İÇİNDEKİLER TÜREV KAVRAMI Üstel Fonksiyonun Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Türev Tanımı / Türevin Grafik Yorumu.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Logaritmik Fonksiyonun Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Türevi Limitle Tanımlama.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Logaritmik Düzenleme ve Türev'in "h" Limitle Gösterimi – 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Logaritma Yardımıyla Türev Alma.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Türev'in "h" Limitle Gösterimi – 2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Bileşke Fonksiyonun Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Sağdan-Soldan Türev / Türev Süreklilik İlişkisi.. . . . . . . . . 5 Ters Fonksiyonun Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Türevin Varlığı / Türevin Grafikte Varlığı.. . . . . . . . . . . . . . . . 6 Uygulama Zamanı-4.......................................... 43 Uygulama Zamanı – 1......................................... 7 DİFERANSİYEL TÜREVLER TÜREV ALMA KURALLARI n Sabit Fonksiyon Türevi / f(x) = kx Türevi. . . . . . . . . . . . . . . 9 Negatif ve Rasyonel Kuvvetlerde Türev.. . . . . . . . . . . . . . . 10 Toplamın ve Farkın Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Çarpımın Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Bölümün Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Kuvvet Fonksiyonunun Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Köklü Fonksiyonun Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Diferansiyel Kavramı.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Zincir Kuralı.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Kapalı Fonksiyonun Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Parametrik Fonksiyonun Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 İkinci Türevler: Parametrik Fonksiyonda / Kapalı Fonksiyonda.. . . . . . . . 48 Yüksek Mertebeden (Ardışık) Türevler.. . . . . . . . . . . . . . . . 49 Uygulama Zamanı-5.......................................... 50 Uygulama Zamanı – 2....................................... 16 Tekrar Zamanı Tekrar Zamanı ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.......................................... 51 ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.......................................... 18 ÇÖZÜMLÜ TEST – 2.......................................... 53 ÇÖZÜMLÜ TEST – 2.......................................... 20 ÖZEL FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ Parçalı Tanımlı Fonksiyonun Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Sinüs Fonksiyonunun Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 TÜREV UYGULAMALARI 0 0 ve ∞ ∞ Belirsizliklerinde L'Hospital.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 0 · ∞ ve ∞ – ∞ Belirsizliği.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Logaritma Yardımıyla Limit: 00, ∞0 ve 1∞ Belirsizlikleri.. . . . . . 59 Cosinüs Fonksiyonunun Türevi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Uygulama Zamanı-6.......................................... 60 Tanjant Fonksiyonunun Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Türevin Fiziksel Yorumu.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Cotanjant Fonksiyonunun Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Türevin Polinom Yorumu.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Arcsing(x) in Türevi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Polinomun Katlı Kökleri.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Arccosg(x) in Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Uygulama Zamanı-7.......................................... 65 Arctang(x) in Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Tekrar Zamanı Arccotg(x) in Türevi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.......................................... 66 Uygulama Zamanı-3.......................................... 34 Tekrar Zamanı KONU TESTLERİ.............................................. 69 ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.......................................... 35 SİZİN İÇİN ÇÖZDÜKLERİMİZ.......................... 109 Türev Tanımı / Türevin Grafik Yorumu (Türev Tanımı) Konu Özeti Gösterimi: f(x) fonksiyonun x = a noktasındaki türevi y y = f(x) f(a) d f (x) dır. dx x = a (a, f(a)) t a 0 f(x) fonksiyonunun bütün noktalarındaki türev fonksiyonu f'(x) veya (Türevin Grafik Yorumu) Konu Özeti Bir fonksiyonun herhangi bir noktasından çizilen teğetinin eğimi(*), fonksiyonun o noktasındaki türevidir. f'(a) ya da TÜREV KAVRAMI (Grafikte Türev) ÖRNEK y = f(x) y (Türev-Teğet İlişkisi) d 4 y = f(x) fonksiyonunun üzerindeki apsisi 2 olan noktadan çizilen teğetin eğimini belirtiniz. ÇÖZÜM f'(a) = mt Türev-teğet ilişkileri "TÜREV 2" fasikülünde ayrıntılı irdelenecektir. d f (x) ile gösterilir. dx Türev fonksiyonu, teğet denklemi değildir, teğetin eğimini veren fonksiyondur. ÖRNEK x y = f(x) fonksiyonunun x = a apsisli noktasındaki teğeti olan t doğrusunun eğimi f'(a) dır. Bir fonksiyonun üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi fonksiyonun o noktadaki türevidir. y = f(x) in teğet eğimlerini veren türev fonksiyonu f'(x) d f (x) dir ve x = 2 apsisli noktasındaki teğetin dx d f (x) eğimi, f'(2) veya dir. dx x = 2 veya Aşağıdaki soruları cevaplandırınız. T(3, 4) Yandaki grafikte, f(x) fonksiyonu d doğrusuna T noktasında teğettir. Buna d f (x) ün dx x = 3 göre 0 (1, 0) x 3 değerini bulunuz. ÇÖZÜM Fonksiyonun herhangi bir noktasındaki teğetinin eğimi o noktasındaki türevidir. 4-0 4 = =2 md = 3-1 2 d doğrusu T noktasında y= f(x) fonksiyonuna teğet ve eğimi 2 olduğuna göre d f (x) = f'(3) = 2 dir. dx x = 3 Aşağıdaki soruları cevaplandırınız. 1. y = f(x) fonksiyonunun teğetlerinin eğimini veren fonksiyon nedir? 1. y = f(x) Şekilde d doğrusu y = f(x) fonksiyonuna T noktasında teğettir. y d 2 135˚ 0 1 d f (x) 2. in değeri y = f(x) fonksiyonun hangi noktadx x = 5 Verilenlere göre f'(1) in x değeri kaçtır? sındaki teğetinin eğimidir? 2. 3. y = f(x) fonksiyonu y = 5x – 1 doğrusuna ordinatı 14 olan noktada teğet olduğuna göre f'(3) ün değeri kaçtır? 1) f'(x) veya d f (x) dx 2) (5, f(5)) 3) 5 (*) Bir doğrunun eğimi x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açının tanjantıdır. Yani eğim = m = tan a y P 2 –2 0 3 1) –1 Şekilde t doğrusu y = f(x) fonksiyonut na P noktasında y = f(x) teğettir. Verilenlere göre f'(3) kaça eşittir? x 2) 2 5 1 Türevi Limitle Tanımlama TÜREV KAVRAMI Türev limitle tanımlanırken, teğet değme noktasından fonksiyona çizilen kirişlerin, teğete yakınsamasından faydalanılır. f: [a, b] → R ve x0 ∈ (a, b) olmak üzere y = f(x) fonksiyonunun x = x0 daki türevi; y f(x0) \ Teğet f(x) ş Kiri x – x0 0 x0 x f: R → R, f(x) = 2x + 3 fonksiyonunun x = 3 teki türevini limit yardımıyla bulunuz. ÇÖZÜM H ? f (x) - f (3) lim 2x + 3 - 9 x = 3 için f' (3) = xlim = "3 x"3 x-3 x-3 3 x lim x"3 lim x"3 f (x) - f (4) x-4 x"4 e) lim b) lim x"3 2 ^f (x) - f (3) h f (x) - f (3) = 2 · x lim "3 x-3 1 4 4 44 2x4-4344 3 f'(3) 3. f : R → R , f(x) = x2 + 3x + 4 olduğuna göre lim x"1 5 f (x) - 5 f (3) x-3 f ( x) - f (4) x"4 2 4 ^f (x) - f (3) h 4 f (x) - 4 f (3) = xlim "3 2x - 6 2 ^x - 3h = 2 · f'(3) bulunur. 1. Aşağıdaki verilen limitleri türev ile ifade ediniz. d) lim 4 f (x) - 4 f (3) limitinin eşitini bulunuz. 2x - 6 ÇÖZÜM 0 Limitte x yerine x0 yazıldığında oluşan 0 belirsizliğine göre limit değeri bulunur. f (x) - f (2) x-2 (Türevin Katsayılı Limit Tanımı) f: R → R, xlim " Kirişlerin teğete yakınsaması x"2 f (x) - f (1) limitinin eşiti kaçtır? x-1 4. f : R → R , f(x) = 3 + 2x2 olduğuna göre x2 - 16 2 f (x) - 2 f (3) limitinin eşiti kaçtır? x-3 x"3 lim f (x) - f (–1) x+1 x " –1 c) lim f) lim x"2 f2 (x) - f2 (2) x2 - 4 5. R de türevlenebilir f fonksiyonu için 2. f : R → R , f(x) = 3x + 2 fonksiyonu için f'(2) nin değeri kaçtır? 2 1. soru: a) f'(2) b) f'(4) c) f'(–1) d) 5 ·f'(3) e) 1 f ' ( 4) 8 f) f (2) f' (2) 2 f (3) 2 ^x - 3h 2x - 6 = xlim = lim 2 = 2 = xlim " 3 x-3 " 3 ^x - 3h x"3 ÖRNEK 6 44 7 44 8 f (x) - f (x0) lim f ' ( x 0) = x " x dır. x - x0 0 1 44444 2 4 444 43 a) lim f (x) O halde, f'(3) = 2 dir. y = f(x) f(x) – f(x0) Kirişlerin eğimi (Türevin Limit Tanımı) ÖRNEK Konu Özeti 2) 3 f(3) = 1 ve f'(3) = 81 olduğuna göre lim x"3 f2 (x) - f2 (3) x3 - 27 3) 5 ifadesinin eşiti kaçtır? 4) 24 5) 6 Türev'in "h" Limitle Gösterimi - 1 TÜREV KAVRAMI ÖRNEK Konu Özeti f' (x) = x lim " x0 f (x) - f (x0) ifadesinde h = x − x0 değişken x - x0 ÇÖZÜM Fonksiyonun "h" li türev tanımında f(x) = x² fonksiyonu kullanıldığında f (x + h) - f (x) (x + h) 2 - x2 f' (x) = lim ( lim h h h"0 h"0 değiştirmesi uygulanarak f' (x0) = lim f (x0 + h) - f (x0) h h"0 türevin "h"li limitle gösterimi elde edilir. Fonksiyonun her noktasındaki türev fonksiyonu h"0 ch b) lim c) lim h"0 f (2 + h) - f (2) h f (4 + 2h) - f (4) h h"0 & f' (x) = lim ^2x + hh h"0 ÖRNEK (Türev'in Katsayısı) f: R → R, lim h"0 f (x - 3h) - f (x + 7h) limitinin sonucunu 5h ÇÖZÜM lim h"0 f (–2 + 3h) - f (–2 + h) d) lim h h"0 e) lim h"0 f (x - 3h) - f (x + 7h) - 3 - 7 = · f ' ( x) = - 2 · f ' ( x ) 5 5h 3. f : R → R , f(x) = x2 + 3x + 1 olduğuna göre 1. Aşağıdaki verilen limitleri türev ile ifade ediniz. h türevle ifade ediniz. a-b = · f' (x0) dır. c L'Hospital kuralı uygulanarak da katsayı belirlenebilir. f (1 + h) - f (1) a) lim h h"0 h · ^2x + hh h yerine 0 yazıldığında; f'(x) = 2x elde edilir. Katsayı Belirleme: Türevin başındaki katsayıyı bulmak için fonksiyon içindeki "h" lerin katsayıları farkı paya, paydadaki "h" nin katsayısı paydaya yazılır. lim h h"0 O halde, f' (x) = lim f (x + h) - f (x) dır. f' (x) = lim h h"0 h"0 x2 + 2xh + h2 - x2 2xh + h2 = lim h " h 0 0 Bu aşamada h yerine sıfır yazıldığında belirsizliği 0 geldiğinden sadeleştirme yapmalıyız. ( f' (x) = lim "h" li limit ile türevi ifade ederken h her zaman sıfıra yaklaşmalıdır. f (x0 + ah) - f (x0 + bh) (Türev Fonksiyonu) f: R → R, f(x) = x2 fonksiyonunun türevini "h" li limit yardımıyla bulunuz. f (3 - 2h) - f (3 + 6h) 2h f (2 + h) - f (2 - h) limitinin eşiti kaçtır? h h"0 lim 4. f: R → R, f(x) = 2 (x + 2)2 olduğuna göre f ( 1 + h) - f ( 1) limitinin eşiti kaçtır? lim h h"0 f2 (1 + h) - f2 (1) h h"0 f) lim 5. f: R → R, f(x) = x2 + 3x fonksiyonunun türev fonksiyonu f'(x) nedir? 2. f : R → R , f(x) = 2x + 5 olduğuna göre f ( 3 + h) - f ( 3) limitinin eşiti kaçtır? h h"0 lim 1. soru: a) f'(1) b) f'(2) c) 2 · f'(4) d) 2 ·f'(–2) e) –4 · f'(3) f) 2 · f(1) f'(1) 2) 2 3) 14 4) 12 5) 2x + 3 3 Türev'in "h" Limitle Gösterimi - 2 TÜREV KAVRAMI ÖRNEK Konu Özeti İki farklı değişkenin toplamını tanımlayan fonksiyonda türevin "h" limitle gösteriminden faydalanılarak çözüme gidilir. Örnekle açıklayalım. Tüm reel sayılarda türevli bir f fonksiyonu için f (h) f(x + y) = f(x) + f(y) + xy ve lim = 6 olduğuna göre h"0 h f'(1) kaçtır? ÇÖZÜM nu için, f'(2) = 4 olduğuna göre lim f(1 + h) = f(1) + f(h) + h ifadesini yukarıdaki limit ifadesinde yerine yazalım. f (1) + f (h) + h - f (1) h h"0 ÇÖZÜM f (2 + 3h) - f (2 - h) ifadesindeki "h" lerin katsayılarıh h"0 lim f (2 + 3h) - f (2 - 2h) 3 - ^–2h = · f' (2) 1 1· h h"0 lim = 5 · f' (2) = 20 bulunur. : 4 h f (h) & f' (1) = lim + lim = 7 bulunur. h"0 h h"0h > = 6 f (2 + 3h) - f (2 - 2h) kaçtır? h nı kullanırsak f ( 1 + h) - f ( 1) dir. h h"0 f'(1) = lim f'(1) = lim f: R → R tanımlı ve her noktada türevli y = f(x) fonksiyo- h"0 ÖRNEK (h Limitle Türev Katsayısı) 1 f: R → R tanımlı ve her noktada türevli y = f(x) fonksiyonu için f'(3) = 3 tür. Buna göre aşağıdaki limitlerin eşitini bulunuz. f (3 + 2h) - f (3 + h) = 1. lim h h"0 4. Tüm reel sayılarda türevli bir f fonksiyonu için f(x + y) = f(x) + f(y) + 3xy ve lim h"0 f (h) = 4 olduğuna göre h f'(2) kaçtır? 5. Tüm reel sayılarda türevli bir f fonksiyonu için f(x + y) = f(x) + f(y) – 4xy f (3 + 4h) - f (3 + 2h) = h h"0 2. lim f (h) kaçtır? h"0 h f'(2) = 5 olduğununa göre lim 6. R de tanımlı ve türevli bir f fonksiyonu için f (3 - 5h) - f (3 - h) = 3. lim 2h h"0 f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy ve lim h"0 f'(x) fonksiyonu nedir? 1) 3 4 2) 6 3) –6 4) 10 5) 13 f (h) = 3 olduğuna göre h 6) 2x + 3 Sağdan-Soldan Türev / Türev Süreklilik İlişkisi (Sağdan-Soldan Türev) Konu Özeti f (x) - f (x0) x - x0 x " x0 (Türev-Süreklilik İlişkisi) Konu Özeti f: [a, b] → R ve x0 ∈ (a, b) olmak üzere, f (x) - f (x0) vv Sağdan türev: f' (x+0 ) = lim + x - x0 x " x0 vv Soldan türev: f' (x-0 ) = lim- TÜREV KAVRAMI Sağdan ve soldan türevler var ve eşit ise fonksiyonun o noktada türevi vardır. vv f' (x+0 ) = f' (x-0 ) = f' (x0) türev vardır. f: [a, b] → R ve x0 ∈ (a, b) olmak üzere, vv f → TÜREVLİ ise f → SÜREKLİ dir. vv f → SÜREKSİZ ise f → TÜREVSİZ dir. vv f → SÜREKLİ ise f → TÜREVLİ OLMAYABİLİR! Çünkü sürekli olunan noktada kırılma (sivri nokta) var ise sağ-sol türev eşit olamayacağı için türev yoktur. Süreklilik: lim+f (x) = lim-f (x) = f (x0) olduğunu x " x0 x " x0 hatırlayınız. 4 DİKKAT EDİNİZ! vv f' (x+0 ) ! f' (x-0 ) & f' (x0) türev yoktur. ÖRNEK ÖRNEK f: R → R , f(x) = |x – 1| fonksiyonunun x = 1 noktasında f: R → R, f(x) = |x| fonksiyonu için aşağıdakileri bulunuz. a) f'(0+) b) f'(0–) c) f'(0) a) Sürekliliğini tespit ediniz. b) Türevinin olup olmadığını belirleyiniz. y ÇÖZÜM ÇÖZÜM x , x H 0 iken olduğuna göre, f ( x) = x = ' - x , x 1 0 iken ? @ x - 0 f (x) a) f' (0+) = lim x-0 x " 0+ ? @ x - 0 f (x) b) f'(0 ) = lim- x"0 f (0) = lim x " 0+ f (0) x-0 = limx"0 x x x x 0 1 = lim x x " 0+ x 1 = lim 1 = 1 x " 0+ = limx"0 x 1 2x , 3x , x a) Grafikten de görüleceği üzere x"1 x " 1+ = lim (–1) = –1 x " 0+ c) f' (0+) ! f' (0-) olduğu için f'(0) yoktur. 1. f: R → R , f (x) = ' 1 lim f (x) = lim-f (x) = f (1) = 0 yani x = 1 de süreklidir. 1 -x y = |x – 1| x - 1, x H 1 f ( x) = x - 1 = ' 1 - x, x < 1 x<2 fonksiyonu veriliyor. xH2 b) Grafikte x = 1 kırılma noktası olduğu için bu noktada birden fazla teğet çizilebilir. Yani, f'(1+) ≠ f'(1–) olduğu için f'(1) yoktur. y Şekilde y = f(x) fonksiyonunun y = f(x) grafiği verilmiştir. Buna göre f'(2+) ve f'(2–) nin değeri kaçtır? 0 Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız. 1 2 5 x –3 2. f: R → R , f (x) = ' 2x - 1 , 4x , x<1 fonksiyonu veriliyor. xH1 1. f'(2+) ifadesinin eşiti nedir? Buna göre f'(1+), f'(1–) ve f'(1) in değeri kaçtır? 2. f'(2–) ifadesinin eşiti nedir? 3. f'(2) ifadesinin eşiti nedir? 1) f'(2+) = 3 , f'(2–) = 2 2) f'(1+) = 4 , f'(1–) = 2 ve f'(1) yoktur. 1) 1 2) –3 3) Yoktur 5 ÖZEL FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ Konu Özeti (Logaritmik Düzenlemelerden Faydalanma) n vv log m (bn) = logab m a 1442443 Logaritma kuralları yardımıyla fonksiyon türevi kolay alınabilecek hale dönüştürülebilir. Bu kuralları hatırlayalım, vv loga (b·c) = loga b + loga c b vv loga c m = loga b - loga c c Cevaplar logaritmik olarak düzenlenmiş verilebilir. DİKKAT EDİNİZ! Konu Özeti ( 6g (x)@h (x) ifadelerinde Logaritmik Yardım) Üstel ifadenin hem tabanı hem küvveti fonksiyon ise kuvvetteki fonksiyon logoritma (ln–) yardımıyla düşürülür. f (x) = 6g (x)@h (x) & ln f (x) = ln 6g (x)@ h (x) & ln 6f (x)@ = h (x) · ln 6g (x)@ (Her iki tarafın türevi alınırsa) g' (x) f ' (x ) = h' (x) · ln 6g (x)@ + h (x) · & f ( x) g ( x) f' (x) =123 f (x) >h' (x) · lng (x) + h (x) · ↓ ÖRNEK g' (x) H bulunur. g ( x) h(x) [g(x)] x-1 ise f'(x) fonksiyonunu bulunuz. x+1 f(x) = ln Logaritmik Düzenleme ve Logaritma Yardımıyla Türev Alma Fonsiyonu logaritma kurallarıyla düzenle- ÇÖZÜM yelim, ÖRNEK f(x) = xx ise f'(x) fonksiyonunu bulunuz. ÇÖZÜM 1 2 x-1 x-1 1 m = 6ln (x - 1) - ln (x + 1)@ = ln c x+1 x+1 2 f (x) = ln dir. 1 1 1 O halde, f'(x) = ; E bulunur. 2 x-1 x+1 Her iki tarafın türevi alınırsa, f ' ( x) 1 = 1· ln x + x · & f' (x) = f (x) · (ln x + 1) = xx (ln x + 1) f ( x) 9 x x x Tanımlı olduğu aralıklarda aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz. 1. f(x) = ln f(x) = xx ⇒ lnf(x) = lnxx ⇒ lnf(x) = xlnx Tanımlı olduğu aralıklarda aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz. 1. f(x) = xx + 1 olduğuna göre f'(x) = ? x olduğuna göre f'(x) = ? x+2 2. f(x) = xsin 2x olduğuna göre f'(x) = ? 2. f (x) = ln f x2 · sin x x p olduğuna göre f'(x) = ? 3. f(x) = xlnx olduğuna göre f'(e) = ? 3. f (x) = 1) 40 1 1 olduğuna göre f' c m = ? 12 log3 x e2 1 1 1 ; E 2 x x+2 2) 2 1 + cot x– x 2x π 4. f(x) = (sin x)x olduğuna göre f' c m = ? 2 3) 2 1) xx + 1 c ln x + x+1 m x 2) xsin 2x c 2 cos 2x · ln x + sin 2x m x 3) 2 4) 0 Bileşke Fonksiyonun Türevi ÖZEL FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ ÖRNEK Konu Özeti Bileşke fonksiyonların türevi alınırken, birleşke fonksiyon tespit edilir ve oluşan fonksiyonun türevi alınır. Bileşke fonksiyonu tespit etmenin zor olduğu durumlarda aşağıdaki bağıntı kullanılır. (fog)'(x) = 6f ^g (x) h@ ' = f' ^g (x) h · g' (x) ÖRNEK (Bileşke Fonksiyonlu Türev) (Nokta Türev) g(1) = 2, f'(2) = 4 ve g'(1) = 3 olduğuna göre (fog)'(1) in değerini bulunuz. ÇÖZÜM (fog)'(x) = f'(g(x)) · g'(x) bileşke türev bağın- tısına göre (fog) ' (1) = f' (g (1)) · g' (1) = f' (2) · 3 = 4 · 3 = 12 bulunur. > ; : 2 ÖRNEK 3 4 (f(g(x)) = h(x) İfadelerinin Türevi) 2 f(x) = x + 3x ve g(x) = sin x olduğuna göre y = (fog)(x) bileşke fonsiyonunun türevini bulunuz. ÇÖZÜM Bileşke fonksiyonu tespit edip türevini alalım y = (fog)(x) = f (g (x)) = f (sin x) = sin2 x + 3 sin x dir. = sinx 2 y' = (fog)'(x) = (sin x) ' + (3 sin x) ' = 2 sin x· cos x + 3 cos x 2 II. Yol: f(x) = x + 3x ⇒ f'(x) = 2x + 3, ÇÖZÜM f(x2 + x) = x3 ifadesinde her iki tarafın türevi alınırsa, (2x + 1) f'(x2 + x) = 3x2 123 123 için türevi g(x) = sin x ⇒ g'(x) = cos x olduğuna göre y = (fog)(x) = f(g(x)) ise y' = (fog)'(x) = f' (g (x)) · g' (x) = ; cos x sin x = (2 sin x + 3) · cos x = 2 sin x · cos x + 3 cos x bulunur. 1 44 2 44 3 < f'^g (x)h f: R+ → R, f(x2 + x) = x3 olduğuna göre, f'(2) nin değerini bulunuz. g'(x) Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz. (x2 + x = 2 ⇒ x2 + x – 2 = 0 ⇒ 2 (x + 2)(x – 1) = 0, x = –2 veya x = 1 dir. Tanım kümesi R+ olduğu için x = 1 kullanılır) O halde, x = 1 ⇒ (2 · 1 + 1) · f'(12 + 1) = 3 · 12 ⇒ 3 · f'(2) = 3 ⇒ f'(2) = 1 bulunur. 4. f(2x + 1) = 3x2 – 4x + 1 olduğuna göre f'(3) + f(–3) değeri kaçtır? 1. f(x) = x + 1 ve g(x) = 2x + 5 olduğuna göre (fog)'(x) nedir? 5. f: R+ → R, f(x2 + 4) + f(2x + 3) = x3 – 2x + 1 olduğuna göre f'(5) kaçtır? 3 2. f(x) = x – 2x ve g(x) = x + 1 olduğuna göre (gof)'(x) nedir? 6. f: R+ → R, f(x2 + g(x)) = g2(x) · x iken, 3. f(2) = 4, f'(2) = 2 ve g'(4) = 3 olduğuna göre (gof)'(2) ifadesinin eşiti nedir? 1) 2 2) 3x2 – 2 3) 6 g(1) = 2 ve g'(1) = 0 ise f'(3) ün değeri kaçtır? 4) 22 5) 1 4 6) 2 41 Ters Fonksiyonun Türevi ÖZEL FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ Ters fonksiyonların türevi alınırken, ters fonksiyon tespit edilir ve oluşan fonksiyonun türevi alınır. Ters fonksiyonu tespit etmenin zor olduğu durumlarda bileşke fonksiyonun türevinden faydalanılır. vv f: A → B, y = f(x) birebir örten (tersi alınabilir) fonksiyon olsun, f: R – {1} → R –{3} , f(x) = (f–1)'(x) i bulunuz. f (x) Her iki tarafın türevi alınırsa, f'(x) · (f–1)'(f (x)) = 1 olur. 9 y 1 -1 O halde, (f ) ' (y) = dir. f' (x) hatırlayınız. f: R → R, f(x) = x3 + x ise (f–1)'(2) nin değerini bulunuz. ÇÖZÜM Fonksiyonun tersini bulmak zor olduğu için bileşkeden faydalanır. 123 f(x) = x3 + x ise f–1(x3 + x) = x dir. Her iki tarafın türevi alınırsa, x3 + x = 2 olması için (3x2 + 1) (f–1)'(x3 + x) = 1 123 123 x = 1 olmalıdır için türevi 2 O halde x = 1 ise (3 · 12 + 1) · (f–1)'(13 + 1) = 1 ⇒ 4(f–1)'(2) = 1 ⇒ (f–1)'(2) = 1 bulunur. 4 Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz. 3x - 2 fonksiyonu için, x-1 - dx + b ax + b & f-1 (x) = olduğunu cx - a cx + d 3x - 2 x-2 & f-1 (x) = olduğuna göre, x-1 x-3 (f-1) ' (x) = ÖRNEK (Nokta Türev) f ( x) = ÇÖZÜM f ( x) = y = f(x) ise f-1 ( y ) = x ⇒ f–1(f(x)) = x dir. 5 ÖRNEK (Tersini Bularak Türev Alma) ÖRNEK Konu Özeti 1· (x - 3) - (x - 2) ·1 (x - 3) 2 =- 1 bulunur. (x - 3) 2 (Ters Türev Bağıntısı) f türevlenebilir ve birebir örten bir fonksiyon olmak üzere f(1) = 3 ve f'(1) = 2 olduğuna göre (f–1)'(3) ün değerini bulunuz. ÇÖZÜM f (x) = y & f-1 (y) = x & f-1 (f (x)) = x 7 f (x) Her iki tarafın türevini alalım, f'(x) · (f–1)'(f(x)) = 1 1 x = 1 için f' (1) · (f-1) ' (f (1)) = 1 & (f-1) ' (3) = bulunur. 2 < : 2 4. f: ;- 3 π,π E " 6- 1, 1@, f(x) = sin x ise (f–1)'(x) i bulunuz. 2 2 1. f: R → R, f(x) = x3 – x olduğuna göre (f–1)'(24) değeri nedir? 2. f: R– → (–8, ∞) için f(x) = x2 – 8 olduğuna göre (f–1)'(1) kaçtır? 5. f ve g türevlenebilir, birebir örten, f(x3 + 3x) = g(2x + 1) olmak üzere, g–1(3) = 5 ve g'(5) = 4 olduğuna göre (f–1)'(3) kaçtır? 3. f: (–2, ∞) → R olmak üzere f(x) = log(x + 2) olduğuna göre (f–1)'(0) kaçtır? 1) 42 1 26 2) - 1 6 3) ln 10 4) 1 1 - x2 5) 15 8 Uygulama Zamanı Uygulama – 4 Tanımlı olduğu aralıklarda aşağıdaki fonksiyonların türevini bulunuz. 1. f(x) = 5 x2 + 1 1 9. f(x) = (2x)x fonksiyonunda f' c m kaçtır? 2 olduğuna göre f(x) = ? 10.f(x) = (ln x)x fonksiyonunda f'(e) kaçtır? π 2. f(x) = esin x fonksiyonunun türevinin x = noktasın2 daki değeri kaçtır? 3. f(x) = ex + 1· ex 2 - 2x 11.f(3x – 2) = 2x3 – 3x2 + 4x + 3 olduğuna göre f'(4) kaçtır? fonksiyonu için f'(1) kaçtır? x 4. f(x) = 4x + 2 ve g(x) = fonksiyonları için (fog)'(–4) 2 kaçtır? 5. f(x) = log2(5x – 1) olduğuna göre f'(1) kaçtır? 12.f(x) = sin x ve g(x) = 2x – 2 olduğuna göre (fog)'(1) kaçtır? 13.f(2x – 2) = 2 g(4x+1) – 3x2 ve g'(–3) = –2 olduğuna göre f'(–4) kaçtır? 6. f(x) = log4(x2 + 2x + 1) olduğuna göre f'(x) kaçtır? 14.f: R+ → R+ , f(3x2 + x) = x3 + 4x olduğuna göre (f–1)'(5) kaçtır? 7. f(x) = log3(x – 2) + log3(x + 2) olduğuna göre f'(3) kaçtır? 8. f(x) = ln c 1) 2x · ln 5 · 5 x+1 m olduğuna göre f'(1) kaçtır? x x2 + 1 6) 2) 0 log2 e x+1 3) e 7) 6 5 ln 3 4) ln 2 8) - 3 4 5) 2 15. f: c , ∞ m " R , f(x) = ln(2x – 5) olduğuna göre 5 (f–1)'(0) + (f–1)(0) kaçtır? 5 ·log2 e 4 9) 1 10) 1 11) 16 3 12) ln 4 13) –5 14) 1 15) 7 2 43 Diferansiyel Kavramı DİFERANSİYEL TÜREVLER ÖRNEK Konu Özeti Tanımlı olduğu aralıkta türevlenebilen y = f(x) fonksiyonu için x in değerindeki değişim olan ∆x e karşılık gelen y nin değerindeki değişim ∆y olsun, vv x in diferansiyeli dx = ∆x iken vv y nin diferansiyeli dy = f'(x) · dx tir. O halde dy Nokta türev: y = f(x) için f' (a) = dır. dx x = a Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz. 2. f(x) = x + sin 2x olduğuna göre 2) 1 + 2 cos 2x 4) 0 df (x) = f' (2) dir. dx x = 2 O halde, x = 2 için f'(2) = 2 · 2 + 3 = 7 bulunur. d (ln (sin x)) nedir? dx d 2 x (x e ) nedir? dx d x (x ) kaçtır? dx x=e 8. f (x) = 3) 3x2 + 2x + 1 df (x) değerini bulunuz. dx x = 2 f(x) = x2 + 3x ise f'(x) = 2x + 3 tür. 7. d 3 (a + a ) nedir? 4. dx 1) 2x + 2 ÇÖZÜM 6. e-x d 3 (x + x2 + x) nedir? dx (Nokta Türev) f(x) = x2 + 3x ise 5. df (x) nedir? dx Çarpımın türevi uygulanır. d (x · cos x) = 1· cos x + x ·(- sin x) = cos x - x sin x dir. dx dy nedir? dx 1. y = x2 + 2x – 4 olduğuna göre 44 ÇÖZÜM ÖRNEK Diferansiyel ile türev alırken, türev alma kuralları aynen uygulanır. 3. d (x · cos x) ifadesinin eşitini bulunuz. dx dy = f' (x) bulunur. dx Diferansiyel kavramı "İntegral Fasikülünde" ayrıntılı incelenecektir. (Diferansiyel ile Türev) 5) cot x df (x) d x (e cos x) olduğuna göre nedir? dx dx 6) x2 + 2x 7) 2ee 8) –2ex sin x Zincir Kuralı DİFERANSİYEL TÜREVLER ÖRNEK Konu Özeti ...... Değişkenlerin birbirine bağlı olduğu fonksiyon sistemlerinde, türev alınırken zincin kuralı uygulanır. y = f(t), t = g(v), v = h(x) olmak üzere vv Değişkenler arasındaki bağ y → t → v → x şeklinde belirtilir ve aşağıdaki gibi türevlendirilir. dy dy dt dv = · · = f' (t) · g' (v) · h' (x) dx dt dv dx (fogoh)'(x) = f'(g(h(x))) · g'(h(x)) · h'(x) dir. Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz. 14243 t = 3z2 + z 2 x=0 Değişkenler arası bağ y → t → v → x şek- lindedir. dy dy dt dv = · · = (t2 + 3t)' (v2)'(2x)' = (2t + 3) · (2v) · 2 dx dt dv dx v = 2x ⇒ t = (2x)2 = 4x2 bulunur. O halde, Bileşke fonksiyonların türevleri de zincir kuralı olarak değerlendirilebilir. dy olduğuna göre dx ÇÖZÜM Bulunan ifadedeki bütün değişkenleri x e çevirelim. Zincir diferansiyeller sadeleşirse dy dt dv dy · · = elde edilir. dx dt dv dx 1. y = t2 – 3t ÇÖZÜM dy dy a) b) dx x = 1 ......dx dy = (2t + 3) · (2v) · 2 = 8x (8x2 + 3) = 64x3 + 24x a) dx ↓ ↓ 2x t+2 dy b) = 64 · 13 + 24 · 1 = 88 bulunur. dx x = 1 4. y = kaçtır? 4x2 14243 y = t2 + 3t, t = v2, v = 2x olduğuna göre aşağıdakileri ...... bulunuz. 3 t = x3 + 2x2 – 4x 1 x= u olduğuna göre dy du u=1 kaçtır? t = 2u u = x3 14243 2. y = 3t2 olduğuna göre dy kaçtır? dx 14243 t = e2z – 1 z = x3 + x – 2 1) 0 dy olduğuna göre dx olduğuna göre z = h(x) = 2x u2 - 1 u = sin x x=1 kaçtır? x = cos 2t t = arcsin z 2) 72x5 olduğuna göre (fogoh)(x) in türevini bulunuz. t = g(t) = sin t 6. y = 3. y = ln(t + 2) 14243 5. y = f(u) = eu 1442443 z=x +1 3) 4 4) –1 5) 2 cos 2x · esin 2x dy dz z=0 kaçtır? 6) 0 45 Uygulama Zamanı 1. S = f(t) = 3t2 + 6t – 7 fonksiyonu ile hareket eden bir hareketlinin 2. saniyedeki hızı nedir? 2. S(t) = t3 – t2 + 4 yol denklemi verilen hareketlinin 3. saniyedeki konumu nedir? 3. S(t) = at2 + bt + 1 hareketlisinin 2. saniyedeki hızı 17 ve anlık ivmesi 6 olduğuna göre a + b kaçtır? 4. S(t) = t3 – 3t2 + 5t yol denklemi ile verilen hareketlinin t = 1 ve t = 3 saniyeleri arasındaki ortalama hızı nedir? 1) 18 2) 22 3) 8 4) 6 Uygulama – 7 5. P(x) = ax2 + bx + c polinomu veriliyor. P(2) = –3, P'(1) = 1, P''(3) = 4 olduğuna göre a + b + c toplamı kaçtır? 6. a > 0 iken, P(x) · P'(x) = 4x + 8 şartını sağlayan P(x) polinomu için P(1) kaçtır? 7. P'(x) + P(x) = 6x2 + 12x + 4 şartını sağlayan P(x) polinomu için P(–2) kaçtır? 8. P(x) = x3 + ax2 + bx – 6 polinomu (x – 1)2 ile tam bölündüğüne göre b kaçtır? 5) –6 6) 6 7) 28 8) 13 65 Tekrar Zamanı 1. ÇÖZÜMLÜ TEST – 1 x4 - 1 limitinin sonucu kaçtır? x+1 lim x "-1 A) –4 B) –2 C) –1 D) 3 x"∞ E) 4 A) sin 2x limitinin sonucu aşağıdakilerden hangicos 3x 2. lim π x" 2 3 2 B) –1 x"1 1 1 A) B) 3 2 4. lim x"a x"π D) 0 E) 7. lim 8. lim C) 1 3 D) 2 x"1 B) –a C) 0 D) a B) –1 C) 0 D) 1 C) 1 4 D) 1 1 E) 2 3 sin2 2x limitinin değeri kaçtır? x2 A) 1 1 2 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16 ln x limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? x-1 A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 E) 2 E) 2a sin x - sin π limitinin değeri kaçtır? π cos c x - m 2 A) –2 66 2 3 x2 –a2 limitinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? x-a A) –2a 5. lim C) - 3x + 6 - 3 limitinin değeri kaçtır? x-1 3. lim 1 1 B) 5 6 x"0 sidir? A) - x2 + 1 limitinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 3x2 - 4 6. lim 9. x "-∞ hangisidir? 2 B) - 3 A) –∞ 10. lim x"∞ E) 2 2x2 + x - 1 limitinin değeri aşağıdakilerden 3x2 - 2 lim A) 0 ln x x C) 0 D) 2 3 E) ∞ limitinin değeri kaçtır? B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 11. lim c x"∞ 2x - 1 -3x m limitinin eşiti aşağıdakilerden han2x + 1 15. lim a"0 gisidir? A) 0 12. lim x"0 hangisidir? B) 1 C) e 2 D) e 3 E) e A) –2 e-x - ex limitinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? x · cos x A) –2 a · cos a limitinin değeri aşağıdakilerden cos a - a B) –1 C) 0 D) 1 E) 2 f' (4) = lim x"2 13.a, b ∈ R iken, x"2 14. lim 3 x"1 A) 1 C) –6 D) –4 C) 0 D) 1 f' (x + 1) - f' (3) olduğuna göre a kaçtır? x-2 B) –2 C) –1 D) 1 E) 2 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 18.P(x) = x70 – x69 + x68 – x67 + ......– x + 1 polinomunun x – 1 ile bölümünden elde edilen bölüm polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? hangisidir? B) –1 E) 1 E) –2 x3 + 7 - x + 3 limitinin eşiti aşağıdakilerden x-1 A) –2 D) 0 P(x) – P'(x) = x2 – 5x + 7 olduğuna göre P(1) kaçtır? a + b toplamı kaçtır? B) –8 C) –1 17.P(x) bir polinom olmak üzere, x2 + ax + b = 2 olduğuna göre x2 - 4 A) –12 3 2 16.f(x) = x2 + 3ax + 4 fonksiyonu için, A) –3 lim B) - A) 35 E) 2 B) 45 C) 50 D) 65 E) 70 67 1. A 2. C 3. B 4. E 5. D 6. D 7. C 8. C 9. D 10. A 11. E 12. A 13. B 14. C 15. C 16. B 17. B 18. A Tekrar Zamanı Test - 1 Çözümü 1. lim x4 - 1 0 = (L'Hospital) x+1 0 lim 4x 3 = 4 ·(- 1) = - 4 bulunur. 1 x "-1 x "-1 2. e-x - ex Cevap: A 2 2 cos 2x = - 3 sin 3x lim x" π 2 x"1 2 cos π 2·- 1 2 = = - bulunur. -3·- 1 3π 3 - 3 sin 2 x"1 4. x"a x2 + ax + b 0 = belirsizliği vardır. 0 x2 - 4 x = 2 için pay sıfır olmalıdır. O halde, Cevap: C 4 + 2a + b = 0 ise 2a + b = –4 2x + a 4 + a L'Hospital alınırsa lim = =2 2x 4 x"2 4+a=8⇒a=4 a + b = 4 – 12 = –8 bulunur. Cevap: B x2 - a2 0 lim = (L'Hospital) x"a x - a 0 lim 14. lim x"1 3 Cevap: E lim 3· (x 3 + 7) 2 3 sin x - sin π 0 = (L'Hospital) π 0 cos c x - m 2 cos x cos π -1 lim = 1 bulunur. = = π π x"π -1 - sin c x - m - sin 2 2 x"π x2 + 1 3x 2 - 4 x"∞ = a · cos a Cevap: D 7. lim 0 = (L'Hospital) 0 1 8. 9. lim x "-∞ lim x "-∞ 10. lim x"∞ lim x"∞ 3x 2 - 2 x 1 x 1 = Cevap: C x"∞ 2 x x"∞ 68 1· cos a - sin a · a 1 - 0 = = - 1 bulunur. 0-1 - sin a - 1 Cevap: C f'(x) = 2x +3a ⇒ f'(4) = 8 + 3a lim lim f' (x + 1) - f' (3) x-2 = 0 (L'Hospital) 0 f'' (x + 1) = f'' (3) = 2 1 f'(4) = f''(x) ⇒ 8 + 3a = 2 ⇒ 3a = –6 ⇒ a = –2 bulunur. x"2 Cevap: B 17.P(x) = ax + bx + c ise, 2 ax2 + x(b – 2a) + c – b = x2 – 5x + 7 polinom eşitliğinden c – b = 7 ⇒ c = 4 O halde, P(x) = x2 – 3x + 4 ise P(1) = 1 – 3 + 4 = 2 bulunur. Cevap: D 18. - Cevap: B P (x) x - 1 B (x) k P(x) = (x – 1) · B(x) + k 2 x 2 2 = lim = = 0 bulunur. x ∞ x"∞ x x70 – x69 + x68 – x67 + ...–x + 1 = (x – 1) · B(x) + k Her iki tarafın türevi alınırsa 2x - 1 -3x 11. lim c m = ∞∞ belirsizliği, x " 0 2x + 1 lim c 1 + 0 a = 1, b – 2a = –5 ⇒ b = –3 ∞ (L'Hospital) = ∞ ∞ (L'Hospital) ∞ = lim Cevap: C P(x) – P'(x) = ax2 + bx + c – 2ax – b 4x + 1 ∞ 4 2 = (L'Hospital) lim = bulunur. ∞ 6x 3 x "-∞ 6 ln x 1 1 - = 0 bulunur. 4 4 P'(x) = 2ax + b 0 ln x lim = (L'Hospital) 0 x"1 x - 1 1 1 x lim = = 1 bulunur. 1 x"1 1 2x 2 + x - 1 lim x"0 x"2 x2 2 · sin 4x 0 2 · sin 2x · 2 cos 2x lim & lim = (L'Hospital) 2x 0 2x x"0 x"0 4 cos 4x lim = 4 · cos 0 = 4 bulunur. Cevap: C < 1 x"0 x"0 = 16.f(x) = x2 + 3ax + 4 ise Cevap: D sin2 2x 1 2 x+3 15. lim cos a - a = (L'Hospital) 0 x"0 2x 1 ∞ = bulunur. (L'Hospital) ⇒ lim ∞ 3 x"∞ 6x - 1 x"1 5. lim Cevap: B x3 + 7 – x + 3 0 = (L'Hospital) x-1 0 3 x2 2x = 2a bulunur. 1 6. lim Cevap: A 2a + b = –4 ⇒ 8 + b = –4 ⇒ b = –12 2 3x + 6 3 3 1 = = = bulunur. x-1 6 2 2 3+6 - e-x - ex -1 - 1 = = - 2 bulunur. 1-0 1 cos x - sin x · x x"0 3 lim x"0 13. lim 3x + 6 - 3 0 = (L'Hospital) x-1 0 3. lim lim sin 2x 0 lim = (L'Hospital) π cos 3x 0 x" 0 12. lim x cos x = (L'Hospital) 0 x"0 -2 m 2x + 1 -3x -2 lim a · - 3x k x " ∞ 2x + 1 &e Cevap: A &e 6x lim x " ∞ 2x + 1 70 · x69 – 69 · x68 + 68 · x67 – ...–1 = 1 · B(x) + B'(x) · (x – 1) x = 1 için, 70 - 69 + 68 - 67 + ... + 2 - 1 = B (1) > > < 1 = e3 Cevap: E 1 1 B(1) = 35 bulunur. Cevap: A Türev Alma Kuralları Konu Testi – 1 1. f(x) = x2 – 4x + 1 olduğuna göre lim x"2 f (x) - f (2) x-2 limitinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 6. f(x) = 3x2 + x + 3 x olduğuna göre lim h"0 E) 2 2. f(x) = ^1 + 2 h fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) f (1 + h) - f (1) limitinin değeri kaçtır? h 21 41 B) 3 6 C) 20 3 D) 13 19 E) 2 3 3 A) 0 B) 1 C) 2 7. f(x) = A) D) 1 + 2 E) 3 ^1 + 2 h 2x + 1 olduğuna göre f'(0) kaçtır? x+3 2 1 B) 9 3 C) 4 9 D) 2 5 E) 3 9 2 3. f(x) = x6 + 4x2 fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) 6x5 + 4x B) x6 + 8x D) 3x5 + 4x E) x5 + 4x2 4. f(x) = C) 6x5 + 8x d f (x) 4 - 2x–3 + 3x olduğuna göre aşağıdakix dx lerden hangisine eittir? 4 - 6x–2 + 3 x2 4 C) 2 + 6x–4 - 3 x A) 4 - 6x–2 + 3 x2 4 D) – 2 + 6x–4 + 3 x 8. f(x) = (x4 – x + 2)3 fonksiyonu için A) –12 C) –4 x=0 D) 4 kaçtır? E) 8 9. f(x) = x2 + 5x - 5 fonksiyonunun x = 2 noktasındaki türevi kaçtır? A) B) – B) –8 d f (x) dx 1 2 B) 1 C) 3 2 D) 2 E) 5 2 E) –4x2 - 6x–4 + 3 5. f(x) = (x3 + 2) (x5 – 2x + 1) fonksiyonu veriliyor. Buna göre f'(–1) aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 10.f(x) = c x+1 2 m olduğuna göre f'(2 ) kaçtır? x-1 A) –10 B) –12 C) –14 D) –15 E) –18 69 3x - 5 11.f(x) = x2 + 2x + fonksiyonunun x = –2 deki x+1 türevi kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 16.f(x) = ^x - 3h2 ^x + 1h Buna göre f'(0) kaçtır? A) –16 12.f(x) = x2 · g(x) fonksiyonu veriliyor. f'(3) = 12 ve g(3) = –1 olduğuna göre g'(3) aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 1 13.f: R – {0} → R tanımlı bir f(x) = 4x2 - 2 fonksiyonu x veriliyor. Buna göre f'(1) kaçtır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 Ç-1 14.f(x) = x4 + 1 ve x = –f(x) · g(x) olduğuna göre g'(0) kaçtır? A) –2 15.f(x) = B) –1 4 ^x - 1h 2 C) 0 D) 1 fonksiyonu için lim h"0 17.f(x) = C) –6 E) –9 x2 + 2x + 3 fonksiyonunun türevi aşağıdakilerx x2 - 3 x2 + 3 B) 2 x x D) x2 + 3 x-3 E) 2 x x 18.f: R – {2} → R – {1} , f(x) = na göre a kaçtır? A) 2 B) 3 C) x2 - 3 x x-a ve f'(1) = 4 olduğux-2 C) 4 D) 5 E) 6 19.f(x) = x3 (x + 2)5 fonksiyonunun x = –1 deki türevi kaçtır? A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 2 20.f(x) = 3 ^x2 + 2xh olduğuna göre lerden hangisine eşittir? A) E) –4 E) 70 D) –10 E) 2 E) 2 f (2 + h) - f (2) h D) –5 C) –12 A) C) B) –7 B) –15 den hangisine eşittir? limiti kaçtır? A) –8 fonksiyonu veriliyor. 2x + 2 3 3 x2 + 2x 1 3 3 x2 + 2x 3 B) D) 3 d f (x) aşağıdakidx 4x + 4 x2 + 2x 4x + 4 3 3 x2 + 2x 4x x2 + 2x 1. C 2. A 3. C 4. D 5. A 6. B 7. D 8. A 9. C 10. B 11. B 12. D 13. D 14. B 15. A 16. B 17. A 18. E 19. A 20. D