b˙ıt˙ırme ödev˙ı f˙ınal sorularının çözümler˙ıaaaaaaa

AKDENI·Z ÜNI·VERSI·TESI·
MATEMATI·K BÖLÜMÜ
BI·TI·RME ÖDEVI·
FI·NAL SORULARININ ÇÖZÜMLERI·
16 Ocak 2015
ADI SOYADI : ...............................................................
NO : ......................................
A A A A A A A
SINAV TARI·HI· VE SAATI· :
Bu s¬nav 40 sorudan oluşmaktad¬r ve s¬nav süresi 90 dakikad¬r.
SINAVLA I·LGI·LI· UYULACAK KURALLAR
1. Cevap ka¼
g¬d¬n¬za soru kitapç¬g¼¬n¬z¬n türünü işaretlemeyi unutmay¬n¬z.
2. Her soru eşit de¼
gerde olup, puanlama yap¬l¬rken do¼
gru cevaplar¬n¬z¬n say¬s¬ndan yanl¬ş cevaplar¬n¬z¬n
say¬s¬n¬n dörtte biri düşülecektir.
3. S¬navda pergel, cetvel, hesap makinesi gibi yard¬mc¬araçlar ve müsvedde ka¼
g¬d¬kullan¬lmas¬yasakt¬r. Tüm işlemlerinizi soru kitapç¬g¼¬üzerinde yap¬n¬z.
4. S¬nav süresince görevlilerle konuşulmayacak ve onlara soru sorulmayacakt¬r. Yanl¬ş oldu¼
gunu
düşündü¼
günüz sorularla ilgili, görevlilere soru sormay¬n¬z. Bu çok küçük bir olas¬l¬k olsa da, jüri bu
tür durumlar¬daha sonra de¼
gerlendirecektir.
5. Ö¼
grencilerin birbirlerinden kalem, silgi vb. şeyler istemeleri yasakt¬r.
6. D¬şar¬ya ç¬kan bir aday tekrar s¬nava al¬nmayacakt¬r.
7. Cep telefonuyla s¬nava girmek yasakt¬r. Cep telefonunuzu görevliye teslim ediniz.
8. Soru kitapç¬klar¬toplanacakt¬r.
1
A
A
1. Yandaki gra…kte f (x) fonksiyonunun türevinin gra…¼
gi
verilmiştir. Buna göre, seçeneklerden hangisi yanl¬şt¬r?
A) ( 2;
1) aral¬g
¼¬nda f konvekstir.
f ' ( x)
B) Fonksiyonun iki tane extremum noktas¬vard¬r.
C) Fonksiyonun iki tane dönüm noktas¬vard¬r.
-2
-1
D) ( 2; 1) aral¬g
¼¬nda f fonksiyonu artand¬r.
2
E) Hiçbiri
Çözüm : A) do¼grudur.
Çünkü, ( 2; 1) aral¬g¼¬nda f 0 (x)
türevinin gra…¼
gi artan oldu¼
gundan, f 00 (x) > 0 olacakt¬r. Bu ise,
f ’in konveks olmas¬demektir.
B) yanl¬şt¬r. Çünkü, f 0 (x) = 0 olan tek nokta x = 2 dir ve x > 2 için f 0 (x) > 0 ve x < 2
için f 0 (x) < 0 oldu¼
gundan bu nokta ekstremum noktad¬r. f (x)’in sadece 1 tane ekstremum
noktas¬vard¬r.
C) do¼
grudur. Çünkü, f 0 (x)’in yerel maksimum-minimum noktalar¬ x = 1 ve x = 2 noktalar¬d¬r. O halde, bu noktalarda f 0 (x)’in türevi yani f 00 (x) = 0 olmal¬d¬r. Bu ise bu iki noktan¬n
dönüm noktas¬oldu¼
gunu gösterir.
D) do¼
grudur. Çünkü, ( 2; 1) aral¬g¼¬nda f 0 (x) daima pozitif oldu¼
gundan, f (x) fonksiyonu bu
aral¬kta artand¬r.
Z=2
(cos x) dx
=?
2.
1 + sin2 x
0
A) 0
B)
C)
4
D)
3
E)
2
Çözüm : sin x = u dönüşümü yap¬l¬rsa, cos xdx = du oldu¼gundan,
Z
du
= arctan u oldu¼
gundan,
1 + u2
Z=2
(cos x) dx
= arctan (sin x)j0 =2 = arctan 1
2
1 + sin x
0
bulunur.
x
3. lim (ecot x ) = ?
x!0
A) e2
B) e
C) 1
D) 2
E) 2e
Çözüm : Yan¬t B.
lim x cot x
x
lim (ecot x ) = lim (ex cot x ) = ex!0
x!0
x!0
2
lim
= ex!0
x cos x
sin x
= e1 = e:
arctan 0 =
4
4. f (x; y; z) = x2 yz + ex+y
A) 3
@ 3f
(3; 2; 1) =?
@x@y@z
ise,
B) 1
C) 2
2
D) 6
E) 4
@f
@ f
@ f
@ 3f
2
2
=x y)
=x )
= 2x oldu¼
gundan,
(3; 2; 1) = 6 olur.
@z
@y@z
@x@y@z
@x@y@z
Çözüm :
3
1
X
(2x 1)n
5.
serisinin yak¬nsakl¬k yar¬çap¬kaçt¬r?
n
3
(2n
+
1)
n=1
A)
2
3
B) 1
C)
1
2
D) 2
E)
3
2
1
1
X
X
(2x 1)n
2n (x 1=2)n
=
şeklinde yaz¬l¬rsa,
n (2n + 1)
n (2n + 1)
3
3
n=1
n=1
Çözüm :
2n
an = n
oldu¼
gundan, Oran (veya kök testinden)
3 (2n + 1)
2n+1
r
2
1
2n
2
3n+1 (2n + 3)
n
=
(veya
= lim
= )
= lim
n
2n
n!1
n!1
3
R
3 (2n + 1)
3
3n (2n + 1)
1
an+1
= lim
n!1
R
an
oldu¼
gundan, yak¬nsakl¬k yar¬çap¬R = 3=2’dir. jx
6.
( 1)n
3n + 1
3n 1
1=2j
3=2 için seri yak¬nsakt¬r.
dizisi için aşa¼
g¬dakilerden hangileri do¼
grudur?
I. S¬n¬rl¬d¬r
II. Yak¬nsakt¬r
A) III, IV
B) I,III,IV
III. Üst limiti vard¬r
C) I,II,IV
IV. Alt limiti vard¬r
D) II,III,IV
Çözüm : I. Dizi s¬n¬rl¬d¬r. an
2; II. Üst limiti 1’dir. IV. Alt limiti
limitleri farkl¬oldu¼
gundan yak¬nsak de¼
gildir. Yan¬t B
E) I,II,III,IV
1’dir. Alt ve üst
7. Aşa¼
g¬dakilerden hangisi ya da hangileri do¼
grudur?
1
1
X
X
I.
jan j serisi yak¬nsak ise,
an serisi mutlak yak¬nsakt¬r.
n=0
II. lim an = 0 ise,
x!1
1
X
n=0
an serisi yak¬nsakt¬r.
n=0
1
X
III. lim an 6= 0 ise,
x!1
+
an serisi ¬raksakt¬r.
n=0
IV. n 2 Z için an < bn ise,
A) I ve IV
1
X
an yak¬nsak ise,
n=0
B) Yaln¬z III
1
X
bn serisi de yak¬nsakt¬r.
n=0
C) I, III
3
D) I, III, IV
E) III, IV
Çözüm : I. Mutlak yak¬nsakl¬g¼¬n tan¬m¬d¬r ve do¼grudur
II. Yanl¬şt¬r. Örne¼
gin,
mas¬na ra¼
gmen ¬raksakt¬r.
1
X
1
harmonik serisinin genel teriminin limiti s¬f¬r oln
n=1
III. Do¼
grudur
IV. Yanl¬şt¬r. Belirli bir indisten sonraki her eleman¬yak¬nsak bir serinin eleman1
1
X
X
1
1
1
1
lar¬ndan büyük olan bir seri yak¬nsak olmayabilir.
dir
ve
yak¬
nsakt¬
r.
<
2
2
n
n
n
n
n=1
n=1
serisi ¬raksakt¬r.
8.
1
X
n=1
1
ifadesi aşa¼
g¬dakilerden hangisine eşittir?
n n!
A) e
Çözüm :
B) e1=
1
ex = 1 +
e
x
x2 x3
x
+
+
+
1!
2!
3!
1=
1
X
xn
n=1
n!
=
C) e
1
X xn
n=0
n!
1=
D) e1=
1
E) e
oldu¼
gunu kullanaca¼
g¬z. Buna göre,
oldu¼
gundan, x =
1
1
X
1
için,
= e1=
n n!
n=1
1
bulunur.
9. Aşa¼
g¬da gra…¼
gi ve denklemi verilen fonksiyonlardan kaç tanesi yanl¬şt¬r?
y
2
y
1
-4 -2
-1
2
10
y 20
5
10
A) 0
x
II. y = tan x
B) 1
20
10
4
-4 -2
0
2
4
-2
I. y = sin 2x
y 30
III. y = ex
C) 2
D) 3
x
-4 -2
0
2
4
x
IV. y= jx2 -4j
-4 -2 0
2
4
x
V. y = ln x
E) 4
Çözüm : I, III ve V yanl¬ş verilmiştir. I, sin x’in, III, ln x’in V ise ex ’in gra…¼gidir.
A
A
2
3
14
6
10. R =
7
2
A) 1
B)
2
3
a
5
3
6
b 5 matrisi ortogonal matris oldu¼
guna göre, a + b + c =?
c
C)
2
D) 3
E)
4
11
Çözüm : Ortogonal bir matriste tüm sat¬rlar ve sütunlar birbirine dik olmal¬. S ile sat¬rlar¬,
K ile sütunlar¬göstermek üzere,
S1 ? S2 , hS1 ; S2 i , 18 + 6 6b = 0 ) b = 2;
K1 ? K2 , hK1 ; K2 i , 6 + 18 2a = 0 ) a = 6;
S1 ? S3 , hS1 ; S3 i , 6 12 6c = 0 ) c = 3;
oldu¼
gundan, a + b + c = c = 1 olur.
11. a1 =
kaçt¬r?
p
p
2 ve n > 1 için an+1 = 2
A) 1
B) 2
an oldu¼
guna göre (an ) dizisinin limiti
C) 3
D) 4
E) 5
lim an = x olsun. Buna göre, lim an+1 = x olaca¼
g¬ndan,
Çözüm : n!1
n!1
lim an+1 = lim
n!1
n!1
p
2
an =
q
2
lim an ) x =
n!1
p
2
x
denkleminden x = 1 bulunur.
Zx4
dy
2
12. y = et dt oldu¼
guna göre,
(1) kaçt¬r?
dx
x2
A) 4e2 +2e
Çözüm :
d
dx
göre,
b(x)
R
B) 2e4 +e2
!
F (t) dt
a(x)
dy
= 4x3
dx
D) 2e4
C) 2e
F (a (x)) a0 (x) formülünü kullanaca¼
g¬z. Buna
= F (b (x)) b0 (x)
ex
8
E) 4e + 2
(2x) ex
4
)
dy
(1) = 4e
dx
2e = 2e
olur. Yan¬t C.
p
13. y = x2 parabolü ile ve y = x parabolü aras¬nda kalan bölgenin y ekseni
etraf¬nda döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi aşa¼
g¬dakilerden hangisidir?
3
7
A)
B)
C)
D)
E)
10
10
6
3
10
Zb
(f 2 (y) g 2 (y)) dy forÇözüm : y ekseni etraf¬ndaki dönme oldu¼gundan, hacim V =
a
mülüyle bulunabilir.
5
y
2
1
-1
1
2
x
-1
y2 =
p
y denkleminden, y = 0 ve y = 1 oldu¼
gu kolayca görülür. O halde hacim
V =
Z1
y 4 ) dy =
(y
3
10
0
olur.
14. f (x) ; R’de sürekli bir fonksiyon olmak üzere, aşa¼
g¬daki fonksiyonlardan kaç
tanesi R’de kesinlikle süreklidir?
I. sinf (x)
A) 1
II.
B) 2
p
f (x)
C) 0
III. cotf (x)
D) 3
IV. lnf (x)
V. ef (x)
E) 4
Çözüm : I ve V kesinlikle sürekli olacaklard¬r. Fakat, II, III ve IV sürekli olmayabilirler.
Örne¼
gin, f (x) = x
p
1 için,
f (x) =
p
x
1; cot (x
1) =
cos (x
sin (x
1)
ve ln (x
1)
1)
tüm reel say¬lar kümesinde sürekli de¼
gillerdir.
A
A
15. Aşa¼
g¬dakilerden hangisi üçüncü mertebeden (basamaktan) bir lineer diferansiyel denklemdir?
A) y 3 +y 00 +y 0 = ex cos x
D) x3 y 00
xy 0
y 0 = ln(x3 )
B) y 000
2x3 y 00 +y 0 +lny = 0
E) y 000 + (cos x) y 000
C) y 000
2(y 0 )3 +y = 0
y 0 +sinx = 0
Çözüm : a3 (x) y000 + a2 (x) y00 + a1 (x) y0 + a0 (x) y = b (x) formunda olan tek seçenek E
seçene¼
gidir.
6
16. y 0 y = 2x diferensiyel denkleminin y(0) = 1 koşulunu sa¼
glayan çözümü aşa¼
g¬dakilerden hangisidir?
A) y = 2ex x
B) y = 2e2x +x
1
D) y = e3x x
C) y = 3ex 2x
1
2
E) y = e2x +x
Çözüm : Denklem 1. mertebeden lineer bir diferansiyel denklemdir. Buna göre,
y 0 + P (x) y = Q (x) )
R
(x) = e
formülü kullan¬l¬rsa, P (x) =
R
(x) = e
dx
=e
x
)y=
P (x)dx
ve y =
1 oldu¼
gundan,
1
e
x
R
1 R
(x)
e x 2xdx + c =
1
e
x
(x) Q (x) dx + c
( 2e
bulunur. Buradan, y (0) = 1 için, c = 3 olaca¼
g¬ndan, y = 3ex
2. Yol : Seçeneklere göre y 0
x
(x + 1) + c) =
2x
2x
2 + cex
2 elde edilir.
y fark¬n¬n 2x oldu¼
gu tek seçene¼
gin C oldu¼
gu görülebilir.
d2 y
2
+ex diferansiyel denkleminin y(0) = 1 ve y 0 (0) = 0 koşullar¬n¬
2 = x
dx
sa¼
glayan çözümü aşa¼
g¬dakilerden hangisidir? (ÖABT - 2013)
17.
A) y = x3 +ex
2 3
x4
x x + ex
C) y =
x2 +ex
3
5
x5
E) y =
x2 +ex
6
R
dy
1
= x2 + e x )
= (x2 + ex ) dx = ex + x3 + c1 eşitli¼
ginden,
dx
3
B) y =
1
x4
x + ex
12
2
d y
d dy
Çözüm : dx2 = dx dx
1
gundan, c1 = 1’dir. Di¼
ger yandan,
y 0 (x) = ex + x3 + c1 olur. y 0 (0) = 0 oldu¼
3
D) y =
1
x4
dy
= ex + x3 + 1 ) y = ex +
+ x + c2
dx
3
12
olur ki, y (0) = 1 için, c2 = 0 bulunur. Yan¬t y =
x4
12
x + ex :
18. (4x + y) dx+ (2y + x) dy = 0 diferansiyel denkleminin genel çözümü aşa¼
g¬dakilerden hangisidir?
A) 2x2 +y 2 +2xy = c
D) x2 +y 2 +4xy = c
B) x2 +y 2 +4xy = c
C) 2x2 +y 2 +xy = c
E) x2 +y 2 +2xy = c
Çözüm : M (x; y) = 4x + y; N (x; y) = 2y + x ve My = 1 = Nx oldu¼gundan denklem tam
diferansiyel denklemdir. Grupland¬rma yöntmi ile çözülebilir.
(4x + y) dx + (2y + x) dy = 0 ) 4xdx + (ydx + xdy) + 2ydy = 0
R
R
R
R
)
4xdx + (ydx + xdy) + 2ydy = 0
R
) 2x2 + d (xy) + y 2 = c
oldu¼
gundan, denklemin çözümü 2x2 + xy + y 2 = c elde edilir.
7
19. Aşa¼
g¬dakilerden hangisi ya da hangileri do¼
grudur?
I. G grubunun mertebesi 9 ise G abeldir.
II. G grubunun mertebesi 3 ise G abeldir ve devirlidir.
III. jGj = 12 ise G nin mertebesi 6 olan altgrubu vard¬r.
IV. GL(3; R)
A) I
SL(3; R) dir.
B) I ve II
C) III
D) III ve IV
E) II ve IV
Çözüm : I. do¼grudur. Çünkü, p asal say¬olmak üzere, mertebesi p2 olan her grup abeldir.
(Not : pn için genelleme yap¬lamaz, örne¼
gin mertebesi 23 olan ve abel olmayan grup vard¬r.)
II. do¼
grudur. Mertebesi p asal say¬s¬olan her grup devirlidir ve abeldir.
III. yanl¬şt¬r. Lagrange teoreminin tersi her zaman do¼
gru de¼
gildir. Lagrange teoremine
göre, G sonlu grubunda, H
G ise jHj j jGj olur. Fakat, tersi yani, k j jGj ise G grubunun
mertebesi k olan altgrubu olmayabilir. Örne¼
gin, jA4 j = 12 dir. 6 j 12 olmas¬na ra¼
gmen, A4
grubunun mertebesi 6 olan bir altgrubu yoktur.
IV. Yanl¬şt¬r. SL(3; R) kümesi yani, determinant¬1 olan 3 3 matrislerin kümesi, determinant¬s¬f¬rdan farkl¬olan (tersini matrisler) matrislerin kümesi olan GL (3; R) kümesinin bir
altgrubudur. Yani do¼
grusu, SL(3; R) GL(3; R) olmal¬yd¬.
Not : Temel Matris Gruplar¬
Genel Lineer Grup : GL(n; R) = fA 2 Mn
n
(R) : det A 6= 0g,
Special(Özel) Lineer Grup : SL(n; R) = fA 2 Mn
Ortogonal Grup : O(n; R) = A 2 Mn
n
n
(R) : det A = 1g,
(R) : AT = A 1 ; det A =
Special Ortogonal Grup : SO(n; R) = A 2 Mn
n
1 ve
(R) : AT = A 1 ; det A = 1
20. X rastgele de¼
gişkeninin olas¬l¬k yo¼
gunluk fonksiyonu,
f (x) =
0<x<1
x2
= (0; 1)
2x;
0;
olarak veriliyor. Buna göre, X’in beklenen de¼
geri kaçt¬r?
2
4
2
4
A)
B)
C)
D)
E) 1
9
9
3
9
Z1
Z1
2
Çözüm : Beklenen de¼ger, E (x) = xf (x) dx = x (2x) dx = 3 bulunur.
0
0
21. X rastgele de¼
gişkeni, yüzlerinde 1,2,3,4,5,6 olan iki zar¬n at¬lmas¬nda, üste
gelen say¬lar¬n toplam¬n¬gösterdi¼
gine göre, P (X
10) olas¬l¬g
¼¬kaçt¬r?
1
1
2
1
5
A)
B)
C)
D)
E)
8
6
9
9
18
Çözüm : X
10 koşulunun oldu¼
gu durumlar, zarlar¬n (4; 6) ; (6; 4) ; (5; 5) ; (6; 5) ; (5; 6) ve
6
1
(6; 6) gelmesi durumlar¬d¬r. Evrensel kümemiz 36 oldu¼
gundan, yan¬t
= olur.
36
6
8
22. u; v; w 2 R3 vektörleri için aşa¼
g¬dakilerden kaç tanesi yanl¬şt¬r? (
çarp¬m¬, h:; :i ise iç çarp¬m¬göstermektedir.)
I. hu; v
wi = hu
II. hu
v; vi = 0
III. (u
v) ? u
IV. u
vektörel
v; wi
v = kuk kvk sin
V. u==v ise u
v=0
VI. hu
v; wi = det (u; v; w)
u
VII. u =
6 0 iken
daima birim vektördür.
kuk
A) 1
B) 0
C) 2
D) 3
Çözüm : I. Do¼gru. Karma çarp¬ma göre, hu; v
E) 4
wi = [u; v; w] = hu
II ve III Do¼
gru, u v vektörü hem u; hem de v’ye diktir.Yani, u
de v ile iç çarp¬m¬0’d¬r.
IV. Yanl¬ş.
Eşitli¼
gin sol taraf¬ vektör,
ku vk = kuk kvk sin olmal¬yd¬.
v; wiyaz¬labilir.
v vektörünün hem u, hem
sa¼
g taraf¬ skaler olamaz.
Do¼
grusu,
V. I·ki vektör birbirine paralel ise, vektörel çarp¬m¬n determinant tan¬m¬ göz önüne al¬n¬rsa,
sonucun 0 (s¬f¬r vektörü) olaca¼
g¬kolayca görülebilir.
VI. Do¼
gru, Karma çarp¬m¬determinant ile de ifade edebiliriz.
VII. Do¼
gru, s¬f¬rdan farkl¬bir vektörü normuna bölerek birim vektör elde edebiliriz.
23. X rastgele de¼
gişkeni için
f (x) =
1 3
;
8 x
x = 0; 1; 2; 3
olas¬l¬k fonksiyonu verilmiştir. Bu fonksiyon için 1. moment (m1 ) nedir?
3
1
1
3
B)
C)
D)
E) 0
A)
2
8
2
8
Çözüm : 1. yol :
mx (t) =
3
X
x=0
etx
1 3
8 x
2
=
1
1 t
1 + 3et + 3e2t + e3t =
e +1
8
8
2
0
oldu¼
gundan, m0x (t) = 38 (et + 1) et ) m1 = mx (0) = 38 (e0 + 1) e0 =
2.yol :
m1 = E (X) =
3
X
3
2
olur.
xf (x) = 0f (0) + 1f (1) + 2f (2) + 3f (3)
x=0
= 0+
3
2 3
3 3
1 3
+
+
8 1
8 2
8 3
oldu¼
gu bulunabilir.
9
=
3 6 3
3
+ + = :
8 8 8
2
2
3
0 1 2
24. 4 2 1 0 5 matrisinin karakteristik denklemi aşa¼
g¬dakilerden hangisidir?
0 3 2
A) x3 +x2
3x
D) x3 +3x
8
B) x3 3x
8
E) x3
C) x3 +3x2
8
3x2
8
8
Çözüm : Bir A kare matrisinin karakteristik polinomu P (x) = det (xI
A) ile bulunur.
Buna göre,
02
3
x 0 0
A) = det @4 0 x 0 5
0 0 x
P (x) = det (xI
2
1
6 1
25. 6
4 1
1
2
3
2
2
A) 6
3
4
5
3
2
31
0 1 2
4 2 1 0 5A = x3
0 3 2
3
4
5 7
7 matrisinin determinant¬kaçt¬r?
6 5
7
B) 4
C) 5
D) 12
3x2
8:
E) 24
Çözüm : I·lk sat¬r¬di¼ger tüm sat¬rlardan ç¬karal¬m. Determinant de¼gişmez. Üçgensel matrisin
determinant¬ise asal köşegendeki elemanlar¬n çar¼
g¬m¬na eşittir.
1
1
1
1
2
3
2
2
3
4
5
3
4
5
6
7
1
0
0
0
=
2
1
0
0
3
1
2
0
4
1
2
3
=6
26. AT A = AAT = I ise A matrisine ortogonal matris denir. A bir ortogonal
matris olmak üzere,
det A + det AT + det A
1
+ det A2 = x
ise x’in olabilece¼
gi de¼
gerlerin toplam¬n¬bulunuz.
A) 6
B) 4
C) 1
D) 0
E) 2
2
Çözüm : det AT A = det I ) det AT det A = 1 ) (det A) = 1 ) det A = 1 olabilir.
Buna göre,
det A = det AT ve det An = (det A)n
oldu¼
gu da kullan¬l¬rsa,
det A = 1 ) det A + det AT + det A 1 + det A2 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4;
det A =
1 ) det A + det AT + det A 1 + det A2 = 1 1 1 + 1 =
olaca¼
g¬ndan, yan¬t 4
2;
2 = 2 olur.
A
A
10
27. (Z18 ; +) grubunun bütün alt gruplar¬n¬n say¬s¬kaçt¬r?
A) 3
B) 4
C) 6
D) 8
E) 9
Çözüm : Z18 devirli grubunun her d > 0, d j 18 için, mertebesi d olan bir alt grubu vard¬r.
18 = 2 32 oldu¼
gundan, poizitif bölen say¬s¬B (18) = (1 + 1) (2 + 1) = 6 kadar alt grubu vard¬r.
Bunlar, < 1 >; < 2 >; < 3 >; < 6 >; < 9 > ve < 18 > gruplar¬d¬r.
28. (Z12 ; ) grububun farkl¬devirli alt gruplar¬n¬n say¬s¬kaçt¬r?
A) 2
B) 4
C) 9
D) 18
E) 6
Çözüm : Z12 grubunun elemanlar¬12 ile aralar¬nda asal olan Z12 ’nin elemanlar¬ndan oluşur.
Buna göre, Z12 = f1; 5; 7; 11g’dir. < 1 >=< 1 >; < 5 >= f5; 1g ;
< 11 >= f11; 1g olmak üzere, Z12 ’nin 4 tane devirli altgrubu vard¬r.
29.
= (3456);
hangisidir?
A) (3456)
= (1573246) oldu¼
guna göre
B) (16)(574632)
Çözüm : Birinci Yol :
I·kinci Yol :
1
1
C) (2671)
1
< 7 >= f7; 1g
ve
permütasyonu aşa¼
g¬dakilerden
D) (1674253)
E)(16)(74253)
= (3) (4) (5) (6) = (2671)’dir.
= (6423751) oldu¼
gundan, (1573246)(3456) (6423751) = (6712) = (2671) :
30.
Şekilde y = x3 +x + 3 fonksiyonunun
[ 1; 1) aral¬g
gi verilmiştir. x = 0
¼¬ndaki gra…¼
ve x = 3 apsisli A ve B noktalar¬ndan geçen
do¼
gru ile x = c apsisli noktada e¼
griye te¼
get
olan do¼
gru birbirine paralel oldu¼
guna göre, c
kaçt¬r?
p
p
4
3 2
B)
A) 3
C)
3
2
p
p
4 3
4 2
E)
D)
3
5
Çözüm : Ortalama de¼ger teoremine göre, f fonksiyonu; [a; b] aral¬g¼¬nda sürekli ve (a; b) aral¬g¼¬nda türevlenebilir ise,
f (b) f (a)
b a
olacak şekilde en az bir c noktas¬vard¬r. Yani, A; B noktalar¬n¬birleştiren do¼
grunun e¼
gimine
f (3) f (0)
33 3
eşit olan bir te¼
get do¼
gru mutlaka vard¬r. AB do¼
grusunun e¼
gimi : m =
=
=
3 0
3
10 oldu¼
gundan, f 0 (c) = 10 olan c noktas¬n¬yani, e¼
gimi 10polan te¼
getin e¼
griye de¼
gme noktas¬n¬n
apsisini bulal¬m. f 0 (x) = 3x2 + 1 ) 3c2 + 1 = 10 ) c = 3 bulunur.
f 0 (c) =
11
31. Aşa¼
g¬da serilerden kaç tanesi mutlak yak¬nsakt¬r?
1
X
n
I)
( 1)
n+1
n=1
n
A) 5
Çözüm :
1
X
( 1)n
II)
n2
n=1
B) 4
1
P
n=1
1
X
cos (n )
IV)
3n
n=1
1
X
( 1)n
III)
n
n=1
C) 3
jan j serisi yak¬nsak ise,
D) 2
1
P
V)
1
X
n=1
2
3
n
E) 1
an serisine mutlak yak¬nsak seri denir. Buna göre,
n=1
I. Iraksakt¬r, II. Mutlak Yak¬nsakt¬r. III. Yak¬nsakt¬r, fakat mutlak yak¬nsak de¼
gildir. Çünkü,
1
P
jan j serisi harmonik seri olup, ¬raksak bir seridir. IV. Mutlak Yak¬nsakt¬r. V. Mutlak
n=1
Yak¬nsak Geometrik seridir. Yan¬t C.
A
A
32. Aşa¼
g¬da denklemleri verilen kümelerden hangisi R3 ün bir alt uzay¬d¬r?
x+y
y + 2x
= z D)
= 1 E) z = x + 1
A) xyz = 0 B) x + y + z = 1 C)
2
2
Çözüm : V; bir F cismi üzerinde bir vektör uzay¬olmak üzere, W
V altkümesi aşa¼
g¬daki
koşullar¬sa¼
glarsa, W kümesine V uzay¬n¬n bir altuzay¬denir.
1. S¬f¬r vektörü W’nun eleman¬olmal¬d¬r.
2. a 2 F ve u; v 2 W ise u + av 2 W olmal¬d¬r. (W’nun Kapal¬Lineer Olmas¬)
Buna göre, s¬f¬r vektörüne sahip olan seçenekler sadece A ve C seçenekleridir. Fakat, A
seçene¼
gi, 2. koşul olan kapal¬ lineerlik koşulunu sa¼
glamaz. Gerçekten, (0; 1; 1) ; (1; 0; 0) 2
W = f(x; y; z) : xyz = 0g olmas¬na ra¼
gmen, (0; 1; 1) + (1; 0; 0) = (1; 1; 1) 2
= W’dir. Do¼
gru
yan¬t C. Bu seçene¼
gin bu iki koşulu sa¼
glad¬g¼¬kolayca görülebilir.
33. ~
x
y
~ = 2i + 6j + 2k oldu¼
guna göre, ~
x vektörü aşa¼
g¬dakilerden hangisi olamaz?
A) (1;
2; 5)
B) (3;
2;
3)
C) ( 4; 1; 1)
D) (1; 1;
4) E) (0; 1;
3)
Çözüm : ~x
~y vektörü, hem ~x; hem de ~y vektörüne dik olan bir vektördür. O halde, ~x
vektörü (2; 6; 2) vektörüne dik olmas¬gerekir. Seçeneklerde, bu vektöre dik olmayan tek vektör
(3; 2; 3) vektörüdür. Gerçekten, h(3; 2; 3) ; (2; 6; 2)i = 12’dir.
x 1
y
x 1
1 y
34.
= ; z = 1 ve
=
= z do¼
grular¬ aras¬ndaki aç¬n¬n kosinüsü
2
3
3
2
kaçt¬r?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 0
E)
h~x; ~y i
1
Çözüm : ~u = (2; 3; 0) ve ~v = (3; 2; 1) oldu¼gundan, cos = k~xk k~yk = 0 bulunur.
12
35. Köşelerinin koordinatlar¬ A(1; 1; 1), B(3; 1; 2), C(1; 2; 3) olan üçgenin alan¬
aşa¼
g¬dakilerden hangisidir?
p
p
p
p
14
3
21
19
B)
C)
D) 6
E)
A)
2
2
2
2
!
!
Çözüm : ~x = AB = (2; 0; 1) ve ~y = AC = (0; 1; 2) diyelim. Buna göre, üçgenin alan¬:
1
Alan (ABC) =
2
q
h~x; ~xi h~y ; ~y i
1p
h~x; ~y i =
5 5
2
2
p
21
22 =
2
olarak bulunur.
36. u1 = (1; 1; 2) ; u2 = (1; 2; 0) ; u3 = (1; 0; 4) ; u4 = (2; 3; 2) ; u5 = (1; 1; 1) olmak
üzere, aşa¼
g¬daki vektör kümelerinden kaç tanesi R3 için bir taband¬r.
I. fu1 ; u2 ; u3 g
II. fu1 ; u2 ; u5 g
IV. fu1 ; u3 ; u1 +u3 g
A) 0
III. fu2 ; u3 ; u4 g
V. fu1 ; u2 ; u1 +u3 g
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Çözüm : 1. Yol.
1 1 2
I taban de¼
gildir. Çünkü, det (u1 ; u2 ; u3 ) = 1 2 0 = 0 ’d¬r. Ayr¬ca, determinant özellikleri
1 0 4
gere¼
gi V’de taban olamaz. (Çünkü, bu determinantta 3’üncü sat¬ra birinci sat¬r eklenmiş,
determinant de¼
gişmez.)
IV’ün taban olmad¬g¼¬ aşikar.
det (u1 ; u3 ; u1 +u3 ) = 0:
Bir sat¬r, di¼
ger iki sat¬r¬n toplam¬ ise determinant s¬f¬rd¬r.
II’ye bakal¬m. det (u1 ; u2 ; u5 ) =
1 1 2
1 2 0
1 1 1
=
III’e bakal¬m. det (u2 ; u3 ; u4 ) =
1 2 0
1 0 4
2 3 2
= 0 oldu¼
gundan, fu2 ; u3 ; u4 g de taban de¼
gildir.
1 6= 0 oldu¼
gundan, fu1 ; u2 ; u5 g taband¬r.
Yan¬t 1.
2. Yol. Verilen vektörleri s¬ras¬yla matrisin sat¬rlar¬olarak yaz¬p, eşelon forma getirelim.
2
6
6
6
6
4
1
1
1
2
1
1
2
0
3
1
2
0
4
2
1
3
7 S2 ! S2
7 S3 ! S3
7
7 S2 ! S4
5
S5 ! S5
S1
S1
2S1
S1
2
6
6
6
6
4
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
2
2
2
2
1
3
7
7
7 S3 ! S3 + S2
7
5 S4 ! S4 2S2
2
6
6
6
6
4
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
2
2
0
0
1
3
7
7
7
7
5
Görüldü¼
gü gibi, u1 ; u2 ; u5 bir taban olabilir. Fakat, u1 ; u2 ; u3 ; u1 ; u2 ; u4 ; u2 ; u3 ; u4 ; taban
olarak al¬namaz. Dolay¬s¬yla fu1 ; u3 ; u1 +u3 g ve fu1 ; u2 ; u1 +u3 g kümeleri de taban olarak
al¬namaz.
13
A
A
37. A(1; 1; 1), B(3; 1; 2), C(1; 2; 3) ve D(3; 2; k) noktalar¬ ayn¬ düzlemde ise k
kaçt¬r?
7
5
A)
B) 4
C) 3
D) 2
E)
2
2
! ! !
! ! !
Çözüm : AB; AC; AD vektörleri ayn¬düzlemde olmal¬, yani det(AB; AC; AD) = 0 olmal¬d¬r.
Buna göre,
!
AB = B
!
A = (2; 0; 1) ; AC = C
!
A = (0; 1; 2) ; AD = D
A = (2; 1; k
1) ;
için,
2 0
1
0 1
2
2 1 k 1
8=0)k=4
= 2k
elde edilir.
38. A ve B, S örnek uzay¬nda herhangi iki olay olsun (P (B) 6= 0). B verilmişken A
olay¬n¬n koşullu olas¬l¬g
g¬dakilerden hangisi yanl¬şt¬r?
¼¬P (A B) ile gösterilsin. Aşa¼
A) P (A A) = 1
D) A
Çözüm :
B) P (A S) = P (A)
B ise P (A B) =
P (A)
P (B)
C) P (? S) = 1
E) P (A B) =
Koşullu olas¬l¬k tan¬m¬P (A B) =
P (A \ B)
P (B)
P (A \ B)
’d¬r ve E do¼
grudur. Di¼
ger yandan,
P (B)
A) P (A A) =
P (A \ A)
P (A)
=
= 1 oldu¼
gundan do¼
grudur.
P (A)
P (A)
B) P (A S) =
P (A \ S)
P (A)
=
= P (A) oldu¼
gundan do¼
grudur.
P (S)
1
C) P (? S) =
P (? \ S)
P (? \ S)
0
=
= = 0 oldu¼
gundan yanl¬şt¬r.
P (S)
P (S)
1
D) A
B için P (A B) =
P (A \ B)
P (A)
=
oldu¼
gundan do¼
grudur.
P (B)
P (B)
39. f (x) = e x fonksiyonunun x = 1 noktas¬ndaki Taylor seri aç¬l¬m¬şa¼
g¬dakilerden
hangisidir?
1
1
1
X
1 X ( 1)n (x 1)n
1 X (x 1)n
( 1)n (x 1)n
A)
B)
C)
e n=0
n!
e n=0
n!
n!
n=0
D)
1
X
(x
n=0
1)n
n!
E) e
1
X
(x
n=0
14
1)n
n!
Çözüm : Bir f (x) fonksiyonunun x = a noktas¬ndaki Taylor aç¬l¬m¬,
f (x) = f (a) +
f 0 (a)
(x
1!
a) +
f 00 (a)
(x
2!
biçimindedir. Buna göre, f (1) = e 1 ; f 0 (1) =
dan,
e
x
=e
1
+
e 1
(x
1!
e 1
1) +
(x
2!
f 000 (a)
(x
3!
a)2 +
a)3 +
e 1 ; f 00 (1) = e 1 ; f 000 (1) =
e 1
(x
3!
2
1) +
3
1) +
e 1 ; ::: oldu¼
gun-
1 ( 1)n (x
1 P
=
e n=0
n!
1)n
elde edilir. Yan¬t A.
Herhangi bir
e¼
grisinin,
(a) ve (b) noktalar¬ aras¬ndaki yay uzunlu¼
gu
Zb
s = k 0 (u)k du ile bulunabilir. Buna göre, (t) = (cos t) i+(sin t) j+(2t) k e¼
grisinin
40.
a
(0) ve (2) noktalar¬aras¬ndaki uzunlu¼
gu kaçt¬r?
p
p
p
p
p
A) 11
B) 5
C) 5 2
D) 2 10
E) 2 5
p
p
Çözüm : 0 (t) = ( sin t; cos t; 2) ve k 0 (t)k = sin2 t + cos2 t + 4 = 5 oldu¼gundan,
s=
Z2
0
k
0
(t)k dt =
Z2
p
0
bulunur.
15
5dt =
p
5t
2
0
p
=2 5
ÇIKARILAN SORULAR
p
p
i=
1; ; 0;3 (devirli) ve 2 say¬lar¬için aşa¼
g¬dakilerden hangileri do¼
grudur?
I- Dördü de cebirsel say¬d¬r.
transandant (aşk¬n) ve 2;3; i ve
II-
p
2 cebirsel say¬d¬r.
III- Sadece
IV-
irrasyonel say¬d¬r.
p
; 0;3 ve 2 irrasyonel say¬d¬r.
A) Yaln¬z II
(Z12 ;
;
A) 5
B) I, III
C) II, III
D) Yaln¬z IV
) halkas¬n¬n s¬f¬r bölenlerinin say¬s¬kaçt¬r?
B) 6
C) 7
D) 8
16
E) 4
E) II, IV