KOMB NATOR K TOPOLOJ

KOMBNATORK TOPOLOJ
LSANS DERS NOTLARI 2010
Prof. Dr. smet KARACA
çindekiler
1
2
SMPLEKSLER
3
1.1
Ane Uzaylar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Simpleksler Kompleksi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
HOMOTOP TEORS
18
2.1
Giri³ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2
Homotopi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.3
27
2.4
Temel Gruplar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S n 'in Temel Grubu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.5
Yüzeylerin Temel Grubu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.6
Ayn Homotopi Tipine Sahip Uzaylar . . . . . . . . . . . . . .
33
2.7
Bir Ortak Noktas Olan Çemberler Birle³iminin (Wedge Union)Temel
Grubu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.8
Cohorent Topolojisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.9
Bir Ortak Noktas Olan Sonsuz Sayda Çemberlerin Birle³imi .
39
2.10 Bir Ortak Noktas Olan
2.11 2-Hücre Eklenmesi
Sα
larn Birle³iminin n³as . . . . . .
40
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.12 Tor ve Dunce “apkasnn Temel Grubu
. . . . . . . . . . . . .
43
2.13 Yüzeylerin Temel Grubu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
2.14 Komütatör Altgrup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
2.15 Graarda Örtü Uzaylar
51
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.16 Graarda Kenar Yollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
2.17 Kenar yola kar³lk gelen Yol . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
2.18 ndirgenmi³ Kenar Yollar
2.19 Euler Says
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
2.20 Düzleme Gömülebilen Graar
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.21 Basit Kapal E§rilerin Sarmal Saylar (Winding numbers)
60
. .
63
2.22 Simpleksler Homoloji Grubu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
2.23 Simpleksler Kompleksin Euler Karakteristi§i . . . . . . . . . .
76
2.24 Homoloji ve Simpleksler Dönü³ümü . . . . . . . . . . . . . . .
79
2.25 Lefschetz Sabit Nokta Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
1
2.26 Borsuk-Ulam Teoremi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
81
Bölüm 1
SMPLEKSLER
1.1
Ane Uzaylar
Tanm 1.1.1.
oluyorsa
A'ya
Tanm 1.1.2.
x
ve
y
A
bir küme olsun.
∀x, y ∈ A, t ∈ [0, 1]
için
(1 − t)x + ty ∈ A
konveks küme denir.
A,
Euclid uzaynn bir alt kümesi olsun.
tarafndan olu³turulan do§ru
A'da
bulunuyorsa
∀ farkl x, y ∈ A için
A' ya ane alt küme
denir.
1. Ane alt kümeler konvekstir.
Not 1.1.1.
2. Bo³ küme ve tek noktal kümeler ane kümelerdir.
{Xj }j∈J , Rn e ait konveks
j∈J Xj konveks alt uzaydr.
Teorem 1.1.1.
O zaman
(ane) alt kümeler ailesi olsun.
T
spat:
x, y ∈
\
Xj
(x 6= y)
j∈J
∀j ∈ J için x, y ∈ Xj 'dir. ∀j ∈ J için Xj ler konveks altTküme oldu§undan; ∀j ∈ J için (1−t)x+ty ∈ Xj 'dir. O halde (1−t)x+ty ∈
j∈J Xj 'dir.
olsun.
X, Rn 'in bir alt kümesi olsun. X 'i içeren Rn 'e ait tüm konveks
arakesitine X 'in konveks hull'u denir.
Tanm 1.1.3.
kümelerin
Tanm 1.1.4.
• p0 , p1 , . . . , pm , Rn 'de
noktalar olsun.
p0 , . . . , p m
larnn ane kombinasyonu
x = t0 p0 + t1 p1 + · · · + tm pm ;
m
X
i=1
³eklinde tanmlanr.
3
ti = 1
nokta-
• p0 , p1 , . . . , pm noktalarnn konveks kombinasyonu an kombinasyonudur
öyleki ti ≥ 0, i = 0, . . . m'dir. Yani
m
X
t0 p0 + t1 p1 + · · · + tm pm ;
ti = 1 ve ti ≥ 0,
i = 0, . . . , m.
i=1
Örnek 1.1.1.
x, y
noktalarnn konveks kombinasyonu
(1 − t)x + ty,
t ∈ [0, 1]
formundadr.
p0 , p1 , . . . , pm , Rn 'de noktalar olsun. p0 , . . . , pm noktalar tarafn[p0 , . . . , pm ] konveks küme, p0 , . . . , pm noktalarnn konveks kom-
Teorem 1.1.2.
dan gerilen
binasyonlarn kümesidir.
spat:
S
S,
tüm konveks kombinasyonlarn kümesini göstersin.
S = [p0 , p1 , . . . , pm ] e³itli§ini göstermemiz gerekir. lk önce [p0 , p1 , . . . , pm ] ⊂
S 'nin p0 , . . . , pm noktalarn içeren kon-
oldu§unu gösterelim. Bunun için
veks küme oldu§unu göstermemiz yeterli olacaktr.
• tj = 1
ve di§eleri için
tj = 0
olsun. Bu durumda;
m
X
t0 p0 + · · · + tj pj + · · · + tm pm ;
ti = 1, ti ≥ 0, i = 0, ..., m
i=0
ve dolasyla
⇒ ∀j
için
pj ∈ S .
•
α=
m
X
ai p i ,
β=
i=0
m
X
bi p i ∈ S
(ai , bi ≥ 0;
X
ai = 1;
X
bi = 1) olsun.
i=0
(1 − t)α + tβ ∈ S
oldu§unu iddia ediyoruz.
(1 − t)α + tβ = (1 − t)
m
X
ai p i + t
m
X
i=0
bi p i =
i=0
m
X
((1 − t)ai + tbi )pi ∈ S
i=0
çünkü
m
X
i=0
(1 − t)ai + tbi = (1 − t)
m
X
i=1
4
bi = 1,
(1 − t)ai + tbi ≥ 0.
Bunun sonucunda
[p0 , p1 , . . . , pm ] ⊂ S .
S ⊂ [p0 , p1 , . . . , pm ]
ba§ntsn gösterelim.
X , p0 , . . . , pm noktalarn içeren bir konveks
tümevarm ile S ⊂ X oldu§unu gösterelim.
• m=0
için
küme ise
m≥0
üzerinde
S = p0 'dr.
Pm
X e
i=0 ti = 1 ise p =
i=0 ti pi
ait olup olmad§n görelim. t0 6= 1 oldu§unu varsayabiliriz. Aksi halde
• m > 0
olsun.
Pm
ti ≥ 0 ve
p = p0 olabilir ve bir üstteki ko³ul içine dü³er. Tümevarm hipotezinden
q=
ve böylece
t1
t2
tm
p1 +
p2 + · · · +
pm ∈ X
1 − t0
1 − t0
1 − t0
p = t0 p0 + (1 − t0 )q ∈ X
çünkü
X
konvekstir. Dolasyla
S ⊂ X 'dir.
Sonuç olarak
S = [p0 , . . . , pm ]
Sonuç 1.1.1.
e³itli§ini elde ederiz.
{p0 , p1 , . . . , pm }, Rn 'de
noktalar olsun.
{p0 , ..., pm }
nok-
talarnn gerdi§i an küme bu noktalarn an kombinasyonunu içerir.
Rn 'de {p0 , . . . , pm } noktalarnn sral kümesini ele alalm.
{p1 −p0 , p2 −p0 , . . . , pm −p0 } kümesi Rn vektör uzaynn lineer ba§msz
alt uzay ise {p0 , p1 , . . . , pm } sral kümesine an ba§mszdr denir.
Tanm 1.1.5.
Not 1.1.2.
1.
Rn 'nin lineer ba§msz alt kümesi an ba§msz kümedir.
Tersi do§ru de§ildir çünkü orijin ile birlikte lineer ba§msz küme
ane ba§mszdr.
2. Tek noktal küme
pi − p0
{p0 }
an ba§mszdr çünkü
formunda noktalar yok ve
φ
i 6= 0
olmak üzere
bo³ kümesi lineer ba§mszdr.
3.
p1 − p0 6= 0
olmas durumunda
{p0 , p1 }
4.
{p0 , p1 , p2 , }
noktalar ayn do§ru üzerinde de§ilse
kümesi an ba§mszdr .
{p0 , p1 , p2 }
an
ba§mszdr.
5.
{p0 , p1 , p2 , p3 } noktalar ayn düzlem üzerinde de§ilse {p0 , p1 , p2 , p3 }
an ba§mszdr.
Teorem 1.1.3.
{p0 , . . . , pm },
Rn 'de
denktir:
5
sral küme olsun. A³a§dakiler
1.
{p0 , . . . , pm }
2.
{s0 , . . . , sm } ⊂ R
an ba§mszdr.
kümesi
m
X
m
X
si pi = 0 ve
i=0
i=0
e³itsizliklerini do§ruluyor ise
3.
A, {p0 , . . . , pm }
si = 0
s1 = s2 = · · · = sm = 0
dr.
tarafndan gerilen an küme olmak üzere
∀x ∈ A
eleman an kombinasyonu olarak tektürlü ifade edilir, yani
x=
m
X
t i pi
m
X
ve
i=0
Teorem 1.1.4.
{p0 , . . . , pm }, Rn 'de sral küme olsun. A³a§dakiler denktir:
1.
{p0 , . . . , pm }
2.
{s0 , . . . , sm } ⊂ R
an ba§mszdr.
kümesi
m
X
si pi = 0
m
X
ve
i=0
A, {p0 , . . . , pm }
si = 0
i=0
e³itsizliklerini do§ruluyor ise
3.
ti = 1.
i=0
s1 = s2 = · · · = sm = 0
dr.
tarafndan gerilen an küme olmak üzere
∀x ∈ A
ele-
man an kombinasyonu olarak tektürlü ifade edilir, yani
x=
m
X
ti pi
m
X
ve
i=0
spat 1.1.1.
i=0
1) ⇒ 2) : {p0 , p1 , ..., pm }
kümesi
m
X
ti = 1.
si pi = 0 ve
i=0
an ba§msz olsun.
m
X
{s0 , ..., sm } ⊂ R
si = 0
i=0
e³itsizliklerini sa§lasn.
m
X
i=0
si pi =
m
X
i=0
si pi − (
m
X
si )p0 =
i=0
m
X
si (pi − p0 ) = 0
i=0
i = 1, . . . , m için pi − p0 lineer ba§msz
halde;
s1 = s2 = · · · = sm = 0'dr.
6
çünkü
{p0 , . . . , pm }
an ba§msz. O
m
X
si = 0
i=0
oldu§undan
2) ⇒ 3) :
s0 = 0'dr.
x ∈ A alalm.
Sonuç
5.1.1
x ∈ A
den dolay
x ∈ A
kombinasyon olarak ifade edilir. Böylece
eleman ane
elemann tek türlü ifade
edildi§ni gösterelim.
x=
m
X
m
X
ti pi ,
i=0
ve
x=
ti = 1
i=0
m
X
m
X
t0i pi ,
i=0
t0i = 1
i=0
oldu§unu varsayalm.
m
X
ti pi =
i=0
m
X
t0i pi
m
X
⇒
(ti − t0i )pi = 0 ⇒ ∀i, ti − t0i = 0 ⇒ ∀i, ti = t0i .
i=0
3) ⇒ 1) :
i=0
∀x ∈ A
{p0 , p1 , ..., pm }
eleman
noktalarnn an kombinasy-
{po , . . . , pm } kümesinin
{p1 − p0 , p2 − p0 , . . . , pm − p0 }
onu olarak tek türlü ifade edildi§ini varsayalm. Yani
an ba§msz oldu§unu göstermeliyiz. Yani;
lineer ba§msz oldu§unu göstermeliyiz.
Varsayalm ki
{p1 − p0 , . . . , pm − p0 }
m
X
lineer ba§ml olsun. O halde;
ri (pi − p0 ) = 0
i=0
iken
ri
(hepsi sfr de§il) vardr.
pj ∈ A
rj 6= 0
rj = 1
alalm.
ise
pj = −
X
pj = 1.pj
X
ri pi + (
ri + 1)p0
i6=j
pj
olsun.
i6=j
iki türlü ifade edilemeyece§inden çeli³ki.
O halde
{p1 − p0 , . . . , pm − p0 }
Sonuç 1.1.2.
{p0 , . . . , pm }
lineer ba§mszdr.
sral küme olsun. An ba§mszlk bu kümenin
bir özellikelli§idir.
7
{a1 , . . . , ak }, Rn 'de
Tanm 1.1.6.
bir küme olsun. Bu kümenin
man an ba§msz küme olu³turuyorsa,
{a1 , . . . , ak }
(n + 1)
ele-
kümesi genel pozisyon-
dadr denir.
Not 1.1.3. Genel pozisyonda olma özellikelli§i
{a1 , a2 , . . . , ak }, Rn 'de
• n = 1
için
n
saysna ba§ldr.
genel pozisyon olsun.
{ai , aj }
an ba§msz olmaldr. Yani tüm noktalar farkl
olmal.
• n=2
için üç nokta kolineer olmamaldr.
• n=3
için dört nokta kodüzlem olmamaldr.
Teorem 1.1.5.
∀k ≥ 0
için
Rn
Euclid uzay genel pozisyonda
k
tane noktas
vardr.
Tanm 1.1.7.
{p0 , p1 , . . . , pm },
Rn 'de
an ba§msz alt küme olsun.
bu alt küme tarafndan gerilen bir an küme olsun.
x=
m
X
ti pi ,
i=0
m
X
x∈A
ise teo
A'da
5.1.3'den
ti = 1.
i=0
(t0 , t1 , . . . , tm ), (m+1)-bile³enine x elemannn bary-centric koordinat denir.
p0
p1
t0 = t1 =
1
2
p2
JJ
J
t0
"J
b
b "
b
"
" b J
b J
""
b
"
b
J
p0
p2
"
"
"
""
""
"
x = 41 (p0 + p1 + p2 + pj )
p1
1
Genel hali: m+1 (p0
Tanm 1.1.8.
x = 13 (p0 + p1 + p2 )
p1
p3
p0
= t1 = t2 = 31 ,
+ · · · + pm ) = x
{p0 , p1 , . . . , pm }, Rn 'de
küme tarafndan gerilen konveks kümeye
an ba§msz alt küme olsun. Bu alt
m-simpleks denir. [p0 , p1 , . . . , pm ] ile
gösterilir (pi 'ler kö³eler olarak adlandrlr).
8
Teorem 1.1.6.
m-simpleksinin
{p0 , p1 , . . . , pm } an ba§msz olsun. Bu durumda [p0 , . . . , pm ]
x eleman;
her
x=
m
X
m
X
ti pi ,
i=0
ti ≥ 0,
ti = 1,
i = 0, . . . , m
i=0
formunda tek türlü yazlr.
Tanm 1.1.9.
{p0 , p1 , . . . , pm } an ba§msz olsun. [p0 , . . . , pm ] m-simpleksinin
baricentrik koordinat;
1
(p0 + p1 + · · · + pm ).
m+1
(t0 = t1 = · · · = tm =
1
)
m+1
Not 1.1.4. Barisentrik sözcü§ü a§rlk anlamanda barys yunanca kelimesinde
gelmektedir. Dolasyla barisentrik, a§rlk merkezi anlamndadr
Örnek 1.1.2.
• [p0 ]
barisentrik'i kendisidir.
• [p0 , p1 ] 1-simpleksinin
barisentrik'i
• [p0 , p1 , p2 ] 2-simpleksinin
1
(p
2 0
barisentrik'i
• ei = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) ∈ Rn+1
ba§mszdr. [e0 , e1 , . . . , en ],
x=
n
X
+ p1 )'dir.
1
(p
3 0
+ p1 + p2 )'dir.
olmak üzere
{e0 , e1 , . . . , en }
an
ti ei
i=0
formundaki tüm konveks kombinasyonu içerir.
(t0 , t1 , . . . , tn )'dir.
p0 = (0, 0, 0, 0 . . . ) = e0 ,
p1 = (1, 0, 0, 0 . . . ) = e1 ,
p2 = (0, 1, 0, 0 . . . ) = e2 ,
p3 = (0, 0, 1, 0, . . . ) = e3 ,
......
trik koordinat
6
v
a
aa
aa v v
9
[e0 , e1 , . . . , en ]'in barisen-
Tanm 1.1.10.
[p0 , p1 , . . . , pm ] bir m-simpleks olsun. Tüm barisentrik kom-simplekse ait noktalrn kümesine açk k -simpleks
ordinatlar pozitif olan
denir.
• Rn
Örnek 1.1.3.
açk
e ait
p0 , p 1
noktalarn olu³turdu§u açk aralk bir
1-simplekstir.
• Rn e ait p0 , p1 , p1 noktalarn olu³turdu§u üçgenin içi açk 2-simplekstir.
Tanm 1.1.11.
[p0 , p1 , . . . , pm ]
bir
[p0 , p1 , . . . , p̂i , . . . , pm ] = {
m-simpleks olsun. pi
m
X
|
tj pj
m
X
j=0
noktasnn ters yüzü
tj = 1,
tj ≥ 0}.
j=0
[p0 , p1 , . . . , pm ] m-simpleksinin snr bu ters yüzlerin birle³imi ³eklinde tanmlanr.
s
0-simplekste
p0 'in
tersyüzü kendisi
p0
1-simplekste p1 'in
p0
tersyüzü
p0 'dr.
p1
p2
@
@
@
@
@
p0
2-simplekste p2 'nin
p1
ters yüzü
p 0 p1
ters yüzü
[p1 , p2 , p3 ] 2-simplekstir
do§ru parças
p3
@
@
@
@
p0 H H
@ 3-simplekste
p2
H
H
H
p0 'nin
p1
Not 1.1.5.
2.
1. Bir
[p0 , p1 , . . . , pm ]
k -simplekstir.
Teorem 1.1.7.
m-simpleksin, m + 1
simpleksinin
tane yüzü vardr.
k -yüzü, k + 1
S n-simpleksi, [p0 , p1 , . . . , pn ]
10
kö³e tarafndan gerilen bir
ile gösterilsin.
i.
ii.
iii.
u, v ∈ S
ise
ku − vk ≤ Sup ku − pi k.
diam S = Sup kpi − pj k.
b, S 'nin
barisentrik'i ise
kb − pi k ≤
n
n+1
diam S.
spat:
i.
v=
n
X
n
X
ti pi ,
i=0
ti = 1,
n
X
ku − vk = ku −
i = 0, . . . , n olsun.
n
n
X
X
ti pi k = k(
ti )u −
ti pi k
i=0
=k
ti ≥ 0,
i=0
n
X
i=0
n
X
≤(
ti (u − pi )k ≤
i=0
n
X
i=0
kti (u − pi )k =
i=0
n
X
ti ku − pi k
i=0
ti )Sup ku − pi k = Sup ku − pi k
i=0
ii. Teoremin i ksmndan ve çap tanmndan,
ku − pi k ≤ Sup kpj − pi k0 dir.
iii.
b=
1
n+1
Pn
j=0
pj
oldu§undan
n
kb − pi k = k
1 X
p j − pi k
n + 1 j=0
n
n
1 X
1 X
=k
pj −
pi k
n + 1 j=0
n + 1 j=0
n
1 X
=k
(pj − pi )k
n + 1 j=0
n
1 X
≤
Sup kpj − pi k (i = j iken,
n + 1 j=0
n
n
≤
Sup kpj − pi k =
diam S
n+1
n+1
Tanm 1.1.12.
kpj − pi k)
{p0 , . . . , pm } kümesi an ba§msz ve A, bu noktalarn gerdi§i
an küme olsun. An dönü³üm
k
T : A −→ R
m
X
ti pi 7−→ T (
i=0
m
X
i=0
11
ti pi ) =
m
X
i=0
ti T (pi ).
özelli§ini sa§layan bir fonksiyondur.
T 'nin S = [p0 , . . . , pm ]'ye kstlan³ yine
bir an dönü³ümdür.
1. An dönü³üm, an kombinasyonu ve konveks kombinasy-
Not 1.1.6.
onu korur.
2. An dönü³üm, an ba§msz küme üzerinde ald§ de§erle belirlenebilir.
3.
p0 , . . . , pm noktalarnn bary centric koordinatn tekli§i bu tür T
dönü³üm-
lerin varl§n gösterir.
[p0 , . . . , pm ] m-simpleks, [q0 , . . . , qn ] n simpleks ve
f : {p0 , . . . , pm } −→ [q0 , . . . , qn ] bir fonksiyon olsun. T (pi ) = f (pi )
³ekilde bir tek T : [p0 , . . . , pm ] −→ [q0 , . . . , qn ] dönü³ümü mevcuttur.
P
Pm
Y.G:
T( m
i=0 ti pi ) =
i=0 tf (pi )
Teorem 1.1.8.
1.2
olacak
Simpleksler Kompleksi
S = [v0 , v1 , . . . , vq ] q-simpleks olsun.
V er(S) = {v0 , . . . , vq } ile gösterilsin.
Bu simplekslerin kö³elerinin kümesi
0
0
bir simpleks olsun. E§er V er(S ) ⊂ V er(S) ise S ne S
0
0
simpleksinin yüzü denir. E§er V er(S ) ( V er(S) ise S ne S simpleksinin
S
Tanm 1.2.1.
has yüzü denir.
Tanm 1.2.2. Sonlu simpleksler kompleksi
K
a³a§daki özellikellikleri sa§layan
sonlu simpleksler kolleksiyonudur.
i.
ii.
s∈K
s
ise
s, t ∈ K
nin yüzü de
K
ya aittir.
ise bu iki simpleksin arakesiti ya bo³tur ya da bu iki simpleksin
ortak yüzüdür.
Tanm 1.2.3. Bir simpleksler kompleksi
dir. Bir simpleksler kompleksi
tam say ise
K
Örnek 1.2.1.
nn boyutu
m
p0 = (0, 0, 0),
K
da
bo³ k§me ise
K
nn boyutu
−1
m-simpleks var olacak ³ekilde m en büyük
dir.
p1 = (1, 0, 0),
p3
6
p0
@
R
@
@
@ p2
p1 K
12
p2 = (1, 2, 0),
p3 = (2, 3, 4)
Bu üçgen prizmann snrlar bir simpleksler kompleksi olu³turur.
~ 0-simpleksler:
σ10 = p0 , σ20 = p1 ,
~ 1-simpleksler:
σ11 =< p0 , p1 >,
σ51 =< p1 , p3 >,
σ30 = p2 ,
σ40 = p3
σ21 =< p0 , p2 >,
σ61 =< p2 , p3 >
~ 2-simpleksler:
σ12 =< p0 , p1 , p2 >,
σ42 =< p0 , p1 , p3 >
σ31 =< p0 , p3 >,
σ22 =< P1 , P2 , P3 >,
σ41 =< p1 , p2 >,
σ32 =< p0 , p2 , p3 >,
~ 3-simpleksler:
σ13 =< p0 , p1 , p2 , p3 >
v5
v2
[v1 , v2 ] ∩ [v3 , v5 ] = [v3 ] → v3
JJ v
3
JH
J HH
H
H
J
→
Örnek 1.2.2.
v0
v1
v2
→
v5
JJ
v
J3
J
J
v1J
JJ
v0
ortak yüz de§ildir.
simpleksler kompleksi de§il.
v4
simpleksler kompleksi de§il.
v1 , v3
ortak yüz de§il.
v4
Tanm 1.2.4.
1.
K
bir simpleksler kompleksi olsun.
K 'nn
geometrik re-
allizasyonu(underlying uzay)
| K |=
[
s
s∈K
n
³eklinde tanmlanr. (K, R 'in alt uzay)
2.
h :| K |→ X homeomorzma olacak ³ekilde
simpleksler kompleksi K varsa X 'e polihedron(polyhedron) denir. (K, h)
ikilisine X 'in üçgenle³tirilmesi(triangulation) denir.
X
topolojik uzay verilsin.
13
• (K),
Not 1.2.1.
• s, K 'da
•
Euclid uzaynn kompakt alt uzaydr.
bir simpleks ise
Simpleksler kompleksi
| s |= s'dir.
K simplekslerden olu³an
|K| Euclid uzaynn bir
geometrik realizasyonu
•
|K|,
geometrik realizasyonu
sonlu küme iken
K
nn
alt uzaydr.
noktalar do§ru parçalar, üçgen düzlemler,
üçgen prizma(teterahedron) içerir.
Örnek 1.2.3.
X = {(cos θ, sin θ) ∈ R2 | 0 ≤ θ ≤ π/2}
³eklinde verilsin.
X
polihedrondur.
Herhangi bir
1-sim§leks [p0 , p1 ]
olsun. Simpleksler kompleksi
K = {[p0 ], [p1 ], [p0 , p1 ]},
|K| −→ X bir homemorzmadr. Simpleksler kompleksi L = {[p0 ], [p1 ], [p2 ][p0 , p1 ], [p1 , p2 ]}, X 'in bir ba³ka üçgenle³tirilmi³idir çünkü |L| −→ X bir homemorzmadr.
X 'in
üçgenle³tirilmi³idir çünkü
Örnek 1.2.4.
42 = {
2
X
ti vi
|
i=0
2
X
ti = 1,
ti ≥ 0,
i = 0, 1, 2}
i=0
2-simpleks (42 ⊂ Rn ) K = 42 standart 2-simpleksindeki
0-simpleks ve tüm 1-simplekslerin kolleksiyonu olsun.
standart
v2
K = {[v0 ], [v1 ], [v2 ], [v0 , v1 ], [v0 , v2 ], [v1 , v2 ]}
@
@
@
@
@
v0
v1
2 − simpleks
K
K
simpleksler kompleksin kolleksiyonu iki ko³ulu da sa§lar.
nn geometrik realizasyonu üçgen olacaktr.
v2
L : |K| =
v0
@ −→
@
X = S1
v1
homeorzmas var.
O halde çember polihedrondur.
14
tüm
Tanm 1.2.5.
n)
için,
Kr,
n-Boyutlu
simpleksler kompleksi
simpleksler kompleksi
K 'ya
K
olsun. Her bir
ait boyutu
r (0 ≤ r ≤
r
den küçük veya e³it
r
olan tüm simplekslerin kümesini göstersin. Simpleksler kompleksi K ye K
r
nn iskeleti(skeleton) denir. Böylece |K |, |K| nn altpolihedrondur.
3-Simpleks [p0 , p1 , p2 , p3 ] in tüm yüzeylerini içereni K ile göstere0
lim. K , K nn 2-boyutlu iskeleti olarak alalm. Böylece K , [p0 , p1 , p2 , p3 ] in
0
2
2
has yüzeylerini içerir. Dolasyla |K |, S ye homeomorftur. Bu da bize S nin
Örnek 1.2.5.
0
bir polihedron oldu§unu gösterir.
K
Tanm 1.2.6.
talar,
K 'da
ve
L
iki simpleksler kompleksi olsun.{p0 , p1 , . . . , pq } nok-
bir simpleksi gererken
{ϕ(p0 ), ϕ(p1 ), . . . , ϕ(pq )} noktalar L'de
ϕ : K → L fonksiyona simpleksler
bir simpleksi gerecek ³ekilde tanimlanan
dönü³üm denir.
Tanm 1.2.7.
K
K
ve
L
daki kö³eler ile
bir izmorzm denir.
L
deki kö³eler arasnda bijektif ise
K
ϕ : K −→ L,
K ve L arasbda
iki simpleksler kompleksi olmak üzere
ve
L
ϕ'
ye
ye de izmork simpleksler kompleksi denir.
Önerme 1.2.1. Simpleksler dönü³ümün birle³imide simpleksler dönü³ümüdür.
spat: spat okuyucuya ödev olarak biraklm³tr
Pm
olacak ³ekilde
i=1 ti pi noktalrna ait
◦
pleksin alt kümesine P 'nin içi denir. P ile gösterilir.
Tanm 1.2.8.
∀i
Örnegin, bir
için
ti > 0
P
sim-
0-simpleksin içi kendisidir. Ayrca bir dijital m-simpleks açk
simplekslerin ayrk birle³imi oldu§u gözlenmelidir.
Tanm 1.2.9.
p
K
bir
m-simpleksler kompleksi ve p ∈ V er(K) olsun. O zaman
nin yldz
st(p) = ∪S ◦
³eklinde tanmlanr. Burada
Tanm 1.2.10.
K
S∈K
p ∈ V er(K).
ve
bir simpleksler kompleksi olsun.
dimK = sup{dim(s)}.
s∈K
Teorem 1.2.1.
K
homeomorzm ise
ve L iki simpleksler
dimK = dimL'dir.
kompleksi olsun. E§er
K olsun. Kö³eler çifti x, y ∈ K
[pi , pi+1 ] 1-simpleksler dizisi var ise
Tanm 1.2.11. Bir simpleksler kompleksi
için,
K
x = p0 , y = pm
olacak ³ekilde
K
da
ya ba§lantldr denir.
15
f : |K| → |L|
•
Simpleksler kompleksi K nn
0
ba§lantl iken K ba§lantl de§ildir.
Not 1.2.2.
•
r-boyutlu iskeletsi K r (r ≥ 1)
Küre, Möbius ³eridi, Projektif düzlem, ve Tor gibi yüzeylerin üçgenle³tirilmesi ba§lantldr.
Tanm 1.2.12.
K
ve
L
simpleksler dönü³ümü ve
kö³esi
p
iki simpleksler kompleksi olmak üzere
f : |K| −→ |L|
ϕ : K −→ L
K nn her
sürekli dönü³üm olsun.
için
f (st(p)) ⊂ st(ϕ(p))
ise
f
ye
ϕ
dönü³ümünün simpleksler yakla³m denir.
Önerme 1.2.2.
ϕ
simpleksler dönü³ümünün yakla³m
• f
süreklidir.
• f
homeomorzm olmas için gerek ve yeter ³art
f
ϕ
olsun.
izomorzmdir.
• f1 : |K| −→ |L| fonksiyonu ϕ1 : K −→ L dönü³ümünün yakla³m
ve f2 : |L| −→ |M | fonksiyonu ϕ2 : L −→ M simpleksler dönü³ümün
yakla³m ise f2 ◦ f1 : |K| −→ |M |,
ϕ2 ◦ ϕ1 'in simpleksler yakla³m
fonksiyonudur.
spat 1.2.1. spat okuyucuya ödev olarak braklm³tr.
ya ait kö³eler kümesi {p0 , p1 , . . . , pm },
K da bir simpleks olu³turabilmesi için gerek ve yeter ³art ∩m
i=0 st(pi ) 6= 0 olmasdr.
Önerme 1.2.3. Simpleksler kompleksi
K
spat 1.2.2. spat okuyucuya ödev olarak braklm³tr.
Tanm 1.2.13. Bir simpleksler kompleksi
K
nn ³ebekesi veya a§(mesh),
mesh(K) = max{diam(S) | S, K 0 da bir simpleks}
³eklinde tanmlanr ve
Not 1.2.3. Bir
mesh(K)
0-boyutlu
ile gösterilir.
simpleksler kompleksi
K
nn ³ebeksi,
0 = mesh(K) = mesh(K 0 ) = mesh(K 1 ) = · · ·
Lemma 1.2.1. Bir pozitif boyutlu simpleks
S
nin kö³eleri
diam(S) = kv − wk dir.
spat 1.2.3. spat okuyucuya ödev olarak braklm³tr.
16
v, w
olmak üzere
K
Teorem 1.2.2. Pozitif boyutlu simpleksler komplesi
olmak üzere
lim mesh(K r ) = 0 dir.
r→∞
spat 1.2.4. Simpleksler komplesi
K
nn boyutu
n
olsun. lk önce
K0
ile
K
nn ³ebekelrini kar³la³tralm:
Simpleksler komplesi
olsun.
τ
K
iki simples
σ
ve
τ
alalm ve
σ, τ
nun bir has yüzü
nun barisentri§i
m
1 X
τ=
pi
m + 1 i=0
olsun.
kτ − σk ≤ kτ − pk (p, τ 0 nun bir kö³esi)
m
m
1 X
1 X
=k
pi − pk ≤
kpi − pk
m + 1 i=0
m + 1 i=0
m
1
m · mesh(K) =
mesh(K).
m+1
m+1
m
1
Böylece mesh(K ) ≤
mesh(K). Bu i³lelemleri tekrarlayarak yapt§mzda
m+1
≤
mesh(K r ) ≤ (
Dolasyla
m r
limr→∞ ( m+1
) = 0.
m r
) mesh(K)
m+1
olur.
Buda istedi§imiz sonuca götürür.
K ve L olmak üzere ϕ : K −→ L
simpleksler dönü³ümü ve f : kKk −→ kLk sürekli dönü³üm olsun. Sürekli
r
dönü³üm f ye homotop olacak ³ekilde φ : K −→ L simpleksler dönü³ümü
Teorem 1.2.3. Simpleksler Kompleks
vardr.
spat 1.2.5. spat okuyucuya ödev olarak braklm³tr.
17
Bölüm 2
HOMOTOP TEORS
2.1
Giri³
Cebirsel topolojinin ardndaki temel kir cebirsel durumlarla topolojik durumlar birle³tirmek ve böylece benzer konular cebir üzerine yerle³tirmektir.
Örne§in: herhangi
X
topolojik uzay , homeomorf uzaylar izomorf gruplar
meydana çkaracak ³ekilde bir
G(X)
grubu ile birle³tirilebilir. Böylece ce-
birsel durum hakknda söylenebilecek bir ³ey topolojik durum hakknda da
kir verir. Gruplarla birle³tirilen iki uzay izomorf de§ilse homeomorf olamayaca§na karar verilir. Topolojiden cebire ba§lant funktor olarak adlandrlan
dönü³ümler aracl§ ile sa§lanr.
Topoloji , topolojik uzaylar ve bu uzaylar arasndaki sürekli fonksiyonlar
inceler ve topolojik uzaylarn geni³ bir çe³itlili§i vardr. Aralarnda en temel
olan ve çal³mamz süresince kar³mza çkacak baz topolojik uzaylar ile cebirsel topoloji çal³malarnda kolaylk sa§layan cell kompleksler yine ikinci
bölümde tantlm³tr.
Temel problem topolojik uzaylar ve fonksiyonlar homeomorzma altnda
snandrmaktr. ki uzayn homeomorf oldu§unu göstermek için birinden
di§erine tersi de sürekli olan sürekli bir dönü³üm olu³turmak gereklidir. Bu
ise yeni teknikler yaratmay gerektirecek kadar karma³kla³abilir. Bu nedenle
iki uzayn homeomorf olmad§n göstermek baz durumlarda daha kullan³l
olabilir. E§er bir uzayn sahip oldu§u fakat di§er uzayn sahip olmad§
bir topolojik özellik bulunabilirse uzaylar homeomorf olamazlar (bir özellik
homeomorzma altnda korundu§u için) ve problem çözülmü³ olur. Örne§in :
[0, 1] kapal aral§ kompakt , (0, 1) açk aral§ ise kompakt olmad§ndan bu
2
iki uzay homeomorf olamaz. Bunun d³nda R ile R ye homeomorf de§ildir.
2
Çünkü R den bir nokta atld§nda ba§lantllk özelli§i kaybolurken R den
bir nokta atld§nda bu özellik korunur.
18
“imdiye kadar inceledi§imiz topolojik özellikler problem çözümünde yeterli
R2 nin R3 e homeomorf olmad§ bilinen topolojik özel-
olmayabilir. Örne§in:
liklerle (kompaktlk, ba§lantllk, metriklenebilirlik?) gösterilemez. Çünkü
bu iki uzay arasnda farkl bir topolojik özellik yoktur. Bu nedenle yeni
özellikler ve yeni teknikler yaratmamz gerekir. Bu özelliklerden biri basit
ba§lantllktr. Kabaca ifade etmek gerekirse, bir
pal e§ri
X
uzay içindeki her ka-
X?
in herhangi bir noktasna büzülebiliyorsa X uzay basit ba§lan2
2
tldr. Basit ba§lantllk özelli§i R ve R arasndaki ayrm ortaya koyar.
3
R ? den bir nokta atld§nda basit ba§lantllk özelli§i korunurken R2 için
bu durum geçerli de§ildir. Fakat T ve T2 uzaylar, her ikisi de basit ba§lantl olmad§ndan bu özellik ile ayrlamazlar. Üçüncü bölümde, sürekli olarak
³ekil de§i³imine dayanan ve homotopi olarak bilinen denklik ba§ntsnn yeni
bir snandrma yöntemi ortaya çkartt§ gösterilmi³, daha sonra homotopi
kategori ve bu kategorinin ilk funktoru olan temel grup (Poincare grubu)
incelenmi³tir. Temel grup basit ba§lantllktan daha genel bir kavramdr
ve basit ba§lantl olma durumu
X?
in temel grubunun tek elemanl ol-
mas(a³ikar grup) durumudur. Gerçekte tüm kompakt uzaylarn temel grup
kullanlarak snandrlabilece§i bilinmektedir. Bu bölümün sonunda yüksek
homotopi gruplarna da de§inilmi³ ve detaya girmeden bilinen baz örnekler verilmi³tir. Betti, herhangi bir uzay ile de§i³meli gruplarn bir ailesini
birle³tirerek o uzayn homoloji gruplar olarak bilinen yeni bir snandrma
yöntemi ortaya çkartm³tr. Homoloji funktoru yüksek boyutlu ba§lantll§
ölçer ve homeomorf uzaylarn homoloji gruplar izomorftur. Homoloji gruplarnn avantaj ço§unlukla temel gruptan daha hesaplanabilir olmalardr.
Homoloji gruplarn tanmlamann farkl yollar vardr ve hepsi uzaylar için
benzer sonuçlara rehberlik eder. Homoloji teori esas olarak singular ve simplicial homoloji olmak üzere iki grupta incelenir ve singular homoloji gruplar
simplicial homoloji gruplarnn bir genellemesidir. Teorik uygulamalarda singular homoloji simplicial homolojiden daha kullan³l olmasna ra§men simplicial gruplar kadar hesaplanabilir de§ildir. Bu nedenle simplicial homoloji
singular homolojiden önce verilerek cebirsel topoloji için temel olan baz
uzaylarn (Klein ³i³esi, Projektif uzay ve Tor) homoloji gruplar hesaplanm³ ve homoloji kavram daha somut hale getirilmeye çal³lm³tr. Simplicial homoloji teori, simplicial kompleksler kategorisinden zincirli kompleksler
kategorisine bir kovaryant funktor ile tanmland§ndan ve cell ile simpleks
homeomorf oldu§undan öncelikle zincirli komplekslerin ve cell komplekslerin
homoloji gruplar tantlm³tr.
19
2.2
Homotopi
X, Y iki topolojik uzay, f, g : X −→ Y sürekli iki dönü³üm ve
I = [0, 1] olsun. ∀x ∈ X için H(x, 0) = f (x) ve H(x, 1) = g(x) olacak ³ekilde
bir H : X × I −→ Y sürekli dönü³ümü varsa f dönü³ümü g dönü³ümüne
homotoptur ve H ye homotopi dönü³ümü denir.
Tanm 2.2.1.
f : [0, 2] −→ R x 7−→ f (x) = 1 + x2 (x − 2)2
g : [0, 2] −→ R x 7−→ g(x) = 1 ³eklinde dönü³ümler tanmlansn.
Örnek 2.2.1.
1.
H : [0, 2] × [0, 1] −→ R
(x, t) 7−→ H(x, t) = 1 + (1 − t)x2 (x − 2)2
fonksiyonu sürekli (çünkü polinom) ve
H(x, 0) = 1 + x2 (x − 2)2 = f (x)
e³itliklerini do§rular. Böylece
H, f
ve
g
H(x, 1) = 1 = g(x)
arasnda bir homotopi fonksiy-
onudur.
2.
f : S 1 −→ R2 (x, y) 7−→ f (x, y) = (x, y) kapsama dönü³ümü ve
g : S 1 −→ R2 (x, y) 7−→ g(x, y) = (0, 0) sabit dönü³ümü tanmlansn.
F : S 1 × [0, 1] −→ R2
((x, y), t) 7−→ F ((x, y), t) = (1 − t)f (x, y)
fonksiyonu sürekli çünkü kapsama dönü³ümü
F (x, 0) = f (x, y)
e³itliklerini do§rular. Böylece
f
sürekli ve ayrca
F (x, 1) = (0, 0) = g(x, y)
F, f
ve
g
arasnda bir homotopi fonksiy-
onudur.
3.
f : [0, 1] −→ [0, 1] x 7−→ f (x) = x birim dönü³ümü ve
g : [0, 1] −→ [0, 1] x 7−→ g(x) = 0 sabit dönü³ümü tanmlansn.
F : [0, 1] × [0, 1] −→ [0, 1]
(x, t) 7−→ F ((, t) = (1 − t)x
fonksiyonu sürekli çünkü birim dönü³üm
F (x, 0) = f (x)
e³itliklerini do§rular. Böylece
F, f
onudur.
20
f
sürekli ve ayrca
F (x, 1) = 0 = g(x)
ve
g
arasnda bir homotopi fonksiy-
4.
f, g : X −→ R2 sürekli
R2 , t ∈ I olmak üzere
dönü³ümlerini göz önüne alalm.
H : X × I −→
H(x, t) = (1 − t).f (x) + t.g(x)
³eklinde tanmlansn.
sürekli oldu§undan
H
R2
de sürekli dönü³ümlerin toplam ve çarpm
süreklidir ve
³artlarn sa§lar. Buna göre
f, g
H(x, 0) = f (x), H(x, 1) = g(x)
ye homotoptur.
x0 ,x1 ∈ X noktalar için f (0) = x0 ve f (1) = x1 olacak ³ekilde
f : I −→ X sürekli dönü³üm varsa, f ye x0 dan x1 e giden bir yol denir.
Tanm 2.2.2.
bir
Örnek 2.2.2. A³a§daki dönü³ümler birer yoldur:
f : I −→ R2 − {0} t 7→ f (t) = (cos πt, sin πt)
g : I −→ R2 − {0} t 7→ g(t) = (cos πt, 2 sin πt)
h : I −→ R2 − {0} t 7→ h(t) = (cos πt, − sin πt)
k : I −→ R2 t 7→ k(t) = (t, t2 )
f, g : I −→ X , ba³langç noktalar f (0) = g(0) = x0 ve biti³
f (1)=g(1) = x1 olan iki yol olsun. H(s, 0) = f (s), H(s, 1) = g(s),
H(0, t) = x0 ve H(1, t) = x1 olacak ³ekilde bir H : I × I −→ X sürekli
dönü³ümü varsa f ve g ye yol homotopik dönü³ümler denir ve f 'p g
Tanm 2.2.3.
noktalar
ile gösterilir.
21
Lemma 2.2.1.
spat:
1.
'
'p
ve
'
ba§ntlar birer denklik ba§ntsdr.
ba§ntsnn denklik ba§nts oldu§unu gösterelim.
' ba§nts yansmaldr:
f : X −→ Y sürekli dönü³üm
olsun. O zaman
H : X × I −→ Y,
(x, t) 7−→ H(x, t) = f (x)
dönü³ümü de süreklidir. Ayrca
ko³ullar sa§lanr. Buradan
2.
H(x, 0) = f (x)
f 'f
ve
H(x, 1) = f (x)
dir.
' ba§nts simetriktir:
f ' g olsun. O zaman
H(x, 0) = f (x), H(x, 1) = g(x)
olacak ³ekilde H : X × I −→ Y sürekli dönü³ümü vardr.
F : X × I −→ Y , F (x, t) = H(x, 1 − t) sürekli dönü³ümünü
tanmlay-
alm.
F (x, 0) = H(x, 1) = g(x)
sa§land§ için ve
3.
H
ve
F (x, 1) = H(x, 0) = f (x)
sürekli oldu§undan
F
' ba§nts geçi³melidir: h, g, f : X −→ Y
f ' g ve g ' h olsun. O zaman
H(x, 0) = f (x),
olacak ³ekilde
H : X × I −→ Y
de süreklidir ve
g'f
dir.
sürekli dönü³ümler olsun.
H(x, 1) = g(x)
sürekli dönü³ümü ve
G(x, 0) = g(x), G(x, 1) = h(x)
olacak ³ekilde
G : X × I −→ Y
sürekli dönü³ümü vardr.
K : X × I −→ Y,
K(x, t) =
H(x, 2t),
G(x, 2t − 1),
0 ≤ t ≤ 1/2
1/2 ≤ t ≤ 1
K(x, 0) = H(x, 0) = f (x) ve K(x, 1) =
G(x, 1) = h(x) ³artlar sa§lanr. Ayrca H ve G sürekli oldu§u için Pasting Lemma dan K dönü³ümü de süreklidir. Böylece f ' h dir.
sürekli dönü³ümünü tanmlayalm.
22
7.2.2 de verilen f, g, h yollarn ele alalm. f ve g
yol homotoptur fakat f ve h yol homotop de§ildir. Yol homotop ba§ntsnn
geçi³me özelli§i var oldu§undan g ve h yol homotop de§ildir.
Örnek 2.2.3. Örnek
Tanm 2.2.4.
arasndaki
∗
X
de
f (1) = g(0)
f, g : I −→ X
olsun.
(f ∗ g)(s) =
f (2s),
g(2s − 1),
dönü³ümünün homotopi snfn
Teorem 2.2.1.
∗
[f ]
ile gösteririz.
[f ∗ g] = [f ] ∗ [g]
g
dir.
i³lemi a³a§daki özellikleri sa§lar:
∗
2.
∗ i³leminin birle³me özelli§i vardr:
([f ] ∗ [g]) ∗ [h] = [f ] ∗ ([g] ∗ [h]) .
3.
∗ i³leminde birim eleman vardr fakat tek de§ildir:
ex0 , ex1 : I −→ X sabit yol ve f : I −→ X ,f (0) = x0 , f (1) = x1
bir yol olsun. [f ] = [f ] ∗ [ex1 ] ,
[ex0 ] ∗ [f ] = [f ].
i³lemi, yol homotopi snar üzerinde iyi tanmldr.
∗ i³lemine göre
bir [f ] elemannn ters
f ∗ [f ] = [ex1 ].
[ex0 ] = [f ] ∗ f ,
Ayrca
ile
0 ≤ s ≤ 1/2
1/2 ≤ s ≤ 1
1.
4.
f
i³lemini ³u ³ekilde tanmlarz:
f
özellikli iki yol
∗
özellikli
elemanlar vardr:
i³lemi bu özellikleri sa§lad§ndan yol homotopi snar üzerinde
gruboid yaps olu³turur.
spat:
23
1.
f ' f0
ve
g ' g0
f ' f0
oldu§undan
bir sürekli
g ' g0
olsun. Bu durumda
f ∗ g ' f 0 ∗ g0 :
F (x, 0) = f (x), F (x, 1) = f 0 (x) ko³ullarn sa§layan
F : I × I −→ X dönü³ümü vardr.
G(x, 0) = g(x), G(x, 1) = g 0 (x)
G : I × I −→ X dönü³ümü vardr.
oldu§undan
bir sürekli
ko³ullarn sa§layan
f ∗f 0 ' g∗g 0 oldu§unu göstermek için H(x, 0) = f ∗f 0 (x), H(x, 1) =
g ∗ g (x) ko³ullarn sa§layan bir H : I × I −→ X sürekli dönü³ümü
bulmalyz. F ve G dönü³ümlerinden yararlanarak H dönü³ümünü olu³O halde
0
turalm.


F (2x, t)
1
x ∈ [0, ]
2
H(x, t) =
1

G(2x − 1, t) x ∈ [ , 1]
2
Tanmlad§mz H dönü³ümü pasting lemma ve F ve G dönü³ümlerinin
süreklili§inden dolay süreklidir. stenilen ko³ullar da sa§lad§ndan
dolay
2.
∗
i³lemi yol homotopi dönü³ümleri üzerinde iyi tanmldr.
[f ] ∗ ([g] ∗ [h]) = ([f ] ∗ [g]) ∗ [h] oldu§unu göstermeliyiz. Bu durumda
f ∗ (g ∗ h) ' (f ∗ g) ∗ h oldu§unu göstermeliyiz.

4s
t+1


f(
)
s ∈ [0,
]


4
 t+1
t+1 t+2
H : I × I −→ X, H(s, t) = g(4s − t − 1) s ∈ [
,
]

4
4



h( 4s − t − 2 ) s ∈ [ t + 2 , 1]
2−t
4
³eklinde tanmlad§mz dönü³üm
lemmadan dolay süreklidir.
24
f, h, g
sürekli oldu§undan ve pasting


f (4s)
H(s, 0) = g(4s − 1)


h(2s − 1)


f (2s)
H(s, 1) = g(4s − 2)


h(4s − 3)
O halde
s ∈ [0, 1/4]
s ∈ [1/4, 1/2] , H(s, 0) = (f ∗ g) ∗ h(s)
s ∈ [1/2, 1]
s ∈ [0, 1/2]
s ∈ [1/2, 3/4] , H(s, 1) = f ∗ (g ∗ h)(s)
s ∈ [3/4, 1]
f ∗ (g ∗ h) 'p (f ∗ g) ∗ h
dir. Yani
∗
i³leminin birle³me özelli§i
vardr.
3.
[f ] = [f ] ∗ [ex1 ] ⇔ f 'p f ∗ ex1 .

2−t
2s

f (
) s ∈ [0,
]
2−t
2
H : I × I −→ X, H(s, t) =
2−t

x1
s∈[
, 1]
2
H dönü³ümü pasting lemma ve f ile sabit dönü³ümün süreklili§inden
dolay süreklidir ve H(s, 0) = f (s), H(s, 1) = f ∗ ex1 oldu§undan [f ] =
[f ] ∗ [ex1 ] dir.
Benzer ³ekilde di§er birim elemann varl§ da gösterilebilir.
25
4.
[f ] ∗ [f ] = [ex0 ] ⇔ f ∗ f 'p ex0 .
f : I −→ X , f (t) = f (1 − t)
³eklinde tanmldr.
(
f (2ts)
s ∈ [0, 1/2]
H : I × I −→ X, H(s, t) =
f (2t(1 − s)) s ∈ [1/2, 1]
³eklinde tanmlad§mz
ve
H(s, 0) = f (0) = ex0
H dönü³ümü f sürekli oldu§undan süreklidir
ve H(s, 1) = f ∗f (s) oldu§undan [f ]∗[f ] = [ex0 ]
dir.
Benzer ³ekilde di§er ters eleman da gösterilebilir.
f, f 0 : X −→ Y ve g, g 0 : Y −→ Z
g ' g 0 olsun. O halde g ◦ f ' g 0 ◦ f 0 dür.
Lemma 2.2.2.
f ' f0
ve
sürekli dönü³ümler ve
f ' f 0 oldu§undan F : X ×I −→ Y sürekli dönü³ümü F (x, 0) = f (x),
F (x, 1) = f 0 (x) ko³ullarn sa§lar. g ' g 0 oldu§undan G : Y × I −→ Z sürekli
0
0
0
dönü³ümü G(x, 0) = g(x), G(x, 1) = g (x) ko³ullarn sa§lar. g ◦ f ' g ◦ f
oldu§unu göstermek için ' ba§ntsnn denklik ba§nts oldu§undan yarar0
0
0
0
0
0
lanaca§z. g ◦ f ' g ◦ f ve g ◦ f ' g ◦ f oldu§unu gösterirsek g ◦ f ' g ◦ f
spat:
oldu§unu göstermi³ oluruz.
g
/Z
• X ×I F /Y
H : X × I −→ Z, H(x, t) = g ◦ F (x, t) ³eklinde tanmlanan dönü³üm F
ve g sürekli oldu§undan süreklidir. H(x, 0) = g ◦ F (x, 0) = g ◦ f (x) ve
H(x, 1) = g ◦ F (x, 1) = g ◦ f 0 (x) oldu§undan g ◦ f ' g ◦ f 0 dir.
f 0 ×1
/Z
/Y ×I
• X ×I
0
G ◦ (f × 1) : X × I −→ Z sürekli dönü³ümü G ◦ (f 0 × 1)(x, 0) = g ◦ f 0 (x)
0
0
0
0
0
0
ve G◦(f ×1)(x, 1) = g ◦f (x) ko³ullarn da sa§lad§ndan g◦f ' g ◦f
G
dir.
26
O halde
g ◦ f ' g0 ◦ f 0
dir.
ALI“TIRMALAR
X
1) Bir
uzaynn birim dönü³ümü, sabit dönü³üme homotop ise,
X
uza-
yna büzülebilirdir denir.
a)
I = [0, 1]
ve
R
nin büzülebilir oldu§unu gösteriniz.
b) Büzülebilir uzaylar yol ba§lantldr. Gösteriniz.
Y büzülebilir ise [X, Y ] kümesi tek elemanldr. Gösteriniz.
d) X büzülebilir ve Y yol ba§lantl ise [X, Y ] kümesi tek elemanldr.
c)
Gösteriniz.
2)
X , Rn
de konveks bir küme olsun.
X
de ayn uç noktalara sahip iki yolun
yol homotop oldu§unu gösteriniz.
3)
X
Y ye dönü³ümlerin homotopi snarnn kümesi [X, Y ]
a) I = [0, 1] [X, I] tek elemanldr. Gösteriniz.
b) Y yol ba§lantl ise [I, Y ] tek elemanldr. Gösteriniz.
den
2.3
Temel Gruplar
Tanm 2.3.1.
eren
olsun.
X
X
x0 ∈ X
topolojik uzay ve
olsun.
deki yollara kapal yol (loop) denir.
motopi snf
∗
x0
x0
da ba³layp
x0
da sona
tabanl kapal yollarn ho-
i³lemi altnda bir grup te³kil eder. Bu gruba temel grup ya
da 1. homotopi grubu denir.
Örnek 2.3.1.
X=R
olmak üzere
X
in temel grubunu belirleyelim.
f , x0
da
kapal yol olsun.
π1 (R, x0 ) = {[g] : g ' f, f, g : I → Xf (0) = g(0) = x0 , f (1) = g(1) = x1 }
H : I × I :→ R, H(s, t) = (1 − t).f (s) + t.ex0 (s) sürekli dönü³ümünü tanmlayalm. g = ex0 alnrsa π1 (R, x0 ) = {[e0 ]} = {0} a³ikar gruptur.
Örnek 2.3.2.
X
Örnek 2.3.3.
X =D 2
Örnek 2.3.4.
X ={∗}
Örnek 2.3.5.
X =[0, 1]
α, X
konveks uzay olsun.
(Disk) olsun.
olsun.
olsun.
topolojik uzaynda
x0
π1 (X, x0 ) = {[ex0 ]}.
π1 (X, x0 )={[ex0 ]}.
π1 (X, x0 )={[ex0 ]}.
π1 (X, x0 )={[ex0 ]}.
dan
x1
e giden bir yol olsun.
27
α
b : π1 (X, x0 ) −→ π1 (X, x1 )
[f ] 7→ α
b([f ]) = [α] ∗ [f ] ∗ [α]
³eklinde dönü³üm tanmlansn.
Teorem 2.3.1.
spat: i)
α
b
α
b : π1 (X, x0 ) −→ π1 (X, x1 )
izomorzmdir.
iyi tanmldr:
[f ] = [g] ⇒ f 'p g ⇒ α ∗ f 'p α ∗ g
⇒ α ∗ f ∗ α 'p α ∗ g ∗ α
⇒ [α] ∗ [f ] ∗ [α] 'p [α] ∗ [g] ∗ [α]
⇒α
b([f ]) = α
b([g])
ii)
α
b
homomorzmdir:
[f ] ∗ [g] = [f ∗ g]
oldu§unu biliyoruz.
α
b([f ] ∗ [g]) = α
b([f ∗ g]) = [ᾱ] ∗ [f ∗ g] ∗ [α] = [ᾱ] ∗ [f ] ∗ [g] ∗ [α]
= [ᾱ] ∗ [f ] ∗ [α] ∗ [ᾱ] ∗ [g] ∗ [α]
=α
b([f ]) ∗ α
b([g])
Böylece
iii)
α
b
α
b
homomorzmadr.
bijektiftir:
βb : π1 (X, x1 ) −→ π1 (X, x0 )
b
[h] 7→ β([h])
= [β̄] ∗ [h] ∗ [β]
³eklinde tanmlansn.
β : I → X , her t ∈ I
için
β(t) = α(1 − t) = α(t) alalm.
Bu durumda
b
β([h])
= [α] ∗ [h] ∗ [α].
A³a§daki iki durum mevcut ise
α
b
bijektiftir:
βb ◦ α
b = 1π1 (X,x0 ) ⇔ α
b injektif
α
b ◦ βb = 1π1 (X,x1 ) ⇔ α
b surjektif
b α([f ]) = β(b
b α[f ]) = β([α]∗[f
b
b
β◦b
]∗[α]) = β([α∗f
∗α]) = [α]∗[α]∗[f ]∗[α]∗[α]
= [ex0 ] ∗ [f ] ∗ [ex0 ] = [f ] ∗ [ex0 ] = [f ] = 1π1 (X,x0 )
Böylece
α
b
injektiftir.
b
b
α
b ◦ β([g])
= α
b(β[g])
= α
b([β̄ ∗ g ∗ β]) = [ᾱ ∗ β̄ ∗ g ∗ β ∗ α] = [e ∗ g ∗ e]
= [g] = 1π1 (X,x1 ) ([g])
28
α
b
Dolaysyla
Sonuç olarak
α
b
surjektiftir.
bir izomorzmdir.
Bu durumda a³a§daki sonucu elde ederiz;
X
Sonuç 2.3.1.
yol ba§lantl uzay ve
x0 , x1 ∈ X
olsun. O zaman
π1 (X, x0 ) ∼
= π1 (X, x1 ).
X
Tanm 2.3.2.
yol ba§lantl olsun.
π1 (X, x0 ) = {ex0 }
ise
X
e basit
ba§lantl uzay denir.
Örnek 2.3.6.
{er0 }
basit ba§lantldr; çünkü
R
yol ba§lantldr ve
π1 (R, r0 ) =
dr.
Örnek 2.3.7.
{ed0 }
D2 basit ba§lantldr; çünkü D2 yol ba§lantldr ve π1 (D2 , d0 ) =
dr.
Örnek 2.3.8.
{e∗ }
R
{∗} basit ba§lantldr; çünkü {∗} yol ba§lantldr ve π1 ({∗}, ∗) =
dr.
Lemma 2.3.1. Basit ba§lantl
X
uzaynda ba³langç ve biti³ noktalar ayn
olan iki yol, yol homotoptur.
α ve β , x0 dan x1 e giden iki yol olsun. α∗β , X uzaynn x0 noktasnda
looptur. X uzay basit ba§lantl oldu§undan π1 (X, x0 ) = {ex0 } dir.
spat:
bir
[α ∗ β] = [ex0 ] ⇔ α ∗ β 'p ex0
α 'p α ∗ ex1 'p α ∗ β ∗ β 'p (α ∗ β) ∗ β 'p ex0 ∗ β 'p β ⇒ α 'p β ⇔
[α] = [β] ⇔ α 'p β .
Tanm 2.3.3.
f : I −→ X , x0
Tanm 2.3.4.
h : (X, x0 ) −→ (Y, y0 )
bir sürekli dönü³üm olsun.
bazl bir loop ise, bu durumda
h : (X, x0 ) −→ (Y, y0 )
h◦f, Y
de
y0
bazl bir looptur.
bir sürekli dönü³üm olsun.
h∗ : π1 (X, x0 ) −→ π1 (Y, y0 )
[f ] 7→ h∗ ([f ]) = [h ◦ f ]
³eklinde tanmlanan dönü³üme
h tarafndan olu³turulan homomorzma
ya da indirgenmi³ homomorzma denir.
29
• h∗
dönü³ümü iyi tanmldr:
[f ] = [g] ⇒ f 'p g ⇒ h ◦ f 'p h ◦ g ⇒ h∗ ([f ]) = h∗ ([g])
• h∗
homomorzmdir:
h∗ ([f ] ∗ [g]) = [h ◦ (f ∗ g)] = [h ◦ f ] ∗ [h ◦ g] = h∗ ([f ]) ∗ h∗ ([g])
Tanm 2.3.5.
h : (X, x0 ) −→ (Y, y0 )
bir sürekli dönü³üm olsun.
h∗ : π1 (X, x0 ) −→ π1 (Y, y0 )
[f ] 7→ h∗ ([f ]) = [h ◦ f ]
³eklinde tanmlanan dönü³üme
h tarafndan olu³turulan homomorzma
ya da indirgenmi³ homomorzma denir.
• h∗
dönü³ümü iyi tanmldr:
[f ] = [g] ⇒ f 'p g ⇒ h ◦ f 'p h ◦ g ⇒ h∗ ([f ]) = h∗ ([g])
• h∗
homomorzmdir:
h∗ ([f ] ∗ [g]) = [h ◦ (f ∗ g)] = [h ◦ f ] ∗ [h ◦ g] = h∗ ([f ]) ∗ h∗ ([g])
(i) ve (ii)den istenen e³itlik elde edilir.
2)
(1X )∗ ([f ]) = [1X ◦ f ] = [f ]
Sonuç 2.3.2.
homomorzm
oldu§undan
(1X )∗
birim homomorzmdir.
h : (X, x0 ) −→ (Y, y0 ) bir homeomorzm ise, h
h∗ : π1 (X, x0 ) −→ π1 (Y, y0 ) izomorzmdir.
nin indirgedi§i
h : (X, x0 ) −→ (Y, y0 ) bir homeomorzm olsun. O zaman k ◦ h = 1X
h ◦ k = 1Y olacak ³ekilde k : (Y, y0 ) −→ (X, x0 ) sürekli dönü³ümü vardr.
spat:
ve
Teoremden
(h ◦ k)∗ = (1Y )∗ ⇒ h∗ ◦ k∗ = (1Y )∗ ⇒ h∗ surjektif
(k ◦ h)∗ = (1X )∗ ⇒ k∗ ◦ h∗ = (1X )∗ ⇒ h∗ injektif
O halde
h∗
izomorzmdir.
ALI“TIRMALAR
1)
A, Rn
nin bir alt kümesi olsun. Bir
a0 ∈ A noktas için, a0 A daki di§er
A nn içinde kalyorsa, A kümesine
noktalara birle³tiren tüm do§ru parçalar
30
star konveks denir.
a) Konveks olmayan bir star konveks küme bulunuz..
b)
2)
A
α, X
star konveks ise, basit ba§lantldr. Gösteriniz.
uzaynda
noktasndan
x2
x0
noktasndan
x1
noktasna bir yol;
noktasna bir yol olsun.
γ = α∗β
x1
b
γ
b = β◦α
b
uzaynda
ise, bu takdirde
oldu§unu gösteriniz.
x1 , yol ba§lantl X uzaynn noktalar olsun. π1 (X, x0 n abel olmas
için gerek ve yeter ³art x0 noktasndan x1 noktasna her α ve β yol ikilisi için
α
b = βb olmasdr. Gösteriniz.
3)
x0
β, X
ve
A ⊂ X ve r : X −→ A bir retraksiyon olsun. Verilen bir a0 ∈ A için
r∗ : π1 (X, x0 ) −→ π1 (A, a0 ) dönü³ümünün surjektif oldu§unu gösteriniz.
[pucu: j : A −→ X kapsama dönü³ümünü göz önüne alnz.]
4)
A, Rn nin alt uzay ve h : (A, a0 ) −→ (Y, y0 ) olsun. h dönü³ümü,
g : Rn −→ Y dönü³ümüne geni³letilebiliyorsa, h∗ n a³ikar homomorzm
5)
(yani, her³eyi birim elemana görüntüleyen homomorzm) oldu§unu gösteriniz.
h : X −→ Y , h(x0 ) = y0 ve h(x1 ) = y1 olacak ³ekilde sürekli bir dönü³üm
olsun. X yol ba§lantl olmak üzere α, X uzaynda x0 noktasndan x1 noktasna bir yol ve β = h ◦ α olsun.
6)
βb ◦ (hx0 )∗ = (hx1 )∗ ◦ α
b
oldu§unu gösteriniz.
2.4
S n'in
Temel Grubu
U ve V, X de U ∩V yol ba§lanx0 ∈ U ∩ V olacak ³ekilde bir açk olmak üzere X = U ∪ V olsun.
i : (U, x0 ) −→ (X, x0 ) ve j : (V, x0 ) −→ (X, x0 ) kapsama dönü³ümleri, sfr
Teorem 2.4.1. (Van-Kampen Teoremi):
tl, ve
homomorzmalar yani;
i∗ : π1 (U, x0 ) −→ π1 (X, x0 ),
[f ] 7→ i∗ ([f ]) = {0}
homomorzmalarn üretiyorsa,
j∗ : π1 (V, x0 ) −→ π1 (X, x0 )
[g] 7→ j∗ ([g]) = {0}
π1 (X, x0 ) = {0}
X = S 2 , U = S 2 − {p}, V = S 2 − {q}; U ve V, X te açk
i : (S 2 − {p}, x0 ) −→ (S 2 , x0 ), j : (S 2 − {q}, x0 ) −→ (S 2 , x0 )
2
olsun. x0 ∈ U ∩ V = S − {p, q} olmak üzere
Örnek 2.4.1.
kümelerdir.
dönü³ümler
dr.
31
i∗ : π1 (S 2 − {p}, x0 ) −→ π1 (S 2 , x0 )
j∗ : π1 (S 2 − {q}, x0 ) −→ π1 (S 2 , x0 )
dönü³ümleri sfr homomorzmadr. Çünkü;
S 2 − {p} ∼
= R2 ⇒ π1 (S 2 − {p}, x0 ) ∼
= π1 (R2 , x0 ) = {0}
S 2 − {q} ∼
= R2 ⇒ π1 (S 2 − {q}, x0 ) ∼
= π1 (R2 , x0 ) = {0}.
Van-Kampen teoreminden
Teorem 2.4.2.
S2
π1 (S 2 , x0 ) = {0}
dr.
basit ba§lantl uzaydr.
spat:
π1 (S 2 , x0 ) = {0} (Örnek 9.0.39'dan)
2
2
2)S yol ba§lantl mdr? Yani f : I −→ S sürekli dönü³üm var
3
2
f : I −→g R − {0} −→h S , f = h ◦ g : I −→ S 2
g(t)
x
x 7→ kxk
t 7→ h ◦ g(t) = kg(t)k
2
sürekli dönü³üm vardr. Yani S yol ba§lantldr.
1)
O halde
(1)
n
R (n > 2) R
basit ba§lantl uzaydr.
Rn − {0} (n > 2)
Sonuç 2.4.1. 1)
2)
(2)den S 2
ve
2
m?
basit ba§lantldr.
ye homeomorf de§ildir.
spat:
1)
Rn − {0} ∼
= S n−1
ve
S n−1
basit ba§lantl oldu§undan
Rn − {0}
basit
ba§lantldr.
2) Varsayalm ki
Rn , R2 ye
homeomorf olsun.
Rn − {0} ∼
= S n−1 ⇒ π1 (Rn − {0}, x0 ) ∼
= π1 (S n−1 , x0 ) ∼
= {0}
2
1
2
1
∼
∼
∼
R − {0} = S ⇒ π1 (R − {0}, x0 ) = π1 (S , x0 ) = Z
π1 (Rn − {0}, x0 ) π1 (R2 − {0}, x0 )
oldu§undan varsaymmz yanl³tr.
ALI“TIRMA
1)
S 2 küresinden üç nokta çkarlmas ile elde edilen uzayn temel grubunu
hesaplaynz.
2)
S1 ⊂ S2
küresinin ekvatoru olsun.
S1
ekvatoru
S2
nin retrakti olabilir
mi? Cevabnz açklaynz.
3) A³a§daki uzaylarn basit ba§lantl olup olmad§unu belirleyiniz:
a)
D2
diski,
b)
Rn
c)
R3 − {0}
32
R3 − {xekseni}
2.5
Yüzeylerin Temel Grubu
X
Hausdor, saylabilir baz olan bir topolojik uzay olsun.
2
E§er X e ait her noktann kom³ulu§u R nin açk alt kümesine homeomorf
Tanm 2.5.1.
oluyorsa,
Xe
yüzey denir.
Teorem 2.5.1.
spat:
π1 (X × Y, x0 × y0 ) ∼
= π1 (X, x0 ) × π1 (Y, y0 ).
p1 : X × Y −→ X
ve
p2 : X × Y −→ Y
izdü³üm dönü³ümleri olsun.
φ : π1 (X × Y, x0 × y0 ) −→ π1 (X, x0 ) × π1 (Y, y0 )
[h] 7→ φ([h]) = ([p1 ◦ h]), ([p2 ◦ h])
ile tanmlansn.
φ homomorzma ve iyi tanmldr. (Bu ispat, okuyucuya braklm³tr.)
2) φ 1 − 1:
φ([h]) = ([ex0 ], [ey0 ]) olsun. h ' e(x0 ,y0 ) ?
([p1 ◦ h], [p2 ◦ h]) = ([ex0 ], [ey0 ]) ⇒ [p1 ◦ h] = [ex0 ] ve [p2 ◦ h] = [ey0 ]
⇒ p1 ◦ h ' ex0 ve p2 ◦ h ' ey0
⇒ h ' (ex0 , ey0 ) = e(x0 ,y0 )
⇒ [h] = [e(x0 ,y0 ) ]
O zaman Kerφ = {[e(x0 ,y0 ) ]}
olur. O halde φ injektiftir.
3) φ örtendir:
g : I −→ X , x0 da bir loop; f : I −→ Y , y0 da bir loop olsun.
1)
h : I −→ X × Y
t 7→ h(t) = (g(t), f (t))
x0 × y0 da bir looptur. Üstelik φ([h]) = ([g], [f ])dir. [g] ∈ π1 (X, x0 ), [f ] ∈
π1 (Y, y0 ). Bu durum φnin örtenli§ini getirir.
Sonuç 2.5.1.
π1 (T, z0 ) ∼
= Z × Z.
T ∼
= S1 × S1
π1 (T, z0 ) ∼
= π1 (S 1 × S 1 , x0 × y0 ) = π1 (S 1 , x0 ) × π1 (S 1 , y0 ) ∼
= Z × Z.
spat:
2.6
Ayn Homotopi Tipine Sahip Uzaylar
Tanm 2.6.1.
olacak ³ekilde
sahiptir denir
f : X → Y sürekli dönü³üm olsun. g ◦ f ' 1X ve f ◦ g ' 1Y
g : Y → X sürekli dönü³ümü varsa X ve Y ayn homotopine
ve ' ile gösterilir.
Teorem 2.6.1.
'
ba§nts bir denklik ba§ntsdr.
33
spat:
1. (Yansma)
1:X→X
ve
X'X
birim dönü³üm olsun.
10 ◦ 1 = 1 ⇒ 10 ◦ 1 ' 1
2. (Simetri)
dönü³üm vardr.
h ◦ k ' 1X
ve
olacak ³ekilde
10 : X → X
vardr.
X'X
X'Y ⇒Y 'X
X ' Y ⇒ g ◦ f ' 1X
h=g
1 ◦ 10 = 1 ⇒ 1 ◦ 10 ' 1
h:Y →X
alrsak
X'Y
ve
olacak ³ekilde
g:Y →X
sürekli dönü³üm olsun.
k:X→Y
olacak ³ekilde
k=f
3. (Geçi³me)
f ◦ g ' 1Y
ve
Y 'X
sürekli
k ◦ h ' 1Y
ve
sürekli dönü³ümü var mdr?
gerçeklenir.
Y 'Z⇒X'Z
X ' Y ⇒ g ◦ f ' 1X
ve f ◦ g ' 1Y olacak ³ekilde g : Y → X
Y ' Z ⇒ h ◦ k ' 1Y ve k ◦ h ' 1Z olacak
³ekilde k : Z → Y sürekli dönü³üm vardr. k, g, f, h dönü³ümleri sürekli
oldu§u için k ◦ f = m : X → Z ve g ◦ h = n : Z → X sürekli
dönü³ümlerini m◦n ' 1Z ve n◦m ' 1X olacak ³ekilde tanmlayabiliriz.
(k ◦ f ) ◦ (g ◦ h) = k ◦ (f ◦ g) ◦ h = (k ◦ 1Y ) ◦ h ' 1Z ve
(g ◦ h) ◦ (k ◦ f ) = g ◦ (h ◦ k) ◦ f = (g ◦ 1Y ) ◦ f ' 1X oldu§undan X ' Z
sürekli dönü³üm vardr.
dir.
O halde yukarda tanmlanan
Örnek 2.6.1.
'
h:X →Y
1.
ba§nts bir denklik ba§ntsdr.
homeomorzma ise
X
ve
Y
ayn homotopi
tipine sahiptir.
h bir homeomorzma ise h ◦ k = 1Y ve k ◦ h = 1X
k : Y → X bir sürekli dönü³üm mevcuttur.
h ◦ k = 1Y ⇒ h ◦ k ' 1Y
2.
X R'nin
ve
olacak ³ekilde
k ◦ h = 1X ⇒ k ◦ h ' 1X
konveks alt kümesi olsun.X ile
{∗}
(tek noktal uzay) ayn
homotopi tipine sahiptir.
h:X →{∗}
sürekli dönü³ümünü ele alalm (h sabit dönü³üm oldu§u
için süreklidir.)k
k{ ∗ } = { ∗ }
h ◦ k ' 1{∗} .
:{∗}→X
olsun. Buradan
sürekli dönü³ümü tanmlayalm:
h ◦ k : { ∗ } → X → { ∗ },h ◦ k = 1{∗} ⇒
34
k ◦ h ' 1X
nasl tanmlarz?
H :X ×I →X
sürekli dönü³ümünü
X
konveks oldu§u için ³u ³ekilde
tanmlyabiliriz:
H(x, t) = (1 − t).(k ◦ h)(x) + t.1X (x)
3.
S1
ile
R2 − {0}
ayn homotopi tipine sahiptir.
x
h : R2 − {0} → S 1 , h(x) = kxk
sürekli dönü³ümünü tanmlayalm.
1
2
k : S → R − {0}, k(x) = x kapsama dönü³ümünü ele alalm. (Kapsama dönü³ümü süreklidir.) k ◦h ' 1R2 ve h◦k ' 1S 1 oldu§unu göstere-
lim.
1
S
k/
R2 − {0}
h
/
S1
x
H : R2 − {0} × I → R2 − {0}, H(x, t) = (1 − t).x + t. kxk
dönü³ümünü
tanmlarsak k ◦ h ' 1R2 oldu§unu kolayca görebiliriz. Benzer ³ekilde
h ◦ k ' 1S 1 dir.
Y
ayn homotopi tipine
sahip ise bu uzaylarn temel gruplar izomorftur. Yani
π1 (X, x0 ) ' π1 (Y, y0 ).
Teorem 2.6.2.
X
ve
Y
yol ba§lantl olsun.
X
ve
spat: X ve Y uzaylar yol ba§lantl ve ayn homotopi tipine sahip olsun.
g : X → Y sürekli ve f , Y de kapal yol olsun. g ◦ h ' 1Y ve h ◦ g ' 1X
olacak ³ekilde h : Y → X sürekli dönü³ümü vardr.
g∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0 )
h∗ : π1 (Y, y0 ) → π1 (X, x0 )
g∗ ◦ h∗ ([f ]) = g∗ ([h ◦ f ]) = [g ◦ h ◦ f ] = [1Y ◦ f ] = [f ]
g∗ ◦ h∗ ([f ]) = 1Π1 (Y,y0 ) ([f ])
O halde
h∗
birebirdir.
(g ◦ h)∗ : π1 (Y, y0 ) → π1 (Y, y0 )
(h ◦ g)∗ [k] = [h ◦ (g ◦ k)] = [1X ◦ k] = [k]
h∗ ◦ g∗ ([k]) = 1Π1 (X,x0 ) ([k])
h∗
nn sa§ tersi vardr dolaysyla
h∗
35
örtendir.
Tanm 2.6.2.
1X
(birim dönü³üm) sabit dönü³üme homotop ise
X 'e
büzülebilir
uzay denir.
1. Bir uzayn büzülebilir olmas için gerek ve yeter ³art
Teorem 2.6.3.
bu uzayn
{∗} tek noktal uzay ile ayn homotopi tipine sahip olmasdr.
2. Büzülebilir uzay basit ba§lantldr.
3. De§er kümesi büzülebilir olan iki dönü³üm homotoptur.
4. X büzülebilir ise
1X
sabit dönü³ümüne homotoptur.
spat:
1.
(⇒:) X
büzülebilir uzay olsun.g
:X →{∗}
C∗ = g : X → { ∗ } birim dönü³ümümüz
1 = h : { ∗ } → X olsun. Buradan g ◦ h = 1{∗} ve h ◦ g ' 1X .
Sabit dönü³ümümüz
g : X → {∗}
sürekli dönü³ümumuz olsun. Hipotezden öyle bir h : { ∗ } → X sürekli
dönü³ümumuz vardr ki h ◦ g ' 1X ve g ◦ h ' { ∗ }. h ◦ g(x) = h(∗) = c
sabit ve h ◦ g ' 1X oldu§u için X büzülebilirdir.
(⇐:) X
ve
{∗}
ayn homotopi tipine sahip olsun.
ALI“TIRMALAR
1)
Z
2)
f : X −→ Y
homotopi denk ve
g : Y −→ Z
homotopi denk ise
X
ile
ayn homotopi tipine sahiptir. Gösteriniz.
A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z
n-
gilizce alfabe harerinin hangilerinin birbirine homotopi denk oldu§unu belirleyiniz. Ve temel gruplarn hesaplaynz.
36
3)
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rakamlarnn hangilerinin birbirine homotopi denk
oldu§unu belirleyiniz. Ve temel gruplarn hesaplaynz.
4) Büzülebilir bir uzayn retrakti de büzülebilir olabilir mi? Evet ise is-
patlaynz. Hayr ise bir örnek bularak açklaynz.
5)
X
O zaman
x, y ∈ X
noktas x ve
basit ba§lantl bir uzay
key ve farkl iki nokta olsun.
X
bitim boktas
üzerinde ba³langç
y
olan birtek yol
mevcuttur. Gösteriniz.
6) Möbiüs ³eridinin temel grubunu hesaplaynz.
2.7
Bir Ortak Noktas Olan Çemberler Birle³iminin (Wedge Union)Temel Grubu
X
Hausdor topolojik uzay,
1
biri birim çember S e homeomorf olsun. i
Tanm 2.7.1.
³ekilde x0
n
[
X=
Si
∈X
S1 , S2 , ..., Sn altuzaylarnn her6= j için Si ∩ Sj = {x0 } olacak
noktasnn var oldu§unu varsayalm.
uzayna
S1 , S2 , ..., Sn
bir ortak noktas olan çemberlerinin bir-
i=1
le³imi (Wedge union) denir.
i = 1, ..., n
Örnek 2.7.1.
için
Ci = {(x, y) ∈ R2 | (x − i)2 + y 2 = i2 }
olsun.
X=
n
[
Ci
bir ortak noktas olan
C1 , C2 , ..., Cn
çemberlerinin birle³imidir.
i=1
S1 , S2 , ..., Sn çemberler ve herhangi iki çember Si lerin
x0 ∈ X olmak üzere X bir ortak noktas olan S1 , S2 , ..., Sn
Teorem 2.7.1.
ortak noktas
37
çemberlerinin birle³imi olsun. O zaman
π1 (Si , x0 )
π1 (X, x0 )
nin üretecini temsil eden
Si
π1 (X, x0 )
bir serbest gruptur.
de bir loop ise
f1 , ..., fn
fi ,
looplar
grubunun üreteçlerini temsil eder.
spat: Çember says üzerinden tümevarmla gösterece§iz.
n=1
π1 (S 1 , x0 ) ' Z dir.
i için xi ∈ Si − {x0 }
ise
Herbir
noktasn seçelim ve
Wi = Si − {xi }
olsun.
U = S1 ∪ W2 ∪ W3 ∪ ... ∪ Wn
V = W1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ ... ∪ Sn
alt kümeleri,
X
W1 ∪ ... ∪ Wn
ve
in yol ba§lantl açk alt kümeleridir. Üstelik
X =U ∪V
Not 2.7.1. Herbir
U, V
ve
U ∩V
Wi , x0
srasyla
U ∩V =
dir.
noktasna deformasyon retrakt yaplabilir. Dolaysyla
S1 , S2 ∪ S3 ∪ ... ∪ Sn {x0 }
a deformasyon retrakt
yaplr. Böylece
π1 (X, x0 ) ' π1 (U, x0 ) ∗ π1 (V, x0 ) ' π1 (S1 , x0 ) ∗ π1 (S2 ∪ S3 ∪ ... ∪ Sn , x0 )
π1 (S2 ∪S3 ∪...∪Sn , x0 ) serbest grup ve üreteçleri f2 , ..., f n ile temsil edilsin.
Teoremi n için ispatlayaca§z.
Teorem 2.7.2.
G1 ,
üreteci
{aα }α∈K olan serbest grup
ise G, üreteci {aα }α∈J∪K
{aα }α∈J
olmak üzere
G2 , üreteci
olsun. J ∩ K = ∅
olan serbest grup ve
G = G1 ∗ G2
olan serbest gruptur. Bu teoremden sonucu elde
ederiz.
Sonuç 2.7.1.
1.
G,
sonlu sayda kenarlar olan ba§lantl graf olsun.
maksimal a§aç olacak ³ekilde alt graf ise
π1 (G, p), G−T
T,
deki kenarlara
kar³lk gelen üreteçli serbest abel gruptur.
2.
X = R2 − {x1 , ..., xn } ve x0 ∈ X olsun. π1 (X, x0 ),
bazl fi looplar tarafndan temsil edilen bir serbest abel
38
üreteçleri
gruptur.
p0
2.8
Cohorent Topolo jisi
Bir uzay alt uzaylarn herhangi bir birle³imi ile in³a edildi§inde, bu alt
uzaylara ait topolojiler, uzayn tamamna ait topolojiyi tespit etmede yeterli
olmayabilir.
Tanm 2.8.1.
X=
[
Xα
olsun. E§er a³a§daki önerme mevcut ise
α∈J
ait topolojiye, cohorent topoloji denir.
yeter ³art herbir
2.9
α
için
A ∩ Xα , X α
A ⊂ X
X
e
kapal olmas için gerek ve
da kapaldr.
Bir Ortak Noktas Olan Sonsuz Sayda
Çemberlerin Birle³imi
Tanm 2.9.1.
uzaylar olmak
üzere
1
[ α ∈ J için Sα , S e homeomorf olan alt
X=
Sα olsun. α 6= β için Sα ∩ Sβ = {p} olacak
³ekilde
olsun.
X
α∈J
e ait topoloji cohorent topoloji ise
X , Sα
p∈X
çemberlerinin wedge
birle³imidir.
Lemma 2.9.1.
1.
X , α ∈ J Sα
çemberlerin Wedge birle³imi ise
X
normaldir.
2.
X
in kompakt alt uzay,
Sα
nn sonlu sayda birle³imi tarafndan içer-
ilir.
39
[ α ∈ J için Sα , ortak noktas p ∈ X olan çemberler olmak
X=
Sα olsun. π1 (X, p), serbest abel gruptur. fα , π1 (Sα , p) grubu
Teorem 2.9.1.
üzere
α∈J
üretecini temsil eden bir loop ise
{fα }α∈J
looplar,
π1 (X, p)
grubunun
üreteçlerini temsil eder.
n = 1, 2... için Cn = {(x, y) ∈ R2 | (x − n1 )2 + y 2 =
∞
[
X=
Cn olsun.
Örnek 2.9.1.
olmak üzere
1
}
n2
n=1
g , a³a§daki ³ekilde tanmlanan X de bir loop olsun:
i = 1, 2, ... için g|[ 1 , 1 ]
Ci çember, saat yönünün tersinde olu³an ve
i+1 i
(0, 0) n olmad§ bir looptur. [g] snf, [fi ] tarafndan temsil edilemez.
Lemmadan, X , Ci lerin wedge birle³imi de§ildir.
Lemma 2.9.2. Verilen
birle³imi olan bir
2.10
X
J
index kümesi için,
{Sα }α∈J
çemberlerinin wedge
Sα
larn Birle³i-
uzay vardr.
Bir Ortak Noktas Olan
minin n³as
J de diskret topoloji olmak üzere S 1 × J yi ele alalm. Sabit eleman
b0 ∈ S 1 için
X = S 1 × I{b0 } × J olsun. Herbir α ∈ J için Sα , X deki S 1 × {α} nn
görüntüsü ise X , Sα çemberlerin wedge birle³imidir.
40
2.11
2-Hücre Eklenmesi
Tanm 2.11.1.
A,
sürekli dönü³üm olsun. A³a§daki özde³leme ile olu³turulan
uzay
X
e,
Herbir
k : S 1 −→ A
A∪D2 nin bölüm
yol ba§lantl Hausdor uzay olmak üzere
k dönü³ümü boyunca 2-hücrenin
x ∈ S 1 = ∂D2 için k(x) ∈ A.
eklenmesi ile olu³uyor denir.
Örnek 2.11.1.
Tor, 2-hücrenin iki çemberin wedge birle³imine eklenerek elde edilir.
A uzayna 2-hücrenin k : S 1 −→ A
elde edilen bir uzay X olsun. Ayrca
Teorem 2.11.1. Yol ba§lantl Hausdor
sürekli dönü³üm boyunca eklenmesi ile
p ∈ S 1 ve a = k(p) ∈ A olsun.
i∗ : π1 (A, a) −→ π1 (X, a) sürjektiftir
π1 (A, a) nn normal alt grubudur.
ve bu homomorzmann çekirde§i
π1 (X, a) ' π1 (A, a)N dir.
h : D2 −→ X , A ∪ D2 −→ X bölüm dönü³ümünün kstlan³ olsun.
x0 = h(0), burada 0 ∈ D2 , D2 nin merkezidir. U = X − {x0 } ve
Uyar:
spat:
Ayrca
o
V = X − A = h(D2 ) X in açk
U, V, U ∩ V , yol ba§lantldr.
alt kümeleri olsun. O zaman
41
U ∪ V = X,
g : [0, 1] −→ D2 ,
loop olmak üzere f = h ◦ g olsun. O zaman π1 (U ∩ V, b), [f ]
snf tarafndan üretilen sonsuz devirli gruptur çünkü U ∩ V delinmi³ disk,
f ([0, 1]) çemberine deforma retrakt olur. V , açk birim diske homeomorf
oldu§undan, π1 (V, b) a³ikar gruptur. Dolaysyla π1 (X, b) ' π1 (U, b)M .
(M , π1 (U, b) nin normal altgrubudur.)
r : U −→ A retraksiyondur. r∗ : π1 (U, b) −→ π1 (A, a) izomorzmdir.
k∗ : π1 (S 1 , b) −→ π1 (A, a) homomorzmasnn görüntüsüne ait üreteci temsil
eden loop r ◦ f dir. Böylece r∗ (M ) = N ve dolaysyla π1 (U, b)M '
π1 (A, a)N dir.
b∈U ∩V
D2 de bir
ve
Not 2.11.1.
f, X
de
b
tabanl bir loop olsun. Ayrca
i−1 ◦ α
b([f ]), N
yi üretir.
42
2.12
Tor ve Dunce “apkasnn Temel Grubu
Teorem 2.12.1. (Torun temel grubu),
αβα−1 β −1
ba§ntsn sa§layan
α, β
üreteçleri olan rank 2 serbest abel gruptur.
1
1
olmak üzere q : S −→ S ,
z 7−→ z n olsun. q
1
dönü³ümü boyunca 2-hücreyi S
çemberinin eklenmesi ile elde edilen uzaya
Tanm 2.12.1.
n > 1
n-katmanl dunce ³apkas denir.
Not 2.12.1. 2-katmanl dunce ³apkas projektif düzleme homeomorftur.
Teorem 2.12.2. n-katmanl dunce ³apkasnn temel grubu,
n.
mertebeden
devirli gruptur.
Örnek 2.12.1.
π1 (RP2 ) ∼
= Z2Z ' Z2
π1 (V ) ' Z5Z ' Z5
2.13
Yüzeylerin Temel Grubu
θ0 < θ1 < ... < θn = θ0 + 2π
c ve pozitif say a > 0 için,
dizisini ele alalm. Kompleks düzlemde bir
pj = c + a(cos θj + i sin θj ),
j = 1, ..., n
p1 , ..., pn kö³eli poligon bölgesini belirler. Buna P diyelim. Bu
bölge, tüm pi leri içeren kapal yar düzlemlerin arakesitidir. pi−1 ve pi leri
birle³tiren do§ru parçasna P bölgesinin bir kenar denir.
noktalar,
43
R2
L nin oriyantasyonu (orientation)
uç noktalarnn sralamasdr. Uç noktalarn ilkine a ba³langç noktas ve
ikincisine b biti³ noktas denir. Böyle oriyantal do§ru parçasna, a'dan b'ye
oriyantaldr denir. a'dan b'ye bir okla bu oriyantasyonu gösterebiliriz.
de verilen bir do§ru parças
Tanm 2.13.1.
L
ve
do§ru parças olsun.
L
L0
den
L
için,
srasyla a'dan b'ye ve c'den d'ye iki oriyantal
L0 ne giden pozitif lineer dönü³üm,
h : L −→ L0 , (1−s)a+sb 7−→ h((1−s)a+sb) = (1−s)c+sd,
s ∈ [0, 1]
³eklinde tanml homeomorzmadr.
P , p1 , p2 , ..., pn = p0
φ(pi ) = qi ,
Q, q1 , q2 , ..., qn = q0
q ∈ Q − Bd(Q) seçelim.
olacak ³ekilde φ : P −→ Q
kö³eli çokgenli bir bölge ve
p ∈ P − Bd(P )
i = 1, ..., n ve φ(p) = q
kö³eli çokgenli bir bölge olsun.
homeomorzmay in³a edece§iz.
44
ve
Herbir
i = 1, 2, ..., n
için,
φ((1 − s)pi−1 + spi ) = (1 − s)qi−1 + sqi
φ((1 − s)pi + spi ) = (1 − s)q + sqi
s ∈ [0, 1]
olacak ³ekilde
O zaman
φ
φ
yi tanmlayalm.
parçalarnn birle³imi üzerinde
x
pi−1 pi
iyi tanml ve
φ
kenar ile
süreklidir.
ppi (i = 1, ..., n)
ppi−1 pi
do§ru
üçgenin içine ait herbir
noktas için
x = (1 − t)p + t((1 − s)pi−1 + spi )
s, t ∈ (0, 1) vardr.
s, t ∈ [0, 1] olmak üzere
olacak ³ekilde bir tek
i = 1, ..., n
ve
φ((1 − t)p + t((1 − s)pi−1 + spi )) = (1 − t)q + t((1 − s)qi−1 + sqi )
³eklinde
φ
yi tanmlayalm.
Tanm 2.13.2.
P,
φ
iyi tanml bir homeomorzmadr.
düzlemde çokgenli bir bölge olsun.
maralandrlmas (labelling),
P 'ye ait kenarlarn nu-
P 'ye ait kenarlar kümesinden numaralandrma
kümesine giden bir dönü³ümdür.
45
P 'ye
ait herbir kenarn bir oriyantasyonu ve
alandrlmas için
P 'ye
P 'ye
ait kenarlarn numar-
ait noktalar üzerindeki denklik ba§ntsn a³a§daki
gibi tanmlarz:
Int(P )'ye ait herbir nokta sadece kendisine denktir. Ayn numaralandrP 'ye ait herhangi iki kenar için, h, bir kenardan di§er kenara
giden bir pozitif lineer dönü³üm olsun. lk kenara ait herbir x noktasn, ikinci kenara ait bir h(x) noktasna denkleme yaplan bir ba§nt tanmlansn.
Bu ba§nt, P üzerinde bir denklik ba§ntsdr. Bu denklik ba§nts ile
elde edilen bölüm uzay X , P 'ye ait kenarlarn birbiriyle yap³trlmasyla
maya sahip
elde edilir. (Burada, verilen oriyantasyon ve numaralandrmaya göre bölüm
uzay elde ediliyor).
Örnek 2.13.1.
Örnek 2.13.2.
Tanm 2.13.3.
P , p1 , p2 , ..., pn = 0
(ard arda sralanm³) kö³eli bir çokgenli
P 'ye ait kenarlarn etiketi ve oriyantasyonu için, a1 , ..., am farkl
P 'ye ait kenarlara aittir). Herbir k için,
aik , pk−1 pk kenarnn etiketi olsun. k = 1, pk−1 pk kenarnn pk−1 den
pk ya giden oriyantasyonu, k = −1, pk−1 pk kenarnn pk dan pk−1
e giden oriyantasyonudur. O zaman, P 'ye ait kenarlar says, kenarlarn
bölge olsun.
etiketlendirme olsun (bu etiketler,
oriyantasyonu ve etiketleri
w = (ai1 )1 (ai2 )2 ...(ain )n
46
sembolü ile belirlenir. Bu sembole, çerçeve etiketi (labelling sheme) denir.
Genelde kuvveti
+1
olanlarn ifadesinde
Örnek 1'in çerçeve etiketi
Örnek 2'nin çerçeve etiketi
aa−1 b
RP 2
yazmayaca§z.
dir.
aa−1 bb−1
Örnek 2.13.3. Torun çerçeve etiketi
Örnek 2.13.4.
+1'i
dir.
aba−1 b−1 .
projektif düzlemin çerçeve etiketi
Örnek 2.13.5. Möbius “eridi
Örnek 2.13.6. ki halka
47
abab.
Teorem 2.13.1.
X,
çokgenli bölgeye ait ayn etiketlenmi³ kenarlarn yap³trl-
masyla elde edilen bir uzay olsun. O zaman
X
kompakt Hausdor uzaydr.
Not 2.13.1. Çokgenli bölgenin tüm kö³eleri, bir noktaya yap³trlarak elde
edilen uzayn temel grubu kolayca hesaplanr.
w = (ai1 )1 (ai2 )2 ...(ain )n , P 'ye ait
kenarlarn çerçeve etiketi olsun. X bölüm uzay ve π : P −→ X bölüm
dönü³ümü olsun. π , P 'deki tüm noktalar x0 ∈ X noktasna ta³yor ve
a1 , ..., ak farkl etiketler ve ayn çerçeve etiketinde bulunuyorsa, π1 (X, x0 )
n temel grubu, α1 , ..., αk üreteçli serbest grup ile (αi1 ) 1 ...(αin ) n eleman
Teorem 2.13.2.
P
çokgenli bölge ve
olan normal alt grubunun olu³turdu§u bölüm grubudur.
Tanm 2.13.4.
4n-kenarl
çokgenli bölgeden elde edilen bir uzay göz önüne
alalm.
−1
−1 −1
−1 −1
(a1 b1 a−1
1 b1 ) · (a2 b2 a2 b2 ) · · · (an bn an bn )
Bu uzaya, Torun
T #T #...#T
n-katmanl
topolojik toplam veya n-katmanl tor denir ve
ile gösterilir.
Teorem 2.13.3.
π1 (X, x0 ) temel
[α1 β1 ]...[αn βn ]
X , n-katmanl tor olsun. [α β] = αβα−1 β −1 olmak üzere
grubu, α1 , ..., αn , β1 , ..., βn 2n üreteçli serbest grup ile
elemanlarna sahip normal alt grubun olu³turdu§u bölüm
grubuna izomorftur.
48
m>1
Tanm 2.13.5.
olsun.
2m-kenarl
çokgenli bölgeden elde edilen bir
uzay ele alalm. Bu uzayn çerçeve etiketi
(a1 a1 ).(a2 a2 )...(am am )
m-katmanl
olsun. Bu uzaya
projektif düzlem denir ve
RP 2 #RP 2 #...#RP 2
ile gösterilir.
Teorem 2.13.4.
α1 , ..., αm
grubu,
X
m-katmanl
projektif düzlem olsun. π1 (X, x0 ) temel
α1 2 , ..., αm 2 eleman olan normal
üreteçli serbest grup ile
alt grubunun olu³turdu§u bölüm grubuna izomorftur.
2.14
Komütatör Altgrup
1.
Tanm 2.14.1.
manna
g
ve
G bir grup, g, h ∈ G olmak
h'n komütatörü denir ve [g, h]
üzere
ghg −1 h−1
ele-
ile gösterilir.
2.
G'nin komütatör altgrubu, G'ye ait elemanlarn komütatörlerini içeren
en küçük normal altgrup olarak tanmlanr ve [G, G] ile gösterilir.
3.
G'nin
komütatör altgrubu,
G/∼
bölüm grubunu abel grup yapacak
³ekilde en küçük normal altgrup olarak tanmlanr.
4.
G/[G,G]
abel grubuna,
1.
Örnek 2.14.1.
rank
2.
G
n
abel ise
H1 (X)'e
rank
n
abelle³tirmesi denir.
olan bir serbest abel grup olsun.
G/[G,G] ,
olan bir serbest abel gruptur.
Tanm 2.14.2.
olsun.
G,
G'nin
[G, G] = 0.
Dolaysyla
G/[G,G] = G
dir.
X yol ba§lantl uzay ve H1 (X) = π1 (X, x0 )/[π1 (X, x0 ), π1 (X, x0 )]
X 'in birinci homoloji grubu denir.
49
x0 , H1 (X)
Baz noktas
ifadesinde çkartlm³tr. Çünkü iki farkl
noktadaki abelle³tirilmi³ temel gruplar arasnda yoldan ba§msz bir tek
α
izomorzm vardr.
β , x0 'dan x1 'e
ve
giden iki yol ve
g =α∗β
olsun.
βb : π1 (X, x0 ) −→ π1 (X, x1 )
α
b : π1 (X, x0 ) −→ π1 (X, x1 )
b = [g]−1 ∗ [f ] ∗ [g]
βb−1 ◦ α
b([f ]) = [β ∗ α
b ∗ f ∗ α ∗ β]
p : π1 (X, x0 ) −→ H1 (X)
izdü³üm ise
p(βb−1 ◦ α
b([f ])) = p([g]−1 ∗ [f ] ∗ [g]) = p([g]−1 ) ∗ p([f ]) ∗ p([g]) = p([f ])
βb−1 ◦b
α
π1 (X, x0 )
α
b
&
/ π1 (X, x0 )
x
βb
π1 (X, x1 )
p
/
H1 (X)
Bu nedenle
α
b βb
p
H1 (X)
ayn izomorzmay indirger.
N , F 'nin normal altgrubu ve g : F −→
F/N izdü³üm dönü³ümü olsun. p : F −→ F/[F, F ] izdü³üm homomorzmi
φ : q(F )/[q(F ), q(F )] −→ p(N )/p(N ) izomorzmasn üretir.
Teorem 2.14.1.
F
F,
bir grup,
N , F 'nin
x elemann içeren F 'nin en küçük normal altgrubu olsun. Ayrca G = F/N
ve p : F −→ F/[F, F ] izdü³üm homomorzmas olsun. G/[G, G] bölüm
grubu F/[F, F ] bölüm grubuna izomorftur. Burada F/[F, F ], p(α1 ), ..., p(αn )
Sonuç 2.14.1.
üreteçleri
α1 , ..., αn
olan serbest abel grup ve
bazl serbest abel gruptur.
Teorem 2.14.2.
X , n-katmanl
tor ise
H1 (X)
rank
2n
olan serbest abel
gruptur.
spat 2.14.1.
olan
F
X 'in
G = π1 (X, x0 ), üreteçleri a1 , b1 , ..., an , bn
izomorftur. x ∈ [F, F ] oldu§undan p(x), F/[F, F ]
temel grubu
bölüm grubuna
de a³ikar elemandr.
H1 (X) = G/[G, G] ∼
= F/[F, F ] olur. Bu nedenle
p(a1 ), p(b1 ), ..., p(an ), p(bn ) olan serbest abel gruptur.
Bir önceki sonuçtan,
H1 (X),
bazlar
50
Teorem 2.14.3.
burulma altgrubu
m−1
X , m katmanl projektif düzlem olsun. O zaman H1 (X)'in
T (X) 2. mertebeye sahiptir ve H1 (X)/T (X) mertebesi
olan serbest abel gruptur.
spat 2.14.2.
F
Burada
X 'in
temel grubu
üreteçleri
α1 , ..., αn
G
G∼
= F/N oldu§unu biliyoruz.
2
2
2
serbest grup, N , x = α1 α2 ...αm
olsun.
olan
elemann içeren en küçük normal altgruptur. Abelle³tirdikten sonra,
p(x) = p(α1 2 α2 2 ...αm 2 ) = p(α1 2 ) + ... + p(αm 2 ) = 2(p(α1 ) + ... + p(αm )).
T (x), p(α1 ) + ... + p(αm ) tarafndan üretilen H1 (X)'in altgrubu olsun.
H1 (X)/T (X), p(α1 )...p(αm−1 ) bazl serbest abel gruptur. Burada p :
F −→ H1 (X)/T (X) bölüm dönü³ümlerinden elde edilir. Yani
F −→ F/[F, F ] −→ p(F )/p(N ) −→ H1 (X)/T (X)
Tn , n-katmanl tor ve Pm m-katmanl projektif
S , T1 , T2 , ..., P1 , P2 , ... yüzeyleri topolojik olarak farkldr.
Teorem 2.14.4.
olsun.
spat 2.14.3.
Pi
ler
Tj
S2
di§erlerinden farkl çünkü temel grubu a³ikar gruptur.
lerden farkldr çünkü her ikisi de a³ikar olmayan burulmaya
(torsion'a) sahiptir.
klar vardr.
2.15
düzlem
2
Tj
Pi
ler farkldr çünkü bunlara ait noktalarn farkl ran-
ler farkldr çünkü bunlar farkl rankl serbest abel grupturlar.
Graarda Örtü Uzaylar
[0, 1] birim aral§na homeomorf olan uzay A'ya e§ri denir.
A'nn uç noktalar p ve q dur ki bu noktalar 0 ve 1'e kar³lk gelir. A'nn
içi A − {p, q} altkümesidir. E§ri;
Tanm 2.15.1.
Lineer graf;
51
Tanm 2.15.2. Lineer graf a³a§daki özelliklere sahip
X
olan bir
1) Herbiri e§ri olan
2)
X 'e
Aα
Aα 'larn
birle³imi
uzaydr.
Aα
için
Aα ∩ Aβ
ya bo³tur ya da bir tek eleman içerir.
ait topoloji cohorent topolojisidir.
e§rilerine
X 'in
kenarlar denir. Bu e§rilerin içine de
narlar denir. Bu e§rilerin uç noktalarna da
◦
kö³eler kümesi X
ile gösterilir.
Not 2.15.1.
2.
X 'e
3.
X ◦ , X 'in
1.
X 'in
X 'in
kö³eleri denir.
C , X 'deki kö³eler ve kenarlarn birle³imi ise C
ait her kenar,
X 'in
açk ke-
X 'in
kapaldr.
kapal altkümesidir.
ayrk kapal altkümesidir.
Lemma 2.15.1. Her lineer graf
X,
Hausdortur. Ayrca normal uzaydr.
B ve C , X 'in ayrk kapal altkümeleri olsun. Herbir Aα
kenarnda, Aα ∩ B ve Aα ∩ C nin ayrk kom³uluklar srasyla Uα ve Vα
◦
◦
◦
◦
seçelim. Böylece Aα ∩ B ∩ X = Uα ∩ X
ve Aα ∩ C ∩ X = Vα ∩ X dr.
S
S
U = Uα ve V = Vα alalm. U ∩ V = ∅ oldu§unu gösterece§iz.
x ∈ U ∩ V oldu§unu varsayalm. α 6= β için x ∈ Uα ∩ Vβ ⊆ Aα ∩ Aβ
dr. Böylece x, Aα ve Aβ nn ortak kö³esidir.
spat 2.15.1.
x ∈ Uα ∩ X ◦ = Aα ∩ B ∩ X ◦ ⊂ B
x ∈ Vβ ∩ X ◦ = Aβ ∩ C ∩ X ◦ ⊂ C
Çeli³ki elde edilir.
U
“imdi
ve
V
nin açk oldu§unu gösterelim.
U
nun açk oldu§unu
α için, U ∩ Aα = Uα oldu§unu gösterelim. Uα ⊂ Aα
Uα ⊂ U ∩ Aα dr. x ∈ (U ∩ Aα )\Uα oldu§unu varsayalm. O
x ∈ Uβ (α 6= β). Bu da bize x ∈ Aα ∩ Aβ ⊆ X ◦ sonucunu verir. Bu
göstermek için herbir
oldu§undan
zaman
ise mümkün de§ildir çünkü
x ∈ Aα ∩ Aβ ∩ X ◦ ⊂ Aα ∩ B ⊂ Uα
U ∩ Aα = Uα
Böylece
V 'nin
U 'nun
açk oldu§unu gösterir. Benzer ³ekilde
açkl§ gösterilebilir.
Örnek 2.15.1.
herbir
bu da
α
için
X , ortak noktas p olan Sα çemberlerine ait
Sα − p deki pα , qα farkl noktalarn seçelim. X
graf olarak ifade edilir.
[
◦
i) X = {p} ∪
{pα , qα }
ii)
X 'in
α
kenarlar,
Sα − {p, pα , qα }
nn bile³enlerin kapan³dr.
52
kenar ise
bir lineer
Örnek 2.15.2.
J
bir ayrk uzay ve
E = [0, 1]×J
üzerinde çarpm topolojisi
olsun. X = E/{0} × J lineer graftr.
◦
i) X = {p = {0} × J} ∪ {(1, j)|j ∈ J}
ii)
[0, 1] × {j} j ∈ J
Tanm 2.15.3.
X
kenarlar
bir lineer graf ve
kenarlarn birle³imi olsun. O zaman
X 'in
Y de X 'in altuzay öyleki Y , X 'deki
Y , X 'de kapaldr ve lineer graftr. Y ,
altgraf olarak adlandrlr.
Lemma 2.15.2.
içeren
X 'in
X
C , X 'in kompakt altuzay ise, C 'yi
E§er C ba§lantl ise Y ba§lantl
bir lineer graf olsun.
sonlu altgraf
Y
vardr.
seçilecektir.
spat 2.15.2. Herbir
x ∈ C ∩ X ◦ için Aα kenarn seçelim.
[
[
Y =(
Ax ) ∪ (
Aα )
Aα ◦ ∩C6=∅
x∈C∩X ◦
olsun. Y 'de sonlu sayda kenar oldu§unu göstermek için,
◦
i) X ∩ C bir sonlu kümedir.
◦
ii) {α|C ∩ Aα 6= ∅} sonlu kümedir.
◦
olduklarn göstermeliyiz. X ∩C , C kompakt uzaynn, ayrk kapal altuzay
◦
◦
oldu§undan, X ∩ C 'nin limit noktas yoktur. Dolaysyla X ∩ C sonludur.
C ∩ Aα ◦ 6= ∅ olacak ³ekilde herbir α için xα ∈ Aα ◦ seçelim, xα 'larn
kümesi sonludur.
53
Lemma 2.15.3.
X
lineer graf ise
X
yerel yol ba§lantl ve yar yerel basit
ba§lantldr.
X lineer graf olmak üzere p : E −→ X örtülü dönü³üm
Aα , X 'in bir kenar ve B , p−1 (Aα ) nn yol bile³eni ise p : B −→ Aα
homeomorftur. Ayrca E uzay lineer graftr.
Teorem 2.15.1.
olsun.
2.16
Graarda Kenar Yollar
Tanm 2.16.1.
ile birlikte
2. Bir
X
öyleki
1. Bir
X 'e
X
grafnda yönlü kenar kö³eleri üzerindeki sralama
ait bir kenardr.
grafnda kenar yol,
ei
X 'e
ait yönlü kenarlar
kenarnn biti³ kö³esi
ei+1
e1 , e2 ..., en kenar yollar x0 , x1 , ..., xn
x0 'dan x1 'e kenar yol denir.
2.17
e1 , ..., en
dizisidir
kenarnn ba³langç kö³esidir.
kö³eler dizisi ile belirlenir. Buna
Kenar yola kar³lk gelen Yol
fe : [0, 1] −→ e pozitif ve e üzerine
örten lineer dönü³üm olsun. Dolaysyla fe , e'nin ba³langç noktasndan
e'nin biti³ noktasna giden bir yoldur. e1 , e2 , ..., en kenar yollar verilsin.
Bir
X
grafnn yönlü kenar
e
verilsin.
f = fe1 ∗ (fe2 ∗ (... ∗ fen )...)
yoluna, kenar yola kar³lk gelen yol denir.
54
Lemma 2.17.1. Bir
X 'e
X
grafnn ba§lantl olmas için gerek ve yeter ³art
ait her kö³e çiftinin bir kenar yolu ile birle³tirilmesidir.
spat 2.17.1. (
⇒) X
graf ba§lantl olsun. Her kenar yol ba§lantl oldu§un-
X 'e ait her yol bile³eni ya verilen kenar içerir ya da bu kenarla ayrktr.
X 'e ait her yol bile³eni hem açk hem de kapaldr. X ba§lantl
oldu§undan, sadece bir yol bile³eni vardr. Bu nedenle X yol ba§lantldr.
(⇐) Yol ba§lantl uzay ba§lantl oldu§undan yeter yönü daima mevcuttur.
dan,
Dolaysyla
2.18
ndirgenmi³ Kenar Yollar
e1 , e2 , ..., en , X
grafnda birer kenar yolu olsun. Ard arda yönlendirilmi³
kenarlarda bir kenarn iki ters yönlendirmesi oldu§u durum mevcut olabilir.
E§er bu durum bir kenar üzerinde olu³mazsa kenar yoluna indirgenmi³ kenar
yolu denir. ki ters yönlendirilmi³ kenarlar atarak (en az bir kenar kalmas
³artyla) indirgenmi³ kenar yolu elde ederiz. Bu i³leme indirgenmi³ kenar yol
i³lemi denir.
Tanm 2.18.1. Bir
X
grafnn bir
T
altgrafn alalm. E§er
ve kapal indirgenmi³ kenar yolu içermiyorsa,
55
T 'ye
T
ba§lantl
bir a§aç (tree) denir.
T , X 'de bir a§aç ve A, T ile bir kö³ede kesi³en X 'in
bir kenar ise T ∪ A, X 'de bir a§açtr. Tersi yönde, T , birden fazla kenar
içeren X 'de bir sonlu a§aç ise X 'de bir T0 a§aç vardr ve T = T0 ∪ A
olacak ³ekilde T0 ile bir noktada kesi³en X 'in bir A kenar vardr.
Lemma 2.18.1.
Teorem 2.18.1. Herhangi bir
T
a§ac basit ba§lantldr.
spat 2.18.1. Ödev.
Teorem 2.18.2.
X
basit ba§lantl graf olsun. Bir
olmas için gerek ve yeter ³art
T
a§acnn maksimal
T 'nin, X 'e ait tüm kö³eleri içermi³ olmasdr.
spat 2.18.2. Ödev.
Teorem 2.18.3.
X
bir lineer graf ise her
T0
a§ac bir maksimal a§aç
tarafndan içerilir.
spat 2.18.3. Ödev.
Lemma 2.18.2.
U
ve
V , X 'in
açk alt kümeleri olmak üzere
X = U ∪V
U ∩ V iki açk yol ba§lantl kümeler A ve B 'nin birle³imi olsun.
α, a ∈ A noktasndan b ∈ B noktasna giden U 'da bir yol olsun,
β da b'den a'ya giden V 'de bir yol olsun. U ve V basit ba§lantl ise
[α ∗ β], π1 (X, a) temel grubunu üretir.
olsun,
Ayrca
56
spat 2.18.4. Ödev.
Teorem 2.18.4.
X
bir ba§lantl graf fakat bir a§aç olmasn. O zaman
temel grubu a³ikar olmayan serbest gruptur.
X 'in temel grubunun
X 'in (T tarafndan
T , X 'de
X 'in
bir maksimal a§aç ise
temel üreteçler sistemi vardr. (Bu serbest üreteçler ile
içerilmeyen) kenarlar arasnda bir bijektif dönü³üm
vardr.)
spat : X 'in sonlu bir graf olmas durumunda teoremi ispatlayaca§z. A1 , ..., An
T tarafndan içerilmeyen X 'in kenarlar olsun. Herbir i = 1, ..., n için,
Ai üzerinde bir oriyantasyon verelim. fi : [0, 1] −→ Ai ba³langç noktas
xi0 ∈ Ai den biti³ noktas xi1 ∈ Ai ye giden bir lineer yol olsun.
x0
i = 1, ..., n için T 'de, x0 'dan xi0 'a
giden γi1 yolunu seçelim.
bir kö³e olsun. Herbir
yolunu ve
x0 'dan xi1 'e
57
giden
γi0
gi = γi0 ∗ (fi ∗ γi1 )
kapal yollarn (loop) yol homotopi snarnn
i = 1, ..., n
π1 (X, x0 )
serbest grubuna ait
serbest üreteçler sistemi olu³turdu§unu iddia ediyoruz. Bunu
n
üzerinden
tümevarmla ispatlayalm.
n=1
ise
π1 (X, x0 ), g1
kapal yolunun yol homotopi snar ile üretilen
sonsuz devirli gruptur.
S , A1 'i
içeren indirgenmi³ kapal kenar yollarn birle³imi olmak üzere
alt graf olsun.
retrakt
T 'nin
X 'in
X 'den S 'ye bir deformasyon retrakt vardr ve bu deformasyon
S 'nin kö³e noktalarn-
herbir kenarndan olu³maktadr fakat
dan olu³mamaktadr.
58
Bu nedenle
X −→ S −→ X/T
bölüm dönü³ümlerinin bile³kesi homotopi
π1 (X, x0 )'in [g1 ] tarafndan üretilen sonsuz
devirli grup oldu§unu gösterir. k < n için teoremin hipotezi olu³sun. pi , Ai
nin içine ait bir nokta ve U = X − {pn } ve V = X − {p1 , ..., pn−1 } olsun.
denkliklerin bile³kesidir. Bu da
U
ve
V
yol ba§lantl ve
U ∩V
basit ba§lantldr. Seifert-Van Kampen
Teoreminden,
π1 (X, x0 ) ' π1 (U, x0 ) ∗ π1 (V, x0 )
tümevarm hipotezinden,
gruptur.
X 'den
π1 (U, x0 ), [g1 ], ..., [gn−1 ]
tarafndan üretilen serbest
An kenarn çkard§mzda olu³an graf, U 'nun deforT ∪An , V 'nin deformasyon retrakt oldu§undan π1 (V, x0 )
üretilen sonsuz devirli gruptur. Sonuç olarak
π1 (X, x0 )
masyon retraktdr.
[gn ] tarafndan
{[g1 ], ..., [gn ]} tarafndan
Teorem 2.18.5.
H, F
üretilen serbest gruptur.
serbest grubunun bir altgrubu ise
H
serbest alt-
gruptur.
spat :
F,
serbest üreteçleri
x0
ortak noktalar
Sα
{α | α ∈ J}
α 7−→ [Sα
etrafndaki
Sα ,
S
olsun.
α∈J Sα
X 'i bir lineer graf olarak da göz önüne
X =
olan çemberler olmak üzere
üç kenardan olu³mak üzere
alabiliriz.
olan bir serbest grup olsun.
kapal yol ]
p−1 (x0 ) için
e³lemesini yaparak,
F 'yi
π1 (X, x0 ) ile belirleyebiliriz. e0 ∈
p∗ π1 (E, e0 ) = H olacak
³ekilde p : E −→ X örtü dönü³ümü var oldu§unu biliyoruz. Dolaysyla E
bir lineer graftr. π1 (E, e0 ) bir serbest gruptur. p∗ monomorzm oldu§undan,
H ' π1 (E, e0 ).
2.19
Euler Says
Tanm 2.19.1.
X
dan kenarlar says çkarlmasyla elde
Lemma 2.19.1.
X
X 'in Euler says, kö³eler saysnedilir ve χ(X) ile gösterilir.
sonlu lineer graf olsun.
sonlu ba§lantl lineer graf olsun.
ait serbest üreteçlerin kardinal says
1 − χ(X)
59
dir.
π1 (X, x0 )
temel grubuna
spat : Ödev (Munkres)
H , G grubunun altgrubu olsun. H 'n sa§ yan kümeler
G/H sonlu ise bunun kardinal saysna, H 'n G'de indeks
Tanm 2.19.2.
kolleksiyonu
says denir.
F , n+1 serbest üreteci olan serbest grup olsun. H , F 'nin
altgrubu olmak üzere H 'n F 'de indeks says k ise H altgrubunun kn+1
Teorem 2.19.1.
tane serbest üreteci vardr.
spat :
X,
n + 1 - devirlerin kenarlar olan bir lineer
H için
p : E −→ X örtü dönü³ümünü seçebiliriz.
geometrik realizasyonu
graf olmak üzere
F = π1 (X, x0 )
p∗ π1 (E, e0 ) = H
olacak ³ekilde
oldu§unu varsayabiliriz. Verilen
φ : π1 (X, x0 )/H −→ p−1 (x0 )
bijektif oldu§undan,
p : E −→ X k -katmanl
örtü dönü³ümüdür. Bu ne-
denle
χ(E) = E 'nin kö³e says - E 'nin kenar says
= k (X 'in kö³e says - X 'in kenar says)
= k(1 + 2(n + 1) − 3(n + 1))
= −kn
π1 (E, e0 )
temel grubunun serbest üreteç says
1 − χ(E) = 1 + kn
dir.
2.20
Düzleme Gömülebilen Graar
G'ye
ait
kenarlara yeni kö³eler eklenerek yeni kö³eler yeni kenarlardan olu³an bir
G
Tanm 2.20.1. Bir lineer graf
G'nin
lineer graftr.
60
alt bölmesi (subdivision)
G
graf ile bunun alt bölmesi
G
topolojik uzay olarak ayndr.
Teorem 2.20.1. (Kuratowski) Bir sonlu lineer grafn düzleme gömülebilmesi
için gerek ve yeter ³art
K5
ve
K3,3
in alt bölmesi olan bir alt graf sonlu
lineer grafn içermemesidir.
Tanm 2.20.2.
n
kö³e üzerinde tam (complete) graf,
kenar olan graftr.
Örnek 2.20.1.
K5
Örnek 2.20.2.
K3,3
bir tam graftr.
iki taraftan bölmeli tam graftr.
61
n
kö³esi ve
n(n−1)
2
Tanm 2.20.3. Bir çapl çembere homeomorf olan Hausdor uzayna teta
uzay denir.
S 2 nin alt uzay olsun. A, B, C üç
2
yay olmak üzere uç noktalarda birle³imi X olsun. O zaman X , S yi üç
2
parçaya böler (bu bile³enlerin snrlar A∪B, B ∪C, A∪C dr). S −(A∪B)
parçasnn snr A ∪ B dir.
Lemma 2.20.1.
X
bir teta uzay ve
spat : Ödev.
Teorem 2.20.2.
K3,3
düzleme gömülemez.
spat :
K3,3 {g, w, e} {h1 , h2 , h3 }
kö³elerine ve bu noktalar birle³tiren kenarlara
sahip olsun.
A = gh1 w
üç yay göz önüne alalm.
B = gh2 w
Y = A∪B∪C
C = gh3 w
uzay bir teta uzaydr. K3,3
S 2 ye de gömülebildi§ini
ün düzleme gömüldü§ünü varsayalm. Bu grafn
2
dü³ünebiliriz. Y , S yi üç parçaya ayrr. Bunlara
U, V, W olarak belirtelim.
e ∈ U ∪ V ∪ W dir. E§er e ∈ U ise eh3 , ∂U = A ∪ B ile kesi³melidir. ∂U
2
da S − U dan U yu ayrr. Bu bir çeli³ki. Benzer ³ekilde e, ne V ne de
W 'ye ait de§ildir. Bu nedenle K3,3 düzlem içine gömülemez.
X , a1 , a2 , a3 , a4 kö³eleri üzerinde tam graf olmak üzere,
S nin alt uzay olsun. O zaman X , S 2 yi dört parçaya ayrr. Bu parçalarn
snrlar X1 , X2 , X3 ve X4 dür. Xi ler, ai (i=1,2,3,4) kö³esini içermeyen
Lemma 2.20.2.
2
kenarlarn birle³imidir.
62
Teorem 2.20.3.
K5
düzlem içine gömülemez.
spat : a1 , ..., a5 kö³eleri üzerinde tam olan graf düzlem içine gömülebildi§ini
2
varsayalm. O zaman bu grafn S ye de gömülebildi§ini dü³ünebiliriz. U1 , U2 , U3 , U4 ,
S 2 − K4 ün parçalar olsun. K4 , a5 kö³esini içermeyen kenarlardan olu³an
altgraf olmak üzere
∂Ui = Xi
birinde bulunmaldr. ai a5 kenar
2
in S ye gömülmesiyle çeli³ir.
2.21
i = 1, ..., 4. O zaman a5 kö³esi Ui lerden
Xi 'ye ait kenar ile kesi³melidir. Bu da K5
Basit Kapal E§rilerin Sarmal Saylar (Winding numbers)
Tanm 2.21.1.
h : (S 1 , b0 ) −→ (R2 − {0}, x0 )
sürekli dönü³ümünün in-
dirgedi§i homomorzma
h∗ : π1 (S 1 , b0 ) −→ π1 (R2 − {0}, x0 )
Burada
n
α 7−→ β n
tamsaysna orijine göre h dönü³ümünün sarmal says (winding
number) denir.
Not 2.21.1. Sarmal says,
h
dönü³ümünün görüntüsünün orijin etrafnda
kaç defa turlad§n belirtir.
63
Bu bölümde
h
n injektif olmas durumunu ele alaca§z.
R2 − {0}
daki
basit kapal e§ri orijin etrafnda kaç kez tur yapar ?
E§er sfr,
R2 − C
nin snrsz bile³enine ait ise orijin civarnda basit ka2
pal e§riye ait sarmal say sfrdr. E§er sfr R − C snrl bile³ene ait ise
sarmal say
∓1
dir. Sfrn snrl olmayan bile³ene ait olmas durumunda,
2
2
basit kapal e§ri C , R − {0} da nullhomotopiktir. Bu e§ri π1 (R − {0}, x0 )
grubunun a³ikar elemanna (birim) kar³lk gelir ve böylece sarmal says
sfrdr. Sfrn snrl bile³ene ait olmas durumunda, düzlemin bir kompakt2
la³trmas R ∪ {∞} dan küreye bir homeomorzmay kullanarak, 0 ve ∞'a
2
kar³lk gelen S de p ve q gibi iki nokta seçilsin. p ve q noktalarn
2
ayran S de basit kapal C e§risini göz önüne alalm.
j : C −→ S 2 −{p, q}
kapsama dönü³ümü olsun. Amacmz
2
homomorzmann izomorzma oldu§unu göstermektir.
ilen 4 nokta üzerinde tam grafn alt graf
paca§z.
64
C
S
j 'nin indirgedi§i
tarafndan içer-
olmas durumunda ispat ya-
G, a1 , a2 , a3 , a4 kö³eleri üzerinde tam graf olmak üzere,
S nin alt uzay olsun. C , a1 a2 a3 a4 a1 alt graf olsun (C a1 , a2 , a3 , a4 , a1
kö³eleri etrafnda turlayan basit kapal e§ridir). p ve q , a1 a3 ve a2 a4
Lemma 2.21.1.
2
kenarlar srasyla orta nokta olsun. O zaman
2
a) p ve q , S − C 'nin farkl bile³enlerine aittir.
2
b) j : C −→ S − {p, q} kapsama dönü³ümünün indirgedi§i homomorzma
izomorzmadr.
j∗ : π1 (C, x0 ) −→ π1 (S 2 − {p, q}, x0 )
C ∪ a1 a3 , S 2 yi üç bile³enine ayrr, bunlar U, V ve
W dr. Bunlardan birinin snr C olan W olsun. W , snrda a2 a4 olan,
S 2 − (C ∪ a1 a3 ) na ait üç bile³enden sadece bir tanesidir. Bu nedenle açk
yay a2 a4 − {a2 a4 }, W bile³enine aittir. Özellikle q ∈ W dir. p ∈ C ∪ a1 a3
oldu§undan p ∈
/ W dir. W , S 2 − C nin bir bile³eni oldu§undan p ve q ,
2
S − C nin farkl bile³enlerine aittir.
spat : a) Teta uzay
65
X = S 2 − {p, q} olsun. Ayrca D1 = pa3 a2 q ve D2 = qa4 a1 p birer yay
2
2
olsun. U = S − D1 ve V = S − D2 alalm. x, a1 a2 nin orta noktas, y ,
a3 a4 ün orta noktas olsun. α, xa1 ∪a1 a4 ∪a4 y bir yol β , ya3 ∪a3 a2 ∪a2 x bir
yol olsun. U, V, α, β Jordan E§ri Teoreminin hipotezlerini olu³turdu§undan,
α ∗ β , π1 (S 2 − {p, q}, x0 ) temel grubunu üretir.
b)
Teorem 2.21.1.
C, S2
de basit kapal e§ri olsun.
p
farkl bile³enlerinde bulunan noktalar olsun. O zaman
q , S 2 − C nin
j : C −→ S 2 − {p, q}
ve
kapsama dönü³ümü izomorzma üretir.
spat : Ödev.
2.22
Simpleksler Homolo ji Grubu
Tanm 2.22.1.
K
oriented simpleksler kompleksi olsun.
•
Zq (K) = Ker∂q
= {< p0 , p1 , . . . , pq >∈ Cq (K) | ∂q (< p0 , . . . , pq >) = 0}
(2.1)
(2.2)
grubuna q-devir grubu denir.
•
Bq (K) = Im∂q+1
(2.3)
= {< p0 , p1 , . . . , pq >∈ Cq (K) | ∂q+1 (< p0 , . . . , pq+1 >) =< p0 , p1 , . . . , pq >}
(2.4)
grubuna q-snr grubu denir.
Teorem
6.2.2
Lemma 2.22.1.
den a³a§daki sonuçu söyleyebiriz.
Bq (K) ⊂ Zq (K) ⊂ Cq (K)'dr.
66
K, m boyutlu bir simpleksler kompleksi
q . boyutta simpleksler homoloji grubu
Tanm 2.22.2.
Zq (K)
bölüm grubuna
Bq (K)
olsun.
Hq (K) =
denir.
Teorem 2.22.1.
1.
K=∅
2.
K = {x0 }
ise
H0 (K) = 0'dir.
bir 0-simpleks ise
q≥1
Hq (K) = 0,
spat:
1.
K=∅
olsun.
C0 (K) = 0,
C1 (K) = 0,
∂
C2 (K) = 0;
∂
∂
Ci (K) = 0 i ≥ 3
∂
0 →4 C3 (K) →3 C2 (K) →2 C1 (K) →1 C0 (K) → 0
Z0 (K) = Ker ∂0 = 0
H0 (K) =
Dolasyla
2.
K = {x0 }
B0 (K) = Im ∂1 = 0.
∼
= {0}.
Z0 (K)
B0 (K)
olsun.
C0 (K) =< x0 >∼
= Z,
ve
Ci (K) = {0} i ≥ 1.
Buradan a³a§daki ksa diziyi elde ederiz;
∂
∂
0 →1 C0 (K) →0 0.
Bu diziden hemen a³a§dakini elde edeiz;
Z0 (K) = Ker ∂0 = C0 (K) ' Z,
Sonuç olarak
Teorem 2.22.2.
B0 (K) = Im ∂1 = {0}.
H0 (K) ∼
= Z.
f : X −→ Y
homeomorf ise
tur.
spat: Okuyucuya braklm³tr.
67
f∗ : Hq (X) → Hq (Y )
izomorf-
Örnek 2.22.1. Klein “i³esi
1 tane 0-simpleks ([v]), 3 tane 1-simpleks
2-simpleks ([U ], [L]) vardr. Böylece
Klein ³i³esinde,
2
tane
C0 (Kb) ∼
= Z,
Di§er taraftan
q≥3
C1 (Kb) ∼
= Z ⊕ Z ⊕ Z,
için
Cq (Kb) ∼
= {0}
∂
∂
(
[a], [b], [c]),
ve
C2 (Kb) ∼
= Z ⊕ Z.
dir. A³a§daki ksa diziyi elde edriz;
∂
∂
3
2
1
0
0 −→
C2 (Kb) −→
C1 (Kb) −→
C0 (Kb) −→
0
Bu ksa diziden hemen
Ker ∂0 = C0 (Kb) ∼
=Z
ve
Im ∂3 = {0} e³itliklerini
elde ederiz.
∀ p U + q L ∈ C2 (Kb)
için
∂2 (pU + qL) = p ∂2 (U ) + q ∂2 (L)
= p (−a − b + c) + q (−c − a + b)
= −(p + q) a + (q − p) (b − c)
b − a − c elemanlar Im ∂2 yi üretir.
2Z ⊕ Z dir. “imdi ∂2 nin çekirde§ini tespit edelim.
∂2 (pU + qL) = 0 olsun. O zaman
O halde
2a
ve
Buradan;
(2.5)
(2.6)
(2.7)
Im ∂2 ∼
=
−(p + q) a + (q − p) (b − c) = 0 ⇐⇒ p = q = 0.
Ker ∂2 ∼
= {0} dir.
∀r1 a + r2 b + r3 c ∈ C1 (Kb)
Böylece
için
∂1 (r1 a + r2 b + r3 c) = r1 ∂1 (a) + r2 ∂1 (b) + r3 ∂1 (c)
= r1 (v − v) + r2 (v − v) + r3 (v − v)
=0
68
(2.8)
(2.9)
(2.10)
elde edilir. Bu durumda
Ker ∂1 ∼
=Z⊕Z⊕Z
ve
Im ∂1 ∼
= {0}
dir.
Sonuç olarak Klein “i³esinin simpleksler homoloji grubu;


q = 0,
Z,
Hq (KB) = Z2 ⊕ Z, q = 1


0,
q 6= 0, 1.
Örnek 2.22.2. Tor
1 tane 0-simpleks ([v]), 3 tane 1-simpleks [a], [b], [c]),
2-simpleks ([U ], [L]) vardr. Dlasyla
Torda,
tane
C0 (T ) ∼
= Z,
Di§er taraftan
q≥3
C1 (T ) ∼
= Z ⊕ Z ⊕ Z,
için
∂
Bu ksa diziden
Cq (T ) ∼
= {0}
∂
ve
2
C2 (T ) ∼
=Z⊕Z
dir.
∂
∂
3
2
1
0
0 −→
C2 (T ) −→
C1 (T ) −→
C0 (T ) −→
0
hemen Ker ∂0 = C0 (T ) ∼
= Z ve Im ∂3 ∼
= {0}
olduklarnz
görürüz.
∀pU + qL ∈ C2 (T )
için
∂2 (pU + qL) = p ∂2 (U ) + q ∂2 (L)
= p (−a − b + c) + q (a + b − c)
= p (−a − b + c) + q (a + b − c)
= (p − q) (c − a − b)
O halde
qL) = 0
Im ∂2 ∼
=Z
olur. “imdi
∂2
nin çekirde§ini hesaplayalm.
olsun. O zaman
(p − q) (c − a − b) = 0 =⇒ p = q.
69
(2.11)
(2.12)
(2.13)
(2.14)
∂2 (pU +
Ker ∂2 ∼
= Z dir.
∀r1 a + r2 b + r3 c ∈ C1 (T ) için
Böylece
∂1 (r1 a + r2 b + r3 c) = r1 ∂1 (a) + r2 ∂1 (b) + r3 ∂1 (c)
= r1 (v − v) + r2 (v − v) + r3 (v − v)
=0
elde edilir.
O zaman
Ker ∂1 = C1 (T ) ∼
= Z⊕Z⊕Z
ve
Im ∂1 ∼
= {0}
Sonuç olarak Tor'un simpleksler homoloji grubu;

Z,



Z ⊕ Z,
Hq (T ) =

Z,



0,
70
q
q
q
q
= 0,
=1
=2
6= 0, 1, 2.
(2.15)
(2.16)
(2.17)
oldu§unu görürüz.
Örnek 2.22.3. Reel Projektif Düzlem
2 tane 0-simpleks ([v], [w]), 3 tane 1-simpleks
2-simpleks ([U ], [L]) vardr. Dolasyla
Reel Projektif Düzleminde,
([a],
[b], [c]),
ve
2
tane
C0 (RP 2 ) ∼
= Z ⊕ Z,
Di§er taraftan
q≥3
için
C1 (RP 2 ) ∼
= Z ⊕ Z ⊕ Z,
Cq (RP 2 ) ∼
= {0}
∂
Bu ksa diziden
∂
C2 (RP 2 ) ∼
=Z⊕Z
dir.
∂
∂
3
2
1
0
0 −→
C2 (T ) −→
C1 (T ) −→
C0 (T ) −→
0
2
hemen Ker ∂0 = C0 (RP ) ∼
= Z ⊕ Z ve Im ∂3 ∼
= {0}
olduklarnz görürüz.
∀pU + qL ∈ C2 (RP 2 )
için,
∂2 (pU + qL) = p ∂2 (U ) + q ∂2 (L)
= p (−a + b + c) + q (−a + b − c)
= −a (p + q) + b (p + q) + c (p − q)
= (p + q) (b − a) + (p − q) c
Im ∂2 in üreteçleri, 2(b − a) ve −a − c + b
∼
Im∂2 = 2Z ⊕ Z oldu§unu rahatlkla söyleyebiliriz. “imdi ∂2
O halde
(2.18)
(2.19)
(2.20)
(2.21)
dir. Buradan
nin çekirde§ini
hesaplayalm.
∂2 (pU + qL) = 0
(p + q) (b − a) + (p − q) c = 0
(p + q) (b − a) + (p − q) c = 0 ⇐⇒ p = q = 0.
71
(2.22)
(2.23)
Ker ∂2 = {0}
O halde
dir.
∀r1 a + r2 b + r3 c ∈ C1 (T )
için,
∂1 (r1 a + r2 b + r3 c) = r1 ∂1 (a) + r2 ∂1 (b) + r3 ∂1 (c)
= r1 (w − v) + r2 (w − v) + r3 (v − v)
= (w − v) (r1 + r2 ).
O zaman
Im ∂1 'in
üreteçi bir tanedir. Yani
çekirde§ini tespit edelim.
∂1 (r1 a + r2 b + r3 c) = 0
(w − v) (r1 − r2 ) = 0
Böylece
Ker ∂1 ∼
= Z⊕Z
=⇒
Im ∂1 ∼
=Z
dir.
(2.24)
(2.25)
(2.26)
Im ∂1 'in
olsun. O zaman
r1 = −r2 .
olur. Sonuç olarak Reel Projektif Düzlemin sim-
pleksler homoloji grubu;


Z,
2
Hq (RP ) = Z2 ,


0,
q = 0,
q=1
q 6= 0, 1.
Örnek 2.22.4. Möbiüs “eridi
2 tane 0-simpleks
grubu
Z
C0 (M b)
[x], [y]
var.
Bunlar baz kabul eden serbest abel
ile gösterelim. Biz baz 2 tane olan serbest abel grubun
Z⊕
oldu§unu biliyoruz ve bu serbest abel grupta çal³mak bizim için daha
al³agelmi³ oldu§undan
C0 (M b) ' Z ⊕ Z
alyoruz. Bu mantkla
simpleksi baz kabul eden serbest abel grubunu
ona izomorf olan
n
tane
Z
Ck (M b)
n
tane k-
ile gösterece§iz ve
nin direkt toplamn olan serbest abel grubunda
çal³aca§z.
[α], [β], [δ], [γ] var. O halde C1 (M b) ' Z ⊕ Z ⊕ Z ⊕ Z
2 tane 2-simpleks [U ], [L] var. O halde C2 (M b) ' Z ⊕ Z
Ve q ≥ 3 için Cq (M b) ' {0} dir.
4 tane 1-simpleks
... −→ 0 −→ C2 (M b) −→ C1 (M b) −→ C0 (M b) −→ 0
72
Burada;
Ker∂0 = C0 (M b) ' Z ⊕ Z
Im∂3 = {0}
ve
oldu§u açktr.
∂2 : C2 (M b) −→ C1 (M b)
homomorzmasn ele alalm.
p, q ∈ Z
ve
∀ p[U ] + q[L] ∈ C2 (Kb)
için
∂2 (p[U ] + q[L]) = p ∂2 [U ] + q ∂2 [L] = p (−α − β + γ) + q (−α − γ + δ)
= −(p + q) α − p β + qδ + (p − q)γ
O zaman önce Im∂2 yi hesaplayalm. −(p + q) = ω1 ,
−p = ω2 , q = ω3 ,
p − q = ω4 diyelim ω4 = −ω2 − ω3 ve ω1 = ω2 − ω3 ³eklinde yazlabiliyor.
Im∂2 = {ω1 α + ω2 β + ω2 δ + ω4 γ} = {(ω2 − ω3 )α + ω2 β + ω3 δ + (−ω2 − ω3 )γ}
= {ω2 (−α + β − γ) + ω3 (−α + δ − γ)} ' Z ⊕ Z
( Bu durumda C1 (M b) de geriye sadece 2 baz kalr. Baz iki olan ve
çal³labilecek en kolay serbest grup Z ⊕ Z oldu§undan Im∂2 ' Z ⊕ Z dir.)
“imdi Ker∂2 yi hesaplayalm:
∂2 (pU +qL) = 0 olsun. Bu durumda = −(p+q) α−p β +qδ +(p−q)γ = 0
dr. Ker∂2 ≤ C2 (M b) serbest altgrubu oldu§undan lineer ba§mszdr. O
halde −p − q = 0 −p = 0 q = 0 p − q = 0 olur. Buradan p = q = 0 dr.
Ker∂2 = 0 dr.
∂1 : C1 (M b) −→ C0 (M b)
homomorzmasn ele alalm.
C1 (M b)
∀r1 , r2 , r3 r4 ∈ Z ve ∀r1 [α]+r2 [β]+r3 [δ]+r4 [γ] ∈
için
∂1 (r1 [α] + r2 [β] + r3 [δ] + r4 [γ]) = r1 ∂1 ([α]) + r2 ∂1 ([β]) + r3 ∂1 ([δ]) + r4 ∂1 ([γ])
= r1 (y−x)+r2 (x−y)+r3 (y−x)+r4 (x−x) = (r1 −r2 +r3 )(y−x)+r4 (x−x)
elde edilir.
Ker∂2 yi hesaplayalm. ∂1 (r1 [α] + r2 [β] + r3 [δ] + r4 [γ]) = 0 olsun. O zaman
(r1 −r2 +r3 )(y−x)+r4 (x−x) = 0 dr. Yine lineer ba§mszlktan r1 −r2 +r3 = 0
ve r4 ∈ Z dir. r2 = r1 + r3 ³eklinde yazlabildi§inden r1 , r3 , r4 katsaylar
kalr. O zaman Ker∂2 ' Z ⊕ Z ⊕ Z dir.
Im∂1 yi hesaplayalm. ∂1 (r1 [α] + r2 [β] + r3 [δ] + r4 [γ]) = (r1 − r2 + r3 )(y −
x) + r4 (x − x) = r(y − x) olur. Yani Im∂1 = {r(y − x) r ∈ Z} ' Z dir.
Artk Möbiüs “eridinin homoloji gruplarn hesaplayabiliriz.
73
H0 (M b) =
H1 (M b) =
Ker∂0
Im∂1
Ker∂1
Im∂2
H2 (M b) =
Örnek 2.22.5.
p0 = (0, 0, 0),
'Z⊕Z
Ker∂2
Im∂3
Hq (M b) = {0}
'Z
= {0}
q≥3
p1 = (1, 0, 0),
dir.
p2 = (1, 2, 0),
p3 = (2, 3, 4)
P3
6
P0
@
R
@
@
@ P2
P1 σ10 =< p0 >,
σ20 =< p1 >,
σ30 =< p2 >,
σ11 =< p0 , p1 >, σ21 =< p0 , p2 >,
σ61 =< p2 , p3 >
σ51 =< p1 , p3 >,
σ40 =< p3 >
σ31 =< p0 , p3 >,
σ41 =< p1 , p2 >
σ12 =< p0 , p1 , p2 >, σ22 =< p1 , p2 , p3 >, σ32 =< p0 , p2 , p3 >, σ42 =< p0 , p1 , p3 >
C0 (K) =< σ10 > ⊕ < σ20 > ⊕ < σ30 > ⊕ < σ40 >' Z ⊕ Z ⊕ Z ⊕ Z ∼
= Z4
C1 (K) =< σ11 > ⊕ < σ21 > ⊕ < σ31 > ⊕ < σ41 > ⊕ < σ51 > ⊕ < σ61 >∼
= Z6
C2 (K) =< σ12 > ⊕ < σ22 > ⊕ < σ32 > ⊕ < σ42 >∼
= Z4
C3 (K) =< σ13 >∼
=Z
Ci (K) = 0 i ≥ 4
74
∂
∂
∂
∂
3
2
1
0
0 −→
C2 (K) −→
C1 (K) −→
C0 (K) −→
0
∂
∂
∂
∂
3
2
1
0
0 −→
Z4 −→
Z6 −→
Z4 −→
0
Z0 (K) = Ker ∂0 = C0 (K) ∼
= Z4
B0 (K) = Im ∂1
(2.27)
0
0
0
0
= {a1 < σ1 > +a2 < σ2 > +a3 < σ3 > +a4 < σ4 >| a1 + a2 + a3 + a4 = 0}
(2.28)
∼
=Z
3
(Üreteç says
3)
(2.29)
Dolasyla sfrnc boyutta homoloji grubu;
H0 (K) =
Z0 (K) ∼ Z4 ∼
= 3 =Z
B0 (K)
Z
Hatrlatma:
∂i (< p0 , p1 , . . . , pm >) =
m
X
(−1)i < p0 , p1 , . . . , p̂i , . . . , pm >
i=0
∂1 (σ11 ) = p1 − p0
∂1 (σ21 ) = p2 − p0
∂1 (σ31 ) = p3 − p0
∂1 (σ41 ) = p2 − p1
∂1 (σ51 ) = p3 − p1
∂1 (σ61 ) = p3 − p2
∂1
snr homomorzmasnn matrisi;


−1 −1 −1 0
0
0
 1
0
0 −1 −1 0 


 0
1
0
1
0 −1 
0
0
1
0
1
1
75
(2.30)
(2.31)
(2.32)
(2.33)
(2.34)
(2.35)
∂2 (σ12 ) =< p1 , p2
∂2 (σ22 ) =< p2 , p3
∂2 (σ32 ) =< p2 , p3
∂2 (σ42 ) =< p1 , p3
> − < p0 , p2
> − < p1 , p3
> − < p0 , p3
> − < p0 , p3
> + < p0 , p1
> + < p1 , p2
> + < p0 , p2
> + < p0 , p1
>
>
>
>
(2.36)
(2.37)
(2.38)
(2.39)
(2.40)
∂2
snr homomorzmasnn matrisi;




⇒




1
0
0
1
−1 0
1
0 

0
0 −1 −1 

1
1
0
0 

0 −1 0
1 
0
1
1
0
Verilen piramidin homoloji grubu;
(
Z, q = 0, 2
Hq (K) =
0, q 6= 0, 2.
2.23
Simpleksler Kompleksin Euler Karakteristi§i
(K, f ), S 2 kürenin bir üçgenle³tirilmi³i olsun. V , kö³eler(0-simpleksler) saysn,
E kenarlar(1-simpleksler) saysn ve F yüzeyler(2-simpleksler) saysn gösterüzere
Euler formulü nün
V −E+F =2
oldu§unu biliyoruz. “imdi bunu genelle³tirelim;
Tanm 2.23.1.
K 'daki
K,
m-boyutlu simpleksler kompleksi olsun.
q-simpleksler kompleksinin says olsun.
Euler karakteristi§i:
χ(K) =
m
X
(−1)q αq
q=0
³eklinde tanmlanr.
76
K
q ≥ 0
için
αq ,
simpleksler kompleksinin
Teorem 2.23.1.
K,
m-boyutlu oriyantal simpleksler kompleksi olsun.
χ(K) =
m
X
(−1)q rank(Hq (K)).
q=0
spat:
A³a§daki zincir kompleksini ele alalm;
∂m+1
∂m−1
∂
∂
∂
m
1
0
C0 (K) −→
0.
Cm−1 (K) −→ · · · −→
0 −→ Cm (K) −→
Her
q
için
Cq (K)
rank
αq
olan serbest abel grupttur.
Hq (K) =
Zq (K)
Bq (K)
oldu§undan
rankHq (K) = rankZq (K) − rankBq (K)
Im∂m+1 = 0
oldu§undan
Bm (K) = 0
dir. Her
q≥0
için
∂q
0 −→ Zq (K) −→ Cq (K) −→ Bq−1 (K) −→ 0
tam dizisi vardr.
αq = rank Cq (K) = rank Zq (K) + rank Bq−1 (K)
χ(K) =
=
m
X
q=0
m
X
q
(−1) αq (K) =
m
X
(−1)q (rank Zq (K) + rank Bq−1 (K))
(2.41)
q=0
q
(−1) rank Zq (K) +
q=0
=
=
(−1)q rank Bq−1 (K))
(2.42)
q=0
B−1 (K) = 0 = Bm (K)
χ(K) =
m
X
m
X
q=0
m
X
q=0
m
X
oldu§undan
q
(−1) rank Zq (K) +
m
X
(−1)q+1 rank Bq (K)
(2.43)
q=0
(−1)q (rank Zq (K) − rank Bq (K))
(2.44)
(−1)q rank Hq (K).
(2.45)
q=0
77
Örnek 2.23.1.
2
Hi (S ) =
Z, i = 0, 2
0, i =
6 0, 2
Hi (D ) =

i = 0, 2
 Z,L
Z
Z, i = 1
Hi (T ) =

0,
i 6= 0, 1, 2
1
Hi (M b) =
Z, i = 0
0, i =
6 0
Hi (S ) =

i=0
 Z,L
Z
Z2 , i = 1
Hi (Kb) =

0,
i 6= 0, 1
2
1
Hi (S × I) =
Z, i = 0, 1
0, i =
6 0, 1
Z, i = 0, 1
0, i =
6 0, 1

 Z, i = 0
2
Z2 , i = 1
Hi (RP ) =

0, i 6= 0, 1
Z, i = 0, 1
0, i =
6 0, 1
Yukardaki Homoloji gruplarn kullanarak Euler karakteristi§ini hesaplayabiliriz;
2
χ(S ) =
∞
X
(−1)i rank Hq (S 2 )
(2.46)
q=0
= (−1)0 rank S 2 (T ) + (−1)1 rank H1 (S 2 ) + (−1)2 rank H2 (S 2 ) + . . .
(2.47)
= 1 − 0 + 1 + 0 + 0 + ... = 2
χ(T ) =
∞
X
(−1)q rank Hq (T )
(2.48)
(2.49)
q=0
= (−1)0 rank H0 (T ) + (−1)1 rank H1 (T ) + (−1)2 rank H2 (T ) + . . .
(2.50)
= 1 + (−1).2 + 1 = 0
χ(RP 2 ) =
(2.51)
∞
X
(−1)q rank Hq (RP 2 )
(2.52)
q=0
= (−1)0 rank H0 (RP 2 ) + (−1)1 rank H1 (RP 2 ) + (−1)2 rank H2 (RP 2 ) + . . .
(2.53)
= 1 + (−1).1 + 0 = 0
(2.54)
78
χ(Kb) =
∞
X
(−1)q rank Hq (Kb)
(2.55)
q=0
= (−1)0 rank H0 (Kb) + (−1)1 rank H1 (Kb) + (−1)2 rank H2 (Kb) + . . .
(2.56)
= 1 + (−1).1 + 0 = 0
2.24
(2.57)
Homolo ji ve Simpleksler Dönü³ümü
ϕ : K −→ L simpleksler dönü³üm olsun. ϕ, ∂ ◦ ϕ∗ = ϕ∗ ◦ ∂ e³itli§ini
do§rulayan ϕ : Cq (K) −→ Cq (L) lineer dönü³ümü üretti§ini biliyoruz. [c] =
c + Bq (K), Hq (K) bir eleman göstersin. Dolasyla c ∈ Zq (K) dir yani
∂(c) = 0 ve böylece ∂ ◦ ϕ∗ (c) = ϕ∗ ◦ ∂(c) = 0 oldu§undan ϕ∗ (c) ∈ Zq (L) dir.
c−c0 ∈ Bq (K) ise bir u ∈ Cq+1 (K) için ϕ∗ (c−c0 ) = ϕ∗ (∂(u)) = ∂(ϕ∗ (u))
0
dir. Yani ϕ∗ (c) + Bq (L) = ϕ∗ (c ) + Bq (L). Dolasyla
H(ϕ) : Hq (K) −→ Hq (L)
Tanm 2.24.1.
c+Bq (K) 7−→ H(ϕ)(c+Bq (K)) = ϕ∗ (c)+Bq (L).
ϕ, ψ : K −→ L
iki simpleksler dönü³üm olsun. Her
q
için
∂q+1 ◦ h + h ◦ ∂q = ϕ∗ − ψ∗
e³itli§ini do§rulayan
h : Cq (K) −→ Cq+1 (L)
lineer dön³ümü varsa
ϕ
ve
ψ
dönü³ümleri zincir homotoptur denir.
Teorem 2.24.1.
ϕ
ve
ψ
arasnda bir zincir homotopi varsa
H(ϕ) = H(ψ).
spat:
[c] = c + Bq (K) ∈ Hq (K)
olsun.
∂q+1 ◦ h(c) + h ◦ ∂q (c) = ϕ∗ (c) − ψ∗ (c).
∂q (c) = 0 oldu§undan ϕ∗ (c) − ψ∗ (c) = ∂ ◦ h(c) ∈ Bq (L). Yani ϕ∗ (c) + Bq (L) =
ψ∗ (c) + Bq (L) ve H(ϕ)([c]) = H(ψ)([c]).
Tanm 2.24.2.
bir
σ ∈ K
ϕ, ψ : K −→ L iki simpleksler dönü³üm olsun. Herhangi
ϕ(σ) ∪ ψ(σ) L de bir simpleks oluyorsa ϕ, ψ
simpleksi için,
dönü³ümleri kontgious dur denir
ϕ, ψ : K −→ L iki simpleksler dönü³üm ve ϕ, ψ ye kontgious
Hq (ϕ) = Hq (ψ) dir.
Sonuç 2.24.1.
ise tüm
q
için
spat:
Okuyucuya braklm³tr.
79
2.25
Lefschetz Sabit Nokta Teoremi
Cebirsel Topolojide en önemli sabit nokta teoremi, 1884-1972 yllar arasnda
ya³am³ Solomon Lefschetz tarafndan bulunan Lefschetz sabit nokta teoremidir.
Tanm 2.25.1.
X
kompakt polihedron olmak üzere
dönü³üm olsun. Ayrca
h : |K| −→ X , X
olsun.
λ(f ) =
n
X
f : X −→ X
sürekli
in üçgenle³tirilmi³ dönü³ümü
(−1)q tr(h−1 ◦ f ◦ h)∗
q=0
−1
³eklinde tanmlanan sayya Lefschetz says denir. (Burada (h
◦ f ◦ h)∗
−1
homomorzmas h
◦ f ◦ h : |K| −→ |K| dön³ümü tarafndan indirgenmi³
homomorzmadr.)
Teorem 2.25.1. Lefschetz Sabit Nokta Teoremi
olsun.
λ(f ) 6= 0
olacak ³ekilde
f : X −→ X
X
kompakt polihedron
bir sürekli dönü³üm ise
f
nin
sabit noktas vardr.
spat:
Okuyucuya braklm³tr.
Sonuç 2.25.1.
X
X
büzülebilir kompakt polihedron olsun. O zaman
f : X −→
nin bir sabit noktas vardr.
spat:
X
büzülebilir olmas durumunda
Hq (X) =


Z, q = 0


ndirgenmi³ homomorzm
Dolasyla
λ(f ) = 1 6= 0.
0,
q 6= 0.
f∗ : H0 (X) −→ H0 (X)
birim homomorzmasdr.
Lefschetz Sabit Nokta Teoreminden
f
nin bir sabit
noktas vardr.
f : S n −→ S n bir sürekl dönü³üm ise λ(f ) = 1+(−1)n deg (f ).
deg (f ) 6= ±1 ise f nin sabit noktas vardr.
Sonuç 2.25.2.
E§er
spat:
Hq (S n ) =


Z, q = 0, n


0,
80
q 6= 0, n.
n
n
oldu§unu biliyoruz. f∗ : H0 (S ) −→ H0 (S ) dönü³ümü birim dönü³ümdür.
n
n
Ayrca f∗ : Hn (S ) −→ Hn (S ) dön³ümünün trace(izi), f nin derecesine
e³ittir. Böylece
λ(f ) = 1 + (−1)n deg (f ).
kinci ksmda hemen birinci ksmdan elde edilir.
2.26
Borsuk-Ulam Teoremi
Borsuk-Ulam Teoreminin bir sonucu olarak a³a§daki teoremi verbiliriz:
Teorem 2.26.1.
Sn
üzerindeki antipodal noktalarn,
f : S n −→ Rn
sürekli
dönü³ümü altnda görüntüleri ayndr.
Sonuç 2.26.1.
n≥1
Sonuç 2.26.2.
m 6= n
için
ise
S n , Rn
nin içine gömülemez.
Rm , Rn
ne homemorf olamaz.
spat:
m > n olsun. f : Rm −→ Rn nin homemorzma oldu§unu varsayalm. S n ⊂
Rm dir ve f : S n −→ Rn sürekli ve injektir, yani f gömme dönü³ümüdür.
Buda bir önceki sonuç ile çeli³ir.
Teorem 2.26.2.
dönü³üm olsun.
f
f : S n −→ S n
antipodal noktalar koruyan bir sürekli
nin Lefschetz says
λ(f )
bir çift saydr.
spat:
Okuyucuya braklm³tr.
Teorem 2.26.3.
n≥1
f : S n −→ S n antipodal noktalar
zaman deg f tek tamsydr.
için
sürekli dönü³üm olsun. O
koruyan bir
spat:
6.6.2 den λ(f ) = 1+(−1)n degf . Teorem 6.7.2 den λ(f ) bir çift saydr.
Böylece degf tek tamsaydr.
Sonuç
Teorem 2.26.4. Borsuk-Ulam Teoremi
noktalar koruyan
f :S
m
−→ S
n
m>n
olsun. O zaman antipodal
sürekli dönü³ümü yoktur.
spat:
m
Antipodal noktalar koruyan f : S
−→ S n sürekli dönü³ümünün var oldu§unu
n
m
varsayalm. i : S −→ S
kapsama dönü³ümü olmak üzere
i ◦ f : S m −→ S m
bile³keside antipodal noktalar korur. Teorem
saysdr. Di§er taraftan
(i ◦ f )∗
sfr dönü³üm
Bu bir çeli³kidir.
81
deg i ◦ f tek tamoldu§undan deg i ◦ f sfrdr.
6.7.3
den
Sonuç 2.26.3.
dönü³üm olsun.
f : S n −→ Rn antipodal nokatalar koruyan
f (x) = 0 olacak ³ekilde bir nokta x ∈ S n vardr.
bir süreklü
spat:
∀x ∈ S n
için
f 6= 0
oldu§unu varsayalm.
g :S n −→ S n−1
x 7−→ g(x) =
g
(2.58)
f ()x
||f (x)||
(2.59)
dönü³ümü sürekli ve antipodal noktalar koruyan dönü³ümdür. Bu da
Borsuk-Ulam Teoremi'ne göre çeli³ir.
82
Kaynakça
[1] Colin Adams and Robert Franzosa, Introduction to Topology, Pearson
Prentice Hall Inc., 2008.
[2] Glen E. Bredon, Topology and Geometry, Springer-Verlag, New York,
1993.
[3] Stephan C. Carlson, Topology of Surfaces, Knots, and Manifolds, John
Wiley Sons, Inc, 2001
[4] Fred H. Croom, Basic Concepts of Algebraic Topology, Springer-Verlag,
New York, 1978.
[5] Satya Deo, Algebraic Topology A primer, Hindustan Book Agency, 2003.
[6] Sue E. Goodman, Beginning Topology, American Mathematical Society,
2009.
[7] Michael Henle, A Combinatorial Introduction to Topology, Dover Publication Inc., 1979.
[8] William S. Massey, A Basic Course in Algebraic Topology, SpringerVerlag, New York, 1991.
[9] John McCleary, A First Course in Topology, American Mathematical
Society, 2006.
[10] Robert Messer and Philip Stran, Topology Now!, The Mathematical
Association of America, 2006.
[11] James R. Munkres, Elements of Algebraic Topology, Springer-Verlag,
New York, 1984.
[12] L.S. Pontryagin Foundation of Combinatorail Topology, Dover Publication Inc., 1999.
83
[13] Joseph J. Rotman, An Introduction to Algebraic Topology, SpringerVerlag, New York, 1998.
[14] Hajime Sato, Algebraic Topology: An Intuitive Approach, American
Mathematical Society, 1999.
[15] Allan J. Sieradski, An Introduction to Topology and Homotopy, PWSKENT Publishing Company, 1992.
[16] Edwin H. Spanier, Algebraic Topology, Springer-Verlag, New York, 1966.
84