PowerPoint Sunusu

04.12.2012
DAĞILMA (Dispersiyon)
Geri çağırıcı kuvvetin mekanik dalgalardaki yer değiştirmeyle tam olarak orantılı
olmadığı bazı sürekli ortamlarda, sinüzoidal dalganın hızı frekansa bağlıdır.
Dalganın hızının frekans ile değişimi dispersiyon (dağılma) olarak adlandırılır.
Farklı dalga boylarına sahip bir dalga demeti böyle bir durumda biraz farklı hızlarla
hareket ederler.
Bunun sonucu olarak, karışık dalga boyları içeren bir dalga (dalga grubu), içinde
hareket ettiği dispersif ortamda şekil değiştirir.
Genelde bir ip üzerindeki dalgalarda, kısa dalga boylu (yüksek frekanslı) saf
sinüzoidal dalgalar uzun dalga boylu dalgalara nazaran daha küçük hızlarda
hareket ederler. Bu durum dispersiyon (dağılım) adı verilen dalga boyu ile dalga
hızının değişimi olayına bir örnektir.
(kısa dalga boylu dalgaların hızı)
<
(uzun dalga boylu dalgaların hızı )
1
Dağılma (Dispersiyon) sözcüğü ilk anda bir ayrılma anlamını çağrıştırır. Şekilde
görüldüğü gibi, bir beyaz ışığın bir prizmadan geçtiği zaman değişik renklere ayrıldığını
biliyoruz.
Beyaz ışığın üçgen prizmadan geçerken
dağılmasını gösteren şekil.
Bir prizmaya gelen
ışık Snell kanununa
göre kırılmaya uğrar;
sin 𝑖
𝑐
=𝑛=
sin 𝑟
𝑣
2
1
04.12.2012
Şekil. Camının kırma indisinin dalga
boyuna bağlı değişimi.
sin 𝑖
𝑐
=𝑛=
sin 𝑟
𝑣
Bu grafiğe göre dalga boyu arttıkça 𝑛 azalmaktadır, 𝑛’nin azalması 𝑣’nin artması ile
mümkündür. Yani dalga boyu arttıkça hız da artmaktadır.
Bu nedenle kırmızı ışığın camdaki hızı mavi ışığınkinden büyük olacaktır.
Böylece kırılma açısı da hızdaki değişime göre değişecektir.
3
Dağılma
Maddenin kırma indisi, kırılan dalganın dalga boyuna bağlı olur.
Dalganın hızının ve kırılma indisinin dalga boyuna göre değişimsine dağılma denir.
Bu tanımı prizma için yeniden verecek olursak, prizmanın beyaz ışığı renklere ayırmasına
dağılma veya dağınım denir. Beyaz ışık, bir renkler karışımıdır. Prizmanın beyaz ışığı renklere
ayırması bize şunu gösterir: Değişik dalga boylarında ışık ışınları için prizma kırma çarpanı (n)
farklıdır. Bu nedenle prizmaya beyaz ışık gönderildiğinde, her dalga boyu için kırma çarpanının
farklı olması nedeniyle, prizmadan değişik sapma açıları ile kırılarak renklere ayrılır.
2
04.12.2012
Üçgen prizmadan geçerek dağılan bir ışık demetini gösteren şekil.
5
Tek bir dalga boyu ve frekansa sahip genişlikteki bir saf sinüs dalgası dağıtıcı ortamda
tanımlanmış tek bir hıza sahip olabilir.
(Şüphesiz dağılma bazı özel durumlarda ihmal edilebilir ve ışığın özel bir durumu için
vakumda dağılma sıfırdır.)
Bir boyutlu dalgalarda dağılma, başlangıçta birbiri üstüne binmiş farklı dalga
boylarına sahip uzun fakat sınırlı dalga katarlarının zaman ilerledikçe ayrılmalarına
karşılık gelir.
Aynı zamanda hafifçe farklı hızlardaki saf sinüs dalgalarının bir karışımından meydana
gelen her bir bireysel dalga katarı zamanın ilerlemesi ile bozulmaya ve dağılmaya uğrar.
Dağılma olayını daha somut açıklayabilmek için bir maddesel ortamda aynı yönde
ilerleyen ve dalga boyları çok hafif birbirinden farklı olan iki sinüzoidal dalganın hızlarını
(grup ve faz hızı) inceleyelim.
𝑘𝑎
2
𝜋
2𝑤0 sin
2
Dispersiyon bağıntısı: 𝑤 = 2𝑤0 sin ( )
𝑏ö𝑙ü𝑚 5 ∶ 𝑤𝑛 = 2𝑤0 sin
𝑁𝜋
2(𝑁+1)
,
𝑤𝑚𝑎𝑥 =
6
3
04.12.2012
FAZ VE GRUP HIZI
Dağılma sonuçlarını daha somut tartışmak için, bir ip boyunca aynı yönde (belki farklı
hızlarda) hafifçe farklı dalga boylarına sahip iki sinüzoidal dalga için ortaya çıkacak durumu
göz önüne alalım.
Basitlik olsun diye bu iki dalganın genliklerinin eşit olduğunu kabul edelim.
𝑦1 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘1 𝑥 − 𝑤1 𝑡)
(1a)
𝑦2 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘2 𝑥 − 𝑤2 𝑡)
𝑘1 =
(1b)
2𝜋
𝑘2 =
1
2𝜋
2
Burada 𝑤1 ve 𝑤2 frekanslarının çok az farklı olduğunu kabul edeceğiz (𝑤1 ≈ 𝑤2 ).
Bu iki dalganın üst üste gelmesiyle aşağıdaki dalga ortaya çıkar:
𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑘1 𝑥 − 𝑤1 𝑡 + 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑘2 𝑥 − 𝑤2 𝑡
𝑦 = 2𝐴𝑐𝑜𝑠
(2)
𝑘1 − 𝑘2
𝑤2 − 𝑤1
𝑘1 + 𝑘2
𝑤1 + 𝑤2
𝑥−
𝑡 cos
𝑥−
𝑡
2
2
2
2
7
Başlangıçta 𝑤1 ile 𝑤2 arasındaki farkın küçük olduğunu kabul etmiştik.
Bu nedenle 𝑘1 ile 𝑘2 arasındaki fark da küçük olacaktır.
𝑘0 =
𝑘1 +𝑘2
2
ve
𝑤0 =
𝑣1 = 𝑤1 𝑘1 ve 𝑣2 = 𝑤2 𝑘2
𝑤1 +𝑤2
2
Burada 𝑘0 ve 𝑤0 dalga sayısının ve frekansın ortalama değeridir.
∆𝑘 =
𝑘1 −𝑘2
2
ve
∆𝑤 =
𝑤2 −𝑤1
2
Bu dalganın genliği 𝐴(𝑥, 𝑡) ifadesi tarafından modüle edilir.
𝑦 = 2𝐴𝑐𝑜𝑠 ∆𝑘 𝑥 − ∆𝑤 𝑡 cos(𝑘0 𝑥 − 𝑤0 𝑡)
𝐴 𝑥, 𝑡 = 2𝐴𝑐𝑜𝑠 ∆𝑘 𝑥 − ∆𝑤 𝑡
𝑦 = 𝐴(𝑥, 𝑡) cos(𝑘0 𝑥 − 𝑤0 𝑡)
Açısal frekansı 𝑤0 , dalga sayısı 𝑘0 ve
hızı 𝑣𝑓 olan bir dalgayı gösteriyor.
𝑭𝒂𝒛 𝑯𝚤𝒛𝚤: 𝒗𝒇 =
𝒘𝟎
𝒌𝟎
8
4
04.12.2012
Group hızı ve faz hızı:
9
Şekil 21. Modüle edilmiş 𝑦(𝑥, 𝑡)
dalgasının dispersif bir ortamda
yayılması çeşitli zaman
dilimlerinde verilmiştir.
Modüle olmuş 𝑦(𝑥, 𝑡) dalgasının
𝑥’e göre davranışı eşit 𝛿𝑡 zaman
aralıklarında ard arda çizilmiştir.
Modüle olmuş dalga sürekli çizgi ile
modülasyon nedeniyle oluşan zarf
ise kesikli çizgi ile gösterilmiştir.
Zarf eğrisi üzerinde seçilen  işaretli
nokta ve dalga üzerinde seçilen 
işaretli noktanın zamanla ilerlemesi
grup ve faz hızını temsil etmektedir.
Bu örnekte 𝑣𝑓 > 𝑣𝑔 olduğu görülmektedir.
10
5
04.12.2012
Şekilde zarf eğrisinin de ileri gittiği görülür.
Zarf eğrisinin ilerleme hızına grup hızı denir ve 𝑣𝑔 ile gösterilir.
Grup hızı genelde faz hızından farklı değerdedir.
Zarf eğrisi üzerinde  işaretli nokta ve modüle dalganın üzerinde  işaretli noktanın zamanla
ilerlemesini inceleyelim.
Zaman ilerledikçe bu iki noktanın
birbirine göre konumları değişmektedir.
Eğer 𝑣𝑓 ile 𝑣𝑔 eşit olsaydı, bu iki noktanın
birbirine göre konumları değişmezdi.
𝐴 𝑥, 𝑡 = 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑡 ş𝑎𝑟𝑡ı
∆𝑘 𝑥 − ∆𝑤 𝑡 = 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑡
olması ile mümkündür.
Her iki tarafın zamana göre türevi
𝑑𝑥
𝑑𝑥
∆𝑤
∆𝑘
− ∆𝑤 = 0 veya 𝑣𝑔 = =
𝑑𝑡
𝑑𝑡
∆𝑘
Grup hızı
Şekilde  işaretli noktalarda modülasyon genliğinin hep aynı
değerini göstermektedir yani bu noktalar için 𝐴 𝑥, 𝑡 sabittir.
11
grup hızı
𝑣𝑔 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
∆𝑤
∆𝑘
=
𝑤2 −𝑤1
𝑘2 −𝑘1
Dispersif bir ortamda 𝑤 açısal hızı dalga sayısının fonksiyonu olduğundan 𝑣𝑔 ’yi
𝑣𝑔 =
Taylor Teoremi
𝑤(𝑘2 )−𝑤(𝑘1 )
𝑘2 −𝑘1
formunda yazabiliriz.
𝑤 𝑘0 ± ∆𝑘 = 𝑤 𝑘0 ±
(∆𝑘) 𝑑𝑤
1!
𝑑𝑘 𝑘=𝑘0
+
(∆𝑘)2 𝑑 2 𝑤
2!
𝑑𝑘 2 𝑘=𝑘0
Burada ∆𝑘 = (𝑘2 − 𝑘1 )/2 olup 𝑘0 ’ göre küçüktür.
𝑘0 =
+⋯
𝑘1 + 𝑘2
2
Bu nedenle denklemde ilk iki terimle yetinebiliriz.
𝑘0 + ∆𝑘 =
𝑘1 + 𝑘2 𝑘2 − 𝑘1
+
= 𝑘2
2
2
𝑤 𝑘0 ± ∆𝑘 = 𝑤 𝑘0 ± ∆𝑘
𝑑𝑤
𝑑𝑘
𝑘0 − ∆𝑘 =
𝑘1 + 𝑘2 𝑘2 − 𝑘1
−
= 𝑘1
2
2
𝑤 𝑘1 = 𝑤 𝑘0 − ∆𝑘

𝑘=𝑘0
𝑤 𝑘2 = 𝑤 𝑘0
𝑑𝑤
𝑑𝑘
𝑑𝑤
+ ∆𝑘
𝑑𝑘
𝑘=𝑘0
𝑘=𝑘0
12
6
04.12.2012
𝑤 𝑘2 − 𝑤 𝑘1 = 2∆𝑘
𝑑𝑤
𝑑𝑘
=2
𝑘=𝑘0
𝑘2 − 𝑘1 𝑑𝑤
2
𝑑𝑘
= 𝑘2 − 𝑘1
𝑘=𝑘0
𝑑𝑤
𝑑𝑘
𝑘=𝑘0
sonuç olarak grup hızı için
𝑤 𝑘2 − 𝑤 𝑘1
𝑑𝑤
=
𝑘2 − 𝑘1
𝑑𝑘
𝑣𝑔
𝑣𝑔 =
𝑘=𝑘0
𝑑𝑤
𝑑𝑘
𝑘=𝑘0
yazabiliriz.
Burada sadece iki tek dalga boylu (monokromatik) dalganın üst üste gelmesi ile grup ve faz
hızı ifadelerini elde ettik. Ancak çok daha fazla tek dalga boylu dalgaların üst üste gelmesi
durumunda da bu ifadelere ulaşmak mümkündür.
FAZ HIZI: 𝑣𝑓 =
𝑤
𝑘
GRUP HIZI: 𝑣𝑔 =
𝑑𝑤
𝑑𝑘
13
Grup hızı ifadesine yeniden bakalım: 𝑣𝑔 =
𝑑𝑤
𝑑𝑘
Bu ifadelere göre değişik koşullarda grup ve faz hızlarını karşılaştıralım.
14
7
04.12.2012
8
04.12.2012
phase and group velocities.
Phase velocity = Group Velocity
The entire waveform—the component waves and their envelope—moves
as one. This is an example of a non-dispersive wave.
Phase velocity = -Group Velocity
The envelope moves in the opposite direction of the component waves.
Phase velocity > Group Velocity
The component waves move more quickly than the envelope.
Phase velocity < Group Velocity
The component waves move more slowly than the envelope.
Group Velocity = 0
The envelope is stationary while the component waves move through it.
Phase velocity = 0
Now only the envelope moves over stationary component waves.
MEKANİK DALGALARDA ENERJİ VE GÜÇ
Mekanik dalgalar ortam parçacıklarının yer değiştirmesi sonucu oluştuğundan, hareket
enerjisi içerirler.
Kütle, dalganın ilerleme sürecinde dalga ile birlikte taşınmaz. İlerleyen nicelik, ard arda gelen
kütlelerin birbirlerine aktardığı enerjidir.
Dolayısıyla dalga bir enerji taşıyıcısıdır.
Şimdi 𝑇 gerilimi altında bir ipin 𝑥
noktasındaki 𝑑𝑥 kadarlık bir parçası 𝑑𝑦
kadar enine yer değişme yapıldığında 𝑑𝑥
elemanın herhangi bir andaki kinetik
enerjisini hesaplayalım:
Gerilmiş ipin homojen olduğunu kabul edeceğiz. İpin boyca kütle yoğunluğu 𝜇 olsun (𝑘𝑔/𝑚).
Bu durumda 𝑑𝑥 diferansiyel elemanın kütlesi 𝑑𝑚 = 𝜇 𝑑𝑥 olacaktır.
Bu elemanın enine hareketi nedeniyle hızı =
𝜕𝑦
𝜕𝑡
olur
18
9
04.12.2012
1
2
Bu durumda 𝑑𝑥 elemanının kinetik enerjisi
𝑑𝐾 = (𝜇 𝑑𝑥)
𝜕𝑦 2
𝜕𝑡
(1)
Potansiyel enerjiyi, göz önüne alınan küçük ip parçasının düzgün olan ilk konumuna
göre deformasyondan sonra boyundaki uzamayı hesaplayarak yazabiliriz.
Bu uzama ile sabit 𝑇 gerilim kuvvetinin çarpımı deformasyon için yapılan işe eşittir.
Böylece göz önüne alınan diferansiyel ip parçası için potansiyel enerji
𝑑𝑈 = 𝑇(𝑑𝑠 − 𝑑𝑥)
(2)
olacaktır.
𝐁𝐮𝐫𝐚𝐝𝐚 𝒅𝒔 − 𝒅𝒙 = diferansiyel elemanın enine 𝒅𝒚 kadar çekilmesi nedeniyle
boyunda oluşacak değişimdir.
Küçük bir uzama için
𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 = 𝑑𝑥 1 +
𝑑𝑠 =
1 2
𝜕𝑦 2
𝜕𝑥
(3) (Bir eğrinin diferansiyel yay elemanı)
yazabiliriz
19
𝛼 𝛼−1
1 + 𝑥 𝛼 = 1 + 𝛼𝑥 +
2!
Binom serisini kullanarak
1+
1 2
𝜕𝑦 2
𝜕𝑥
≅1+
𝑥2 +
𝛼 𝛼−1 𝛼−2
3!
𝑥3 + ⋯
1 𝜕𝑦 2
2 𝜕𝑥
(4)
(5)
yazabiliriz (daha yüksek mertebeden terimlerin katkısı ihmal edilebilecek kadar küçüktür).
5 ifadesini 3 ′de kullanırsak, 𝑑𝑠 yay elemanı için
𝑑𝑠 − 𝑑𝑥 =
1 𝜕𝑦 2
𝑑𝑥
2 𝜕𝑥
𝑑𝑠 = 𝑑𝑥 1 +
1 𝜕𝑦 2
2 𝜕𝑥
(6)
Bu ifadeyi (2) denkleminde kullanırsak 𝑑𝑥 diferansiyel elemanı 𝑑𝑦 kadar yer değişimi
nedeniyle oluşacak potansiyel enerji
1
2
𝑑𝑈 = 𝑇
𝜕𝑦 2
𝑑𝑥
𝜕𝑥
(7)
olacaktır.
20
10
04.12.2012
𝐵𝑖𝑟 𝑏𝑜𝑦𝑢𝑡𝑙𝑢 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑑𝑒 𝑘𝑖𝑛𝑒𝑡𝑖𝑘 𝑣𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑎𝑛𝑠𝑖𝑦𝑒𝑙 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑗𝑖 𝑦𝑜ğ𝑢𝑛𝑙𝑢ğ𝑢:
𝑑𝐾 1 𝜕𝑦
= 𝜇
𝑑𝑥 2
𝜕𝑡
𝑲𝒊𝒏𝒆𝒕𝒊𝒌 𝒆𝒏𝒆𝒓𝒋𝒊 𝒚𝒐ğ𝒖𝒏𝒍𝒖ğ𝒖 𝑏𝑖𝑟 𝑏𝑜𝑦𝑢𝑡𝑙𝑢 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑑𝑒 :
𝑷𝒐𝒕𝒂𝒏𝒔𝒊𝒚𝒆𝒍 𝒆𝒏𝒆𝒓𝒋𝒊 𝒚𝒐ğ𝒖𝒏𝒍𝒖ğ𝒖:
𝑑𝑈
𝑑𝑥
1
2
≅ 𝑇
2
𝜕𝑦 2
𝜕𝑥
İki enerji yoğunluklarının bu eşitliği her zaman geçerli olmasına rağmen, ifadeler
lineer geri çağırıcı kuvvetlere maruz kalan mekaniksel sistemlerin toplam
enerjilerinin eş bölüşümü hakkında bilgiler içermektedir.
Şimdi bu sonuçları
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥 − 𝑤𝑡
ile tanımlı x- ekseni boyunca ilerleyen bir dalgaya uygulayalım.
Bu dalganın enine hızı 𝛿𝑦(𝑥, 𝑡)/𝛿𝑡 'ye eşittir.
Bunu 𝑢(𝑥, 𝑡) ile gösterirsek
𝑢 𝑥, 𝑡 =
Enine hızın maksimum değeri∶
𝜕𝑦(𝑥,𝑡)
𝜕𝑡
= −𝐴𝑤𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝑣𝑡
olacaktır.
𝑢0 = 𝐴𝑤
ip üzerinde seçilen 𝑑𝑥 elemanın kütlesi 𝑑𝑚 = 𝜇𝑑𝑥 olacaktır.
Bu küçük parçanın kinetik enerjisi
1
2
𝑑𝐾 = 𝜇𝑑𝑥
𝜕𝑦 2
𝜕𝑡
1
2
= 𝜇𝑑𝑥 𝐴𝑤 2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑘𝑥 − 𝑤𝑡)
11
04.12.2012
Bu küçük parçanın kinetik enerjisi
𝜕𝑦 2
𝜕𝑡
1
2
𝑑𝐾 = 𝜇𝑑𝑥
1
2
= 𝜇𝑑𝑥 𝐴𝑤 2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑘𝑥 − 𝑤𝑡)
Şimdi bir dalga boyu  kadar uzunluğunda ipin kinetik enerjisi için
1
2
𝐾 = 𝜇 𝐴𝑤
2

0
1
𝑐𝑜𝑠 2 (𝑘𝑥 − 𝑤𝑡)𝑑𝑥 = 𝜇 𝐴𝑤
2
2
1
0
2
(1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑘𝑥 − 𝑤𝑡 )𝑑𝑥
𝐵𝑢𝑟𝑎𝑑𝑎𝑛 𝑔𝑒𝑙𝑒𝑛
𝑘𝑎𝑡𝑘ı=0 𝑑ı𝑟.
1
1
𝐾 = 𝜇 𝐴𝑤 2  = 𝜇 𝑢02
4
4
Bir dalga boyu içinde toplam kinetik enerji sabittir.
𝑑𝑥 diferansiyel elemanın potansiyel enerjisi ise :
1
𝜕𝑦
𝑑𝑈 = 𝑇
2
𝜕𝑥
2
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥 − 𝑤𝑡
1
2
𝑑𝑈 = 𝜇𝑣 2 𝐴𝑘𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝑣𝑡) 2 𝑑𝑥
𝑑𝑥
Bir dalga boyu içindeki potansiyel enerji için

1
1
1
𝑈 = 𝜇𝑣 2 𝐴2 𝑘 2
𝑐𝑜𝑠 2 (𝑘𝑥 − 𝑣𝑡)𝑑𝑥 = 𝜇𝑣 2 𝐴2 𝑘 2 
2
2
2
0
1
4
𝑈 = 𝜇 𝑓 2 𝐴2
2𝜋 2

1
4
 = 𝜇 2𝜋𝑓 2 𝐴2
1
1
𝑈 = 𝜇𝑤 2 𝐴2 = 𝜇 𝑢02
4
4
𝐾=
1
1
𝜇 𝐴𝑤 2  = 𝜇 𝑢02
4
4
Bir dalga boyu içinde toplam kinetik enerji = toplam potansiyel enerjiye eşittir.
Bu durumda bir dalga boyu içinde toplam enerji
1
1
𝐸 = 𝐾 + 𝑈 = 𝜇𝑤 2 𝐴2  = 𝜇 𝑢02
2
2
Toplam enerjinin genliğin karesi ve
frekansın karesi ile orantılı
olduğuna dikkat ediniz.
Bu eşitlikler tüm 𝑡 değerlerinde geçerlidir.
12
04.12.2012
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥 − 𝑤𝑡 + ∅
a) Belli bir anda, ilerleyen bir sinüs
dalgasının bir dalga boyluk () kısmı.
b) Enine dalga hızının anlık değerinin
(∂y/∂t) 𝑥'e göre değişimi.
𝑑𝐾
= 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑡. 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑘𝑥 − 𝑤𝑡 + ∅)
𝑑𝑥
c) İp üzerinde 𝑑𝑥 uzunluğundaki
elemanın kinetik enerjisinin (𝑑𝐾) 𝑥′e
göre değişimi.
d) İp üzerinde dx uzunluğundaki
elemanın anlık potansiyel enerjisinin
(𝑑𝑈) 𝑥'e göre değişimi.
𝑑𝑈
𝑑𝑥
= 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑡. 𝑐𝑜𝑠 2(𝑘𝑥 − 𝑣𝑡 + ∅)
Şekilde bir dalga boyluk bölgede uzanımın 𝑦(𝑥, 𝑡) enine hızın, anlık kinetik (𝑑𝐾) ve
potansiyel (𝑑𝑈) enerjisinin 𝑥'e göre değişimi verilmiştir.
13
04.12.2012
DALGA TARAFINDAN TAŞINAN ENERJİ
İp boyunca hareket eden sinüzoidal bir dalga oluşturmak için oldukça uzun bir ipin ucundan
enine titreştirmek gerekir.
Bu titreştirme işi sisteme sürekli bir enerji vermek demektir.
İpin her yeni  uzunluğu için daha önce hesapladığımız
𝐸=
1
2
𝜇 𝑢02
(1)
enerjiyi sisteme temin edilmelidir.
Gerilmiş bir ip üzerinde sinüzoidal bir
dalganın meydana getirilmesi ve
herhangi bir anda uygulanan F
kuvvetinin görünüşü.
Dalganın taşıdığı enerjiye eşit bir iş, ipin sol ucuna uygulanan kuvvet tarafından
sağlanmalıdır.
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 − 𝑣𝑡)
(2)
ile verilen dalgayı ele alalım.
İpin 𝑥 = 0 'daki ucu bir dış kuvvetin etkisinde kalsın.
T gerilmesine eşit olan dış kuvvet (F), şekilde görüldüğü gibi ipe teğet olarak uygulanmalıdır.
Saf enine olarak salınan uç noktasının hareketi,
𝑦0 𝑡 = −𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑤𝑡)
𝜕y
𝜕x
(3)
ifadesi ile verilir.
𝐹𝑦 = −𝑇𝐴𝑘𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝑤𝑡)
Bu enine hareket yönündeki 𝐹'nin bileşeni ise,
𝐹𝑦 = −𝑇𝑠𝑖𝑛𝜃 ≅ −𝑇𝑡𝑎𝑛𝜃 ≅ −𝑇
= Akcos(kx − wt)
𝜕𝑦
𝜕𝑥 𝑥=0
𝐹𝑦 = −𝑇𝐴𝑘𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡
(5)
𝑥=0
(6)
(4)
şeklindedir.
14
04.12.2012
Şimdi 𝐹𝑦 kuvvetinin 𝑥 = 0 da 𝑑𝑦0 kadar yer değiştirmesi durumda yapılan diferansiyel işi
𝑑𝑤 = 𝐹𝑦 𝑑𝑦0
(7)
𝑦0 𝑡 = −𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑤𝑡)
yazabiliriz.
𝐹𝑦 𝑑𝑦0 = − 𝑇𝐴𝑘𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 𝑑𝑦0
W=
W=
𝑑𝑦0 = −𝐴𝑤𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡𝑑𝑡
(8)
𝑇𝐴𝑘𝐴𝑤𝑐𝑜𝑠 2 𝑤𝑡 𝑑𝑡
(9)
Bu integrali 𝑡 = 0 ile 𝑡 = 𝑇𝑝
(𝑇𝑝 = 𝑃𝑒𝑟𝑖𝑦𝑜𝑡) arasında alalım
(Burada gerilim T ile periyot T karışmasın diye periyodu 𝑇𝑝 ile gösterdik)
W= 𝑇𝐴2 𝑘𝑤
1
2
𝑇𝑝
𝑐𝑜𝑠 2 𝑤𝑡 𝑑𝑡
0
= 𝜇𝑣 2 𝐴2
2𝜋

𝑤
= 𝑇𝐴2 𝑘𝑤
𝑇𝑝 1
(1
0 2
1
2𝜋 𝑤
= 𝜇 𝑓 2 𝐴2
2
 𝑓
1
𝑓
− 2𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡) 𝑑𝑡
1
2
1
2
= 𝑇𝐴2𝑘𝑤𝑇𝑝
= 𝜇 2𝜋𝑓 𝑤𝐴2
𝑤
𝑇𝑝 =1/f
1
2
𝑊 = 𝜇𝑤 2 𝐴2
𝑘=2𝜋/
bir periyotluk sürede sisteme sağlanan enerjidir
Birim zamanda sisteme verilmesi gereken enerji yani güç (P)
𝑃=
1
1
𝑊
𝑊
2 2
= 𝜇𝑤 2 𝐴2𝑣
=
= 𝑊𝑓 = 2 𝜇𝑤 𝐴 𝑓
2
𝑇𝑝 1 𝑓
Burada
𝐸

1
2
= 𝜇𝑢02
=
1 2
𝜇𝑢 𝑣
2 0
birim uzunluk başına toplam enerjidir.
𝑃=
𝐸
𝑣

Buradan iş yapma hızının yani gücün (𝑃), dalga hızı 𝑣 ile ip üzerindeki birim uzunluk
başına toplam enerjinin çarpımı olduğu anlaşılır.
15
04.12.2012
• Enerji kaynakta alıkonamaz, 𝑣 dalga hızına eşit bir hız ile ortam içinde bir noktadan
diğerine aktarılır.
• Burada ortamın dağıtkan (dispersif) olmadığını varsayıyoruz. Eğer ortam dağıtkan ise
enerji grup hızı ile taşınır.
• İpin belli bir kısmı dalga hareketine başlamış ise bu parçanın enerjisi değişmeden kalır.
• Bu sonuçlar bir ipte ilerleyen dalgalar için bulunmuş olsa da enerjinin taşınma hızının,
gücün veya enerji yoğunluğunun, genlik ve frekansının karesiyle doğru orantılı olması
bütün dalgaların genel bir özelliğidir.
• Kararlı dalgaların enerji yoğunluğunun
genliğe ve frekansa bağımlılığı, ilerleyen
dalgaların toplam enerji yoğunluğunun
genliğe ve frekansa bağımlılığı ile
aynıdır.
Ancak, uzayda ilerlemedikleri için, kararlı
dalgalarla güç aktarılamaz.
DALGA PAKETİ
𝐒𝐨𝐧𝐥𝐮 𝐛𝐢𝐫 𝐛ö𝐥𝐠𝐞𝐝𝐞 𝐠𝐞𝐧𝐥𝐢ğ𝐢 𝐨𝐥𝐮𝐩 𝐝𝐢ğ𝐞𝐫 𝐛ö𝐥𝐠𝐞𝐥𝐞𝐫𝐝𝐞 𝐠𝐞𝐧𝐥𝐢ğ𝐢 𝐬ı𝐟ı𝐫 𝐨𝐥𝐚𝐧 𝐝𝐚𝐥𝐠𝐚𝐲𝐚
"𝐝𝐚𝐥𝐠𝐚 𝐩𝐚𝐤𝐞𝐭𝐢" 𝐝𝐞𝐧𝐢𝐫
16
04.12.2012
Pozitif x yönünde ilerleyen bir düzlem dalgayı (sinüs ya da kosinüs dalgası) göz önüne alalım.
Düzlem dalga tüm uzaya yayılmış bir dalgadır.
 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝑤𝑡)
Burada 𝑘 =
2𝜋

(1)
dalga sayısı, 𝑤 = 𝑣𝑘 = 2𝜋𝑓 açısal frekanstır.
Düzlem dalganın genliğini bir Gauss eğrisiyle modüle edersek bir dalga paketi oluşturabiliriz.
2
 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑒 −𝑏𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝑤𝑡)
(2)
Bu fonksiyonun grafiği Şekildeki gibi olacaktır.
• Daha kullanışlı diğer bir yol ise, çok sayıda farklı dalga boyunda düzlem dalgalar
olup bunları öyle uygun genliklerle toplarız ki (süperpozisyon), küçük bir bölge
hariç, diğer yerlerde birbirlerini yok ederler.
Basit olması bakımından, dalga sayıları birbirine çok yakın 𝑘1 = 𝑘 ve 𝑘2 = 𝑘 + ∆𝑘
ve
açısal frekansları da birbirine çok yakın 𝑤1 = 𝑤 ve 𝑤2 = 𝑤 + ∆𝑤 olan
aynı genlikli iki düzlem dalgayı ele alalım:
17
04.12.2012
= 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝑤𝑡 + 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑘 + ∆𝑘 𝑥 − 𝑤 + ∆𝑤 𝑡
= 2𝐴𝑐𝑜𝑠
∆𝑘
𝑥
2
−
∆𝑤
𝑡
2
𝑐𝑜𝑠
2𝑘+∆𝑘
𝑥
2
−
2𝑤+∆𝑤
𝑡
2
Burada ∆𝑘 ≪ 2𝑘 ve ∆𝑤 ≪ 2𝑤 olduğundan
𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 yine bir düzlem dalgadır.
 𝑥, 𝑡 'nin 𝑥'e bağlı grafiği 𝑡 = 0 anında Şekilde verilmiştir.
genliğin periyodik bir zarla
modüle olduğunu
göstermektedir.
Dalga sayıları ve açısal frekansları birbirine çok yakın iki dalganın t=0 anında süperpozisyomu
Şekilde iki farklı ilerleme hızı söz konusudur.
1. Faz hızı:
Düzlem dalganın belirli bir 𝑥 noktasını ele alalım.
𝑘𝑥 − 𝑤𝑡 faz ifadesi sabit olduğu sürece 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝑤𝑡 ifadesi aynı değeri verecek, ,
yani aynı noktanın ilerlemesini takip etmiş olacağız.
𝑘𝑥 − 𝑤𝑡 = 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑡
Bu noktanın hızını hesaplarsak
Her iki tarafın t'ye göre türevi alınarak,
𝑘
𝑑𝑥
−𝑤 =0
𝑑𝑡

𝑑𝑥 𝑤
=
𝑑𝑡 𝑘
𝑣𝑓 =
𝑤
𝑘
18
04.12.2012
2. Grup hızı:
Dalga paketi genliği modüle eden zarf tarafından oluşturulmuştur. Bu zarfın ilerlemesi
paketin ilerlemesi demektir.
Bu paket için yine faz bağıntısı yazılırsa yani
∆𝑘
𝑥
2
−
∆𝑤
𝑡
2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑡
=
𝑣𝑔 =
∆𝑤
∆𝑘
∆𝑤
∆𝑘
Bu örnekte dalga paketinin genliği modüle olmuştur, fakat yine sonsuza kadar uzanmaktadır.
Yerel bir dalga paketi oluşturmak için çok sayıda düzlem dalga kullanmak gerekir.
Ancak yukarda verdiğimiz kavramlar, sonsuz sayıda düzlem dalganın süperpozisyonu
durumunda da geçerli olacaktır
Sonsuz sayıda ve birbirlerine yakın dalga sayılı düzlem dalga varsa, dalgaların üst üste
binmesi ile oluşan toplam integral olarak yazılabilir:
Burada 𝑤 𝑘 dalga paketinin her bir bileşenin ayrı frekansta olabileceğini gösterir.
Bu durumda faz hızı için 𝑣𝑓 =
𝑤(𝑘)
𝑘
ve grup hızı için 𝒗𝒈 =
𝒅𝒘
𝒅𝒌
yazabiliriz.
19
04.12.2012
İLERLEYEN DALGA PAKETİ
Bu pulsa bir “dalga paketi”
ya da “dalga öbeği, dalga
kümesi, dalga çıkını” denir.
Dalga paketi grup hızı ile yayılır.
𝑥 = 0’da bir sürücünün çıkışı Şekildeki pulsa benzer bir hareketle tanımlanmış olsun.
Sürücünün sınırlı bir süre için yaydığı ortalama dalgalar uzay içinde sınırlı büyüklükte bir
dalga pulsu oluşturacaklardır.
𝑘 ile 𝑤 birbirine 𝑘(𝑤) dispersiyon bağıntısı ile bağlı olduklarına göre,
sürücünün çıktısı ∆𝑤 frekans kuşağı içinde bulunması zorunluluğu
dalga paketindeki dalga sayılarının bir ∆𝑘 kuşağı içinde bulunmalarını gerektirir.
Başat 𝑤0 frekansına uyan bir başat dalga sayısı 𝑘0 = 𝑘 𝑤0 bulunacak yani 𝑘0 , 𝑘(𝑤)
bağıntısında 𝑤 = 𝑤0 koymakla elde edilecektir.
Sıfır alt indisi, diferansiyelin kuşak ortasındaki değeri anlamına gelir.
∆𝑘 kuşağının ortası 𝑘0 ’dadır ve bu dispersiyon bağıntısının diferansiyelinde 𝑤 = 𝑤0
koyarak elde edilir:
𝑑𝑤
𝑑𝑘
∆𝑤
Burada 𝑣𝑔 =
’dır.
∆𝑘 =
∆𝑤 =
𝑑𝑘
𝑑𝑤
𝑣𝑔
Aynı zamanda bu denklemlerin birinci terim olarak dikkate alınabilmesi için
dispersiyon bağıntısının Taylor serisine açılımında, yüksek terimleri ihmal edebiliriz.
20
04.12.2012
Dalga paketi uzunluğu ile dalga sayısı kuşak genişliğinin çarpımı:
∆𝑥 uzunluğundaki, bir dalga paketi, belirli bir 𝑥 noktasında 𝑣𝑔 grup hızıyla
∆𝑥 ≅ 𝑣𝑔 ∆𝑡
(23)
bağıntısı gereğince bir ∆𝑡 süresinde geçer.
∆𝑘. ∆𝑥 ≅
∆𝑤
. 𝑣𝑔 ∆𝑡
𝑣𝑔
≅ ∆𝑤. ∆𝑡
∆𝑘 =
𝑑𝑘
𝑑𝑤
Böylece ∆𝑤. ∆𝑡 ≥ 2𝜋 olduğundan
∆𝑘. ∆𝑥 ≥ 2𝜋
buluruz.
(25)
21
04.12.2012
EK-1
** Kare dalga biçimli bir frekans spekturumun oluşturduğu 𝑡 pulsunun
elde edilmesi : (Berkeley-Titreşimler ve dalgalar kitabından alınmıştır)
Şimdi A genlikleri eşit, fazları eşit (sıfır seçelim) ve açısal frekansları en küçük 𝑤1
açısal frekansı ile en büyük 𝑤2 frekansı arasında eşit aralıklarla dağılmış N tane
değişik harmonik bileşenin üst üste gelmesiyle oluşan 𝑡 pulsu için kesin bir bağıntı
bulacağız.
 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑤1 𝑡 + 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑤1 + 𝛿𝑤 𝑡 + 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑤1 + 2𝛿𝑤 𝑡 + ⋯ + 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑤2 𝑡
(1)
Burada 𝛿𝑤 komşu katkılar arasındaki frekans aralığıdır, yani
𝛿𝑤 =
𝑤2 −𝑤1
𝑁−1
=
∆𝑤
𝑁−1
(2)
dir.
Şimdi 𝑡 'yi bir tek 𝑤𝑜𝑟𝑡 "hızlı" frekanslı hemen hemen harmonik bir salınım olarak
sunmak istiyoruz.
Burada
𝑤𝑜𝑟𝑡 =
dir.
𝑤1 +𝑤2
2
(3)
Sonuç olarak, 𝑡 için
𝑡 = 𝐴𝑘𝑒 𝑓 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑤𝑜𝑟𝑡 𝑡
1
2
1
𝑠𝑖𝑛 𝛿𝑤𝑡
2
𝑠𝑖𝑛 𝑁𝛿𝑤𝑡
𝐴 𝑡 =𝐴
1
2
1
𝑠𝑖𝑛 𝛿𝑤𝑡
2
𝑠𝑖𝑛 𝑁𝛿𝑤𝑡
22