiksel yorumlamanın temelini oluşturan Normal
Dağılım, bir çok rassal süreçlerin dağılımı olarak karşımıza
çıkmaktadır.
 Normal dağılış kullanımının en önemli nedenlerinden
biride bazı varsayımların gerçekleşmesi halinde kesikli ve
sürekli bir çok şans değişkeninin dağılımının normal dağılışa
yaklaşım göstermesidir.
www.mehmetaksarayli.com
10
Probability as
Area Under the Curve
Olasılıkları Elde Etmek;
The total area under the curve is 1.0, and the curve is
symmetric, so half is above the mean, half is below
Olasılık eğrinin altındaki alan ile
belirlenir.
f(x)
f(x)
f(X)

P (a  x  b)
P(  x  μ)  0.5
0.5
a
www.mehmetaksarayli.com
b
P(μ  x   )  0.5
0.5
μ
x
x
P(   x   )  1.0
11
www.mehmetaksarayli.com
12
Empirical Rules
The Empirical Rule
What can we say about the distribution of values
around the mean? There are some general rules:
f(x)

μ ± 2σ verilerin yaklaşık 95% içerir

μ ± 3σ verilerin yaklaşık 99.7% içerir
μ ± 1σ verilerin
yaklaşık 68% içerir
σ
σ
2σ
μσ
www.mehmetaksarayli.com
μ
68.26%
13

f (X )
f(X)


X

=
=
=
=
=
1
2 

15
d
 f ( x)dx ?
c
f(X)
www.mehmetaksarayli.com
d
( & )

f(X)
B
P (c  X  d ) 
c
14
2
Normal Olasılık Dağılımı
Olasılık, eğrinin
altında kalan
alana eşittir!
x
99.72%
Parametrelerin Değişikliğinin Etkileri
X şans değişkeninin frekansı
3.14159; e = 2.71828
populasyonun standart sapması
Şans değişkeninin değeri (- < X < )
populasyon ortalaması
www.mehmetaksarayli.com
3σ
μ
www.mehmetaksarayli.com
Normal Dağılım
Olasılık Yoğunluk fonksiyonu
  1 ( X  )  


e  2 
x
95.44%
x
μσ
3σ
2σ
μ
C
C
A
C
X
www.mehmetaksarayli.com
16
Normal Dağılım Tablolarının Sonsuz Sayısı
Normal dağılımlar, ortalama
ve standart sapma açısından
farklılık gösterirler.
f(X)
Her dağılım için bir
tablo gerekir.
X
X
Bu da sonsuz sayıda tablo anlamına gelir!
17
www.mehmetaksarayli.com
18
Standart Normal Dağılım
Standartlaştırma Örneği
Z  X 

Normal
Dağılım
Standart Normal
Dağılım
z= 1


Z = 0
X
Z
Artık tek tablo yeterli!!!
www.mehmetaksarayli.com
Z  X  
Normal
Dağılım
6 .2  5

Z = 1
 = 5 6.2 X
Z  X  
Standart Normal Olasılık
Tablosu (Kısmen)
.02
.01
Normal
Dağılım
Z = 1
0.0 .0000 .0040 .0080
0.0478
0.1.0398 .0438 .0478
Z
 = 10

7.1  5
10
-0.12 Z= 0
X
Z
22
Örnek
P(X  8) = ?
Z
 .21 Standart Normal
Dağılım
Z = 1
X 

Normal
Dağılım
-.21 0 .21
23

85
10
 .30
Standart Normal
Dağılım
 = 10
Z = 1
.5000
.1179
.0832 .0832
2.9 5 7.1 X
Standart Normal
Dağılım
Z = 1
.1664
www.mehmetaksarayli.com
 0.12
 = 10
2.9  5
X 

 .21
10


10
www.mehmetaksarayli.com
21
Örnek
P(2.9  X  7.1) = ?
Normal
Dağılım
3 .8  5

3.8  = 5
Olasılıklar
X 
P(3.8  X  5) = ?
Z= 0 0.12 Z
0.3 .1179 .1217 .1255
Z
Z
0.0478
0.2 .0793 .0832 .0871
www.mehmetaksarayli.com
Z= 0 .12
20
Örnek;
.00
Standart Normal
Dağılım
www.mehmetaksarayli.com
19
 0.12
 = 10
Olasılığın Elde Edilmesi
Z
10
Z
 =5
8
www.mehmetaksarayli.com
X
.3821
Z= 0 .30 Z
24
Normal Dağılım Alıştırması
Örnek
P(7.1  X  8) = ?
General Electric için Kalite
Kontrol uzmanı olarak
çalışıyorsunuz. Bir ampulün
ömrü = 2000 saat, = 200
saat olan Normal dağılım
göstermektedir. Bir ampulün

7.1  5
X
Z

 .21
10

Normal
Dağılım
Z
X 


85
10
 .30 Standart Normal
Dağılım
Z = 1
 = 10
.1179
.0832
 =5
7.1 8
z = 0
X
www.mehmetaksarayli.com
.0347
A. 2000 & 2400 saat arası
dayanma
B. 1470 saatten az dayanma
olasılığı nedir?

.21 .30 Z
www.mehmetaksarayli.com
25
Çözüm
B) P(X  1470) = ?
Çözüm
A) P(2000  X  2400) = ?
Z
X 


2400  2000
200
Normal
Dağılım
Z
 2.0
Standart Normal
Dağılım
 =1
 = 200
26
Z
X 


1470  2000
200
Normal
Dağılım
Standart Normal
Dağılım
 =1
 = 200
Z
.4772
.5000
.4960
.0040
 = 2000 2400
 =0
X
Z
www.mehmetaksarayli.com
2.0
Z
27
.1217
Z = 1
Standart Normal olasılık
Tablosu (Kısmen)
Z
.00
1470  = 2000
.01
0.2
0.1 .0398 .0438 .0478
0.2 .0793 .0832 .0871
0.3 .1179 .1217.1255
www.mehmetaksarayli.com
-2.65  = 0
Z
Z
28
Normal Dağılım
29
Standart Normal Dağılım
Z = 1
 = 10
.1217
0.0 .0000 .0040 .0080
Z= 0 .31 Z
X
www.mehmetaksarayli.com
Bilinen Olasılıklar İçin X Değerlerinin Bulunması
Bilinen Olasılıklar İçin Z Değerlerinin Bulunması
P(Z) = 0.1217 ise Z
nedir?
  2.65
 =5
?
X
.1217
Z= 0 .31
X    Z  5 (0.31)10 8.1
www.mehmetaksarayli.com
30
Z
Normal Olasılık Plot’ları
Normallik Varsayımı


1. Verilerin karakteristiklerini
Normal dağılımın
özellikleriyle karşılaştırın
2. Normal Olasılık Plot’unu
değerlendirin
 Bilgisayarla çizin yada
 Verileri standartlaştırılmış
kantil değerlerine karşı
işaretleyin.
Sola çarpık
Normal Dağılım İçin
NormalOlasılık Plot’u
X 60
X 60
Z
30
-2 -1 0 1 2
X 60
Z
Düz bir çizgi Olmalı!!!
31
Z
-2 -1 0 1 2
Dikdörtgensel
30
-2 -1 0 1 2
www.mehmetaksarayli.com
90
30
90
Sağa çarpık
90
90
U-Şekilli
90
X 60
X 60
30
Z
-2 -1 0 1 2
www.mehmetaksarayli.com
30
Z
-2 -1 0 1 2
32