Kesikli Rassal Değişken

B
Bilişim Teknolojileri için İşletme İstatistiği
Yrd. Doç. Dr. Halil İbrahim CEBECİ
RASSAL DEĞİŞKEN
• Bir rastgele olayın olası sonuçlarının numerik değerleridir.
• Şansa bağlı olarak farklı değerler alabilir.
RASSAL DEĞİŞKEN
Kesikli Rassal Değişken
• Sadece sayılabilir değerler alan değişkenlerdir.
• Çok fazla olası değer alan değişkenler:
₋ Bir gündeki şikayet sayısı
₋ Hane halkını sahip oldukları telefon sayısı
₋ Telefon açılmadan önce çalma sayısı
• İki değer alan değişkenler:
₋ Cinsiyet: Kız veya Erkek
₋ Sorunlu Parça: Evet veya Hayır
RASSAL DEĞİŞKEN
Sürekli Rassal Değişken
• Sürekli (sayılamayan) değerler alan değişkenler
₋ Bir parçanın kalınlığı
₋ Bir işi tamamlamak için geçen süre
₋ Solüsyonun ısısı
₋ Ağırlık
• Ölçümlerin doğruluk ve hassasiyetlerine bağlı olarak herhangi
bir değer alabilirler.
OLASILIK DAĞILIMLARI
BİNOM DAĞILIMI
Binom Dağılımı Karakteristikleri:
• Her bir deneyin iki olası sonucu vardır
• (Başarılı-Başarısız)
•
𝑛 sabit sayısı kadar deneme gerçekleştirilir
• Deneydeki her bir deneme diğer denemelerden bağımsızdır
•
𝑝 başarı olasılığı denemeden denemeye değişmez, her zaman
sabittir
• Eğer 𝑝 başarı olasılığı ise, başarısız olma olasılığı 𝑞 = 1 − 𝑝 ile
gösterilir
BİNOM DAĞILIMI
• Bir imalat tarafında üretilen ürünlerin muayene sonuçlarına
sorunlu veya kabul edilebilir olmaları,
• Bir firmanın müşterileri ile kontrat yaparken başarılı ve
başarısız olmaları
• Bir pazarlama firması tarafından yapılan anket sonucunda
piyasaya sürülen yeni ürünlerin alınabilir olup olmaması
(anket cevapları alırım veya almam)
• Bir mezun tarafından yapılan iş başvurusunun başarılı olup
olmaması
BİNOM DAĞILIMI
Salih Pektembel istatistik dersini ilk defa alan bir öğrencidir.
Kendisi başarılı bir öğrenci değildir. Salih şansına güvenerek
sınavı geçmeyi ummaktadır. Sınav 5 şıklı 10 farklı sorudan
oluşmaktadır.
a. Salih’in hiçbir şıkkı tutturamaması ihtimali nedir?
b. Sadece iki soruyu doğru yanıtlama ihtimali nedir?
c. Salih’in bu sınavdan kalma ihtimali nedir? (Sınavı geçmek için
sorularının yarısını doğru olmalıdır)
BİNOM DAĞILIMI
a. Salih’in hiçbir şıkkı tutturamaması ihtimali nedir?
𝑃(0) olasılığını direkt olarak tablodan aşağıdaki gibi okuruz.
Birden fazla binom tablosu olduğundan 𝑛 = 10 olan seçilmelidir.
BİNOM DAĞILIMI
b. Sadece iki soruyu doğru yanıtlama ihtimali nedir?
• 𝑃(2) olasılığını direkt olarak tablodan aşağıdaki gibi okuruz.
BİNOM DAĞILIMI
a. Salih’in bu sınavdan kalma ihtimali nedir? (Sınavı geçmek için
sorularının yarısını doğru olmalıdır)
Sınıfta kalma olasılığı için tablodan 𝑃 0 , 𝑃 1 , 𝑃 2 , 𝑃 3 , 𝑃(4)
olasılıkları bulunup toplanmalıdır.
𝑃 0 + 𝑃 1 + 𝑃 2 + 𝑃 3 + 𝑃 4 = 0,107 + 0,268 + 0,302 + 0,201 + 0,088 = 0,967
POISSON DAĞILIMI
• Simeon Poisson’a atfen isimlendirilen dağılım, bir örnek uzayın
belli bir bölgesi veya zamanındaki olayların sayısının
incelendiği kesikli bir olasılık dağılımıdır.
– Son bir saat içerisinde bir tamir atölyesine gelen araç
sayısı (aralık – 1 saat)
– Bir kumaş rulosundaki kusur sayısı. (bölge – kumaş rulosu)
– Otoyolun Adapazarı kavşağında son bir ayda meydana
gelen kaza sayısı (Aralık – 1 Ay, Bölge – Adapazarı kavşağı)
POISSON DAĞILIMI
• Bir Poisson Deneyi aşağıdaki dört karakteristiğe sahip
olmalıdır.
1. Bir aralıkta meydana gelen olay sayısı, diğer aralıklarda
meydana gelen olay sayılarından bağımsızdır.
2. Eşit aralıklarda olayın olasılıkları eşittir.
3. Başarı olasılığı aralığın boyutu ile orantılıdır.
4. Birden fazla olayın meydana gelme olasılığı küçük
aralıklarda sıfıra yaklaşır.
POISSON DAĞILIMI
• Bir kitapta yer alan baskı hatalarının, kitaptan kitaba farklılık
göstermesine rağmen poisson dağılımına uyduğu yapılan
araştırmalar sonucunda keşfedilmiştir. Baskı hataları 100
sayfada ortalama 1,5 kere görüldüğüne göre rastgele seçilen
100 sayfalık bir kitap kısmında hiç baskı hatası olmama
ihtimali nedir? Eğer kitabın 400 sayfalık bir bölümü incelenirse
hiç hata olmaması olasılığı ne olur? Yorumlayınız.
POISSON DAĞILIMI
• Tablodan değer aşağıdaki gibi okunur.
AMAN DİKKAT
• Bütün olasılık dağılımları örnekler üzerinden hesaplanan
modellerdir. Çıkarsama yapmak için kullanışlı olmakla beraber,
%100 doğru bir genelleme yapmak uygun olmayabilir.
• Olasılık dağılımlarının doğru belirlenmesi kritik öneme sahiptir
bu yüzden diğer hesaplamalara geçmeden dağılımın doğru
belirlendiğini bir kez daha kontrol ediniz.
• Bir binom deneyinin iki olası sonucu vardır ve bu olası
sonuçların olasılıkları zaman içinde değişmez. Aksi halde
binom formüllerini uygulayamayız.
• Poisson deneyinde eşit aralıklardaki başarılı deney sayısı
eşittir. Aksi halde olasılıklar hesaplanamaz.