olasılık

OLASILIK
• Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile
alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru
olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır.
• Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi seçilen
örneklerin şansa bağlı olarak farklılıklar göstermesi ve
bunun sonucunda her deneyde farklı sonuçlarla
karşılaşılmasıdır.
• Olasılık, herhangi bir deneyin sonucunda
gözlenebilecek farklı durumlar ile hangi sıklıkla
karşılaşılacağı bir başka ifadeyle ortaya çıkan
olayların belirsizliğinin incelenmesi anlamına gelir.
1
• Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana
gelme şansının sayısal ifadesidir.
Örnekler:
• Madeni paranın atılması sonucu tura gelme
olasılığı,
• Bir deste iskambil kağıdından çekilen 2 kağıdın en
az birinin papaz olma olasılığı,
• Bir kutuda bulunan 5 sarı 6 yeşil bilye içerisinden
çekilen iki bilyenin de sarı olma olasılığı.
2
Temel Tanımlar ve Kavramlar-I
•Deney: Sonucu kesin olarak kestirilemeyen
bir tek çıktı (şans değişkeni) oluşturan bir
eylem, gözlem ya da süreçtir.
• Sonuç: deney gerçekleştiğinde ortaya çıkan
gözlemlere deneyin sonucu adı verilir.
• Örneklem Uzayı: Bir deneyin sonucunda
elde edilen tüm mümkün basit olaylarının
oluşturduğu kümedir. Genellikle S ile
tanımlanır.
3
Örnekler
DENEY
SONUÇ
ÖRENEKLEM
UZAYI
Paranın atılması
Yazı,tura
S={Yazı,Tura}
Zarın atılması
1,2,3,4,5,6
S={1,2,3,4,5,6}
Bir memurun bir
haftada işe geç
kaldığı gün sayısı
Kan grupları
1,2,3,4,5
S={1,2,3,4,5}
0, AB, A, B
S={ 0, AB, A, B}
4
•Olay: Bir deneyin bir yada daha fazla sonucunun
bir araya gelmesi olarak ifade edilir.
• Basit Olay:
Herhangi bir deneyin nihai
sonuçlarına basit olay adı verilir. Bir basit olay
sadece bir sonuç içerir.
Örnek: bir zar atıldığında 2 gelmesi.
•Bileşik Olay: İki veya daha fazla basit olayın bir
araya gelmesi ile oluşan olaylardır.
Örnek: bir zar atıldığında çift sayı gelmesi.
5
Olasılığın İki Temel Kuralı;
1) Bir olayın olasılığı her zaman 0 ile 1
arasındadır.
2) Bir deneydeki tüm basit olayların olasılıkları
toplamı toplamı 1’e eşittir.
DİKKAT!!!!
Hiç bir olayın OLASILIĞI 1’den büyük ve
negatif bir sayı OLAMAZ!!!!
• Bir A olayın ortaya çıkma olasılığı;
P(A)
şeklinde gösterilir.
6
Olasılığa Üç Kavramsal Yaklaşım
• Klasik
Olasılık: Sonuçların ortaya çıkma
olasılıları eşit ise buna eşit olasılıklı sonuçlar denir.
Klasik olasılık kuralı, tüm sonuçları eşit olasılıklı
olan deneylerin sonuçlarına ilişkin olasılıkları
hesaplamada kullanılır.
Klasik olasılık kuralına göre bir deneydeki basit bir
olayın olasılığı 1’in tüm sonuçların sayısına
bölünmesiyle bulunur.
A bileşik olayının olasılığı ise A olayında içerilen
sonuç
sayısının
toplam
sonuç
sayısına
bölünmesiyle elde edilir.
7
Olasılığın Göreli Sıklık Kavramı
• Sonuçları eşit olasılıklı olmayan deneylerde deney
defalarca tekrar edilerek veri üretilmektedir. Böylesi
durumlarda olasılıkları hesaplamak için ya eski verilerden
yaralanılmakta ya da deney çok kez tekrarlanarak yeni veri
türetilmektedir. Bu verilerden yaralanarak bir olaya ilişkin
(yaklaşık)
olasılık değeri için göreli sıklıklardan
yaralanılmaktadır. Bu yönteme olasılığın göreli sıklık
kavramı adı verilir.
•Yaklaşık olasılık için göreli sıklık:
Eğer bir deney n kez tekrarlanmış ve f kez bir A olayı
gözlenmiş ise olasılığını göreli sıklık kavramına göre
olasılık aşağıdaki gibi hesaplanır.
f
P( A) 
n
8
Örnek: Bir kapta 5 sarı, 5 lacivert ve 5 adet yeşil
bilye bulunmaktadır. Çekilen bir bilyenin sarı olma
olasılığı nedir?
A: Çekilen bir bilyenin sarı olması
n(S): Örneklem uzayı eleman sayısı = 15
n(A): Örneklem uzayındaki A elemanı sayısı = 5
n( A) 5 1
P( A) 
 
n( S ) 15 3
• Büyük Sayılar Yasası: Bir deney çok (sonsuz)
kez tekrarlanırsa, bir olayın göreli sıklıkları kuramsal
olasılığa yaklaşır.
9
ÖZNEL OLASILIK KAVRAMI
• Olasılığın matematiksel teorisini tanımlar.
• Bu teorinin oluşturduğu ideal modeller yaşadığımız
dünyanın problemlerini çözmede kullanılır.
• Olasılığın iki genel tipinin sahip olduğu önemli ortak
nokta: Her ikisinin de, benzer koşullarda (teorik olarak
aynı koşullarda) uygulanan deneylere gereksinim
duymasıdır.
•Benzer koşullarda tekrarlı olarak uygulanamayan
durumlarda olasılıkların hesaplanmasında öznel olasılık
kavramı yardımcı olur.
10
Örnekler
• İzmir ilinde Şubat ayı içinde 5 şiddetinden büyük
bir deprem meydana gelme olasılığı,
• Karşıyaka Altınyol’da 1 saatlik süre içinde en az
iki adet trafik kazası olma olasılığı,
• 70 yaşındaki birinin en az 2 yıl daha yaşaması
olasılığı,
• Nişanlı bir çiftin evlenme olasılığı.
11
Örneklem Uzayı ve Olay Sayısını
Belirleyen Sayma Yöntemleri
• Klasik olasılığın diğer bir ifade ile eşit olasılıklı olayların
geçerli olduğu durumlarda:
– Örnek uzayının eleman sayısı,
– İlgilenilen olayın eleman sayısının
belirlenmesi gereklidir.
Eğer bir deneyde, ilk aşamada m tane, ikinci aşamada
n tane ve üçüncü aşamada k tane sonuç olmak üzere
üç aşama bulunuyorsa, bu deneydeki toplam sonuç
sayısı m.n.k olarak hesaplanır.
12
k farklı sonuç veren bir deney r kez
tekrar edilirse ortaya çıkan tüm
durumların sayısı;
kr
olarak hesaplanır.
Örnek: Bir zarı 3 kez attığımızda ortaya
çıkabilecek tüm mümkün durumların sayısı sayısı;
63 = 216 adettir.
• Örneklem uzayının eleman sayısı 216’dır.
13
Bileşen(Marjinal) Olasılık
• Basit olasılık olarak da bilinen bileşen olasılık,
herhangi başka bir olay dikkate alınmaksızın,
sadece bir olaya ilişkin olasılıktır.
İSTATİSTİK DERSİ
BAŞARILI
BAŞARISIZ
BAY
85
15
BAYAN
80
20
ŞARISIZ
100
P ( BAY ) 
 0,50
200
P ( BA
35
)
 0,18
200
14
Koşullu Olasılık
A ve B gibi iki olaydan B olayının gerçekleştiği bilindiği
durumda A olayının gerçekleşmesi olasılığına A olayının
şartlı olasılığı denir .
P( A / B ) ile gösterilir. B olayı olduğunda A olayının olması
olasılığı biçiminde okunur.
ŞARILI BAY
P ( BA
/
ŞARISIZ
P ( BAYAN / BA
şarılı bay sayısı
ısı
ba
85
)

 0,85
toplam bay say
100
şarısız bayan
şarısız sayısı
sayısı
ba
20
)

 0,57
toplam ba
35
15
Ayrık Olaylar
•Aynı anda gerçekleşmesi mümkün olmayan
olaylara ayrık olaylar adı verilir.
Örnekler:
 Bir zarın atılmasında yazı veya tura gelmesi
 Bir dersten başarılı ya da başarısız olmak.
16
Ağaç Diyagramı
• Her birinin sonucunun
sonlu sayıda olduğu
birden fazla deneyin tüm
mümkün
sonuçlarını
görsel bir şekilde ortaya
koymak için kullanılır.
17
Bağımsız ve Bağımlı Olaylar
Ele alınan olaylardan birinin gözlenip gözlenmemesinin
olasılığı diğer bir olayın ortaya çıkıp çıkmama olasılığını
etkilemiyorsa bu olaylara bağımsız olaylar denir. İki olayın
bağımsız
olabilmeleri
için
aşağıdaki
koşulların
gerçekleşmesi gereklidir.
P ( A / B ) = P ( A ) ve
P(B/A)=P(B)
Yukarıdaki koşullardan herhangi biri gerçekleşmiyorsa A ve
B olaylarına bağımsız olmayan ( bağımlı olaylar ) adı verilir ;
P ( A / B ) ≠ P ( A)
ve
P ( B / A ) ≠ P ( B ) olur.
18
TAMAMLAYICI ( BÜTÜNLEYİCİ ) OLAY
•A olayının tamamlayıcısı
gösterilir.
A
olarak
P( A )  1  P(A)
Bir A olayının gerçekleşme olasılığı 0,25 ise
tamamlayıcısının gerçekleşme olasılığı
P( A )  1  P(A)=1-0,25=0,75
19
OLAYLARIN ARA KESİTİ VE ÇARPMA KURALI
A ve B gibi iki olayda hem A’da hem B’de mevcut sonuçlar iki
olayın ara kesitini oluşturur.
A ve B olaylarının ara kesiti ( kesişimi ) A ∩ B ya da AB
şeklinde gösterilir.
Çarpma Kuralı:
A ve B gibi birlikte ortaya çıkan olayların olasılığına bileşik
olasılık adı verilir ve P ( A ve B ) şeklinde gösterilir.
İki olayın ara kesitinin olasılığıi bir olayın bileşen olasılığı ile
ikinci olayın koşullu olasılığından elde edilir ve bu kurala
çarpma kuralı denir.
A ve B olayının bileşik olasılığı P (A ∩ B ) ya da P ( AB )
20
olarak da gösterilir.
Koşullu Olasılık
Eğer A ve B, P ( A ) ≠ 0 ve P ( B ) ≠ 0 olmak üzere
iki olay ise bulara ilişkin koşullu olasılıklar
aşağıdaki gibi elde edilir.
P( A  B)
P( A / B) 
P( B)
P ( B  A)
P ( B / A) 
P ( A)
21
BAĞIMSIZ OLAYLAR İÇİN ÇARPMA KURALI
•A ve B olayları bağımsız ise bir başka ifadeyle B
olayının meydana gelme olasılığı A olayının meydana
gelme olasılığına bağlı değil ise ve iki olay aynı anda
meydana gelebiliyor ise;
•P ( A / B ) = P ( A)
olur.
ve
P(B/A)=P(B)
•Sonuç olarak A ve B olayları bağımsız iseler
•P ( A ve B ) = P ( A ∩ B ) = P ( A ) . P ( B )
eşitliği elde edilir.
Aynı şekilde P ( A ∩ B ) = P ( A ) . P ( B ) ise A ve B
olayları bağımsızdır denir.
22
Ayrık Olayların Bileşik Olasılığı
İki ayrık olayın bileşik olasılığı her zaman 0 dır.
Bu durum A ve B ayrık olaylar ise
P ( A ve B ) = P ( A ∩ B ) = 0
olarak gösterilir.
23
OLAYLARIN BİLEŞİMİ VE ÇARPMA KURALI
Aynı örneklem uzayında tanımlı A ve B olaylarının bileşimi A’da ya da
B’de ya da A ve B’de birlikte yer alan tüm olaylarının bileşkesi olup A ya
da B biçiminde gösterilir.
Toplama Kuralı:
Olayların bileşimine ilişkin olasılık hesaplamada kullanılan yönteme,
toplama kuralı denir ve aşağıdaki gibi tanımlanır.
A ve B olaylarının bileşiminin olasılığı,
P (A veya B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A ve B )
biçiminde gösterilir.
Ayrık Olaylar İçin Toplama Kuralı:
P (A veya B ) = P ( A ) + P ( B )
biçiminde gösterilir.
24
Örnek: Bir üniversitede okuyan öğrencilerin % 70’i tiyatroya,
% 35 ise sinemaya ilgi duymaktadır.
a) Bir öğrencinin sinemaya ilgi duyduğu bilindiğinde tiyatroya ilgi
duyma olasılığı 0,40 ise her iki aktiviteye birden ilgi duyma
olasılığı nedir?
b) Bir öğrencinin tiyatro veya sinemaya ilgi duyma olasılığı nedir?
T:Tiyatroya ilgi duyma
S:Sinemaya ilgi duyma
P ( T ) = 0,70
P( S ) = 0,35
a) P ( T / S ) = 0,40 P (T ∩ S ) =?
P(T  S)
P(T/S) 
P(S)
P(T  S)  P(T/S) * P(S)  0,40 * 0,35  0,14
b)
P(T U S)  P(T)  P(S) - P(T  S)
 0,70  0,35 - 0,14  0,91
25
Örnek: Ali ve Can isimli iki avcının bir hedefi vurma olasılıkları
sırasıyla 0,65 ve 0,40 olarak verilmiştir. İki avcı hedefe birlikte
ateş ettiğinde hedefin vurulma olasılığı nedir?
A = Ali’nin hedefi vurması
P ( A ) = 0,65
C = Can’ın hedefi vurması
P ( C ) = 0,40
P(AUC)=?
P( A U C ) = P ( A )+ P ( C ) – P ( A ∩ C )
Ali ile Can’nın hedefi vurmaları birbirinden bağımsız
olduğundan;
P ( A ∩ C ) = P ( A ) . P ( C ) = 0,65 * 0,40 = 0,26
P( A U C ) = 0,65 + 0,40 – 0,26 = 0,79
26
1)Kusursuz bir madeni para 2 kez atılmıştır.
Birinci para yazı iken, ikinci paranın da yazı
olma olasılığı kaçtır?
a)¼ b) 1/3 c) ½ d) 2/3 e) 3/4
2) 1 den 10 a kadar (10 dahil) olan tam sayılar
arasından rastgele seçilen bir sayının 2 ve 3 ile
bölünebilen bir sayı olma olasılığı kaçtır?
a) 1/10 b) 1/5 c) 3/10 d) 1/2 e) 8/10
3) Bir işyerinde 3 erkek ve 20 kadın olmak üzere 50
kişi çalışmaktadır. Erkeklerin 1/3’ü ve kadınlarında
1/10’u gözlük takmaktadır. Rasgele seçilen birinin
gözlük takan bir erkek olma olasılığı kaçtır?
a) 1/10 b) 1/5 c) 3/10 d) 1/2 e) 8/10
27
4) Bir kutuda 5 tanesi beyaz, 10 tanesi siyah olmak
üzere 15 tane top vardır. Bu kutudan çekilen topun
yerine konulması şartıyla 3 kez top çekilmiştir.
Çekilen toplardan ikisinin beyaz olma olasılığı nedir?
a) 1/27 b) 4/27 c) 2/9 d) 4/9 e) 5/9
5) Kusursuz bir madeni paranın 3 kez atılması
deneyinde hiç yazı gelmeme olasılığı kaçtır?
a) 1/8 b) 1/4 c) 3/8 d) 5/8 e) 7/8
6) Kusursuz bir madeni para n kez atılmıştır. Buna
göre toplam sonuç sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
a) 2n b) 2n c) n2 d) 2n2 e) n2 /2
28
7) P(B) = 0,60 ve P(A/B)= 0,75 değerleri için A ve B
olaylarının bileşik olasılığı kaçtır?
a) 0,40 b) 0,45 c) 0,50 d) 0,55 e) 0,60
8) Bir işletmede 15 kadın ve 25 erkek vardır.
Uygulanan bir sınavda 5 kadın ve 15 erkek başarısız
olmuştur. Bu işletmeden seçilen bir kişinin başarısız
olduğu bilindiğine göre bu kişinin kadın olma olasılığı
kaçtır?
a) 1/2 b) 1/4 c) 1/2 d) 5/8 e) 7/8
9) Kusursuz iki madeni paranın aynı anda atılması
deneyinde bir yazı bir tura gelmesi olasılığı kaçtır?
a) 0,20 b) 0,25 c) 0,50 d) 0,75 e) 1,00
29
10) Hilesiz bir zarı ardı ardına iki kez atalım. Üste gelen
sayıların toplamının 3’ten büyük olma olasılığı nedir?
a) 25/36 b) 27/36 c) 30/36 d) 33/36 e) 35/36
11) Bir avcının arka arkaya yaptığı üç atışta hedefini
vurma olasılıkları sırasıyla 0,2, 0,7 ve 0,9 olarak
belirlenmiştir. Bu avcının en az bir hedefi vurma olasılığı
nedir?
a) 0,20 b) 0,70 c) 0,90 d) 0,976 e) 0,99
12) Bir torbada 4 siyah ve 5 beyaz bilye bulunmaktadır.
Arka arkaya iadesiz seçim yöntemiyle rastgele seçilen
iki bilyenin siyah olma olasılığı nedir?
30
a) 0,20 b) 0,25 c) 0,50 d) 0,75 e) 1,00