Chapter Objectives

Gerilme
Bölüm Hedefleri
 Normal ve Kayma gerilmesi kavramının anlaşılması
 Kesme ve eksenel yük etkisindeki elemanların analiz ve
tasarımı
Copyright © 2011 Pearson Education South Asia Pte Ltd
GERİLME
 Kesim yapılan alana etkiyen gerçek kuvvet dağılımının
bileşkeleri MR0, FR.
Copyright © 2011 Pearson Education South Asia Pte Ltd
GENEL GERİLME DURUMU
 Kuvvet ile alan arasındaki
oran sonlu bir değere
yakınsayacaktır. Bu oran
bir noktadan geçen belirli
bir düzlemdeki (alandaki)
iç
kuvvetin
şiddetine
karşılık
gelen
gerilme
olarak tanımlanır.
Copyright © 2011 Pearson Education South Asia Pte Ltd
GENEL GERİLME DURUMU
Normal Gerilme: A alanına dik olarak etkiyen
kuvvetin şiddeti veya birim alana etkiyen kuvvet
normal gerilme () olarak tanımlanır. Fz alana dik
olduğundan,
Fz
 z  lim
A0 A
Copyright © 2011 Pearson Education South Asia Pte Ltd
GENEL GERİLME DURUMU
Kayma Gerilmesi: A alanına teğet olarak etkiyen
kuvvetin şiddeti veya birim alana etkiyen kuvvet
normal gerilme () olarak tanımlanır. Kayma
gerilmesi bileşenleri,
Fx
 zx  lim
A0 A
Fy
 zy  lim
A0 A
zx: z, yüzeyin normalinin doğrultusu. x, gerilme bileşenine paralel
eksen doğrultusu
Copyright © 2011 Pearson Education South Asia Pte Ltd
GENEL GERİLME DURUMU
Copyright © 2011 Pearson Education South Asia Pte Ltd
GENEL GERİLME DURUMU
Malzemeden kübik bir hacme sahip bir eleman çıkarılarak, cismin
seçilen bir noktası civarındaki gerilme durumu belirlenebilir.
Gerilme Birimi: 1 Pa = N/m2.
1 MPa = 106N/m2 = N/mm2
STATİK TEKRAR
• Yapı, 30 kN’luk lük taşımak
üzere tasarlanmıştır.
• AB ve BC çubuk elemanları
birleşimlerde ve mesnetlerde
mafsallı olarak bağlanmıştır.
• Statik analiz ile elemanlardaki
iç kuvvetleri ve mesnet
kuvvetlerinin hesaplayalım.
Copyright © 2002 McGraw-Hill Companies, Inc.
YAPI SERBEST CİSİM DİYAGRAMI
• Yapı mesnetlerinden ayrılmış ve
yükler
ile
mesnet
kuvvetleri
gösterilmiştir.
• Statik denge koşulu:
 M C  0  Ax 0.6 m   30 kN 0.8 m 
Ax  40 kN
 Fx  0 Ax  C x
C x   Ax  40 kN
 Fy  0  Ay  C y  30 kN  0
Ay  C y  30 kN
• Ay ve Cy bu denklemlerden
belirlenemez.
Copyright © 2002 McGraw-Hill Companies, Inc.
BİLEŞEN SERBEST CİSİM DİYAGRAMI
• Tüm yapı yanında, yapının her bir
bileşeni de statik denge koşulunu
sağlamalıdır.
• AB çubuğunun serbest-cisim
diyagramından:
 M B  0   Ay 0.8 m 
Ay  0
yapı denge denkleminde yerine
yazılırsa,
C y  30 kN
• Sonuçlar:
A  40 kN  Cx  40 kN  C y  30 kN 
Copyright © 2002 McGraw-Hill Companies, Inc.
DÜĞÜM NOKTALARI YÖNTEMİ
• AB ve BC çubukları iki- kuvvet çubuğudur.
• Düğüm noktaları statik denge koşulunu
sağlamalıdır. Bu denge koşulu kuvvet
üçgeni şeklinde ifade edilebilir:

 FB  0
FAB FBC 30 kN


4
5
3
FAB  40 kN
FBC  50 kN
Copyright © 2002 McGraw-Hill Companies, Inc.
GERİLME ANALİZİ
Yapı sistemi, uygulanan 30 kN’Luk yükü
güvenle taşıyabilir mi?
• Statik analizden
FAB = 40 kN (basınç)
FBC = 50 kN (çekme)
• BC elemanı boyunca herhangi bir
kesitteki iç kuvvet 50 kN olup, gerilme
dBC = 20 mm
 BC
P
50 103 N
50 103 N
 

 159 MPa
-3
2
-6
2
A  (20x10 /2)
314 10 m
• Çeliğin malzeme özeliklerinden, emniyet
gerilmesi
 all  165 MPa
• Sonuç: BC elemanının dayanımı yeterlidir
Copyright © 2002 McGraw-Hill Companies, Inc.
TASARIM
• Yeni
yapıların
tasarımı,
performans
koşulunun sağlanması için uygun malzeme
ve yapısal eleman boyutunun seçimini
gerektirmektedir.
• Ekonomi, ağırlık, kolay ulaşılması gibi
nedenlerle, çubuk elemanlar için alüminyum
malzeme tercih edilsin. all= 100 MPa).
Uygun çubuk çapı ne olmalıdır?
P
 all 
A
A
d2
A
4
d
4A



P
 all

50 103 N
100 106 Pa
4 500 10 6 m 2

 500 10 6 m 2
  2.52 102 m  25.2 mm
• 26 mm veya büyük çaplı bir alüminyum
uygundur.
Copyright © 2002 McGraw-Hill Companies, Inc.
EKSENEL YÜKLÜ ÇUBUKLARDA
ORTALAMA NORMAL GERİLME
• Eleman boyunca kesit alanının sabit olduğu
çubuk sistemler prizmatik çubuk olarak
tanımlanır.
Kabuller:
• Çubuk eleman yükleme öncesi ve sonrasında
doğrusal kalmalıdır. Ayrıca, şekil değiştirmede
kesit alanı da düz veya düzlem kalmalıdır.
Başka bir ifade ile, zamanla çubuğun hacmi ve
şekli değişmektedir. Bu durumda, çubuğa yük
uygulanmasıyla eleman üzerinde işaretlenen
yatay ve düşey çizgiler üniform şekil değiştirme
yapacaktır.
• Çubuğun üniform bir şekil değiştirme
yapabilmesi için, P kuvvetinin kesit alanının
ağırlık ekseni boyunca uygulanması ve
malzemenin homojen ve izotrop olması
gerekmektedir.
Copyright © 2011 Pearson Education South Asia Pte Ltd
ORTALAMA NORMAL GERİLME DAĞILIMI
Çubuk elemanın üniform bir şekil değiştirmeye maruz kalması
durumunda, bu şekil değiştirme sabit bir normal gerilmenin sonucu
oluşacaktır.
  FRz   Fz ;
 dF   dA
A
P  A
P

A
: kesit alanı üzerinde ortalama
normal gerilme
P: Ağırlık merkezine etkiyen iç normal
kuvvet
A: Çubuk kesit alanı
Copyright © 2011 Pearson Education South Asia Pte Ltd
ORTALAMA NORMAL GERİLME DAĞILIMI
Üniform gerilme dağılımı, ağırlık merkezinden geçen x ve y eksenlerine
göre sıfır moment oluşturacağından, P iç kuvveti kesitin ağırlık
merkezinden geçmelidir.
(M R ) x   M x ;
0   ydF   ydA   ydA
A
(M R ) y   M y ;
A
A
0   xdF   xdA   xdA
A
A
A
Bu denklemlerin sağlandığı,
ağırlık merkezi tanımından
görülebilir.
 ydA  0  xdA  0
Copyright © 2011 Pearson Education South Asia Pte Ltd
ORTALAMA NORMAL GERİLME DAĞILIMI
Denge: Eksenel olarak yüklü çubuğun kesit alanı
üzerindeki her bir noktadaki hacim elemanı sadece
normal gerilme etkisinde olacaktır.
F
z
 0;
 (A)   ' (A)  0
 '
Eleman üzerindeki normal gerilme bileşenleri birbirine eşit
ancak ters yönde olmalıdır.
P iç kuvvetinin büyüklüğü,
gerilme diyagramı altındaki
hacme eşittir. P=A
Ayrıca, moment dengesinden,
bu bileşke kuvvet bu hacmin
ağırlık
merkezinden
geçmektedir.
Copyright © 2011 Pearson Education South Asia Pte Ltd
ÖRNEK
Şekilde görülen çubuk eleman 35 mm genişliğe ve 10 mm
kalınlığa sahiptir. Verilen yükleme için maksimum ortalama
normal gerilmeyi belirleyiniz.
Copyright © 2011 Pearson Education South Asia Pte Ltd
ÖRNEK
Çözüm:
• AB, BC ve CD bölgelerindeki iç eksenel kuvvetler farklı
olduğundan,
• Normal kuvvet gerilme diyagramı çizilirse,
Copyright © 2011 Pearson Education South Asia Pte Ltd
ÖRNEK
Solutions
• En büyük normal kuvvet BC bölgesindedir.
PBC  30 kN
• Çubuğun kesit alanı sabit olduğundan, en büyük ortalama normal
gerilme:
 BC
 
PBC
30 103


 85.7 MPa (Cvp)
A 0.0350.01
Copyright © 2011 Pearson Education South Asia Pte Ltd
ORTALAMA KAYMA GERİLMESİ
• P ve P’ kuvvetleri AB elamanına dik olarak
etkimektedir.
• Buna karşılık gelen iç kuvvetler C kesitinin
düzleminde etkimektedir ve kayma
gerilmesi olarak tanımlanmaktadır.
• İç kesme kuvveti dağılımının bileşkesi,
kesitin kesme kuvveti olarak tanımlanıp, P
yüküne eşittir.
• Karşılık gelen ortalama kayma gerilmesi
P
ise
 
avg
A
• Kayma gerilmesi dağılımı, eleman yüzeyinde
sıfırdan, ortalama değerden çok daha büyük
olabilen maksimum değerlere kadar değişim
gösterebilir.
• Kayma gerilmesi dağılımı üniform kabul
edilemez.
Copyright © 2002 McGraw-Hill Companies, Inc.
KAYMA GERİLMESİ DURUMLARI
Tek Tesirli Birleşim
Çift Tesirli Birleşim
P
 ave 
P F

A A
 ave 
Copyright © 2002 McGraw-Hill Companies, Inc.
P F

A 2A
F
2
BİRLEŞİMLERDEKİ MESNET GERİLMELERİ
• Cıvata, perçin, ve mafsallar,
birleşim
noktalarında
gerilmeler oluşturur.
• Birleşimlerdeki gerilme,
b 
Copyright © 2002 McGraw-Hill Companies, Inc.
P P

A td
EMNİYET GERİLMELERİ
Yapısal bir elemanı tasarlayan mühendis, malzemedeki gerilmeyi güvenli
olacak bir sınırda tutmalıdır. Ayrıca, kullanımda olan bir yapının ne kadar
daha ek yük taşıyacabileceğinin belirlenmesi gerekebilir. Bu durumda da
hesaplar için belirli bir güvenlik veya emniyet gerilmesi kullanmak
gerekmektedir.
Güvenliği sağlamak için, elemanın taşıyabileceği yükü daha küçük bir
yük değeri ile sınırlayacak olan bir emniyet gerilmesinin seçilmesi
gereklidir.
Güvenlik Katsayısı Kullanım Durumları
• Tasarımda dikkate alınan yükler, elemanın maruz kaldığı
yüklerden farklı olabilir.
• İmalat ve montaj hatası gibi nedenlerle ortaya çıkan hatalar
• Tasarımda dikkate alınmayan, belirsiz titreşimler, çarpma
etkileri.
• Korozyon nedeniyle malzemedeki bozulmalar
• Ahşap, beton gibi mekanik özelliklerinde ciddi değişkenlik
gösteren malzemeler
Copyright © 2002 McGraw-Hill Companies, Inc.
GÜVENLİK KATSAYISI
Bir elemanın tasarım veya analiz için emniyetli yükün belirlenmesi için,
“güvenlik katsayısı” kullanılmaktadır. Güvenlik katsayısı (F.S.), göçme
yükünün emniyetle taşınabilecek yüke oranıdır.
F .S . 
Fgöçme
Fem
Elemana etkiyen yük, elemanda ortaya çıkan gerilme arasında
doğrusal bir bağıntı varsa (=P/A ve avg=V/A gibi),
 göçme
F .S . 
 em
 göçme
F .S . 
 em
Muhtemel göçmeyi önlemek için, Güvenlik katsayısı 1’den
büyük alınır.
Copyright © 2002 McGraw-Hill Companies, Inc.
BASİT BİRLEŞİMLERİN TASARIMI
•
Normal kuvvet için,
A
•
P
 allow
Kesme kuvveti için,
A
V
 allow
Copyright © 2011 Pearson Education South Asia Pte Ltd
ÖRNEK
Şekildeki rijit çubuk eleman, 20 mm çaplı AC çelik çubuğu ve
1800 mm2’lik kesit alanına sahip alüminyum bir blok ile
desteklenmektedir. A ve C’deki 18 mm çaplı mafsallar tek
tesirli kesme etkisindedir. Çelik ve alüminyum için göçme
gerilme değerleri  al göç  70 MPa,    680 MPa ve her bir mafsal için
göçme kayma gerilmesi değeri   900 MPa olduğunda göre,
çubuğa uygulanabilecek en büyük P yükünü belirleyiniz.
Güvenlik katsayısı F.S.=2.
st göç
göç
Copyright © 2011 Pearson Education South Asia Pte Ltd
ÖRNEK
Çözüm
• Emniyet gerilme değerleri,
 st em 
 st göç
680
 340 M Pa
F .S .
2
 al göç 70
 al em 

 35 M Pa
F .S .
2
 göç 900
 em 

 450 M Pa
F .S .
2

• Bilinmeyen sayısı 3. Denge denklemleri yazılırsa,
  M B  0;
  M A  0;
P1.25  FAC 2  0
(1)
FB 2  P0.75  0
(2)
Copyright © 2011 Pearson Education South Asia Pte Ltd
ÖRNEK
Çözüm
• AC çubuğu, blok ve mafsallar’da emniyet gerilmesi değerlerine karşılık
gelecek P değerlerini bulalım.


• AC çubuğu, FAC   st allow AAC   340106  0.012  106.8 kN
• Denklem 1’den, P 
106.82  171 kN
1.25
• B bloğu için, FB   al allow AB  35106 1800106   63.0 kN
• Denklem 2’den,
P
63.02  168 kN
0.75
Copyright © 2011 Pearson Education South Asia Pte Ltd
ÖRNEK
Çözüm
• A veya C mafsalı için,
• Denklem 1’den,
P


V  FAC   allowA  450106  0.009  114.5 kN
2
114.52  183 kN
1.25
• P en küçük değerini (168 kN) aldığında, alüminyum blokta normal
emniyet gerilmesi ortaya çıkmaktadır.
P  168 kN (Cvp)
Copyright © 2011 Pearson Education South Asia Pte Ltd