ürün A, ürün B ve

SORU 1:
Rekabet eden iki firmanın her biri, yeni bir ürünü tanıtmayı planlamaktadır. Her bir firma; ürün A, ürün B ve ürün C’den
hangisini üreteceğine karar verecek ve kararlarını eşanlı olarak alacaklardır. Firmaların kazanç matrisi şöyledir:
Firma 1
a.
b.
Stratejiler
A
B
C
A
-10 , -10
10 , 0
20 , 10
Firma 2
B
0 , 10
-20 , -20
15 , -5
C
10 , 20
-5 , 15
-30 , -30
Saf stratejilerde Nash dengesi var mıdır? Firmalar temkinli davranıp zararı minimize edecek strateji oluşturmaya
çalışırlarsa, oyunun bir Nash dengesi var mıdır? Var olup olmadığını gösteriniz.
Her iki firma maksimin stratejisini kullanırsa sonuç ne olur?
c.
Saf stratejilerde kazanç makimize etme amacındaki firmalar için Nash dengesinin bulunmadığını gördükten
sonra, karma strateji yöntemi altında Nash dengesini belirleyiniz.
d.
Firma 1 maksimin stratejisini kullanırsa ve ve Firma 2 bunu biliyorsa, Firma 2’nin davranışı ne olur?
YANIT 1:
Firma 1
a.
Stratejiler
A
B
C
A
-10 , -10
10 , 0
20 , 10
Firma 2
B
0 , 10
-20 , -20
15 , -5
C
10 , 20
-5 , 15
-30 , -30
Yukarıdaki tablodan görüldüğü gibi her iki firma için de dominant (başat) strateji olmamakla beraber, iki
tane Nash dengesi vardı. (C, A) ve (A, C) yani (20, 10) ve (10, 20).
b.
Firma 1
Stratejiler
A
B
C
A
-10 , -10
10 , 0
20 , 10
Firma 2
B
0 , 10
-20 , -20
15 , -5
C
10 , 20
-5 , 15
-30 , -30
Maksimin Çözümü
Maksimin strateji, her iki oyuncu (bu örnekte Firma 1 ve Firma 2) için, her bir olası stratejinin sağladığı
minimum kazançlar içinde maksimum olan kazancın seçilmesine dayanır. Buna göre, firmalar
karşısındaki stratejilerin içerisinden önce minimum değeri seçecek, ardından bunların içinden
maksimum olanı seçecektir. Firma 1 A stratejisi içerisindeki kazançlarının (sırasıyla -10, 0, 10) içerisinden
önce minimum olan -10 değerini, B içerisinden (10, -20, -5) -20 değerini ve C içerisinden (20, 15, -30) -
30 değerini seçecek; ardından bu üç seçimden (-10, -20, -30) maksimum olanı yani -10 değerini seçecektir.
Firma 1 için yaptığımız maksimin seçimi Firma 2 için de yapalım. Firma 2 A stratejisi içerisindeki
kazançlarının (sırasıyla -10, 0, 10) içerisinden önce minimum olan -10 değerini, B içerisinden (10, -20, 5) -20 değerini ve C içerisinden (20, 15, -30) -30 değerini seçecek; ardından bu üç seçimden (-10, -20, 30) maksimum olanı yani -10 değerini seçecektir. Her iki firma için de minimum kazançların içinden
maksimum olan kazancı sağlayan strateji (A, A) yani (-10, -10)’dur. Her iki firmanın da, sorunun a
şıkkında elde edilen Nash dengesine göre daha kötü durumda olduğuna dikkat ediniz.
c.
Firma 1’in maksimin stratejisinin A stratejisi (-10 kazanç) olduğunu b şıkkında belirledik. Firma 2 bunu
biliyorsa, A, B ve C stratejileri içinde kendisine en yüksek (maksimum) kazancı sağlayacak olan C
stratejisini (20 kazanç) seçecektir.
SORU 2:
Aşağıda kazanç matrisi verilmiş olan oyun için Nash dengesinin var olup olmadığını inceleyiniz. Oyunun Nash
dengesi yoksa karma strateji yöntemiyle Nash dengesini belirleyiniz.
Stratejiler
Firma 1
Firma 2
A
B
A
2, -3
1, 2
B
1, 1
4, -1
YANIT 2:
Stratejiler
Firma 1
Firma 2
A
B
A
2, -3
1, 2
B
1, 1
4, -1
Firma 2’nin strateji seçimi A iken Firma 1 için en iyi seçim, kendisine en yüksek (maksimum) kazancı sağlayan A
stratejisidir (2 birim kazanç, kazanç matrisinde sarı renkle belirtilmiştir). Firma 2’nin strateji seçimi B iken Firma
1 için en iyi seçim, kendisine en yüksek (maksimum) kazancı sağlayan B stratejisidir (4 birim kazanç, kazanç
matrisinde sarı renkle belirtilmiştir). Şimdi de Firma 1’in seçimleri veriyken, Firma 2’nin en iyi strateji seçimlerini
inceleyelim. Firma 1’nin strateji seçimi A iken Firma 2 için en iyi seçim, kendisine en yüksek (maksimum) kazancı
sağlayan B stratejisidir (2 birim kazanç, kazanç matrisinde yeşil renkle belirtilmiştir). Firma 1’nin strateji seçimi B
iken Firma 2 için en iyi seçim, kendisine en yüksek (maksimum) kazancı sağlayan A stratejisidir (1 birim kazanç,
kazanç matrisinde yeşil renkle belirtilmiştir). Bu sonuçlara göre her iki firmanın dominant (başat) stratejisi
olmadığı gibi, oyun bir Nash dengesi de yoktur.
Şimdi karma strateji yöntemini kullanarak bu oyunun Nash dengesini belirleyelim.
Firma 2
Stratejiler
Firma 1
q
1-q
A
B
p
A
2, -3
1, 2
1-p
B
1, 1
4, -1
Firma 2’nin strateji seçimleri ne olursa olsun (A ya da B), Firma 1’in A’yı seçme olasılığı p, B’yi seçme olasılığı 1p’dir. Benzer biçimde Firma 2’nin A’yı seçme olasılığı q, B’yi seçme olasılığı 1-q’dur.
Amaç, Firma 1 ve Firma 2’nin kazancını maksimize eden p ve q olasılık değerlerinin belirlenmesidir. Bunu
belirleyebilmek için ilk olarak her iki firmanın birlikte olasılıklar altındaki kazançlarını (beklenen kazançlar)
yazacağız, ardından bu beklenen kazançları maksimize eden p ve q olasılık değerlerini, beklenen kazanç
fonksiyonlarının birinci sıra türevlerini sıfıra eşitleyerek bulacağız.
= 2 + 11 − + 11 − + 41 − 1 − = 2 + 1 − − − 4 + 4 = 0 →
=
3
4
= −3 + 21 − + 11 − + −11 − 1 − = −3 − 2 + 1 − + 1 − = 0 →
=
2
7
Bu sonuçlara göre, Firma 1 için karma Nash dengesini sağlayan kazanç:
3
1
7
= 2 + 11 − = 2 + 1 =
4
4
4
Ya da
3
1
7
= 1 + 41 − = 1 + 4 =
4
4
4
Firma 2 için karma Nash dengesini sağlayan kazanç:
2
5
7
= −3 + 11 − = −3 + 1 =
7
7
4
Ya da
2
5
1
= 2 + −11 − = 2 + −1 = −
7
7
7
Bu sonuçlara göre, karma strateji Nash dengesi yaklaşımında Firma 1 3⁄4 + 1⁄4, Firma 2 de 2⁄7 +
5⁄7 stratejilerini kullanacaklardır.