Bölüm 7 Sinüsoidal Kalıcı Durum Devre Analizi

Bölüm 7
Sinüsoidal Kalıcı Durum
Devre Analizi
7.1 Sinüsoidal kaynaklar
7.2 Ortalama ve Etkin Değer
7.3 Karmaşık Sayılar
7.4 Sinüsoidallerin Fazör Gösterimi
7.5 Devrelerin Sinüzoidal Kalıcı Durum Cevabı
7.6 Devrelerin Frekans Bölgesi Karşılıkları
7.7 Çevre Akımları ve Düğüm Gerilimleri Yöntemleri.
7.8 Thevenin ve Norton Teoremleri.
7.9. Manyetik Kuplaj Elemanı
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
1
7.1 Sinüsoidal Kaynaklar
x( t )  X m Sin ( wt   )
yada x( t )  X m Cos ( wt   )
Xm ?
w?
 ?
T?
f?
Zaman/Açı ekseni
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
2
Örnek 7.1. verilen gerilim kaynağının açısal frekansını (Rad/s Derece/s), peryodunu ve faz açısını bulunuz.
 ( t  0 .5 )
v( t )  10 Cos (
)
6
Çözüm:
w=
v(t)

10
8
f=
6
T=
4
2
t(s)
0
-2
-4
-6
-8
-10
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
3
Örnek 7.2. Maximum genliği 20 A ve peryodu T=0.5 s
olan sinüzoidal akımın t=0’nındaki değeri 10 A ise Cos
fonksiyonu ile bu sinyali tanımlayınız?
Çözüm:
i( t )  20 Cos ( 4t 

3
)
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
4
Örnek 7.3. Verilen fonksiyonu Cos fonksiyonu
cinsinden yazınız? v (t )  10 Sin ( wt  30 )
NOT:
Cos ( x )  Sin ( x 
Çözüm:

2
)
yada
Sin ( x )  Cos ( x 

2
v( t )  10Cos( wt  60 )
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
5
)
7.2 Ortalama ve Etkin Değerler
Peryodu T olan peryodik bir x(t) fonksiyonunun,
Ortalama değeri,
X ort
1

T
Etkin değeri
to  T
 x( t )dt
X eff  X rms 
to
1
T
to  T
2
x
 ( t )dt
to
Örnek 7.4.a Verilen kare dalga gerilimin ortalama ve
..
etkin değerlerini bulunuz.
1
Vort   ........dt
v(t)
T ..
A
Sonuç= Ortalama Alan:
A
0
t(s)
3T/4
T
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
3T
4  3A
T
4
6
Örnek 7.4.b Verilen testere dişi gerilimlerin ortalama
ve etkin değerlerini bulunuz.
v(t)
v(t)
A
A
t
T
A
0
t(s)
T
4A
t
3T
0
t(s)
3T/4
2T
T
..
Vort
1
  ........dt
T ..
Sonuç = Ortalama Alan:
T
2  A
T
2
A
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
7
Örnek 7.4.c Verilen sinüsoidal gerilimin ortalama ve etkin
değerini bulunuz. v  Vm .Cos( wt )
T
Çözüm: Vort  1 Vm cos( wt )dt  Vm . 1 T Sin ( wt )
T o
T w0
Vort 
Vm
Vm
[ Sin ( wT )  Sin ( 0 )] 
[ Sin ( 2 )  Sin ( 0 )]  0  0  0
wT
wT
Etkin değeri,
Vrms 
Vrms 
1
Vm 2 Cos 2 ( wt )dt 
T
Vm 2 T
1
{t 
Sin { 2( wt )} 
2T 0
2w
Vrms 
Vm 2
1
{T 
Sin ( 2( wT ))  0  0
2T
2w
Vm 2
{ T  0 }  Vm /
2T
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
T
Vm 2
{( 1  Cos [ 2( wt )]} dt

2T 0
2  0.707 Vm
M. GÖKBULUT
8
7.3 Karmaşık Sayılar
Verilen karmaşık sayı işlemlerini yapınız/kutupsala
çeviriniz. Karmaşık düzlemde gösteriniz.
1 ) c  a  jb
2  ) c  ( 1  j 1 )( 1  j 3 )
3  ) c  (  2  j 2 ) /( 3  j 4 )
4  ) c  (  1  j 1 )( 3  j 1 ) /( 2  j 2 )
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
9
7.4 Sinüsoidallerin Fazör Gösterimi
Fazör, bir sinüzoidal fonksiyonun genlik ve faz bilgisini
ihtiva eden karmaşık bir değerdir.
Euler bağıntısı:
e Jx  e  Jx
Cos ( x ) 
2
e Jx  e  Jx
Sin ( x ) 
2j
e  Jx  Cos ( x )  jSin ( x )
e  Jx  Cos ( x )  jSin ( x
Euler’e göre Cos(x),
e
v  VmCos ( wt   )
Jx
in reel kısmıdır. Buna göre,
V  Vm Re( e j ( wt  ) )  Vm. Re( e jwt .e j )
Yazılabilir. Burada, frekansın (
j
terimler yani,
e
jwt
) dışında kalan
Vm e
ifadesi, verilen sinüsoidalin fazör gösterimidir.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
10
Buradan, v  VmCos ( wt   )
denklemi ile Cosinüs
fonksiyonu olarak tanımlanan geriliminin Fazörü V ile
gösterilir V  Vm .e j yada V  Vm   fazörü, pozitif
reel eksen referans alınmak üzere karmaşık düzlemde
aşağıdaki gibi çizilir.
v  VmCos ( wt   )
Sonuç olarak, verilen bir sinüsoidal fonksiyon (akım
ya da gerilim), Fazör adı verilen aşağıdaki gibi komplex
bir değer ile gösterilebilir.
V  Vm .e
j
yada V  Vm  
11
Örnek 7.5. Verilen sinüsoidal gerilim ya da akımların fazörünü
yazarak karmaşık düzlemde gösteriniz.
a  ) v  10 Cos ( 500 t )
b  ) i  20 Cos ( wt  30 )
c  ) v  VmSin ( 20 t )
d  ) i  100 Sin ( 100 t  60 )
Çözüm:
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
12
Örnek 7.6. Verilen sinüsoidallerin toplamını fazörler
yardımıyla bulunuz. Karmaşık düzlemde gösteriniz.
a  ) i 1  ACos ( wt ), i 2  BSin ( wt ) ise
i  i 1  i 2 bulunuz
b  ) v 1  4 Sin ( wt 
v  v1  v 2

), v 2  5Cos ( wt 
6
bulunuz

4
) ise
Çözüm
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
13
7.5. Devrelerin Sinüzoidal Kalıcı Durum Cevabı
7.5.1. Geçici durum, Kalıcı durum cevabı ve Tam cevap
Devrelerin tam cevabı (geçici durum+ kalıcı durum), diğer
kaynaklarda yapıldığı gibi sinüsoidal girişler için de devrenin
diferansiyel denklemi yazılıp çözülerek elde edilir.
v s  Vm Cos ( wt )
Çözüm: Tam cevap
i( t )  
Vm
R 2  w 2 .L2
.Cos (  ).e
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
R
 t
L

Vm
R 2  w 2 .L2
M. GÖKBULUT
Cos ( wt   )
14
Örnek 7.7 Şekildeki devrede verilen giriş akımı için kondansatör
gerilimini bularak geçici ve kalıcı cevabını belirleyiniz.
v( 0 )  0
i( t )  10 Sin( 100t )
Çözüm: Tam cevap
v( t )  K 1e
2 . 5 t
 K 2 Sin ( 100 t )  K 3Cos ( 100 t )
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
15
7.6 Devrelerin Frekans Bölgesi Karşılıkları
• Önceki örneklerde incelendiği gibi sinüsoidal kaynak da
dahil her hangi bir giriş kaynağı için devrenin geçici
ve kalıcı cevap bileşenleri ile birlikte tam cevabı
belirlenebilir.
• Ancak, sinüsoidal kaynaklı devrelerin, geçici cevap
bileşeni yerine daha çok kalıcı durum cevabı ile
ilgilenilir. Buradan da sinüsoidal kaynağın
frekansının, bir devre ya da devre elemanları
üzerindeki etkisi incelenmeye çalışılır.
• Bu amaçla öncelikle bu bölümde, temel devre elemanları
olan direnç, bobin ve kondansatörün sinüsoidal
kaynaklardaki davranışları belirlenecek ve akım-gerilim
fazörleri çizilerek R-L-C devre elemanlarının
sinüsoidal kaynağın frekansı ile ilişkileri elde
edilecektir.
• Böylece, bir devrenin frekans bölgesi tanımı (karşılığı)
16
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
belirlenecektir.
Direnç (R) : Devrenin frekans bölgesi karşılığını bulunuz. Akım ve
gerilimin fazörlerini yazarak karmaşık düzlemde gösteriniz.
i  I m Cos ( wt   )
Bobin (L) : Devrenin frekans bölgesi karşılığını bulunuz. Akım ve
gerilimin fazörlerini yazarak karmaşık düzlemde gösteriniz.
i  Im Cos( wt )
Kondansatör (C) : Devrenin frekans bölgesi karşılığını bulunuz.
Akım ve gerilimin fazörlerini yazarak karmaşık düzlemde gösteriniz.
v  Vm Cos ( wt   )
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
17
Örnek 7.8 Şekildeki seri RL devresine sinüsoidal akım
kaynağı bağlanmıştır. Devrenin frekans bölgesi
karşılığını çizerek fazörlerle Devre gerilimi v(t) yi
bulunuz.
i( t )  Im Sin( wt   )
b-) R=4 L=0.5H ve i( t )  10 Sin( 20t   / 4 ) için sayısal
değerlerle inceleyiniz.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
18
7.6.1 Empedans, Direnç, Reaktans
Sinüsoidal kalıcı durum / frekans bölgesi karşılığı ile
gösterilen bir devrede empedans Z ile gösterilir ve
Z=V/I oranıdır. Birimi ohm olan karmaşık bir sayıdır.
Empedansın reel bileşeni direnç (R ) ve sanal bileşeni
ise Reaktans (X) olarak söylenir. Yani, Z=R+jX
Örnek 7.9 Şekildeki seri RL devresinin frekans bölgesi
karşılığını çizerek devre akımı i(t) yi fazörlerle bulunuz. Akım
ve gerilimlerin fazörlerini ve empedans-direnç-reaktans
ilişkilerini gösteriniz. R=8, L=0.02H v( t )  100 Sin( 10t   / 3 )
Sayısal değerler için tekrarlayınız.
v( t )  Vm Sin ( wt )
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
19
Örnek 7.10 Şekildeki paralel RC devresinin sinüsoidal
kalıcı durum eşdeğerini çizerek devre gerilimi v(t) yi
fazörlerle bulunuz. Akım ve gerilimlerin fazörlerini ve
empedans-direnç-reaktans ilişkilerini gösteriniz. R=10,
C=0.1F i( t )  5 Sin( 50t )
i( t )  I m Cos ( wt   )
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
20
Örnek 7.11 Şekildeki seri RLC devresinin sinüsoidal
kalıcı durum eşdeğerini çizerek devre akımı i(t) yi
fazörlerle bulunuz. Akım ve gerilimlerin fazörlerini ve
empedans-direnç-reaktans ilişkilerini gösteriniz.
v(t )  Vm Cos ( wt   )
b-) R=2 L=0.5H C=1/30F
çözünüz.
v( t )  20Cos( 10t   /sayısal
6 ) değerleri için
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
21
7.6.2 Admitans, Kondüktans ve Suseptans
Özellikle paralel devrelerde empedans tanımı yerine
empedansın tersi olan ve Y ile gösterilen admitans
(Y=1/Z=I/V) tanımından yararlanarak özellikle paralel
devrelerin analizinde kolaylık sağlanabilir. Admitansın
reel kısmı kondüktans (G), sanal kısmı ise suseptans
(B) bileşenleridir. Yani, Y=G+jB
Örnek 7.12 Şekildeki paralel RL devresinin sinüsoidal
kalıcı durum eşdeğerini çizerek devre gerilimi v(t) yi
fazörlerle bulunuz. Akım ve gerilimlerin fazörlerini ve
admitans, kondüktans , süseptans ilişkilerini gösteriniz.
i(t )  I m Cos ( wt   )
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
22
M. GÖKBULUT
Örnek 7.13 Şekildeki paralel RLC devresinin sinüsoidal
kalıcı durum eşdeğerini çizerek devre gerilimi v(t) yi
fazörlerle bulunuz. Akım ve gerilimlerin fazörlerini ve
admitans, kondüktans , süseptans ilişkilerini gösteriniz.
i(t )  I m Cos ( wt   )
b-) R=0.5 L=0.2H C=4F
için hesaplayınız
değerleri
i( t )  10Cos( t   / 30sayısal
)
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
23
Örnek 7.14. Örnek 8.11 de incelenen seri RLC
devresinin admitansını bulunuz.
Çözüm
Y 
1
 0.25  j 0.25
Z
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
24
7.6.3 Karışık Devreler
Karışık devrelerin sinüsoidal kalıcı durum analizinde,
yukarıda tanımlanan genel ilkeye uygun olarak seri
kollarda empedans, paralel kollarda ise admitans
tanımını kullanmak kolaylık sağlayabilir. Ancak, sadece
empedans ya da sadece admitans tanımları kullanılarak
da çözülebilir.
Örnek 7.12 Şekildeki devrenin empedansını, devre akımını ve
paralel kol gerilimini bulunuz.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
25
Örnek 7.12 Şekildeki karışık devrenin empedansını,
devre akımını ve paralel kol gerilimini bulunuz.
I
V
Z

100 30
17 .33 33 .23
 5.77   3.23
V1  I .Z 3  40 .967  47 .48
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
26
7.7 Sinüsoidal Kalıcı Durum Devre Analizinde
Çevre Akımları ve Düğüm Gerilimleri Yöntemleri.
Örnek 7.14 Şekilde verilen devreyi,
a-) çevre akımları yöntemi ile
b-) düğüm gerilimleri yöntemi ile çözebilmek için
gerekli denklemleri yazınız.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
27
Örnek 7.15 Şekilde verilen devreyi,
a-) çevre akımları yöntemi ile
b-) düğüm gerilimleri yöntemi ile çözebilmek için
gerekli denklemleri yazınız.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
28
7.8 Sinüsoidal Kalıcı Durum Devre Analizinde
Thevenin ve Norton Teoremleri.
Örnek 7.16 Şekilde verilen devrenin Thevenin ve Norton
eşdeğerini bulunuz.
Çözüm:
Vab  10Vx
120
Vx
60


Vx  120
12
Vab  Vx
 j 40

0
Vx  Vab
 j 40
Vab  VTH  784  j 288  835 .22   20 .17
0
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
29
 10Vx
120
Vx
60


 Vx
 j 40
Vx  120
12

 IN  0
I N  8.43  j 0.392
Vx
 j 40
0
Z TH 
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
VTH
IN
M. GÖKBULUT
 91 .2  j 38 .4
30
7.9. Manyetik Kuplaj Elemanları
Manyetik kuplaj elemanının sinüsoidal kalıcı durumdaki
eşdeğeri, ikinci taraftaki bir yükle birlikte şekilde
verilmiştir.
V S  ( R1  jwL1 ) I 1  jwMI 2
0  ( R 2  jwL 2  Z L ) I 2  jwMI 1
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
31
V S  ( R1  jwL1 ) I 1  jwMI 2
0  ( R 2  jwL 2  Z L ) I 2  jwMI 1
Bu denklemler düzenlenerek Kuplaj elemanın bir
tarafındaki
empedansın
diğer
tarafa
nasıl
dönüştürüleceği gösterilebilir.
Z 1  ( R1  jwL1 )
ve Z 2  ( R2  jwL2 )
Yazılarak I2 yok edilirse,
I1 
Z2  ZL
Z1 (Z 2  Z L )  w M
2
2
Zg 
Vs
Vs
I1
 Z1 
w2M
2
Z2  ZL
Buna göre, bir manyetik kuplaj elemanın bir tarafındaki
empedans değeri, diğer tarafa
ile
2
2
w M
dönüştürülür.
Z 12 
w2M
Z 22
2
Z 21 
w2M
Z 11
2
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
32
Örnek 7.17 Şekildeki devrede I1 ve I2 akımlarını bulunuz.
Çözüm:
(1200 ) 2
w2 M 2
Zg  Z 1 
 700  j 3700 
 1500  j 4500
Z2  ZL
900  j 900
I1 
I2 
Vs
Zg

300 0
1500  j 4500
jwM
Z2  ZL
I1 
 0.02  j 0.06
j1200
900  j 900
(0.02  j 0.06 )  0.0267  j 0.0534  0.597 63 .43
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
33
Örnek 7.18 Örnek 7.17 deki devreyi Thevenin
teoremini kullanarak çözünüz.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
34
Çözüm:
Bu durumda I2=0 olacağına göre,
Vs  Z 1 I 1
 I1 
Vs
Z1

300 0
700  j 3700
 79 .67   79 .29 mA
Vab  VTH   jwMI 1  ( j1200 )(79 .67   79 .29 )  95 .610 .71 V
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
35
Çözüm: ab uçlarına göre Thevenin direncini bulmak için
kaynaklar devre dışı bırakılırsa,
Z11  700  j 3700
Zab  Z TH
I2 
(1200 ) 2
w2 M 2
 Z2 
 100  j1600 
 171  j1274
Z 11
700  j 3700
VTH
Z TH  800  j 2500
 0.0596 63 .4
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
36
İdeal Transformatör
İdeal trafoda, kuplaj katsayısı k=1 ve öz endüktanslar
L1  L 2   alınır. Dolayısıyla bobinlerin sadece N1 ve
N2 sarım sayıları vardır.
Şekildeki kuplaj elemanının ideal şartlarda gerilimler arası
ilişkisi çıkarılırsa, sarım sayıları ile orantılı aşağıdaki ilişki elde
edilir.
V2  jwM1
1 
V1
jwL1
İdeal şartlarda
V1
V2

N1
N2
37
Akımlar arası ilişkiyi bulmak için 2. sargı uçları kısa
devre yapılırsa, İdeal şartlarda sarım sayıları ile orantılı
aşağıdaki ilişki elde edilir.
İdeal şartlarda
0  jwL2  2  jwM1
Sonuç:
 1 N2

 2 N1
V1 N 1 I 2


V2 N 2 I 1
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
38
Polarite tespiti: İdeal trafolarda da manyetik kuplaj
elemanında olduğu gibi akım ve gerilim dönüşümlerinde
polariteye dikkat edilmelidir. Kural:
• Her iki tarafta da gerilimlerin polaritesi noktalı uçlarda
pozitif ya da negatif ise o ideal trafonun gerilim
dönüşümü pozitif işaretlidir aksi halde negatif işaretlidir.
• Her iki tarafta da akımların yönü noktalı uçlardan
giriyor ya da çıkıyorsa akım dönüşümü negatif işaretli
aksi halde pozitif işaretlidir.
V1
V2

N1
I2
N2
I1

N1
V1
N2
V2

N1
I2
N2
I1

N1
1
N2
n

1
5

N1
N2
39
Örnek 7.19 Şekilde verilen ideal trafo devresinde
 1 , V1 ,  2 , V 2 değerlerini bulunuz
v (t )  2500 Cos ( wt )
s
.
2500 0  (0,25  j 2)1  V1
 1  100   16 ,26
V2  (0,2375  j 0,05 ) 2
V1  24 ,27   4 ,37
V1  10V2
 2  10 1
 2  1000   16 ,26
V2  242 ,7   4 ,37
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM
M. GÖKBULUT
40
Bölüm 8
Sinüsoidal Kaynaklı Devrelerde Güç
8.1 Sinüsoidal Devrelerde Ani Güç: Güç Katsayısı
Aktif, Reaktif ve Görünür Güç
8.2 Elektrik Devrelerinde Kalıcı Durum Güç Hesabı
8.3 Güç Katsayısını Düzeltme
8.4 Maksimum Güç Transferi
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
41
8.1 Sinüsoidal Devrelerde Güç
• Şekildeki gibi bir gerilim kaynağına bir empedansın bağlandığını
ve empedansın faz açısının ise   olduğunu kabul edelim,
Z  R  jX
• Bir elektrik devresinde güç, p=v.i olduğuna göre sinüsoidal
kaynaklı devrelerde p=v.i gücü, zamanla sinüsoidal olarak
değişeceğinden bu güce ani güç denir.
• Sinüsoidal devrelerde ani güç yerine kalıcı durum güçleri
çok daha önemlidir ve bu güçler de empedansın faz açısı 
ile yakından ilgilidir.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
42
8.1.1 Güç Katsayısı
V  Vm 
Cos
I  I m 
Z
V Vm   Vm


  
I
m
m
Devrenin faz açısı     
Güç katsayısı Cos ( )
Güç katsayısı Cos 0–1 arasında değişir.
  0 , Cos (  )  1 ise
Omik yük
   0 ve 90 0 aras ı ise
Endüktif yük ve geri güç katsayısı
  0 ve  90 0 aras ı ise
Kapasitif yük ve ileri güç katsayısı
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
43
Örnek 8.1: Şekildeki devrenin a-) XL=4 b-) XL=8
c) XL=2 ohm için faz açılarını ve güç katsayılarını
hesaplayınız. Devrenin niteliğini (omik-endüktif-kapasitif)
belirleyiniz.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
44
i  Im Cos ( wt   )
8.1.2 Ani Güç:
Endüktif yük
v  Vm.Cos ( wt )
p  v.i  Vm . Im .Cos( wt ).Cos( wt   )
Trigonometrik işlemlerle,
p
Vm . Im
2
Cos  
Vm  m
2
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A - B)
cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B
Cos  .Cos ( 2 wt ) 
Vm . m
2
Sin  .Sin ( 2 wt )
Etkin değerlerle,
p  Vef .ef .Cos  Vef .ef .Cos .Cos( 2 wt )  Vef .ef .Sin .Sin( 2 wt )
İlk terim, güç katsayısına bağlı ortalama sabit bir güçtür. ikinci ve
üçüncü terimler ise sinüsoidal değişen ani güç bileşenleridir.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
45
8.1.3 Aktif, Reaktif ve Görünür Güç
p  Vef .ef .Cos  Vef .ef .Cos .Cos( 2 wt )  Vef .ef .Sin .Sin( 2 wt )
p  P  P.Cos ( 2 wt )  Q.Sin ( 2 wt )
Ortalama ya da aktif (gerçek) güç (Watt)
Ani güç ifadesi yorumlanırsa,
• Ani gücün ortalaması yani ortalama güç,
Port  Vef .ef .Cos
• Devredeki yük omik ise güç katsayısı 1 dir ( Cos  1, Sin  0 )
Bu durumdaki ani gücün de (Q=0)ortalaması Port  Vef .ef .Cos
olur. Kısaca bu güç, sinüsoidal devrelerde harcanan enerjiye
neden olan güçtür, Etkin ya da aktif güç olarak da söylenir ve
P ile gösterilir.
P  Vef .ef .Cos
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
46
Reaktif (sanal) güçtür (VAR, Volt-Amper-Reaktif)
p  Vef .ef .Cos  Vef .ef .Cos .Cos( 2 wt )  Vef .ef .Sin .Sin( 2 wt )
p  P  P.Cos ( 2 wt )  Q.Sin ( 2 wt )
• Devre saf endüktif ya da saf kapasitif ise güç katsayısı
sıfırdır ( Cos  0 , Sin  1 ) ve dolayısıyla devrede ortalama
(aktif) güç de sıfır olur. Bu durumda geriye kalan güç
ifadesi,
p  Q.Sin( 2 wt ) burada Q  Vef .Ief .Sin( 
olacağından bu güç, bobin/kondansatörün depo edilen ve
geri verilen güç olur. Bu güç ise aktif bir güç bileşeni
olmadığından Reaktif ya da sanal güç olarak ifade edilir.
Q  Veff . eff .Sin ( )
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
47
Karmaşık ya da Görünür güç ( VA, Volt-Amper)
p  P{ 1  Cos( 2 wt )}  Q.Sin( 2 wt )
Aktif ve reaktif güçlerin arasında 90 derecelik faz farkı olduğu da
görülür. Bu durumda, bu iki gücün toplamını gösteren güç ise karmaşık
güç olarak söylenir ve genellikle (S) ile gösterilir.
S  S  
S  P  JQ
S görünür güç
Güç üçgenleri
  Endüktif yük
  Kapasitif yük
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
48
Etkin Akım ve gerilim değerleri cinsinden karmaşık güç
S  P  JQ  Veff I eff Cos (  )  jVeff I eff Sin (  )  Veff I eff e j
S  Veff I eff 
Bu ifadedeki akım ve gerilim fazör
değildir, sadece etkin değerleridir.
Akım ve gerilim fazörleri cinsinden karmaşık güç
S  V eff .I eff   
   
S  V eff .I eff .e J (   )
S  V eff .e
S
J
.I eff .e
*
 Veff .I eff
Veff  Veff  
 J
I eff  I eff  
Bu ifadedeki akım ve gerilim fazördür ve
I*, Akım fazörünün eşleniğidir.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
49
8.2 Elektrik Devrelerinde Kalıcı Durum Güç Hesabı
Özet: Etkin değerler Vef=V, Ief=I
ile etkin fazörler ise V, I ile
gösterilmiş olsun. Aktif, reaktif ve karmaşık güçler:
P  V  Cos
Q  V  Sin(  ) S  P  JQ  V I 
S=V I*
a-) Saf omik devreler   0 ,Cos(  )  1, Sin(  )  0
Z R
P
Q
S
Örnek: Verilen gerilim ve empedans için güçleri bulunuz.
v  200Sin( 100t   / 3 ),
Z  10  j0
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
50
b-) Saf endüktif devreler
  90 , Cos ( )  0 Sin ( )  1
Z  jXL
P
Q
S
c-) Saf kapasitif devreler   90 , Cos ( )  0 Sin ( )  1
Z   jXc
P
Q
S
Örnek: Verilen gerilim ve empedans için güçleri bulunuz.
v  50Cos( 10t   / 4 ),
Z  0  j4
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
51
Örnek 8.2 Şekildeki saf bobin devresinde, verilen sinüsoidal
akım için güç bağıntılarını çıkarınız. i (t )  Im Cos ( wt  90 )
Z 
I 
V 
P
Q
S
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
52
Örnek
Örnek 8.3
9.2 Şekildeki devrede, verilen gerilim fazörü ve
empedanslar için güçleri hesaplayınız.
a-) Z  1  J
b-) Z  1  J
c-) Z  (1  J ) //(1  J )
Çözüm:
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
53
Örnek 8.4. Şekildeki devrede yükün aktif gücü P=8 kW ve
güç kaç sayısı 0,8 geri olduğuna göre karmaşık gücünü ve
yükün empedansını bulunuz
Çözüm:
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
54
Örnek 8.5 Şekildeki devrede bir yük, iletim hattı üzerinden kaynağa
bağlanmıştır.
a-) yük akımını ve gerilimini bulunuz.
b-) yükün aktif, reaktif ve görünür güçlerini bulunuz.
c-) Hatlarda oluşan kayıp gücün aktif ve reaktif bileşenlerini bulunuz.
d-) Kaynağın devreye verdiği aktif, reaktif ve görünür güçleri bulunuz.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
55
8.3 Güç Katsayısını Düzeltme
• Enerji sağlayan şebekeler, santrallerin ve hatların fazla
yüklenmemesi için bir işletmenin güç katsayısının 0.8 in
altına düşmesini önlemeye çalışır.
• Endüktif ve kapasitif yüklerin çektikleri reaktif güçler 180
derece faz farklıdır.
• Genellikle endüktif özellikte olan işletmelerin reaktif güç
bileşeni, işletmenin enerji girişine paralel bağlanan bir
kapasitif yük grubu ile kompanze edilebilir.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
56
Örnek 8.6 Şekildeki devrenin güç katsayısını 0.9 geri yapmak için
bağlanması gereken reaktif gücü belirleyiniz.
Kompamzasyon yapılmadan önce ve yapıldıktan sonra devre akımı
nasıl değişmiştir, belirleyiniz. Z = 10- j 20
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
57
Örnek 8.7 Şekildeki devrede
a-) Kondansatör bağlı değilken yükün hatta meydana getirdiği
güç kaybını bulunuz.
b-) Bu yükün güç katsayısını Cos  0,8 yapmak için
paralel bağlanması gereken kondansatör değerini bulunuz
c-) Kompanzasyon sonucunda hatta meydana gelen güç
kaybını bulunuz
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
58
8.4 Maksimum Güç Transferi
Sinüsoidal kalıcı durumdaki herhangi bir devrenin, iki ucuna
bağlanan bir yüke maksimum güç verebilmesini sağlayan koşullar,
dirençli devrelerde yapıldığı gibi belirlenebilir. Sonuç olarak
devrenin Thevenin eşdeğeri belirlendiğinde, bu devrenin yüke
*
verebileceği maksimum aktif gücün ancak Z L  Z TH
olduğunda
gerçekleşebileceği görülür.
Yani, ZT  RTH  JXTH kabul edilirse devrenin yüke maksimum
güç verebilmesi için bağlanacak yükün empedansı,
Z L  RTH  JX TH
Olmalıdır.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
59
Örnek 8.8 Şekildeki devrede, yükten maksimum güç alınabilmesi
için bağlanması gereken yükü ve yükün gücünü bulunuz.
VTH  10 0 V Z TH  3000  J 4000
Çözüm
Z eş  2 RTH
PLMAX
2
VTH 2
VTH
 I .RL  (
) .RL 
2 RTH
4 RL
2
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
60
Bölüm 9
Üç Fazlı Sistemler
9.1 Üç fazlı Sinüsoidal Kaynaklar ve Fazörleri
9.2 Yıldız ve Üçgen Bağlantılar
9.3 Yıldız –Yıldız Bağlantının Analizi
9.4 Üç Fazlı Sistemlerde Güç
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
61
9.1 Üç fazlı Sinüsoidal Kaynaklar
Pozitif faz sırası
Va  VmSin ( wt )
2
Vb  VmSin ( wt 
)
3
2
Vc  VmSin ( wt 
)
3
Negatif faz sırası
Va  VmSin ( wt )
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
2
Vb  VmSin ( wt 
)
3
2
Vc  VmSin ( wt 
)
3
62
Fazörlerle 3 fazlı gerilim kaynağı ( pozitif ve negatif faz sırası)
Va  Vm 0
Va  Vm 0
Vb  Vm   120
Vb  Vm   120
Vc  Vm   120
Vc  Vm   120
Va  VmSin ( wt )
2
)
3
2
Vc  VmSin ( wt 
)
3
Vb  VmSin ( wt 
Kaynaklar dengeli ise (genlikler ve faz farkları eşit)
Va  Vb  Vc  0
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
63
9.2 Yıldız (Y) ve Üçgen (  ) Bağlantı
3 fazlı sistemlerde yıldız ve üçgen olmak üzere iki farklı bağlantı vardır.
Hat
ve
Faz
Akım-Gerilimlerinin
tanımı ?
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
64
Hat ve Faz Gerilimlerinin Genlik ve Faz İlişkisi
Vab  Va  Vb  .......... ...... 
3 .Vm  30
Va  Vm 0
0
Vb  Vm   120
Vc  Vm   120
Vca
Vcn
Vab
30  Van
Vbn
Vbc
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
65
Üçgen bağlantı
Hat ve Faz akım-gerilimlerinin tanımı ?
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
66
Hat ve Faz Akımlarının Genlik ve Faz İlişkisi
Iha  Ia  Ic  .......... .......... ....... 3 Im .  30
hc
Ia  Im 0
Ib  Im   120
Ic  Im   120
c
a
30 
ha
hb
b
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
67
9.3 Yıldız-Yıldız Üç Fazlı Sistemler
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
68
Y-Y sistemin sadece bir fazı yani faz – nötr arası
incelenerek 3 fazlı sistemin analizine ulaşılabilir.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
69
Örnek 9.1
3 fazlı Y-Y bir sistemin bir fazının kaynak, hat ve
yük değerleri aşağıda verilmiştir.
a-) Hat akımlarını I , I , I  ?
b-) Yükün faz gerilimleri V , V , V  ?
c-) Yükün hat gerilimlerini V , V , V  ?
d-) Kaynağın çıkış terminallerindeki faz gerilimleri
e-) Kaynağın çıkış terminallerindeki hat gerilimleri
A
B
C
AN
BN
AB
CN
BC
CA
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Van, Vbn, Vcn  ?
Vab, Vbc, Vca  ?
70
Yıldız-Üçgen Üç Fazlı Sistemler
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
71
9.4. Üç Fazlı Sistemlerde Güç
3 fazlı sistem, 3 adet 1 fazlı sistemden ibaret olduğuna göre 3
fazlı sistemin toplam gücü, faz akım ve gerilimleri cinsinden
yazılan 3 adet bir faz gücünün 3 katıdır.
P  3.Vf .If .Cos 
Q  3.Vf .If .Sin 
İster yıldız, ister üçgen bağlantı olsun 3 fazlı sistemlerin gücü
faz akım ya da gerilimleri yerine hat değerleri yazılırsa,
P
3 .V H .I H .Cos 
Q
3 .V H .I H .Sin 
Genellikle de 3 fazlı sistemlerde güç denildiğinde hat
değerleri yazılan bağıntı anlaşılır.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
72
Bölüm 10
Laplace Dönüşümü ile Devre Analizi
10.1 Laplace Dönüşümü
10.2 Laplace Dönüşümünün Özellikleri
10.3 Ters Laplace Dönüşümü
10.4 Devre Elemanlarının Laplace Bölgesi Eşdeğeri
10.5 Laplace Dönüşümü ile Devrelerin Analizi
10.6 Karşıt Endüktanslı Devreler
10.7 Transfer Fonksiyonu
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
73
10.1. Laplace Dönüşümü
Zamana bağlı bir f(t) fonksiyonunun t  0 için laplace dönüşümü
olan F(s),
Basamak-Birim Basamak Fonksiyonu
f(t)
A
f (t )  
0
A
t  0 ise
t  0 ise
t (san.)
F(s)=….
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
74
Rampa-Birim Rampa Fonksiyonu
f(t)
 A.t
f (t )  
0
A
1
t  0 ise
t  0 ise
t (san.)
F ( s )  .....
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
75
Ani darbe (impulse) –Birim İmpuls fonksiyonu
f(t)(t)
f(t)
  (t )  0
f (t )  
 (t )  
A
t  0 ise
t  0 ise

0
T
t (san.)
t (san.)
 A (t )dt  A
0
İmpuls fonksiyonunun örnekleme özelliği
t2

t1
 f (t 0 )
f (t ). (t  t 0 ) dt  
 0
t1  t 0  t 2 ise
t1  t 0 , t 2  t 0 ise
örnekleme özelliği kullanılarak
F ( s )  L{  ( t )}  ....
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
76
Sinüs Fonksiyonu

F(s)  £ sinwt    ( A. sin wt )e  st dt
Euler bağıntısından,
0
F ( s )  ....
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
77
Ötelenmiş Fonksiyonlar
 A1 t  T1 ise
f (t  T1 )  
0 t  T1 ise
f(t)
f(t-T1)
A1
f(t-T2)
A2
0
T1
T2
 A2 t  T2 ise
f (t  T 2 )  
0 t  T2 ise
t (san.)
£ f (t  T )  e  Ts . F ( s )
Örnek 10.1: Ötelenmiş basamak fonksiyonunun laplace dönüşümünü
bulunuz.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
78
Örnek 10.2 Verilen ötelenmiş üstel fonksiyonunun Laplace
dönüşümünü bulunuz
f ( t  2 )  e ( t  2 )
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
79
Darbe fonksiyonu
A
f (t )  
0
f(t)
A
0
T1
T2
t (san.)
T 1  t  T 2 ise
t  T 1 ve t  T 2 ise
f (t )  A.u (t  T 1)  u (t  T 2)
F(s)  ...
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
80
Örnek 10.3 Şekilde verilen sinyalleri ötelenmiş temel test sinyallerinin
toplamı/farkı şeklinde yazarak sinyalin laplace dönüşümün bulunuz.
f(t)
f(t)
15(t-4)
10
10u(t)
10
0
-10
1
2
3
4
5
6
t(sn)
0
1
-10
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
2
3
4
5
10(t-2)
6
t(sn)
5(t-6)
81
81
Laplace Dönüşüm Tablosu
Fonksiyonun adı
f(t)
F(s)
1. Birim anidarbe
2.Birim basamak
3. Birim rampa
(t)
u(t)
t
1
1/s
1 / s2
4. Üstel
5. sinüs
6. cosinüs
e-at
sin wt
cos wt
1 / (s+a)
w / (s 2 + w 2)
s / (s 2 + w 2)
7. Polinom
8. Tekrarlı kök
t n (n= 1,2,3,4,..)
n ! / (s n+1)
t n e–at (n= 1,2,3,4...) n ! / (s+a) n+1
9. Sönümlü sinüs
e–at sin wt
w / ((s+a)2 + w 2)
10. Sönümlü cosinüs
e–at cos wt
(s+a) / ((s+a)2 + w 2)
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
82
10.2 Laplace Dönüşümünün Özellikleri
Doğrusallık Özelliği
f (t )  a. f 1(t )  b. f 2(t ) ise F ( s)  a.F1( s )  b.F 2( s )
Örnek 10.4
Üstel ile Çarpma
f (t )  e  at . f 1 (t ) ise
F ( s )  F1 ( s  a )
Örnek 10.5
Rampa ile çarpma
f (t )  t n . f 1 (t ) ise
Örnek 10.6
F ( s )  ( 1) n .
dn
ds
n
F1 ( s )
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
83
Örnek 10.7 Verilen sinyalin laplace dönüşümünü alınız.
f (t )  e 2 t t Sin ( 4t )
Çözüm:
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
84
Türevin laplace dönüşümü
dn

n
n 1
n2
/
 n f (t )   s F ( s )  s . f (0)  s . f (0)......... ..........  f
 dt

f ( 0 ), f / ( 0 )....... f
n 1
n 1
( 0)
(0)
Örnek 10.8
İntegralin laplace dönüşümü
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
85
Örnek 10.9 Verilen integro-diferansiyel denklemin laplace
dönüşümünü alarak s- bölgesinde Y(s) çözümünü bulunuz.
t
dy ( t )
 3 y( t )   y( t )dt  e  2( t  4 )
dt
0
y( 0 )  1
Çözüm:
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
86
İlk değer teoremi
Son değer teoremi
Örnek 10.10
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
87
10.3 Ters Laplace Dönüşümü
f(t)  £
-1
F(s)
Örnek 10.11 Verilen fonksiyonun ters laplace dönüşümünü bulunuz?
s4
F( s ) 
( s  1 )( s  2 )( s  3 )
Çözüm:
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
88
Gerçek ve Katlı kök durumu
F (s) 
N (s)
(s  p) n

K1
(s  p) n

K2
( s  p ) n 1
 .......... 
Kn
s p
t n 1  pt
t n2
f (t )  K 1 .
.e  K 2.
.e  pt  ......  Kn.e  pt
n!
( n  1)!
K i 1

1 di
n


 lim
s

p
F (s)
s  p i! ds i

i=0,1,2,........n-1
Örnek 10.12 Verilen fonksiyonun ters laplace dönüşümünü bulunuz.
F (s) 
s3
( s  1) 3 ( s  2)
Çözüm:
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
89
Karmaşık kök durumu
N( s )
K1 *
K1
F( s ) 


( s  a  jb )( s  a  jb ) ( s  a  jb ) ( s  a  jb )
f ( t )  K 1 * .e  ( a  jb ).t  K 1 .e  ( a  jb ).t
f (t )  2 K 1 .e
 at
.Cos (bt   )
  K 1
Örnek 10.13 Verilen fonksiyonunun ters laplace dönüşümünü bulunuz.
F (s) 
s 1
( s  2)( s 2  2 s  2)
Çözüm:
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
90
Sanal ya da karmaşık kutuplara sahip olan fonksiyonların
ters laplace dönüşümünün sinüsoidal ya da sönümlü sinüsoidal
Olduğu dikkate alınarak da karmaşık kutba sahip olan
fonksiyonların ters laplace dönüşümü alınabilir. Bu amaçla
aşağıdaki laplace dönüşümleri hatırlanmalıdır.
w
f (t )  Sin ( wt ) ise F ( s )  2
s  w2
s
f (t )  Cos ( wt ) ise F ( s )  2
s  w2
f (t )  e
 at
w
Sin ( wt ) ise F ( s ) 
(s  a)2  w2
sa
f (t )  e Cos ( wt ) ise F ( s ) 
(s  a)2  w2
 at
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
91
Örnek 10.14 Verilen fonksiyonun ters laplace dönüşümünü bulunuz.
F (s) 
s2
s 2  2s  4
Çözüm:
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
92
10.4 Devre Elemanlarının Laplace Bölgesi Eşdeğeri
Direnç:
LD
v (t )  Ri (t )
V ( s )  RI ( s )
Bobin:
v (t )  L
di (t )
dt
V ( s )  sLI ( s )  LIo
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
I (s) 
V (s)
sL

Io
s
93
Kondansatör:
i (t )  C
dv (t )
dt
I ( s )  sCV ( s )  CVo
V (s) 
I (s)
sC

Vo
s
Örnek 10.15: Verilen bobin ve kondansatörün Laplace eşdeğerini çiziniz.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
94
10.5 Laplace Dönüşümü İle Devrelerin Analizi
Laplace Dönüşümü ile devrelerin analizinde temel
olarak iki yol izlenebilir.
1-) Önce devrenin zaman bölgesinde inteğrodiferansiyel denklemleri yazılarak Laplace dönüşümü
uygulanır.
2-) Devrenin laplace eşdeğeri çizilerek devre
denklemleri doğrudan S-bölgesinde yazılır.
Sonuçta her iki yoldan yazılan denklemler aynı
olacaktır ve denklemlerin çözümleri yapılarak devrenin
analizi gerçekleştirilecektir.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
95
Örnek 10.16 Şekildeki devrede, a-) devrenin integro-diferansiyel
denklemini yazdıktan sonra LD alarak b-) Devrenin Laplace
eşdeğerini çizerek s-bölgesinde devre akımının ifadesini bulunuz.
di 1
Ri  L   idt  Vo  v
dt C
Çözüm:
LD
V (s) 
I (s) 
Vo
s
R  sL 
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
 LIo
1
sC
96
10.5.1. Birinci Dereceden Devrelerin Laplace Dönüşümü ile Analizi
Örnek 10. 17 Şekildeki devrede devre a-) akımını ve b-) kondansatör
gerilimini Laplace dönüşümünü kullanarak bulunuz. C=0.2F, R=10, Vo=4 v.
Çözüm: Devrenin Laplace Eşdeğerleri
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
97
Örnek 10. 18 Şekildeki devrede devre akımını ve direnç gerilimini Laplace
dönüşümünü kullanarak bulunuz. L=0.1H, R=6, iL(0)=5A.
Çözüm:
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
98
Örnek 10.19 Şekildeki devrede bobin akımını ve gerilimini Laplace
dönüşümünü kullanarak bulunuz. i(t)=10 A, L=0.5H, R=4 iL(0)=2A
Çözüm:
Örnek 10.20 Şekildeki devrede bobin akımını ve gerilimini Laplace
dönüşümünü kullanarak bulunuz. C=0.1F, R=2 Vo=5 v i( t  10 e 2 t
Çözüm:
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
99
Örnek 10.21 Şekildeki devrede anahtar 0.5 sn (a) konumunda
kaldıktan sonra t=0 anında b konumuna alınıyor, t  0 için
kondansatör gerilimini bulunuz.
Çözüm:
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
100
Örnek 10.22 Şekildeki devrede anahtar 1 sn (a) konumunda
kaldıktan sonra t=0 anında b konumuna alınıyor, t  0 için
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
i( t )
101
10.5.2. İkinci Dereceden Devrelerin Laplace Dönüşümü ile Analizi
İkinci dereceden devrelerin, karakteristik denklemin köklerine bağlı
olarak aşırı sönümlü, kritik sönümlü ve düşük sönümlü bir
davranış göstereceği hatırlanmalıdır.
Örnek 10.23 Şekildeki devrede LD ile i(t) akımını bulunuz. R=4
L=0.2H C=0.1F, Io= -2A, Vo=4v. v(t)=10v
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
102
Örnek 10.24 Şekildeki devrede farklı R değerleri için v(t)
gerilimini bulunuz.
Çözüm:
10
 Vo .s
C
V 
1
1
2
s 
.s 
RC
LC
a-) R  0,4
L  0,5 H
C  0,5 F
Vo  2V
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
103
b-) R  0,5
v (t )  16 t.e 2t  2.e 2t
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
104
c-) R  1
v( t )  2 . K 1 .e .t Cos ( wt   K 1 )
v( t )  2 . 28 .e  t .Cos ( 3t  79  )
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
105
Örnek 10.25 Şekildeki devrelerin Laplace eşdeğerini çizerek a-)
bobin akımının b-) kondansatör geriliminin Laplace bölgesindeki
çözümünü bulunuz.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
106
Örnek 10.26 Şekildeki devrelerin Laplace eşdeğerini çizerek a-)
bobin akımının b-) kondansatör geriliminin Laplace bölgesindeki
çözümünü bulunuz.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
107
Örnek 10.27 Şekildeki devrenin Laplace eşdeğerini çizerek,
a-) Çevre akımları yöntemini uyguylayınız.
b-) Düğüm gerilimleri yöntemini uygulayınız.
c-) Vo(s) gerilimini bulunuz.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
108
Örnek 10.28 Şekildeki devrede anahtar t=0 anında kapatılmaktadır.
Devrenin laplace eşdeğerini çizerek a-) çevre akımları ve b-) düğüm
denklemlerini yazınız.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
109
Örnek 10.29 Şekildeki devrenin ab uçlarını ayırarak laplace
bölgesindeki Thevenin ve Norton Eşdeğerini bulunuz.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
110
10.6 Karşıt Endüktanslı Devreler
v1  R1i1  L1
di1
v 2  R2 i2  L2
M
dt
di 21
di 2
dt
di
M 1
dt
dt
LD
V1 = R1 I 1 + L1 [sI 1 - i1 (0)] + M[sI 2 - i2 (0)]
V2 = R 2 L2 + L2 [sI 2 - i2 (0)] + M[sI 1 - i1 (0)]
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
111
V1 = R1 I 1 + L1 [sI 1 - i1 (0)] + M[sI 2 - i2 (0)]
V2 = R 2 L2 + L2 [sI 2 - i2 (0)] + M[sI 1 - i1 (0)]
V1 = R1 I 1 + sL 1 I 1 + sMI 2 - [L1 i1 (0)  Mi 2 (0)]
V2 = R 2 L2 + sL 2 I 2 + sMI 1 - [L2 i2 (0)  M i1 (0)]
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
112
Örnek 10.30 Şekildeki devrede anahtar uzun süre a konumunda
kaldıktan sonra b ye alınıyor. t  0 için i2 akımını bulunuz.
Çözüm
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
113
10.7 Transfer Fonksiyonu
Transfer fonksiyonu, başlangıç koşulları sıfır alınmak üzere laplace
bölgesinde bir devrenin çıkışının girişine oranıdır ve genellikle G(s)
yada H(s) ile gösterilir.
T.F. s’ e bağlı polinomlar oranıdır.
Y ( s ) bm s m  bm 1 s m 1  ...  b0
G (s) 

X ( s ) a n s n  a n 1 s n 1  ...  a0
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Örnek
Y( s )
s2
G( s ) 
 2
X ( s ) s  2s  4
114
Örnek 10.31Şekildeki devrenin transfer fonksiyonunu bulunuz.
R=10 L=2H C=4F
Çözüm: Başlangıç koşulları SIFIR için Laplace eşdeğeri
Vo
1
G (s) 

V
s 2 LC  RCs  1
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
115
Bölüm 11
Durum Denklemleri
11.1 Durum Denklemlerinin Tanımı
11.2. Devrelerde graf, dal ve kiriş kavramları
11.3. Durum Denklemelerinin Çıkarılması
11.4 Durum Denklemlerinin L.D. İle Çözümü
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M.G.
116
11.1 Durum Denklemlerinin Tanımı
Devreler karmaşık hale geldikçe (örneğin kaynak sayısı birden fazla ise
ve birden fazla değişkenin aynı anda incelenmesine ihtiyaç duyulursa)
yani devreler çok girişli ve çok çıkışlı hale geldiğinde bu devrelerin
diferansiyel denklemleri yerine durum denklemlerini çıkarmak daha
kolay hale gelir. Şekilde çok girişli-çok çıkışlı bir devrenin blok gösterilişi
verilmiştir.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M.G.
117
•
•
•
•
Giriş vektörü
Çıkış vektörü
Durum değişkenleri ?
Durum vektörü
 u 1 (t ) 


u
(
t
)
 2 
u (t )   . 


 . 
 u (t ) 
 r 
 y 1 (t ) 


y
(
t
)
 2 
y (t )   . 


 . 
 y (t ) 
 m 
 x1 ( t ) 


x
(
t
)
 2 
x (t )   . 


 . 
 x (t ) 
 n 
.
Durum Denklemi:
x (t)  Ax(t)  Bu(t)
Çıkış Denklemi:
y(t)  Cx(t)  Du(t)
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M.G.
118
Örnek 11.1 Katsayı matrislerine rastgele değerler vermek üzere iki
girişli, iki çıkışlı ve üçüncü dereceden bir devrenin durum denklemini
ve çıkış denklemini matris düzeninde yazınız.
Çözüm
.

 x 1 (t )  1 2 3   x 1 (t)   1 2 
.
 

 
  u 1 (t ) 
 x 2 ( t )    0  3 4   x 2 ( t )     5 3  u ( t ) 
.
  5 6 0   x 3 (t )   0 4   2 

 

 x 3 (t )  


 x 1 (t) 
 y 1 (t )   0 1 2  
   2  1  u1 (t ) 



  x 2 (t )   

 y 2 ( t )    2 1 9   x (t )   1 7  u 2 (t ) 
 3 
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M.G.
119
11.2. Devrelerde graf, dal ve kiriş kavramları
Karmaşık devrelerde, graf teorisinden yararlanarak sistematik biçimde
durum denklemlerini çıkarmak daha uygundur.
Devre
Grafı
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M.G.
120
Ağaç, Dal ve Kiriş
Devre grafından çeşitli alt graflar türetilebilir. Ağaç, bir alt graftır
ancak bütün düğümlere uğrayan ama kapalı bir çevre oluşturmayan
alt graflar ağaç olarak söylenir. Ağaç yapısında kalan elemanlar dal
(düz çizgi) , ağaç dışında kalan elemanlar ise kiriş (kesikli çizgi) olarak
söylenir.. Buna göre grafdan çıkarılabilecek bazı ağaçlar
gösterilmektedir.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M.G.
121
11.3. Durum Denklemelerinin Çıkarılması
Karmaşık devrelerin durum denklemlerinin çıkarılmasında, graf
teorisinden yararlanılarak verilen bir devre için uygun bir ağaç yapısı
seçilir. Bu ağaç, aşağıdaki koşulları sağlamalıdır.
1-) Gerilim kaynakları dal olarak ağaç içine alınmalıdır. Gerilim
kaynaklarının yönü, kaynak içinde (+) dan (-)
ye doğrudur.
2-) Akım kaynakları kiriş olarak ağaç içine alınmalıdır. Akım
kaynaklarının yönü kaynağın yönündedir
3-) Kondansatörlerin hepsi, ağaç yapısı bozulmuyorsa dal olarak
alınmalıdır. Kondansatörlerin hepsi dal olarak alınamıyorsa kiriş olarak
alınmak durumunda olan kondansatörün değişkeni artık durum
değişkeni olarak alınmamalıdır.
4-) Bobinlerin hepsi, ağaç yapısı bozulmuyorsa kiriş olarak alınmalıdır.
Bobinlerin hepsi kiriş olarak alınamıyorsa dal olarak alınmak
durumunda olan bobinin değişkeni artık durum değişkeni olarak
alınmamalıdır.
122
5-) Dirençler, ağacı tamamlamak üzere dal yada kiriş olarak alınmalıdır.
• Oluşturulan ağaçta, dal olan kondansatör gerilimleri (ya
da yükleri) ile kiriş olan endüktör akımları (ya da akıları)
bağımsız durum değişkenleridir.
• Elemanların uç denklemleri ile aşağıda tanımlanan temel
çevre ve temel kesit denklemlernden yararlanarak durum
denklemleri yazılabilir.
Temel çevre denklemleri: (Kirchoff’ un gerilimler kanunu):
Bir devrenin uygun ağaç yapısında, bir elemanı kiriş olmak üzere diğer
elemanları dal olan kapalı çevreler temel çevrelerdir ve bu çevre
denklemleri bağımsız çevre denklemleridir.
Temel kesit denklemleri :(Kirchoff’un akımlar kanunu)
Bir devrenin uygun ağaç yapısında, bir elemanı dal olmak üzere diğer
elemanları kirişler olan kesitler temel kesitlerdir ve bu kesitlerin
denklemleri bağımsız kesit ya da düğüm denklemleridir.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M.G.
123
Örnek 11.2 Şekilde verilen elektrik devresinin durum
denklemlerini çıkarınız.
R1
L
C1
R2
v(t)
C2
i(t)
Durum değişkenleri: v c1 (t ) , v c 2 (t ) ve i L (t )

0

 v c1  
d  
vc 2   0

 
dt
 i L   1

 L
0
1

R1C 2
1

L
1 

0


C 1  v c1 
1    1
 vc 2  
C 2     R1C 2
 i L   1

0

 L
1
C1
1
C2
0


 v 
 
i 


124
Örnek 11.3 Şekilde verilen elektrik devresinin durum denklemlerini
çıkarınız.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M.G.
125
Örnek 11.4 Şekilde verilen elektrik devresinin durum denklemlerini
çıkarınız.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M.G.
126
11.4 Durum Denklemlerinin L.D. İle Çözümü
x (t )  Ax (t )  Bu (t ) L.D. alınırsa X ( s )  ( sI  A ) 1 x( 0 )  ( sI  A ) 1 BU ( s )
y (t )  Cx (t )  Du(t )
Y ( s )  CX ( s )  DU ( s )
Çıkış cevabı ise
Y ( s )  C ( sI  A ) 1 x( 0 )  { C ( sI  A ) 1 B  D }U ( s )
Örnek 11.5 Verilen durum denkleminin birim basamak cevabını bulunuz.
 x 1 ( t )    1 0   x 1 ( t )  0 
 x ( t )   0  2   x ( t )   2  u( t )
 2  
 2   
y( t )  0
 x 1(t) 
1
  4 u( t )
x
(t)
 2 
 x 1 ( 0 )    1
x( 0 )  
 

 x 2 ( 0 )  2 
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M.G.
127
Örnek 11.6 Verilen devrenin durum denklemini çıkararak birim basamak
cevabını bulunuz. Durum değişkenleri çıkış olarak alınabilir.
R=10 ohm L=0.1H C=0.2F.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M.G.
128
Bölüm 12
Devrelerin Frekans Cevabı Analizi
ve
Filtreler
12.1 Frekans Cevabı Analizi
12.2 Frekans Seçici Devreler (Filtreler)
12.3 R L C Filtreler
12.4 Logaritmik Frekans Cevabı (Bode) Eğrileri
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
129
129
12.1 Frekans Cevabı Analizi
• Bir devrenin frekans cevabı analizi, devreye bağlanan sinüsoidal
bir kaynağın frekansı değiştirildiğinde devrenin kalıcı durum
çıkışının nasıl değişeceğinin incelenmesini ihtiva eder.
• Dolayısıyla geçici cevap bileşeni ve başlangıç koşulları ile
ilgilenilmez.
• Bölüm 8 de, fazörler yardımıyla sinüsoidal kalıcı durum analizi
yapılmıştı. Ancak, frekans cevabı, transfer fonksiyonu ile
yakından ilişkilidir. Bu ilişkiyi belirlemek açısından devrelerin
transfer fonksiyonları üzerinden frekans cevabını açıklamak daha
uygundur.
vi ( t )  VmCos ( wt )
voss ( t )  ???
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
130
12.1.1 Transfer Fonksiyonu Ve Kalıcı Durum Sinüsoidal Cevap
Bölüm 11’ den hatırlanırsa transfer fonksiyonu, bir devrede
başlangıç koşulları sıfır alınmak kaydıyla Laplace bölgesinde çıkışın
girişe oranı olarak tanımlanmıştır.
G (s) 
Y (s)
X (s)
Dolayısıyla, bir devrenin/sistemin transfer fonksiyonu bilinirse
herhangi bir giriş için çıkışı kolayca bulunur.
Y ( s )  G( s ). X ( s )
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
131
Girişin, x(t)= A.Cos(wt) gibi sinüsoidal bir sinyal olduğunu dikkate
alalım.
s
X(s ) A 2
s  w2
Y ( s )  G( s ). X ( s )
Transfer fonksiyonu
As
K1
K 1*
Y ( s )  G( s ) 2



2
ile i lg ili terimler
s w
s  Jw s  Jw
Bu ifade, geçici+kalıcı durum olmak üzere tam cevabı verir. Sadece
kalıcı durum cevabı ile ilgilendiğimize göre kararlı bir devre için
transfer fonksiyonu ile ilgili terimlerin ters laplace dönüşümü ,
zaman sonsuza giderken sıfır olacaktır. O halde Yss- kalıcı durum
çıkışını göstermek üzere,
Yss ( s )  G ( s )
As
s w
2
2

K1
s  Jw

K 1*
s  Jw
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
132
Buradan K1 bulunursa,
As
K 1  G( s )
s  jw
s  jw
1
1
 AG ( jw )  A G( jw ) G( jw )
2
2
Denklemler düzenlenerek sinüsoidal kalıcı durum çıkışı bulunursa,
yss ( t )  A  G( jw )  Cos ( wt  G( jw )
• Bu devrenin girişinin x(t)= A.Cos(wt) olduğu hatırlanırsa, bir
devrenin kalıcı durum çıkışının genliğinin, transfer fonksiyonunun
genliği ile,
• faz açısının ise transfer fonksiyonun faz açısı ile orantılı olarak
değiştiği sonucu çıkarılır.
• Ayrıca, giriş kaynağının frekansı (w) değiştirilirse bu değerler ve
dolayısıyla devrenin çıkışının genliği ve faz açısı da değişecektir.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
133
• Frekans bölgesi transfer fonksiyonu G(s), devrenin laplace
bölgesi eşdeğerinden elde edilebilir.
• Frekans bölgesi transfer fonksiyonu G(jw) ise devrenin frekans
bölgesi eşdeğerinden elde edilebilir ya da s-bölgesindeki transfer
fonksiyonunda s=jw dönüşümü ile bulunabilir.
G ( jw)  G ( s )
s  jw
yss (t )  A  G ( jw)  Cos ( wt   G ( jw)
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
134
Örnek 12.1 Şekil (a) da zaman bölgesinde verilen devrenin
R=10, C=0.1F
a-) önce frekans bölgesi transfer fonksiyonunu bulunuz.
b-) vi(t)=10Cos(100t) girişi için kalıcı durum çıkışı voss bulunuz.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
135
Örnek 12.2 Şekildeki devrede, kaynak akımı i(t)=10 Cos(4t) ise
kalıcı durumdaki çıkış yani Voss=?
Çözüm:
G ( jw) w  4 
G( s ) 
Vo
10 ( s  2 )
 2
I
s  2 s  10
10 ( j 4  2)
( j 4)  2( j 4)  10
2

20  j 40
 6  j8
voss( t )  ...

44 ,72 63 ,43
10 126 ,87
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
 4,47   63 ,44
136
12.2 Frekans Seçici Devreler (Filtreler)
• Arzu edilen frekanstaki sinyalleri geçirecek istenmeyen frekanstaki
sinyalleri önleyecek (süzecek) şekilde tasarlanan devrelere Frekans
Seçici Devreler ya da Filtreler denir.
• Önceki örneklerden, bir RLC devresindeki elemanlar farklı şekillerde
bağlanmak suretiyle bir filtre elde edilebileceği görülmektedir.
Alçak Geçiren Filtreler (AGF):
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Köşe (kesim)frekansı ?
Bant genişliği ?
137
Yüksek Geçiren Filtreler (YGF):
Gerçek filtre cevaplarını şekil üzerinde çiziniz.
Köşe (kesim)frekansı ?
Bant genişliği ?
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
138
Bant Geçiren (BGF) ve Bant Durduran Filtreler (BDF)
Gerçek filtre cevaplarını şekil üzerinde çiziniz.
Köşe (kesim)frekansı ?
Bant genişliği ?
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
139
12.3 R L C Filtreler
12.3.1 Alçak Geçiren RL Filtreler
Vo
R
G( s ) 

Vi sL  R
Çözüm: Önce devreyi w=0 ve w=sonsuz için yorumla sonra çöz.
R
wc 
L
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
140
12.3.2 Alçak Geçiren RC Filtreler
1
G( s ) 
sRC  1
Çözüm: Önce devreyi w=0 ve w=sonsuz için yorumla sonra çöz.
1
wc 
RC
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
141
Sonuç olarak yukarıdaki RL ve RC AGF devrelerine dikkat edilirse
birinci dereceden bir AGF’nin transfer
fonksiyonu;
,
wc
G( s ) 
s  wc
Örnek 12.3 Köşe frekansı 100 Hz olan bir alçak geçiren RL ve RC
filtre tasarlayınız. NOT: Önce L veya C değerini seçiniz.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
142
12.3.3 Yüksek Geçiren RL Filtreler
G( s ) 
s
R
s
L
Çözüm: Önce devreyi w=0 ve w=sonsuz için yorumla sonra çöz.
R
wc 
L
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
143
12.3.3 Yüksek Geçiren RC Filtreler
G( s ) 
s
1
s
RC
1
wc 
RC
Çözüm: Önce devreyi w=0 ve w=sonsuz için yorumla sonra çöz.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
144
Sonuç olarak yukarıdaki RL ve RC YGF devrelerine dikkat edilirse
birinci dereceden bir YGF’nin transfer fonksiyonu;
s
G( s ) 
s  wc
Örnek 12.4 Köşe frekansı 1 kHz olan bir yüksek geçiren RL ve RC
filtre tasarlayınız. NOT: Önce L veya C değerini seçiniz.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
145
12.3.4 Bant Geçiren Filtreler
R
s
L
G( s ) 
R
1
s2  s 
L
LC
Çözüm: Önce devreyi w=0 ve w=sonsuz için yorumla sonra çöz.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
146
Merkez frekansı, köşe frekansları, bant genişliği ve kalite faktörü
Genliğin maksimum olduğu andaki frekans (yani devre saf omik davranış
gösterirken) merkez ya da rezonans frekansıdır ve bu duruma devrenin
rezonans hali denir. Yani,
jwL 
1
jwC
1
 wL 
0 
wC
0
wo 
1
LC
Genliğin maksimum olduğu nokta wo frekansında elde edilir
G max  G ( jwo )  1
Genlik ifadesi,
1
ye eşitlenip w frekansı için çözülürse köşe frekansları,
2
wc1
1
 R 

 
 
2L
LC
 2L 
R
2
2
wc 2
R
1
 R 

 
 
2L
LC
 2L 
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
147
Merkez frekansı (wo), köşe frekanslarının
geometrik ortalaması alınarak da bulunabilir.
w0  wc1  wc 2 
1
LC
Bant genişliği köşe frekanslarının farkıdır,
B  w c 2  w c1 
R
L
Kalite faktörü ise,
Q
wo
B
Q
L
R 2C
Kalite faktörü, bant genişliğinin anlam olarak tersini ifade eden bir
tanımdır. Bant genişliği arttıkça kalite faktörü azalır.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
148
Sonuç olarak yukarıdaki RLC BGF devrelerine dikkat edilirse
İkinci dereceden bir BGF’nin transfer fonksiyonu;
G( s ) 
Bs
s  Bs  w0
2
2
Köşe frekansları,
wc1
2
B
2
      w0
2
2
B
wc 2
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
2
B
2
     w0
2
2
B
149
Örnek 12.5 Transfer fonksiyonu aşağıda verilen filtrenin
parametrelerini belirleyiniz.
10 s
G( s )  2
s  300 s  10 6
Çözüm
G( s ) 
Bs
s  Bs  w0
2
2
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
150
Örnek 12.6 Şekildeki devrenin nasıl bir filtre devresi olduğunu ve
filtrenin önemli parametrelerini belirleyiniz. BGF transfer
fonksiyonunu referans alınız.
Çözüm: Önce devreyi w=0 ve w=sonsuz için yorumla sonra çöz.
1
s
RC
G( s ) 
1
1
2
s 
s
RC
LC
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
151
Örnek 12.7 Örnek 12.6 daki devreye göre merkez frekansı 5 kHz ve
bant genişliği 200 Hz olan bir BGF tasarlayınız. C=5µF değerinde bir
kondansatör kullanılacaktır.
B  2f  400 
Çözüm:
B
1
RC
 R
1
BC
 159 ,15 
wo  2f  10000 
2
wo 
1
LC
L
1
2
w C

1
(10000  )  5  10
2
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
3
 202 ,64 mH
152
12.3.5 Bant Durduran Filtreler
1
s 
LC
G( s ) 
R
1
2
s  s
L
LC
2
Çözüm: Önce devreyi w=0 ve w=sonsuz için yorumla sonra çöz.
G ( Jw ) 
1
 w2
LC
2
 1
 R
2

w


 w 
 LC
  L
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
2
153
Merkez frekansı, köşe frekansları, bant genişliği ve kalite faktörü
BDF lerde de BGF lerde olduğu gibi benzer tanımlar yapılabilir.
Merkez frekansı wo, BDF’nin genliğinin min.olduğu noktadaki frekans
değeridir.
1
 w2  0
LC
H ( Jw )  0
1
Genlik ifadesi
wc1  
2
2
1
 R 
 


2L
LC
 2L 
B  wc 2  wc1 
Q
B

LC
ye eşitlenerek w için çözülürse köşe frekansları,
R
wo
1
wo 
wc 2 
2
1
 R 
 


2L
LC
 2L 
R
R
L
L
R 2C
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
154
Sonuç olarak yukarıdaki RLC BDF devrelerine dikkat edilirse
İkinci dereceden bir BDF’nin transfer fonksiyonu;
s  w0
2
G( s ) 
2
s  Bs  w0
2
2
Köşe frekansları,
2
B
2
wc1       w0
2
2
B
wc 2 
2
B
2
    w0
2
2
B
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
155
Örnek 12.6 Şekildeki devrenin nasıl bir filtre devresi olduğunu
belirleyerek filtrenin parametrelerini bulunuz. BDF transfer
fonksiyonunu referans alınız.
Çözüm: Önce devreyi w=0 ve w=sonsuz için yorumla sonra çöz.
V
G( s )  0 
Vi
s2 
1
LC
s  w0
2
G( s ) 
1
1
s2 
s
RC
LC F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
2
s  Bs  w0
2
2
156
Örnek 12.7 Merkez frekansı 750 Hz ve kalite faktörü 3 olan bir
BDF tasarlayınız. 100 nF bir C kullanınız.
Çözüm:
wo  2f  1500 
B
w0
L
1
Q
2
 500   B  250 Hz
 450 mH
w0 C
R  B  L  500   450  10 3  707 
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
157
12.4 Logaritmik Frekans Cevabı (Bode) Eğrileri
Bode eğrileri, logaritmik frekans eksenine göre logaritmik genlik ve
faz cevabını veren eğrilerdir. Bode eğrilerinde genlik, decibel olarak
tanımlanır.
Frekans cevaplarında önemli bir yeri olan düşük frekans bölgesi,
logaritmik eksenlerde genişletilerek daha hassas bir cevap eğrisi elde
edilebilir ve yüksek frekans bölgesi ise sıkıştırılarak geniş bir frekans
alanında grafikler çizilebilir.

 Çarpım ve bölüm durumunda olan transfer fonksiyonunun
bileşenleri, toplam yada fark durumuna getirilerek genlik ve faz
hesaplamaları kolaylaşabilir.
 Genlik ve faz cevapları, analitik işlemler yerine gerekirse
grafiksel olarak da yapılabilir.
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
158
12.4.1 Desibel, Oktav ve Decade Kavramları
G ( jw)
G ( jw) dB  20 . log . G ( jw)
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
159
12.4.2 Bode Eğrilerinin Çizimi
• Bir devrenin transfer fonksiyonunun 4 temel bileşenden meydana
geldiği görülür.
• Logaritma alındığında bu bileşenler toplam ya da fark haline
geleceğinden bu bileşenlerin pay ve / veya paydada olması veya
tek katlı ya da çok katlı olması incelemeyi fazla etkilemez.
 Sabit bir kazanç çarpanı
 sanal çarpan
K
[( jw ) ]  r
r
(
jwT

1
)
 birinci dereceden çarpan
 ikinci dereceden çarpan
w
w 2 r
(1  j 2
 2)
wn wn
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
160
Sabit Kazanç Çarpanı K
G ( jw)  K
olsun
K=10 için
21
G ( jw) dB  20 . log( K )
   G ( jw)   K  0
G(jw)dB
20.5
20
19.5
19
1
w(rad./sn)

0.5
0
-0.5
-1
10 -1
0
10F.Ü.
10 1
Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
10 2 w(rad./sn)
161
r
Sanal Bileşen [( jw ) ]
1
1
G
(
jw
)

G( s ) 
jw
s
G ( jw) dB  20 log( w)
   G ( jw)   tan 1
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
w


0
2
162
Sanal bileşenin r katlı olduğu kabul edilirse bode genlik cevabı,
G ( jw) dB  20 .r . log( w)
   G ( jw)   r . tan
1
w

  r.
0
2
r=2 için
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
163
Sanal bileşenin payda yerine payda olduğu dikkate alınırsa,
G ( jw)  jw
G ( jw) dB  20 log( w)
   G ( jw)  tan
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
1
w 

0 2
164
Örnek 12.8 Aşağıda transfer fonksiyonu verilen devrenin frekans
cevabını çiziniz.
20
G( s ) 
2s
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
165
Birinci dereceden bileşen
1
jwT  1
r=1
ve
T=10 için
r=2 için ?
G ( jw) dB  20 log(
w 2 T 2 1
   G ( jw)   tan
wT
1
1
Bode Diagram
0
Magnitude (dB)
G ( jw) 
( jwT  1)  r
-5
-10
-15
Asimptotlar ??
Phase (deg)
-20
0
-45
-90
-2
10
-1
0
10
10
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
Frequency (rad/sec)
1
10
166
Birinci dereceden bileşenin pay olması durumunda
bode genlik ve fazı,
G ( jw) dB  20 log(
w T 1
2
2
G( jw )  jwT  1
   G ( jw)  tan
1
wT
1
Bode Diagram
Magnitude (dB)
20
Asimptotlar ??
15
10
5
Phase (deg)
0
90
45
0
-2
10
-1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
1
10
167
w
w 2 r
(1  j 2

)
2
wn
wn
İkinci dereceden bileşen
1
G ( jw) 
1  j 2
G ( jw) dB  20 log( (1 
2
w
w
 2
wn wn
w2
wn
2
)
 ( 2
2
w 2
)
wn
Bode Diagram
10
wn  10 ,
  0.25 ve   0.8
Magnitude (dB)
0
-10
-20
-30
için
-40
0
Asimptotlar ??
Phase (deg)
-45
-90
-135
-180
-2
10
-1
0
10
10
1
10
Frequency (rad/sec)
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
168
Örnek 12.9 Aşağıda transfer fonksiyonu verilen devrenin frekans
cevabını çiziniz.
200
G (s) 
s ( s  10 )
Çözüm:
Bode Diagram
Magnitude (dB)
40
20
0
-20
Phase (deg)
-40
0
-45
-90
-2
10
-1
10
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
169
Örnek 12.10 Aşağıda transfer fonksiyonu verilen devrenin frekans
cevabını çiziniz.
100 ( s  0.1 )
G( s ) 
s( s  1 )
Çözüm:
Örnek 12.11 Aşağıda transfer fonksiyonu verilen devrenin frekans
cevabını çiziniz.
200 ( s  1 )
G( s )  2
s  4 s  100
Çözüm:
F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT
170