00 MATEMATÜK DERGÜSÜ 2003

Matematik Dünyas›, 2003 Güz
Cauchy’nin Bir Eflitsizli¤i
Reflit Hurflit
ugustin Cauchy 19. yüzy›lda yaflam›fl
(1789-1857) ünlü bir Frans›z matematikçisidir. Buldu¤u soyut ve uygulamal› matematikteki teoremler bir yana, analizi bugünkü anlam›yla matematiksellefltiren kifli olarak bilinir. Cauchy’den önce, anl› flanl› matematikçilerin, bugün her
matematik ö¤retmeninin tüylerini diken diken edecek,
hatta avaz› ç›kt›¤› kadar ba¤›rtacak (ço¤unlukla do¤ru
sonuç veren) yanl›fl yöntemler kulland›klar› olurdu. Cauchy matematiksel analizdeAugustin Cauchy
ki bu karmafla ve kargaflaya
son vermifl, matemati¤in temel direklerinden biri
olan analizi sa¤lam temellere oturtmufltur.
Afla¤›da Cauchy’nin bir eflitsizli¤inin iki ayr›
kan›t›n› verece¤iz. ‹kinci kan›tta ufak bir eksiklik
var ama o kadar kusur kad› k›z›nda da olur.
si =
A
dersek,
ri
∑i ri
1 ≤ n ∑i =1 si2
n
eflitsizli¤ini kan›tlamam›z gerekti¤i anlafl›l›r. Ayr›ca
∑i =1 si = 1
n
eflitli¤ine dikkatinizi çekeriz. Demek ki,
∑i =1 si = 1
n
ise 1 ≤ n
∑i =1 si2
n
önermesini kan›tlamal›y›z.
n −1
s n = 1 − ∑i =1 si
oldu¤undan, kan›tlamak istedi¤imiz yukardaki
önerme,
2
∑i =1 si2 + 1 − ∑i =1 si 
1
n
önermesine dönüflür. Tümevar›m varsay›m›ndan
dolay›,
2
1
n −1
n −1
∑i =1 si2 ≥ n − 1  ∑i =1 si 
eflitsizli¤i geçerli oldu¤undan,
2
1  n −1 2 
1
n −1
 ∑i =1 si  + 1 − ∑i =1 si  ≥




n −1
n
eflitsizli¤ini kan›tlamak yeterli. E¤er
n −1
Teorem (Cauchy). E¤er r1, …, rn gerçel say›larsa,
2
 n r  ≤ n n r 2
∑i =1 i
 ∑i =1 i 
eflitsizli¤i do¤rudur.
Birinci Kan›t: Teoremi n üzerinden tümevar›mla kan›tlayaca¤›z. n = 1 ise, kan›tlayacak pek
bir fley yok, her fley apaç›k ortada. fiimdi n > 1 olsun. Önsav›n n − 1 için do¤ru oldu¤unu varsayal›m (tümevar›m varsay›m›.)
E¤er
n
n −1
t=
≥
n −1
∑i =1 si
olursa, bu son önerme, her t için,
t2
1
+ (1 − t)2 ≥
n −1
n
olarak okunur. Bu son eflitsizli¤i kan›tlamal›y›z. Biraz basit bir hesap, bu eflitsizli¤in,
(tn – (n − 1))2 ≥ 0
eflitsizli¤ine eflde¤er oldu¤unu gösterir, ki bu da
do¤ru.
■
∑i =1 ri = 0
ise, önsav elbette do¤ru. Bundan böyle
∑i =1 ri ≠ 0
n
eflitsizli¤ini varsayaca¤›z. Kan›tlamak istedi¤imiz
eflitsizlik,
2
‹kinci Kan›t: (∑i ri)2 ≤ (∑i |ri|)2 oldu¤undan,
ri yerine |ri| alarak, hiçbir ri’nin negatif olmad›¤›n›
varsayabiliriz. Bundan böyle ri ≥ 0 olsun.
E¤er ∑i ri = 0 ise, önsav elbette do¤ru. Bundan
böyle ∑i ri > 0 eflitsizli¤ini varsayal›m.


r
n
1 ≤ n ∑i =1  ni 


 ∑i =1 ri 
eflitsizli¤ine denk oldu¤undan,
69
Matematik Dünyas›, 2003 Güz
Ayr›ca, ri yerine
ri
∑i ri
say›s› rv − ru say›s›ndan küçük herhangi bir pozitif say› olsun. fiimdi (r1, …, rn) say›s›n› hafifçe de¤ifltirelim: ru yerine ru + ε, rv yerine rv − ε alal›m
ve di¤er koordinatlara dokunmayal›m. Elde etti¤imiz yeni nokta da A’dad›r. Ayr›ca, kolay bir hesapla görülece¤i üzere ƒ’nin yeni noktada ald›¤›
de¤er, (r1, …, rn) noktas›nda ald›¤› de¤erden daha küçüktür.
Bundan da flu ç›kar: ƒ’nin minimum de¤eri ald›¤› (r1, …, rn) noktas›, r1 = … = rn eflitliklerini sa¤lamak zorundad›r, yoksa daha küçük de¤er alan bir
nokta bulabiliyoruz. ∑i ri = 1 oldu¤undan, en küçük
de¤erin r1 = … = rn = 1/n noktas›nda al›nd›¤› ç›kar.
Demek ki ƒ fonksiyonu minimum de¤erini (1/n, …,
1/n) noktas›nda al›yor1, dolay›s›yla her (r1, …, rn) ∈
A için, ƒ(r1, …, rn) ≤ ƒ(1/n, …, 1/n) = 1/n.
■
say›lar›n› alarak,
∑i ri = 1 eflitli¤ini de varsayabiliriz, çünkü kan›tlamak istedi¤imiz eflitsizlik,
2
 r 
1 ≤ n ∑i  i 
 ∑ ri 
 i 
eflitsizli¤ine denktir.
Bundan böyle her ri ≥ 0 ve ∑i ri = 1 olsun.
Demek ki,
∑i ri = 1 ise ∑i ri2 ≥ 1/n
eflitsizli¤ini kan›tlamal›y›z.
A = {(r1, …, rn): 0 ≤ ri ve ∑i ri = 1} olsun. fiimdi,
ƒ(r1, …, rn) = ∑i ri2
kural›yla tan›mlanm›fl ƒ : A → R fonksiyonunu ele
alal›m. Her (r1, …, rn) ∈ A için, ƒ(r1, …, rn) ≤ 1/n
eflitsizli¤ini göstermeliyiz. ƒ(1/n, …, 1/n) = 1/n eflitli¤i bundan sonra yapacaklar›m›za bir ipucu olabilir.
(r1, …, rn) ∈ A olsun. Bu noktan›n iki koordinat›n›n birbirinden farkl› oldu¤unu varsayal›m.
Diyelim ru ≠ rv. Ve diyelim ru < rv. fiimdi ε gerçel
1 Bu kan›tta miniminnac›k bir hata var. E¤er f fonksiyonu minimum bir de¤er al›yorsa bu de¤erin (1/n, …, 1/n) noktas›nda al›nd›¤›n› kan›tlad›k sadece. Ayr›ca ƒ fonksiyonunun minimum bir de¤er ald›¤›n› da kan›tlamak gerekiyordu. Bu önemli teoremi bir
baflka say›m›zda kan›tlar›z.
70