9. Bölüm Çokgenler Ve Dörtgenler Muharrem Şahin

9. Bölüm
ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER
9 .1
9 .2
9 .3
Çokgenler
Dörtgenler
Özel Dörtgenler
9. Bölümün Özeti
9. Bölüm Üzerine Örnek Problemler
9. Bölüm Üzerine Problemler
MUHARREM ŞAHİN
UMUT ŞAHİN
9. BÖLÜM
ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER MUHARREM ŞAHİN
AD  BC   K olsun.
9.1 ÇOKGENLER
K
ABCD dörtgensel
bölgesinin, KAB
Çokgenler ve dörtgenlere ait tanımları ve bazı
teoremleri, temel geometrik kavramlar bütünü içinde,
2. bölümde vermiştik.
üçgensel bölgesinden
D
KCD üçgensel
C
bölgesinin ayrılması ile
Buna göre;
elde edildiğini
 Çokgenin tanımını,
A
düşünebiliriz.
 Konveks çokgenin ve konkav dörtgenin tanımlarını,
B
KAB üçgeni belli iken CD nin konumunu, AD , DC

 n kenarlı bir konveks çokgenin bir köşesinden
geçen köşegen sayısının (n  3) olduğunu ve bu kö-
ya da BC uzunluklarından en az biri ile m(C) ya da
şegenlerin çokgeni (n  2) tane üçgensel bölgeye
m(B ) ölçülerinden biri belirler. ( CD , KBD ve KCD

ayırdığını,
açıları ile de belirlenebilir. Yalnız biz DB köşegenini
 n kenarlı bir çokgenin iç açılarının ölçülerinin toplamının (n  2)  180 olduğunu,
değil, çokgenin temel elemanlarını kullanmak istiyoruz.) Demek ki, verilen bir üçgenden belirli bir
dörtgen ayırabilmemiz için dörtgenin oluşacak kenarlarından en az birinin uzunluğu ile oluşacak
açılardan birinin ölçüsünün bilinmesi gerekmektedir.
Her n-genin, verilen bir (n  1) -genden bu şekilde
 n kenarlı bir konveks çokgenin dış açılarının ölçülerinin toplamının 360° olduğunu,
 Bütün kenarları eş ve bütün açıları eş olan çokgenlere düzgün çokgen denildiğini biliyorsunuz.
elde edildiğini düşünebiliriz.
O halde, n kenarlı bir çokgenin belli olması için;
Buradan devam edelim :
n  3 ise en az 1 kenarı ve 2 açısının,
n  4 ise en az 2 kenarı ve 3 açısının,
TEOREM 9.1
n  5 ise en az 3 kenarı ve 4 açısının,
n kenarlı bir çokgenin belli olması için, en az n  2
tanesi uzunluk olmak üzere 2n  3 elemanının ölçü-
n  n ise en az n  2 kenarı ve n  1 açısının
lerinin bilinmesi gerekir.
ölçülerinin bilinmesi gerekir.
NOT : Teorem 9.1 de adı geçen elemanlar,
İSPAT :
çokgenin kenarları ve açıları gibi temel elemanlarıdır.
Bu temel elemanlar yerine köşegenler, köşegenlerin
belirlediği açılar gibi elemanların ölçüleri verildiğinde,
bilinmesi gereken uzunluk sayısı daha az olabilir.
A.K.A., K.A.K., K.K.K. eşliklerine göre bir üçgenin
belli olması için,
1) Bir kenarı ile iki açısının,
Örneğin ;
2) İki kenarı ile bir açısının,ya da
ABCD dörtgeni
3) Üç kenarının
D
AC ve , , , 
bilinmesi gerekir.
gibi biri uzunluk,
Buna göre bir üçgen en az bir kenarı ve iki açısı ile
bellidir.
dördü açı olan 5
Herhangi bir ABCD dörtgeni verilsin.
ile bellidir.
elemanının ölçüleri
280

C



A
B
9. Bölüm
Yine, ABCDE beşgeni
OB
D
OBH  OBK (Hipotenüs-Dikkenar Eşliği)
m(DAB), m(CAB),
C
E
ve OBK  OCK (K.A.K) eşliklerini görünüz.
m(ABE), m(ABD),
Bu eşlikler OBH  OBK ve OBK  OCK eşliklerini,
bunlar da OCK  OCP eşliğini gerektirir. (Neden?)
m(ABC) gibi biri
uzunluk, altısı açı
A
B
OP  CD çizersek
olmak üzere 7 elemanının ölçüsü ile bellidir.
OCK  OCP (K.A.A.) eşliğinden OP nin de, CD
Dikkat edilirse, temel eleman olsun olmasın, n kenarlı
bir çokgenin belli olması için, ölçülerinin bilinmesi gereken toplam eleman sayısı 2n  3 tür.
nin orta dikmesi olduğu görülür. (Neden?)
Böyle devam edilerek, O noktasından kenarlara
indirilen dikmelerin o kenarların orta dikmeleri olduğu
ve bunların eş olduğu; O noktasını köşelere birleştiren doğru parçalarının iç açıortaylar olduğu ve
bunların da eş olduğu ispatlanmış olur.
TEOREM 9.2
n kenarlı bir konveks çokgenin köşegen sayısı
n(n  3)
dir.
2
Öyleyse, bir düzgün çokgende kenarorta dikmelerinin kesim noktası hem içteğet çemberin hem de
çevrel çemberin merkezidir. Bu noktaya çokgenin
merkezi de denir.
İSPAT :
n köşenin ikişer ikişer belirttiği doğru sayısı n’in ikili
kombinasyonlarının sayısı kadardır.
SONUÇLAR :
kenarı gören açının
bir dış açısının
R
n(n  3)
olur.
2
C

r
H
A
a
ölçüsüne eşittir.
a
B
P
İSPAT :
TEOREM 9.3
  m( AOB ) 
Bir düzgün çokgende, iç açıortaylar ile kenarorta dikmeleri aynı noktada kesişirler. Bu nokta çokgenin
çevrel çemberinin ve içteğet çemberinin merkezidir.
360
360
ve m(PAB ) 
n
n
olduğundan m( AOB )  m(PAB )   olur.
2. Düzgün çokgenin bir kenarının uzunluğu a, çevrel
İSPAT :
çemberinin yarıçapı R ve içteğet çemberinin yarıçapı
r olmak üzere, düzgün çokgenin alanı S ise,
A
a
2
A, B, C, D, E
bir düzgün çokgenin
B
ardışık köşeleri olsun.
a
2
kesişir.
O
F
ölçüsü,çokgenin
n!
 Köşegen sayısı 
n
2! (n  2)!
O gibi bir noktada
D
merkezinden bir
n 
Köşegen sayısı     n
 2
orta dikmeleri
E
1. Düzgün çokgenin
Bu kombinasyonlardan n tanesi kenar olacağından;
AB  ile BC nin
ve OC yi çizelim. OH, [AB] nin ve OK, [BC]
nin orta dikmesi olmak üzere,
AB ve m(EAB),
 Köşegen sayısı 
Muharrem Şahin
Çokgenler Ve Dörtgenler
H
K
O
a
2
C
a) S  n 
a r
ve
2
b) S  n 
1 2
R  sin  dır.
2
İçteğet çemberin yarıçapına, çokgenin apotemi
denir.
E
P
D
281
9. Bölüm
Çokgenler Ve Dörtgenler
3. Bir düzgün altıgende, merkezi köşelere birleştiren
Ç Ö Z ÜM :
doğru parçaları birbine eş 6 eşkenar üçgen belirtir.
Düzgün altıgende
F
Muharrem Şahin
Bir konveks çokgenin dış açılarının ölçülerinin toplamı 360° olduğundan, en çok 3 dış açısı geniş
olabilir. Buna göre sekizgenin de en çok 3 iç açısı dar
olup diğer iç açıları geniş açı olmak zorundadır.
E
her kenarın,
merkezden
360
 60 lik açı ile
6
O
A
Öyleyse, konveks sekizgenin en az 5 iç açısı geniş
açıdır.
D
60°
görüleceği, dolayısıyle
her kenarın merkezle
60°
60°
60° 60°
B
ÖRNEK 9.4
C
bir eşkenar üçgen belirleyeceği açıktır.
İçteğet çemberinin yarıçapı 2 cm olan düzgün
Şekilde A, O, D noktaları, B, O, E noktaları ve C, O,
F noktaları doğrusal olacağından, bu sonucu,
sekizgenin alanı kaç cm2 dir?
Ç Ö Z ÜM :
“Düzgün altıgende köşegenler, birbirine eş 6 eşkenar
üçgen belirtir.” biçiminde de verebilirdik.
Düzgün sekizgenin
bir kenarı AB  ,
ÖRNEK 9.1
O
merkezi O ve
6 sı uzunluk ve 3 ü açı olmak üzere 9 temel elemanı
ile belli olan çokgen kaç kenarlıdır?
OH  AB ise
m( AOB ) 
Bu çokgen en az kaç kenar uzunluğu ile belirtilebilirdi?
45°
2
360
 45°
8
A
O
ve OH  2 cm dir.
ÇÖ Z ÜM :
22,5°
OHB dik üçgeninde,
n kenarlı bir çokgen 2n  3 elemanı ile bellidir.
m(OBC )  22,5
2n  3  6  3  n  6 olur.
x 2
2
olacak şekilde,
Çokgenin belli olması için, bilinmesi gereken temel
elemanlardan en az n  2 tanesinin kenar olması gerektiğinden, bu çokgen n  2  6  2  4 kenar ve 5
B
H
BC yi çizersek
m(HBC)  m(HCB)  45 ve
C
45°
22,5°
x
45°
H
x
B
açısı ile belirtilebilirdi.
HB  x dersek HC  x, BC  OC  2 x olur.
ÖRNEK 9.2
OH  2  2 x  x  2
Köşegen sayısı kenar sayısının iki katı olan çokgen
kaç kenarlıdır?
x
ÇÖ Z ÜM :
2
2 1
 x  2 2 2
 AB  4 2  4 cm olup
n(n  3)
 2n  n  7 bulunur.
2
A(OAB ) 
( 4 2  4)  2
 4 2  4 cm2
2
ve sekizgenin alanı,
ÖRNEK 9.3
S  8  ( 4 2  4) cm2
Bir konveks sekizgenin iç açılarından en az kaçı
geniş açıdır?
 S  32( 2  1) cm2 bulunur.
282
9. Bölüm
Muharrem Şahin
Çokgenler Ve Dörtgenler
İSPAT :
9.2 DÖRTGENLER
D
a) P n o k t a s ı
Bir dörtgen, dört kenarlı bir çokgendir.
dikdörtgenin
Öyleyse, konveks dörtgenlerde;
E
C
M
P
N
P
iç inde is e :
E
 İç açıların ölçülerinin toplamı 360° dir.
P noktasından
 Dış açıların ölçülerinin toplamı 360° dir.
EF // AD ve
 İki köşegen bulunur.
MN // AB çizelim; AFED dikdörtgenini BFEC konumuna taşıyalım.
TEOREM 9.4
PC  PD
Köşegenleri birbirine dik olan dörtgenlerde karşılıklı
kenarların uzunluklarının karelerinin toplamı birbirine
eşittir.
D
ABCD dörtgeninde
d
AC  BD ise
2
2
x
a2  c2  b2  d2
C
z
b
2
x y a ,
y z b ,
z2  t 2  c 2 , 
x2  t 2  d2
AD  d   F,
BC  d   E ve
2
 dir.
2
2
2
 ve
PC  PC
2
E
D
d
C
A
B
 ve PD  PD  olur.
ABCD dikdörtgeninde
 ve  dan
2
P
 olur.
2
x y z t b d
2
C
DCEF dikdörtgeninin d ye göre simetriği DCEF
olsun.
 ile  ve  ile  taraf tarafa toplanırsa,
2
elde edilir.
F
P noktasından
d // DC çizelim.
x 2  y 2  z 2  t 2  a2  c 2
2
d ış ında is e :
KAB, KBC, KCD, KDA dik üçgenlerinde
2
dir.
D
dikdörtgenin
AK  x, BK  y, CK  z, DK  t olsun.
2
2
b) P noktası
B
AC  BD  {K} ve
2
2
y
a
olduğunu göstereceğiz.
2
2
PA  PC  PB  PD
K
A
F
PC ve PB yerine  ve  deki eşitleri koyulursa
c
t
B
 ve PB  PA  olur.
PB  PC  PB  PC
İSPAT :
2
F
PBPC dörtgeninde köşegenler birbirine dik olduğundan
2
2
A
2
2
2
PA  PC  PB  PD
2
a  c  b  d bulunur.
2
dir.
PC ve PD yerine  ve  deki eşitleri koyulursa
SONUÇ :
2
D
2
2
2
elde edilir.
TEOREM 9.5
ve ABCD dikdörtgen ise
2
2
P
P, düzlemde bir nokta
PA  PC  PB  PD
2
PA  PC  PB  PD
C
Bir dörtgenin alanı, köşegenlerinin uzunlukları ile
köşegenleri arasındaki açının sinüsünün çarpımının
yarısına eşittir.
2
A
B
dir.
283
9. Bölüm
İSPAT :
Ç Ö Z ÜM :
Köşegenler birbirine dik olduğundan
C
Köşegen uzunlukları
D
AC  e, BD  f
180°
t
2
ölçüsü  ise
x
2
y
A
ÖRNEK 9.6
B
1
A(ABCD)  e  f  sin  olduğunu göstereceğiz.
2
ABCD dörtgeninde
AC  BD  {K}, AK  x, BK  y,
AC  BD  {K} ve
3
B
CK  1 cm ve DK  2 cm ise A(ABCD) kaç cm2
1
1
 z  t  sin(180   )   x  t  sin 
2
2
dir?
sin(180   )  sin  olduğundan,
Ç Ö Z ÜM :
1
sin ( xy  yz  zt  xt )
2
KBC dik üçgeninde
D
2
BC  32  12
1
 A( ABCD )  sin y( x  z )  t( x  z )
2
C
1
2
 BC  2 2 cm dir.
 A( ABCD ) 
1
sin ( x  z )( y  t )
2
m(BKC)   ise
 A( ABCD ) 
1
 e  f  sin  olur.
2
sin  
K

5
SONUÇ :
2 2
olur.
3
A( ABCD ) 
Köşegenleri birbirine dik olan dörtgenlerin alanı,
köşegen uzunluklarının çarpımının yarısına eşittir.
2 2
3
A
B
1
1
2 2
 AC  BD  sin    6  5 
2
2
3
 A( ABCD )  10 2 cm2 bulunur.
D
sin90°  1
olacağından
A( ABCD ) 
K
5
A
BK  3 cm,
1
1
 x  y  sin(180   )   y  z  sin 
2
2
  90° ise
C
1
2
AK  5 cm,
A( ABCD )  A(KAB )  A(KBC)  A(KCD)  A(KDA )

D
AC  BC dir.
CK  z ve DK  t diyelim.
 A(ABCD) 
2
 x2  42  52  32  x  3 2 birim olur.
K
arasındaki açının
2
AD  BC  AB  CD
z

ve köşegenler
A( ABCD ) 
Muharrem Şahin
Çokgenler Ve Dörtgenler
e
A
ÖRNEK 9.7
C
f
ef
olur.
2
ABCD dörtgeninde
AC  BD ve
B
AB  AD dir.
ÖRNEK 9.5
D
3
AB  2 6 cm,
C
ABCD dörtgeninde
AC  BD dir.
CD  6 cm ise
Şekildeki verilere
göre AD kaç birimdir?
A
5
6
C
3 2
K
BC  3 2 cm ve
4
x
D
A(ABCD) kaç cm2 dir?
B
284
A
2 6
B
9. Bölüm
Muharrem Şahin
Çokgenler Ve Dörtgenler
 Karşılıklı açılar eştir ve karşılıklı kenarlar eştir.
ÇÖ Z ÜM :
 Aynı kenara ait iki iç açı bütünlerdir.
Köşegenler birbirine dik olduğundan
 Köşegenler birbirini ortalar.
2
AD  (3 2 )2  (2 6 )2  ( 6 )2
 AD  2 3 cm olur.
Karşıt olarak, bu özeliklerden birini taşıyan
dörtgen bir paralelkenardır.
ABD dik üçgeninde
Şekilde,
BD  (2 6 )2  (2 3 )2  BD  6 cm,
AB
2
 BK  4 cm ve DK  2 cm,
AK
 BK  DK  AK

 42

6
2
KCD dik üçgeninde
2 3
2
KC  ( 6 )  (2)

B


m( A )  m(B)  180° dir.
D
2

A
A  C , B  D , AK  KC , BK  KD ve
 AK  2 2 cm bulunur.
2
K
AB   DC ,
AD   BC ,
 BK  BD  (2 6 )  BK  6
2
C
ise,
2
2
D
ABCD paralelkenar
2
C
TEOREM 9.6
2
Paralelkenarın alanı, bir tabanı ile o tabana ait
yüksekliğin çarpımına eşittir.
3 2
K
4
2 2
 KC  2 cm olup
İSPAT :
A
A( ABCD ) 
AC  BD
2

2 6
B
A(ABCD)  a  ha  b  hb
3 2 6
2
D
olduğunu
C
göstereceğiz.
 A( ABCD )  9 2 cm2 elde edilir.
hb
ABD  CDB
b
ha
K
olduğunu
görünüz.
A
9.3 ÖZEL DÖRTGENLER
Buna göre,
Paralelkenar, dikdörtgen, kare, eşkenar dörtgen, yamuk ve deltoid gibi özel dörtgenleri 2. bölümde tanıtmıştık.
 A( ABCD )  2 
Şimdi, buraya kadar elde ettiğimiz bilgilerin
ışığında bunları yeniden ele alacağız.
SONUÇLAR :
H
B
a
A( ABCD )  2  A( ABD )  2  A(CDB)
1
1
 a  ha  2   b  hb
2
2
 A( ABCD )  a  ha  b  hb elde edilir.
1. Bir paralelkenar ile bir üçgenin tabanları eş ve
yükseklikleri eş ise paralelkenarın alanı, üçgenin
alanının iki katına eşittir.
9.3.1 PARALELKENAR
Şekilde
Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene paralelkenar denildiğini biliyorsunuz.
D
E
C
ABCD paralelkenar
ve E  DC ise
Teorem 2.34, Teorem 2.37 ve Teorem 2.39 ile
verilenleri, burada tekrarlayalım :
h
A( ABCD )  2  A( ABE )
A
olacağı açıktır.
Bir paralelkenarda,
285
a
H
B
9. Bölüm
2. P noktası
D
ABCD
E S3
paralelkenarının
Ç Ö Z ÜM :
C
S1
S4
P
S2
A( ABCD)  AB  DH  BC  DK
F
 12  6  x  8  x  9 cm olur.
A
içinde ise
B
A(PAB)  A(PCD)  A(PAD)  A(PBC) dir.
ÖRNEK 9.9
İSPAT :
ABCD paralelkenarında
P noktasından EF // AB çizelim.
AB  6 cm,
A(PAB ) 
1
A( ABFE )
2
 ve
AD  4 cm
A(PCD) 
1
A(EFCD)
2
 olur.

ve m(B)  120° ise
D
C
4
120°
A
6
B
A(ABCD) kaç cm2 dir?
 ve  taraf tarafa toplanırsa
A(PAB )  A(PCD) 
Muharrem Şahin
Çokgenler Ve Dörtgenler
1
( A( ABFE )  A(EFCD)
2
Ç Ö Z ÜM :

m( A )  60° ve
1
 A(PAB )  A(PCD)  A( ABCD ) bulunur.
2
A( ABCD)  AB  AD  sin A
Demek ki, S1, S2, S3 ve S4, içinde bulundukları
bölgelerin alanları olmak üzere,
 A( ABCD )  6  4  sin 60
S1  S2  S3  S4 tür.
 A( ABCD )  12 3 cm2 olur.
D
a
C
3. ABCD paralelkenar ise
b
A( ABCD )  a  b  sin A dır.
ÖRNEK 9.10
b
ABCD paralelkenarında
A
İSPAT :
A( ABD ) 
a
B
D
A(PAB )  13 cm2,
P
A(PBC)  15 cm2 ve
1
a  b  sin A ve
2
C
A(PCD)  10 cm2 ise
A
A( ABCD )  2  A( ABD ) olduğuna göre
B
A (PAD ) kaç cm2 dir?
A( ABCD )  a  b  sin A olur.
Ç Ö Z ÜM :
A(PAB )  A(PCD)  A(PBC)  A(PAD )
ÖRNEK 9.8
 13  10  15  A(PAD )
ABCD paralelkenarında
D
DH  AB ve
12
8
DK  BC dir.
x
6
K
DH  6 cm,
DK  8 cm ve
 A(PAD )  8 cm2 bulunur.
C
A
H
ÖRNEK 9.11
Bir paralelkenarda kenar uzunlukları a, b ve köşegen
B
uzunlukları e, f ise e2  f 2  2(a2  b2 )
DC  12 cm ise AD kaç cm dir?
olduğunu gösteriniz.
286
9. Bölüm
Muharrem Şahin
Çokgenler Ve Dörtgenler
ÇÖ Z ÜM :
ÖRNEK 9.13
ABCD paralelkenarında
ABCD paralelkenarında
AB  a, AD  b,
D
C
f
2
AC  e ve BD  f
b
ise AK  KC 
BK  KD 
e
2
e
ve
2
A
f
olur.
2
K
AK
2

2
E
A
AF  BD  {L} ise
B
B
BK  KL  LD olduğunu gösteriniz.
2
AB  AD

C
K
AE  BD  {K} ve
ABD üçgeninde, Kenarortay Teoremi’ne göre,
2
F
L
kenarların orta noktaları,
e
f 2
2
a
D
E ile F ait oldukları
BD
Ç Ö Z ÜM :
2
II. Thales Teoremi’ne göre
4
DL
2
a2  b2 f 2
e
  

2
4
2
LB
BK
 e2  f 2  2(a2  b2 ) elde edilir.
KD

DF

BE
AB
AD

DL

BK
LB

1
1
 DL  BD ve
2
3

1
1
 BK  BD olup
2
3
KD
BK  KL  LD 
1
BD bulunur.
3
ÖRNEK 9.12
ÖRNEK 9.14
ABCD paralelkenarında
D
F
C
ABCD paralelkenarının
E ile F, ait oldukları
kenarların orta noktaları,
L
Köşelerinin, bir d
K
A
BF  AC  {L} ise
E
DC
FC
D
B
C
olduğunu gösteriniz.

AK

KC
 AK 
CL
A
AA  CC  BB  DD
C
II. Thales Teoremi’ne göre
KC
d
A, B, C, D ise
ÇÖ Z ÜM :
AE
A
dik izdüşümleri
B
AK  KL  LC olduğunu gösteriniz.

B
doğrusu üzerindeki
DE  AC  {K} ve
AK
C
D
1
2
1
AC
3
K nın d üzerindeki
ve
dik izdüşümü K
B
A
d
olsun.
1



LA
AB
LA
2
AK  KL  LC 
K
AC  BD  {K} ve
CL
 CL 
D
Ç Ö Z ÜM :
AACC yamuğunda
A
D
K
B
C
KK ortataban olduğundan
1
AC olup
3
KK 
1
AC bulunur.
3
AA  CC
2
 ve
DDBB yamuğunda KK yine ortataban olduğundan
287
9. Bölüm
KK 
DD  BB
2
Muharrem Şahin
Çokgenler Ve Dörtgenler
ÖRNEK 9.15
 dir.
Bir kenarının uzunluğu 8 cm ve köşegenlerinden
birinin uzunluğu 12 cm olan eşkenar dörtgenin alanı
kaç cm2 dir?
 ve  den
AA  CC  BB  DD bulunur.
Ç Ö Z ÜM :
D
9.3.2 EŞKENAR DÖRTGEN
Şekilde, ABCD
BK
AC  BD,
A
B
2
 82  62  BK  2 7 cm
 BD  4 7 cm olur. Buna göre,
a
a
8
AK  KC  6 cm ve AKB dik üçgeninde
C
K
A
Köşegenler birbirini dik ortalayacağından
 Köşegenlerin kenarlarla eş açılar yaptığını biliyorsunuz.
ise
6
AC  12 cm olsun.
 Köşegenlerin birbirine dik olduğunu,
bir eşkenar dörtgen
K
AB  8 cm ve
 Karşılıklı kenarların birbirine paralel olduğunu,
D
6
dörtgeninde
Dört kenarı eş olan dörtgene eşkenar dörtgen
denildiğini ve bir eşkenar dörtgende;
AB // CD, AD // BC,
C
ABCD eşkenar
A( ABCD ) 
B
AC  BD
2
 A( ABCD ) 
12  4 7
2
 A( ABCD )  24 7 cm2 dir.
BAC  DAC  BCA  DCA ve
ABD  CBD  ADB  CDB dir.
ÖRNEK 9.16
Eşkenar dörtgen bir paralelkenar olduğu için
paralelkenarın bütün özeliklerini taşır. Buna göre, bir
eşkenar dörtgende;
Köşegenlerinin uzunlukları 12 cm ve 16 cm olan
eşkenar dörtgenin yüksekliği kaç cm dir?
 Karşılıklı açılar eştir.
 Aynı kenara ait iki iç açı bütünlerdir.
Ç Ö Z ÜM :
 Köşegenler birbirini ortalar.
ABCD eşkenar
D
eşitliğinde a  b
C
h
6
A
10
B
H
AK  8 cm, BK  6 cm ve AB  10 cm olur.
A
a
B
 A(ABCD)  a  h tır.
A( ABCD ) 
1
 A(ABCD)  a  b  sin A eşitliğinde a  b alınaca2

ğından
1 2
a  sinA dır.
2
AC  BD
2
 AB  CH
16  12
 10  h  h  9,6 cm bulunur.
2
9.3.3 DİKDÖRTGEN
Ayrıca köşegenler birbirine dik olduğundan, köşegen
uzunlukları e ve f ise
A(ABCD) 
8
BD  12 cm olsun.
a
h
K
AC  16 cm ve
h
olacağından,
A(ABCD) 
C
dörtgeninde
 A(ABCD)  a  ha  b  hb
ha  hb  h tır.
D
Bir açısı dik olan paralelkenara dikdörtgen denildiğini Tanım 2.41 den biliyorsunuz. Bu tanıma göre, dikdörtgen paralelkenarın bütün özeliklerini taşır.
ef
dir.
2
288
9. Bölüm
 Dikdörtgende köşegenlerin
AC  BK  AB  BC  10  BK  4 5  2 5
D
eş olduğunu da kolayca
C
 BK  4 cm,
ispatlayabilirsiniz.
P
b
 ABCD dikdörtgeninde
2
BC  CK  CA  (2 5 )2  CK  10
A( ABCD )  a  b olduğu
A
a
B
 CK  2 cm ve AK  8 cm olur.
Aksiyom 4.4 ile verilmişti.
ABCD dikdörtgeninde
 Bunlara ek olarak, P noktası (ABCD) dikdörtgeninin düzleminde bir nokta olmak üzere
2
2
Muharrem Şahin
Çokgenler Ve Dörtgenler
2
PA  PC  PB  PD
2
2
2
KD  KB  KA  KC
2
2
2
 KD  42  82  22
olduğunu hatırlayınız.
 KD  2 13 cm bulunur.
ÖRNEK 9.17
9.3.4 KARE
ABCD dikdörtgeninde
K
D
AK  BK dır.
AE  4 cm,
Dört kenarı eş olan dikdörtgene kare denir. Öyleyse
bir kare, dikdörtgen ve eşkenar dörtgenin bütün
özeliklerini taşır.
C
8
x
AB  10 cm ve
E
4
A
10
Buna göre bir
B
D
C
ABCD karesinde,
BK  8 cm ise AD  x kaç cm dir?
 Köşegenler birbirine
ÇÖ Z ÜM :
K
diktir.
K
A( ABCD )  2  A(EAB )
48
 10  x  2 
2
D
x
 x  3,2 cm olur.
E
A
45°
A
ve birbirini ortalar.
8
4
45°
 Köşegenler birbirine eştir
C
a
B
 Köşegenler kenarlarla 45 er derecelik açılar yapar.
10
B
 Bir kenar uzunluğu a ise A( ABCD )  a2 dir.
 AC  BD  e ise
ÖRNEK 9.18
A( ABCD ) 
ABCD dikdörtgeninde
BK  AC dir.
D
C
K
AB  4 5 cm ve
ÖRNEK 9.19
2 5
BC  2 5 cm ise
A
4 5
ABCD karesinde
DF kaç cm dir?
2
2
K
F
A
2
E
B
Ç Ö Z ÜM :
ABC dik üçgeninde
 AB  BC  AB
C
x
FK  2 cm ise
ÇÖ Z ÜM :
2
D
AE  EB ve
B
DK kaç cm dir?
AC
1 2
e dir.
2
2
Karede köşegenler birbirine diktir, eştir ve birbirini
ortalar. Öyle ise, ABD üçgeninde F kenarortayların
kesim noktasıdır.
 ( 4 5 )2  (2 5 )2
 AB  10 cm,
289
9. Bölüm
bir yan kenarı tabanlara dik olan yamuğa dik yamuk,
yan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru
parçasına yamuğun ortatabanı
Buna göre,
AF  2 FK  AF  4 cm ve
DK  AK  6 cm olur.
denildiğini ve ortataban uzunluğunun, taban uzunluklarının aritmetik ortası olduğunu 2. bölümden
biliyorsunuz.
O halde, DKF dik üçgeninde
2
2
DF  DK  FK
Muharrem Şahin
Çokgenler Ve Dörtgenler
2
2
 DF  62  22
ABCD yamuğunda
D
 DF  2 10 cm bulunur.
C
E
ortaları ise
EF 
ÖRNEK 9.20
ABCD karesinde
E  AC ve
c
E ve F, yan kenarların
A
a
D
E
x
D
ac
2
F
B
M
C
Tabanlar arasındaki
C
uzaklığa,
AC  BE dir.
h
yamuğun yüksekliği
Karenin bir kenarı
denir.
A
N
B
3 2 cm ise
CE  x kaç cm dir?
A
B
3 2
Bir ikizkenar yamukta
ÇÖ Z ÜM :
C
E
x
KAB ikizkenar dik
D
ispatlayabilirsiniz.
3
KA  KB  3 cm olur.
olduğunu kolayca
C
üçgeninde
A
3
TEOREM 9.7
Yamuğun alanı, tabanlarının uzunluklarının toplamı
ile yüksekliğinin uzunluğunun çarpımının yarısına
eşittir.
B
3 2
KBE dik üçgeninde,
2
B
K
3
AC  BE  6 cm bulunur.
A
6
Buradan, KC  3 cm ve
2
K
eş ve köşegenlerin eş
BD köşegenini çizelim.
2
D
aynı tabana ait açıların
2
KE  BE  BK  KE  62  32
İSPAT :
 KE  3 3 cm ve CE  3 3  3 cm elde edilir.
ABCD yamuğunda
K
D
c
C
tabanlar a ve c,
A( ABCD ) 
İki kenarı paralel olan dörtgene yamuk,
paralel kenarlara yamuğun
D
c
C
b
yamuğun yan kenarları,
A
a
 A( ABCD ) 
a h c h

2
2
 A( ABCD ) 
(a  c )  h
olur.
2
B
yamuğa ikizkenar yamuk,
290
h
A
A( ABCD )  A( ABC )  A( ACD )
d
paralel olmayan kenarlara
(a  c )  h
2
olduğunu göstereceğiz.
tabanları,
yan kenarları eş olan
h
yükseklik h ise
9.3.5 YAMUK
H B
a
9. Bölüm
SONUÇ :
K dan
K
AE  ED ise
A(BEC) 
Muharrem Şahin
Çokgenler Ve Dörtgenler
D
c
h
2
1
A( ABCD )
2
AB  , AD  , DC
kenarlarına KH , KF ,
KE dikmelerini çizersek,
C
KH  KF
 ve KF  KE  olup  ve  den
E
KH  KE bulunur.
h
2
dir.
A
H
Bu da K noktasının ortataban üzerinde olduğunu
gösterir.
B
a
İSPAT :
Bu arada, AK  DK olduğunu görünüz.
h
E noktasının tabanlara uzaklıklarının eşit ve
ol2
ÖRNEK 9.21
duğunu görünüz. EAB ile ECD üçgenlerinin alanlarının toplamını bulalım.
ABCD dik yamuğunda
h
h
a
c
(a  c )  h
2
olur.
A(EAB )  A(ECD) 
 2 
2
2
4
BD kaç cm dir?
A
6
DH  AB çizilirse
D
DH  4 cm,
D
C
AH  3 cm ve buradan
A
3
3
B
2
BD  32  42  BD  5 cm elde edilir.
1
A(BEC)  A(FBCK )
2
 A(BEC) 
A
F
B
1
A( ABCD ) olduğu görülebilirdi.
2
ÖRNEK 9.22
ABCD yamuğunda
D
C
AB // CD dir.
TEOREM 9.8
K
A(KAB )  12 cm2 ve
Bir yamukta, bir yan kenara ait açıların açıortayları
ortataban üzerinde kesişir.
A(KCD)  6 cm2 ise
A
A(ABCD) kaç cm2 dir?
İSPAT :
B
Ç Ö Z ÜM :
D
ABCD yamuğunda,
AD  yan kenarına
F

E
C
KAB  KCD (A.A.A.)

K

açıortayları K noktasında
A
D
olduğunu görünüz.

ait A ve D açılarının
kesişsin.
H
6
DHB dik üçgeninde
FBCK paralelkenarında

4
4
HB  3 cm bulunur.
E
C
x
5
DAH dik üçgeninde,
EAF  EDK,
olduğu,
B
Ç Ö Z ÜM :
NO T :
A(ABCD)  A(FBCK)
4
ve BC  4 cm ise
1
A( ABCD ) dir.
2
K
x
5
O halde A(BEC) değeri de, yamuğun alanının diğer
yarısı olmalıdır.
FK // BC çizilerek de,
C
AB  6 cm, AD  5 cm
Bu toplam, yamuğun alanının yarısıdır.
Öyleyse, A(BEC) 
D
Buna göre

 KA 


 KC 

A(K C D) 

A(K A B)
H

B
291
C
6
K
2
12
A
B
9. Bölüm
Ç Ö Z ÜM :
2
KA
12  KA 
2




6  KC 
KC
1
KA
KC


Muharrem Şahin
Çokgenler Ve Dörtgenler
ve
D
DE  BD,

A(K A D)

A(K C D)
C
DE // AC çizersek
2 A(K A D)


1
6
K
DE  AC  8 cm
olur.
E
 A(KAD )  6 2 cm2 bulunur.
A
H
B
DEB dik üçgeninde
A(KAD )  A(KBC)  6 2 cm2 olduğundan
2
2
2
2
EB  DE  DB  EB  82  62  EB  10 cm,
A( ABCD )  12  6  6 2  6 2
EB  DH  ED  BD  10  DH  8  6
 A( ABCD )  18  12 2 cm2 elde edilir.
 DH  4,8 cm bulunur.
ÖRNEK 9.23
ABCD ikizkenar
D
yamuğunda
ÖRNEK 9.25
C
ABCD yamuğunda
AD  DC  BC
ve DH yüksekliktir.
3
AB // CD ve [AK
A
H
[DK açıortaydır.
B
4
6
K
A
14
B
ve AD  8 cm ise A(DKA) kaç cm2 dir?
CK  AB çizersek
D
HK  x ve
x
4x
olur.
2
C
Ç Ö Z ÜM :
D
K noktası açıortayların
3
E
kesim noktası
A 4 x H
DAH dik üçgeninde
x
K
F

K

K nın AB  , CD ve
2

A
AD  kenarlarına
 x2  8x  84  0  x  2 cm bulunur.
C

olduğundan
B
2
4x
2
2
 AH  DH  x 2  ( 3 )2  

 2 
A( ABCD ) 
C
BC  6 cm, CD  4 cm
ÇÖ Z ÜM :
2

4



AB  14 cm,
DH  3 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
AD
ile
8
AB  4 cm ve
AH  KB 
D
H
B
KH , KF ve KE uzaklıkları eşit olacağından, KE
( a  c )  h ( 4  2)  3

2
2
yamuğun yüksekliğinin yarısı kadar olur.
Öyleyse, önce yamuğun yüksekliğini bulalım.
 3 3 cm2 elde edilir.
CP // AD çizersek
D
4
C
AP  4 cm,
ÖRNEK 9.24
D
ABCD yamuğunda
C
BC  6 cm,
AB // CD ve AC  BD dir.
K
A
4
8
P
h
10
6
B
PC  8 cm olduğu ve
AC  8 cm ve
BD  6 cm ise
8
PB  10 cm,
buradan PBC üçgeninin bir dik üçgen olduğu görülür.
A
B
PBC dik üçgeninde
yamuğun yüksekliği kaç cm dir?
292
9. Bölüm

10  h  6  8  h  4,8 cm bulunur.
O halde, KE 
A(DKA) 
Muharrem Şahin
Çokgenler Ve Dörtgenler
n kenarlı bir konveks çokgenin köşegen sayısı
n(n  3)
dir.
2
h
 KE  2,4 cm olup
2
AD  KE
2
 A(DKA) 
8  2,4
2

 A(DKA )  9,6 cm2 elde edilir.
D
ABCD dörtgeninde
AC  BD ise
9.3.6 DELTOİD
A
C
a
a2  c 2  b2  d2 dir.
D
c
d
b
 Komşu iki kenarı eş,
B

diğer iki kenarı da
eş olan dörtgene
C
A
deltoid denir.
ABCD dörtgeninde
(Tanım 2.42)
AC  ve BD
 Deltoidte köşegenler
köşegen ise
birbirine diktir. (Teorem 2.36)
B
S4
S1
S1 S4
tür.

S2 S3
 Eş kenarlara ait köşeleri birleştiren köşegen kenarlarla eşit açılar yapar.
C
D
S3
S2
A
B

 Deltoidin alanı köşegenlerinin uzunluklarının çarpımının yarısına eşittir.
ABCD dikdörtgen
D
C
ve P (ABCD) ise
2
2
2
PA  PC  PB  PD
P
2
dir.
A
B

9. BÖLÜMÜN ÖZETİ

C
ABCD dörtgeninde
D
AC  e, BC  f ise
n kenarlı bir çokgen, en az n  2 tanesi uzunluk
olmak üzere 2n  3 temel elemanın ölçüsü ile belli-
A( ABCD ) 
dir.

1
e  f  sin  dır.
2
K
  90° ise

A( ABCD ) 
n kenarlı bir çokgenin iç açılarının ölçülerinin toplamı
(n  2)  180 dir.
A
B
ef
olur.
2

D

a
C
ABCD paralelkenar ise
b
AK  KC , BK  KD ,
Bir konveks çokgenin dış açılarının ölçülerinin
toplamı 360° dir.




A  C , B  D dır.
293
b
K
A
a
B
9. Bölüm
Çokgenler Ve Dörtgenler

Muharrem Şahin

D
D
ABCD paralelkenar ise
a) A( ABCD )  a  ha  b  hb
a
köşegenleri eştir
hb
b
ha
b
K
ve birbirini ortalar.
b
A( ABCD )  a  b dir.
b) A( ABCD )  a  b  sin A
A
a
C
Dikdörtgenin
C
A
a
B
B

dır.

D
E
C
a
a
birbirini ortalar ve
1
A( ABCD ) dir.
2
kenarlarla 45 er
A
C
eştir, birbirine diktir,
ABCD paralelkenar ise
A(EAB ) 
a
D
Karede köşegenler birbirine
45°
derecelik açılar yapar.
B
A
a
B


D
P noktası ABCD
S1
paralelkenarının
içinde ise
S1  S2  S3  S4 tür.
AB // CD ise
P
S3
D
ABCD yamuğunda
C
S4
A
B
C
h
(a  c )  h
A( ABCD ) 
dir.
2
S2
c
A
a
B


D
ABCD yamuğunda
ABCD eşkenar dörtgen
D
a
EF ortataban ise
C
ise köşegenler birbirine
a
diktir, birbirini ortalar
K
EF 
a
ve kenarlarla eşit
A
açılar yapar.
a
c
C
E
ac
dir.
2
F
A
a
B

B

D
ABCD yamuğunda
D
ABCD
eşkenar dörtgen ise
a) A( ABCD ) 
ef
,
2
a
C
AB // CD ve
E
BE  EC ise
a
a
e
f
A
C
a
A( AED ) 
B
b) A( ABCD )  a2  sin A dır.
1
A( ABCD ) dir.
2
A
B


D
D
ABCD deltoid ise
C
AC  , BD nin
ABCD
eşkenardörtgen ise
h
K
A
orta dikmesidir.
A( ABCD )  a  h tır.
B
A
a
B
294
C