Taylor Polinomlarıve hata

Bölüm
1
Taylor Polinomlar¬ve hata
Bu bölümde
a noktas¬ komşulu¼
gunda yak¬nsak bir kuvvet serisi aç¬l¬m¬n¬n sonlu
say¬da teriminden oluşan Pn Taylor polinomunu tan¬tarak,
Taylor polinomunun a noktas¬n¬n hangi komşulu¼
gunda f fonksiyonuna
yaklaş¬m için kullan¬labilece¼
gini,
Taylor yaklaş¬m¬ile oluşan hatan¬n belirli bir toleranstan küçük olmas¬
için kullan¬lmas¬gereken yaklaş¬m polinomunun derecesinin nas¬l tahmin edilebilece¼
gini,
Bilinen Taylor polinomlar¬yard¬m¬yla yeni Taylor polinomlar¬n¬n nas¬l
türetilebilece¼
gini,
Pn yaklaş¬m polinomunun herhangi bir nokta veya nokta kümesi üzerinde eş zamanl¬olarak iç içe çarp¬m(Horner) yöntemi yard¬m¬yla nas¬l
hesaplanabilece¼
gini,
I·ki de¼
gişkenli fonksiyonlar¬n Taylor aç¬l¬mlar¬n¬ve
Taylor aç¬l¬m¬yard¬m¬yla aritmetik işlemlerde oluşan hatalar¬inceliyoruz.
Konuyla ilgili daha teferruatl¬ bilgiler için Atkinson[ref.], Stoer & Bulirsch[ref], Cheney-Kincaid[] ve Grossman[] gibi temel kaynaklar¬öneriyoruz.
2
Taylor Polinomlar¬ve hata
1.1
Kuvvet Serisi, Taylor polinomu ve hata
a; cn 2 R; n = 0; 1;
1
X
cn (x
sabitleri ve için
a)n := c0 + c1 (x
a) +
+ cn (x
a)n +
(1.1)
n=0
toplam¬na a merkezli ve sabit katsay¬l¬bir kuvvet serisi ad¬verildi¼
gini hat¬rlayal¬m. E¼
ger (1.1) serisi L > 0 sabit olmak üzere, jx aj < L aral¬g¼¬ndaki
x ler için sonlu de¼
gerlere sahipse, seriye (a L; a + L) aral¬g¼¬nda yak¬nsakt¬r
denir ve bu aral¬g¼a serinin yak¬nsakl¬k aral¬g¼¬ve L ye de yak¬nsakl¬k yar¬çap¬
ad¬ verilir. Bu aral¬g¼¬n d¬ş¬ndaki aral¬klarda (1.1) toplam¬ sonlu bir de¼
gere
sahip olmad¬g¼¬için seriye bu tür aral¬klarda ¬raksakt¬r seri ad¬verilir.
Yak¬nsakl¬k aral¬g¼¬içerisinde kuvvet serisi bir fonksiyon tan¬mlar. Her bir
noktadaki de¼
geri (1.1) toplam¬na eşit olan f fonksiyonu
f (x) :=
1
X
cn (x
n=0
a)n ; x 2 (a
L; a + L)
(1.2)
olarak tan¬mlan¬r. Bu durumda (1.2) deki seriye f nin a noktas¬ komşulu¼
gundaki Taylor serisi ad¬verilir.
Kuvvet serileri yak¬nsakl¬k bölgeleri içerisinde terim terime
türevlenebilir ve interallenebilirler.
Türev ve integral işlemleri
sonucunda elde edilen seriler de ayn¬ aral¬kta yak¬nsakt¬rlar.
Serinin an katsay¬lar¬ ile f nin ve türevlerinin a noktas¬ndaki de¼
gerleri
aras¬nda aşa¼
g¬da türetilen bir ilişki mevcuttur:
f (x) = c0 + c1 (x
ifadesinden
a) +
+ cn (x
a)n +
1.1 Kuvvet Serisi, Taylor polinomu ve hata
3
f (a) = c0 ;
f 0 (a) = c1 ;
00
f (a) = 2c2
f (n) (a) = n!cn
oldu¼
gu kolayca görülür. O halde n inci dereceden Taylor polinomu
Pn (x)
:
=
= f (a) + f 0 (a)(x
n
X
f (k) (a)
k=0
k!
(x
a) +
1 00
f (a)(x
2!
a)2 +
+
1 (n)
f (a)(x
n!
a)n
a)k
olarak tan¬mlan¬r ve yak¬nsakl¬k aral¬g¼¬içerisinde
f (x) = lim Pn (x) =
n!1
olarak ifade edilebilir.
1
X
f (k) (a)
k=0
k!
(x
a)k
(1.3)
Herhangi bir f fonksiyonunun bir a noktas¬komşulu¼
gunda Taylor serisine sahip olmas¬veya s¬kça kullan¬lan tabirle seri aç¬l¬m¬na sahip olmas¬ için a noktas¬nda fonksiyonun bütün basamaktan türevlerinin
mevcut olmas¬ve ayr¬ca oluşturulan kuvvet serisinin a noktas¬komşulu¼
gundaki x noktalar¬için f (x) de¼
gerine yak¬nsak olmas¬gerekir.
Bir a noktas¬ komşulu¼
gunda (1.3) ile tan¬mlanan yak¬nsak kuvvet seri
aç¬l¬m¬na sahip fonksiyona a noktas¬nda analitik fonksiyon ad¬verilmektedir.
Buna göre bir noktada sürekli olmayan veya herhangi bir basamaktan
türevi olmayan fonksiyonun o nokta komşulu¼
gunda Taylor seri aç¬l¬m¬ndan
bahsedemeyiz. Öte yandan çok özel durum olmas¬na ra¼
gmen, bir fonksiyonun bir noktada her basamaktan türevin mevcut olmas¬da fonksiyonun o
nokta komşulu¼
gunda yak¬nsak kuvvet seri aç¬l¬m¬na sahip olmas¬n¬ garanti
etmez.(Al¬şt¬rma 8)
ÖRNEK 1.1. f (x) = cos(x) fonksiyonunu a = 0 noktas¬ komşulu¼gundaki
Taylor serisini ve serinin k¬smi toplamlar dizisini belirleyiniz.
4
Taylor Polinomlar¬ve hata
Çözüm.
f nin a = 0 noktas¬nda sürekli ve her basamaktan türevinin mevcut
oldu¼
gunu biliyoruz. Ayr¬ca
f (0) = 1; f 0 (x) = sin(x); f 0 (0) = 0; f 00 (x) = cos(x); f 00 (0) =
f 000 (x) = sin(x); f 000 (0) = 0; f (4) (x) = cos(x); f (4) (0) = 1; :::
1;
de¼
gerlerini elde ederiz..O halde (1.3) den
cos(x) = f (0) + f 0 (0)x +
1 00
f (0)x2 +
2!
1 2 1 4
x + x
2!
4!
1
k
X
( 1) 2k
x
=
(2k)!
k=0
+
1 (n)
f (0)xn +
n!
:::
= 1
ile ifade edilen Taylor seri aç¬l¬m¬n¬belirleriz. Buna göre serinin k¬smi toplamlar dizisi
P0 (x) = P1 (x) = 1
1 2
x
2!
1 2 1 4
x + x
2!
4!
P2 (x) = P3 (x) = 1
P4 (x) = P5 (x) = 1
P2k (x) = P2k+1 (x) = 1
1 2 1 4
x + x
2!
4!
::: +
( 1)k 2k
x
(2k)!
olarak ifade edilir.
K¬smi toplamlar dizisin eleman¬olan Pn (x) polinomuna f nin a noktas¬
komşulu¼
gundaki n inci dereceden Taylor polinomu ad¬verilir.
Taylor teoremi olarak bilinen aşa¼
g¬daki sonuç, Pn (x) polinomunu yukar¬daki yöntemden daha farkl¬şekilde inşa eder ve f (x) yerine Pn (x) polinomunun kullan¬lmas¬durumunda oluşacak olan hata için birbirine denk olan iki
formülasyon önerir.
TEOREM 1.1. f 2 C n+1 [a; b]; ve x 2 (a; b) noktas¬seçilsin. Bu taktirde
f (x) = f (a) + (x
a)f 0 (a) +
a)2
(x
2!
f 00 (a) +
+
(x
a)n (n)
f (a) + Rn (x)
n!
(1.4)
1.1 Kuvvet Serisi, Taylor polinomu ve hata
5
olarak ifade edilir. Burada
1
Rn (x) =
n!
Z
x
f (n+1) (t)(t
a)n dt
a
kalan terimdir ve alternatif olarak
a)n+1 =(n + 1)!f (n+1) (cx ); cx 2 (a; x)
Rn (x) = (x
biçiminde de yaz¬labilir.
I·spat. Analizin temel teoreminden
Z
x
f 0 (t)dt
(1.5)
f (x) = f (a) +
a
Rx
olarak yaz¬l¬r. Teoremin ispat¬ a f 0 (t)dt integraline k¬smi integrasyon yönteminin ardarda uygulanmas¬n¬esas almaktad¬r. Buna göre u = f 0 (t); dv =
dt için du = f 00 (t)dt;ve al¬ş¬k oldu¼
gumuz v = t integrali yerine integral sabiti
olarak x seçimiyle v = t x almak suretiyle
Z
x
0
f (t)dt = (t x)f
0
(t)jxa
a
Z
x
00
0
(t x)f (t)dt = (x a)f (a)+
a
Z
a
elde ederiz. O halde (1.6) deki ifadeyi (1.5) te yerine yazarak
Z x
00
0
(x t)f (t)dt
f (x) = f (a) + (x a)f (a) +
x
00
(x t)f (t)dt
(1.6)
(1.7)
a
00
elde ederiz. (1.7) daki integral için de u = f (t); dv = (x
f 000 (t)dt; v = (x t)2 =2 dönüşümleri ile
Z
a
x
(x
t)dt ve du =
Z
1 x 000
t)f (t)dt =
f (t)(x t)
+
f (t)(x t)2 dt
2! a
Z
(x a)2 00
1 x 000
=
f (a) +
f (t)(x t)2 dt
(1.8)
2!
2! a
00
00
2
=2jxa
elde ederiz. (1.8) ifadesini (1.7) da yazarak
f (x) = f (a) + (x
0
a)f (a) +
a)2
(x
2!
1
f (a) +
2!
00
Z
a
x
000
f (t)(x
t)2 dt (1.9)
6
Taylor Polinomlar¬ve hata
olarak bir ad¬m daha aranan gösterime yaklaş¬r¬z. Tümevar¬m ad¬m¬gere¼
gi
n 1 için
(x a)2 00
f (a) +
a)f 0 (a) +
2!
Z x
1
(n)
+
f (t)(x t)n 1 dt
(n 1)! a
f (x) = f (a) + (x
(1.10)
oldu¼
gunu kabul ederek, u = f (n) (t); dv = (x t)n 1 dt ve du = f (n+1) (t)dt; v =
(x t)n =n dönüşümleri ile elde edilen
Z
x
f
(n)
(t)(x
n 1
t)
dt =
f
(n)
(t)(x
t)
a
n
=2jxa
1
+
n
Z
x
f
(n+1)
(t)(x
t)n dt
a
ifadesini (1.10) de yazarak aranan sonucu elde ederiz. Öte yandan
1
Rn (x) =
n!
Z
x
f (n+1) (t)(t
a)n dt = (x
a
a)n+1 =(n + 1)!f (n+1) (cx ); cx 2 (a; x)
(1.11)
ise integraller için ortalama de¼
ger teoreminin bir sonucu olarak elde edilir.(Bknz
Al¬şt¬rma 9)
1.2
Taylor serisi ve yak¬nsakl¬k bölgesi
a = 0 olmas¬durumda (1.4)gösterimine f fonksiyonunun Maclorin aç¬l¬m¬ad¬
verilmektedir. Elemanter baz¬fonksiyonlar¬n Maclorin aç¬l¬mlar¬ve yak¬nsakl¬k bölgeleri aşa¼
g¬da verilmektedir:
sin(x) =
1
X
( 1)n x2n+1 =(2n + 1)!
n=0
= x
x3 =3! + x5 =5!
Oran testi yard¬m¬yla
1
P
cn (x a)n kuvvet serisi
: : : + ( 1)n x(2n+1) =(2n + 1)! +
n=0
limn!1
cn+1 (x
cn (x
a)n+1
= jx
a)n
ajlimn!1
cn+1
<1
cn
;
1.2 Taylor serisi ve yak¬nsakl¬k bölgesi
7
cn
veya L =limn!1 cn+1
olmak üzere jx aj < L eşitsizli¼
gini sa¼
glayan (a
L; a + L) aral¬g¼¬nda yak¬nsakt¬r. O halde sin(x) fonksiyonu için
L = limn!1
cn
cn+1
1
(2(n + 1) + 1)!
= limn!1
(2n + 1)!
1
= limn!1 (2n + 2)(2n + 3) = 1
olur, yani kuvvet serisi sin(x) fonksiyonunu ( 1; 1) aral¬g¼¬nda temsil eder.
Benzer biçimde
cos(x) =
1
X
( 1)n x2n =(2n)! = 1
: : : + ( 1)n x(2n) =(2n)!
x2 =2! + x4 =4!
n=0
+
seri gösterimi cos(x)fonksiyonunu ( 1; 1) aral¬g¼¬nda temsil eder. Ancak
her kuvvet serisi, temsil etti¼
gi fonksiyonu bütün reel say¬lar kümesi üzerinde
temsil etmez. Örne¼
gin,
ln(x + 1) =
1
X
( 1)(n+1) xn =n = (x
x2 =2 + x3 =3
: : : + ( 1)(n+1) xn =n
n=1
+
; x 2 ( 1; 1]
aç¬l¬m¬ için oran testi jxj < 1 için yak¬nsakl¬g¼¬ garanti eder. x = 1 için
de elde edilen serinin yak¬nsakl¬g¼¬ alterne say¬ serileri için yak¬nsakl¬k kriteri yard¬m¬yla kolayca görülebilir. O halde yukar¬daki aç¬l¬m ln(x + 1)
fonksiyonunu sadece ( 1; 1] aral¬g¼¬nda temsil eder. Örne¼
gin x = 2 için
ln(x + 1) = ln(3) sonlu bir de¼
ger iken ilgili seri bu noktada sonlu bir de¼
gere
sahip de¼
gildir.
Benzer problem
1=(1
x) =
1
X
xn = 1 + x + x 2 +
+ xn +
n=0
aç¬l¬m¬ için de geçerlidir. Seri aç¬l¬m¬ ve sol taraf¬ndaki fonksiyon sacede
( 1; 1) aral¬g¼¬nda birbirine eşittir.Örne¼
gin bu aral¬g¼¬n d¬ş¬ndaki x = 2 noktas¬ için 1=(1 x) = 1=( 1) = 1 iken, sa¼
g taraftaki toplam bu noktada
sonlu bir de¼
gere sahip de¼
gildir.
8
Taylor Polinomlar¬ve hata
Ancak
x
e =
1
X
xn =n! = 1 + x=1! + x2 =2! +
+ xn =n! +
(1.12)
n=0
aç¬l¬m¬ndaki ex fonksiyonu ve sa¼
g taraf¬ndaki sonsuz toplam her x 2 ( 1; 1)
için ayn¬de¼
gere sahiptir, yani fonksiyon ve seri reel say¬lar kümesi üzerinde
birbirine eşittirler.
1.2.1
Yak¬nsakl¬k bölgesinde Taylor Polinomlar¬ile yaklaş¬m
Bir fonksiyona yaklaş¬m için Taylor polinomu kullan¬l¬rken, yaklaş¬m¬n ilgili Taylor serisinin yak¬nsakl¬k bölgesinde geçerli oldu¼
gunu her zaman göz
önünde bulundurmak gerekir. Aksi taktirde hangi dereceden polinom kullan¬l¬rsa kullan¬ls¬n, elde edilen yaklaş¬mlar olumlu sonuçlar vermezler. Bu
durumu aşa¼
g¬daki örnekle inceleyelim:
ÖRNEK 1.2. f (x) = ln(x + 1) fonksiyonunun a = 0 noktas¬komşulu¼gunda
ve [0; 1:2] aral¬¼g¬nda Taylor polinomlar¬n¬belirleyerek belirtilen aral¬kta artan
n de¼gerlerine ra¼gmen yak¬nsaman¬n gerçekleşmedi¼gini gözlemleyiniz.
Çözüm.
f (x) = ln(x + 1) fonksiyonunun a = 0 noktas¬komşulu¼
gundaki yukar¬da
verilen Taylor serisi ( 1; 1] aral¬g¼¬nda yak¬nsakt¬r. Yandaki şekilde [0; 1:2]
aral¬g¼¬nda n = 2; 3; : : : ; 6 için Pn (x) yaklaş¬mlar¬(noktal¬) ve f fonksiyonunun
gra…¼
gi(çizgi) gösterilmektedir.
n nin tek de¼
gerleri için elde edilen yaklaş¬mlar x = 1:2 noktas¬nda f nin
gra…¼
ginin üst k¬sm¬nda yer al¬rken, çift de¼
gerler için elde edilen yaklaş¬mlar
ise gra…kleri f nin gra…¼
ginin aşa¼
g¬s¬nda yer alan yaklaş¬mlard¬r. Artan n
de¼
gerleri için elde edilen yaklaş¬mlar¬n x = 1:2 noktas¬nda f nin gra…¼
ginden gittikçe uzaklaşt¬klar¬ görülmektedir. Bu durum, Tablo 1.1 de verilen
yaklaş¬m hatalar¬için sonsuz normlar¬ndan da aç¬kça görülmektedir.
Tablo 1.1 den Taylor polinomlar¬ ile elde edilen yaklaş¬mlar¬n, Taylor
serisinin yak¬nsakl¬k aral¬g¼¬içerisinde yer almayan x noktalar¬için iyi sonuç
vermeyece¼
gini gözlemliyoruz. O halde Taylor polinomlar¬n¬n bir nokta komşulu¼
gunda ilgili fonksiyona yaklaş¬m amac¬yla kullan¬lmadan ilgili Taylor serisinin
yak¬nsakl¬k bölgesine dikkat edilmelidir.
1.3 Uygun dereceden Taylor yaklaş¬m polinomu
9
Şekil 1.1: [0; 1:2] aral¬g¼¬nda ln(x + 1) ve ilk beş Taylor yaklaş¬m¬n¬n gra…¼
gi
n kf (x) Pn (x)k1
2
0.30846
4
0.25086
6
0.25086
8
0.27645
10
0.32232
15
0.54321
Tablo 1.1: Yaklaş¬m hatalar¬
1.3
Uygun dereceden Taylor yaklaş¬m polinomu
Baz¬uygulamalarda belirtilen yak¬nsakl¬k aral¬g¼¬içerisinde verilen bir maksimum hata ile yaklaş¬m sa¼
glayan Taylor polinomunun derecesinin de tahmin
edilebilmesi gerekmektedir. Bu ba¼
glamda (1.11) ile verilen hata tahmin formülünden faydalanabiliriz.
ÖRNEK 1.3. f (x) = ln(x + 1) fonsiyonu için a = 0 noktas¬komşulu¼gunda
ve [0; 1] aral¬¼g¬nda
= 0:1 den küçük sonsuz normu hatas¬ ile elde edilen
Taylor polinomunun derecesini belirleyiniz.
Çözüm.
10
Taylor Polinomlar¬ve hata
Öncelikle
f (n+1) (x) = ( 1)n n!=(1 + x)(n+1)
olarak elde edildi¼
gine dikkat edelim. O halde herhangi cx 2 (0; 1) için
kf
x(n+1) (n+1)
f
(cx )
x 1
(n + 1)!
x(n+1) ( 1)n n!
= max0 x 1
(n + 1)!(1 + cx )(n+1) )
=
1=(n + 1) < = 0:1
Pn k1 = max0
olup, n 10 olmas¬gerekti¼
gi tahmin edilir. Ancak bu tahmin aş¬r¬temkinli
bir tahmindir ve gerçekte kf P5 k1 = 0:0902 < 0:1 olup n
5 olmas¬
yeterlidir.
1.4
Bilinen Taylor Yaklaş¬mlar¬ Yard¬m¬yla
Aç¬l¬mlar
Taylor aç¬l¬m¬bilinen bir fonksiyon yard¬m¬yla benzer fonksiyonlar¬n aç¬l¬m2
lar¬hesaplanabilir. Örne¼
gin e x fonksiyonunun [ 1; 1]aral¬g¼¬nda Taylor aç¬l¬m¬n¬
yüksek mertebeden türevler yard¬m¬yla do¼
grudan hesaplamak yerine, e x
fonksiyonunun Taylor aç¬l¬m¬ndan yararlan¬labilinir.
x
=1
x=1! + x2 =2!
x2
=1
x2 =1! + x4 =2!
e
: : : + ( 1)n xn =n! +
ve dolay¬s¬yla
e
: : : + ( 1)n xn =n! +
elde edilir. (1.12) serisinin yak¬nsakl¬k yar¬çap¬n¬n sonsuz oldu¼
guna dikkat
edelim.
2
[ 2; 2]aral¬g¼¬nda hesaplanan ke x
Pn (x)k1 hatalar¬aşa¼
g¬daki tabloda
verilmektedir.
n
jjf (x) Pn (x)jj1
0
2
4
6
8
10
12
16
20
0.98 3.02 4.98 5.68 4.98 3.55 2.14 0.51 0.08
Tablodan hatan¬n n yaklaş¬m derecesinin fonksiyonu olarak monoton biçimde
azalmad¬¼g¬n¬ görüyoruz. Di¼
ger bir de¼
gimle Pn+1 yaklaş¬m¬n¬n Pn den daha
1.5 Neden Taylor polinomlar¬?
11
iyi olmas¬gerekmemektedir. Ancak ilgili Taylor serisinin yak¬nsakl¬k aral¬g¼¬
içerisinde jjf (x) Pn (x)jj1 ! 0 oldu¼
gunu örnek üzerinden de gözlemliyoruz.
Taylor yaklaş¬mlar¬ve f fonksiyonunun gra…kleri şekilde sunulmaktad¬r.
1
1
0.8
5
4
0
0.6
3
-1
0.4
2
-2
0.2
0
-2
0
2
1
-3
-2
1
0
2
5
0
0
2
0
2
3
2
4
-1
1
-2
3
-3
2
0
-1
-4
-2
1
-5
-6
-2
0
-2
0
2
Şekil 1.2: e
-3
0
-2
x2
0
2
-4
-2
ve Taylor yaklaş¬mlar¬
Benzer biçimde sinx fonksiyonunun Taylor aç¬l¬m¬kullan¬larak x 6= 0 için
sinx=x = 1
x2 =3! + x4 =5!
x6 =7! + x8 =9! +
elde edilebilir.
1.5
Neden Taylor polinomlar¬?
Bilinen analitik yöntemlerle bir a noktas¬n¬n komşulu¼
gunda yak¬nsak bir
kuvvet serisi ile ifade edilebilen bir fonksiyonla çal¬şman¬n zor veya mümkün
olmad¬g¼¬durumlarda bu noktan¬n komşulu¼
gunda fonksiyonu temsilen kuvvet
serisinin aç¬l¬m¬n belirli say¬da teriminden oluşan Taylor yaklaş¬m¬kullan¬labilir. Örne¼
gin analitik yöntemlerle hesaplanamayan
R1 x2
e dx integrali için bir say¬sal yaklaş¬m¬MATLAB quadl fonksiyonu
1
yard¬m¬yla 1:493648265624569 olarak elde ederiz. e
x2
için s¬f¬r noktas¬
12
Taylor Polinomlar¬ve hata
komşulu¼
gunda yaklaş¬m olarak P20 Taylor polinomunun integralini hesaplamak suretiyle ise 1:493648267647435 elde ederiz. Sonuçlar¬n virgülden sonra
8 basama¼
ga kadar ayn¬olduklar¬n¬gözlemliyoruz. Ancak integral aral¬g¼¬n¬n
büyük olmas¬ durumunda daha yüksek dereceden polinomun kullan¬lmas¬
gerekece¼
gi için Taylor polinomu yerine daha uygun polinomlar kullan¬lmal¬d¬r.
Bu konuyu say¬sal integrasyon yöntemleri bölümünde inceleyece¼
giz.
Fonksiyon s¬f¬ryeri belirleme problemlerinde hala güncel olarak kullan¬lan
Newton yöntemi, s¬f¬r yerini araşt¬r¬rken her noktada fonksiyonun birinci
dereceden Taylor polinomunun s¬f¬r yerini bulmak suretiyle yaklaş¬mlar elde
etmektedir.(Bknz Bölüm ...) Benzer biçimde diferensiyel denklemler için
say¬sal çözüm yöntemlerinde bir nokta komşulu¼
gunda fonksiyon yerine Taylor
yaklaş¬mlar¬n¬n kullan¬lmas¬daha uygundur(Bknz Bölüm ...) Ayr¬ca say¬sal
yöntemlerin hata analizinin gerçekleştirilmesinde de Taylor yaklaş¬mlar¬s¬kça
kullan¬l¬r.
1.6
Taylor polinomlar¬ve Horner Yöntemi
Pn (x) = a1 xn + a2 xn
1
+
+ an x + an+1
olarak ifade edilen polinomun x0 noktas¬ndaki de¼
geri
Pn (x0 ) = a1 xn0 + a2 xn0
1
+
(1.13)
+ an x0 + an+1
2
formülünün kodlanmas¬suretiyle hesaplanmaz. Çünkü bu şekliyle n ile orant¬l¬say¬da çarpma işlemi gerçekleştirilmesi gerekmektedir. Örne¼
gin
P3 (x) = a1 x3 + a2 x2 + a3 x + a4
polinomu için P3 (x0 ) de¼
gerinin hesaplanmas¬8 adet çarpma işlemi ve 3 adet
toplama işlemi gerektirir. Oysa ayn¬işlem
P3 (x) = ((a1 x + a2 )x + a3 )x + a4
örne¼
ginde oldu¼
gu üzere iç içe çarp¬m format¬nda yaz¬lmak suretiyle 3 adet
çarpma ve 3 adet toplama işlemi ile gerçekleştirilebilir. Böylece hem hesaplama
işlem zaman¬nda tasarruf sa¼
glanm¬ş olur ve hem de gereksiz aritmetik işlem
gerçekleştirmek suretiyle oluşacak yuvarlama hatalar¬engellenmiş olur. Bu
durumda
b 1 = a1
1.6 Taylor polinomlar¬ve Horner Yöntemi
13
olarak tan¬mlanmak üzere
b2 = b1 x0 + a2 = a1 x0 + a2 (en içteki toplam)
b3 = b2 x0 + a3 = (a1 x0 + a2 )x0 + a3 (en içten ikinci toplam)
b4 = b3 x0 + a4 = ((a1 x0 + a2 )x0 + a3 )x0 + a4 (istenen toplam)
elde edilmiş olur. Bu işlemi sistematik olarak (1.13) polinomuna genelleştirilecek olursak,
b1 = a1 olmak üzere
bk = ak + x0 bk 1 ; k = 2; 3; : : : ; n
ile tan¬mlanan fbk g; k = 1; 2; 3; : : : ; n dizisi için yukar¬daki örne¼
gimize paralel
olarak bn = Pn (x0 ) olarak elde ederiz.
Düşük dereceli polinomlar¬n herhangi bir noktadaki de¼
geri aşa¼
g¬da belirtilen Tablo yard¬m¬yla daha pratik olarak gerçekleştirilebilir: Örne¼
gin yukar¬da
tan¬mlanan P3 (x) polinomunun x0 noktas¬ndaki de¼
gerini hesaplayal¬m. Yukar¬da
belirtilen işlemler Horner tabosu ad¬verilen tablo üzerinden kolayca gerçekleştirilebilir.
x0
a1
b1 = a1
a2
x0 b1
b2 = a2 +x0 b1
a3
x0 b2
b3 =a3 +x0 b2
a4
x0 b3
b4 =a4 +x0 b3
ÖRNEK 1.4. p(x) = x3 2x2 + x 4 polinomunun x0 = 1 noktas¬ndaki
de¼gerini Horner yöntemi yard¬m¬yla belirleyiniz.
Çözüm.
Horner tablosu
1
1
-2
1
1
1
1 -1
-1
-4
1 0
0
1
-4
olup, P (1) = 4 olarak elde edilir.
Di¼
ger bir bak¬ş aç¬s¬ile yukar¬da tan¬mlanan fbk g; k = 1; 2; 3; : : : ; n dizisi
için
14
Taylor Polinomlar¬ve hata
Pn (x) = a1 xn + a2 x(n
= (b1 x(n
1)
+
1)
+
+ b(n
+ an x + a(n+1)
1) x
+ bn )(x
x0 ) + b(n+1)
özdeşli¼
gi sa¼
glan¬r ve dolay¬s¬yla b(n+1) = Pn (x0 ) oldu¼
gu aç¬kt¬r.
Her bir bk n¬n hesaplanmas¬bir adet çarpma ve bir adet de toplama işlemi
gerektirdi¼
ginden Horner yöntemi ad¬ verilen bu yöntemle n inci dereceden
bir polinomun herhangi bir noktadaki de¼
gerinin hesaplanmas¬nadet çarpma
ve n adet toplama işlemi gerektirir. Böylece (1.13) biçiminde Pn (x0 ) ¬n hesaplanmas¬ durumunda gereken O(n2 ) mertebesindeki işlem, Horner yöntemi
yard¬m¬yla alternatif olarak n adet çarpma ve toplama işlemi ile gerçekleştirilmiş olmaktad¬r.
Yüksek dereceli polinomlar¬n herhangi bir noktadaki de¼
geri aşa¼
g¬da verilen ve horner.m isimli bir dosyaya kaydedilen MATLAB/Octave program¬
yard¬m¬yla gerçekleştirilebilir.
function sonuc=horner(a,x0);
m=length(a);
n=m-1;
b=zeros(m,1);
b(1)=a(1);
for k=2:m
b(k)=a(k)+x0*b(k-1);
end
sonuc=b(m);
Örne¼
gin P2 (x) = x2
2x + 3 polinomunun x0 noktas¬ndaki de¼
gerini
hesaplamak için komut ortam¬ndan girilen polinom katsay¬lar¬ ve x0 noktas¬için
>> a=[1 -2 3]; x0=1;
>> horner(a,x0)
ans =
2
elde ederiz.
Tek bir nokta yerine birden fazla noktada verilen bir polinomun de¼
gerinin
ayn¬anda hesaplanmas¬istenirse, bu taktirde yukar¬da verilen klasik Horner
yöntemi geliştirilmelidir:
1.7 ·
Iki de¼
gişkenli fonksiyonlar¬n Taylor aç¬l¬mlar¬
15
function sonuc=horner(a,x0);
n=length(a);m=length(x0);
b=zeros(n,m);
b(1,:)=a(1)*ones(1,m);
for k=2:n
b(k,:)=a(k)+x0.*b(k-1,:);
end
sonuc=b(n,:);
Örne¼
gin P2 (x) = x2 2x + 3 polinomunun x0 = [1 2 1] vektöründeki
de¼
gerlerini vektörel horner yöntemi yard¬m¬yla kolayca hesaplayabiliriz:
>> a=[1 -2 3];
>> x0=[1 2 -1;]
>> horner(a,x0)
ans =
2 3 6
1.7
I·ki de¼
gişkenli fonksiyonlar¬n Taylor aç¬l¬mlar¬
Tek de¼
gişkenli fonksiyonlardakine benzer olarak, iki veya daha çok de¼
gişkenli
fonksiyonlar¬n bir nokta komşulu¼
gundaki Taylor aç¬l¬mlar¬ elde edilebilir.
Örne¼
gin iki de¼
gişkenli ve (a,b) noktas¬komşulu¼
gunda taylor aç¬l¬m¬mevcut
olan bir f (x; y) fonksiyonunun bu nokta komşulu¼
gundaki Taylor aç¬l¬m¬
@f
j(a;b) + (y
@x
@ 2f
a)2 2 j(a;b) + 2(x
@x
f (x; y) = f (a; b) + (x
1
(x
2!
+:::
+
a)
b)
@f
j(a;b)
@y
a)(y
b)
@ 2f
j(a;b) + (y
@x@y
b)2
@ 2f
j(a;b)
@y 2
olarak elde edilir. Burada P (x; y) = f (a; b) + (x a) @f
j
+ (y b) @f
j
@x (a;b)
@y (a;b)
Taylor polinomunun geometrik yeri z = f (x; y) yüzeyine (a; b) noktas¬nda
çizilen te¼
get düzlemdir. h = x a, k = y b olmak üzere
16
Taylor Polinomlar¬ve hata
h
h
@
@
+k
@x
@x
f (a; b) : = h
@f
@f
j(a;b) + k j(a;b)
@x
@y
2
@
@
+k
@x
@x
f (a; b) : = h2
2
@ 2f
@ 2f
2@ f
j
+
k
j
+
2hk
j(a;b)
(a;b)
(a;b)
@x2
@x@y
@y 2
notasyonu ile f nin (a; b) noktas¬komşulu¼
gundaki Taylor serisi
f (x; y) =
1
X
1
n!
n=0
h
@
@
+k
@x
@x
n
(1.14)
f (a; b)
olarak ifade edilir.
2
2
ÖRNEK 1.5. f (x; y) = e (x +y ) fonksiyonunun (0; 0) noktas¬komşulu¼gundaki, ilk dört Taylor yaklaş¬m polinomu bularak fonksiyonla birlikte ayn¬eksende gra…klerini çiziniz.
Çözüm.
f (0; 0) = 1
fx (0; 0) = ( 2xe
(x2 +y 2 )
fy (0; 0) = ( 2ye
(x2 +y 2 )
)(0; 0) = 0
)(0; 0) = 0
fxx (0; 0) = e
(x2 +y 2 )
(4x
2
2)(0; 0) =
2
fyy (0; 0) = e
(x2 +y 2 )
(4y 2
2)(0; 0) =
2
fxy (0; 0) = e
(x2 +y 2 )
(4xy)(0; 0) = 0
de¼
gerlerini elde ederiz. Benzer biçimde (1.14) deki di¼
ger gerekli terimleri ve
(0; 0) daki de¼
gerlerini hesaplayarak
f (x; y) = 1
(x2 + y 2 ) +
1 2
(x + y 2 )2
2!
aç¬l¬m¬n¬elde ederiz. (Bu aç¬l¬m¬yukar¬da verilen e
1 2
(x + y 2 )3 + :::
3!
x2
aç¬l¬m¬ile karş¬laşt¬r¬n¬z).
1.7 ·
Iki de¼
gişkenli fonksiyonlar¬n Taylor aç¬l¬mlar¬
17
f (x; y) fonksiyonu ve s¬ras¬yla
P0 (x; y) = 1;
P2 (x; y) = 1 (x2 + y 2 );
1 2
(x + y 2 )2
2!
1
(x2 + y 2 ) + (x2 + y 2 )2
2!
(x2 + y 2 ) +
P4 (x; y) = 1
P6 (x; y) = 1
1 2
(x + y 2 )3 + :::
3!
k¬smi toplamlar¬n¬(iki de¼
gişkenli Taylor polinomlar¬n¬n) gra…kleri Şekil 3.3
de sunulmaktad¬r.
(a)
(b)
1
1
0.5
0
0
1
-1
1
1
0
1
0
0
-1
0
-1
-1
(c)
-1
(d)
1
1
0.5
0.5
0
0
1
-0.5
1
1
0
0
-1
Şekil 1.3: e
laş¬mlar¬
(x2 +y 2 )
-1
1
0
0
-1
-1
fonksiyonu ve artan n de¼
gerleri için Taylor polinom yak-
Artan n de¼
gerleri için P0 (x; y); P2 (x; y); P4 (x; y) ve P6 (x; y) polinomlar¬n¬n gra…klerinin f fonksiyonunun gra…¼
gine yaklaşt¬g¼¬ga…ksel olarak görülmektedir.
1.7.1
Taylor aç¬l¬m¬ile Hata birikim analizi
xf de¼
geri x için bir yaklaş¬m olsun ve y = f (x) fonksiyonu verilsin. x yerine
xf yaklaş¬m¬n¬n kullan¬lmas¬durumunda oluşacak olan y = yf y mutlak
hatas¬ve "b (y) ba¼
g¬l hatas¬n¬tahmin etmek istiyoruz.
18
Taylor Polinomlar¬ve hata
:
:
Taylor aç¬l¬m¬yard¬m¬yla y = f 0 (x) x olarak yazar¬z. Burada = yaklaş¬m¬birinci mertebeden türeve kadar ilgili terimlerin eşitli¼
gini ifade etmektedir. y 6= 0 için her iki taraf¬y ye bölmek suretiyle
y : f 0 (x)
x 0
=
x=
f (x)"b (x)
y
f (x)
f (x)
"b (y) =
elde ederiz. Yukar¬daki son eşitlikte mutlak hata ile ba¼
g¬l hata aras¬ndaki
x = x"b (x) ba¼
g¬nt¬s¬n¬kulland¬k.
Benzer biçimde iki de¼
gişkenli bir z = f (x; y) fonksiyonu için xf , yf
de¼
gerleri x ve y için birer yaklaş¬m olsunlar. Bu durumda
@f
: @f
x+
y
z=
@x
@y
ve
:
"b (z) =
x @f
y @f
"b (x) +
"b (y)
f (x; y) @x
f (x; y) @y
elde ederiz. Yüksek mertebeden k¬smi türevlerin özdeş olarak s¬f¬ra eşit
:
oldu¼
gu durumlarda yukar¬da verilen mutlak ve ba¼
g¬l hata ba¼
g¬nt¬lar¬nda ’=0
yerine ’=0 al¬nmal¬d¬r.
Buna göre özel olarak toplama, ç¬karma, çarpma ve bölme işlemleri için
s¬ras¬yla z = f (x; y) fonksiyonunu f (x; y) = x + y; x y; x y; x=y almak
suretiyle
toplama/ç¬karma
z = f (x; y) = x y
z= x
y
1
"b (z) = x y (x"b (x) y"b (y); x
y 6= 0
elde ederiz. Fark için elde edilen yukar¬daki ba¼
g¬nt¬dan, birbirine yak¬n
say¬lar¬n fark¬n¬n al¬nmas¬sonucu oluşan ba¼
g¬l hatan¬n xf ve yf yaklaş¬mlar¬nda oluşan ba¼
g¬l hatalardan çok daha büyük oldu¼
gunu görmekteyiz. Benzer biçimde çarpma ve bölme için aşa¼
g¬da verilen mutlak ve ba¼
g¬l hata ifadelerini
elde ederiz:
çarpma
z = f (x; y) = x y
z =y x+x y
"b (z) = "b (x) + "b (y)
1.7 ·
Iki de¼
gişkenli fonksiyonlar¬n Taylor aç¬l¬mlar¬
bölme
19
z = f (x; y) = x=y
:
z = y1 x yx2 y
:
"b (z) = "b (x) "b (y)
ÖRNEK 1.6. Karesel bir o…sin bir kenar¬xf = x
x = 3 0:1m olarak
ölçülmüş olsun. Bu durumda o…s alan¬n¬n hesaplanmas¬nda oluşan mutlak
ve ba¼g¬l hata yaklaş¬k olarak ne kadard¬r?
Çözüm.
y = f (x) = x2 al¬n¬rsa
:
y = f 0 (x) x = 2x x = 2
3
(0:1) = 0:6
elde ederiz.
Ba¼
g¬l hatay¬ise yaklaş¬k olarak
"b (y) =
y :
= 0:6=9 = 0:0667
y
olarak elde ederiz.
ÖRNEK 1.7. Dikdörtgensel bir o…sin taban boyutlar¬ xf = x
x =
3 0:1m ve yf = y
y = 5 0:2m olarak ölçülmüş olsun. Bu durumda
o…s alan¬n¬n hesaplanmas¬nda oluşan mutlak ve ba¼g¬l hata yaklaş¬k olarak ne
kadard¬r?
Çözüm.
z = f (x; y) = x
y
al¬n¬rsa
z =y x+x y =5
(0:1) + 3
(0:2) = 1:1
elde ederiz.
Ba¼
g¬l hatay¬ise
"b (z) =
z
= 1:1=15 = 0:0733
z
olarak elde ederiz. Elde edilen bu sonucun x ve y de oluşan ba¼
g¬l hatalar¬n
toplam¬na eşit oldu¼
guna dikkat edelim.
20
Taylor Polinomlar¬ve hata
ÖRNEK 1.8. Sürtünmesiz ortamda hareket eden bir cismin kütlesinin m =
2 0:1(kg) ve cisme t an¬nda etki eden kuvvetin ise F = 5 0:2(kg m=s2 )
oldu¼gu ölçülmüştür. Cismin ivmesini, ölçümlerdeki mutlak hatalardak kaynaklanan mutlak ve ba¼g¬l hata ile birlikte belirleyiniz.
Çözüm.
m = 0:1 ve F = 0:2 mutlak hatalar¬ ve II. Newton yasas¬ gere¼
gi
2
a = F=m = 2:5(m=s ) ivmesinde oluşan mutlak hata
: 1
F
a=
m
F
1
m = (0:2)
2
m
2
5
(0:1) =
22
0:0250
dir. Ayr¬ca
"b (m) =
m=m = 0:1=2 = 0:05
"b (F ) =
F=F = 0:2=5 = 0:04
ve
olup,
:
"b (a) = "b (F )
"b (m) = 0:04
0:05 =
0:01
olarak elde edilir.
p
ÖRNEK 1.9. f (a; b; c) = b + b2 4ac fonksiyonunu göz önüne alal¬m.
a = 1 0:1; b = 2 0:1; c = 0:001 0:001 için, yani a = 0:1; b =
0:1; c = 0:001 mutlak hatalar¬yla, f nin (a; b; c) noktas¬ndaki de¼gerinin
hesaplanmas¬nda oluşan mutlak ve ba¼g¬l hatay¬hesaplay¬n¬z.
Çözüm.
@f
@f
: @f
a+
b+
c
f =
@a
@b
@c
2c
b
2a
= p
a+( 1+ p
) b+ p
c
b2 4ac
b2 4ac
b2 4ac
= ( 0:0010) 0:1 + (5:0038e 004) 0:1 + ( 1:0005) 0:001
=
0:0011
1.7 ·
Iki de¼
gişkenli fonksiyonlar¬n Taylor aç¬l¬mlar¬
21
elde ederiz. Ayr¬ca
:
"b (f ) =
+
=
+
=
a
@f
b
@f
j(a;b;c) "b (a) +
j(a;b;c) "b (b)
f (a; b; c) @a
f (a; b; c) @b
c
@f
j(a;b;c) "b (c)
f (a; b; c) @c
2
1
( 0:0010)(0:1) +
(5:0038e 004)(0:05)
0:0010
0:0010
0:001
( 1:0005)(1)
0:0010
1:0505
olarak elde ederiz. Ba¼
g¬l hatan¬n mutlak hataya k¬yasla daha büyük oldu¼
guna
dikkat edelim. Bunun nedeni verilen a; b ve c de¼
gerleri için f (a; b; c) nin
birbirine yak¬n iki say¬n¬n fark¬n¬ alan bir işlem olmas¬d¬r. Daha önceden
de tahmin etti¼
gimiz gibi birbirine yak¬n iki say¬n¬n fark¬n¬n hesaplanmas¬nda
ba¼
g¬l hata büyük olmaktad¬r.
Al¬şt¬rmalar 1.1.
1. Aşa¼g¬da verilen fonksiyonlar¬n a = 0 noktas¬nda hesaplanan Taylor
aç¬l¬mlar¬n¬n do¼grulu¼gunu kontrol ediniz.
sinh(x) = x + x3 =6 + x5 =120 + x7 =5040 + :::::
cosh(x) = 1 + x2 =2 + x4 =24 + x6 =720 + ::::::
tan(x) = x + x3 =3 + 2x5 =15 + 17x7 =315 + ::::::
p
1 + x = 1 + x=2 x2 =8 + x3 =16 5x4 =128 + :::
2. Aşa¼g¬da verilen fonksiyonlar¬n a = 1 noktas¬nda hesaplanan Taylor
aç¬l¬mlar¬n¬n do¼grulu¼gunu kontrol ediniz.
x5 = 1 + 5(x
1) + 10(x
1)2 + 10(x
1)3 + :::
sin(x) = sin(1)+cos(1)(x 1) sin(1)(x 1)2 =2 cos(1)(x 1)3 =6
+sin(1)(x 1)4 =24 + cos(1)(x 1)5 =120 + :::
sin(5x) = sin(5) + 5cos(5)(x 1) 25sin(5)(x 1)2 =2
125cos(5)(x 1)3 =6 + 625sin(5)(x 1)4 =24 + :::
log(x) = x 1 (x 1)2 =2+(x 1)3 =3 (x 1)4 =4+(x 1)5 =5+::.
22
Taylor Polinomlar¬ve hata
3. Terim terime türev veya integral almak suretiyle veya trigonometrik
özdeşliklerden faydalanarak aşa¼g¬da sol sütunda yer alan fonksiyonlar¬n
a = 0 noktas¬ndaki Taylor aç¬l¬mlar¬n¬, sa¼g tütunda yer alan fonksiyonlar¬n ayn¬ noktadaki aç¬l¬mlar¬ yard¬m¬yla hesaplay¬n¬z ve ayn¬ yak¬nsakl¬k yar¬çaplar¬na sahip sahip olduklar¬n¬gösteriniz.
sin(x); cos(x)
tan2 (x); tan(x)
cos2 (x); cos(2x)
1=(1 + x); log(1 + x)
Rx t2
e dt; et
1
4. S¬f¬r noktas¬komşulu¼gunda bilinen aç¬l¬mlar yard¬m¬yla aşa¼g¬daki aç¬l¬mlar¬n do¼grulu¼gunu kontrol ediniz.
x sin(x) = x2
x4 =6 + x6 =120 + :::
ln(1 + x2 ) = x2
x4 =2 + x6 =3 + :::
tan(x)=x = 1 + 1=3x2 + 2=15x4 + 17=315x6 + :::
(1 + x)=(1
x) = 1 + 2x + 2x2 + 2x3 + 2x4 + 2x5 + 2x6 + :::
5. Taylor polinom yaklaş¬m¬için verilen hata formülünü kullanarak aşa¼g¬da
verilen f fonksiyonlar¬na, a = 0 noktas¬ndaki Pn Taylor polinomlar¬ile
[ 1; 1]; [ 2; 2]; [ 3; 3] aral¬klar¬nda yaklaş¬ld¬¼g¬n¬kabul edelim. Her bir
alt aral¬k için jjf Pn jj1 < = 0:1 eşitsizli¼gi sa¼glanacak biçimdeki en
küçük n tamsay¬lar¬s¬ras¬yla ne olmal¬d¬r? Aral¬k uzunlu¼gu artt¬kça n
de¼gerleri nas¬l de¼gişmektedir?
sin(x2 )
cos(x)
tan(x)
exp( x2 )
1.7 ·
Iki de¼
gişkenli fonksiyonlar¬n Taylor aç¬l¬mlar¬
6.
R1
sin(x2 )dx
23
0:6205 integralini hesaplamak istedi¼gimizi düşünelim.
1
Pn polinomu a = 0 noktas¬ komşulu¼gunda fonksiyonun n inci dereceden Taylor polinomu olmak üzere n = 0; 1; 2; ::: için
In =
Z1
Pn (x)dx
1
integraller dizisini hesaplayal¬m. In dizisinin yak¬nsad¬¼g¬noktay¬ belirleyiniz. Elde etti¼giniz limit verilen integral için iyi bir yaklaş¬m m¬d¬r?
7. f (x) = cos(x) fonksiyonu için a = 0 noktas¬komşulu¼gunda elde edilen
Pn Taylor polinomlar¬n¬göz önüne alal¬m. n = 0; 1; 2; 3; 4; 5 için [ 2; 2]
aral¬¼g¬nda En = jjf Pn jj1 normlar¬n¬ hesaplay¬n¬z. En de¼gerleri
nas¬l de¼gişmektedir?
2
8. f (t) = e 1=t ; t 6= 0; f (0) = 0 ile tan¬mlanan fonksiyonun t = 0 noktas¬nda bütün basamaktan türevlerinin mevcut ve s¬f¬ra eşit oldu¼gunu
s¬f¬r noktas¬ndaki türevin tan¬m¬n¬ kullanmak suretiyle gösteriniz. f
nin s¬f¬r noktas¬ndaki Taylor seri aç¬l¬m¬, s¬f¬r noktas¬n¬n komşulu¼gunda
f yi temsil eder mi?
9. Integraller için ortalama de¼ger teoremi yard¬m¬yla
Z
1 x (n+1)
f
(t)(t a)n dt = (x a)n+1 =(n + 1)!f (n+1) (cx )
Rn (x) =
n! a
sa¼glanacak biçimde cx 2 (a; x) oldu¼gunu gösteriniz.
10. Pn (x) polinomu f (x) fonksiyonunun x = a noktas¬ndaki n inci dereceden Taylor polinomu olsun.
Pn(k) (a) = f (k) (a); k = 0; 1;
;n
oldu¼gunu gösteriniz.
11. Aşa¼g¬da verilen iki de¼gişkenli fonksiyonlar¬n (0; 0) noktas¬ndaki Taylor
aç¬l¬mlar¬n¬n do¼grulu¼gunu kontrol ediniz
cos(xy) = 1
(xy)2 =2 + (xy)4 =24+...
24
Taylor Polinomlar¬ve hata
cos(x + y) = 1
(x + y)2 =2 + (x + y)4 =24+...
log(x + y + 1) = x + y
(x + y)2 =2 + (x + y)3 =3
(x + y)4 =4 + :::
12. Elinizle ve Horner program¬ yard¬m¬yla aşa¼g¬da verilen polinomlar¬n
belirtilen noktalardaki de¼gerlerini hesaplay¬n¬z
P (x) = x3 + 9x2 + 27x + 27; x0 =
1
P (x) = x4
3x3 + 2x2
P (x) = x5
10x4 + 40x3
80x2 + 80x
P (x) = x6
21x5 + 175x4
735x3 + 1624x2
4x + 1; x0 = 1
32; x0 = 3
1764x + 720; x0 = 1
13. Vektör tabanl¬Horner yöntemi yard¬m¬yla aşa¼g¬da verilen polinomlar¬n
verilen noktalardaki de¼gerlerini eş zamanl¬olarak belirleyiniz.
P (x) = x3
6x2 + 8x; x0 = [1 2 4 5];
P (x) = x4
10x3 + 35x2
50x + 24; x0 = [1:2 2:5 3:4];
14. Horner program¬ ile ayn¬ formatta çal¬şan MATLAB/Octave polyval
komutu ile soru 12 ve 13 deki polinom de¼gerlerini hesaplay¬n¬z.
15. Maxima veya ticari Maple, Mathematica ve MATLAB sembolik araç
kutusu gibi sembolik cebir programlar¬ yard¬m¬yla Taylor polinomlar¬
hesaplanabilir. E¼ger ticari bir sembolik cebir program¬n¬z mevcut de¼gilse
ücretsiz olan Maxima program¬n¬bilgisayar¬n¬za kurarak, aşa¼g¬daki komutlar yard¬m¬yla Taylor polinomlar¬n¬n hesapland¬¼g¬n¬ve gra…klerinin
çizdirildi¼gini gözlemleyiniz.
taylor(sin(x); x; 0; 5);
(%o5)/T/ x-x^3/6+x^5/120+...
/* [wxMaxima: input start ] */
wxplot2d([x; x
x^3=6; x
x^3=6 + x^5=120; sin(x)]; [x; 4; 4])$
/* [wxMaxima: input end ] */
16.
P2 (a) = f (a); P20 (a) = f 0 (a); P200 (a) = f 00 (a)
1.7 ·
Iki de¼
gişkenli fonksiyonlar¬n Taylor aç¬l¬mlar¬
25
Şekil 1.4: sin(x) ve Taylor yaklaş¬mlar¬
özelli¼gini sa¼glayan ve x in kuvvetleri cinsinden yaz¬lan
P2 (x) = c2 x2 + c1 x + c0
polinomunun katsay¬lar¬n¬n
c0 = (a2 f 00 (a)
2af 0 (a) + 2f (a))=2; c1 = f 0 (a)
af 00 (a); c2 = f 00 (a)=2
oldu¼gunu gösteriniz. a = 0 olmas¬ durumunda katsay¬lar¬n bilinen
de¼gerler oldu¼gunu, yani
P2 (x) = 1=2f 00 (0)x2 + f 0 (0)x + f (0)
oldu¼gunu gözlemleyiniz.
17. Soru 16 dan biraz farkl¬ olarak, [a; b] aral¬¼g¬nda f fonksiyonuna daha
iyi bir yaklaş¬m olaca¼g¬düşünülerek
Q2 (a) = f (a); Q02 (a) = f 0 (a); Q2 (b) = f (b)
özelliklerini sa¼glayan
Q2 (x) = c2 x2 + c1 x + c0
26
Taylor Polinomlar¬ve hata
polinomunun katsay¬lar¬n¬n
a2 f (b) + (2a b)bf (a)
(b a)2
(b2 a2 )f 0 (a) + 2a(f (a) f (b))
=
(b a)2
(b a)f 0 (a) f (b) + f (a)
=
(b a)2
c0 =
c1
c2
ab(b
a)f 0 (a)
oldu¼gunu gösteriniz. Özel olarak a = 0 için
Q2 (x) =
(b)f 0 (0)
f (b) + f (0) 2
x + f 0 (0)x + f (0)
b2
oldu¼gunu gözlemleyiniz.
18. f (x) = sin(x) fonksiyonuna [0; 1] aral¬¼g¬da yaklaş¬m için kullan¬lmak
üzere Soru 16 deki P2 (x) ve Soru 17 deki Q2 (x) polinomlar¬n¬belirleyerek her bir polinom için
E1 (x) = sin(x)
P2 (x);
E2 (x) = sin(x)
Q2 (x)
hatas¬n¬n gra…¼gini 0:1 aral¬kl¬ noktalar için çizdiriniz. Her bir yaklaş¬m için jjE1 (x)jj1 ve jjE2 (x)jj1 hatalar¬n¬ tahmin ediniz. Hangi
yaklaş¬m daha iyidir?
19. Q3 (x) polinomu, [0; 1] aral¬¼g¬nda bir f fonksiyonuna yaklaş¬m için oluşturulan ve
Q3 (0) = f (0); Q03 (0) = f 0 (0); Q3 (1) = f (1); Q03 (1) = f 0 (1)
özelliklerini sa¼glayan
Q3 (x) = c3 x3 + c2 x2 + c1 x + c0
poinomunun katsay¬lar¬n¬ f ve türevinin x = 0 ve x = 1 noktas¬ndaki
de¼gerleri cinsinden hesaplay¬n¬z. Q3 (x) polinomunu
(k)
P3 (0) = f (k) (0); k = 0; 1; 2; 3
1.7 ·
Iki de¼
gişkenli fonksiyonlar¬n Taylor aç¬l¬mlar¬
27
özelliklerini sa¼glayan a = 0 noktas¬ komşulu¼gundaki 3-üncü dereceden
Taylor polinomuna alternatif bir polinom veya iki noktal¬ Taylor polinom aç¬l¬m¬olarak düşünebiliriz. Soru 18 i, P3 (x) ve Q3 (x) için tekrarlay¬n¬z.
20. Proje: MATLAB GUI ad¬ verilen arayüzler geliştirmek suretiyle arka
planda MATLAB komutlar¬n¬ çal¬şt¬ran etkileşimli programlar haz¬rlanabilir. Kullan¬c¬ taraf¬ndan girilen fonksiyon, aç¬l¬m¬n etraf¬nda
gerçekleşece¼gi nokta ve bu noktay¬içeren aral¬k ile istenilen Taylor polinomunun derecesini alarak, Taylor polinomunun ve fonksiyonun gra…¼gini
ayn¬ eksende çizdiren bir GUI haz¬rlay¬n¬z. Ayr¬ca haz¬rlayaca¼g¬n¬z
arayüzde Taylor polinomunun yaklaş¬m derecesini belirleyen jjf Pn jj1
normu da gösterilsin.