3. Hipergeometrik Dağılım

3. Hipergeometrik Dağılım
Binom dağılım ekseriyette yerine koymak suretiyle yapılan
örneklemelere tatbik edilmektedir. Örnek, kütleden yerine
koymadan çekildiği takdirde artık bağımsız olay söz konusu
olmadığından binom dağılım uygulanamaz. Bu gibi durumlarda
yani deneylerin bağımsız olmadığı durumlarda Hipergeometrik
dağılım uygulanır.
a: uygun, b: uygun olmayan a+b eleman içeren bir kütleden
iadesiz olarak n elaman seçildiğinde x tanesinin uygun, n-x
tanesinin uygun olmayan elemanlardan oluşma olasılığı
hipergeometrik
olasılık
fonksiyonu
ile
ifade
edilebilir.
Hipergeometrik olasılık fonksiyonu şöyle yazılır.
Dağılımın a, b ve n
 a  b 
 

olmak üzer üç parametx  n  x 

f ( x; n; a; b) 
x  0,1,2,3,....., n
resi vardır.
a

b




 n 
Hipergeometrik dağılımın beklenen değeri
•
Hipergeometrik dağılım fonksiyonu
 a  b

 

 x  n  x 
f ( x) 
a  b


n 
x  0,1,2,..., n
 a  b

 

b

a (a  1)!
1
 x  n  x 


E( X )   x

x



n

x
a

b
a

b
x
(
x

1
)!
(
a

x
)!










n 
n 
 a  1 b

a
a  a  b  1






E( X ) 






 a  b   x  1 n  x   a  b   n  1 




n 
n 
•
Beklenen değer:
a
E( X ) 
.n
ab
Varyans:
a
E( X ) 
ab
n
 a  1  a 
.n  b 
b. .
n n 

Var ( X ) 
n 1
3. Hipergeometrik Dağılım
Örnek: Bir dernekte 12 si erkek 8 i bayan toplam 20 üye vardır. 5
Kişilik bir komisyon kura ile seçiliyor.
a) Komisyonda 3 erkek bulunma olasılığı nedir?
12   8 
  
3
2
6160
P ( X  3)      
 0, 397
15504
 20 


5 
Bu olasılığı binom dağılımı ile bulursak
 5 3
P( X  3)   .0,6 .0,42  10 x0,216 x0,16  0,3456 olur .
 3
b)
Komisyonda en az iki erkek bulunma olasılığı nedir?
 12  8  12  8  
       
0 5
1 4
840 
 56
P ( X  2)  1  P ( X  0)  P ( X  1)  1            1  

  1  0,05778  0,9422
  20 
 20  
15504 15504 
  
  
5
5  
  
4. Poisson Dağılımı
p  0 , n   ve n.p    sabit olduğu zaman binom dağılımı,
Poisson dağılımına yaklaşır. Bir olayın meydana gelme olasılığı
(p) sıfıra, dolayısıyla q=1-p ; 1’e yaklaşırsa (terside mümkün ) ve n
çok büyük olursa böyle olaylara nadir meydana gelen olaylar
denir. Poisson dağılımı nadir meydana gelen olayların dağılımı
olarak ta bilinir. Pratik olarak eğer bir olaydaki deney sayısı en az
50 (n≥50) ve np≤5 oluyorsa böyle olaylar nadir olaylar olarak
düşünülebilir.
Poisson olasılık fonksiyonu şöyle yazılır:
e  x
f ( x) 
x!
x  0,1,2,...., n
4. Poisson Dağılımı
λ=np olup dağılımın ortalamasıdır (beklenen değeri
E(X)=λ) ve dağılımın tek parametresidir. Poisson
dağılımının varyansı da λ ya eşittir. Var(x)= λ
Poisson dağılımı da Binom dağılımı gibi bağımsız
olaylarda kullanılır. Ancak kütle sınırsız olduğu
zaman olayların bağımsızlığına bakmaksızın bu
dağılımı kullanmak mümkündür.
Poisson
dağılımı
mamul
muayenesinde,
sigortacılıkta, matbaacılıkta,iş kazalarında, telefon
santrallerinde,
az
rastlanır
hastalıkların
olasılıklarının tahmininde kullanılır.
Poisson dağılımın beklenen değeri
• Poisson dağılımının beklenen değeri:
e   x
f ( x) 
x!
x  0,1,2,3....
e  x
e    x 1
E( X )   x
 x
x!
x( x  1)!
e  x 1
E( X )   
( x  1)!
E ( X )   olur.
e  y
( x  1)  y dersek E ( X )   
y!
Poisson dağılımının varyansı
Bunun için önce E(X2) hesaplanır.
 x
  x 1
  x 1
e

e

e

E( X 2 )   x2
  x
   ( x  1  1)
x!
( x  1)!
( x  1)!

x2
  x 1
e



e

E ( X 2 )    [( x  1)

]
( x  1)( x  2)! ( x  1)!
 x 2
e

2
E ( X )    [
 1]  E (X 2 )  2  
( x  2)!
• Varyans
Var( X )  E ( X 2 )  [ E ( X ) 2 ]  2    2
Var ( X )   olur.
4. Poisson Dağılımı
Örnek: Bir fabrikada iş kazalarının dağılımının Poisson’a uygunluğu tespit
edilmiştir. Yıllık kişi başına düşen ortalama iş kazası 0,5 alarak
bulunmuştur. Tesadüfen seçilen bir kişinin;
a)
Hiç Kaza geçirmemesi,
b)
Bir kaza geçirmesi,
c)
En az bir kaza geçirmesi olasılıklarını bulunuz?
Çözüm:
  0,5
e    x
e 0,5  0,50
a ) f ( x;  )  P( X  0) 

 e 0,5  0,607
x!
0!
e 0,5  0,51
b) f(1;0,5)  P( X  1) 
 0,5.e 0,5  0,5.0,607  0,3035
1!
c) P(X  1)  1 - P(X  0)  1 - 0,607  0,393
Örnek: Bir fabrikada üretilen malların 0,03’ü kusurludur.Muayene için 25 birimlik bir
örnek çekildiğinde;
a)
4 kusurlu mal çıkması
b)
3 veya daha fazla kusurlu mal çıkması,
c)
En fazla 2 kusurlu mal çıkması olasılığı ne olur?
d)
Bu örnek için poisson olasılıklarını bulup grafikte gösteriniz.
Çözüm:
a )   n. p
  25.0,03  0,75
x 4
e    x
e 0, 75  0,754 0,316.0,472
f(x;  ) 
 f(4 : 0,75)  P( X  4)

 0,006
x!
4!
4.3.2.1
b)   0,75
x3
e 0, 75  0,750 e 0, 75  0,751 e 0, 75  0,752
f(X  3)  1 - (


)
0!
1!
2!
 1 - (0,472  0,75.0,472  0,28.0,472)
 1 - (0,472  0,3540  0,1321)
 1 - 0,9601  0,04
e 0, 75  0,750 e 0, 75  0,751 0,752.e 0, 75  0,752
c) f(X  2) 


0!
1!
2!
 0,9601
4. Poisson Dağılımı
Kusurlu
sayısı
Olasılık
f(x)
0
0,4723666
1
0,3542749
2
0,1328531
3
0,0332133
4
0,0062275
5
0,0009341
6
0,0001168
7
1,251E-05
8
1,173E-06
9
9,774E-08
10
7,33E-09
11
4,998E-10
12
3,124E-11
13
1,802E-12
14
9,654E-14
15
4,827E-15
1.5- Bir örnek dağılım (Kesikli düzgün dağılım)
X  3,4,5,6,7,8,9,10
f ( x) 
1
8
X  3,4,...,10
P( X  8)  f (9)  f (10) 
1 1 2 1
  
8 8 8 4
1 1 1 3
P( X  6)  P( X  3)  P( X  4)  P( X  5)    
8 8 8 8
6. Geometrik Dağılım
Binom dağılımının uygulandığı bazı durumlarda, verilen herhangi bir
deneyde uygun halin ilk defa meydana gelmesi olasılığı
sorulabilir. Eğer uygun hal x inci deneyde ilk defa meydana
geliyorsa x-1 sayıdaki deneyde uygun olmayan hal meydana
gelmiş demektir. Bunun olasılığı (1  p) x 1 dir. Buna göre X inci
deneyde uygun halin ilk defa meydana gelme olasılığı şöyle
olur. (1  p)(1  p)(1  p)........(1  p). p  p(1  p) x1 olur .
Buna göre geometrik dağılım fonksiyonu şöyle yazılır.
f ( x)  p(1  p) x1
burada x  1, 2,3.............
Dağılımın tek parametresi
göstermektedir.
p
olup
uygun
hal
Geometrik dağılımın beklenen değer ve varyansı
1
E( X ) 
p
1 p
Var ( X )  2
p
olasılığını
6. Geometrik Dağılım
Örnek: Bir bilardo oyuncusunun sayı yapma olasılığı 0,7 tür.
Oyuncunun;
a) 6. atışta ilk defa sayı yapmama olasılığını,
b) En az 6 sayı yapmama olasılığını bulunuz.
Oyuncunun sayı yapabilmesi için aralıksız kazanması
gerekmektedir.
Çözüm:
a)
P( X  6)  0,3(0,70)61  0,3.0,75  0,3.0,16807  0,050421
b)
P(X  6)  P(X  7)  ....  1   f (1)  f (2)  f (3)  f (4)  f (5)
 1  (0,30  0,21  0,147  0,1028  0,07203)
 1  0,83193  0,16807
7. Negatif Binom Dağılımı
x.inci deneyde uygun halin r.inci defa meydana gelme
olasılığıenın belirlenmesinde negatif binom dağılımı
uygulanmalıdır. Negatif binom olasılık fonksiyonu şöyle
yazılır.
 x  1 r
 p (1  p) x r
f ( x)  
 r  1
x  r , r  1, r  2,..... r  1,2,3,...., x
Özel olarak r=1 olursa geometrik dağılım elde edilir.
Bu dağılımda x-1 deney binom dağılımı gösterir. x. Deneyin
sonucu da uygun hal (p) olup x-1 deneyin dağılımı ile
çarpılmaktadır.
Negatif Binom dağılımının beklenen değer ve varyansı
r (1  p )
r
E( X ) 
Var ( X ) 
p
p2
7. Negatif Binom Dağılımı
Örnek: Bir avcının hedefi vurma olasılığı %30 dur.
a)
Avcının yaptığı 5. atışın 3. isabetli atış olma olasılığı ne
olur?
b) 10. atışın en fazla 2. isabetli atış olma olasılığı ne olur?
Çözüm:
a)
b)
 5  1
 4
4.3.2! 3
3
2
3
2
P(r  3)  
0,3
.
0,7

0,3
.
0,7

0,3 . 0,7 2  6 x 0, 027 x 0, 49

 
2!.2!
 3  1
 2
P(r  3)  0,162 x 0, 49  0, 07938
10  1 2
10  1 1
 0,3 . 0,78  
 0,3 . 0,7 9  0,0519  0,0121  0,064
P(r  2)  P(r  2)  P(r  1)  
 2 1 
1  1 
8. Multinomial Dağılım (Çok terimli dağılım)
•
E1 , E 2 ,......E k olaylarının
meydana
gelme
olasılıklarının sırasıyla p1 , p 2 ,......p k verilmesi
halinde E1 ' in x1 , E2 ' nin x 2 ........ Ek ' nıı x k defa meydana
gelme olasılığı Multinomial dağılım aracılığıyla
bulunur.

N!
f ( x)  
p x1 1 ......... p kxk
 x1!.x 2 !......X k !
Burada
p1  p 2  ..... p k  1' dir .
x 1  x 2  .....x k  N' dir .
x k  1,2,3.........
8. Multinomial Dağılım (Çok terimli dağılım)
Örnek: Bir işletmede çalışan mühendisler arasından 9
kişilik bir proje grubu oluşturulacaktır. İşletmede 10
makine,
6 elektrik, 4 endüstri mühendisi
çalışmaktadır. Proje grubunda 4 makine 3 elektrik, 2
endüstri mühendisi bulunma olasılığı ne olur.
Çözüm: N=9 x1=4, x2=3, x3=2
10
p1 
20
6
p2 
20
4
p3 
20
9! 10 4 6 3 4 2
P( x1  4, x2  3, x3  2) 
( ) ( )( )
4!3!2! 20 20 20
 1260  0,0000675  0,08505
Örnek Problemler
Bir işletmede 40 işçi çalışmaktadır. İşçilerden 10 tanesi
bayandır.
a) Bu işçilerden rastgele 8 tanesi seçilerek bir komisyon
oluşturulduğunda 2 tanesinin bayan olma olasılığı ne olur?
b) Seçilen 8 kişilik komisyonda en az 3 tane bayan eleman
bulunma olasılığı ne olur?
Örnek Problemler
Bir işletmede bulunan bir makinenin herhangi bir
günde arıza yapma olasılığı %3 tür.
a) 50 günlük bir üretim süresinde makinenin
ortalama arıza sayısı ve varyansı ne olur?
b) 50 gün içinde makinenin 3 kere arıza yapma
olasılığı ne olur?
c) 50 gün içinde makinenin en az 2 kere arıza
yapma olasılığı ne olur?
d) yukarıdaki şıklardan bağımsız olmak üzere 50
gün içerisinde makinenin en az bir kez arıza yapma
olasılığı %70 olduğuna göre makinenin bu süre
içinde beklenen arıza sayısı ve herhangi bir günde
arızalanma olasılığı ne olur?