BÖLÜM 2 ÖRNEK SORULAR 2-23 İçinde ısı iletim denklemi en basit

BÖLÜM 2 ÖRNEK SORULAR
2-23 İçinde ısı iletim denklemi en basit şekilde aşağıdaki gibi verilen bir ortamı göz önüne
alınız.
(a)
(b)
(c)
(d)
𝜕𝜕 𝟐𝟐 𝑇𝑇 1 𝜕𝜕𝜕𝜕
=
𝜕𝜕𝑥𝑥 2 𝛼𝛼 𝜕𝜕𝜕𝜕
Isı transferi sürekli midir yoksa zamana mı bağlıdır?
Isı transferi tek mi, iki mi yoksa üç mü boyutludur?
Ortamda ısı üretimi var mıdır?
Ortamın ısıl iletkenliği sabit mi yoksa değişken midir?
2-24 İçinde ısı iletim denklemi en basit şekilde aşağıdaki gibi verilen bir ortamı göz önüne
alınız.
1 𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
�𝑟𝑟𝑟𝑟 � + 𝑒𝑒̇ü𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 0
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑
(e)
(f)
(g)
(h)
Isı transferi sürekli midir yoksa zamana mı bağlıdır?
Isı transferi tek mi, iki mi yoksa üç mü boyutludur?
Ortamda ısı üretimi var mıdır?
Ortamın ısıl iletkenliği sabit mi yoksa değişken midir?
2-25 İçinde ısı iletim denklemi en basit şekilde aşağıdaki gibi verilen bir ortamı göz önüne
alınız.
1 𝜕𝜕 2 𝜕𝜕𝜕𝜕
1 𝜕𝜕𝜕𝜕
�𝑟𝑟
�=
2
𝑟𝑟 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝛼𝛼 𝜕𝜕𝜕𝜕
(a)
(b)
(c)
(d)
Isı transferi sürekli midir yoksa zamana mı bağlıdır?
Isı transferi tek mi, iki mi yoksa üç mü boyutludur?
Ortamda ısı üretimi var mıdır?
Ortamın ısıl iletkenliği sabit mi yoksa değişken midir?
2-26 İçinde ısı iletim denklemi en basit şekilde aşağıdaki gibi verilen bir ortamı göz önüne
alınız.
𝑑𝑑2 𝑇𝑇 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑟𝑟 2 +
=0
𝑑𝑑𝑟𝑟
𝑑𝑑𝑑𝑑
(a)
(b)
(c)
(d)
Isı transferi sürekli midir yoksa zamana mı bağlıdır?
Isı transferi tek mi, iki mi yoksa üç mü boyutludur?
Ortamda ısı üretimi var mıdır?
Ortamın ısıl iletkenliği sabit mi yoksa değişken midir?
2-39 Isıl iletkenliği k, iç yarıçapı 𝑟𝑟1 ve dış yarıçapı 𝑟𝑟2 olan bir küresel tank göz önüne alınız.
Sürekli tek boyutlu ısı iletiminde, (a) 50 oC tanımlı sıcaklık, (b) merkeze doğru 30 W/m2’lik
tanımlı ısı akısı, (c) 𝑇𝑇∞ sıcaklığındaki ortama h ısı transfer katsayısı ile taşınım durumları için
deponun iç yüzeyinde sınır şartlarını tanımlayınız.
1
Küresel Kap
Şekil P2-39
2-42 İç yarıçapı 𝑟𝑟1, dış yarıçapı 𝑟𝑟2 , ısıl iletkenliği k ve yayıcılığı 𝜀𝜀 olanbir küresel kabuğu göz
önüne alınız. Kabuğun dış yüzeyi ile 𝑇𝑇ç𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 sıcaklığındaki çevre yüzeyler arasında ışınım
olmaktadır, fakat ısı transferinin doğrultusu bilinmemektedir. Kabuğun dış yüzeyindeki ışınım
sınır şartını ifade ediniz.
2-47 Bir borunun içerisinden ortalama 𝑇𝑇∞ =70 oC sıcaklıkta su akmaktadır. Borunun iç ve dış
yarıçapı sırasıyla 𝑟𝑟1=6 cm ve 𝑟𝑟2 =6.5 cm’dir. Borunun dış yüzeyi, boru uzunluğu başına 300W
enerji tüketen bir ince elektrikli ısıtıcı ile sarılmıştır. Isıtıcının açık yüzeyi çok iyi yalıtılmış
olup ısıtıcıda üretilen bütün ısı boruya aktarılmaktadır. Isı, borunun iç yüzeyinden suya h=85
W/m2.K ısı transfer katsayısı ile transfer edilmektedir. Isıl iletkenliğin sabit ve ısı transferinin
tek boyutlu olduğunu kabul ederek sürekli işlemde borudaki ısı iletimi probleminin
matematiksel formülasyonunu (diferansiyel denklem ve sınır şartları) belirleyiniz. Problemi
çözmeyiniz.
Yalıtım
Elektrikli ısıtıcı
Şekil P2-47
2-55 Kalınlığı L=0.4 m, ısı iletkenliği k= 2.3 W/m.oC ve yüzey alanı A=30 m2 olan geniş bir
düzlem duvarı göz önüne alınız. Duvarın sol kenarı 𝑇𝑇1 = 90 oC sabit sıcaklıkta tutulurken, sağ
kenarı 𝑇𝑇∞ =25 oC sıcaklıktaki çevre havasına h=24 W/m2.oC ısı transferi katsayısı ile ısı
kaybetmektedir. Duvarda ısı üretimi olmadığını ve ısıl iletkenliğin sabit olduğunu kabul ederek,
(a) duvar içinden sürekli tek boyutlu ısı iletimi için geçerli diferansiyel denklemi ve sınır
şartlarını tanımlayınız, (b) diferansiyel denklemi çözerek duvardaki sıcaklık değişimi için bir
bağıntı türetiniz ve (c) duvardan olan ısı transfer hızını hesaplayınız.
2-58 Isıl iletkenliği k=20W/m.oC, taban alanı A=160 cm2 ve kalınlığı L=0.6 cm olan 800W’lık
bir ütünün taban plakasını göz önüne alınız. Taban plakasının iç yüzeyinde, içerdeki direnç teli
yardımıyla üretilen üniform ısı akısı vardır. Sürekli işlem şartlarına ulaşıldığında plakanın dış
yüzeyinin sıcaklığı 85 oC olarak ölçülmüştür. Ütünün üst kısmından olan ısı kaybını ihmal
2
ederek; (a) plakadaki sürekli tek boyutlu ısı iletimi için geçerli diferansiyel denklemi ve sınır
şartlarını belirleyiniz, (b) diferansiyel denklemi çözerek tavan plakasında sıcaklık değişimi için
bir bağıntı elde ediniz ve (c) iç yüzey sıcaklığını hesaplayınız.
85 oC
Taban
plaka
Şekil P2-58
2-64 Kalınlığı L=0.3 m, ısıl iletkenliği k=2.5W/m.oC ve yüzey alanı 12 m2 olan geniş bir düzlem
duvarı göz önüne alınız. x=0’daki duvarın sol yüzeyinde 𝑞𝑞̇ 0 =700 W/m2’lik net ısı akısı vardır
ve bu yüzeyde sıcaklık 𝑇𝑇1 =80oC olarak ölçülmüştür. Duvarda ısıl iletkenliğin sabit olduğunu
ve ısı üretimi olmadığını kabul ederek, (a) duvarda sürekli tek boyutlu ısı iletimi için
diferansiyel denklemi ve sınır şartlarını ifade ediniz, (b) diferansiyel denklemi çözerek
duvardaki sıcaklık değişimi için bir bağıntı elde ediniz ve (c) x=L’de duvarın sağ yüzeyindeki
sıcaklığı hesaplayınız.
2-75 Isıl iletkenliği k=20 W/m.oC, çapı D=4 mm ve uzunluğu L=0.9 m olan 2 kW’lık bir
elektrikli direnç teli su kaynatmakta kullanılmaktadır. Eğer direnç telinin dış yüzey sıcaklığı
𝑇𝑇𝑠𝑠 =110oC ise telin merkez sıcaklığını hesaplayınız.
110 oC
Direnç
ısıtıcı
Şekil P2-75
2-82 İçinde uniform olarak 5x105 W/m2 hızla ısı üretilen 3 cm kalınlıklı geniş paslanmaz çelik
bir plakayı (k=15.1 W/m.oC) göz önüne alınız. Plakanın her iki yüzeyi 60 W/m2.oC ısı transfer
katsayısıyla 30oC’deki bir ortama açıktır. En yüksek ve en düşük sıcaklığın plakanın neresinde
meydana geleceğini açıklayınız ve değerlerini hesaplayınız.
3
BÖLÜM 2 ÖRNEK SORULARIN ÇÖZÜMLERİ
Genel ısı iletim denklemi, kartezyen, silindirik ve küresel koordinatlar için sırasıyla Denklem
2-38, 2-43ve 2-44’te aşağıdaki gibi verilmiştir.
𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
�𝑘𝑘 � +
�𝑘𝑘 � + �𝑘𝑘 � + 𝑒𝑒̇ü𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝜌𝜌𝜌𝜌
𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
[2.38]
1 𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
1
𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
1
𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
2
�𝑘𝑘𝑟𝑟
�
+
�𝑘𝑘
�
+
�𝑘𝑘
sin𝜃𝜃
�
+
𝑒𝑒̇
=
𝜌𝜌𝜌𝜌
ü
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑟𝑟 2 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝑟𝑟 2 sin2 𝜃𝜃 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝑟𝑟 2 sin𝜃𝜃 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
[2.44]
1 𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
1 𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
�𝑘𝑘𝑘𝑘 � + 2
�𝑘𝑘 � + �𝑘𝑘 � + 𝑒𝑒̇ü𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝜌𝜌𝜌𝜌
𝑟𝑟 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝑟𝑟 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
[2.43]
2-23 (3. ve 4. Basımda soru numaraları aynı)
𝜕𝜕 𝟐𝟐 𝑇𝑇 1 𝜕𝜕𝜕𝜕
=
𝜕𝜕𝑥𝑥 2 𝛼𝛼 𝜕𝜕𝜕𝜕
Basitleştirilmiş formu yukarıdaki gibi verilen ısı iletim denklemine sahip bir ortamda;
a) Isı transferi zamana bağımlıdır. (Eşitliğin sağ tarafında görüldüğü üzere sıcaklık zamana
bağlı değişim göstermektedir.)
b) Isı transferi sadece x- yönüde olup bir boyutludur.
c) Ortamda ısı üretimi yoktur. (Denklemde 𝑒𝑒̇ü𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 terimi yoktur.)
d) Isıl iletim katsayısı, k sabittir. (Isı iletim denkleminin genel formu göz önüne
alındığında; ısı iletim katsayısı, k’nın parentez dışına çıkarılıp ısıl yayınım katsayısı 𝛼𝛼’yı
elde edecek şekilde düzenlendiği görülmektedir. Bu da ancak k’nın sabit olmasıyla
mümkündür.)
Kartezyen koordinatlarda yazılmış, içinde ısı üretimi olmayan, sabit ısıl iletim katsayısına
sahip ortamda gerçekleşen, zamana bağımlı bir boyutlu ısı iletim denklemidir.
2-24 (3. Basımda) veya 2-26 (4. Basımda)
1 𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
�𝑟𝑟𝑟𝑟 � + 𝑒𝑒̇ü𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 0
𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
Basitleştirilmiş formu yukarıdaki gibi verilen ısı iletim denklemine sahip bir ortamda;
a) Isı transferi zamandan bağımsızdır. Sürekli durumda gerçekleşmektedir. (Eşitliğin sağ
tarafı sıfıra eşit olup zamana bağlı bir terim yoktur.)
b) Isı transferi sadece r- doğrultusunda olup bir boyutludur.
c) Ortamda ısı üretimi mevcuttur. (Denklemde 𝑒𝑒̇ü𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 terimi vardır.)
4
d) Ortamın ısıl iletim katsayısı, k değişkendir. (Verilen denklemde parentez dışına
çıkarılamadığı görülmektedir. Bu da sabit olmadığı anlamına gelmektedir.)
Silindirik koordinatlarda yazılmış, içinde ısı üretimi olan, değişken ısıl iletim katsayısına
sahip ortamda gerçekleşen, sürekli bir boyutlu ısı iletim denklemidir.
2-25 (3. Basımda) veya 2-27 (4. Basımda)
1 𝜕𝜕 2 𝜕𝜕𝜕𝜕
1 𝜕𝜕𝜕𝜕
�𝑟𝑟
�=
2
𝑟𝑟 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝛼𝛼 𝜕𝜕𝜕𝜕
Basitleştirilmiş formu yukarıdaki gibi verilen ısı iletim denklemine sahip bir ortamda;
a) Isı transferi zamana bağımlıdır. (Denklemin sağ tarafında görüldüğü üzere sıcaklık
zamana bağlı değişim göstermektedir.)
b) Isı transferi sadece r- doğrultusunda olup bir boyutludur.
c) Ortamda ısı üretimi yoktur. (Denklemde 𝑒𝑒̇ü𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 terimi yoktur.)
d) Isıl iletim katsayısı, k sabittir. (Isı iletim denkleminin genel formu göz önüne
alındığında; ısı iletim katsayısı, k’nın parentez dışına çıkarılıp ısıl yayınım katsayısı 𝛼𝛼’yı
elde edecek şekilde düzenlendiği görülmektedir. Bu da ancak k’nın sabit olmasıyla
mümkündür.)
Küresel koordinatlarda yazılmış, içinde ısı üretimi olmayan, sabit ısıl iletim katsayısına
sahip ortamda gerçekleşen, zamana bağımlı bir boyutlu ısı iletim denklemidir.
2-26 (3. Basımda) veya 2-28 (4. Basımda)
𝑟𝑟
𝑑𝑑2 𝑇𝑇 𝑑𝑑𝑑𝑑
+
=0
𝑑𝑑𝑟𝑟 2 𝑑𝑑𝑑𝑑
Basitleştirilmiş formu yukarıdaki gibi verilen ısı iletim denklemine sahip bir ortamda;
a) Isı transferi zamandan bağımsızdır. Sürekli durumda gerçekleşmektedir. (Eşitliğin sağ
tarafı sıfıra eşit olup zamana bağlı bir terim yoktur.)
b) Isı transferi sadece r- doğrultusunda olup bir boyutludur.
c) Ortamda ısı üretimi yoktur. (Denklemde 𝑒𝑒̇ü𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 terimi yoktur.)
d) Isıl iletim katsayısı, k sabittir.
Silindirik koordinatlarda yazılmış, içinde ısı üretimi olmayan, sabit ısıl iletim katsayısına
sahip ortamda gerçekleşen, sürekli bir boyutlu ısı iletim denklemidir.
5
2-39 (3. Basımda) veya 2-40 (4. Basımda)
İç çapı r1, dış çapı r2 olan ve ısı iletim katsayısı k olarak verilen bir
küresel kap bulunmaktadır. Sürekli bir boyutlu ısı iletimi için, kabın
iç yüzeyine ait soruda istenen sınır şartları aşağıdaki gibi ifade
edilebilir;
a) 50 oC’de belirli sabit yüzey sıcaklığı: 𝑇𝑇(𝑟𝑟1 ) = 50 oC
b) Kabın merkezine doğru belirli sabit yüzey akısı:
r yönünde merkezden dışarı doğru pozitif yön olarak kabul edilirse, uygulanan ısı akısının
değeri -30 W/m2 olur. Kabın iç yüzeyinde enerji dengesini yazarsak;
𝐸𝐸̇𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝐸𝐸̇ç𝚤𝚤𝚤𝚤𝚤𝚤𝚤𝚤
Burada, yüzeye giren enerji -30 W/m2 değerindeki ısı akısı olup, yüzeyden çıkan enerji ise
iletimle gerçekleşen ısı transferidir. İletimle olan ısı transferinin sabit ısıl iletim katsayısı için
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑞𝑞̇ 𝑜𝑜 = −𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑 olduğu hatırlanırsa istenen sınır şartı;
30 = 𝑘𝑘
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑟𝑟1 )
olarak elde edilir.
𝑑𝑑𝑑𝑑
c) Kabın dış yüzeyi için enerji dengesini yazarsak;
𝐸𝐸̇𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝐸𝐸̇ç𝚤𝚤𝚤𝚤𝚤𝚤𝚤𝚤
Burada, dış yüzeye giren enerji kabın iç yüzeyinden iletimle gelen enerji olup değeri:
𝑞𝑞̇ 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = −𝑘𝑘
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑟𝑟2 )
𝑑𝑑𝑑𝑑
Dış yüzeyden çıkan enerji ise taşınımla olan ısı transferidir. Newton’un soğuma kanunundan
𝑞𝑞̇ 𝑡𝑡𝑡𝑡ş𝚤𝚤𝚤𝚤𝚤𝚤𝚤𝚤 = ℎ(𝑇𝑇𝑠𝑠 − 𝑇𝑇∞ )
Burada 𝑇𝑇𝑠𝑠 ifadesi 𝑇𝑇(𝑟𝑟2 )‘ye eşittir. Dolayısıyla enerji dengesinden;
elde edilir.
−𝑘𝑘
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑟𝑟2 )
= ℎ[𝑇𝑇(𝑟𝑟2 ) − 𝑇𝑇∞ )]
𝑑𝑑𝑑𝑑
6
2-42 (3. Basımda) veya 2-43 (4. Basımda)
İç çapı r1, dış çapı r2 olan ve ısıl iletim katsayısı k
olarak verilen bir küresel kabuk bulunmaktadır.
Tçevre
Kabuğun dış yüzeyi, çevre sıcaklığı Tçevre olan
ortama ışınımla ısı yaymaktadır. Taşınımla olan
ısı transferi ihmal edilebilir. Küresel kabukta,
sadece radyal yönde ısı transferi söz konusudur.
Kabuğun dış yüzeyi için enerji dengesi göz önüne
alınırsa, dış yüzeye iletimle gelen ısı transferi yüzeyden ışınımla olan ısı transferine eşittir.
Matematiksel olarak ifade edilirse;
bulunur.
−𝑘𝑘
𝑞𝑞̇ 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑞𝑞̇ 𝚤𝚤ş𝚤𝚤𝚤𝚤𝚤𝚤𝚤𝚤
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑟𝑟2 )
4
= 𝜀𝜀𝜀𝜀�𝑇𝑇(𝑟𝑟2 )4 − 𝑇𝑇ç𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
�
𝑑𝑑𝑑𝑑
2-47 (3. Basımda) veya 2-50 (4. Basımda)
Dış yüzeyi ince elektrik ısıtıcı ile sarılmış olan bir
borunun içerisinden su akmaktadır. Borunun birim
uzunluğu başına ısıtıcının gücü 300 W’tır. Isıtıcının
dış yüzeyi yalıtılmış olduğundan üretilen ısının
tamamı boruya transfer edilmektedir. Borunun iç
yüzeyinden boru içerisinde akan suya ısı transferi
taşınımla
gerçekleşmektedir.
Sabit
ısıl
iletim
katsayısı ve bir boyutlu sürekli ısı transferi kabulü
yaparak
boru
için
ısı
iletim
denkleminin
matematiksel ifadesinin elde edilmesi istenmektedir.
Boru içerisinde ısı üretimi yoktur. Silindirik koordinatlarda, sürekli bir boyutlu ısı iletim
denklemi diferansiyel şekliyle aşağıdaki gibi yazılabilir;
Sınır şartları;
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
�𝑟𝑟 � = 0
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑
7
Borunun dış yüzeyi, r=r2, düzgün sabit ısı akısına maruz bırakılmaktadır. Bu ısı iletimle
borunun iç yüzeyine aktarılmaktadır. Dış yüzey için enerji dengesinden;
𝑞𝑞̇ 𝑠𝑠 = −𝑘𝑘
𝑞𝑞̇ 𝑠𝑠 =
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑟𝑟2 )
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑄𝑄̇𝑠𝑠
𝑄𝑄̇𝑠𝑠
300
=
=
= 734.6 𝑊𝑊/𝑚𝑚2
𝐴𝐴𝑠𝑠 2𝜋𝜋𝑟𝑟2 𝐿𝐿 2𝜋𝜋(0.065)(1)
−734.6 = −𝑘𝑘
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑟𝑟2 )
𝑑𝑑𝑑𝑑
(𝑞𝑞̇ 𝑠𝑠 , borunun merkezine doğru olduğundan eksi işaretli olarak alındı.)
Borunun iç yüzeyinde, r=r1, enerji dengesi yazılırsa;
𝑘𝑘
elde edilir.
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑟𝑟1 )
= ℎ[𝑇𝑇(𝑟𝑟1 ) − 𝑇𝑇∞ ] = 85[𝑇𝑇(𝑟𝑟1 ) − 70]
𝑑𝑑𝑑𝑑
2-55 (3. Basımda) veya 2-58 (4. Basımda)
Geniş bir duvarın sol yüzeyi T1=90 oC’de sabit
sıcaklıkta tutulup, sağ yüzeyinden sıcaklığı 𝑇𝑇∞ =
25oC ve ısı taşınım katsayısı 24 W/m2 oC olan ortam
havasına taşınımla ısı transferi gerçekleşmektedir.
Duvar için sürekli tek boyutlu ısı iletim denkleminin
çıkarımı ve sınır şartlarının tanımı istenmektedir. Elde
edilen diferensiyel denklemin sınır şartları dikkate
alınarak çözümü ve böylelikle duvar içerisinde
0
L
sıcaklık dağılımı için bir bağıntının bulunması
istenmektedir. Ayrıca, duvardan olan ısı transferi
miktarı sorulmaktadır.
Öncelikle, problem sürekli tek boyutlu ısı iletim problemidir. Duvarın ısıl iletim katsayısı sabit
olup değeri k=2.3 W/m oC olarak verilmiştir. Duvar içerisinde ısı üretimi söz konusu değildir.
Duvarın yüzey alanı ve kalınlığı sırasıyla A= 30 m2 ve L=0.4 m olarak verilmiştir.
a)
İlk olarak, duvar yüzeyine dik yön, x doğrultusu olarak alınmış olup duvarın sol yüzeyi
x=0 olarak kabul edilmiştir. Sürekli tek boyutlu içinde ısı üretimi olmayan sabit ısıl iletim
katsayılı duvar için ısı iletim denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir;
8
𝑑𝑑𝟐𝟐 𝑇𝑇
=0
𝑑𝑑𝑥𝑥 2
Sınır şartları;
𝑥𝑥 = 0 ′ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑦𝑦ü𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ğ𝚤𝚤 𝑇𝑇 = 90 ℃,
→
𝑇𝑇(0) = 𝑇𝑇1 = 90 ℃
𝑥𝑥 = 𝐿𝐿′𝑑𝑑𝑑𝑑 yüzey için enerji dengesinden, yüzeye iletimle gelen ısı tranferi yüzeyden ortama
taşınımla olan ısı transferine eşittir. Matematiksel olarak;
şeklinde yazılabilir.
b)
−𝑘𝑘
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝐿𝐿)
= ℎ[𝑇𝑇(𝐿𝐿) − 𝑇𝑇∞ ]
𝑑𝑑𝑑𝑑
Isı iletim diferansiyel denklemini iki kez integre edersek;
𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝐶𝐶1
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑇𝑇(𝑥𝑥) = 𝐶𝐶1 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶2
𝐶𝐶1 ve 𝐶𝐶2 rastgele integral sabitleri olup, değerleri sınır şartları uygulanarak elde edilir. Sınır
şartlarını uygularsak;
𝑥𝑥 = 0:
𝑥𝑥 = 𝐿𝐿:
𝑇𝑇(0) = 𝐶𝐶1 . (0) + 𝐶𝐶2 → 𝐶𝐶2 = 𝑇𝑇1
− 𝑘𝑘𝐶𝐶1 = ℎ[(𝐶𝐶1 𝐿𝐿 + 𝐶𝐶2 ) − 𝑇𝑇∞ ] → 𝐶𝐶1 = −
ℎ(𝐶𝐶2 − 𝑇𝑇∞ )
ℎ(𝑇𝑇1 − 𝑇𝑇∞ )
→ 𝐶𝐶1 = −
𝑘𝑘 + ℎ𝐿𝐿
𝑘𝑘 + ℎ𝐿𝐿
Bulunan 𝐶𝐶1 ve 𝐶𝐶2 değerlerini genel sıcaklık denkleminden yerine yazılırsa, duvar içerisinde
sıcaklık değişimini veren bir denklem elde edilmiş olur;
𝑇𝑇(𝑥𝑥) = −
ℎ(𝑇𝑇1 − 𝑇𝑇∞ )
𝑥𝑥 + 𝑇𝑇1
𝑘𝑘 + ℎ𝐿𝐿
Bu denklemde, verilen değerler yerine yazılırsa;
𝑇𝑇(𝑥𝑥) = −
(24)(90 − 25)
𝑥𝑥 + 90
2.3 + (24)(0.4)
𝑇𝑇(𝑥𝑥) = 90 − 131.1𝑥𝑥
Duvar içeridindeki sıcaklık dağılımı denklemi bulunmuş olur.
c)
Duvardan olan ısı transfer hızı;
𝑑𝑑𝑑𝑑
ℎ(𝑇𝑇1 − 𝑇𝑇∞ )
= −𝑘𝑘𝑘𝑘𝐶𝐶1 = 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑘𝑘 + ℎ𝐿𝐿
(24)(90 − 25)
= (2.3)(20)
2.3 + (24)(0.4)
𝑄𝑄̇𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝑘𝑘𝑘𝑘
= 9045 𝑊𝑊 olarak bulunur.
9
2-58 (3. Basımda) veya 2-61 (4. Basımda)
800 W’lık bir ütünün taban plakasının üniform sabit ısı akısına
maruz kalmaktadır. Diğer yüzeyi 85oC sabit sıcaklıktadır.
Plaka için sürekli tek boyutlu ısı iletimi diferansiyel denklemin
𝑄𝑄̇0 = 800𝑊𝑊
Taban
plaka
85 C
o
ve sınır şartların yazılması istenmektedir. Bulunan diferansiyel
denklemin çözümü yapılarak plaka içerisindeki sıcaklık
değişimi için bir bağıntının çıkarılması istenmektedir. Ayrıca,
plakanın iç yüzey sıcaklığının değeri sorulmaktadır.
Zamana bağlı değişim olmadığından problem süreklidir. Ütünün taban plakasının yüzey alanı
kalınlığına göre oldukça büyük olduğundan ısı transferi tek boyutludur ve plakanın her iki
yüzeyindeki ısıl şartlar üniformdur. Ütünün üst kısmından olan ısı kayıpları ihmal edilmiştir.
Plakanın ısıl iletkenliği sabit olup 20 W/m oC olarak verilmiştir. Plaka içerisinde ısı üretimi
yoktur. Plakanın taban alanı ve kalınlığı sırasıyla soruda 160 cm2 ve 0.6 cm olarak verilmiştir.
Plakanın elektrikli ısıtıcıya bakan iç yüzeyi çok iyi yalıtıldığından, resistansta üretilen ısının
tamamı plakaya transfer edilir. Plakanın iç yüzeyindeki ısı akısının değeri;
a)
𝑞𝑞̇ 𝑜𝑜 =
𝑄𝑄̇0
𝐴𝐴𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
=
800
= 50000 𝑊𝑊 ⁄𝑚𝑚2 bulunur.
160𝑥𝑥10−4
Taban plaka yüzeyine dik yön, x doğrultusu olarak alınmış olup duvarın sol yüzeyi x=0
olarak kabul edilmiştir. Sürekli tek boyutlu içinde ısı üretimi olmayan sabit ısıl iletim katsayılı
plaka için ısı iletim denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir;
Sınır şartları;
𝑑𝑑𝟐𝟐 𝑇𝑇
=0
𝑑𝑑𝑥𝑥 2
𝑥𝑥 = 0’ da yüzey enerji dengesi göz önüne alındığında, elektrikli resistansta üretilen ısı akısının
tamamı (mükemmel yalıtımdan dolayı) plakanın iç yüzeyine aktarılır ve buradan iletimle dış
yüzeye doğru transfer edilir. Matematiksel olarak;
𝐸𝐸̇𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝐸𝐸̇ç𝚤𝚤𝚤𝚤𝚤𝚤𝚤𝚤
𝑞𝑞̇ 0 = −𝑘𝑘
10
𝑑𝑑𝑑𝑑(0)
= 50000 𝑊𝑊/𝑚𝑚2
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑥𝑥 = 𝐿𝐿′de sabit yüzey sıcaklığı sınır şartı verilmiştir. Dolayısıyla,
𝑇𝑇(𝐿𝐿) = 𝑇𝑇2 = 85 ℃
şeklinde ifade edilebilir.
b)
Isı iletim diferansiyel denklemini iki kez integre edersek;
𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝐶𝐶1
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑇𝑇(𝑥𝑥) = 𝐶𝐶1 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶2
𝐶𝐶1 ve 𝐶𝐶2 rastgele integral sabitleri olup, değerleri sınır şartları uygulanarak elde edilir. Sınır
şartlarını uygularsak;
𝑥𝑥 = 0:
𝑞𝑞̇ 0 = −𝑘𝑘
𝑑𝑑𝑑𝑑(0)
𝑞𝑞̇ 0
= 𝑘𝑘𝑘𝑘1 → 𝐶𝐶1 = −
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑘𝑘
𝑇𝑇(𝐿𝐿) = 𝐶𝐶1 𝐿𝐿 + 𝐶𝐶2 = 𝑇𝑇2 → 𝐶𝐶2 = 𝑇𝑇2 − 𝐶𝐶1 𝐿𝐿 → 𝐶𝐶2 = 𝑇𝑇2 +
𝑥𝑥 = 𝐿𝐿:
𝑞𝑞̇ 0 𝐿𝐿
𝑘𝑘
Bulunan 𝐶𝐶1 ve 𝐶𝐶2 değerlerini genel sıcaklık denkleminden yerine yazılırsa, plaka içerisinde
sıcaklık değişimini veren bir denklem elde edilmiş olur;
𝑞𝑞̇ 0
𝑞𝑞̇ 0 𝐿𝐿 𝑞𝑞̇ 0 (𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)
𝑥𝑥 + 𝑇𝑇2 +
=
+ 𝑇𝑇2
𝑘𝑘
𝑘𝑘
𝑘𝑘
(50000)(0.006 − 𝑥𝑥)
+ 85
=
20
𝑇𝑇(𝑥𝑥) = −
𝑇𝑇(𝑥𝑥) = 2500(0.006 − 𝑥𝑥) + 85
c)
Plakanın iç yüzey sıcaklığı, yani x=0’daki yüzey sıcaklığı, plaka içerisindeki sıcaklık
değişimini veren denklemden:
𝑇𝑇(0) = 2500(0.006 − 0) + 85 = 100℃ olarak bulunur.
2-64 (3. Basımda)
Geniş bir düzlem duvarın sol yüzeyinden, x=0, 700 W/m2’lik
sabit ısı akısı uygulanmakta ve bu yüzeyin sıcaklığı 80 0C
𝑞𝑞̇ 0 = 700𝑊𝑊/𝑚𝑚2
𝑇𝑇1 = 80℃
olarak verilmektedir. Duvar içerisinde ısı üretimi yoktur.
Duvarın ısıl iletkenliği sabit olup 2.5 W/m olarak verilmiştir.
Duvarda sürekli tek boyutlu ısı iletimi için diferansiyel
denklemin ve sınır şartlarının yazılması istenmektedir. Daha
sonra bu diferansiyel denklemin çözülerek duvardaki
sıcaklık dağılımı için bir bağıntı elde edilmesi istenmektedir.
Son olarak, duvarın sağ yüzeyindeki, x=L’de, sıcaklığın değeri sorulmaktadır.
11
İlk olarak, duvar yüzeyine dik yön, x doğrultusu olarak alınmış olup duvarın sol yüzeyi
a)
x=0 olarak kabul edilmiştir. Sürekli tek boyutlu içinde ısı üretimi olmayan sabit ısıl iletim
katsayılı duvar için ısı iletim denklemi matematiksel olarak aşağıdaki gibi yazılabilir;
𝑑𝑑𝟐𝟐 𝑇𝑇
=0
𝑑𝑑𝑥𝑥 2
Sınır şartları:
x=0’da yüzey sıcaklığı ve sabit ısı akısı değeri bilinmektedir.
x=0’daki yüzey enerji dengesinden;
𝑞𝑞̇ 0 = −𝑘𝑘
yazılır.
b)
𝑇𝑇(0) = 𝑇𝑇1 = 80℃
𝑑𝑑𝑑𝑑(0)
= 700 𝑊𝑊/𝑚𝑚2
𝑑𝑑𝑑𝑑
Isı iletim diferansiyel denklemini iki kez integre edersek;
𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝐶𝐶1
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑇𝑇(𝑥𝑥) = 𝐶𝐶1 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶2
𝐶𝐶1 ve 𝐶𝐶2 rastgele integral sabitleri olup, değerleri sınır şartları uygulanarak elde edilir. Sınır
şartlarını uygularsak;
𝑥𝑥 = 0′ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝚤𝚤𝚤𝚤𝚤𝚤 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎:
𝑥𝑥 = 0′ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑦𝑦ü𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ğ𝚤𝚤:
− 𝑘𝑘
𝑑𝑑𝑑𝑑(0)
𝑞𝑞̇ 0
= −𝑘𝑘𝐶𝐶1 = 𝑞𝑞̇ 0 → 𝐶𝐶1 = −
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑘𝑘
𝑇𝑇(0) = 𝐶𝐶1 . (0) + 𝐶𝐶2 = 𝑇𝑇1 → 𝐶𝐶2 = 𝑇𝑇1
Bulunan 𝐶𝐶1 ve 𝐶𝐶2 değerlerini genel sıcaklık denkleminden yerine yazılırsa, duvar içerisindeki
sıcaklık değişimini veren bir denklem elde edilmiş olur;
𝑇𝑇(𝑥𝑥) = −
c)
𝑞𝑞̇ 0
700
𝑥𝑥 + 𝑇𝑇1 = −
𝑥𝑥 + 80
𝑘𝑘
2.5
𝑇𝑇(𝑥𝑥) = −280𝑥𝑥 + 80
x=L’deki, duvarın sağ yüzeyindeki, sıcaklık değeri;
𝑇𝑇(𝐿𝐿) = −280(0.3) + 80 = −4℃ bulunur.
2-75 (3. Basımda) veya 2-80 (4. Basımda)
Isıl iletkenliği k=20 W/m, çapı D=4 mm ve uzunluğu L=0.9 m olan
2 kW’lık bir elektrikli direnç teli su kaynatmak için kullanılmaktadır.
Telin dış yüzeyi Ts=110 0C sabit sıcaklıkta tutulmaktadır. Telin
merkezindeki sıcaklık değerinin bulunması istenmektedir. Zamanla
değişim söz konusu olmadığından problem sürekli rejim şartlarındadır.
Silindirin merkez ekseni etrafında ısıl simetri olduğu ve eksenel
12
doğrultuda değişim olmadığı için ısı transferi tek boyutludur. Isıl iletkenlik sabittir ve direçli
teldeki ısı üretimi üniformdur.
Bir silindirin merkez ekseninin sıcaklığı Denklem 2.71’den bulunur;
𝑒𝑒̇ü𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑟𝑟02
𝑇𝑇𝑜𝑜 = 𝑇𝑇𝑠𝑠 +
4𝑘𝑘
[2.71]
Burada, 𝑇𝑇𝑜𝑜 silindir eksen sıcaklığı, 𝑇𝑇𝑠𝑠 silindir yüzey sıcaklığı, 𝑒𝑒̇ü𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 birim hacim başına
elektrikli telin ürettiği ısıdır ve değeri;
𝑒𝑒̇ü𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑚𝑚 =
𝐸𝐸̇ü𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
𝒱𝒱𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝐸𝐸̇ü𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 değeri soruda 2 kW olarak verilmişti. 𝒱𝒱𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 , silindirin hacmi olup 𝜋𝜋𝑟𝑟02 𝐿𝐿 ifadesine eşittir.
Verilen değerler yukarıdaki denklemde yerine yazılırsa;
𝑒𝑒̇ü𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 =
2000
= 1.768x108 𝑊𝑊 ⁄𝑚𝑚3 bulunur.
𝜋𝜋(0.002)2 (0.9)
Bu değer Denklem 2.71’de yerine yazılıp çözülürse silindir eksen sıcaklığı 𝑇𝑇𝑜𝑜 ;
𝑇𝑇𝑜𝑜 = 𝑇𝑇𝑠𝑠 +
𝑒𝑒̇ü𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑟𝑟02
(1.768x108 )(0.002)2
= 110 +
= 118.8 ℃ bulunur.
4𝑘𝑘
4(20)
2-82 (3. Basımda) veya 2-87 (4. Basımda)
İçerisinde üniform olarak 5x105 W/m3 hızla ısı
üretilen 3 cm kalınlıkta ısıl iletkenliği sabit
15.1W/m oC olan geniş paslanmaz çelik bir
plaka mevcuttur. Plaka her iki yüzeyinden ısı
transfer katsayısı 60 W/m2 oC olan 30 oC
sıcaklığındaki ortamla taşınımla ısı transferi
gerçekleştirmektedir. En yüksek ve en düşük
sıcaklığın
plakanın
neresinde
meydana
geleceğinin açıklanması istenmekte ve bu değerlerin hesaplanması sorulmaktadır.
Zamanla değişim olmadığı için ısı transferi süreklidir. Plaka yüzey alanı kalınlığına göre çok
geniş ve plakanın merkez düzlemi etrafında ısıl simetri olduğundan ısı transferi tek boyutludur.
Paslanmaz çelik plakanın ısıl iletkenliği sabit olup, plaka içerisindeki ısı üretimi üniformdur.
13
En düşük sıcaklık değeri plakanın dış yüzeyinde olurken, en yüksek sıcaklık değeri plakanın
orta düzleminde yani simetri düzleminde elde edilir. Minumum ve maksimum sıcaklık değerleri
sırasıyla Denklem 2.67 ve 2.71 kullanılarak hesaplanır.
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑ğ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖: 𝑇𝑇𝑠𝑠 = 𝑇𝑇∞ +
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑ğ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒: 𝑇𝑇0 = 𝑇𝑇𝑠𝑠 +
𝑒𝑒̇ü𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝐿𝐿
(5x105 )(0.015)
= 30 +
= 155℃
ℎ
60
𝑒𝑒̇ü𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝐿𝐿2
(5x105 )(0.015)2
= 155 +
= 158.7℃
2𝑘𝑘
2(15.1)
NOT: Yukarıda çözümleri yapılan problemler 3. Basımdaki verilere göre çözülmüştür. Bazı
soruların 4. Basımdaki muadillerinde verilen değerler farklı olabilir. Ayrıca, Problem 2-82 (3.
Basımda) veya 2-87 (4. Basımda)’de üniform ısı üretim değeri (𝒆𝒆̇ ü𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 ) yanlış verilmiştir.
𝒆𝒆̇ ü𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 =5x105 W/m3 olmalıdır. Çözüm bu değer alınarak yapılmıştır.
14
[2.67]
[2.71]