Ağaç (Tree) Yapısı Bir aile ağacı, büyük ebeveynler, ebeveynler

Ağaç (Tree) Yapısı
Bir aile ağacı, büyük ebeveynler, ebeveynler, çocuklar,
teyzeler, amcalar gibi aile bireylerinin hiyerarşik yapısını
gösterecek şekilde oluşturulur. Buna göre büyük
ebeveynler ebeveynlerden bir üst seviyede, ebeveynler
çocuklardan bir üst seviyede olacak şekilde aile
ağacına yerleştirilirler.
Bir öğrenci bilgi sisteminde, öğrencinin adı, adresi,
aldığı dersler, her dersten aldığı vize ve final notları gibi
öğrenciye ait bilgileri bir ağaç yapısında göstermek
mümkündür. Burada olduğu gibi, veriler arasında
hiyerarşik ilişkiyi farklı seviyeler ile gösteren veri
yapısına ağaç denir.
Ağaç Elemanları
Ağaç yapısını oluşturan elemanlar ile ilgili tanımları şöyle verebiliriz:
Düğüm (node) : Ağaç elemanlarının genel adı
Kök (root) : Ağacın en yüksek seviyesindeki düğüm
Dal (branch) : Bir düğüm ile kendinden alt seviyedeki düğümler arasındaki bağlantı
Alt-ağaç (sub-tree): Bir düğüme dal ile bağlı olan ve kendisi de alt seviyelere olan bağlantısı
ile ağaç oluşturan yapı
Yaprak (leaf): Alt-ağacı olmayan ve en alt seviyede yer alan düğüm
1
İkili Ağaçlar (Binary Trees)
En çok kullanılan ağaç yapılarından birisi ikili
ağaç'lardır. Her düğüme en fazla iki alt-ağaç
bağlanabilen veri yapısına ikili ağaç denir. Bu altağaçlar, sol-alt-ağaç ve sağ-alt-ağaç olarak
isimlendirilirler.
Bir ikili ağacın yüksekliği h iken yaprak düğümlere
kadar, her alt ağaca bağlı iki düğüm varsa bu ağacın
toplam düğüm sayısı şöyle hesaplanır:
Kök seviyesindeki düğüm sayısı
:1
1. seviyedeki en fazla düğüm sayısı : 21
2. seviyedeki en fazla düğüm sayısı : 22
:
:
h. seviyedeki en fazla düğüm sayısı : 2h
+________________________________
Toplam düğüm sayısı
: 2h+1-1
İkili Ağacın Lineer Gösterimi
Yüksekliği h olan bir ikili ağacın elemanlarını 2h+1-1
uzunlukta bir dizide saklamak mümkündür. Ağaç diziye
şöyle yerleştirilir:
1. Kök, dizinin ilk adresinde saklanır.
2. Eğer bir düğüm dizinin n. adresinde saklanıyorsa, bu
düğüme bağlı sol-alt-düğüm 2n, sağ-alt-düğüm ise
2n+1 adresinde saklanır.
Buna göre n=1 için yandaki ağaçta, 25'e bağlı
düğümlerin adresi şöyle olur:
Sol alt düğüm adresi (19) : 1*2 =2
Sağ alt düğüm adresi (47) : 1*2+1 = 3
İkili Ağaç Üzerinde İlerleme (Binary Tree Traversals)
İkili ağaç üzerinde ilerlerken, ağacın her düğümüne sadece 1 defa uğranır.
Algoritmaya bağlı olarak, ağaç üzerinde ilerleme 3 şekilde olabilir:
1. Preorder Traversal: Kök düğüm, sol-alt-ağaç, sağ-alt-ağaç
2. Inorder Traversal: Sol-alt-ağaç, kök, sağ-alt-ağaç
3. Postorder Traversal: Sol-alt-ağaç, sağ-alt-ağaç, kök
2
Preorder, Inorder ve Postorder dolaşımlarını yukarıdaki animasyondan izleyebilirsiniz.
İkili Sıralama Ağacı (Binary Search Tree)
İkili ağaç veri yapısının önemli kullanımlarından biri sayı ya da alfabetik bilgi sıralanmasıdır.
Her bir düğümün bilgi içeriğinin sol tarafındaki düğümler kendisinden küçük, sağ
tarafındakiler kendisinden büyük eşit olduğu ikili ağaç yapısına ikili sıralama ağacı denir.
Yukarıdaki örnekte de görüldüğü gibi her bir düğümün değeri solundakilerden büyük,
sağındakilerden küçüktür. Mesela 52 değerine sahip olan düğümün sağındaki düğümlerin
hepsi 52'den büyük değerlere, solundakiler 52'den küçük değerlere sahiptir. Alt düğümler için
de bu kural geçerlidir. 71 değerine sahip olan düğümün sağındaki düğümlerin hepsi 71'den
büyük değerlere, solundakiler 71'den küçük değerlere sahiptir.
3
Huffman Ağaç Yapısı
Bilgisayarda veri sıkıştırma tekniği olarak kullanılan ağaç yapısıdır. Veri sıkıştırma işlemine,
verilerin daha az yer kaplaması amacıyla ihtiyaç duyulur. Huffman veri sıkıştırma yöntemi
veri kaybı olmadan kullanılan en performanslı sıkıştırma tekniklerinden biridir.
Huffman algoritması karakter kullanım oranlarına göre değişkenlik gösteren bir ağaç
oluşturur.
19 kere 'a', 7 kere 'c', 2 kere 'b', 1 kere 'd'
harfi kullanılan durumda, oluşan Huffman
ağacı;
'a' = 1
'c' = 01
'b' = 001
'd' = 000
değerlerine sahip olur.
Normal yöntemlerle, örnekteki her bir harf en az 2 bit (4 farklı harf için 00, 01, 10, 11
kullanılırsa) yer ayrılarak temsil edilir. Toplam 30 eleman olduğu için 30*2 = 60 bit gereklidir.
Huffman ağacına göre 'a' harfi 1 bit (1 kullanılır), 'c' harfi 2 bit (01 kullanılır), 'b' harfi 3 bit (001
kullanılır) ve 'd' harfi 3 bit (000 kullanılır) yer ayrılarak temsil edilir. 19 tane 'a', 7 tane 'c', 2
tane 'd' ve 1 tane 'c' olduğundan, toplam bit sayısı 1*19 + 2*7 + 3*2 + 3*1 = 42 şeklinde
hesaplanır.
Kaynak: http://www.hikayihan.com/yazilim/huffman-kodlama-agaci/
4
Örnek: (kaynak: http://www.csharpnedir.com/articles/read/?id=189)
Sembol(Karakter)
a
b
k
m
d
ğ
Sembol Frekansı
50
35
20
10
8
4
Bu tablodan çıkarmamız gereken şudur : Elimizde öyle bir metin dosyası varki "a" karakteri
50 defa, "b" karakteri 35 defa .... "ğ" karakteri 2 defa geçiyor. Amacımız ise her bir karakteri
hangi bit dizileriyle kodlayacağımızı bulmak.
5
6
7
Frekans
50
35
20
10
8
4
Sembol(Karakter)
a
b
k
m
d
ğ
Bit Sayısı
1
2
3
4
5
5
Huffman Kodu
0
10
110
1110
11111
11110
Ascii kodları ile hafızayı kayıt edilseydi, (50+35+20+10+8+4)x8=1016 bit yer kullanılacaktı.
Bu sıkıştırma tekniği ile, (50x1)+(35x2)+(20x3)+(10x4)+(8x5)+(4x5)=280 bit yer kullanılacak
Öncelik Kuyruğu (Heap) Yapısı
Bir yazıcı kuyruğunda 1000 sayfalık ve 1 sayfalık işler olduğunda, işlem önceliğini az olana
yani 1 sayfalık işe vermek gerekir. Aynı şekilde işletim sistemi de küçük işlere büyük işlerin
bekletmesinden kurtulması amacıyla öncelik tanımaktadır. Bu sistemi gerçekleştirebilmek için
veriler içerisinden en küçüğü tespit edecek ve çıkartacak bir algoritmaya ihtiyaç duyulur.
Daha önce anlatılan veri yapılarından bağlı listeler ve sıralı diziler üzerinde en küçük
elemanı tespit etmek ve çıkarmak mümkündür. Bağlı listeye eleman eklemek O(1) (en öne
eklenir), en küçük elemanı tespit edip silmek O(n) (listeyi dolaşmak gerekir) zamanı alır.
Sıralı dizilerde ise eleman eklemek O(n) (elemanları bir sağa kaydırmak gerekir), en küçük
elemanı tespit edip silmek O(1) (en baştaki eleman en küçüktür) zamanı alır. Sonuç olarak,
her iki metot birbirlerine avantaj sağlayamamaktadır, her birinin bütünü ele alındığında O(n)
zamanı gerekmektedir.
Eleman eklemenin mümkün olduğu ve en küçük elemanın tespit edilip çıkartılabildiği
O(n)'den daha hızlı bir mantık, bir algoritma varsa tercih edilmelidir. Bu durumda karşımıza
öncelik kuyruğu veri yapısı çıkar. Öncelik Kuyruğu yapısında eleman eklemek ve en küçük
elemanı çıkarmak O(log2 n) zamanı almaktadır. Sonuç olarak öncelik kuyruğu yapısının bu
problemin çözümünde kullanılması daha uygun olur.
Öncelik kuyruğu yapısı tamamen dolu ikili ağaç yapısıdır. Arada boş düğümleri olmayan
bir ağaç yapısı oluşturabilmek için ağacının katmanları soldan sağa olacak şekilde
doldurulur. Ayrıca tamamen dolu ikili ağacı, dizi üzerinde göstermek kolaydır.
Öncelik kuyruğu (heap) yapısı bazı kaynaklarda küme olarak da adlandırılmaktadır.
8
Küme (heap) yapısında her bir düğümün değeri çocuklarının değerlerinden küçüktür
veya eşittir. Bu durumda en küçük değere sahip eleman köktür.
9
Öncelik Kuyruğu (Heap) İşlemleri
Öncelik kuyruğu (heap) yapısında sadece iki işlem yapmak mümkündür; eleman ekleme, en
küçük elemanı çıkarma. Bunun dışında eleman arama gibi işlemler yapmak mümkün
değildir. Bu bir dezavantaj gibi gözükse de birçok problemin çözümünde küme (heap) yapısı
kullanılmaktadır.
a. Öncelik Kuyruğuna Eleman Ekleme
Küme (heap) yapısına eleman eklemek için, ilk önce bir sonraki uygun yere eklenmek
istenen eleman geçici olarak konulur, ikinci adım olarak yeni eklenen düğüm babası ile
karşılaştırılır, küçükse yer değiştirilir. Karşılaştırma ve yer değiştirme işlemine yeni eklenen
eleman küçük olmayıncaya veya köke ulaşıncaya kadar devam edilir. Böylece küme (heap)
yapısına eleman ekleme işlemi tamamlanmış olur.
Küme (heap) yapısına eleman ekleme işlemi, en fazla ağacın derinliği kadar yer değiştirme
yapılacağından O(log2 n) zamanı alır.
10
b. Öncelik Kuyruğundan En Küçük Elemanı Çıkarma
Küme (heap) yapısından en küçük elemanı çıkarmak için, ilk önce kökteki eleman (en
küçük eleman) silinir, ikinci adım olarak en sondaki eleman köke yerleştirilir, üçüncü adımda
ise, köke yerleştirilen elemanın çocukları ile karşılaştırılarak, büyükse küçük olanla yer
değiştirilir. Karşılaştırma ve yer değiştirme işlemine çocukların ikisi de büyük oluncaya kadar
devam edilir. Böylece küme (heap) yapısından en küçük elemanı çıkarma işlemi
tamamlanmış olur.
Küme (heap) yapısından en küçük elemanı çıkarma işlemi, kökün silinmesi 1 işlem,
kümenin (heap) tekrar düzenlenmesinde en fazla ağacın derinliği kadar yer değiştirme
yapılacağından log2n işlem, toplam O(log2 n) zamanı alır.
Küme (heap) yapısı hem eleman ekleme, hem de eleman çıkarma işlemlerini O(log2 n)
zamanında gerçekleştiren hızlı bir mantıktır. Ayrıca dizilere diğer ağaç yapılarına göre daha
kolay uyarlanabilmektedir.
Küme (heap) yapısı en çok, hızlı bir sıralama algoritması olarak kullanılmaktadır.
11