düz yüzeylere gelen hidrostatik kuvvetler

TÜRBÜLANSLI SINIR TABAKALAR
Bir türbülanslı düzlemsel sınır tabakanın zamanortalamalı hız profili için yaygın olan bir ampirik
yaklaştırım 1/7’nci kuvvet yasasıdır:
1/ 7
y  u   y 
 
U  
u
y 
1
U
u
y   ( x)   0.99
U
Bu profil y = 0 için sonsuz hız gradyeni vermektedir ki bu da sonsuz
kayma gerilmesi demektir. Ancak bu imkansızdır. Bu eksikliği ortadan
kaldırmak için özel çeper fonksiyonları kullanılır. Laminer ve türbülanslı
sınır tabaka özellikleri Tablo 10-4’te karşılaştırılmıştır.
Düz plaka üzerindeki hava akışı
için laminer ve türbülanslı sınır
tabakaların karşılaştırılması
Laminer ve türbülanslı düz plaka
sınır tabakalarının, aynı xkonumunda fiziksel değişkenler
cinsinden karşılaştırılması.
Reynolds sayısı Re = 1000 000
1/7’nci kuvvet yasası, akışkan mekanikçileri tarafından kullanılan tek
türbülanslı sınır tabaka yaklaştırımı değildir. Yaygın olan diğer bir
yaklaştırım da logaritma yasasıdır. Bu yasa sadece düz plakalar için
değil, katı çeperlerle çevrili tüm akışlar için de borular için kullanılabilir.
Logaritma yasası
u 1 yu*
 ln
B
u* 
v
w
u* 

Sürtünme hızı
Logaritma yasası çepere çok yakın yerlerde işe yaramaz (ln0 tanımsızdır).
Ayrıca sınır tabaka kenarında deneysel değerlerden sapma gösterir.
Tüm çeper boyunca uygulanabilen bir
başka yasa ise Spalding çeper yasasıdır:
2
3


[

(
u
/
u
)]
[

(
u
/
u
)]
u
 ( u / u* )
 B
*
*
  e e
 1   (u / u* ) 



u*
2
6


yu*
ÖRNEK 10-13
BASINÇ GRADYENLİ SINIR TABAKALAR
Şu ana kadar basınç gradyenini dikkate almadık. Basınç gradyeni
uygulandığında da sınır tabakalar laminer veya türbülanslı olabilir. Düz
plaka çözümleri,
• türbülans başlangıç yerinin belirlenmesi
•sınır tabaka kalınlığı
•yüzey direnci vs
gibi büyüklükleri hesaplamada yaklaşık tahmin olarak iyi iş görür.
Daha yüksek doğruluk gerektiğinde 2-B laminer sınır tabaka
denklemleri çözülmeli ve UdU/dx terimi çözüme dahil
edilmelidir.
TERMİNOLOJİ
Eğer akış, viskoz olmayan ve/veya dönümsüz bir dış akış
bölgesinde (sınır tabakanın dışı) ivmeleniyorsa U(x) artar,
P(x) azalır. Buna elverişli basınç gradyeni denir. Çünkü
sınır tabaka incedir ve çepere sıkıca tutunmuştur.
Öte yandan dış akış yavaşlıyorsa (negatif ivmeleniyorsa) U(x)
azalır, P(x) artar ve bu durumda bir elverişsiz veya ters basınç
gradyeni söz konusudur. Bu arzu edilmeyen bir durumdur. Çünkü
sınır tabaka bu tür durumlarda genellikle daha kalındır, çepere
sıkıca tutunmamıştır ve dolayısıyla çeperden ayrılması çok daha
muhtemeldir.
Serbest akıma daldırılan bir cisim
boyunca olan sınır tabaka, tipik olarak
cismin ön kısmında elverişli bir basınç
gradyenine, cismin arka kısmında ise
elverişsiz bir basınç gradyenine maruz
kalır
Eğer ters basınç gradyeni yeterince
büyükse (dP/dx = –U dU/dx büyükse) sınır
tabakanın çeperden ayrılması olasıdır.
Sınır tabaka denklemleri paraboliktir, yani aşağıakım sınırından
hiçbir bilgi geçirilemez. Bununla birlikte ayrılma, çeper civarında
akış alanının parabolik yapısını bozan ve böylece sınır tabaka
denklemlerini uygulanamaz duruma getiren ters akışa neden olur
Momentum denklemi
Çeper üzerinde sınır tabaka momentum denklemini incelemek suretiyle
çeşitli basınç gradyeni şartlarında hız profilinin şekli konusunda çok şey
öğrenilebilir. Çeperde hız sıfır olduğundan (kaymama koşulu) Denklem 10
71’in sol tarafının tamamı yok olur.
Çeperde:
  2u 
dU 1 dP
v  2 
 U

dx  dx
 y  y 0
Bu denklemden yola çıkılarak, denklemi çözmeden bile, hız profili
hakkında çok yararlı gözlemler yapılabilir.
Elverişli basınç gradyeni şartlarında (ivmelenen dış
akış) dU/dx pozitiftir ve Denklem 1086’ya göre
u’nun ikinci türevi negatif, yani (∂2u/∂y2)y = 0 < 0
olur. Sınır tabaka kenarında u hızı U(x)’e yaklaştıkça
∂2u/∂y2’nin negatif olarak kalması gerektiğini
biliyoruz. Buna göre herhangi bir büküm noktası
olmaksızın sınır tabaka enlemesine hız profilinin,
Şekildeki gibi yuvarlak bir hal alması beklenir.
Öte yandan sıfır basınç gradyeni
şartlarında, (∂2u/∂y2)y = 0 = 0, Şekil
10123b’de çizildiği gibi u, y ile doğrusal bir
büyüme gösterir.
Ters basınç gradyenleri için dU/dx negatiftir
ve bu durumda Denklem 1086, (∂2u/∂y2)y =
0 ifadesinin pozitif olmasını gerektirir. Ancak
sınır tabaka kenarında u hızı U(x)’e
yaklaştıkça ∂2u/∂y2’nin negatif olması
gerektiğinden, sınır tabaka içerisinde bir
yerde, Şekil 10123c’de gösterildiği gibi, bir
büküm noktası (∂2u/∂y2 = 0) bulunması
gerekir.
Eğer ters basınç gradyeni
yeterince yüksekse (∂u/∂y)y = 0
sıfır olabilir (Şekil 10123d).
Çeper boyunca bunun
gerçekleştiği konum ayrılma
noktasıdır
Yüksek ters basınç gradyeninin
bulunması
Akış ayrılmasına karşı türbülans sınır tabakalar,
aynı ters basınç gradyenine maruz laminer sınır
tabakalardan daha dirençlidir.
MOMENTUM-İNTEGRAL YÖNTEMİ
Bu yöntem ile laminer ve türbülanslı sınır tabakalara ait genel
özellikler hesaplanabilmektedir. Ayrıca basınç gradyeninin
bulunup bulunmaması da önemli değildir.
Psol yüz  P
Psağ yüz
dP
 P
dx
dx
Giren ve çıkan kütlesel debiler:
Y
msol yüz   w udy
0
msağ yüz
Y
Y
 
d 
  w   udy    udy  dx 
 
dx  0
 0
 
Burada w, sayfa düzlemine dik kontrol hacminin genişliğidir, w = 1 alınabilir.
KH’e kütle korunumu yasasını uygularsak ( msağ yüz  msol yüz )
müst
Y


d
   w   udy  dx

dx  0

Doğrusal momentum denklemi x-yönü:
F
x ,kütle
yerçekimi ihmal
F


x , yüzey
dP 

YwP Yw P  dx   wdx w
dx 


 uV  ndA 

 uV  ndA 
sağ yüz
sol yüz
Y

  w u dy
0
2
üst
Y
Y
d  2  
2

 w u dy 
u dy dx
 

dy 
0
 
0


Bazı sadeleştirmelerden sonra;
Y
Y




dP
d
d
2
Y
  w     u dy   U   udy 



dx
dx  0
dx

0

Dış akış çözümü (Bernoulli’den):
dP/dx = –U dU/dx alınarak;
Y
Y




w d
dU
d
2
U
dy 
   u dy   U   udy 




dx 0
 dx  0
dx

0

Y
 uV  ndA
müstU
Çarpma kuralının tersini kullanarak;




w
d
u
dU  u 
2 u 
1   dy 
 U  1   dy   U


dx  0 U  U  
dx 0  U 

Ancak,

u u
   1   dy
U U
0
olduğundan,
Kármán integral denklemi
*
H

C f ,x 
w
1
U 2
2
Kármán integral denklemi, alternatif
form:
Düz plaka için:
C f ,x
d
2
dx

 u
 *   1   dy
U
0
d
dU *  w
2
(U  )  U
 
dx
dx

almak suretiyle,
d
 dU

 (2  H )
2
dx
U dx
C f ,x