Otomatik Kontrol

Ders #4
Otomatik Kontrol
Fiziksel Sistemlerin Modellenmesi
•Elektriksel Sistemeler
• Mekaniksel Sistemler
Prof.Dr.Galip Cansever
26 February 2007
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
1
Kontrol sistemlerinin analizinde ve tasarımında en önemli
noktalardan bir tanesi sistemlerin matematiksel ifade
edilmesidir.
Transfer fonksiyonu metodu ve durum değişkenleri metodu en
çok kullanılan modelleme yöntemleridir.( Transfer fonksiyonu
metodu sadece lineer sistemlere uygulanabilir.)
26 February 2007
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
2
Transfer Fonksiyonu:
Başlangıç koşulları sıfır kabul edilerek bir sistemin cevap
fonksiyunu (çıkışı) ile sürücü fonksiyonu (giriş) arasındaki
Laplas transformasyonları oranına transfer fonksiyonu denir.
Transfer fonksiyonu sistemin dinamik karakteristiklerini tanımlar.
Sistem özelliğidir. Sistemin fiziksel yapısı hakkında bilgi vermez,
farklı fiziksel sistemlerin transfer fonksiyonları aynı olabilir.
(bm s m + bm −1s m −1 + ........b0 )
C (s)
= G(s) =
n
n −1
R( s)
(an s + bn −1s + ........a0 )
26 February 2007
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
3
Örnek:
dx
+ 2 x = r (t )
dt
için transfer fonksiyonunu oluşturunuz.
Başlangıç koşullarını 0 kabul ederek iki tarafın Laplas dönüşümünü
alalım:
sX ( s ) + 2 X ( s ) = R( s )
X (s)
G ( s) =
R( s)
26 February 2007
1
=
s+2
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
4
Elektriksel Sistemlerin Transfer Fonksiyonları
Elektriksel sistemlerin modellenmesinde linneer ve pasif üç devre
elemanı yaygın olarak kullanılır.
Direnç, Endüktans ve Kapasitans
26 February 2007
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
5
Kapasitör için:
1
V ( s) =
I ( s)
Cs
Direnç için:
V ( s ) = RI ( s )
Endüktör için:
V ( s ) = LsI ( s )
Transfer fonksiyonu tanımlayacak olursak:
V ( s)
= Z ( s)
I ( s)
26 February 2007
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
6
Elektriksel devrelerin matematiksel modellenmesinde Kirşof
yasalarından faydalanılır:
Bir kapalı çevrimde gerilimlerin toplamı sıfırdır.
Bir noktaya gelen ve noktadan çıkan akımların toplamı
sıfırdır.
Bu ilişkiler kurulduktan sonra devre için diferansiyel denklemler
yazılır. Daha sonra Laplas dönüşümü yapılır ve transfer
fonksiyonu elde edilir.
26 February 2007
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
7
Örnek: Aşağıdaki devrede kapasitör gerilimi Vc(s) ve giriş gerilimi
V(s) yi ilişklendiren transfer fonksiyonunu yazınız.
Kontrol tasarımcısı ilk önce giriş ve çıkışı belirlemelidir. Ancak
bu örnekte giriş ve çıkış bize verilmiştir. Giriş ugulanan V(t)
gerilimi çıkış ise kapasitör gerilimi, Vc(t).
26 February 2007
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
8
1. Yöntem Kirşof Gerilimler Yasası:
t
di (t ) 1
Ri (t ) + L
+ ∫ i (τ )dτ = v(τ )
dt
C0
Başlangıç koşullarını sıfır kabul ederek Laplas dönüşümünü
yapalım:
1
RI ( s ) + LsI ( s ) +
I ( s) = V ( s)
Cs
Denklemi düzenleyecek olursak:
1
V ( s ) = ( R + Ls + ) I ( s )
Cs
Dikkat edilecek olursa uygulanan gerilim; çevrimdeki devre
elemanlarının empedansları toplamı çarpı devre akımıdır.
26 February 2007
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
9
I ( s) =
Vc ( s )
V (s)
V ( s)
1
( R + Ls + )
Cs
‘i elde etmeye çalışıyoruz.
1
Vc ( s ) =
I (s)
Cs
1
V ( s)
Vc ( s ) 1
1
Vc ( s ) =
=
1
Cs ( R + Ls + )
V ( s ) Cs RCs + LCs 2 + 1
(
)
Cs
Cs
1
Vc ( s )
LC
=
V ( s) s 2 + R s + 1
L
LC
26 February 2007
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
10
Aslında devreyi çözmeye başlamadan devre elemanlarının devre
üzerinde empedans değerlerini yazabiliriz.
26 February 2007
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
11
2. Yöntem Kirşof Akımlar Yasası:
Bir noktadan çıkan akımları pozitif, noktaya gelen akımları
negatif kabul edeceğiz.
Bizim devremizde akımlar; kapasitör içinden geçen akım ve seri
bağlı direnç ve endüktörden geçen akımdır.
Vc ( s ) Vc ( s ) − V ( s )
+
=0
1
R + Ls
Cs
Çözecek olursak:
26 February 2007
1
Vc ( s )
LC
=
V (s) s 2 + R s + 1
L
LC
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
12
3. Yöntem Gerilim Bölücü:
Kapasitör uçlarındaki gerilim uygulanan gerilimin bir kısmıdır.
Dolayısıyla kapasitör empedansını toplam empedansa bölerek
de kapasitör gerilimini bulabiliriz.
Vc ( s ) =
1
Cs
1
R + Ls +
Cs
V (s)
Bu örnekte tek çevreli bir elektriksel devremiz vardı, fakat çoğu
elektriksel devreler birden çok döngü içerirler. Çok çevreli devrelerin
transfer fonksiyonlarını elde edebilmek için:
1. Devre elemanlarının empedans değerleri yazılır
2. Çevrede akımın yönü seçilir
3. Çevrede Kirşof gerilimler yasası uygulanır
4. Çıkışı elde etmek için denklemler sırasıyla çözülür
5. Transfer fonksiyonu oluşturulur
26 February 2007
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
13
Örnek: Aşağıdaki devrede I2(s)/V2(s) transfer fonksiyonunu
yazınız.
Basşlangıç koşullarını sıfır varsayarak devre elemanlarının
empedanslarını yazalım
26 February 2007
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
14
1. Çevrimde
R1 I1 ( s ) + LsI1 ( s ) − LsI 2 ( s ) = V ( s )
2. Çevrimde
LsI 2 ( s ) + R2 I 2 ( s ) +
1
I 2 ( s ) − LsI1 ( s ) = 0
Cs
I1(s) ve I2(s) li terimleri birlikte yazacak olursak;
( R1 + Ls ) I1 ( s ) − LsI 2 ( s ) = V ( s )
1
− LsI1 ( s ) + ( Ls + R2 + ) I 2 ( s ) = 0
Cs
I2(s) i Çözmek için kramer yasasını kullanacak olursak;
Δ=
26 February 2007
( R1 + Ls )
− Ls
− Ls
1
( Ls + R2 + )
Cs
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
15
( R1 + Ls )
V (s)
− Ls
0
I 2 (s) =
Transfer Fonksiyonu:
LsV ( s )
Ls
Δ
G ( s) =
=
V (s)
Δ
26 February 2007
Δ
=
LsV (s )
Δ
I 2 (s)
G (s) =
V (s)
LCs 2
=
( R1 + R2 ) LCs 2 + ( R1 R2C + L) s + R1
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
16
26 February 2007
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
17
26 February 2007
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
18
1. Çevrimdeki
empedansları
n toplamı
-
I1-
Ortak
empedansların
toplamı
I1+
Ortak
empedansların
toplamı
I2 =
1. Çevrimde
uygulanan
Gerilimlerin
toplamı
2. Çevrimdeki
empedansların
toplamı
I2=
2. Çevrimde
uygulanan
Gerilimlerin
toplamı
Çoğu zaman transfer fonksiyonunun bulunması için en kolay
yöntem çevre gerilimleri değil, nod akımları yöntemidir.
Diferansiyel denklemlerin sayısı gerilimleri bilinmeyen nod’ların
sayısı kadardır. Nod denklemlerini yazarken devre elemanlarını
admitans olarak göstermek kolaylık sağlar.
Admitans : Empedansın çarpmaya göre tersidir ve Y(s) ile gösterilir;
1
I (s)
Y (s) =
=
Z (s) V (s)
26 February 2007
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
19
Nod akımları ile transfer fonksiyonunu elde edeceksek:
1. Devre elemanlarının admitans değerleri yazılır
2. Gerilim kaynakları akım kaynakları cinsinden
yazılır (Eğer kolaylık sağlayacaksa)
3. Nod’da Kirşof akımlar yasası uygulanır
4. Çıkışı elde etmek için denklemler sırasıyla çözülür
5. Transfer fonksiyonu oluşturulur
26 February 2007
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
20
Örnek: Aşağıdaki devrede Vc(s)/V(s) transfer fonksiyonunu nod
akımlarını kullanarak yazınız.
Gerilim kaynağını, akım kaynağına empedansları admitanslara
dönüştürelim.
26 February 2007
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
21
I ( s ) = Y ( s )V ( s )
1
G1VL ( s ) + VL ( s ) + G2 [VL ( s ) − VC ( s)] = V ( s )G1
Ls
Vc(s) nod’undaki akımların toplamı:
CsVC ( s ) + G2 [VC ( s ) − VL ( s )] = 0
VL(S) ve VC(s)’leri düzenleyelim:
1 ⎞
⎛
⎜ G1 + G2 + ⎟VL ( s ) − G2VC ( s ) = V ( s )G1
Ls ⎠
⎝
− G2VL ( s ) + (G2 + Cs )VC ( s ) = 0
26 February 2007
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
22
Sırayla çözdüğümüzde transfer fonksiyonu:
G1G2
s
Vc ( s )
C
=
V ( s ) (G + G )s 2 + G1G2 L + C s + G2
1
2
LC
LC
1. Nod’a bağlı
admitansların
toplamı
-
Ortak
admitansların
toplamı
26 February 2007
VLVL+
Ortak
admitansların
toplamı
VC=
1. Nod’da
uygulanan
akımların
toplamı
2. Nod’a bağlı
admitansların
toplamı
VC=
2. Nod’da
uygulanan
akımların
toplamı
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
23
Örnek: Aşağıdaki devrede çevre denklemlerini yazınız.
26 February 2007
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
24
1. Çevredeki
empedansların
toplamı
-
-
I1 -
1. ve 2.
Çevredeki
ortak
empedansların
toplamı
1. ve 3.
Çevredeki
ortak
empedansların
toplamı
I1 +
I1 -
1. ve 2.
Çevredeki
ortak
empedansların
toplamı
I2 -
2. Çevredeki
empedansların
toplamı
2. ve 3.
Çevredeki
ortak
empedansların
toplamı
I2 -
I2 +
1. ve 3.
Çevredeki
ortak
empedansların
toplamı
I3 =
2. ve 3.
Çevredeki
ortak
empedansların
toplamı
3. Çevredeki
empedansların
toplamı
I3 =
I3 =
1. Çevrede
uygulanan
Gerilimlerin
toplamı
2. Çevrede
uygulanan
Gerilimlerin
toplamı
3. Çevrede
uygulanan
Gerilimlerin
toplamı
(2 s + 2 )I 1 ( s ) − (2 s + 1 )I 2 ( s ) − I 3 ( s ) = V ( s )
− (2 s + 1 )I 1 ( s ) + (9 s + 1 )I 2 ( s ) − 4 sI 3 ( s ) = 0
1⎞
⎛
− I 1 ( s ) − 4 sI 2 ( s ) + ⎜ 4 s + 1 + ⎟ I 3 ( s ) = 0
s⎠
⎝
26 February 2007
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
25
Mekaniksel Sistemlerin Transfer Fonksiyonları
(Düzlemsel Hareket)
26 February 2007
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
26
Mekaniksel sistemler ile elekriksel sistemler arasında analoji
oluşturmamız mümkündür.
Örneğin, uygulanan kuvvet, uygulanan gerilimin; hız, akımın;
yer değiştirme de yük’ün karşılığıdır.
Mekaniksel Empedans:
Yay elemanı:
Sönüm elemanı:
Kütle:
26 February 2007
F (s)
Z M (s) =
X (s)
F ( s ) = KX ( s )
F ( s ) = f v sX ( s )
F ( s ) = Ms 2 X ( s )
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
27
Örnek:
X(s)/F(s) transfer
fonksiyonunu bulunuz.
RLC devresine benziyor, mekaniksel sistemelerde diferansiyel
denklem hareket denklemi ile yazılır ve bu mekaniksel sistemi
tanımlar.
Elektriksel devrelerde akımın yönünü biz seçtiğimiz gibi
mekaniksel sistemlerde de hareketin pozitif yönünü belirleriz ve
serbest cisim diyagramını çizeriz.
Serbest cisim diyagramında cisme etkiyen tüm kuvvetler ve
pozitif hareket yönü gösterilir. Kuvvetler zaman tanım
aralığında veya Laplas dönüşümü ile(sıfır başlangıç koşulu
varsayılarak) gösterilebilir.
Newton yasası uygulanarak, kuvvetler toplanır ve sıfıra
eşitlenir.
26 February 2007
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
28
Kx(t )
dx(t )
fv
dt
d 2 x(t )
M
dt 2
Kuvvetleri toplayıp sıfıra eşitleyecek olursak;
Ms 2 X ( s ) + f v sX ( s ) + KX ( s ) = F ( s )
(Ms
)
+ f v s + K X ( s) = F ( s)
1
X (s)
=
G (s) =
2
F ( s ) Ms + f v s + K
26 February 2007
2
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
29
Çoğu mekaniksel sistemler, çok çevrimli çok nod’lu elektriksel
devrelere benzemektedir ve sistemi tanımlamak için birden fazla
diferansiyel denklem gerekir.
Mekaniksel sistemlerde gerekli olan hareket denklemlerinin
sayısı, lineer olarak bağımsız hareketlerin sayısına eşittir.
Lineer bağımsızlığın manası hareket noktasının diğer hareket
noktaları sabitlendiği halde hareket edebilmesidir. Lineer
bağımsızlığın bir diğer manası serbestlik derecesidir.
Eletriksel sistemlerden örnek verecek olursdak; iki çevreli bir
devrede her bir akım diğer çevrenin akımının etkisi altındadır.
Eğer çevrelerden birini açık devre yaparsak, diğer çevrede
gerilim kaynağı varsa o çevrede akım akmaya devam eder.
26 February 2007
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
30
Örnek:
X(s)/F(s) transfer fonksiyonunu bulunuz.
Her iki kütle yatay doğrultuda biri sabit iken hareket ettirilebileceği
için sistemin serbestlik derecesi ikidir.
İki denklem iki kütlenin serbest cisim diyagramından elde
edilecektir.
Eğer M2’yi sabit tutup
M1’i sağa doğru hareket
ettirecek olursak
26 February 2007
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
31
Eğer M1’yi sabit tutup
M2’i sağa doğru hareket
ettirecek olursak
M1 üzerine süperpozisyon uygulanacak olursa:
26 February 2007
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
32
Aynı işlemleri M2 için
yapalım:
Eğer M1’yi sabit tutup
M2’i sağa doğru hareket
ettirecek olursak
Eğer M2’yi sabit tutup
M1’i sağa doğru hareket
ettirecek olursak
M2 üzerine süperpozisyon
uygulanacak olursa:
26 February 2007
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
33
[M s +( f
2
1
v1
]
+ fv3 )s +( K1 + K2 ) X1(s) −( fv3s + K2 )X2(s) = F(s)
[
]
−( fv3s + K2 )X1(s) + M2s +( fv2 + fv3 )s +( K2 + K3 ) X2 (s) = 0
2
( f v3s + K 2 )
X 2 (s)
= G (s) =
F (s)
Δ
⎡M1s2 +( fv1 + fv3 )s +( K1 + K2 )
Δ=⎢
−( fv3s + K2 )
⎢⎣
26 February 2007
−( fv3s + K2 )
⎤
⎥
2
M2s +( fv2 + fv3 )s +( K2 + K3 )⎥⎦
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
34
X1 deki
harekete bağlı
empedansların
toplamı
-
X1 -
X1 ve X2 deki
ortak
empedanslarınX1 +
toplamı
26 February 2007
X1 ve X2 deki
ortak
empedansların
toplamı
X1’e uygulanan
X2 =
X2 deki
harekete bağlı
empedansların
toplamı
Kuvveterin
toplamı
X2’e uygulanan
X2 =
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
Kuvveterin
toplamı
35
Örnek:
Yukarıdaki mekaniksel sistemin hareket denklemlerini direk yazınız.
[M s +( f
2
1
v1
]
+ fv3 )s + ( K1 + K2 ) X1(s) − K2 X2 (s) − fv3sX3(s) = 0
− K X (s) + [M s + ( f
2
2
1
2
v2
]
+ fv4 )s + K2 X2 (s) − fv4sX3(s) = F(s)
[
]
− fv3sX1(s) − fv4sX2 (s) + M3s2 + ( fv3 + fv4 )s X3(s) − fv4sX3(s) = 0
26 February 2007
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
36
Mekaniksel Sistemlerin Transfer Fonksiyonları
(Dairesel Hareket)
26 February 2007
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
37
Dairesel hareket eden mekaniksel sistemler düzlemsel hareket
eden mekaniksel sistemler gibi ele alınır. Kuvvet’in yerini tork,
düzlemsel yer değiştirmenin yerini açısal yer değiştirme alır.
Ayrıca kütle yerine atalet ifadesi kullanılır.
Serbestlik derecesi ise düzlemsel harekette yer değiştirme ile
belirlenirken dairesel harekette dönebilme ile belirlenir.
Önce, hareket noktalarını sabit tutularak cismi döndürürüz ve
oluşacak torkları serbest cisim diyagramı üzerinde gösteririz.
Sonra cismi sabitleyip sırasıyla bitişik hareket noktaları
döndürülerek oluşacak torklar serbest cisim diyagramında
gösterilir. Her bir hareket noktası için bu işlemi tekrarlanır.
Tüm serbest cisim diyagramlarında tork’lar toplanır ve sıfıra
eşitlenir.
26 February 2007
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
38
Örnek:
Sistemin, θ2(s)/T(s) transfer
fonksiyonunu yazınız. Çubuk
her iki taraftan yataklanmışıtır
ve burulmaya maruz
kalmaktadır. Sağ tarafa tork
uygulanırken yer değişrtirme
sol taraftan ölçülmektedir.
Burada çubuğun burulmasını iki atalet arasında bulunan yay gibi
düşünebiliriz.
26 February 2007
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
39
J1 üzerindeki J1’nın
hareketiyle oluşan
Torklar
J2 üzerindeki J2’nın
hareketiyle oluşan
Torklar
26 February 2007
J1 üzerindeki J2’nın
hareketiyle oluşan
Torklar
J2 üzerindeki J1’nın
hareketiyle oluşan
Torklar
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
J1 üzerindeki oluşan
toplam Torklar
J2 üzerindeki oluşan
toplam Torklar
40
Her iki ataletteki torkları topladığımızda, hareket denklemini elde
ederiz:
(J s
1
2
)
+ D1s + K θ1 ( s ) − Kθ 2 ( s ) = T ( s )
(
)
− Kθ1 ( s ) + J 2 s + D2 s + K θ 2 ( s ) = 0
2
θ 2 ( s)
K
=
T ( s) Δ
(
⎡ J1s 2 + D1s + K
Δ=⎢
−K
⎢⎣
26 February 2007
)
⎤
⎥
2
J 2 s + D2 s + K ⎥⎦
(
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
−K
)
41
θ1 deki
harekete bağlı
empedansların
toplamı
-
θ1 -
θ1 ve θ2 deki
ortak
empedanslarınθ1
toplamı
26 February 2007
θ1 ve θ2 deki
ortak
empedansların
toplamı
+
θ2 =
θ2 deki
harekete bağlı
empedansların
toplamı
θ1’e uygulanan
Torkların
toplamı
θ2 =
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
θ2’e uygulanan
Torkların
toplamı
42
Örnek:
Hareket denklemlerini direk yazınız.
θ1 deki
harekete bağlı
empedansların
toplamı
-
-
θ1 -
θ1 ve θ2 deki
ortak
empedansların
toplamı
θ1 ve θ2 deki
ortak
empedansların
toplamı
θ1 +
θ1 ve θ3 deki
ortak
empedansların
toplamı
26 February 2007
θ1 -
θ2 -
θ2 deki
harekete bağlı
empedansların
toplamı
θ2 ve θ3 deki
ortak
empedansların
toplamı
θ2 -
θ2+
θ1 ve θ3 deki
ortak
empedansların
toplamı
θ2 ve θ3 deki
ortak
empedansların
toplamı
θ3
Torkların
toplamı
θ3
θ3 deki
harekete bağlı
empedansların
toplamı
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
=
θ1’e uygulanan
θ2’e uygulanan
=
Torkların
toplamı
θ3 =
θ3’e uygulanan
Torkların
toplamı
43
(J s
1
2
)
+ D1s + K θ1 ( s ) − Kθ 2 ( s ) − 0θ 3 ( s ) = T ( s )
(
)
− Kθ1 ( s ) + J 2 s 2 + D2 s + K θ 2 ( s ) − D2 sθ 3 ( s ) = 0
(
)
− 0θ1 ( s ) − D2 sθ 2 ( s ) + J 3 s + D3 s + D2 s θ 3 ( s ) = 0
26 February 2007
2
Otomatik Kontrol
Prof.Dr.Galip Cansever
44