oran − orantı

MATEMATİK’ĐM
YILLAR
2002
ÖSS-YGS
1
2003
-
2004
-
2005
-
2006
-
Oran: En az biri sıfırdan farklı aynı cinsten
iki çokluğun bölümüne oran denir. Oran
birimsizdir.
Orantı : iki ve daha fazla oranın eşitliğine
orantı denir.
3)
a c
b d
= ⇔ =
b d
a c
4)
a c
a±b c±d
=
= ⇒
b d
b
d
⇒
ÖRNEK( 1) ax = by = cz = 8 ve
d c
=
b a
a
c
=
b±a d ±c
a
c
=
b d
ÇÖZÜM:
Önce a,b ve c yi ayrı ayrı bulalım
ax = by = cz = 8
a=
6) m≠0
by = 8
by
ax 8
=
x
x
a c
na ± mc
=k
= =k ⇒
b d
nb ± md
8
x
şimdi bu değerleri
m∈ R ,
8)
a c e
= = = k ⇒ a :c:e = b:d :f = k
b d f
9)
a c e
a
c
e
ise
= =
=
=
b d f
t.b t.d t.f
8
7
cz 8
=
z
z
b=
8
7
c=
8
z
1 1 1 5
+ + =
ifadesinde
a b c 4
yazalım
a c
a
c
=
⇒ ±m= ±m
b d
b
d
7)
cz = 8
=
y
ise
a c
a.m c
a:m c
= =k,
= =k ⇒
= =k
b d
b.m d
b:m d
1 1 1 5
+ + =
a b c 4
ise x + y + z=?
ax = 8
5) m≠0 ve n≠0
veya
,
a
c
a
c
=
,
=
b d
b d
MATEMATİK’ĐM
2)
a c
a b
veya
=
⇔
=
b d
c d
a
c
=
b d
kimler sadeleşmez
ORANTININ ÖZELLİKLERİ
a c
⇔ a.d = b.c
=
b d
2009
1
Kimler sadeleşir.
a c
a c
=
,
=
,
b d
b d
a c
= → orantı
b d
1)
2008
-
Not: (sadeleştirme) işlemlerimizin çoğunda
sadeleştirme olduğundan bu konumuzda
sadeleştirme tekniklerini öğrenelim. Aşağıda
kimlerin
sadeleştirilebileceği,
kimlerin
sadeleştirilemeyeceği açıklanmıştır. Dikkatle
inceleyin hata yapmayın
ORAN − ORANTI
a
→ oran
b
2007
1
Oran - Orantı
2010
2011
1
2
1 1 1 5
1 1 1 5
+ + = ⇒ + + =
8 8 8 4
a b c 4
x y z
x y z 5
⇒ + + =
8 8 8 4
x+y+z 5
⇒
=
8
4
t.a t.c t.e
yazılabilir.
=
=
b
d
f
2
1
⇒ x + y + z = 10 bulunur.
.
www.globalders.com
1
MATEMATİK’ĐM
ÖRNEK( 2) a,b,c ∈Z+ ve
Oran - Orantı
2a 7b 2c
=
=
3
8
5
2
2
a 2 + b 2 ( 5b ) + b
=
a 2 − b 2 ( 5b )2 − b 2
ise a,b,c yi sıralayınız.
13
25b + b
26 b 2 13
=
=
= olur.
25b 2 − b 2 24 b 2 12
2
ÇÖZÜM:
a,b,c
pozitif
olduğundan
12
2a 7b 2c
=
=
3
8
5
ifadesini +1’e eşitleyelim
ÖRNEK( 4) x,y,z∈
∈Z+
x y z
= = ve xy - 15z = 0 ise x + z −y =?
3 5 4
2a 7b 2c
=
=
= 1 şimdi a,b ve c yi ayrı ayrı
3
8
5
bulalım
2a 7b 2c
=
=
=1
3
8
5
3 21
8 16
5 35
=
, b= =
, c= =
2 14
7 14
2 14
(7)
(2)
(7)
paydaları eşit rasyonel sayılardan payı büyük
olan daha büyüktür.
a=
ÇÖZÜM:
Oran orantının bu tip sorularında genelde
uyguladığımız yöntem orantıyı bir k
değişkenine(orantı sabiti) eşitlemektir.
x y z
= = =k buradan
3 5 4
MATEMATİK’ĐM
2a
7b
2c
=1
=1
=1
3
8
5
7b 8
2c 5
2a 3
=
=
=
2
7
2
2
7
2
şimdi bulunan rasyonel değerleri sıralayalım
O halde cevap c>a>b olur.
x = 3k , y = 5k , z = 4k bulunur.şimdi
bu değerleri denklemde yerine yazalım
xy-15z = 0 ⇒ ( 3k )( 5k ) − 15 ( 4k ) = 0
⇒ 15k 2 − 60k = 0
⇒ 15k(k − 4) = 0
15k = 0 k = 0
BİR DE SİZ ÇÖZÜN:
ifadeyi +1 yerine +14 seçseydik işimiz daha
kolay olurdu. Siz bu soruyu bir de 14’e
eşitleyip
çözün(sadeleştirme
yapmayı
unutmayın yoksa iş daha da zorlaşır)
ÖRNEK( 3)
2
ve
k-4 = 0 k = 4
x,y,z∈Z+ olduğundan k ≠0 dır bu yüzden k =
4 alınır.
Bu aşamadan sonra
1. yol
k=4 için x = 3k = 3.4 = 12
y = 5k = 5.4 = 20
z = 4k = 4.4 = 16
a+b 3
a 2 + b2
ise 2
=?
=
a−b 2
a − b2
x + z −y =12+16-20 = 28-20 = 8 olur.
ÇÖZÜM:
2.yol
x + z −y =3k+4k-5k = 7k-5k = 2k = 2.4 = 8
olur.
Önce a ile b arasındaki bağıntıyı bulalım
a+b 3
= ⇒ 2a + 2b = 3a − 3b
a−b 2
⇒ 2b + 3b = 3a − 2a
⇒ 5b = a
a=5b olduğuna göre a yerine 5b azılabilir
ÖRNEK( 5)
1
1
1
13
ve a + b + c =
=
=
3a 4b 2c
6
ise c−a = ?
.
www.globalders.com
2
MATEMATİK’ĐM
Oran - Orantı
ÇÖZÜM:
Önce verilen orantıyı ters çevirip k’ya
eşitleyelim
1
1
1
=
=
⇒ 3a = 4b = 2c = k
3a 4b 2c
ÖRNEK( 7)
x + y x − y x. y
=
ise x+y=?
=
7
3
30
ÇÖZÜM:
Orantıyı k’ya eşitleyelim
4b k
2c k
=
=
4
2
4
2
k
k
b=
c=
4
2
bu eğerleri denklemde yazıp
k k k 13
+ + =
3 4 2 6
(4) (3) (6) (2)
4k 3k 6k 26
⇒
+
+
=
12 12 12 12
4k + 3k + 6k 26
⇒
=
12
12
x + y x − y x.y
=
=
=k
ayrı ayrı k’ya
7
3
30
eşitleyelim
x+y
x−y
x.y
=k ,
=k ,
=k
7
3
30
x + y = 7k
x − y = 3k
x.y = 30k
⇒
2
13 k 26
⇒
=
13
13
⇒k=2
x+y = 7k
+ x-y = 3k
2x = 10k x = 5k ve y = 2k
MATEMATİK’ĐM
3a k
=
3
3
k
a=
3
şimdi verilen
k’yı bulalım
13
a+b+c =
6
NOT: a,b,c sayıları sırasıyla 2,3,4 ile
(doğru)orantılı ise a = 2k , b = 3k , c = 4k
k
k
k
Ters orantılı ise a = , b = , c = alınır.
2
3
4
(k,orantı sabiti)
k k 3k − 2k k 2 1
c−a = − =
= = =
2 3
6
6 6 3 olur.
(3) (2)
ÖRNEK( 6)
a b
A) =
x y
D)
a 2 16
=
9
b2
a x 4
= = ise A.H.Yanlıştır?
b y 3
B) bx=ay
E)
x.y = 30k olduğundan
5k.2 k = 30 k
x+y = 7k = 7.3 = 21
10k = 30
k =3
bulunur.
ÖRNEK( 8) Üç küpün ayrıtları 2,3,4
x− y 1
C)
=
y
3
sayılarıyla orantılıdır. Alanları toplamı 696 cm2
ise en küçük küpün alanı kaç cm2 dir?
x+2 6
=
y+2 5
ÇÖZÜM:
Küplerin ayrıtları a,b,c olsun. Orantı
konusunda orantı çeşidi belirtilmediği
müddetçe doğru orantı kabul edileceğinden
a = 2k , b = 3k , c = 4k alınırsa
(küpün bir ayrıtı x olmak üzere alanı 6x²’dir)
ÇÖZÜM:
A,B ve C şıkları zaten özelliklerde var.
D şıkkı
a 4
a 2 42 16
Her iki tarafın karesi alınırsa
=

→ 2 = 2=
b 3
b
3
9
doğru
geriye E şıkı kalıyor ki oran orantıda böyle bir
özellik de işlem de yok
o yüzden yanlış olan E şıkkıdır.
1. küpün alanı = 6(2k)² = 6.4k² = 24k²
2. küpün alanı = 6(3k)² = 6.9k² = 54k²
3. küpün alanı = 6(4k)² = 6.16k² = 96k²
+
174k²
.
www.globalders.com
3
MATEMATİK’ĐM
174 k²
696
=
⇒ k 2 = 4 ⇒ k = m2
174
174
alan negatif olamayacağından k=2 alınır.
1.küp en küçük küptür ve alanı
24k²=24.2²=24.4=96 bulunur.
ÖRNEK( 9)
Oran - Orantı
ÖRNEK( 11) Ali’nin yaşının Bekir’in yaşına
oranı 3/5, Bekir’in yaşının Leyla’nın yaşına oranı
25/6 ise Ali’nin yaşının Leyla’nın yaşına oranı
nedir?
ÇÖZÜM:
x+ y−z x−z y+z
=
=
ise
7
3
6
Ali
3
=
Bekir 5
x:y:z = ?
ÇÖZÜM:
,
Bekir 25
Ali
=
⇒
=?
Leyla 6
Leyla
istenmeyen Bekir olduğundan Bekir’i yok
edecek bir işlem yapmalıyız. Bu da yan yana
çarpmakla olur.
orantı yine k’ya eşitlenirse:
x+ y−z x−z y+z
=
=
=k
7
3
6
5
Ali Bekir
3 25
Ali
5
.
=
⇒
= olur.
Leyla 2
Bekir Leyla
5 6
x+y-z = 7k , x-z = 3k , y+z = 6k
3k
y+z = 6k 4k+z = 6k z = 2k
x-z = 3k x-2k = 3k x = 5k
o halde x:y:z = 5:4:2 bulunur.
MATEMATİK’ĐM
x
− z + y = 7k y=4k
{
2
ÖRNEK( 12) x:y:z=7:9:12
y−x z−x
:
=?
y
z
ise
ÇÖZÜM:
ÖRNEK( 10) x,y,z sayıları sırasıyla 1,2,3 ile
orantılıdır. x2+y2+z2 = 350 ise (x−4y+3z)
ifadesinin pozitif değeri nedir.
x y z
= = =k
7 9 12
, z = 12k olur. buradan
x : y : z = 7 : 9 :12 ⇒
x = 7k , y = 9k
ÇÖZÜM:
y − x z − x 9k − 7k 12k − 7k
:
=
:
y
z
9k
12k
x,y,z sayıları sırasıyla 1,2,3 ile orantılı ise
x = k , y = 2k , z = 3k alınırsa
=
x2+y2+z2 = 350
(k)²+(2k)²+(3k)²=350
k²+4k²+9k² = 350
14 k²
350
=
14
14
k² = 25
k = m5
2k 5k
:
9 k 12 k
4
2 12
= .
9 5
3
8
=
bulunur.
15
a c e
= = orantısında
b d f
a.c.e
c
= 64 ise
=?
b.d . f
d
x−5y+3z = k-4.(2k)+3(3k)=k-8k+9k = 2k
bulunur. sonucun pozitif olması istendiğinden
k = 5 alınır.
2k = 2.5 = 10 olur.
ÖRNEK( 13)
.
www.globalders.com
4
MATEMATİK’ĐM
Oran - Orantı
ÇÖZÜM:
ÖRNEK( 16) 924 gramlık karışımdaki madde
miktarları A,B,C dir.
a c e
a
c
e
= = =k ⇒ =k , =k , =k
b d f
b
d
f
a.c.e
a c e
= 64 ⇒ . . = 64 ⇒ k.k.k = 64
b.d.f
b d f
A 3 B 4
= ,
=
ise A = ?
B 5 C 9
⇒ k 3 = 63 ⇒ 3 k 3 = 3 63 ⇒ k = 4
c
o halde = k = 4 bulunur.
d
ÖRNEK( 14)
ÇÖZÜM:
Bu tür sorular oran orantının klasik
sorularındandır. İlk yapılacak şey ortak olan
değişkenin karşıları payda eşitlenir gibi
eşitlenir.
Ortak olan B olduğundan, B’lerin karşısı
eşitlenir.
a − 2b
a+b
= k ise
=?
b
a - 2b
(k cinsinden)
A 3.4
B 4.5
A 12
B 20
=
,
=
⇒ =
,
=
B 5.4
C 9.5
B 20
C 45
a − 2b a 2b a
a
= −
= −2= k ⇒ = k+2
b
b b b
b
⇒ a = b(k + 2)
a’nın b cinsinden bulduğumuz bu değerini
soruda yazalım
a + b b(k + 2) + b b (k + 2 + 1) k + 3
=
=
=
k
a-2b b(k+2)-2b
b (k + 2 − 2)
elde edilir.
ÖRNEK( 15)
MATEMATİK’ĐM
ÇÖZÜM:
orantı sabiti devreye girsin..
⇒ A=12k , B=20k , C=45k
A+B+C=12k+20k+45k=924
12
77 k
924
=
77
77
k = 12
sıra A’yı bulmada
A= 12k = 12.12 = 144 bulunur.
x+3 a−b
a
=
⇒ =?
x−3 a+b
b
ORANTI ÇEŞİTLERİ
ÇÖZÜM:
İçler dışlar çarpımı yapmakla başlayalım
x +3 a −b
=
x −3 a + b
ax + 3a + bx + 3b = ax − 3a − bx + 3b
3a + 3a = −bx − bx
6a = −2bx
a −2x − x
=
=
bulunur.
b
6
3
1) DOĞRU ORANTI:
Bir çokluk
artarken diğeri
de artıyor, yada
biri azalırken
diğeri
de
azalıyorsa bu
iki
çokluk
doğru orantıdır
denir.(burada k ya orantı sabiti denir.)
.
www.globalders.com
5
MATEMATİK’ĐM
Oran - Orantı
ÖRNEK( 17) x+3 ile y−1 doğru orantılıdır. x=2
iken y=3 ise x=7 iken y=?
2) TERS ORANTI:
Bir
çokluk
artarken diğeri
azalıyor yada
biri azalırken
diğeri artıyorsa
bu
çokluklar
ters
orantıdır
ÇÖZÜM:
Önce orantımızı kuralım
x +3
= k şimdi de ilk değerleri yazıp k’yı
y −1
bulalım
denir.
(burada k ya orantı sabiti denir.)
x +3
2+3
5
=k ⇒
= k ⇒k =
y −1
3 −1
2
son olarak x’i yerine yazıp y’yi bulalım
ÖRNEK( 19)
⇒ 5y = 25
⇒ y=5
bulunur.
MATEMATİK’ĐM
x +3 5
7+3 5
= ⇒
=
y −1 2
y −1 2
⇒ 5y − 5 = 20
ÇÖZÜM:
ÖRNEK( 18) Bir üçgenin iç açıları 3,4 ve 5
ile doğru orantılıdır. en büyük dış açı kaç
olur?
Grafik ters orantıya işaret ediyor. Grafik
üstündeki noktalar grafiğin denklemini
sağlayacağından;
ÇÖZÜM:
Grafik üstündeki noktalar
x = 4 iken y = 2 ve x = m iken y = 16 dır.
k
y = 3 denkleminde önce bilinen x ve y
x
değerleri yerine yazılır ve k bulunur.
önce x = 4 ve y = 2 değerlerini yazalım
k
y = 3 ⇒ k = y.x 3 = 2.43 = 2.64 = 128
x
son olarak
x=m ve y=16 değerlerini kullanalım
Bir üçgenin iç açıları 180 derecedir. Verilen
üçgen açılarını k orantı sabitiyle ifade edelim
Açılar : 3k,4k,5k
Bir üçgenini iç açılar toplamı 180 derece
olduğundan
3k + 4k + 5k = 12k = 180
k = 15
en büyük dış açı en küçük iç açıda
olduğundan
küçük açı 3k=3.15=45 ve bu açının dış açısı
180-45 = 135 tir.
8
128 16 .m3
k = y.x ⇒
=
16
16
3
⇒ 3 m3 = 3 8
⇒ m = 2 bulunur.
.
www.globalders.com
6
MATEMATİK’ĐM
ÖRNEK( 20) x+1 ile 2y−3 ters orantılıdır. x=3
Oran - Orantı
a=5 , b=3 ve c=7 için
a(c − 1)
5(7 − 1)
30
=k⇒
=k⇒
=k⇒k =5
(b + 3)
(3 + 3)
6
şimdi de a yı bulalım
b=8 ve c=12 ise
a(c − 1)
a(12 − 1)
11a
=5⇒
=5⇒
=5
(b + 3)
(8 + 3)
11
a = 5 olur.
iken y=4 ise y=2 iken x=?
ÇÖZÜM:
Yine önce orantıyı yazalım
(x+1)(2y-3)=k
yine önce bilinen değerlerle başlayalım
x=3 için y=4 yazalım
(x+1)(2y-3)=k (3+1)(2.4-3)=k
k=4.5=20
son olarak
y = 2 için x’i bulalım
(x+1)(2y-3)=20 (x+1)(2.2-3)=20
x+1 = 20
x = 19 bulunur.
4) BİLEŞİK ORANTI:
İçinde ikiden fazla oran bulunan
orantılara bileşik orantı denir.
ÇÖZÜM:
Orantı çeşidini belirlemek bu sorularda çok
önemli bu soruda işçi sayısı arttıkça işin bitme
süresi azaldığından ters orantı vardır.
3 işçi
10günde
5 işçi
x günde
Ters Orantı
MATEMATİK’ĐM
ÖRNEK( 21) 3 işçi bir işi 10 günde yaparsa 5
işçi aynı işi kaç günde yapar?
5x = 30 x = 6 günde yapar
3) KARIŞIK ORANTI
a sayısı b ile doğru, c ile ters orantılı ise
a
.c = k yazılır.(k, orantı sabiti)
b
ÖRNEK( 22) a sayısı b+3 ile doğru, c−1 ile
ters orantılıdır. a=5 ve b=3 iken c=7 ise b=8
ve c=12 iken a kaçtır?
ÇÖZÜM:
Orantıyı kuralım
a(c − 1)
=k
(b + 3)
ilk işimiz k’yı bulmak
Çözüm yolları
1) Orantıda iş belli ise
İş1 Diğerleri1
=
İş 2 Diğerleri 2
2) İş belli değilse orantıların çeşidine karar
vermeli daha sonrada kim neyle çarpılacak
onu belirlemeli
Belirleyici diye yazdığımız sütun ile önce
1.sütunu kapatıp ikinci sütunun orantısına
karar veririz. Aynı işlemi diğer sütun için de
yaparız. Yani 2.sütun kapatılıp 1.sütunun
orantısına karar verilir
Orantılara karar verdikten sonra yine 1.sütun
kapatılıp 2.sütun ile belirleyici sütun
arasındaki çarpım çizgilerine karar verilir
aynısı diğer sütun için de yapılır.
Çizgiyi çizmeye binmeyenden başlanır.
Çizilenler kendi arasında , çizilmeyenler
kendi arasında çarpılır.
Aşağıdaki örnekleri inceleyin
1. örnek
I.sütun
a
d
Doğru Or.
2.sütun
b
e
Doğru Or.
3.sütun
c
x
(belirleyici)
I.sütun
a
d
Doğru Or.
2.sütun
b
e
Doğru Or.
3.sütun
c
x
(belirleyici)
Şimdi ikisini bağlayacağız
önce b ile sonra a ile çarpılması gerektiğinden
çizgimiz önce b’ye oradan da a’ya gitmeli
.
www.globalders.com
7
MATEMATİK’ĐM
Oran - Orantı
ÇÖZÜM:
I.sütun
a
d
Doğru Or.
2.sütun
b
e
Doğru Or.
3.sütun
c
x
(belirleyici)
K işçi
H işçi
1 işi
1 işi
12 sa
10 sa
20 günde
10 günde
İş1 Diğerleri1
1 k.12.20
=
⇒ =
İş 2 Diğerleri 2
1 h.10.10
İşlemimiz : a.b.x = d.e.c
2.örnek
yukarıdaki yolları izlediğimizde
12k
5
h bir tamsayı olduğundan k’nın 5 ile
bölünmesi yani 5’in katı olması gerek.
Şıkların içinde bir tek B şıkkı 5 ile tam
bölünür.
Cevap B şıkkıdır.
h=
I.sütun
a
d
Ters Or.
2.sütun
b
e
Doğru Or.
3.sütun
c
x
(belirleyici)
(1.sütundaki d ile x’in çarpılması için x’in ilk
çarpıldığı b’den sonra d ile çarpılması gerekir.
5) DÖRDÜNCÜ ORANTILI:
İşlemimiz : d.b.x = a.e.c
ÖRNEK( 23) Eş güçte 8 işçi 30 metre kanalı 15
günde tamir ediyor. Buna göre aynı nitelikteki 12
işçi 45 metre kanalı kaç günde tamir eder?
ÖRNEK( 24)
ÇÖZÜM:
8 işçi
30 m
12 işçi
45 m
MATEMATİK’ĐM
a c
=
orantısında elde edilen x’e
b x
dördüncü orantılı denir.
15 günde
x günde
2
4 8
=
⇒ x = 6 bulunur
3
x
ÖRNEK( 27) 3 kadın 8 günde 6 halı dokursa , 4
kadın 15 günde kaç halı dokur
ÇÖZÜM:
3 kadın
4 kadın
8 günde 6 halı
15 günde x halı
yapılan iş halı dokuma olduğundan
İş1 Diğerleri1
6 3.8
=
⇒ =
sadeleştirmeler
İş 2 Diğerleri 2
x 4.15
yapıldığında x = 15 bulunur.
20 günde bitirilebilen bir iş, işçi sayısı arttırılarak
ve günde 10 saat çalışılarak 10 günde bitiriliyor.
Buna göre k aşağıdakilerden hangisi olabilir?
C) 9
ÇÖZÜM:
Kural uygulanırsa
ÖRNEKLER
ÖRNEK( 25) k tane işçinin 12 saat çalışmasıyla
B) 10
orantılısı kaçtır?
1
yapılan iş belli olduğundan orantı çeşitlerini
bulmaya dahi gerek yoktur. Direk çözüme
geçeriz.
İş1 Diğerleri1
30 8.15
=
⇒
=
İş 2 Diğerleri 2
45 12.x
(artık sadeleştirmeyi öğrendiğinize göre siz
sadeleştirmeye başlayın biz cevabı yazalım ☺
)
Cevap x =15 bulunur.
A) 11
ÖRNEK( 26) 4,3 ve 8 sayılarının dördüncü
D) 8
E) 7
(ÖSYS−2000)
.
www.globalders.com
8
MATEMATİK’ĐM
Oran - Orantı
3x + 2z
3x + 2z
= 0, 2 ⇒
= 0, 2
6y + 16
2(3y + 8)
ÖRNEK( 28) 8 traktör 10 dönüm tarlayı günde
5 saat çalışarak 6 günde sürüyor. 7 traktör 21
dönüm tarlayı günde 8 saat çalışarak kaç günde
sürer?
3x + 2z
4
= 2. ( 0, 2 ) = 0, 4 =
3y + 8
10
3x + 2z 2
⇒
= şimdi oldu
3y + 8
5
x, 3 ile çarpılmış, y’de 3 ile çarpılmış
z, 2 ile çarpılmış t’de 2 ile çarpılmalı ki orantı
sabiti bozulmasın. Yani şöyle olmalı
⇒
ÇÖZÜM:
8 traktör
7 traktör
10 dön.tar.
21 dön.tar.
5 sa
8 sa
6 günde
x günde
yapılan iş tarla sürme işi olduğundan
İş1 Diğerleri1
10 8.5.6
=
⇒
=
İş 2 Diğerleri 2
21 7.8.x
sadeleştirmeleri yaparsak x = 9 buluruz.
3x + 2z 2
3x + 2z 2
= ⇒
=
3y + 8
5
3y + 2t
5
bakın 8 yerine 2t gelmeliydi...eşitleyelim.
2t = 8
t = 4 bulunur.
ÖRNEK( 29) Üç kişi bir miktar cevizi kendi
ÇÖZÜM:
Sadece ‘orantılıdır’ diyorsa bu doğru orantı
demektir.
Kişiler a,b,c olsun
a = 3k , b = 4k , c = 8k
en çok ceviz alan c olduğundan
c = 8k = 56 k = 7 olur.
En az ceviz alan da a olduğundan
a = 3k = 3.7 = 21 ceviz almıştır
ÖRNEK( 30)
ÖRNEK( 31) 12,18 ve 20 yaşlarındaki üç
MATEMATİK’ĐM
aralarında 3,4 ve 8 sayılarıyla orantılı olacak
biçimde paylaşıyorlar. En çok ceviz alan kişi 56
ceviz aldığına göre en az ceviz alan kaç ceviz
almıştır?
kardeşe bir miktar para yaşları ile ters orantılı
olarak paylaştırılacaktır. En küçük ile en büyük
kardeşin aldıkları paraların toplamı 12 000 ise
ortancanın aldığı para kaç liradır?
ÇÖZÜM:
Orantı sabitimiz her zamanki gibi k olsun
Kardeşler
k
Küçük :
12
k
Ortanca :
18
Büyük :
x z 2
3x + 2 z
= 0,2
= =
⇒
y t 5
6 y + 16
ise t=?
Ortanca :
ÇÖZÜM:
a c
na ± mc
= =k ⇒
=k
b d
nb ± md
özeliğini kullanacağız. Yalnız ufak bir
sorunumuz var oda paydadaki katsayılar paya
uymuyor.. uyduracağız
Bu
k
20
k
k
12 + 20 =12000
(5) (3)
1500
8k
= 12000
60
k = 60.1500 = 90000
k 90000
=
= 5000 bulunur.
18
18
soruda
ÖRNEK( 32) 8,10,15 yaşlarındaki üç kardeşe
yaşları ile orantılı olarak harçlık veren bir baba 99
milyon para dağıtıyorsa ortanca kardeş kaç lira
alır?
.
www.globalders.com
9
MATEMATİK’ĐM
ÇÖZÜM:
Oran - Orantı
a+b+c a−c b+c
ÖRNEK( 34)
=
=
ise
8
4
3
Küçük : 8k
Ortanca : 10k
+ Büyük : 15k
kardeşler : 33k 33k = 99 k = 3
a:b:c=?
ÇÖZÜM:
a +b+c a −c b+c
=
=
=k
8
4
3
Ortanca : 10k = 10.3 = 30 almıştır.
a+b+c = 8k
b+c = 3k
a-c = 4k
şimdi denklemleri kullanarak a,b,c’leri k
cinsinden bulalım
ÖRNEK( 33) a, b, c ∈ Z+ olmak üzere;
2
3
1
=
=
ise a+b+c aşağıdakilerden
3a 5b 2c
hangisi olabilir?
A) 25
B) 38
C) 45
D) 63
E) 106
a + b{
+ c = 8k a=5k
3k
ÇÖZÜM:
kullanalım.
Orantıyı
ters
2
3
1
3a 5b 2c
=
=
⇒
=
=
=k
3a 5b 2c
2
3
1
3a
2k
=k⇒a=
a,b,c birer tamsayı iseler
2
3
5b
3k
=k⇒b=
paydada 3,5,2 kalmamalı
3
5
2c
k
=k⇒c=
yani k; 3,5,2 ile
1
2
bölünmeli
(k sayısı 3,5,2’nin bir katıdır.)
o halde Okek(3,5,2)=30 olduğundan k=30
seçilir(bu tutmazsa sırayla 30,60,90 .. deneriz)
2k 2.30
=
= 20
3
3
3k 3.30
b=
=
= 18
5
5
k 30
c= =
= 15
2 2
MATEMATİK’ĐM
(özelliklerimizi
çevir)
a-c = 4k 5k-c = 4k c = k
b+c = 3k b+k=3k b = 2k
o halde a:b:c=5:2:1 bulunur.
a=
20+18+15=53
tutmadı..e o zaman 60’ı deneyelim .k, iki
katına çıktığında(yani 60 olduğunda) toplam
da iki katına çıkar yani 53.2=106 olur ki bu
da E şıkkını işaret eder.
ÖRNEK( 35) x,y,z ∈R− olmak üzere;
1
2
4
=
=
ise x,y,z’nin sıralanışı?
4 x 5 y 3z
ÇÖZÜM:
x,y,z negatif olduğu için orantıyı -1’e
eşitleyip x,y,z’yi çekelim
1
2
4
=
=
= −1
4x 5y 3z
1
1
= −1 ⇒ x = −
4x
4
2
2
= −1 ⇒ y = −
5y
5
4
4
= −1 ⇒ z = −
3z
3
kesirleri sıralamak için paylarını eşitleyelim
1
2
4
x=−
, y=−
, z=−
4
5
3
(4)
(2)
(1)
4
4
4
x=−
, y=−
, z=−
16
10
3
Bu kesirler pozitif olsaydılar paydası küçük
olan daha büyük olurdu z>y>x
Ancak bu kesirler negatif olduklarından
z<y<x olur.
.
www.globalders.com
10
MATEMATİK’ĐM
Oran - Orantı
KURAL;
3) HARMONİK ORTA
D , Doğru orantı
göstersin
x
x
x
x
ile
ile
ile
ile
y
y
y
y
D
T
D
T
,
,
,
,
--- T, Ters orantı ‘yı
y ile z D ⇒ x ile z
y ile z T ⇒ x ile z
y ile z T ⇒ x ile z
y ile z D ⇒ x ile z
n tane sayının harmonik ortası;
H .O =
D
D
T
T
n
1
1
1
+ ........ +
+
x1 x 2
xn
Ö.O.2 S .H .O =
ilişkisi vardır.
ÖRNEK( 36)
a
b
= 9 , = 4 , c.d = 12 , d .e = 8
b
c
2.a.b
a+b
NOT: (G.O )2 = (A.O )(H.O )
olduğuna göre A.H.Doğrudur?
a ile d doğru orantılıdır
a ile e ters orantılıdır.
c ile e ters orantılıdır.
b ile e doğru orantılıdır.
b ile d doğru orantılıdır.
ÇÖZÜM:
B ile c doğru , c ile d ters b ile d ters
B ile d ters , d ile e ters b ile e doğru
ÖRNEK( 37) x,y∈R olmak üzere ;
MATEMATİK’ĐM
A)
B)
C)
D)
E)
NOT: iki sayının herhangi iki ortalaması eşit
ise bu iki sayı da eşittir.
O halde cevap D şıkkıdır.
2
+ y 2 + 25
)
ile
( 6x-10y-9 )
sayılarının
aritmetik ortası geometrik ortasına eşitse
x+y=?
ÇÖZÜM:
x²+y²+25 = 6x-10y-9
x²4
−24
6x +39 + y² + 10y + 25 = 0
1
14
4244
3
ORTALAMA ÇEŞİTLERİ
(x-3)² + (y+5)² = 0
iki sayının kareleri toplamı sıfır ise bu sayılar
ya zıt işaretli veya ikisi de sıfır olmalı.
birinden biri negatif olamayacağına göre (çift
kuvvet ) ikisi de sıfırdır.
x-3 = 0 x = 3 , y+5 = 0 y = -5
o halde x+y = 3-5 = -2 olur.
1) ARİTMETİK ORTA
n tane sayının aritmetik ortası;
x + x 2 + .... + x n
A.O = 1
n
Ö.O.2S.A.O=
(x
a+b
2
NOT: iki sayının aritmetik ortası, geometrik
ortasından daima büyük veya eşittir.
İSP:
(a − b )2 ≥ 0 ⇒ (a − b )2 + 4ab ≥ 4ab
2) GEOMETRİK ORTA
n tane sayının geometrik ortası
⇒
G.O = x1 .x 2 ......x n
n
⇒
Ö.O.2S.G.O= a.b
(iki sayının geometrik ortalamasına özel
olarak ‘orta orantı’ denir)
⇒
(a + b )2
(a + b )2
≥ 4ab
≥ ab
4
a+b
≥ ab
2
.
www.globalders.com
11
MATEMATİK’ĐM
x2 + 5
ÖRNEK( 38)
ifadesinin en küçük
2x
Oran - Orantı
değeri kaçtır?
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
Sayılarımız m ve n olsun
m.n = a ⇒ m.n = a 2
İfadeyi iki sayının aritmetik ortası şeklinde
göstermeye çalışalım
3
x.m.n = b ⇒
(
3
x.a 2
2
Kız öğrencilerin matematik dersi not ortalaması 6,
erkek öğrencilerin matematik dersi not ortalaması
8 dir. Bu sınıfın matematik dersi not ortalaması
nedir?
MATEMATİK’ĐM
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
b+
678 }
1
3ab + 1
=3 ⇒
= 3 ⇒ 3ab + 1 = 9a
3a
3a
Kız Not Ort. =
Kız Not Top.
Kız öğr. sayısı
Kız. Not Top.
⇒ Kız. Not Top. = 108
18
Erkek Not Top.
Erkek Not Ort. =
Erkek öğr. sayısı
Erkek Not Top.
8=
⇒ Erkek Not Top. = 96
12
1
1
b2 − a2
=2 , b+
= 3 ise
=?
3b
3a
a2
1
3ab + 1
=2 ⇒
= 2 ⇒ 3ab
+ 1 = 6b
{
123
3b
3b
3
= 18 kişi
5
Erkek öğrenciler : 30 – 18 =12 kişi
6
Kız öğrenciler : 30 .
6=
sayılardır.
a+
= b3 ⇒ x.a 2 = b3
ÖRNEK( 41) 30 kişilik bir sınıfın 3/5’i kız dır.
ÖRNEK( 39) a ve b sıfırdan farklı pozitif
a+
3
b3
⇒ x = 2 dır.
a
2
x
5
x2 + 5
5
+
x+
x +5
x x
x
⇒ x ⇒
⇒
2x
2
2
2
5
şimdi elde edilen ifade x ve ’in aritmetik
x
ortasına dönüştü
5
x+
x ≥ x. 5
2
x
5
x+
x ≥ 5
2
o halde en küçük değer 5 olur.
)
Erkek Not Top + Kız Not Top
Tüm Öğr.Sayısı
96 + 108 204
=
=
= 6,8 bulunur.
30
30
Sınıf Not Ort. =
9a = 6b 3a = 2b
bu eşitliği sağlaması için a=2 ve b=3 seçilirse
ÖRNEK( 42) 3 ve 7 yaşlarında iki kardeş bir
b 2 − a 2 32 − 22 9 − 4 5
=
=
=
bulunur
a2
22
4
4
.
miktar parayı küçüğü yaşı ile doğru, büyüğü yaşı
ile ters orantılı olarak bölüşüyorlar. Payları oranı
kaçtır?
ÖRNEK( 40) İki sayının geometrik ortası a, x
ile bu iki sayının geometrik ortası b ise x nedir?
ÇÖZÜM:
.
www.globalders.com
12
MATEMATİK’ĐM
Oran - Orantı
Orantı sabitimiz k olsun
Küçük = 3k
Payları oranı :
,
Büyük =
k
7
3k 3 k. 7
=
= 21 bulunur.
k
k
7
ÖRNEK( 43) 15 kişinin yaş ortalaması 22 dir.
Üç sene sonra kaç olur?
ÇÖZÜM:
Üç sene sonra herkes 3 yaş büyüyeceğinden
ortalama 3 yaş artar 22+3= 25 olur.
YAZAN
İBRAHİM HALİL BABAOĞLU
Matematik Öğretmeni
www.globalders.com
e-mail:
[email protected]
.
www.globalders.com
13