TÜREV ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE Türev 1. Kazanım : Türev kavramını örneklerle açıklar. 2. Kazanım : Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan türevini ve sağdan türevini bulur, soldan türev ve sağdan türev ile türev arasındaki ilişkiyi açıklar. 3. Kazanım : Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliği ile türevlenebilirliği arasındaki ilişkiyi açıklar. 4. Kazanım : Bir fonksiyonun bir aralıkta türevli olmasını ifade eder. 5. Kazanım : Türev tanımını kullanarak verilen bir fonksiyonun türevine ait formülleri oluşturur ve uygulamalar yapar. 6. Kazanım : Türevlenebilen iki fonksiyonun toplamının, farkının, çarpımının ve bölümünün türevine ait kuralları oluşturur ve bunlarla ilgili uygulamalar yapar. 7. Kazanım : Bir fonksiyonun grafiğinin bir noktasındaki teğetinin ve normalinin denklemini yazar. 8. Kazanım : Bir fonksiyonun ardışık türevlerini bulur. Türev Uygulamaları 1. Kazanım : Bir fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıkları türevin işaretine göre belirler. 2. Kazanım : Bir fonksiyonun mutlak maksimum ve mutlak minimum, yerel maksimum, yerel minimum, noktalarını açıklar ve bir fonksiyonun ekstremum noktalarını türev yardımıyla çözer. 3. Kazanım : Maksimum ve minimum problemlerini türev yardımıyla çözer. 4. Kazanım : Bir fonksiyonun grafiği üzerinde bükeylik ve dönüm noktası kavramını açıklar. 5. Kazanım : Fonksiyonların grafiğini türev yardımıyla çizer. 6. Kazanım : L’Hospital kuralı yardımıyla fonksiyonların limitlerini hesaplar. 3. ÜNİT TÜREV BİR NOKTADA TÜREV A ⊂ R ve f : A → R, y = f(x) fonksiyonu y a ∈ A da sürekli olmak üzere, lim x"a f(x) f (x) – f (a) x–a f(x) – f(a) f(a) limiti varsa (bir reel sayı ise) bu limit değerine y = f(x) fonksiyonunun x = a noktasındaki türevi denir ve dy df , (a) sembollerinden birisi ile gösterilir. f′(a), dx dx 0 x=a x–a a y = f(x) x x Türev tanımını aşağıdaki gibi de yapabiliriz. x – a = h olsun. x – a = h ⇒ x = a + h tır. x → a ⇔ (x – a) → 0 ⇔ h → 0 f (x) – f (a) f (a + h) – f (a) f′(a) = lim = lim bulunur. x–a h x"a h"0 ÖRNEK 1 Sağdan ve Soldan Türev f : R → R, f(x) = x3 fonksiyonunun x = 1 noktasın- A ⊂ R ve f : A → R, y = f(x) fonksiyonu daki türevini bulunuz. a ∈ A da sürekli olmak üzere; Çözüm ® lim x " a+ f (x) – f (a) limitinin bir reel sayı değeri varx–a sa, bu değere y = f(x) fonksiyonunun x = a daki sağdan türevi denir ve f′(a+) ile gösterilir. ® lim x " a– f (x) – f (a) limitinin bir reel sayı değeri varx–a sa, bu değere y = f(x) fonksiyonunun x = a daki ÖRNEK 2 soldan türevi denir ve f′(a–) ile gösterilir. f : R → R, f(x) = x2 + 2 fonksiyonunun x = 2 noktasındaki türevini bulunuz. Sağdan ve soldan türevler var ve eşitse fonksiyo- Çözüm nun o noktada türevi vardır. f′(a+) = f′(a–) = f′(a) dır. f′(a+) ≠ f′(a–) ise f′(a) yoktur. y = f(x) ise f fonksiyonunun bir x noktasındaki dy türevi f′(x), , y′ sembollerinden birisi ile gösdx d e türev alma operatörü denir. terilir. Burada, dx 178 Türev ÖRNEK 3 ÖRNEK 4 f : R → R, f(x) = |x| fonksiyonunun eğer varsa f′(0+), f : R → R, f(x) = * – f′(0 ) ve f′(0) türevlerini bulunuz. 2x – 1 , x > 1 x2 , x≤1 fonksiyonu veriliyor. Çözüm a. f fonksiyonu x = 1 de sürekli midir? b. f fonksiyonu x = 1 de türevli midir? ESEN YAYINLARI Çözüm Türev - Süreklilik İlişkisi A ⊂ R, f : A → R ve a ∈ A olmak üzere, y = f(x) fonksiyonu x = a da türevli ise, bu noktada süreklidir. Bir başka ifadeyle, y = f(x) fonksiyonu x = a da sürekli değilse, fonksiyonun bu noktada türevi yoktur. Bir noktada sürekli olan bir fonksiyon bu noktada türevli olmayabilir. Fonksiyonun sürekli olduğu fakat türevli olmadığı noktalara fonksiyonun kırılma noktaları adı verilir. Örnek 3 teki f(x) = |x| fonksiyonunun kırılma noktası x = 0 dır. 179 Türev ÖRNEK 5 ÖRNEK 6 f : R → R, f(x) = |x2 – 9| fonksiyonu veriliyor. a. f fonksiyonu x = 3 te sürekli midir? b. f fonksiyonu x = 3 te türevli midir? f : R → R, f(x) = * 3x 2 , x ≥ 1 6x , x<1 fonksiyonu x = 1 de türevli midir? Çözüm ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 7 f(x) = x+1 fonksiyonu x = 3 te türevli midir? x–3 Çözüm 180 Türev BİR ARALIKTA TÜREVLENEBİLME ÖRNEK 8 f : R → R , f(x) = * 3x + 2 , x > 2 f : [a, b ] → R bir fonksiyon olsun. ∀x ∈ (a, b) için f 2x + 4 , x ≤ 2 fonksiyonunun türevi varsa, f fonksiyonu (a, b) aralığında türevlidir denir. f′ türev fonksiyonunun tanım fonksiyonunun x = 2 apsisli noktasında türevinin kümesi f nin tanım kümesinin alt kümesidir. olup olmadığını araştırınız. Çözüm ÖRNEK 9 f : R → R, f(x) = x3 fonksiyonunun türev fonksiyonunu bulunuz. ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 10 f : R → R, f(x) = 5x fonksiyonunun türev fonksiyonunu bulunuz. Çözüm ÖRNEK 11 f(x) = sinx fonksiyonunun türevini bulunuz. Çözüm 181 ALIŞTIRMALAR – 1 1. f : R → R, f(x) = 2x2 + 1 fonksiyonunun x = 1 6. noktasındaki türevi kaçtır? f : R → R, f(x) = * 2x , x≥1 x2 + 1 , x<1 fonksiyonunun x = 1 noktasındaki türevi kaçtır? 2. f : R → R, f(x) = 3x + 2 fonksiyonunun x = 10 noktasındaki türevi kaçtır? 3. 1 ise f′(2) değerini bulunuz. x 7. f : R+ → R, f(x) = 8. f : R → R, f(x) = x2 ise f′(0) değerini bulunuz. 9. f : R → R, f(x) = |x2 – 4| fonksiyonu x = 2 nok- f : R → R, f(x) = x3 – 1 fonksiyonunun x = 2 4. f : R → R, f(x) = |x – 1| fonksiyonu için eğer varsa aşağıdakileri bulunuz. ESEN YAYINLARI noktasındaki türevi kaçtır? a. f′(1+) b. f′(1–) c. f′(1) tasında türevli ise türevi kaçtır? d. f′(–1) e. f′(0) f. 5. f′(2) f : R → R, f(x) = x.|x| fonksiyonunun x = 0 noktasındaki türevi kaçtır? 182 10. f : R → R, f(x) = |x2 – 2x| fonksiyonu x = 2 noktasında türevli ise türevi kaçtır? Türev 11. f : R → R, f(x) = |x2 – x| fonksiyonunun kırılma 16. y noktalarının apsisleri toplamı kaçtır? –6 –4 12. f : R → R, f(x) = * –2 0 3 4 x 5 6 x3 , x < 0 x2 , x ≥ 0 Yukarıda verilen grafikle tanımlı f fonksiyonu için fonksiyonunun x = 0 noktasında türevi varsa aşağıdakileri cevaplayınız. kaçtır? a. Süreksiz olduğu noktaların apsisleri toplamı kaçtır? fonksiyonu, x = 1 noktasında sürekli ise a kaçtır? b. Türevinin olmadığı noktaların apsisleri toplamı kaçtır? ESEN YAYINLARI Z x+1 , x < 1 ] 13. f : R → R, f(x) = [ ax + 2 , x = 1 ] 2 \ x +1 , x > 1 c. Kırılma noktasının apsisi kaçtır? d. f fonksiyonunun [–6, 6 ] aralığındaki tam sayıların kaçında türevi vardır? 14. f(x) = sinx fonksiyonunun x = r noktasındaki 2 türevini bulunuz. 17. Aşağıdaki fonksiyonların türev fonksiyonlarını bulunuz. a. f(x) = x b. f(x) = x2 15. f(x) = x2 + 3 x2 – 1 fonksiyonunun türevinin olmadığı kaç farklı noktası vardır? c. f(x) = x + 2 d. f(x) = x2 + 1 183 Türev TÜREV ALMA KURALLARI ÖRNEK 13 Sabit Fonksiyonun Türevi Aşağıda bazı fonksiyonların türevleri alınmıştır. İnceleyiniz. c ∈ R olmak üzere, f(x) = c ⇒ f′(x) = 0 dır. f(x) = c ⇒ f′(x) = lim h"0 ® f(x) = x2 ⇒ f′(x) = 2.x2–1 = 2x f (x + h) – f (x) h = lim h"0 ® f(x) = x3 ⇒ f′(x) = 3.x3–1 = 3x2 c–c h ® f(x) = x ⇒ f′(x) = 1.x1–1 = 1.x0 = 1 = lim 0 = 0 bulunur. h"0 ® f(x) = x19 ⇒ f′(x) = 19.x19–1 = 19x18 3 ® f (x) = x 2 & fl (x) = ÖRNEK 12 Aşağıda bazı sabit fonksiyonların türevleri alınmıştır. 1 ® f (x) = x = x 2 & fl (x) = İnceleyiniz. ® f(x) = 5 ⇒ f′(x) = 0 ® f(x) = 5 2 x 2 = x 5 & fl (x) = ® f(x) = 3 2 ⇒ f′(x) = 0 ® f(x) = 2a + 1 ⇒ f′(x) = 0 ® f(x) = π + e2 ⇒ f′(x) = 0 f(x) = c.xn Fonksiyonunun Türevi f : R → R, n ∈ R, c ∈ R olmak üzere, f(x) = c.xn ⇒ f′(x) = c.n.xn – 1 dir. ® f(x) = 192010 ⇒ f′(x) = 0 2009 ⇒ f′(x) = 0 2010 ® f(x) = ESEN YAYINLARI ® f(x) = –8 ⇒ f′(x) = 0 ÖRNEK 14 f(x) = xn Fonksiyonunun Türevi Aşağıda bazı fonksiyonların türevleri alınmıştır. İnceleyiniz. + f : R → R, n ∈ N n olmak üzere, n–1 f(x) = x ⇒ f′(x) = n.x dir. f (x + h) – f (x) (x + h) n – x n = lim f′(x) = lim h h h"0 h"0 = lim h"0 = lim h"0 (x + h – x) + 6 (x + h) n – 1 + (x + h) n – 2 .x + … + x n – 1 @ h h. 6 (x + h) n – 1 + (x + h) n – 2 .x + … + x n – 1 @ h = xn – 1 + xn – 2.x + ... + xn – 1 , (n tane) = n.xn – 1 bulunur. 184 ® f(x) = 2.x ⇒ f′(x) = 2.1.x1–1 = 2 ® f(x) = 5x2 ⇒ f′(x) = 5.2.x2–1 = 10x ® f(x) = 3x–2 ⇒ f′(x) = 3.(–2).x–2–1 = –6x–3 ® f(x) = 2. 3 2 2 2 x = 2.x 3 ⇒ f′(x) = 2. .x 3 Türev İki Fonksiyonun Toplamının - Farkının Türevi İki Fonksiyonun Bölümünün Türevi f(x) = g(x) + h(x) ⇒ f′(x) = g′(x) + h′(x) f (x) = f(x) = g(x) – h(x) ⇒ f′(x) = g′(x) – h′(x) ÖRNEK 15 g (x) h (x) & fl (x) = gl (x) .h (x) – g (x) .hl (x) 6 h (x ) @ 2 ÖRNEK 18 Aşağıda bazı fonksiyonların türevleri alınmıştır. f(x) = İnceleyiniz. ® f(x) = x2 + x3 ⇒ f′(x) = 2.x2–1 + 3.x3–1 = 2x + 3x2 2x + 1 olduğuna göre, f′(x) türev fonksiyonu3x – 1 nu bulunuz. Çözüm ® f(x) = 3x4 + 5 ⇒ f′(x) = 3.4x4–1 + 0 = 12x3 ® f(x) = 2x3 – x2 + 5x ⇒ f′(x) = 2.3.x3–1 – 2.x2–1 + 5.x1–1 İki Fonksiyonun Çarpımının Türevi ÖRNEK 16 f(x) = (x2 + 1).(2 – x3) olduğuna göre, f′(1) değerini bulunuz. Çözüm ESEN YAYINLARI f(x) = g(x).h(x) ⇒ f′(x) = g′(x).h(x) + g(x).h′(x) ÖRNEK 19 f(x) = x 2 + 3x olduğuna göre, f′(x) türev fonksiyox2 – 1 nunu bulunuz. Çözüm ÖRNEK 17 f(x) = x2.(x3 + 1).(x + 2) olduğuna göre, f′(0) değerini bulunuz. Çözüm ax + b a.d – b.c = f(x) = cx + d & fl (x) = (cx + d) 2 dir. 185 Türev f(x) = [g(x) ] n ⇒ f′(x) = n.[g(x) ] n–1.g′(x) f (x) ⇒ y′ = y= fl (x) tir. 2 f (x) ÖRNEK 20 f(x) = (x3 + 2x + 4)5 ise f′(x) türev fonksiyonunu ÖRNEK 24 bulunuz. Aşağıda bazı kareköklü fonksiyonların türevi yukarı- Çözüm daki pratik kural yardımıyla alınmıştır. İnceleyiniz. f′(x) = 5.(x3 + 2x + 4)5–1.(x3 + 2x + 4)′ ÖRNEK 21 ® f(x) = 5x + 1 ⇒ f′(x) = ® f(x) = x 3 – 1 ⇒ f′(x) = ® f(x) = x 2 – x ⇒ f′(x) = 5 f(x) = (x2 – 4x)3 + 2x2 – 5x + 2 olduğuna göre, f′(3) değeri kaçtır? Çözüm ÖRNEK 22 g′(2) = 6 olmak üzere, f(x) = g(x2 + x) ise f′(1) değeri kaçtır? ESEN YAYINLARI ÖRNEK 25 f(x) = 3 (x 2 + x) 2 ise f′(x) türev fonksiyonunu bulu- nuz. Çözüm Çözüm n > m olmak üzere, ÖRNEK 23 f(x) = Çözüm f(x) = x 2 + 1 ise f′(x) fonksiyonunu bulunuz. x2 + 1 = _ x2 + 1 i f(x) = 6 g (x) @ m ⇒ f′(x) = m.gl (x) n. n 6 g (x) @ n – m ÖRNEK 26 f(x) = 3 Çözüm 186 n (x 2 – x) 2 ise f′(x) fonksiyonunu bulunuz. Türev Trigonometrik Fonksiyonların Türevi Bileşke Fonksiyonunun Türevi f(x) = (goh)(x) ⇒ f′(x) = g′(h(x)).h′(x) ® f(x) = sin g(x) ise f′(x) = g′(x).cos g(x) ® f(x) = cos g(x) ise f′(x) = –g′(x).sin g(x) ÖRNEK 27 2 2 f(x) = 2x + 1 ve g(x) = x + 3x ise y = (fog)(x) bileşke fonksiyonunun türevini bulunuz. ® f(x) = tan g(x) ise f′(x) = g′(x).(1 + tan2g(x)) Çözüm = g′(x). f(x) = 2x2 + 1 ⇒ f′(x) = 4x 1 cos 2 g (x) = g′(x).sec2g(x) ® f(x) = cot g(x) ise f′(x) = – g′(x).(1 + cot2g(x)) ÖRNEK 28 = – g′(x). f(x) = (x2 + 1)4 olduğuna göre, f′(x) türev fonksiyonunu bulunuz. 1 sin 2 g (x) = – g′(x).cosec2g(x) Çözüm ÖRNEK 29 g(2) = 4 , f′(4) = –3 ve g′(2) = 5 ise (fog)′(2) kaçtır? ESEN YAYINLARI g(x) = x4 , h(x) = x2 + 1 alınırsa, ÖRNEK 31 Aşağıda bazı fonksiyonların türevleri alınmıştır. İnceleyiniz. ® y = sinx ⇒ y′ = cosx ® y = cosx ⇒ y′ = – sinx ® y = tanx ⇒ y′ = 1 + tan2x = Çözüm (fog)′(x) = f′(g(x)).g′(x) ⇒ (fog)′(2) = f′(g(2)).g′(2) 1 cos 2 x = sec2x y = (fogoh)(x) ⇒ y′ = f′(g(h(x))).g′(h(x)).h′(x) dir. ® y = cotx ⇒ y′ = – (1 + cot2x) = – Bu eşitlikte y = f(z), z = g(u), u = h(x) alınırsa, dy dy . dz . du = = f′(z).g′(u).h′(x) y′ = dx dz du dx = f′(g(h(x))).g′(h(x)).h′(x) olur. Bu işleme, türevde zincir kuralı denir. 1 sin 2 x = – cosec2x ÖRNEK 32 f(x) = 2sin3x + 5cos2x ise f′(x) türev fonksiyonunu ÖRNEK 30 y = 3t2 + 1, t = 2u + 3, u = x3 + 2 olduğuna göre, bulunuz. Çözüm dy ifadesini bulunuz. dx Çözüm 187 Türev ÖRNEK 33 ÖRNEK 37 f(x) = sin23x ise f′(x) türev fonksiyonu nedir? f(x) = Çözüm sin x – cos x r ise f′ b l kaçtır? tan x 4 Çözüm ÖRNEK 34 f(x) = cos(x2 + x) ise f′(x) nedir? Çözüm ÖRNEK 35 f(x) = 3 Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi r tan 2 x ise fl b l kaçtır? 4 ® g(x) ≠ 0 olmak üzere, ESEN YAYINLARI Çözüm f(x) = |g(x)| ⇒ f′(x) = * gl (x) , g (x ) > 0 – gl (x) , g (x) < 0 ® g(a) = 0 olmak üzere, f(x) = |g(x)| fonksiyonunun x = a daki sağ ve sol türevleri eşit ise fonksiyonun x = a da türevi vardır. ÖRNEK 38 f(x) = |x + 4| fonksiyonunun türevinin kuralını bulunuz. ÖRNEK 36 f(x) = x.tan2x ise f′ b Çözüm 188 r l kaçtır? 8 Çözüm Türev ÖRNEK 39 ÖRNEK 42 f(x) = |(x – 2)3| fonksiyonunun türevinin kuralını bulu- f(x) = x.|x| fonksiyonunun x = –2, x = 0 ve x = 1 nuz. apsisli noktalarındaki türevini araştırınız. Çözüm Çözüm Kapalı Fonksiyonların Türevi x ve y değişken, y = f(x) olmak üzere, F(x, y) = 0 denklemi ile verilen bağıntılara kapalı fonksiyon denir. Kapalı fonksiyonun türevi iki farklı 2 f(x) = |x – 2| + x + 1 olduğuna göre f′(1) in değeri nedir? Çözüm ESEN YAYINLARI ÖRNEK 40 yoldan bulunabilir. I. Yol: F(x, y) = 0 denkleminin her iki yanının x e göre türevi alınır. Bulunan denklemden de dy y′ = yalnız bırakılır. dx II. Yol: F(x, y) = 0 ⇒ F′(x, y) = – Flx(x, y) dir. Fly(x, y) F′x(x, y): F nin x e göre türevi (y sabit) F′y(x, y): F nin y ye göre türevi (x sabit) NOT: |x – 2| için x = 1 kritik nokta olmadığından, sağdan ve soldan türevine bakmaya gerek yoktur. ÖRNEK 43 y = f(x) olmak üzere, x2y + 3x + 2y2 = 0 bağıntısının türevini bulunuz. Çözüm ÖRNEK 41 f(x) = |x2 + 6x + 9| olduğuna göre, f′(–3) ün değeri nedir? Çözüm 189 Türev ÖRNEK 44 sin(x – y) + cos(x + y) = 0 ise ÖRNEK 47 dy nedir? dx x = t2 + t Çözüm y = 3t 2 + 1 4 olduğuna göre, dy dx t=1 değeri nedir? Çözüm ÖRNEK 48 x = cos i ÖRNEK 45 dy dx ifadesini bulunuz. Çözüm ESEN YAYINLARI y = f(x) olmak üzere, sinx + cosy = x + y ise y = sin i 4 ise dy ifadesinin eşitini bulunuz. dx Çözüm ÖRNEK 49 y = 3t 2 + t Parametrik Fonksiyonların Türevi y = f(x) fonksiyonu x = u(t), y = v(t) şeklinde dy dy parametrik olarak verildiğinde, y′ = = dt olur. dx dx dt ÖRNEK 46 x = t2 – 1 ve y = 2t + 1 olduğuna göre, Çözüm 190 dy nedir? dx x = t+2 türevi Çözüm 4 olmak üzere, y = f(x) fonksiyonunun dy = fl (x) ise f′(–1) değeri nedir? dx Türev Ters Fonksiyonun Türevi ÖRNEK 51 f: A → B, y = f(x) bire bir ve örten fonksiyonu f: R → R, f(x) = x3 + x ise (f –1)′(2) kaçtır? x0 ∈ A noktasında türevli ve f′(x0) ≠ 0 ise Çözüm –1 f : B → A fonksiyonu da x0 ın f altındaki görüntüsü olan y0 noktasında türevlidir ve (f –1)′(y0) = 1 dır. fl (x 0) ÖRNEK 50 f: R → R, f(x) = x3 + 1 ise (f –1)′(2) kaçtır? Çözüm ÖRNEK 52 f(x) = secx ise (f –1)′(x) türevini bulunuz. ESEN YAYINLARI Çözüm 191 Türev Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi f(x) = arctan(sinx) ve cosa = gl (x) ® f(x) = arcsin g(x) ⇒ f′(x) = 1 ise f′(a) kaçtır? 4 Çözüm 1– g 2 (x) ® f(x) = arccos g(x) ⇒ f′(x) = – ® f(x) = arctan g(x) ⇒ f′(x) = ÖRNEK 54 gl (x) 1– g 2 (x) gl (x) 1 + g 2 (x) ® f(x) = arccot g(x) ⇒ f′(x) = – gl (x) 1 + g 2 (x) ÖRNEK 53 Aşağıda bazı fonksiyonların türevleri alınmıştır. İnceleyiniz. Logaritma Fonksiyonunun Türevi ® y = arccosx ⇒ y′ = – ESEN YAYINLARI ® y = arcsinx ⇒ y′ = ® f(x) = logag(x) ise f′(x) = ® f(x) = lng(x) ise f′(x) = gl (x) .logae g (x) gl (x) g (x) ® y = arctanx ⇒ y′ = ÖRNEK 55 ® y = arccotx ⇒ y′ = – Aşağıda bazı fonksiyonların türevleri alınmıştır. İnceleyiniz. ® y = arcsin3x ⇒ y′ = ® y = arccos2x ⇒ y′ = – ® y = log5x ⇒ y′ = ® y = log(x2 + x) ⇒ y′ = ® y = lnx ⇒ y′ = ® y = arctan5x ⇒ y′ = ® y = ln x ⇒ y′ = ® y = arccot x ⇒ y′ = – ® y = ln(cosx) ⇒ y′ = 192 .log5e Türev ÖRNEK 59 ÖRNEK 56 f(x) = ln2x ise f′(e) değeri nedir? f(x) = ex.cosx ise f′(x) nedir? Çözüm Çözüm ÖRNEK 57 x –1 ise f′(x) fonksiyonunu bulunuz. x+4 f(x) = ln ÖRNEK 60 Çözüm y = et + 2 3 olmak üzere, y = f(x) fonksiyonunun x = ln t türevi dy = f′(x) ise f′(0) değeri nedir? dx Üstel Fonksiyonun Türevi ® f(x) = ag(x) ise f′(x) = g′(x).ag(x).lna ESEN YAYINLARI Çözüm ® f(x) = eg(x) ise f′(x) = g′(x).eg(x) ÖRNEK 58 Aşağıda bazı fonksiyonların türevleri alınmıştır. ÖRNEK 61 İnceleyiniz. x x x ® y = 5 ⇒ y′ = 1.5 .ln5 = 5 .ln5 f(x) = ln c ex x2 + 1 m ise f′(1) değeri nedir? Çözüm x2+x ® y=2 x2+x ⇒ y′ = (2x + 1).2 .ln2 ® y = ex ⇒ y′ = 1.ex = ex 2–x ® y = ex 2–x ⇒ y′ = (2x – 1).ex ® y = 3x + ex ⇒ y′ = 3x.ln3 + ex ® y = 2x.3x+1 = 2x.3x.3 = 6x.3 ⇒ y′ = 3.6x.ln6 193 Türev Logaritma Yardımıyla Türev Almak Yüksek Mertebeden (Ardışık) Türevler f(x) = [g(x) ]h(x) ⇒ lnf(x) = ln[g(x) ]h(x) y = f(x) fonksiyonunun ardışık türevleri; ⇒ lnf(x) = h(x).ln[g(x) ] olup, her iki tarafın türevi alınırsa, 1. türevi y′ = gl (x) fl (x) = h′(x).ln[g(x) ] + h(x). g (x) f (x) f ′(x) = f(x). = hl (x) . ln 6 g (x) @ + h (x) . gl (x) G bulunur. g (x) 3. türevi y′′′ = d3 y d4 y , 4. türevi y(4) = 3 dx dx 4 n. türevi y(n) = dn y dir. dx n ÖRNEK 62 dn y dy n ≠ m olduğuna dikkat ediniz. c dx dx n Burada, x f(x) = x ise f′(x) fonksiyonunu bulunuz. d2 y dy , 2. türevi y′′ = dx dx 2 Çözüm ÖRNEK 65 ÖRNEK 63 f(x) = xlnx ise f′(x) fonksiyonunu bulunuz. Çözüm ESEN YAYINLARI y = f(x) = 1 3 x + x2 – 2x + 1 3 fonksiyonunun 3. mertebeden türevini bulunuz. Çözüm ÖRNEK 66 f(x) = e3x olduğuna göre, ÖRNEK 64 f(x) = (sinx)cosx ise f′(x) nedir? Çözüm 194 Çözüm d 10 f (x) neye eşittir? dx 10 Türev Bir Polinomun Katlı Kökleri İle Türevleri ÖRNEK 67 f(x) = lnx Arasındaki İlişki fonksiyonunun 20. mertebeden türevini bulunuz. f: R → R, y = f(x) fonksiyonu; Çözüm f(x) = P(x) = anxn + an–1xn–1 + ...... + a1x + a0 biçiminde bir polinom fonksiyon ve x = a sayısı bu polinomun n katlı bir kökü ise f(x) = (x – a)n.g(x) şeklinde yazılabileceğinden, f(a) = f′(a) = f′′(a) = ...... = f (n–1)(a) = 0 olur. ÖRNEK 70 ÖRNEK 68 P(x) = x4 + x3 – ax2 + bx + 2 polinomu (x – 1)2 ile tam d 50 f (x) f(x) = cosx ise neye eşittir? dx 50 bölünebildiğine göre, a ve b değerlerini bulunuz. Çözüm ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 71 P(x) = x4 + ax3 – bx + c polinomu (x + 1)3 ile tam bölünebildiğine göre, a + b + c toplamı kaçtır? Çözüm ÖRNEK 69 P(–1) = 0, P′(–1) = 0 ve P′′(–1) = 0 olmalıdır. f(x) = x20 ise f(x) fonksiyonunun 20. dereceden türevini bulunuz. Çözüm P′(x) = 4x3 + 3ax2 – b P′′(x) = 12x2 + 6ax P′′(–1) = 0 ⇒ 12 – 6a = 0 ⇒ a = 2 P′(–1) = 0 ⇒ – 4 + 3a – b = 0 ⇒ –4 + 6 – b = 0 ⇒ b = 2 P(–1) = 0 ⇒ 1 – a + b + c = 0 ⇒ 1 – 2 + 2 + c = 0 ⇒ c = –1 O halde, a + b + c = 2 + 2 – 1 = 3 tür. 195 Türev DİFERANSİYEL KAVRAMI A ⊂ R, f: A → R, y = f(x) fonksiyonu A da türevlenebilen bir fonksiyon olsun. x in değerindeki değişimi ∆x, buna karşılık gelen y nin değerindeki değişimi ∆y ile gösterelim. x in diferansiyeli dx = ∆x olmak üzere, y nin diferansiyeli dy = f′(x).dx tir. Türev alma kuralları diferansiyel için de geçerlidir. ÖRNEK 72 Aşağıda bazı fonksiyonların diferansiyelleri alınmıştır. İnceleyiniz. 2 ® y = cos2x ⇒ dy = (cos2x)′dx = (–2.sin2x)dx ® d(tanx) = (tanx)′dx = (1 + tan2x)dx 1 dx x ) = (ex +1 )′dx = 2x.ex 2 ® d(ex ® y = lnx ⇒ dy = +1 2 ® y = x2 + x ⇒ dy = (x2 + x)′dx = (2x + 1)dx +1 .dx ® d(x2 + x) = (x2 + x)′dx = (2x + 1)dx ® y = ex.sinx ⇒ dy = (ex.sinx + ex.cosx)dx ® y = esinx ⇒ dy = (cosx.esinx)dx ETKİNLİK Bir f fonksiyonunda y = f(x) iken x değişkeni h kadar artırıldığında y de meydana gelen artma ve diferansiyel yaklaşık olarak 50 = ? aynı kabul edilir. Dolayısıyla, 3 f(x + h) ≅ f(x) + h.f′(x) formülü yaklaşık hesapta kullanılabilir. 25 = ? 50 değerini yaklaşık olarak hesaplayalım. ® x ⇒ f′(x) = f(x) = 1 olur. 2 x Bu değerleri f(x + h) ≅ f(x) + h.f′(x) eşitliğinde yerine yazarsak 49 + 1. f(49 + 1) ≅ f(49) + 1.f′(49) ⇒ f(50) ≅ ® 3 1 2 49 1 ≅ 7 + 0,071 2.7 ⇒ 50 ≅ 7 + ⇒ 50 ≅ 7,071 bulunur. 25 değerini yaklaşık olarak hesaplayalım. f(x) = 3 x ⇒ f′(x) = 1 3. 3 x2 olur. Bu değerleri f(x + h) ≅ f(x) + h.f′(x) eşitliğinde yerine yazarsak f(27 – 2) ≅ f(27) – 2.f′(27) ⇒ f(25) ≅ 3 27 – 2. 1 ⇒ 3. 3 27 2 ⇒ ⇒ 196 1 3.9 3 25 ≅ 3 – 2. 3 25 ≅ 3 – 0,075 3 25 ≅ 2,925 bulunur. Türev TÜREVİN FİZİKSEL YORUMU Bir cismin t zamanına kadar bağlı olarak gittiği yolu veren s(t) fonksiyonuna cismin hareket denklemi denir. Bir hareketlinin hızı, birim zamanda aldığı yoldur. Hareketlinin [t0, t ] zaman aralığında aldığı yol s(t) – s(t0) olduğundan, ortalama hızı Vort. = s (t) – s (t 0) s (t) – s (t 0) dır. Buna göre, hareketlinin t0 anındaki hızı; V = lim = s′(t0) dır. t – t0 t – t0 t " t0 Ayrıca bir hareketlinin hızının birim zamandaki değişme miktarı ivmedir. Buna göre, hareketlinin t0 anındaki hızı V(t0), t anındaki hızı V(t) ise hareketlinin ortalama ivmesi, aort. = daki ivmesi; a = lim t " t0 V (t) – V (t 0) = V′(t0) = s′′(t0) olarak bulunur. t – t0 V (t) – V (t 0) dır. O halde, hareketlinin t0 anınt – t0 Bir hareketlinin t zamanında aldığı yol s(t) ise bu hareketlinin t anındaki hızı V(t) = s′(t) ve t anındaki ivmesi a(t) = V′(t) = s′′(t) dir. ETKİNLİK ÖRNEK 73 t saniyede aldığı yol, s(t) = t2 + 3t (metre) olan bir hareketlinin t = 4 saniye sonundaki hızını ve ivmesini bulunuz. ÖRNEK 74 Dikey olarak yukarı doğru fırlatılan bir tenis topunun t saniyede aldığı yol, s(t) = 32t – 2t2 (metre) fonksiyonu ile veriliyor. Buna göre, bu tenis topu en çok kaç ESEN YAYINLARI Çözüm Denize atılan bir taşın oluşturduğu dalganın yarıçapı 4 m/sn hızla büyüyor. Dalganın yarıçapı 3 metre iken, dalganın sınırladığı alan hangi hızla büyür? Çözüm metre yükselir? Çözüm 197 ALIŞTIRMALAR – 2 1. f(x) = x2 + x ise lim h"0 f (x + h) – f (x) limitinin soh 7. f(x) = (x3 + x2).(x2 + 2) ise f′(1) kaçtır? 8. f(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) ..... (x + 10) olduğuna nucu nedir? 2. 1 ise f(t) = t f (t + h) – f (t) lim limitinin sonucu h h"0 göre, f′(0) kaçtır? nedir? 9. df (x) dx 3. f(x) = 4x3 + x2 ise 4. d 4 (x + x2 + 2) ifadesinin eşiti nedir? dx 5. f(x) = x5 + x4 + x3 ise f′(1) değeri kaçtır? 6. f(x) = (x2 + x).(x + 2) ise f′(x) nedir? kaçtır? in eşiti nedir? ESEN YAYINLARI 198 f(x) = x2.(x2 + 1)(x2 + 2) olduğuna göre, f′(2) 10. f(x) = x2 – 1 ise f′(x) nedir? x 11. f(x) = x3 + x ise f′(2) kaçtır? x –1 12. f(x) = ax + 1 ve f′(–1) = 9 ise a kaçtır? x+2 Türev 13. f(x) = (x3 + x)2 ise f′(1) kaçtır? 19. f(3x – 1) = x4 – 6x2 + 1 ise f′(5) kaçtır? 14. f(x) = (x2 + x + 1)3 ise f′(–1) kaçtır? 20. f(2x + 1) + g(3x + 1) = 3x2 + 2 ve f′(3) = 6 ise g′(4) kaçtır? 15. f(x) = (x3 + 1)2.(x4 – 1)3 ise f′(0) kaçtır? 21. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz. x 16. f(x) = 2x + 1, g(x) = x2 + 3 ise (fog)′(x) nedir? ESEN YAYINLARI a. f(x) = b. f(x) = 3 x c. f(x) = 3 x2 x2 + 1 d. f(x) = e. f(x) = 3 2x + 3 f. f(x) = 4 x2 + 1 + x 17. f(x) = x3 + x, g(x) = x4 + x2 ise (fog)′(1) kaçtır? 18. f(x) = 3x + 2 ve g(x) = tır? x+1 ise (gof)′(2) kaçx –1 22. y = t2 + 3 ve x = 2t + 1 ise dy nedir? dx 199 Türev 23. y = u3 – 3u ve x = u2 + 2u ise 29. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz. dy nedir? dx a. f(x) = x.sinx b. f(x) = x2.cosx c. f(x) = x2.sin x d. f(x) = cos(x2 + 1) e. f(x) = tan f. f(x) = x.cotx2 g. f(x) = cos b h. f(x) = ı. f(x) = cos23x i. f(x) = sinx.cos3x j. f(x) = k. f(x) = tanx + cotx 24. y = t3 + 2t – 1 ve x = t2 + t ise dy dx ifadesinin eşiti nedir? t=1 25. y = f(x) olmak üzere, x2y + xy2 + x + y = 0 26. y = f(x) olmak üzere, x + y + xy – 3 = 0 bağıntısının türevinin (1, 1) noktasındaki değeri ESEN YAYINLARI bağıntısının türevini bulunuz. r x 4 r sin x l 2 nedir? 27. f(x) = x – 1 olduğuna göre (f –1)′(1) kaçtır? 28. f: [0, ∞) → [1, ∞), f(x) = 4x2 + 1 fonksiyonunun tersinin türevi nedir? 200 sin 2x x + sin x cos x Türev 32. f(x) = 2sinx ise f′(π) nedir? 30. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz. a. f(x) = arcsin4x b. f(x) = arccos x c. f(x) = x.arctanx 2 33. f(x) = 5x +x+1 ise f′(1) kaçtır? d. f(x) = x2.arccotx e. f(x) = arccos(sinx) f. f(x) = arctan(sinx) g. f(x) = arccot(cosx) ESEN YAYINLARI 34. f(x) = ecosπx ise fl c 1 m nedir? 2 35. f(x) = ex.cosx ise f′(0) nedir? 2 36. f(x) = e(x ).x2 ise f′(1) nedir? h. f(x) = arcsin(x2 + 1) 31. f(x) = 5.3x ise f′(x) nedir? 37. f(x) = log5(x4 + 1) ise f′(1) nedir? 201 Türev 38. f(x) = x2 – lnx ise f′(x) nedir? 39. f(x) = ln 3x + 1 ise f′(x) nedir? 2x + 1 42. f(x) = ln(x + 2) ise (f–1)′(0) kaçtır? ESEN YAYINLARI df (x) nedir? dx d 20 f (x) nedir? dx 20 45. f(x) = x.sinx ise d 14 f (x) nedir? dx 14 46. f(x) = e4x ise 40. f(x) = ln(arctanx) ise f′(1) nedir? 41. f(x) = e4lnx ise 44. f(x) = cos2x ise d 16 f (x) nedir? dx 16 47. P(x) = x3 + ax2 + bx + c polinomu (x + 2)3 ile tam bölünebiliyorsa a + b + c toplamı kaçtır? 48. Bir cismin konumunun zamanla değişimi MKS birim sistemde s(t) = 3t3 + 2t + 4 şeklindedir. a. Cismin 2. saniyedeki hızı kaç m/sn dir? b. Cismin 4. saniyedeki ivmesi kaç m/s2 dir? 43. f(x) = xlnx ise f′(e) nedir? 202 c. Cismin 2. saniyede harekete başladığı noktaya olan uzaklığı kaç m dir? Türev TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÖRNEK 76 2 f(x) = ex y bulunuz. y = f(x) A eğrisine üzerindeki x0 = 1 apsisli nok- tasından çizilen teğetin ve normalin denklemlerini te¤et y0 –1 Çözüm α 0 x x0 normal Denklemi y = f(x) olan eğriye apsisi x0 olan üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi m = f′(x0) dır. Teğet ve normal birbirlerine dik olduğundan eğimler çarpımı –1 dir. mt.mn = –1 ⇒ mn = – 1 dır. fl (x 0) Normalin denklemi: y – y0 = – 1 (x – x0) fl (x 0) ÖRNEK 75 f(x) = x2 + 1 eğrisine üzerindeki x0 = 2 apsisli nok- ESEN YAYINLARI Teğetin denklemi: y – y0 = f′(x0)(x – x0) ÖRNEK 77 tasından çizilen teğetin ve normalin denklemlerini y bulunuz. 6 Çözüm A y = f(x) 0 2 4 x Şekilde, y = f(x) fonksiyonuna apsisi 2 olan A noktasından çizilen teğetinin koordinat eksenlerini kestiği noktalar verilmiştir. Buna göre, f′(2) kaçtır? Çözüm 203 Türev ÖRNEK 78 ÖRNEK 80 f(x) = lnx eğrisinin orijinden geçen teğetinin denklemi f(2x + 1) = 4x2 + 6x + 1 olmak üzere, f(x) fonksi- nedir? yonunun x = 1 apsisli noktasından geçen teğetinin Çözüm denklemi nedir? Çözüm ÖRNEK 81 ESEN YAYINLARI f(x) = ÖRNEK 79 f(x) = x2 + 4x + 3 parabolünün I. açıortay doğrusuna en yakın noktasının apsisi kaçtır? Çözüm 204 ln 2x x fonksiyonunun x eksenine paralel olan teğetinin değme noktası nedir? Çözüm Türev ÖRNEK 82 ÖRNEK 84 f(x) = x3 + 1 eğrisinin hangi noktalarından çizilen f(x) = x2 + ax – 1 parabolüne x = –1 apsisli nokta- teğetleri y = 3x – 1 doğrusuna paraleldir? sından çizilen teğetin x ekseni ile pozitif yönde yaptığı Çözüm açı 135° olduğuna göre, a kaçtır? ÖRNEK 83 f(x) = x2 + 1 parabolüne orijinden çizilen teğetlerin ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 85 y f(x) eğimlerini bulunuz. B –2 Çözüm A(1, 4) 0 x y = f(x) fonksiyonunun A(1, 4) noktasından çizilen teğeti x eksenini B(–2, 0) noktasında kesiyor. Buna göre, g(x) = [f(x) ]2 + x fonksiyonunun üzerindeki x = 1 apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi kaçtır? Çözüm 205 ALIŞTIRMALAR – 3 1. f(x) = x2 + x fonksiyonunun apsisi x = 1 olan 7. noktasındaki teğetinin eğimi nedir? 2. çizilen normalin denklemi nedir? f(x) = ex + lnx fonksiyonunun apsisi x = 1 olan noktasındaki teğetinin eğimi nedir? 3. f(x) = sinx + cosx fonksiyonunun apsisi x = f(x) = x3 eğrisine apsisi x = –2 olan noktasından r 4 olan noktasındaki teğetinin eğimi nedir? 1 eğrisine apsisi x = 1 olan noktax sından çizilen teğetin denklemi nedir? 8. f(x) = 3 9. f(x) = ex – 1 eğrisine apsisi x = 0 olan noktaex x+ 4. 5. 3 fonksiyonunun A(3, 1) noktasından x geçen normalinin eğimi nedir? f(x) = x = t2 + 1 4 eğrisinin A(2, 2) noktasından y = t3 + 1 geçen normalinin eğimi nedir? 6. f(x) = x2 + x – 1 parabolüne apsisi x = 1 olan noktasından çizilen teğetin denklemi nedir? 206 ESEN YAYINLARI sından çizilen teğetin denklemi nedir? 10. f(x) = x2 – 5x fonksiyonunun hangi noktasındaki teğeti y = –x + 2 doğrusuna paraleldir? 11. f(x) = x2 – 3x + 1 fonksiyonunun hangi noktasındaki teğeti y = x + 1 doğrusuna diktir? 12. f(x) = x3 + bx2 – c eğrisi A(1, 0) noktasında x eksenine teğet ise (b, c) ikilisi nedir? Türev 13. f(x) = x – 2 eğrisine O(0, 0) noktasından çizi- y 17. Şekilde len teğetin denklemi nedir? verilenlere göre y = f(x) g(x) = (x2 + ax).f(x) 1 ve g′(2) kaçtır? 0 2 x 4 14. f(x) = x2 – 2x + 2 eğrisine A(0, 1) noktasından çizilen teğetlerin denklemlerini bulunuz. 18. Şekilde y verilenlere göre g(x) = f (x) ise x A 4 y = f(x) g(x) in x = 1 apsisli noktasından –3 0 x 1 geçen teğetinin 15. eğimi kaçtır? y = f(x) 2 A x 0 Şekilde verilenlere göre A(1, 1) ve g(x) = f(x).(x2 – 5) ise g′(1) kaçtır? 16. 19. f(x) = 2x2 parabolü üzerindeki hangi nokta A(9, 0) noktasına en yakındır? 20. y = x2 parabolü ile y = x – 2 doğrusu arasındaki y y = f(x) en kısa uzaklık kaç birimdir? A 3 45° 0 2 x Şekilde verilenlere göre g(x) = 3x + x2.f(x) ise g′(2) kaçtır? ESEN YAYINLARI y 21. f(x) = x3 + 1 fonksiyonunun grafiğine apsisi x = 1 olan noktasından çizilen teğetin grafiği kestiği nokta nedir? 207 Türev ARTAN ve AZALAN FONKSİYONLAR y ÖRNEK 86 Aşağıdaki fonksiyonların artan, azalan veya sabit y f(x2) olduklarını gösteriniz. f(x2) f(x1) ® f(x) = 3 f(x1) ® f(x) = –5 a x1 0 x2 b 0 x x2 a x1 b ® f(x) = 2x – 1 x ® f(x) = –4x + 3 f: (a, b) → R olmak üzere, Çözüm ∀x1, x2 ∈ (a, b) için x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) oluyorsa f fonksiyonu (a, b) de artandır. y y f(x1) f(x1) f(x2) 0 a x1 x2 b x 0 a x1 x2 b x f: (a, b) → R olmak üzere, ∀x1, x2 ∈ (a, b) için x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) oluyorsa f fonksiyonu (a, b) de azalandır. ESEN YAYINLARI f(x2) ÖRNEK 87 y y f(x) = x2 – 6x + 4 fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz. θ Çözüm θ a x b x a x b x f fonksiyonu (a, b) aralığında artan ise bu aralığın her noktasındaki teğetin eğimi pozitiftir (θ dar açı), azalan ise teğetin eğimi negatiftir. (θ geniş açıdır.) f: (a, b) → R, y = f(x) fonksiyonu türevli olsun. ∀x ∈ (a, b) için; ® f′(x) > 0 ⇔ y = f(x) artan fonksiyondur. ® f′(x) < 0 ⇔ y = f(x) azalan fonksiyondur. ® f′(x) = 0 ⇔ y = f(x) sabit fonksiyondur. 208 Türev ÖRNEK 88 ÖRNEK 90 f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 5 fonksiyonunun azalan oldu- y ğu aralık nedir? y = f′(x) Çözüm 3 –4 –1 0 1 5 Yukarıda birinci türevinin grafiği verilen x y = f(x) fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıklarını bulunuz. Çözüm ESEN YAYINLARI ÖRNEK 89 y –4 –2 –6 0 1 x 4 y = f(x) ÖRNEK 91 f(x) = ax3 + 3x2 – x + 2 fonksiyonunun daima azalan olabilmesi için a hangi aralıkta değer almalıdır? Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun birinci Çözüm türevinin işaret incelemesini yapınız. ∀x ∈ R için f′(x) < 0 olmalıdır. Çözüm 209 Türev ÖRNEK 92 ÖRNEK 94 –∞ < x < 0 olmak üzere, f(x) bu aralıkta pozitif f(x) = * değerli ve artan bir fonksiyon ise aşağıdaki fonksiyonların aynı aralıkta artan veya azalan olduklarını tespit ediniz. I. f (x) Çözüm 2 II. x – f(x) III. x.f(x) ESEN YAYINLARI Çözüm ax + a – 2 fonksiyonunun x–3 daima artan olması için a hangi aralıkta değer almaf: R – {3 } → R, f(x) = lıdır? Çözüm 210 – 2x + 3 , x>2 fonksiyonu ile türevinin grafiklerini çiziniz. 2 ÖRNEK 93 x 2 – 2x – 1 , x ≤ 2 Türev YEREL EKSTREMUM NOKTALARI f: A → R, A ⊂ R, u ∈ A ve v ∈ A olsun. ® y f(v) u ∈ (p, q) ve ∀x ∈ (p, q) için f(u) ≤ f(x) ise f fonksiyonu u noktasında bir yerel minimuma sahiptir denir. f(u) ® v ∈ (m, n) ve ∀x ∈ (m, n) için f(v) ≥ f(x) ise f fonksiyonu 0 a p u q b m v n x v noktasında bir yerel maksimuma sahiptir denir. ® y = f(x) fonksiyonunun yerel maksimum değerlerinden en büyüğüne bu fonksiyonun mutlak maksimum değeri, yerel minimum değerlerinden en küçüğüne de bu fonksiyonun mutlak minimum değeri denir. ® Bir fonksiyonun türevinin sıfır olduğu noktalar ile türevinin olmadığı noktalara kritik noktalar denir. y D 7 6 Yandaki şekilde bir f fonksiyonunun [2, 16 ] aralığındaki grafiği 4 görülmektedir. 2 G B 3 C 1 F A 0 4 2 K E 6 8 10 12 14 16 x ® (2, 6) aralığında f(x) in alabileceği en büyük değer 6 dır. B noktası yerel maksimum noktasıdır. ® (4, 8) aralığında f(x) in alabileceği en küçük değer 3 tür. C noktası yerel minimum noktasıdır. ® (6, 10) aralığında f(x) in alabileceği en büyük değer 7 dir. D noktası yerel maksimum noktasıdır. ® (8, 12) aralığında f(x) in alabileceği en büyük veya en küçük değer yoktur. ® (10, 14) aralığında f(x) in alabileceği en küçük değer 2 dir. F noktası yerel minimum noktasıdır. ® (12, 16) aralığında f(x) in alabileceği en büyük değer 6 dır. G noktası yerel maksimum noktasıdır. ® [2, 16 ] aralığında f(x) in alabileceği en küçük değer 1 olduğundan A noktası mutlak minimum noktasıdır. Yine bu aralıkta f(x) in alabileceği en büyük değer 7 olduğundan D noktası mutlak maksimum noktasıdır. Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun birinci türevinin işaret incelemesi aşağıda yapılmıştır. İnceleyiniz. x f′(x) 2 4 + 6 – 8 + 10 – 12 – 14 + 16 – f(x) yerel maks. yerel min. yerel maks. yerel min. yerel maks. Türevli bir fonksiyonun bir noktada yerel ekstremuma (yerel maksimum, yerel minimum) sahip olması için o noktada fonksiyonun türevinin işaret değiştirmesi gerekir. 211 Türev ÖRNEK 95 ÖRNEK 97 f: [–2, 4 ] → R, f(x) = x2 – 4x + 5 fonksiyonunun en varsa yerel ekstremumlarını bulunuz. büyük ve en küçük değerlerini bulunuz. Çözüm Çözüm ÖRNEK 96 f: R → R, f(x) = (x – 1)3 + 4 fonksiyonunun eğer varsa yerel ekstremumlarını bulunuz. Çözüm f′(x) = 3(x – 1)2 f′(x) = 0 ⇒ 3(x – 1)2 = 0 ⇒ x1 = x2 = 1 (Çift kat kök) ESEN YAYINLARI f: R → R, f(x) = x3 – 12x + 4 fonksiyonunun eğer ÖRNEK 98 f: [–2, 1 ] → R, f(x) = 3x4 + 4x3 + 2 fonksiyonunun yerel ve mutlak ekstremumlarını bulunuz. Çözüm f′(x) = 12x3 + 12x2, f′(x) = 0 ⇒ 12x3 + 12x2 = 0 212 Türev ÖRNEK 99 ÖRNEK 101 y f: [1, e ] → R, f(x) = x – 2.lnx fonksiyonunun yerel ekstremumlarını bulunuz. y = f ′(x) Çözüm 1 3 –5 –2 0 1 x 5 Yukarıda türevinin grafiği verilen f fonksiyonunun, x in hangi değerleri için yerel ekstremumu vardır? ÖRNEK 100 f: ; 0 , 3r E → R, f(x) = sinx + cosx fonksiyonunun 2 ESEN YAYINLARI Çözüm yerel ekstremumlarını bulunuz. Çözüm f′(x) = cosx – sinx, f′(x) = 0 ⇒ cosx – sinx = 0 ÖRNEK 102 f(x) = x3 + mx2 + x – n fonksiyonunun A(–1, 4) noktasında yerel ekstremumu varsa m + n kaçtır? Çözüm A noktası fonksiyonun üzerinde olup f(–1) = 4 olmalıdır. Ayrıca türevinin köklerinden birisi –1 olup f′(–1) = 0 dır. f(x) = x3 + mx2 + x – n ⇒ f′(x) = 3x2 + 2mx + 1 f(–1) = 4 ⇒ (–1)3 + m(–1)2 + (–1) – n = 4 ⇒ m – n = 6 f′(–1) = 0 ⇒ 3(–1)2 + 2m(–1) + 1 = 0 213 Türev İkinci Türevden Yararlanarak Ekstremum Noktalarının Bulunması f: [a, b ] → R fonksiyonunun birinci ve ikinci türevleri mevcut, x0 ∈ [a, b ] için f′(x0) = 0 ve f′′(x0) ≠ 0 olsun. I. f′′(x0) < 0 ise x0 da yerel maksimum vardır. II. f′′(x0) > 0 ise x0 da yerel minimum vardır. ÖRNEK 103 f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 2 fonksiyonunun yerel ekstremumlarını bulunuz. ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 105 1 3 x – 2x2 – 12x + n fonksiyonunun maksimum 3 değeri 6 ise n kaçtır? f(x) = ÖRNEK 104 f: (0, 2π) → R, f(x) = 2cosx + cos2x fonksiyonunun yerel ekstremumlarını bulunuz. Çözüm 214 Çözüm Türev BİR FONKSİYONUN KONVEKSLİĞİ, KONKAVLIĞI ve DÖNÜM NOKTASI f: [a, b ] → R, y = f(x) fonksiyonu sürekli ve (a, b) aralığında I. ve II. türevi alınabilen bir fonksiyon olsun. ∀x ∈ R için; I. f′′(x) > 0 ise f(x) fonksiyonunun eğrilik yönü yukarı doğrudur. Eğri, (a, b) aralığının her noktasındaki teğetlerin üstünde kalır. y f′′ > 0 ÖRNEK 106 y a 0 y = f ′(x) x0 b x Bu aralıkta eğri konveks (dış bükey), (çukur) –1 0 4 x adını alır. Yukarıda grafiği verilen y = f′(x) eğrisine göre, f(–1) = –2 ve her x ∈ R için f(x) < 0 ise y = f(x) grafiğini çiziniz. Çözüm ESEN YAYINLARI II. f′′(x) < 0 ise f(x) fonksiyonunun eğrilik yönü aşağı doğrudur. Eğri, (a, b) aralığının her noktasındaki teğetlerin altında kalır. y f′′ < 0 0 a x0 b x Bu aralıkta eğri konkav (iç bükey), (tümsek) adını alır. ÖRNEK 107 f(x) = x3 + 3x2 + 4x + 1 fonksiyonunun konveks ve konkav olduğu aralıkları bulunuz. Çözüm 215 Türev Buna göre, aşağıda verilen grafikleri inceleyiniz. ÖRNEK 108 y y y = f(x) y = f ′(x) –1 0 2 4 –3 6 x < x0 için f′′(x) > 0 x > x0 için f′′(x) < 0 x = x0 için f′′(x0) = 0 x x x0 0 Yukarıda türevinin grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun eğrilik yönünü inceleyiniz. Çözüm y y = f(x) x < x0 için f′′(x) < 0 x > x0 için f′′(x) > 0 x = x0 için f′′(x0) = 0 0 x x0 ESEN YAYINLARI y y = f(x) 0 x x0 x < x0 için f′′(x) > 0 x > x0 için f′′(x) < 0 f′(x0) olmad›¤›ndan f′′(x0) da yoktur. Fakat (x0,f(x0)) dönüm noktas›d›r. DÖNÜM NOKTASI y y = f(x) fonksiyonunun eğrilik yönünün değiştiği yani, f(x) = 3 x ikinci türevinin işaret değiştirdiği noktalarda fonksiyon sürekli ise bu noktalara dönüm (büküm) noktaları denir. x 0 ® x0 noktası f nin bir dönüm noktası ise x < 0 için f′′(x) > 0 x > 0 için f′′(x) < 0 f′′(0) yoktur. Fakat, (0, 0) dönüm noktas›d›r. f′′(x0) = 0 veya f′′(x0) yoktur. ® f′′(x0) = 0 olması x0 da bir dönüm noktası olmay sını gerektirmez. f(x) = (x + 1)4 f′′(x0) = 0 denkleminde; a. x0 tek katlı kök ise dönüm noktasıdır. b. x0 çift katlı kök ise dönüm noktası değildir. 216 –1 0 x x < –1 için f′′(x) > 0 x > –1 için f′′(x) > 0 f′′(–1) = 0 oldu¤u halde (–1, 0) dönüm noktas› de¤ildir. Türev ÖRNEK 109 ÖRNEK 111 f(x) = x5 – 5x4 + 2 fonksiyonunun dönüm noktalarının f(x) = 2x3 – 12x2 fonksiyonunun dönüm noktasının apsislerini bulunuz. apsisi kaçtır? Çözüm Çözüm f′(x) = 6x2 – 24x ⇒ f′′(x) = 12x – 24 ÖRNEK 110 f(x) = x4 – 2x3 bulunuz. fonksiyonunun dönüm noktalarını ESEN YAYINLARI f′′(x) = 0 ⇒ 12x – 24 = 0 ÖRNEK 112 y Çözüm y = f ′′(x) 1 –3 –2 –1 0 2 4 x 5 Yukarıda verilen y = f(x) in ikinci türevinin grafiğine göre, f(x) in dönüm noktalarının apsislerini bulunuz. Çözüm 217 Türev ÖRNEK 113 ÖRNEK 115 f(x) = x3 + mx2 + x + 2 fonksiyonunun dönüm nokta- f(x) = x3 + 2x + 5 fonksiyonunun simetri merkezinin sının apsisi x = –1 ise m kaçtır? koordinatlarını bulunuz. Çözüm Çözüm f′(x) = 3x2 + 2mx + 1, f′′(x) = 6x + 2m x = –1 dönüm noktasının apsisi ise f′′(–1) = 0 ⇒ 6.(–1) + 2m = 0 ÖRNEK 114 y ÖRNEK 116 y = f ′(x) –6 –2 0 2 4 x Yukarıda verilen y = f(x) in birinci türevinin grafiğine göre, f(x) in dönüm noktalarının apsislerini bulunuz. Çözüm 218 ESEN YAYINLARI –4 f(x) = x3 + ax2 + bx + c fonksiyonunun dönüm noktası A(–1, 1) ve yerel ekstremum noktalarından birinin apsisi x = 2 ise (a, b, c) nedir? Çözüm A(–1, 1) dönüm noktası ise f(–1) = 1 ve f′′(–1) = 0 dır. ALIŞTIRMALAR – 4 1. f(x) = x2 + 4x + 2 fonksiyonunun artan olduğu 7. y y = f(x) aralık nedir? –4 –2 0 x 2 Yukarıda verilen y = f(x) in grafiğine göre, aşa2. f(x) = x3 – 12x fonksiyonunun azalan olduğu ara- ğıdakilerden hangileri daima doğrudur? lık nedir? I. f′(–4) = 0 IV. f′(2) = 0 3. II. f′(–3) > 0 III. f′(0) < 0 V. f′(3) < 0 Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri daima artandır? I. f(x) = 3 II. f(x) = 3x III. f(x) = –x + 2 IV. f(x) = x2 + x VI. f(x) = x VII. f(x) = –x4 + 1 4. 2 f(x) = ex –6x+2 dakilerden hangisi daima doğrudur? 3 f(x) = –x + x VIII. f(x) = (2x + 1)5 fonksiyonu hangi aralıkta artandır? f: (– 4, 4) → R olmak üzere, f(x) fonksiyonu pozitif değerli ve azalan bir fonksiyon ise aşağı- ESEN YAYINLARI V. 3 8. 9. I. f(–2) > f(–3) II. III. f(0) > f(2) IV. f′(1) < f′(0) V. f′(2) < f(2) f′(–2) < f′(–3) f: [0, 2π ] → R, f(x) = sinx + cosx fonksiyonunun azalan olduğu aralık nedir? 5. y = f(x) fonksiyonu –∞ < x < 0 aralığında negatif değerli ve artan bir fonksiyon ise aşağıdakilerden hangileri aynı aralıkta daima azalan bir fonksiyondur? I. f(x2) IV. x – f(x) II. f2(x) III. f3(x) V. x2 – f(x) VI. 1 f (x) 10. (0, 1) aralığında tanımlı grafiği yanda verilmiştir. Buna göre, aşağıdakilerden hangileri aynı ara- 6. f: R – {1 } → R, f(x) = ax + a – 2 fonksiyonunun x–2 daima artan olması için a hangi aralıkta değer almalıdır? y y = f(x) fonksiyonunun 0 x 1 lıkta azalandır? I. f(x2) IV. f′(x) II. f2(x) III. x.f(x) V. (f′(x))2 VI. x.f′(x) 219 Türev 11. 14. y y y = f(x) 6 y = f ′(x) 4 2 2 2 –5 –2 0 –1 –2 –5 3 4 1 –3 –1 0 5 x x 5 Yukarıda türevinin grafiği verilen y = f(x) in yerel f: [–5, 5 ] → [–2, 6 ] olmak üzere, yukarıda grafiği ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır? verilen y = f(x) fonksiyonuna göre, aşağıdakileri bulunuz. a. f(x) in yerel maksimum değerlerinin toplamı kaçtır? 15. f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 2 fonksiyonunun, b. f(x) in mutlak maksimum değeri kaçtır? a. Yerel maksimum noktasının apsisi kaçtır? c. f(x) in yerel minimum değerlerinin toplamı b. Yerel minimum noktasının apsisi kaçtır? kaçtır? 12. ESEN YAYINLARI d. f(x) in mutlak minimum değeri kaçtır? y 16. f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 1 fonksiyonunun, a. Yerel maksimum değeri kaçtır? b. Yerel minimum değeri kaçtır? y = f(x) –2 –1 0 1 3 4 x Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır? 17. f(x) = x3 + ax + b fonksiyonunun A(1, 2) noktasında yerel minimumu varsa (a, b) ikilisi nedir? 13. f(x) = x3 – ax2 + bx – 2 fonksiyonunun x = 1 ve x = –3 apsisli noktalarında yerel ekstremumu varsa (a, b) ikilisi nedir? 220 18. f(x) = –2x3 + 6x + c fonksiyonunun yerel maksimum değeri 6 ise c kaçtır? Türev 19. f(x) = x4 + 32x + c fonksiyonunun yerel minimum 26. f(x) = x3 + 3x2 + 2x + d eğrisinin dönüm noktası- değeri –4 ise c kaçtır? nın ordinatı 6 ise d kaçtır? 20. f(x) = x3 – 27x fonksiyonunun yerel minimum 27. f(x) = x4 – 6x3 fonksiyonunun konkav olduğu ara- noktası nedir? lık nedir? 28. f(x) = x5 – 5x4 – 2x + 1 fonksiyonunun grafiğinin 21. f(x) = x3 + bx2 + 3x + 2 fonksiyonunun yerel ekst- dış bükey (konveks) olduğu aralık nedir? remum noktası olmadığına göre b hangi aralıkta değer alır? 29. f(x) = x3 + ax2 + (a + 2)x – 2 fonksiyonunun dönüm (büküm) noktasının apsisi 1 ise ordinatı 22. f: [–1, 1 ] → R, f(x) = x2 + x + 2 fonksiyonunun kaçtır? ESEN YAYINLARI alabileceği en küçük değer kaçtır? y 30. f ′(x) 23. f: [–1, 2 ] → R, f(x) = –x3 + 3x + 4 fonksiyonunun görüntü kümesi nedir? –4 –2 0 x Yukarıda verilen f′(x) grafiğine göre, aşağıdakilerden hangileri yanlıştır? 24. Türevi f′(x) = (x – 1).x2.(x + 1)2.(2 – x)3.(x – 3)4 I. f′′(–1) < 0 olan y = f(x) fonksiyonunun yerel minimum de- II. f′′(–3).f′′(–1) < 0 ğerini aldığı noktanın apsisi kaçtır? III. (–2, 0) aralığında f artandır. IV. Apsisi x = –2 olan noktada f fonksiyonunun dönüm noktası vardır. 25. f(x) = x3 – 6x2 + 1 fonksiyonunun dönüm noktasının apsisi kaçtır? V. Apsisi x = 0 olan noktada f fonksiyonunun yerel minimumu vardır. 221 Türev MAKSİMUM VE MİNİMUM PROBLEMLERİ ÖRNEK 119 Maksimum ve minimum problemlerinde bir çokluğun Farkları 20 olan sayıların, çarpımları en az (mini- alabileceği en büyük (mutlak maksimum) değer ya da mum) kaç olabilir? en küçük (mutlak minimum) değer bulunmak istenir. Çözüm Bu tür problemleri çözmek için; ® Maksimum ya da minimum olması istenen değer (uzunluk, alan, hacim v.s.) önce tek değişkene bağlı bir fonksiyon olarak yazılır. ® Yerel ekstremum değerlerini bulmak için, yazılan fonksiyonun türevinden yararlanılır. ÖRNEK 117 Toplamları 10 olan iki sayının çarpımı en çok kaç olur? ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 120 ÖRNEK 118 Çevresi 20 cm olan bir dikdörtgenin alanı en çok kaç ABCD dikdörtgeninin üç kenar uzunluğunun toplamı cm2 olabilir? 16 cm ise alanı en çok kaç cm2 olabilir? Çözüm Çözüm 222 Türev ÖRNEK 121 ÖRNEK 123 y Yarıçapının uzunluğu 6 cm olan bir küre içine çizile3 bilecek en büyük hacimli silindirin hacmi kaç cm tür? A Çözüm O B x Şekildeki çeyrek çemberin denklemi x2 + y2 = 4 olup, A noktası çember üzerindedir. [AB ] ⊥ [OB ] olmak üzere, AOB üçgeninin alanı en çok kaç br2 olabilir? ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 122 f(x) = x2 – 4x – 1 fonksiyonunun alabileceği en küçük değer kaçtır? Çözüm 223 Türev ÖRNEK 124 ÖRNEK 126 B köşesi y = 4 – koordinatları toplamı en büyüktür? doğrusu üzerinde Çözüm olan OABC dikdört- A noktasının geninin alanı en çok kaç br2 olabilir? ÖRNEK 125 Yarıçapının uzunluğu 3 cm olan bir çember içine çizilebilecek en büyük alanlı dikdörtgenin alanı kaç cm2 dir? Çözüm C O B A x y=4– x 2 ESEN YAYINLARI Çözüm y x 2 f(x) = –x2 + 3x parabolü üzerindeki hangi noktanın ÖRNEK 127 Yarıçapının uzunluğu 3 cm olan bir küre içine yerleştirilen dik konilerden hacmi en büyük olanının yüksekliği kaç cm dir? Çözüm 224 Türev ÖRNEK 128 ÖRNEK 130 y Şekildeki OABC dikdörtgeninin B köşesi y = 3 – x2 parabolü üzerindedir. Analitik düzlemin I. bölgesinde şekildeki gibi çizilen OABC dikdörtgenlerinden alanı en büyük olanın alanı kaç br2 dir? B C O A C B x 2 y=3–x O A Yukarıdaki şekilde, O merkezli ve 2 cm yarıçaplı çemberin içine çizilen OABC dikdörtgeninin alanı en çok kaç cm2 olabilir? Çözüm ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 129 y= 4 eğrisinin orijine x y en yakın noktası P ise P nin koordinatları nedir? P Çözüm P nin apsisi x ise y= O 4 x x 225 Türev ÖRNEK 131 ÖRNEK 132 Alanı 48 cm2 olan dikdörtgen biçimindeki bir karton- y dan, üstü kapalı kare prizma şeklinde bir kutu yapılır- A(4, 2) sa bu kutunun hacmi en çok kaç cm3 olur? B Çözüm O C x Yukarıdaki koordinat düzleminde verilenlere göre, |BC| nin en küçük değeri kaç br dir? ESEN YAYINLARI Çözüm 226 Türev Maksimum ve Minimum Problemleri İçin Notlar ® ® Bir daire içine çizilen dikdörtgenlerden alanı maksimum olanı karedir. Toplamları sabit iki sayının çarpımının maksi- Örneğin; yarıçapı 2 cm mum olması için sayılar eşit olmalıdır. Örneğin; x + y = 12 ise x.y nin en büyük değeri 2 dikdörtgenin alanının en x = y = 6 için x.y = 6.6 = 36 dır. O büyük olması için, ABCD kare olmalıdır. ® C D olan dairenin içine çizilen B A Çarpımları sabit iki sayının toplamının minimum |AO| = |OC| = 2 ⇒ |AB| = |BC| = 2 2 olması için sayılar eşit olmalıdır. A(ABCD) = (2 2 )2 = 8 cm2 dir. Örneğin; x.y = 25 ise x + y nin en küçük değeri ® x = y = 5 için x + y = 5 + 5 = 10 dur. Tabanları aynı ve çevreleri sabit olan üçgenlerden alanı maksimum olanı ikizkenar üçgendir. Örneğin; ABC üçgeninde |BC| = 6 cm ve Çevresi sabit olan çokgenler içinde alanı maksi- Çevre(ABC) = 16 cm ise alanın en büyük olması mum olanı düzgün çokgendir. için |AB| = |AC| = 5 cm dir. Örneğin; çevresi 12 cm olan üçgenlerden alanı [AH ] ⊥ [BC ] ise en büyük olanı eşkenar üçgendir. |AH| = 4 cm dir. Maksimum alan = a2 . 3 42 . 3 = = 4 3 cm2 4 4 Örneğin; çevresi 12 cm olan dörtgenlerden alanı ESEN YAYINLARI ® A(ABC) = 6.4 = 12 cm2 2 5 4 3 B 3 H C Tabanları aynı ve alanları sabit olan üçgenlerden çevresi minimum olanı ikizkenar üçgendir. Maksimum alan = a2 = 32 = 9 cm2 A ® ® 5 6 ® en büyük olanı karedir. A Alanı sabit olan çokgenler içinde çevresi mini- F G |DE| = BC 2 |GD| = AH 2 mum olanı düzgün çokgendir. Örneğin; alanı 50 cm2 olan dikdörtgenlerden çev- B D H E C resi en küçük olanı karedir. D a a A Bir üçgen içine çizilen dikdörtgenlerden alanı C maksimum olanının alanı üçgenin alanının yarısına eşit olanıdır. a a B ® minimum olanı küptür. A(ABCD) = 50 ⇒ a2 = 50 ⇒a=5 2 Çevre(ABCD) = 4a = 4.5 5 = 20 2 cm dir. Hacimleri sabit olan dörtgen prizmalardan alanı ® Hacmi sabit olan dik silindirlerden alanı minimum olanı çapı yüksekliğine eşit olanıdır. 227 ALIŞTIRMALAR – 5 1. 6. Toplamları 20 olan pozitif iki reel sayının çarpımı en çok kaç olabilir? O merkezli çeyrek & çemberde B ∈ DE E |OD| = 4 cm ise C B OABC dikdörtgeninin alanı en çok kaç cm2 2. olabilir? Çarpımları 32 olan pozitif iki reel sayının toplamı O A D en az kaç olabilir? 7. Yarıçapı 6 cm olan D C A B çember içine çizilen ABCD dikdörtgeninin alanı en çok kaç cm2 3. olabilir? Çevresi 10 cm olan bir dikdörtgenin alanı en çok kaç cm2 olabilir? 8. Alanı 50 cm2 olan bir dikdörtgenin çevresi en az y dikdörtgeninin ESEN YAYINLARI 4. Şekildeki OABC B köşesi y = –2x + 8 doğrusu üzerindedir. B C Buna göre, dikdörtgenin alanı en çok kaç cm olabilir? O x A y = –2x + 8 kaç br2 dir? 9. Şekildeki ABCD y dikdörtgeninin 5. O merkezli çeyrek çemberde & B ∈ AD D x ekseni üzerinde, B C C ve D köşeleri ise |OA| = 6 cm ise sırayla y = –2x + 8 OCB dik üçgeninin ve y = 2x doğruları alanı en çok kaç 2 cm olabilir? O 6 A D C O A x B y = –2x + 8 üzerindedir. ABCD dikdörtgenin alanının en büyük olması için C noktasının apsisi kaç olmalıdır? 228 y = 2x A ve B köşeleri Türev 10. Şekilde verilenlere göre, analitik düz- x = 3 doğrusu ve hacimli dik koninin hacmi kaç cm3 tür? x = y2 lemin 1. bölgesinde köşeleri x ekseni 15. Yarıçapı 2 cm olan bir küreyi içine alan en küçük y D C O A x = y2 eğrisi üze- x B 16. f(x) = x2 parabolünün A(3, 0) noktasına en ya- x=3 kın noktasının koordinatları nedir? rinde olan ABCD dikdörtgeninin alanı en çok kaç br2 olabilir? 11. y 17. f(x) = x2 + 2x + 3 parabolünün y = 2x – 2 doğ- y = x2 Şekildeki ABCD rusuna en yakın noktasının apsisi nedir? dikdörtgeninin alanı en çok kaç D C 2 br olabilir? O A x B x=6 12. Hipotenüs uzunluğu ESEN YAYINLARI 18. Yarıçapı 3 cm olan küre içine yerleştirilebilecek A 4 cm olan şekildeki ABC dik üçgeninin 4 alanı en çok kaç cm2 olabilir? en büyük hacimli silindirin yüksekliği kaç cm dir? 19. ABC üçgeninde B C A DEFK dikdörtgen F K [AH ] ⊥ [BC ] |BC| = 12 cm |AH| = 10 cm ise 13. Ana doğrusunun uzunluğu 6 cm olan 6 6 dik koninin hacmi B D H E C DEFK dikdörtgeninin alanı en çok kaç cm2 olabilir? en çok kaç cm3 olabilir? 6 14. y = eğrisi üzerinde orijine en yakın noktanın x apsisi kaçtır? 20. Hacmi 54π cm3 olan dik silindirin alanının en küçük değerini alması için tabanının yarıçapı kaç cm olmalıdır? 229 Türev GRAFİK ÇİZİMLERİ Düşey Asimptot Bir fonksiyonun grafiği çizilirken; fonksiyonun bazı y = f(x) fonksiyonunun x = a noktasındaki soldan özel noktalarını (grafiğin eksenleri kestiği noktalar, ya da sağdan limitlerinden en az birisi ∞ ya da – ∞ ekstremum noktaları ve büküm noktaları) ve grafiğin ise x = a doğrusuna y = f(x) fonksiyonunun düşey karakterini (artan ya da azalan olması, çukurluğun asimptotu denir. yönü, sonsuza uzanabilen kolunun veya kollarının bir doğru ya da eğriye (asimptot) teğet olması) gibi ® Paydanın kökleri, tek katlı kök ise kelebek durumu olur. özellikleri bulunarak grafik aslına uygun bir biçimde çizilebilir. y ASİMPTOTLAR y x a a x y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin sonsuza giden bir kolu varsa, bu kol üzerindeki herhangi bir A(x, y) noktası sonsuza doğru gittikçe bu A noktasının sabit yorsa bu doğruya ya da eğriye, eğrinin bu koluna ait asimptotu denir. y y y = f(x) ESEN YAYINLARI bir doğruya ya da eğriye olan uzaklığı sıfıra yaklaşı- ® Paydanın kökleri, çift katlı kök ise baca durumu olur. y y a 0 a x=a a y=b b x x x 0 y = f(x) x = a düşey asimptot y = b yatay asimptot ÖRNEK 133 f(x) = y y x+2 fonksiyonun düşey asimptotu nedir? x–3 Çözüm y = g(x) y = f(x) 0 y = ax + b y = ax + b eğik asimptot 230 x 0 y = f(x) y = g(x) eğri asimptot x x Türev Yatay Asimptot ÖRNEK 134 x+2 x –1 f(x) = y = f(x) fonksiyonu için, fonksiyonunun düşey asimptotlarını lim f(x) = c veya x"3 bulunuz. y = c Çözüm doğrusuna, lim x"–3 f(x) = c ise y = f(x) fonksiyonunun yatay asimptotu denir. y y c 0 x c x 0 y y ÖRNEK 135 f(x) = c x2 + x – 2 fonksiyonunun düşey asimptotlarını x2 – 1 0 bulunuz. c x 0 ESEN YAYINLARI Çözüm x ÖRNEK 137 f(x) = 2x – 1 fonksiyonunun yatay asimptotunu bulu3x + 1 nuz. Çözüm ÖRNEK 136 f(x) = x2 + 2 eğrisinin bir düşey asimptota sahip x 2 + bx + 9 olmaması için b ne olmalıdır? Çözüm ÖRNEK 138 f(x) = x+3 x +2 fonksiyonunun yatay asimptotlarını bulunuz. Çözüm 231 Türev Eğik ve Eğri Asimptot ÖRNEK 140 y = f(x) eğrisi için, lim |f(x) – P(x)| = 0 veya lim x"3 x"–3 f(x) = |f(x) – P(x)| = 0 x2 + 4 fonksiyonunun eğik asimptotu nedir? x+3 Çözüm olacak şekilde bir P(x) polinomu varsa y = P(x) eğrisine y = f(x) eğrisinin bir eğri asimptotu denir. P(x) = ax + b ise bu asimptota eğik asimptot denir. y y y = P(x) y = f(x) y = f(x) 0 x 0 x y = P(x) ÖRNEK 141 ® x2 – 1 fonksiyonunun asimptotlarının kesim x+2 noktasını bulunuz. Rasyonel fonksiyonlarda, payın derecesi, payda- f(x) = nın derecesinden büyük ise eğik veya eğri asimptot vardır. Bu asimptotları bulmak için; fonksiyo- Çözüm nun payı, paydasına bölünür ve bölüm polinomu, ® ® a > 0 için y = ax 2 + bx + c eğrisinin eğik asimptotu y = a. x+ b 2a doğrularıdır. Fonksiyonun grafiği, düşey asimptotları hiçbir zaman kesmez. Yatay, eğik veya eğri asimptotları ESEN YAYINLARI f(x) in eğik ya da eğri asimptotunun denklemidir. ise kesebilir. ÖRNEK 139 f(x) = x2 + 2 fonksiyonunun eğik asimptotu nedir? x+1 Çözüm ÖRNEK 142 f(x) = nuz. Çözüm 232 x3 + x x+2 fonksiyonunun eğri asimptotunu bulu- Türev ÖRNEK 143 y = f(x) eğrisinin y = ax + b biçiminde bir eğik f(x) = 4x 2 + 24x + 1 eğrisinin eğik asimptotunu asimptotu varsa, bulunuz. a = lim Çözüm x"3 I. Yol a= f (x) , b = lim (f(x) – ax) veya x x"3 lim x"–3 f (x) , b= x lim x"–3 (f(x) – ax) olur. ÖRNEK 146 f(x) = x + e–x.sinx fonksiyonunun eğik asimptotunu (varsa) bulunuz. ÖRNEK 144 f(x) = ln(2x – 6) eğrisinin düşey asimptotu nedir? Çözüm ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 145 f(x) = 2x + 1 eğrisinin düşey ve yatay asimptotlax–4 rını bulunuz. Çözüm 233 Türev Grafik Çizimleri Bir fonksiyonun grafiğini çizmek için, aşağıdaki adımları sırasıyla uygulamak kolaylık sağlar. x Tanım kümesi bulunur. x Fonksiyon periyodik ise periyodu bulunur. x Fonksiyon R de tanımlı ise x Varsa asimptotları bulunur. lim x"!3 f(x) limiti hesaplanarak uç noktaların durumu hakkında bilgi edinilir. x Varsa fonksiyonun eksenleri kestiği noktaları bulunur. x Fonksiyonun birinci türevi incelenerek, varsa ekstremum noktaları bulunur. x Gerekirse fonksiyonların ikinci türevi incelenerek, dönüm noktaları ve çukurluk yönü incelenir. x Bu elde edilen veriler için değişim tablosu yapılır ve bu tabloya göre grafik çizilir. ÖRNEK 147 2 ÖRNEK 148 f(x) = x – 2x fonksiyonunun grafiğini çiziniz. f(x) = (x – 2).(x + 1)2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm Çözüm 234 Türev ÖRNEK 149 ÖRNEK 150 f(x) = x3 – x2 + 2x – 2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. y Çözüm y = f(x) 2 –1 0 2 4 x Yukarıda grafiği verilen III. dereceden y = f(x) fonksiyonunun denklemi nedir? ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 151 y 2 –1 0 4 x y = f(x) Yukarıda grafiği verilen III. dereceden y = f(x) fonksiyonunun denklemi nedir? Çözüm 235 Türev ÖRNEK 152 ÖRNEK 154 Yanda grafiği verilen y f(x) = III. dereceden y = f(x) fonksiyonunun yerel Çözüm maksimum noktasının apsisi kaçtır? –2 0 6 x ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 153 y y = f(x) –2 0 4 x Yukarıda grafiği verilen III. dereceden y = f(x) fonksiyonunun dönüm noktasının apsisi kaçtır? Çözüm f′(–2) = 0 ve f′(4) = 0 olduğundan f′(x) = a.(x + 2).(x – 4) f′(x) = a.(x2 – 2x – 8) biçimindedir. f′′(x) = a.(2x – 2), f′′(x) = 0 ⇒ x = 1 dir. O halde, f(x) in dönüm noktasının apsisi x = 1 dir. 236 x+1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. x–2 Türev ® ® ÖRNEK 157 ax + b fonksiyonunun simetri merkezi, cx + d d a asimptotların kesim noktası olan c – , m dir. c c y= f(x) = x2 + 3 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. x –1 Çözüm f(x) = ax3 + bx2 + cx + d fonksiyonunun simetri merkezi dönüm noktasıdır. ÖRNEK 155 4x – 1 fonksiyonunun simetri merkezi aşağı2x + 6 dakilerden hangisidir? f(x) = ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 156 f(x) = x3 + mx2 + nx + 6 fonksiyonunun simetri merkezi A(–2, 1) noktası olduğuna göre (m, n) nedir? Çözüm 237 Türev ÖRNEK 158 f(x) = ÖRNEK 159 x 2 – 2x fonksiyonunun grafiğini çiziniz. – 2x + 1 f(x) = x2 Çözüm ESEN YAYINLARI Çözüm 238 x+1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. x 2 + 2x Türev ÖRNEK 160 f(x) = ÖRNEK 161 x2 – x – 2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. x 2 – 2x + 1 f(x) = x3 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. x –1 Çözüm ESEN YAYINLARI Çözüm 239 Türev ÖRNEK 162 ÖRNEK 164 f(x) = 2x fonksiyonunun grafiğini çiziniz. x f(x) = e x + 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm ÖRNEK 163 1 f(x) = 2 x fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm 240 ESEN YAYINLARI Çözüm Türev ÖRNEK 165 f(x) = ln c ÖRNEK 166 x+1 m fonksiyonunun grafiğini çiziniz. x –1 f(x) = x – 2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 167 f(x) = x 2 – 2x + 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm f(x) = x 2 – 2x + 1 = (x – 1) 2 = |x – 1| 241 Türev ÖRNEK 168 f(x) = ÖRNEK 169 x 2 – 4x fonksiyonunun grafiğini çiziniz. f(x) = Çözüm Çözüm ESEN YAYINLARI 5 x2 – 4x ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm aralığını bulalım. 242 – x 2 + 4x – 3 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Türev ÖRNEK 170 f(x) = sin x 1 + 2 cos x ÖRNEK 171 f(x) = fonksiyonunun grafiğini [0, 2π ] 2 cos 2 x – 1 fonksiyonunun grafiğini [0, 2 r ] sin x aralığında çiziniz. aralığında çiziniz. Çözüm Çözüm ESEN YAYINLARI 5 1 + 2cosx = 0 ⇒ cosx = – 243 ALIŞTIRMALAR – 6 1. Aşağıdaki fonksiyonların asimptotlarının kesim 4. noktasını bulunuz. f(x) = x 3 + 2x fonksiyonunun eğri asimptotu nex+1 dir? a. x+1 f(x) = x+2 b. f(x) = x2 – 1 –2 x2 + x 5. f(x) = x+2 eğrisinin düşey asimptotunun x 2 + nx + 1 olmaması için n hangi aralıkta değer almalıdır? f(x) = x 2 – 3x + 2 x 2 + 2x – 3 ESEN YAYINLARI c. 2. x 2 + 3x + 2 f(x) = fonksiyonunun asimptotlarının x 6. f(x) = x 2 – 4x + 1 fonksiyonunun eğik asimp- totları nedir? kesim noktası nedir? 3. 1 fonksiyonunun asimptotlax–b rının kesim noktası (–1, 3) ise a + b kaçtır? f(x) = ax + 2 + 244 7. f(x) = x + x 2 + 2x – 1 asimptotları nedir? fonksiyonunun eğik Türev 9. Aşağıdaki polinom fonksiyonlarının grafiklerini y çiziniz. a. 2 f(x) = x2 – 3x + 2 –2 0 x 6 y = f(x) Yukarıda grafiği verilen III. dereceden y = f(x) fonksiyonunun denklemi nedir? b. f(x) = x3 – 9x 10. y y = f(x) 2 –1 ESEN YAYINLARI 8. 0 x 4 Yukarıda grafiği verilen III. dereceden y = f(x) fonksiyonunun yerel maksimum noktasının apsisi kaçtır? c. f(x) = (x – 1)2.(x + 1) 11. y y = f(x) –2 4 0 x Yukarıda grafiği verilen III. dereceden y = f(x) d. f(x) = (x – 2)2.(x + 2)3 fonksiyonunun dönüm noktasının apsisi kaçtır? 245 Türev 12. Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz. e. f(x) = 2 x –1 x–3 f. f(x) = x –1 x 2 – 2x x2 + 1 x –1 f(x) = 2 x –1 b. f(x) = 2x + 1 x–2 c. f(x) = x2 x+1 g. f(x) = d. f(x) = x 2 – 4x + 4 x 2 + 2x + 1 h. f(x) = ESEN YAYINLARI a. 246 x 2 – 2x Türev L’HOSPİTAL KURALI ÖRNEK 174 f ve g fonksiyonları [a, b ] de sürekli ve (a, b) de lim türevli iki fonksiyon olsun. c ∈ (a, b) olmak üzere, x"0 fl (x) lim f (x) = 0 , lim g (x) = 0 ve lim mevcutsa, g x"c x"c x " c l (x) lim x"c f (x) fl (x) = lim g (x) x " c gl (x) L’Hospital kuralı, Eğer lim x"c 6x – 3x limitinin değeri kaçtır? x Çözüm olur. 3 belirsizliğinde de uygulanabilir. 3 fl (x) 0 3 = b veya l belirsizlik durumu gl (x) 0 3 devam ederse, belirsizlik durumu kalkıncaya kadar L’Hospital kuralı art arda uygulanabilir. ÖRNEK 175 lim ÖRNEK 172 x"1 x 10 – 1 limitinin değeri kaçtır? x –1 Çözüm 1– sin x limitinin değeri kaçtır? cos 2 x Çözüm ESEN YAYINLARI lim r x" 2 ÖRNEK 173 lim x"0 x + sin 2x limitinin değeri kaçtır? x – sin 3x Çözüm ÖRNEK 176 lim x"1 ex – e limitinin değeri nedir? ln x Çözüm 247 Türev ÖRNEK 177 ÖRNEK 180 f: R → R her noktada türevli bir fonksiyon ve lim f′(2) = 6 olduğuna göre, lim h"0 x"0 f (2 + 3h) – f (2 – 2h) kaçtır? h x. sin x limitinin değeri nedir? 1– cos x Çözüm Çözüm ÖRNEK 178 lim x"1 ln x limitinin değeri nedir? r cos b x l 2 ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 181 lim x"3 x limitinin değeri nedir? ln (1 + e x) Çözüm ÖRNEK 179 lim x"0 tan 2x limitinin değeri nedir? 3x Çözüm ÖRNEK 182 2 ex – 1 lim limitinin değeri nedir? x " 3 sin 1 x 248 Türev Çözüm 0. ∞ Belirsizliği Bu belirsizlik f.g = g 0 eşitliği yardımıyla 1 0 f 3 belirsizliğine dönüştürülerek L’Hospital 3 veya kuralı ile çözülür. ÖRNEK 185 lim c x. sin x"3 Çözüm ÖRNEK 183 lim x " 0+ 3 m limitinin değeri nedir? x ln x limitinin değeri nedir? cot x ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 186 lim c ÖRNEK 184 lim x"3 x2 + x limitinin değeri nedir? ex x"3 1 . ln x m limitinin değeri nedir? x Çözüm Çözüm 249 Türev ÖRNEK 187 lim ; c x – x" 1 2 ÖRNEK 189 lim c 1 m . tan (rx) E limitinin değeri nedir? 2 x"0 1 1 – m limitinin değeri nedir? x sin x Çözüm Çözüm 00, ∞0, 1∞ Belirsizlikleri ∞ – ∞ Belirsizliği düzenlemelerle larken 0°, ∞°, 1∞ belirsizlikleri ile karşılaşabiliriz. eşitliği veya çeşitli 0 3 veya belirsizliğine dönüş0 3 türülerek L’Hospital kuralı ile çözülür. Bu durumda; y = [f(x) ]g(x) ⇒ lny = ln[f(x) ]g(x) ESEN YAYINLARI 1 1 – g f Bu belirsizlik f – g = 1 f.g y = [f(x) ]g(x) biçimindeki ifadelerin limitlerini hesap- ⇒ lny = g(x).ln[f(x) ] olup lim(lny) limiti daima 0.∞ belirsizliğine sahiptir. 3 0 veya belirsizliğine dönüştürülerek 3 0 hesaplanır. lim(lny) = n ⇒ limy = en olur. Bu limit ÖRNEK 190 ÖRNEK 188 lim c x"1 1 1 – m limitinin değeri nedir? x – 1 ln x Çözüm 250 lim x x limitinin değeri nedir? x"0 Çözüm Türev ÖRNEK 191 lim (cotx)x limitinin değeri nedir? x " 0+ Çözüm ÖRNEK 193 lim c x"3 x + 2 3x m limitinin değeri nedir? x ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 192 x 1 lim (e + x) x limitinin değeri nedir? x"0 Çözüm 1∞ belirsizlik durumunda aşağıdaki formüllerden yararlanılabilir. ® lim b 1 + x"3 a bx l = ea.b x Örneğin, lim c x"3 b ® lim (1 + ax) x = ea.b x"0 x + 3 4x 3 4x m = lim c 1 + m = e3.4 = e12 x x x"3 251 ALIŞTIRMALAR – 7 Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz. a. lim x"1 g. 1– x 1– x h. b. c. d. lim 1– cos x sin x lim 1– cos x x. sin x lim 1– sin x cos x x"0 x"0 x" e. r 2 lim x"0 2x + sin x x cos b f. 252 r xl 2 lim x " 1 ln (2x – 1) ı. ESEN ESEN YAYINLARI YAYINLARI 1. i. j. k. lim sin (rx) 1– x 2 lim e 3x – 1 ln (3x + 1) lim 3 2x – 1 2x – 1 lim ln (cos x) x2 lim 3 sin x – 1 ln (x + 1) lim x + arctan 2x 2x – arcsin x x"1 x"0 x"0 x"0 x"0 x"0 Türev 3. Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz. a. b. c. x 2 + xy – 2y 2 x–y a. lim 1 + cos (rx) (x – 1) 2 b. x"y x"1 lim r x" 4 d. e. sin 9x 2 sin 2 3x lim r – 3x 1 – 2 cos x x"0 g. lim x"1 lim x"1 c. cos 2x sin x – cos x lim r x" 3 f. Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz. lim ESEN YAYINLARI 2. d. lim 2x e 2x lim x + ln x 1– x 2 lim 2x – 2 – x 2x + 2 – x x"3 x"3 x"3 lim : b x – r x" 3 e. lim 6 (– 1 + sin x) . tan 2 x @ x" sin (rx) + 1 r cos b x l 2 f. tan (rx) x –1 g. r l . cot 3x D 3 r 2 lim 6 (1– x) .e x @ x"–3 lim ; (x + 1) . log x"3 x+1 E x –1 253 Türev Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz. a. lim ^ x + 1 – x"3 f. g. b. lim _ log 2 x"3 16x 2 – 3x – log 2 d. lim c 1 – x"0 lim c 1 + x"3 3 4x – 1 m 2x 254 lim ^ cos x hx x"0 lim x sin x x " 0+ 6 2x x m 3 1 e. lim (tanx.lnx) x " 0+ x2 + 1 i h. c. lim x ln x x " 0+ xh ESEN ESEN YAYINLARI YAYINLARI 4. ı. i. j. lim c x " 0+ 1 1 – m 1 – ex x lim c 1 + sin x"3 1 2x m x lim (1 + 2x)cotx x"0 Türev Alma Kuralları TEST – 1 1. f(x) = (x2 + x + 2)2 ise f′(1) kaçtır? A) 24 B) 20 C) 18 D) 16 5. E) 12 d 2 (x + 1) türevinin sonucu nedir? dt A) 2x 2. B) 2 C) 1 D) 0 E) –2x f: R+ → R , f(x) = x3 – 2 x ise lim x"1 6. f (x) – f (1) ifadesinin değeri kaçtır? x –1 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 f(x) = 3.sin5x + 4.cos2x ise f′(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) 3.cos5x – 4.sin2x E) 5 B) 3.cos5x + 4.sin2x C) 15.sin5x – 8.cos2x D) 15.cos5x + 8.sin2x ESEN YAYINLARI E) 15.cos5x – 8.sin2x 3. 2 olduğuna göre f′(4) aşağıdakilerden x hangisine eşittir? f(x) = A) – 1 16 B) – 1 8 1 D) – 2 C) – 7. 1 4 f(x) = log(x+1)(x + 3) ise f′(1) aşağıdakilerden hangisine eşittir? 1 E) 4 A) –5 ln 16 D) 4. f(x) = lnx, g(x) = sinx ise (fog)′ b r l aşağıda3 kilerden hangisine eşittir? A) 2 2 B) 3 3 C) 1 D) 2 E) 3 8. B) –3 ln 16 –3 ln 8 E) C) –5 ln 8 –3 ln 4 f(x) = lnx + 4x ise f′′(x) eşiti nedir? A) 1 x B) 1 x2 C) – 1 x D) – 1 2 E) – 2 x2 x 259 Türev f(x) = arcsin 3 ise f′(5) kaçtır? x 1 A) – 5 13. f(x) = (x2 + 1). x ise f′(1) aşağıdakilerden hangisine eşittir? 3 B) – 20 D) – 1 20 E) – 10. f(x) = ln(sin25x) ise f′ b A) 0 1 2 B) 11. f(x) = sin b ln 1 C) – 10 C) A) 2 14. f(x) = B) D) 1 C) 1 3 2 D) 15. f(x) = x"1 df – 1 (x) dx 1 x. ln 2 D) 1. A 2. B 260 2 3x. ln 2 2 ln 2 3. B E) 4. B 5. D E) 4 2x – 1 fonksiyonunun türevinin x = 0 B) 0 C) 1 3x. ln 2 3 2 nedir? x ln 2 6. E C) 2 3 D) 1 E) 3 2 E) 1 2 2x – 1 olmak üzere, x+1 B) 16. f(x) = cot3 B) 7 2 5 4 C) 1 D) 3 4 ifadesinin eşiti nedir? A) D) f (x) – f (1) limitinin eşiti kaçtır? x –1 lim E) 2 A) 12. f(x) = 23x–1 olduğuna göre, 3 A) –1 E) 2 x l olduğuna göre, f′(2) nin değeri 2 1 2 C) 3 için eşiti kaçtır? nedir? A) 0 5 2 3 5 r l kaçtır? 10 1 2 B) ESEN YAYINLARI 9. rx olduğuna göre, f′(–2) nin değeri 12 A) –4 r B) –3 r C) –2 r D) – r 7. B 8. D 9. B 10. A 11. B 12. C 13. C 14. C E) 0 15. D 16. B Türev Alma Kuralları TEST – 4 1. f(x) = x2 + x – 1 ise lim x"1 f (x) – f (1) limitinin eşiti x –1 5. B) 2 C) 3 1– sin x ise f′(x) aşağıdakilerden 1 + sin x hangisine eşittir? aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 f(x) = ln D) 4 A) –cosx E) 5 B) –sinx D) –secx 2. 6. f(x) = 3x2 – 2x + c + 1 fonksiyonunun hangi noktasındaki türevi 10 dur? A) 0 B) 1 D) 3 E) 4 E) –cosecx y = 4.cos2θ , x = 2.sinθ olmak üzere, θ= C) 2 C) –tanx dy 2r için in değeri nedir? 3 dx A) – 4 3 B) –3 3 3 E) – 3 2 ESEN YAYINLARI D) – C) –2 3 3. f(x) = x15 – x–15 ise f′(1) aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) –15 B) 0 C) 2 D) 15 E) 30 7. f(x) = x4 – x3 + 2x2 + 3x ve g(x) = 2x – 1 oldu3x – 2 ğuna göre, (fog)′(1) ifadesinin değeri nedir? A) –10 4. f(x) = B) –9 C) –8 D) –7 E) –6 2 ve g(x) = x – x3 olmak üzere, x f′(x) ≤ g′(x) eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıda8. kilerden hangisidir? A) (–∞, 0) D) [–1, 1 ] B) [–1, 0) C) (–1, 0) E) [–1, 1 ] – {0 } y = t2 + 2t – 1 ve x = lnt olmak üzere, dy türevinin t = 1 için değeri kaçtır? dx A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0 265 Türev f(x) = x2.cosx ise f′ b 9. 13. f(x) = x.ex r l ifadesinin değeri aşa2 r2 4 B) D) – C) – r 4 E) – A) 100.e r2 2 x+1 4 m ise f′(2) aşağıdakilerden hanx –1 7 3 C) – D) –2 E) – 2 + sin x r m olduğuna göre, f′ b l nin 2 + cos x 2 değeri nedir? A) 0 8 3 E) e B) 1 2 C) 1 D) 2 E) 2e 4 3 ESEN YAYINLARI B) – C) 100!.e r2 4 gisine eşittir? A) –3 B) 100! D) 100 14. f(x) = ln c 10. f(x) = ln c türevinin değeri kaçtır? ğıdakilerden hangisidir? A) 0 f(99)(1) olduğuna göre, 2 11. f(x) = ex 15. f(x) = ln(sinx) – e2cosx ise f′ b +x ise f′(1) aşağıdakilerden hangisine r l aşağıdakiler2 den hangisine eşittir? eşittir? A) 3e2 B) 2e2 A) –2 C) e2 D) 3e B) –1 C) 0 D) 1 E) 2 E) 2e f l ( x) ifadesinin eşiti aşasin x ğıdakilerden hangisidir? 16. f(x) = sin2(cosx) ise 12. f(x) = ln(sin2x) ise df (x) aşağıdakilerden handx gisine eşittir? A) 2cos2x B) 2tan2x D) tan2x 1. C 2. C 266 3. E C) 2cot2x 5. D 6. A B) –sin(cosx) C) –2sin(cosx) D) –sin(2cosx) E) sin(2cosx) E) cot2x 4. E A) sin(cosx) 7. C 8. A 9. E 10. B 11. A 12. C 13. A 14. B 15. E 16. D Türevin Geometrik Yorumu TEST – 5 1. f(x) = x3 – 2x2 + x + 1 fonksiyonunun x = 2 5. apsisli noktasından geçen teğetin eğimi kaçtır? A) 2 B) 4 C) 5 D) 8 f(x) = 1 3 x – x2 – 24x + 6 fonksiyonunun azalan 3 olduğu aralık nedir? E) 10 A) (– ∞, –4) B) (–4, 0) E) (6, ∞) D) (–4, 6) 2. C) (0, 6) f(x) = x3 – nx + 2 fonksiyonunun x = –1 apsisli 6. noktasından geçen teğeti 3x – 2y + 1 = 0 doğ- x = –1 apsisli noktada teğet olması için m kaç rusuna paralel ise n kaçtır? B) 3 2 C) 2 D) 5 2 olmalıdır? E) 3 A) –5 B) –4 C) –3 D) –2 E) –1 ESEN YAYINLARI A) 1 y = x – 3 doğrusunun y = x3 + nx + m eğrisine 3. f(x) = sin(cos4x) fonksiyonunun x = r apsisli 8 7. noktası A(–1, 0) noktası olduğuna göre, b kaç- noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? A) – 4 4. B) –2 C) – 1 2 D) – x2 + y2 = 4 çemberine T( 2 , 1 4 tır? E) 2 A) 2 2 ) noktasından 8. çizilen teğetinin eğimi kaçtır? A) 2 B) 1 C) – 2 2 f(x) = x3 + ax2 + bx + 2 fonksiyonunun dönüm B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 f(x) = x4 – 4x + n fonksiyonunun yerel minimum değeri 6 ise n kaçtır? D) – 2 E) –1 A) 0 B) 1 C) 3 D) 5 E) 9 267 Türev 9. 12. f(x) = x3 + mx2 + nx + 4 fonksiyonunun x = 1 y y = f ′(x) apsisli dönüm noktasındaki teğetinin eğimi –2 olduğuna göre, n kaçtır? A) –3 5 –1 0 2 4 B) –2 C) 1 D) 2 E) 3 x 6 Yukarıda türevinin grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisi kaçtır? A) –1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6 13. f: [0, 6 ] → R, f(x) = 2|x – 4| + |x – 1| fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır? 10. f(x) = x2 – 4x + 6 fonksiyonuna A(a, b) noktasından çizilen teğetin denklemi y = 2x – 3 olduğuna göre a + b kaçtır? A) 1 B) 3 C) 4 D) 6 ESEN YAYINLARI A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 9 14. y ≠ 0 olmak üzere, y2 + 4y = x + 1 eğrisine x = –1 apsisli noktasın- E) 9 dan çizilen teğetinin eğimi kaçtır? A) –1 D) (2, –1) 2 1 2 2 x +x C) (1, 2) 268 2. B 3. A E) (3, 9) 4. E 5. D 6. A 7. C 1 3 D) – 1 4 E) – 1 8 toplamının en küçük olması için m kaç olmalıdır? A) 0 1. C C) – x1 ve x2 dir. noktası aşağıdakilerden hangisidir? B) (1, 1) 1 2 15. –x2 + (3 – m)x + 1 + m = 0 denkleminin kökleri 11. f(x) = 2x3 – 6x2 + 2x + 3 fonksiyonunun dönüm A) (0, 3) B) – 8. E 9. E 10. D 1 2 C) 1 D) 11. B 12. C 13. A B) 3 2 E) 2 14. D 15. E Türevin Geometrik Yorumu TEST – 8 1. 5. y > 0 olmak üzere, x2 + y2 = 4 çemberine üzerindeki x = 2 apsisli si –2 olan noktada x eksenine teğet olduğuna noktadan çizilen teğetin eğimi kaçtır? 2 B) –1 A) – 2. f(2x – 3) = C) 0 D) 1 göre, n kaçtır? 2 E) A) – 4 2 2 B) –3 C) –2 D) 2 E) 3 x + 3 olmak üzere, f(x) in x = –1 6. apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? A) f(x) = x3 + mx2 + n fonksiyonunun grafiği, apsi- B) 2 4 C) 1 2 D) 1 4 E) f(x) = x2 + bx + c parabolü A(1, 3) noktasında bir yerel minimuma sahipse (b, c) ikilisi nedir? 1 8 A) (–2, 4) B) (–2, 3) C) (–2, 1) E) (–1, 4) ESEN YAYINLARI D) (–1, 3) 3. f(x) = x3 + 1 eğrisinin aşağıdaki noktalarının hangisinden çizilen teğeti y = 3x – 1 doğrusuna 7. paraleldir? A) (4, 65) mum noktasının koordinatları nedir? B) (3, 28) D) (1, 2) 4. f(x) = –x3 + 12x + 4 fonksiyonunun yerel maksi- C) (2, 9) A) (–2, –12) E) (0, 1) B) (–1, –7) D) (1, 15) C) (0, 4) E) (2, 20) y = x2 + 1 parabolü üzerindeki, y = 2x – 1 doğrusuna en yakın noktanın koordi- B) 2 C) 3 f(x) = 5cosx – 12sinx fonksiyonunun alabileceği en büyük değer kaçtır? natları toplamı kaçtır? A) 1 8. D) 4 E) 5 A) 0 B) 5 C) 7 D) 13 E) 17 273 Türev 9. 12. f(x) = x3 + bx + c eğrisi A(–1, 2) noktasında y yerel maksimum değerini aldığına göre c kaç- d tır? A) –1 45° B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 x 1 2 f(x) Şekildeki y = ax2 + bx + 2 parabolünün x = 1 2 apsisli noktasındaki teğeti x ekseni ile pozitif yönde 45° lik açı yaptığına göre, a + b kaçtır? ln x eğrisinin başlangıç noktasından gex çen teğetinin eğimi aşağıdakilerden hangisidir? 13. f(x) = A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 10. f(x) = ax3 + bx2 – cx – d fonksiyonu A(1, 3) nok- ESEN YAYINLARI A) 1 2e B) 1 e C) 2 e 14. E) 2e y tasında yerel maksimumu ve B(–1, 1) noktasın- 4 da yerel minimumu olduğuna göre, a + b + c + d 3 kaçtır? A) –1 D) e 2 B) –2 C) –3 D) –4 –7 E) –5 –2 –1 –5 –3 0 3 x 6 y = f′(x) Yukarıda verilen y = f′(x) fonksiyonunun grafiğine göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) (–5, 3) noktası f fonksiyonunun dönüm noktasıdır. B) (3, 4) noktası f fonksiyonunun dönüm noktasıdır. 11. f: R → R, f(x) = x3 + bx2 + 3x + 2 fonksiyonunun C) (0, 2) noktası f fonksiyonunun dönüm nok- yerel ekstremum noktasının olmaması için b nin tasıdır. alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? D) (–5, –2) aralığında f fonksiyonu iç bükeydir. A) 8 E) (–2, 3) aralığında f fonksiyonu dış bükeydir. 1. B 274 2. E B) 7 3. D C) 6 4. C D) 5 5. A E) 4 6. A 7. E 8. D 9. C 10. D 11. B 12. B 13. A 14. C Türevin Geometrik Yorumu TEST – 9 1. 5. y f(x) = x4 + 2x fonksiyonunun x = 0 apsisli noktasından çizilen normalinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? 0 –4 A) x + y = 0 y = f(x) 1 x 4 2 B) x + 2y = 0 D) x – 2y = 0 C) x – y = 0 E) 2x + y = 0 Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonuna göre, f′(–4) + f′(4) kaçtır? A) –1 B) – 1 2 C) 0 D) 1 2 E) 1 6. f(x) = * (x – 1) 2 , x < 1 ln x 2 , x≥1 fonksiyonunun dönüm noktası aşağıdakilerden tasındaki teğetinin eğimi 6 ise a kaçtır? A) – 3. hangisidir? f(x) = x3 + ax2 + 4 eğrisinin x = –1 apsisli nok3 2 B) –1 C) – 1 2 D) 1 2 E) 1 f(x) = x3 – nx2 + 3 eğrisine üzerindeki x = –1 ve A) (0, 4) ESEN YAYINLARI 2. D) (1, 2) 7. 4. 5 2 C) 2 D) 3 2 çizilen teğeti eğriyi hangi noktasında keser? B) (–3, –27) D) (–1, –1) B) 12 C) –2 D) –6 E) –12 E) 1 f(x) = x3 eğrisinin x = 1 apsisli noktasından A) (–4, –64) E) (2, ln4) f(x) = x3 + 6x2 + 2 fonksiyonuna dönüm nokta- A) 18 paralel ise n kaçtır? B) C) (1, 0) sından çizilen teğetin eğimi kaçtır? x = 2 apsisli noktalardan çizilen teğetler birbirine A) 3 B) (1, 1) C) (–2, –8) E) (0, 0) 8. f(x) = x3 + bx2 + x – 4 fonksiyonu daima artan ise b nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 275 Türev 9. 12. y y y = f(x) –5 0 –3 –4 –1 0 y = f ′(x) Şekilde verilen y = f′(x) türev fonksiyonunun grafiğine göre, f(x) fonksiyonunun yerel maksi- x.f′(x) ≤ 0 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam mum değerini aldığı noktanın apsisi kaçtır? sayısı vardır? C) 7 D) 8 A) –5 E) 9 10. f(x) = ax3 – 6x2 – 3x + 1 fonksiyonu ∀x ∈ R için azalan bir fonksiyon ise a nın değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) (– ∞, –5) ESEN YAYINLARI B) 6 B) –3 C) 0 D) 3 13. f(x) = x2 – 5x – 6 fonksiyonu üzerinde koordinatları toplamı en küçük olan noktanın apsisi C) (– ∞, –3) A) 1 E) (– ∞, 0) 11. y = ax2 – bx + 2 fonksiyonunun (1, –1) nokta- B) 3 2 C) 2 D) A) 9 A) 3 1. B 276 2. A 3. D 4. C D) 6 5. B E) 5 6. C 7. E E) 3 alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? C) 7 5 2 14. f: (0, 5) → R, f(x) = x2 – 4x + 3 fonksiyonunun sındaki teğetinin eğimi 2 ise a kaçtır? B) 8 E) 5 kaçtır? B) (– ∞, – 4 ] D) (– 4, 0) x 5 x 3 Şekilde verilen y = f(x) fonksiyonuna göre, A) 5 3 8. C 9. D B) 4 10. B C) 5 11. E D) 6 12. E E) 7 13. C 14. D Türevin Geometrik Yorumu TEST – 12 1. 5. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi daima artandır? f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x + d fonksiyonunun yerel minimum değeri 8 olduğuna göre, d kaçtır? A) f(x) = 2–x B) f(x) = –3 C) f(x) = –3x D) f(x) = –lnx A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 x E) f(x) = 2 2. y 6. y = f(x) dönüm noktasının apsisi x = –2 ise ordinatı 1 –1 0 f(x) = x3 + (m – 2)x2 + 2x – 4 fonksiyonunun kaçtır? x 2 A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8 Şekildeki y = f(x) fonksiyonunun x = –1 apsisli g(x) = A) –1 f (x) olduğuna göre, g′(–1) kaçtır? x B) – 1 2 C) – 1 4 D) 0 E) 1 2 ESEN YAYINLARI noktasındaki teğetinin eksenleri kestiği noktalar verilmiştir. 7. f(x) = x3 + nx2 + mx + 5 fonksiyonunun dönüm noktası A(1, 4) olduğuna göre, m kaçtır? 3. A) 1 f(x) = –x2 – 4x + 12 fonksiyonunun x = 2 apsisli B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 noktasından çizilen normal denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 8x – y = 2 B) 8x + y = 2 D) x – 4y = 2 C) x – 8y = 2 E) x – 8y = 0 8. 4. r apsisli f(x) = sinx – cosx fonksiyonuna x = 4 noktasından çizilen teğetin eğimi kaçtır? A) 2 4 B) 2 3 C) 2 2 D) 2 E) 2 2 f(x) = x2 + bx ve g(x) = ax2 + 2 parabollerinin x = 1 apsisli noktalarındaki teğetleri çakışık olduğuna göre, (a, b) ikilisi nedir? A) (4, 2) D) (3, 4) B) (2, 3) C) (4, 3) E) (3, 2) 281 Türev 9. 12. y y y = f(x) y = f′(x) –4 –2 3 x 0 –2 –5 0 1 x 5 Yukarıda verilen y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) f′(–5).f′(1) > 0 B) f′(–1).f(1) < 0 C) f′′(–3).f′(–1) > 0 D) f′′(–2).f′′(0) > 0 Şekildeki grafik y = f′(x) türev fonksiyonuna aittir. Buna göre, f(x) için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) x = –5 te yerel minimum vardır. E) f′′(0).f′(1) > 0 B) x = 1 de yerel maksimum vardır. C) x = –2 de dönüm noktası vardır. D) x = 3 te dönüm noktası vardır. 10. f(x) = ex eğrisinin başlangıç noktasından geçen teğetinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = x B) y = e.x 1 C) y = .x e E) y = e.x – e D) y = e2.x ESEN YAYINLARI E) x = 5 te yerel maksimum vardır. 13. f(x) = x2 parabolü ile A(–3, 0) noktası arasındaki en kısa uzaklık kaç birimdir? A) 2 11. x2 + xy + y2 – 4 = 0 eğrisine üzerindeki A(2, –2) B) 5 C) 6 D) 2 2 E) 3 14. x2 + 2ax + 4a – 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. noktasından çizilen teğetin denklemi nedir? 2 1 2 2 Buna göre, a nın hangi değeri için x + x A) y = x – 2 B) y = x – 4 C) y = 2x – 6 D) y = –2x – 4 toplamı en küçük olur? A) –5 E) y = –2x + 4 1. E 282 2. A 3. C 4. D 5. B 6. E 7. A 8. D 9. D B) – 4 10. B C) –3 11. B D) –2 12. E 13. B E) 1 14. D L’Hospital Kuralı TEST – 13 1. (x + 4) 3 – 64 ifadesinin değeri nedir? x lim x"0 A) 64 2. B) 56 C) 52 D) 48 5. E) 42 x"3 B) 1 2 C) – 1 2 D) –1 E) – 6. 5 3 lim r x" 2 3 2 A) 2n + 5n limitinin değeri nedir? 3n + 5n B) 3 2 C) 3 4 D) 1 E) 2 3 e cos x – 1 ifadesinin değeri nedir? cos x 3 2 B) 1 C) 1 2 D) 0 E) –1 ESEN YAYINLARI A) 1 n"3 A) x 2 – 5x + 6 limitinin değeri nedir? x 2 – 8x + 15 lim lim 3. lim x" –1 A) 4. 1 3 lim n " 64 A) x 3 – 2x – 1 ifadesinin değeri nedir? x 5 – 2x – 1 1 3 B) 3 2 3 C) 3 5 D) 1 C) 3 2 D) 2 lim r x" 2 A) E) 2 8. n –8 limitinin değeri nedir? n –4 B) 1 7. 1 + cos 6x limitinin değeri nedir? 1 + sin 3x 3 2 lim x"0 B) 2 C) 4 1 + sin x – x D) 1 – sin x 9 2 E) 9 ifadesinin değeri nedir? E) 3 A) 2 B) 3 2 C) 2 2 D) 1 E) 0 283 Türev 9. f′(–2) = –3 olmak üzere, f ( – 2 – h) – f ( – 2 + 2h) lim h h"0 13. ifadesinin değeri A) 0 lim 10. x"0 B) 1 C) 3 D) 6 1 2 C) – 1 4 D) 0 E) 14. lim y"x 1 3 C) 1 E) ∞ sin 2 y – sin 2 x limitinin değeri nedir? sin (y – x) A) sinx 1 2 D) 3 B) sin2x sin x E) 2 D) cos2x C) cosx ESEN YAYINLARI B) – B) E) 9 x – arctan 2x limitinin değeri nedir? 2x + arctan 2x A) –1 ifadesinin değeri aşağıdakiler- den hangisidir? nedir? A) 0 3 m x lim c x. sin x"3 lim c 1 + 11. x"3 1 3x limitinin değeri aşağıdakilerden m x 15. hangisidir? A) 0 B) 1 D) e2 C) e A) 0 E) e3 lim – b e x + x l ifadesinin değeri nedir? 1 12. 16. x"0 A) 0 1. D 2. C 284 B) 1 e 3. A C) 4. E 1 2 D) 1 5. D 6. B E) e 7. C lim (sin x) tan x limitinin değeri nedir? x " 0+ lim : b x – r x" 2 A) –1 8. D 9. E B) 10. C 1 2 C) 1 D) e E) ∞ r l . sec x D ifadesinin değeri nedir? 2 B) – 11. E r 2 12. A C) 0 13. D D) r 2 14. B E) 1 15. C 16. A TEST – 16 1. f(x) = x +3 x +4 x + 1 1 1 ve + + x 3 x 4 x 5. f(x) = * x2 + 1 , x≥1 ax + 4b , x < 1 g(x) = x.f(x) olmak üzere, g′(1) aşağıdakilerden fonksiyonu ∀x ∈ R için türevli olduğuna göre, hangisine eşittir? (a, b) ikilisi aşağıdakilerden hangisidir? A) –6 B) –3 C) 0 D) 3 E) 6 A) (2, 0) B) (2, 1) D) (4, 2) 6. C) (2, 2) E) (4, 0) f(x) = x3 + bx2 + c fonksiyonunun grafiği, apsisi 1 olan noktada x eksenine teğet olduğuna göre, 2. c kaçtır? f(x) = x10 – x–10 ise f′(1) aşağıdakilerden hangisine eşittir? B) 5 C) 10 D) 20 1 4 B) 1 3 1 2 C) D) 1 E) 3 2 E) 100 ESEN YAYINLARI A) 0 A) 7. Reel sayılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için f(0) = f′(0) = 6 olduğuna göre, g(x) = f(2x.f(x)) ile tanımlanan g fonksiyonu için g′(0) kaçtır? A) 0 3. f(x) = cos b ln B) 6 C) 12 D) 36 E) 72 x l olduğuna göre, f′(2) nin değeri 2 nedir? A) –1 B) – 1 2 C) 0 D) 1 2 E) 1 8. y y = f ′(x) 3 –3 –1 0 1 5 x Yukarıda verilen y = f′(x) türev fonksiyonunun 4. f(x) = 4.lnx ise (fof)′(e) aşağıdakilerden hangi- grafiğine göre, f fonksiyonunun dönüm noktala- sine eşittir? rının apsisleri toplamı kaçtır? 16 A) e 4 B) e 1 C) e D) 4e E) 16e A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 289 Türev Denklemi x2 – xy + y2 = 7 olan eğriye, üzerinde- 9. 13. ki (2, 3) noktasından çizilen normalin y eksenini r x" 2 kestiği noktanın ordinatı kaçtır? A) –5 B) –4 C) –3 tan 2x 1 – e cos x lim den hangisidir? D) –2 E) –1 A) –2 B) 0 ln c 1 + 14. lim h"0 A) lnx 10. f(x) = 2 – sin3x fonksiyonunu maksimum yapan en küçük pozitif x açısının ölçüsü kaç derecedir? A) 0 B) 30 C) 90 ifadesinin sonucu aşağıdakiler- D) 180 h m x h C) 1 D) 2 limitinin eşiti nedir? B) x 1 D) x E) e C) xlnx E) 0 E) 270 r apsisli nok2 tasından geçen teğetinin denklemi aşağıdakiler- ESEN YAYINLARI 15. f(x) = ecosx fonksiyonunun x = 11. f(x) = e12x–x 3 den hangisidir? r –1 2 r –1 C) y = –x + 2 r E) y = –x + +1 2 fonksiyonunun alabileceği yerel maksimum değeri kaçtır? A) e–16 B) e–8 C) e4 D) e8 r +1 2 r D) y = –x + 2 B) y = x + A) y = x + E) e16 y 16. Şekildeki ABCD dikdörtgeninin C ve D köşeleri verilen doğ- 2 rular üzerinde, [AB ] D C –1 A B 1 kenarı ise x ekseni üzerindedir. 12. y = x2 – x – 6 parabolünün y = x – 10 doğrusu- B) –5 C) –3 D) 1 geninin alanı en çok kaç br2 olabilir? E) 3 A) 1. E 2. D 290 3. C 4. B 5. A 6. C x göre, ABCD dikdört- na en yakın noktasının ordinatı kaçtır? A) –6 Buna 7. E 8. C 9. A 1 4 10. C B) 11. E 1 2 12. A C) 1 13. D D) 3 2 14. D E) 2 15. E 16. C TEST – 17 1. f′(2) = 4 olmak üzere, lim h"0 f (2 + h) – f (2 – 2h) h 5. y y = f(x) ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 4 C) 8 D) 12 3 E) 16 –1 0 1 x 2 Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonuna göre, (fof′)(2) ifadesinin değeri kaçtır? A) –1 2. B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 x = 3y – 1 _ bb y = cos t ` olduğuna göre, b t = z 2 – 1 ba dx nin z = 1 için değeri kaçtır? dz A) 6 B) 3 C) 1 D) 0 6. E) –1 y = x2 + 4 parabolü üzerindeki, y = x doğrusuna en yakın noktanın koordinatları toplamı kaçtır? ESEN YAYINLARI A) 3. f(x) = ln[(sinx)cosx ] ise f′ b r l aşağıdakilerden 6 7. 3 + ln 2 2 D) B) 2 + ln 2 2 2 + ln 2 3 E) C) A) 1 ln 8 D) ln4 B) 1 ln 4 C) E) ln8 1 ln 2 D) 11 2 E) 23 4 Reel sayılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir olduğuna göre, f′(1) kaçtır? A) 4 hangisine eşittir? 21 4 f′(0) = 4 1 + ln 2 3 f(x) = log(x+2)(x + 1) ise f′(0) aşağıdakilerden C) f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy 1 + ln 2 2 8. 4. B) 5 bir f fonksiyonu için hangisine eşittir? A) 19 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 f : [a, b ] → B, y = f(x) fonksiyonu (a, b) aralığında artan ve y = f(x) < 0 ise aşağıdakilerden hangisi aynı aralıkta azalandır? A) f (x) x2 D) f2(x) B) x f (x) C) f(x) – x3 E) x2 – f(x) 291 Türev f(x) = x3 + 3x2 – 9x – 2 fonksiyonu için aşağıda- 9. 13. kilerden hangisi yanlıştır? lim x"0 1– e x sin x ifadesinin sonucu aşağıdakilerden A) Yerel maksimum değeri 25 tir. hangisidir? B) Yerel minimum değeri –7 dir. A) –1 C) x > –1 için fonksiyon artandır. B) – 1 2 C) 0 D) 1 2 E) 1 D) –3 < x < 1 için fonksiyon azalandır. E) x = –1 de dönüm noktası vardır. 10. f(x) = ln(sin23x) olduğuna göre, f′ b r l nin değeri kaçtır? 6 A) –1 3 D) 2 1 C) 2 B) 0 14. E) 1 lim x"1 ln 27 r y 4 0 x 6 B) – ln 9 r ln 9 r E) C) – ln 3 r ln 27 r ESEN YAYINLARI D) –1 ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) – 11. 3x – 3 sin rx Yukarıdaki eğri aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiği olabilir? 15. lim A) y = (x + 1)(x – 6)2 h"0 B) y = 4(x + 1)(x – 6)2 A) 0 C) y = 1 (x + 1)(x – 6)2 3 D) y = 1 (x + 1)(x – 6)2 6 E) y = 1 (x + 1)(x – 6)2 9 3x + h – 3x limitinin değeri nedir? h B) 3x D) 3 C) 3x.ln3 E) x.ln3 12. f(x) = x3 – 2ax2 + 3bx – 12 fonksiyonunun x = 2 16. f : (–2, 4) → R, f(x) = x2 – 1 fonksiyonunun ala- apsisli noktasındaki ekstremum değerinin – 4 bileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerle- olması için a + b nin değeri kaç olmalıdır? rinin toplamı kaçtır? A) 4 A) 11 1. D 2. D 292 B) 5 3. A C) 6 4. C D) 7 5. E 6. A E) 8 7. B 8. D 9. C 10. B B) 12 11. E 12. D C) 13 13. A D) 14 14. A E) 15 15. C 16. C ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1990 – ÖYS 5. D C 1990 – ÖYS 4 fonksiyonunun başlangıç noktasına en y = x yakın olan noktasının, başlangıç noktasına uzaklığı kaç birimdir? A B O A) 8 B) 4 |AB| = 2 birim olan bir yarı çemberin içine çizili D) 4 2 ABCD yamuğunun alanı en büyük değerini aldı- C) 2 E) 2 2 ğında, yüksekliği kaç birim olur? A) 1 2 B) 2 3 C) 2 2 D) 3 2 E) 3 3 6. 1990 – ÖYS Dik yarıçapları [OA ], 2. B [OB ] olan dörtte bir bi- 1990 – ÖYS P rim çember üzerindeki 3 f(x) = x – 3x + 8 fonksiyonunun [–1, 2 ] aralı- değişken bir P noktası- ğında alabileceği en küçük değer kaçtır? nın OA üzerindeki dik 3. B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 1990 – ÖYS d2 3 x (x e ) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden dx 2 hangisidir? e–x A) x3 + 3x2 + 3x B) x3 + 3x2 + 6x C) x3 + 3x2 + 9x D) x3 + 6x2 + 6x izdüşümü H olduğuna göre ESEN YAYINLARI A) –1 üçgeninin O H A çevresi en çok kaç birim olabilir? A) 2+ 3 D) 1 + 7. E) x3 + 9x2 + 3x POH B) 2 2 – 1 3 C) 2 3 – 1 2 E) 1 + 1991 – ÖYS f(x) = (x – 1)2(2x – t) ve f′′(0) = 0 olduğuna göre t kaçtır? 4. A) 4 1990 – ÖYS a > 0 olmak üzere, y = B) 2 C) 0 D) –2 E) – 4 x3 fonksiyonunun x x = a ve x = –a noktalarındaki teğetleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) Birbirine diktir. B) Birbirine paraleldir. C) 30° lik bir açıyla kesişirler. D) x ekseni üzerinde sabit bir noktada kesişirler. E) y ekseni üzerinde sabit bir noktada kesişirler. 8. 1991 – ÖYS ln x limitinin değeri kaçtır? lim x"1 x2 – 1 A) – 1 2 B) –1 C) 0 D) 1 2 E) 1 293 Türev 9. 1991 – ÖYS 13. 1992 – ÖYS 1 4 limitinin değeri kaçtır? lim c – x – 2 x2 – 4 m y x"2 A(6, 3) A) – F 0 1 8 1 4 B) – C) 0 D) 1 4 E) 1 8 x E Bir köşesi A(6, 3) olan şekildeki dik üçgenin kenarları koordinat eksenlerini E ve F de kes- 14. 1992 – ÖYS mektedir. Buna göre |EF| nin en küçük değeri O, [AB ] üzerinde kaçtır? A) 2 5 B) 3 5 D) 5 E AE ⊥ AB C) 2 3 OE ⊥ OF E) 4 α BF ⊥ AB F |AO| = 8 birim α |OB| = 27 birim 10. 1992 – ÖYS gisidir? A) 18sin6x B) 18cos6x C) 6(sin3x + cos3x) D) 6(sin3x – cos3x) 27 B % m( FOB ) = α ESEN YAYINLARI d2 (sin23x) in kısaltılmışı aşağıdakilerden handx 2 A 8 O Yukarıdaki verilenlere göre tanα nın hangi değeri için |OE| + |OF| toplamı en küçüktür? A) 3 B) 2 C) 2 3 D) 3 4 E) 1 E) 6cos23x 15. 1993 – ÖYS 11. 1992 – ÖYS d ln(cosx) aşağıdakilerden hangisidir? dx A) – tanx B) – secx 1 D) – sin x C) – cotx 1 E) cos x x"2 A) – cos x – 2 sin x – 1 limitinin değeri kaçtır? cos 2x + sin 2x – 1 1 2 B) –1 C) 0 D) 1 2 E) 1 16. 1993 – ÖYS 12. 1992 – ÖYS lim lim x"0 sin (x 2 – 4) limitinin değeri kaçtır? x 4 – 16 Denklemi y = x3 + ax2 + (a + 7)x – 1 olan eğrinin dönüm (büküm) noktasının apsisi 1 ise ordinatı kaçtır? A) 1 294 1 B) 2 1 C) 4 1 D) 6 1 E) 8 A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2 Türev 21. 1993 – ÖYS 17. 1993 – ÖYS y < 0 olmak üzere, f(3x – 5) = 2x2 + x – 1 olduğuna göre x2 + y2 = 9 çemberinin x = 3 noktasındaki f′(1) + f(1) kaçtır? teğetinin eğimi kaçtır? A) 1 6 B) 1 3 2 D) C) E) A) 10 1 2 B) 12 22. 1994 – ÖYS y sin 2 x – lim x" y = vx A) – H 1 4 1 2 limitinin değeri kaçtır? B) – 1 8 C) – 1 16 D) 1 2 E) 1 8 x B x olan şekildeki parabolün A ve P noktalarının x ekseni üzerindeki dik izdüşümleri sırasıyla B(36, 0) ve H(x, 0) dır. HBP üçgeninin alanı, x in hangi değeri için en büyüktür? A) 12 E) 18 B) 9 C) 8 D) 6 E) 4 ESEN YAYINLARI Denklemi y = sin 4x r 4 P O D) 16 3 18. 1993 – ÖYS A C) 14 23. 1994 – ÖYS f(x) = ln(3x – 1) olduğuna göre f –1(0) + (f –1)′(0) kaçtır? 19. 1993 – ÖYS Denklemi f(x) = sin(cos5x) olan eğrinin x = r 10 A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2 noktasındaki normalinin eğimi kaçtır? A) – 4 5 B) – 1 5 C) 1 5 D) 2 5 E) 4 5 24. 1994 – ÖYS 20. 1993 – ÖYS 2 f(x) = 2x + 3 olduğuna göre lim h"0 A) 0 Denklemi f(x) = f (1 + h) – f (1) değeri kaçtır? h B) 2 C) 3 D) 4 x 2 + mx olan fonksiyonunun x –1 x = 3 noktasında ekstremum noktasının olması için m kaç olmalıdır? E) 5 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 295 Türev 25. 1994 – ÖYS 29. Şekilde denklemi lim y x2 + y2 = 9 olan dörtte 1995 – ÖYS c"x 3 sine eşittir? B bir çemberin B nok- 16x 2 – 16c 2 değeri aşağıdakilerden hangi4 sin (x – c) tasının x ekseni üze- A) 4 B) 16 C) 8x D) 16x E) 32x rindeki dik izdüşümü A(x, 0) noktasıdır. O A(x,0) x 3 Buna göre OAB üçgeninin alanı x in hangi değeri için en büyüktür? A) 3 2 2 30. 1995 – ÖYS B) 3 2 4 D) 1 C) 3 3 4 y = sinx + 2cosx in : 0 , büyük değer kaçtır? E) 2 A) 2 B) 2 C) 3 5 D) E) 6 1994 – ÖYS lim c x"3 2x + 5 4x – 1 değeri aşağıdakilerden hanm 2x + 3 gisidir? A) 2 C) e2 B) 4 D) e3 E) e4 31. 1995 – ÖYS ESEN YAYINLARI 26. r D aralığında aldığı en 2 y = –x2 eğrisi üzerinde P(–3, 0) noktasına en yakın olan noktanın apsisi kaçtır? A) 4 B) 3 C) 2 D) –1 E) –2 32. 1996 – ÖYS 27. 1995 – ÖYS y f(x) = ln(3cos5x) olduğuna göre fl c A) 2ln3 B) 5ln3 D) 2ln5 3r m kaçtır? 10 1 0 –1 –3/4 C) ln5 2 3 x E) ln15 Şekildeki grafik aşağıdaki fonksiyonlardan hangisine ait olabilir? 28. 1995 – ÖYS A) y = x2 + x – 3 (x – 2) 2 B) y = x 2 – 2x – 3 (x – 2) 2 C) y = x 2 – 2x – 3 2 (x + 2) D) y = x2 – x – 3 (x + 2) 2 E) y = x 2 – 3x – 2 (x – 2) 2 x = 6sin3t ve y = 6cos23t denklemleri ile verilen y = f(x) fonksiyonunun x = 3 apsisli noktasındaki türevinin değeri kaçtır? A) –1 296 B) – 1 2 C) 0 D) 1 2 E) 3 2 Türev 33. 1996 – ÖYS 37. 1996 – ÖYS m, n ∈ R olmak üzere, f : R → R fonksiyonu f(x) = etanx olduğuna göre 1 3 x – mx2 + nx ile tanımlıdır. 3 f(x) = x" f fonksiyonunun x1 = 2 ve x2 = 3 noktalarında A) – e kaçtır? B) 4 C) 7 2 D) 9 2 17 5 E) f (x) – f b x– r 4 r l 4 r 4 değeri aşağıdakilerden hangisidir? yerel ekstremumu olduğuna göre n – m farkı A) –1 lim – 3 2 1 –1 e 3 B) C) – e–1 E) 3e2 D) 2e 38. 1996 – ÖYS 34. 1996 – ÖYS kx + 1 k nın hangi aralıktaki değerleri için y = x+k f(x) = x2 – 7x + 14 parabolü üzerindeki bir nokta- fonksiyonu daima eksilendir (azalandır)? değer kaçtır? A) – ∞ < k < –2 B) –2 < k < –1 A) 10 C) –1 < k < 1 D) 1 < k < 2 nın koordinatları toplamının alabileceği en küçük B) 8 C) 6 D) 5 E) 3 E) 0 < k < 2 39. 1997 – ÖYS ESEN YAYINLARI 35. 1996 – ÖYS B Yandaki şekilde merkezi O, yarıçapı olan dörtte bir çem- 1 4 ber yayı üzerindeki Şekildeki grafik aşağıdaki fonksiyonların hangi- bir N noktasından ya- sine ait olabilir? O rıçaplara inen dikme K ayakları K ve L dir. A A) y = 4 Buna göre OKNL dikdörtgeninin en büyük alanı x –1 x D) y = 2 kaç cm dir? A) 2 B) x 0 N L |OA| = |OB| = 4 cm y 3 D) 6 B) y = x+1 x –1 x+1 x E) y = C) y = x x –1 x –1 x+1 C) 2 3 E) 8 40. 1997 – ÖYS f : R → R , f(x) = x3 + 6x2 + kx veriliyor. f(x) fonksiyonu (– ∞, +∞) aralığında artan ol- 36. 1996 – ÖYS lim x. ln c 1 + x"3 A) 3 B) 3 m limitinin değeri kaçtır? x 3 2 C) 0 D) –1 E) –2 duğuna göre k için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) k = –7 D) k < 6 B) k = –1 C) k < –2 E) k > 12 297 Türev 41. 1997 – ÖYS 45. 1998 – ÖYS 3y – 3yx – 2x = 0 olduğuna göre a ≠ 0 olmak üzere, dy aşağıdakilerden hangisine eşittir? dx y = ax3 + bx2 + cx + d A) 3y – 2 3–y D) B) 3y + 2 3 – 3x 3x + 2 3y E) C) fonksiyonu ile ilgili olarak I. x–2 3+x Büküm (dönüm) noktası vardır. II. Yerel minimum noktası vardır. III. Yerel maksimum noktası vardır. 3x – 2 1 – 3y yargılarından hangileri her zaman doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II D) I ve II 42. 1997 – ÖYS Dikdörtgen biçimin- D C) Yalnız III E) I ve III C deki bir bahçenin [AD ] kenarının tümü ile [AB] kenarının yarısına şekildeki gi- B A 46. 1998 – ÖYS bi duvar örülmüş; y = x2 – 2ax + a eğrilerinin ekstremum noktala- kilmiştir. Kullanılan telin uzunluğu 120 metre ol- rının geometrik yeri aşağıdakilerden hangisidir? duğuna göre, bahçenin alanı en fazla kaç m2 olabilir? A) 1200 B) 1250 D) 2350 C) 2300 E) 2400 ESEN YAYINLARI kenarlarının geriye kalan kısmına bir sıra tel çe- A) y = –x2 + 2x B) y = –x2 + x C) y = x2 – 2x D) y = x2 + x 2 E) y = x + 2x 43. 1998 – ÖYS y = x3 + ax2 + b fonksiyonunun grafiği, apsisi – 4 olan noktada x eksenine teğet olduğuna göre, b 47. 1998 – ÖYS nin değeri nedir? A) 30 B) 24 y C) 16 D) –32 E) – 48 y = f(x) 1/2 1/3 3 x 0 –1 44. 1998 – ÖYS r olmak üzere, 0<y< 2 x fonksiyonunun x = 1 noktasıny = arcsin 2 x +1 daki türevinin değeri kaçtır? (arcsinθ = sin–1θ) A) –1 298 B) – 1 2 C) 0 D) 1 2 E) 1 A(3, –1) Yukarıdaki grafikte A(3, –1) noktası f fonksiyof (x) nunun yerel minimum noktası ve h(x) = x olduğuna göre h′(3) ün değeri kaçtır? A) –1 B) 1 2 C) 1 3 D) 1 4 E) 1 9 Türev 52. 2006 – ÖSS 48. 1999 – ÖYS a, b gerçel (reel) sayılar ve 2x 3 x 2 + 5 fonksiyonu aşağıdaki aralık– 3 2 f(x) = A = –a2 + 8a + 1 B = b2 + 18b + 5 ların hangisinde azalandır? olduğuna göre, A nın en büyük sayı değeri ile B A) c nin en küçük sayı değeri toplamı kaçtır? A) –59 B) –50 C) 60 D) 70 –3 , –1m 2 D) c 0 , E) 80 B) c – 1, 1 m 2 –1 m 2 E) c C) c –1 ,0m 2 1 3 , m 2 2 53. 2006 – ÖSS y 49. 1999 – ÖSS a pozitif bir gerçel (reel) sayı olmak üzere, ke- f(x) 4 A narları a cm ve (8 – 2a) cm olan dikdörtgenin alanı en çok kaç cm2 olur? A) 64 B) 32 C) 24 D) 16 E) 8 –3 0 x 1 ESEN YAYINLARI d Şekildeki d doğrusu f(x) fonksiyonunun grafiğine A noktasında teğettir. h(x) = x.f(x) olduğuna göre, h′(–3) kaçtır? A) –4 50. 2006 – ÖSS B) –2 C) 0 D) 2 E) 7 f : R → R her noktada türevli bir fonksiyon ve f′(1) = 3 olduğuna göre, lim h"0 f (1 + 2h) – f (1 – 3h) kaçtır? h A) 15 B) 12 C) 9 D) 6 54. 2007 – ÖSS lim E) 3 x " 0+ A) 0 1– cos x limitinin değeri kaçtır? x B) 1 2 C) 1 D) 2 E) 2 55. 2007 – ÖSS Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türev- 51. 2006 – ÖSS lenebilir bir f fonksiyonu için P(x) polinom fonksiyonunun türevi P′(x) ve P(x) – P′(x) = 2x2 + 3x – 1 olduğuna göre P(x) in katsayılarının toplamı kaçtır? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 f(x + y) = f(x) + f(y) + xy lim h"0 E) 15 A) 2 f (h) = 3 olduğuna göre f′(1) kaçtır? h B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 299 Türev 60. 2008 – ÖSS 56. 2007 – ÖSS f(x) = 2x3 + ax2 + (b + 1)x – 3 fonksiyonunun Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için f(0) = f′(0) = 4 x = –1 de yerel ekstremum ve x = olduğuna göre g(x) = f(x.f(x)) ile tanımlanan g –1 de 12 dönüm (büküm) noktası olduğuna göre, fonksiyonu için g′(0) kaçtır? a.b çarpımı kaçtır? A) 0 B) 4 C) 8 D) 12 E) 16 A) –3 B) –2 C) 4 D) 6 E) 12 57. 2007 – ÖSS 61. 2009 – ÖSS A ve B noktaları Ox ekseni üzerinde, C ve D 2 noktaları ise y = 3 – x 3 f(x) = 8 1 + ^ x + x 2 h B parabolü üzerinde po- zitif ordinatlı noktalar olmak üzere şekildeki gibi olduğuna göre, f′(x) türev fonksiyonunun x = 1 ABCD dikdörtgenleri oluşturuluyor. deki değeri kaçtır? y A) 23.35 C A O Bu dikdörtgenlerden alanı en büyük olanının alanı kaç birim karedir? B) 3 C) 4 E) 25.310 D) 5 E) 6 62. 2009 – ÖSS y T ( 3, c) f(x) 1 O 3 58. 2008 – ÖSS B) –8 C) –7 D) 8 E) 10 sının grafiği ve T(–3, c) noktasındaki teğet doğrusu verilmiştir. k(x) = ln(f(x)) olduğuna göre, k′(x) türev fonksiyonunun x = –3 teki değeri kaçtır? A) – 59. 2008 – ÖSS r noktasında türevlenebilir bir f fonksiyonu için 4 2f(x) + f b f′ b r – x l = tanx olduğuna göre, 2 r l değeri kaçtır? 4 A) 1 300 B) 2 x 2 Yukarıdaki şekilde, f(x) fonksiyonunun bir parça- x4 y = 7x – k doğrusu y = – x + 2 fonksiyonu4 nun grafiğine teğet olduğuna göre, k kaçtır? A) –9 C) 24.36 x B y = 3 – x2 A) 2 B) 23.37 D) 24.38 ESEN YAYINLARI D 4 C) 3 1 5 C) – 2 5 D) 2 3 E) 3 5 Türevlenebilir bir f : R → R fonksiyonu için f′(x) = 2x2 – 1 ve f(2) = 4 olduğuna göre, lim E) 5 B) – 63. 2010 – LYS x"2 D) 4 1 2 A) 3 f (x) – 4 limitinin değeri kaçtır? x–2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Türev 64. 2010 – LYS 1– x limitinin değeri kaçtır? ln x lim –1 2 B) 0 C) 1 2 D) 1 x D E) 2 Koridor, mutfak ve çalış- C Koridor x"1 A) 69. 2010 – LYS Mutfak ma odasından 2x verilen modeli ABCD Çal›flma odas› dikdörtgenidir ve bu dik- 3x dört ge ni n A C) 1 2 D) 2 2 A) 1 E) 2 C) 0 D) 1 E) 3 67. 2010 – LYS f(x) = x4 – 5x2 + 4 fonksiyonunun ; –1 1 , E 2 2 aralığındaki maksimum değeri kaçtır? C) 4 D) 2 E) 0 ESEN YAYINLARI leminin y = 4 olması için a kaç olmalıdır? B) 6 D) 4 E) 5 teğet olan doğru y = x ise b + c toplamı kaçtır? eğrinin bir noktasındaki teğet doğrusunun denk- A) 8 C) 3 y = x2 + bx + c parabolüne x = 2 noktasında f(x) = 2x3 – ax2 + 3 fonksiyonunun gösterdiği B) –1 B) 2 70. 2010 – LYS 66. 2010 – LYS A) –3 çev re si nin uzunluğu 72 metredir. için x kaç metre olmalıdır? f(x) = ln(sin2x + e2x) olduğuna göre, f′(0) kaçtır? B) 1 B Bu iş yerindeki mutfağın en geniş alanlı olması 65. 2010 – LYS A) e oluşan bir iş yerinin yukarıda A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2 71. 2011 – LYS lim x"0 x + arcsin x limitinin değeri kaçtır? sin 2x A) 0 B) 1 C) 2 3 D) 4 3 E) 1 6 68. 2010 – LYS y2 = 4x parabolüne üzerinde bulunan A(x, y) f(x) = sin2(3x2 + 2x + 1) olduğuna göre, f′(0) noktasından çizilen teğetin eğimi 1 dir. Buna göre, A noktasının koordinatlarının toplamı olan x + y kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 72. 2011 – LYS değeri kaçtır? A) 2cos2 D) 4 E) 5 D) 4sin2 B) 2cos3 C) 6sin1 E) 2sin2 301 Türev 73. 2011 – LYS 76. 2012 – LYS y = sin(πx) + ex eğrisine x = 1 noktasında çizi- lim (x – 1) . ln (x 2 – 1) x " 1+ len teğet y eksenini hangi noktada keser? limitinin değeri kaçtır? A) –π B) –1 C) 0 D) e – 1 E) π A) –1 2 B) –2 C) 0 D) 1 E) 4 77. 2012 – LYS Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f ve g fonksiyonları için 74. 2011 – LYS f(g(x)) = x2 + 4x – 1 Aşağıda, [–5, 5 ] aralığı üzerinde tanımlı bir g(x) = x + a f fonksiyonunun türevinin grafiği verilmiştir. f′(0) = 1 y olduğuna göre, a kaçtır? 2 –2 5 O Bu grafiğe göre, I. f fonksiyonu x > 0 için azalandır. II. f(–2) > f(0) > f(2) dir. A) –2 x B) –1 4 f(2x + 5) = tan c noktalarında yerel ekstremumu vardır. 3 2 E) 3 B) Yalnız II r xm 2 eşitliği ile verilen f fonksiyonu için f′(6) değeri ifadelerinden hangileri doğrudur? D) I ve III D) 78. 2012 – LYS III. f fonksiyonunun x = –2 ve x = 2 A) Yalnız I C) 1 ESEN YAYINLARI –5 kaçtır? C) I ve II A) E) I, II ve III r 2 B) r 4 C) r D) 2r E) 3r 79. 2012 – LYS Baş katsayısı 1 olan, üçüncü dereceden gerçel 75. 2011 – LYS katsayılı bir P(x) polinom fonksiyonunun kökle- (1, 2) noktasından geçen negatif eğimli bir d rinden ikisi –5 ve 2 dir. P(x) in x = 0 noktasında doğrusu ile koordinat eksenleri arasında kalan bir yerel ekstremumu olduğuna göre, üçüncü üçgensel bölgenin alanı en az kaç birim karedir? A) 2 302 B) 3 C) 4 D) 9 2 E) 7 2 kökü kaçtır? A) 1 2 B) 3 2 C) 7 3 D) –5 2 E) –10 3 Türev 80. 2012 – LYS Aşağıda, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir f fonksiyonunun türevinin grafiği verilmiştir. y 3 x O –2 Buna göre, I. f(2) – f(1) = –2 dir. II. f fonksiyonunun x = 0 noktasında yerel maksimumu vardır. III. İkinci türev fonksiyonu x = 0 noktasında tanımlıdır. A) Yalnız I B) Yalnız III D) II ve III C) I ve II E) I, II ve III ESEN YAYINLARI ifadelerinden hangileri doğrudur? 81. 2012 – LYS x > 0 olmak üzere, y = 6 – x2 eğrisinin grafiği üzerinde ve (0, 1) noktasına en yakın olan nokta (a, b) olduğuna göre, b kaçtır? A) 3 2 B) 5 2 C) 7 2 D) 5 3 E) 8 3 303