801.526 Asterosismoloji

801.526 Asterosismoloji
Ders 5 Uygulama:
DIAMONDS
Global Sismik Parametrelerin Elde Edilmesi
Güneş-benzeri salınımların alamet-i farikası güç spektrumunda birbirinden
düzenli aralıklarla ayrılan piklerin (ing.peak) varlığıdır. Bu pikler basınç (p)
modu (akustik) salınımların sonucudur. Evrimleşmiş yıldızlara gidildikçe çekim
(g) modları da giderek baskın hale gelir ve her iki modun karakteristiklerini
gösteren karışık modlar (mixed modes) da gözlenir. Güç spektrumda bu
modlara ilişkin pikler yarı-düzenlidir.
Asterosismolojide bir yıldızı tam olarak karakterize edebilmek için her bir
modun frekans, genlik ve evresi için hassas tahminlere ihtiyaç duyulur. Bu
ancak belirli bir Sinyal / Gürültü’nün üzerindeki veri setleri için mümkündür.
Üzerinde uygulama yapacağımız Diamonds kodu, Güneş-benzeri salınımlar
gözlenen anakol ve dev yıldızların global sismik parametrelerinin güç
spektrumlarından elde edilmesi için geliştirlmiştir (Campante 2012, doktora
tezi).
1.Salınımların gerçekleştiği frekans aralığı belirlenir,
2.Granülasyon kaynaklı arkaalanı domine eden sinyal parametrize edilir,
3.Ortalama büyük ayrıklık hesap edilir (Δν),
4.En büyük genliğin gerçekleştiği salınımın frekansı elde edilir (νmax),
5.En büyük genliğin gerçekleştiği salınımdaki genlik elde edilir (Amax),
Global Sismik Parametrelerin Elde Edilmesi
Bu şemada ilerlerken öncelikle güç spektrumu w
aralığa sahip frekans pencerelerine bölünür. Söz
konusu pencerenin genişliği merkezi frkeansına
(νc) bağlıdır. Bir p-modunun genişliği νmax ile
ölçeklendiği için
w = (νc / νmax,Güneş ) wGüneş
Daha sonra bu şekilde genişliği belirlenen her bir
pencerede güç spektrumunun güç spektrumu (PS
Ø PS) hesaplanır. Daha sonra Δν / 2, Δν / 4 ve Δν / 6
(yani sırasıyla 1., 2. ve 3. harmoniklerde) belirgin
yapıların (piklerin) olup olmadığına bakılır. Bu üç
harmonikte gözlenen yapıların gürültü kaynaklı
olma ihtimali %1’in altında ise bu pencerede bir
salınımın olduğu sonucuna varılır. Salınıma
rastlanan tüm pencerelerin bulunduğu frekans
aralığı
salınımların
frekans
aralığı
olarak
belirlenmiş olur.
Örnek olarak sağda Güneş-benzeri bir yıldızın
frekans spektrumu verilmiştir. Dikey sürekli ve
süreksiz doğrular iki ayrı moddan beklediğimiz ve
Δν kadar birbirinden ayrılan salınım frekanslarını
göstermektedir.
νmax civarında elde
edilen PS Ø PS
Δν / 2’de S/G
üzerinde bir
pik
Global Sismik Parametrelerin Elde Edilmesi
Arkaalan gürültüsü granülasyon kaynaklıdır ve
Harvey-benzeri bir profil gösterir (Kallinger vd.
2014). Genellikle bunun üzerine foton gürültüsü
(Poisson profili) eklenir.
Yandaki grafiklerde üstte 16 Cygni A yıldızının güç
spekktrumunu (siyah) ve onun düzleştirilmiş (ing.
smoothed) versiyonu (koyu kırmızı) görülüyor.
Arkaalan gürültüsüne (background noise) yapılan fit
(kırmızı sürekli eğri) ve onun iki bileşeni
(granülasyon ve foton gürültüsü) kırmızı süreksiz
eğrii ile gösterilmiştir.
Biribirinden düzenli aralıklarla ayrılan salınımların
bulunduğu
bölgeden
ellde
edilen
güç
spektrumunun güç spektrumu (PS Ø PS) ise altta
görülmektedir.
Δν / 2’nin merkezi ortalama büyük ayrıklık değerini
verir.
Δν / 6 ~ 17 μHz
Δν / 4 ~ 26 μHz
Δν / 2 ~ 52 μHz
Global Sismik Parametrelerin Elde Edilmesi
Maksimum genliğin gerçekleştiği frekansı (νmax) için arkaalanı çıkardıktan sonra
p-modlarındaki gücün 2Δν ‘lük aralıklar dahilinde ortalaması alınır ve radyal
mod başına güce (ing. power per radial mode) dönüştürmek üzere Δν / c ile
çarpılır. (c: her bir pencere başına düşen mod sayısıdır, Kjeldsen vd. 2008) Bu
profilin merkezi (centroid) maksimum genliğin gerçekleştiği frekans (νmax)
olarak belirlenir.
Sönümlenen
tanımlanır.
bir
salınıcı
(ing.
damped
oscillator)
aşağıdaki
denklemle
Burada y(t), salınımın genliği, η sönümlenme hızı (ing. damping rate), ω0
sönümlenmemiş salınıcının frekansı ve f(t) sönümleyici fonksiyon (ing. random forcing
function) olarak tanımlanır. Bu denklemin Fourier tanım kümesindeki karşılığı
Bu ifade güç spektrumunda Lorentz profilleri yapısındaki piklerin toplamından
oluşan bir spektruma karşılık gelir.
Global Sismik Parametrelerin Elde Edilmesi
y(t) sınırlı bir zaman aralığında gözlendiğinde güç spektrumu aşağıdaki şekilde
oluşur.
y(t)’nin uzun süre gözlendiğini, sönümlenme hızının da salınımın frekansına
göre oldukça küçük olduğu varsayıldığında bu güç spektrumu için limit durum
aşağıdaki şekilde elde edilir.
Bu ifade daha önce de gördüğümüz, ω0 merkezi frekansı ile frekansı, η
sönümleme hızı ile de genişliği karakterize edilen bir Lorentz profilidir.
Global Sismik Parametrelerin Elde Edilmesi
Sonuç olarak güç spektrumu Harvey-benzeri bir profile sahip bir arkaalan
(background) (B(ν)) ve onun üzerine oturan Lorentz profilleri yapısındaki
piklerin (O(ν)) toplamından oluşur.
Burada λ model parametreleri setini göstermektedir.Aşağıda HD 49933 ‘ün 180
günlük CoRoT ışık eğrisi görülmektedir.
Piklerin Bulunması (ing. Peak Bagging)
j frekans bininde gözlenen güç spektrumunun belirli bir Pj değerini alma olasılığı
f(Pj, λ) onun limit spektrumuna aşağıdaki ifadeyle bağlıdır.
{Pj} örnekleminin gerçekleşme olasılıklarının dağılım fonksiyonu (frekans
binlerinin birbirinden bağımısız olduğu varsayılırsa) aşağıdaki ifadeyle verilir. Bu
ifadeye olabilirlik fonksiyonu (ing. likelihood function) adı verilir.
Diamonds kodu bu fonksiyonu (piklerin bulunduğu frekannsları) Bayesian
İstatistik paradigması çerçevesinde hesaplar ve pik pozisyonlarını verir.
Diamonds Kodu İçin Kepler Verisinin Hazırlanması
1. Kepler Uzay Teleskobu verisi yüksek fotometrik hassasisyeti ve (veri aktarımı, güvenli modda
çalıştırma zorunluluğunun oluştuğu durumlar gibi aksamalar dışında) kesintisiz veri sağlaması
nedeniyle asterosismoloji çalışmaları için ideal bir gözlem aracıdır.
2. Teleskopta kullanılan dedektörde poz süresi kavramı olmamakla birlikte iki ayrı integrasyon
zamanında (29.9 dk ve 59.8 saniye) görüntü alınmaktadır. Uzun integrasyon zamanlı görüntüler
(long cadence) daha çok gezegen keşfi için kulanılırken, sınırlı sayıda (her bir çeyrekte 256) cisim
için elde edilen kısa integrasyon zamanlı görüntüler (short cadence) asterosismoloji amaçlıdır. Bu
uygulamada kısa integrasyon zamanlı görüntülerden elde edilen ışık eğrileri kullanılacaktır.
3. Kepler Uzay Teleskobu’nun ham ve Kepler veri indirgeme paketlerince düzeltilmiş ışık eğrisi
verilerine https://archive.stsci.edu/kepler/ adresinden erişilebilir.
4. Kepler Asteroseismology Science Consortium (KASOC, http://kasoc.phys.au.dk/) çeşitli çalışma
grupları altında (1. Güneş Benzeri Salınımlar, 2. Açık Yıldız Kümelerindeki Yıldızlar, ..., 8. Kırmızı
Dev Yıldızlar gibi) asterosismik veriyi incelemektedir. Bu gruplar kendi ihtiyaçları dahilinde veriyi
düzeltmekte ve bu ihtiyaçlara yönelik olarak da düzeltilmiş veriyi sağlamaktadırlar. Veriyi temin
edebilmek için öncelikle konsorsiyuma web sayfası aracılığı ile üye olunmalıdır.
5. Güneş benzeri salınımların gözlendiği tipik bir kırmızı dev yıldız olan KIC012008916 için KASOC
8. çalışma grubu (WG8) tarafından sağlanan veri aşağıdaki formata sahip bir ASCII dosyasındadır.
# Kepler Asteroseismic Data
# Working Group 8 Corrected data
# KIC number: 12008916
# Season:
Q0
# TRF:
0
# Version:
1.1
# Time is in modified heliocentric julian date
# Time (days), Raw Flux, Raw Flux error, Corrected Flux, Corrected Flux error, WG8 Corrected Flux,
#----------------------------------------------------------54953.0381524
446743712.0
24316.8
446163328.0
14751.2
446743712.0
54953.0585860
446728160.0
24316.8
446138816.0
15542.9
446728160.0
54953.0790195
446715584.0
24316.8
446046944.0
19784.6
446715584.0
WG 8 Corrected error
24316.8
24316.8
24316.8
Bu verinin ilk iki sütunu (BJD-TDB’ye karşılık ham akı değerleri) grafiğe geçirildiğinde zaman zaman
veride boşluklar, özelllikle bu boşluklar sonrası dramatik düzey değişimleri, hızlı parlaklık değişimleri ve
genel trendden ayrılmış noktalar (outlier) görülmektedir. Bu problemleri gidermek amacıyla veri 4
segmente ayrılmış ve her bir segmentten 5σ kriterinin dışında kalan aykırı noktalar temizlenmiş ve bir
sonraki segmentle arasında düzey farkı olmayacak şeklilde birleştirlmiştir.
Veri karakteristiğinin değiştiği boşluklar
KIC0120088916 yıldızınnın Q2 verisi
Verinin 3. sütunu her bir ham akı değerinin hatasını, 4 ve 5. sütunları ise ham verinin Kepler veri
indirgeme paketlerince düzeltilmiş akı değeri ve hatasını içermektedir. Ancak bu düzeltme işlemi daha
çok gezegen keşfi amaçlı bir düzeltmedir. KASOC çalışma grupları kendi ihtiyaçları doğrultusunda bu
veriyi ayrıca düzeltmektedir. Örneğin kırmızı dev yıldızların asterosismik analizil üzerine çalışan WG8
kendi düzelttiği veriyi bu ASCII dosyalarının 6. sütununda, hatalarını ise 7. sütununda sağlamaktadır.
KIC0120088916 yıldızınnın WG8 tarafından düzeltimiş Q2 verisi
Bu işlem bütün çeyrek verileri için uygulandıktan sonra her bir çeyrek için 6 ve 7. sütunlarda verilen
WG8 grubu tarafından Garcia vd. (2011)’de anlatıldığı şekliyle düzeltilen akı değerleri ve hataları
birleştirilmiş ve aşağıdaki 13 çeyreklik ışık eğrisi elde edilmiştir.
KIC0120088916 yıldızınnın WG8 tarafından düzeltimiş Q0-Q13 ışık eğrisi
Bu ışık eğrisinde de hala aykırı noktaların olduğu ve her şeyden önemlisi uzun dönemli ve dedektör
karakteristiği değişiminden kaynaklanan lineer bir düşüş trendinin olduğu görülmektedir. Bu trend
düzeltilmiş ve aykırı noktalar atılmııştır. Sonuçta elde edilen ışık eğrisi aşağıdaki gibidir.
KIC0120088916 yıldızınnın Q0-Q13 ışık eğrisi
KIC0120088916 yıldızınnın Q0-Q13 ışık eğrisi ile oluşturulan güç spektrumu
Diamonds Kodunun Çalıştırılması
Öncellikle programın verisinin bir güç spektrumu olduğunu vurgulamak gerekir.
Bu güç spektrumunun μHz cinsinden frekansa karşılık ppm2 / μHz girmek
gerekir. (Garcia vd. 2011) Bu veri Kepler numarası ile birlkte KICxxxxxxxx
şeklinde
programa
aşağıdaki
şekilde
sağlanır.
Örneğimizdeki
veri
KIC012008916 yıldızına aittir bu nedenle program aşağıdaki şekilde
background klasörünün bir alt klasörü olan build klasöründen çalıştırılır.
.../Background/build$ ./multirun 012008916 0 1
Bağımsız
çalışan kod
sayısı
Yıldızın KIC numarası
Kodun çalıştırılma sayısı
multirun dosyasının yapısına bakacak olursak aslında background binary
kodunu çağıran bir script’ten ibaret olduğunu görürüz.
Kod çalıştıktan sonra arkaalan uyumlamasının (ing. background fitting)
başarımını gösteren oran parametresi (ing. ratio parameter) 0.01 değerinin
altında düşünceye kadar çalışmaya devam eder. Bu koşul gerçekleştiğinde
programın çalışması sona erer ve sonuçlar results dizini altında analiz ettiğiniz
yıldızınızın adının verildiği bir klasörde oluşur.
Sonuçlar
Örneğimiz için results/KIC012008916 klasöründeki dosyaları inceleyelim. Bu
dosyalardan birincisi NyquistFrequency.txt dosyasıdır ve içeriğinde tek satır
bulunmaktadır:
283.2116656017908
Bu değerin karşılık geldiği dönemi hesaplayacak olursak: 1 / 283.21 (μHz) * 1e6
(Hz / μHz) = 3530.95 saniye bulunur. Bu 58.85 dakikaya karşılık gelir ki bu da
Kepler’in uzun pozlama süresinde (ing. long cadence) 2 nokta aldığı süredir.
(Yani veri alınma frekansının 2 katıdır).
Şimdi NSMC_configurationParameters.txt dosyasınını içeriğine bakalım. Bu
dosyanın içeriğinde Nested Sampling Monte Carlo algoritmasına ilişkin
parametrelerin değerleri bulunur.
500
500
10000
1500
50
2.10
0.01
0.01
Sonuçlar
XMeans_configurationParameters.txt birinci satırında kaç parametrenin
aynı anda uyumlanacağını (örneğimizde 1) ikinci satırında toplam kaç
parametrenin olduğunu belilrler (örneğimizde 10).
background_hyperParameters.txt bu 10 parametrenin her bir için alt ve üst
limitleri belirlemektedir.
# Hyper parameters used for setting up uniform priors.
# Each line corresponds to a different free parameter
(coordinate).
# Column #1: Minima (lower boundaries)
# Column #2: Maxima (upper boundaries)
8 22
# Gürültü seviyesi (W)
60 200
# Harvey-1 genliği (a1)
0.2 4
# Harvey-1 frekansı (b1)
140 190
# Harvey-2 genliği (a2)
20 60
# Harvey-2 frekansı (b2)
130 180
# Harvey-3 genliği (a3)
130 180
# Harvey*3 frekansı (b3)
220 350
# Salınım şiddeti (yüksekliği, Hosc)
153 167
# En yüksek genliğin gerçekleştiği frekans (νmax)
12 20
# Varyans (σ)
Sonuçlar
Şimdi KICxxxxxxx/00 dizini altındaki dosyalara bakalım. Bu dizinde kodun bu
yıldız için 0. çalışması sonucu üretilmiş sonuç dosyalarıı bulunmaktadır. Bu
dosyaların büyük çoğunluğu Bayesian istatistik paradigmasının parametrelerini
(likelihood function, Bayesian evidence, prior distribution, posterior distribution,
marginal distribution gibi) vermektedir. Uyumlama sonrası elde edilen değerler
ise background_parameterSummary.txt için ortalama (mean), ortanca
(median), mod (mode) ve varyans (variance) değerleri ile birlikte +/- 3σ aralığı
için değerleri de vermektedir.
# Summary of Parameter Estimation from nested sampling
# Credible intervals are the shortest credible intervals
# according to the usual definition
# Credible level: 68.30 %
# Column #1: I Moment (Mean)
# Column #2: Median
# Column #3: Mode
# Column #4: II Moment (Variance if Normal distribution)
# Column #5: Lower Credible Limit
# Column #6: Upper Credible Limit
# Column #7: Skewness (Asymmetry of the distribution, -1 to the left, +1 to the right, 0 if symmetric)
1.807264554e+01 1.797688939e+01 1.779979930e+01 4.631353465e-01 1.723474742e+01 1.858644015e+01 4.845420428e-01
1.481590876e+02 1.477496035e+02 1.470801491e+02 1.276613041e+01 1.443461921e+02 1.515010157e+02 2.891729734e-01
2.367398698e+00 2.367306460e+00 2.368219786e+00 3.572870207e-03 2.308858591e+00 2.423688444e+00 -5.566004563e-02
1.759976347e+02 1.760349242e+02 1.763117063e+02 8.278607748e-01 1.751859188e+02 1.769486650e+02 -2.469028533e-01
4.155382949e+01 4.155534551e+01 4.154363799e+01 1.534068049e-01 4.118017404e+01 4.200275036e+01 -7.197856423e-02
1.649148679e+02 1.649067661e+02 1.646960989e+02 2.350877080e+00 1.633731136e+02 1.664683999e+02 -3.779446150e-02
1.584953000e+02 1.590342482e+02 1.603849186e+02 9.666361796e+00 1.562849482e+02 1.623589785e+02 -6.137810124e-01
2.865822401e+02 2.868861327e+02 2.862782086e+02 2.779013484e+01 2.814720562e+02 2.925433715e+02 -1.906438109e-01
1.613927501e+02 1.613895350e+02 1.613933676e+02 2.692919425e-02 1.612303983e+02 1.615322922e+02 3.544482812e-02
1.517876558e+01 1.519106624e+01 1.518700768e+01 5.176951732e-02 1.497586497e+01 1.542778446e+01 -1.545629906e-01
Sonuçlar
Model ve veri plot_background.py Python kodu kullanılarak üstüste çizdirilebilir.
Sonuçlar
10 serbest parametrenin her biri için sonuç dağılımları (posterior probability
distributions) aşağıdaki gibi elde edilmiştir.
Kaynaklar
✔ Appourchaux, T., et al. 2012, A&A, 543, A54
✔ Campante, T. L. 2012, PhD thesis, Universidade do Porto
✔ Campante, T. L., et al. 2016, ApJ, 819, 85
✔ Corsaro, E. & De Ridder, J. 2014, A&A, 571, A71
✔ Davies, G. R., et al. 2016, MNRAS, 456, 2183
✔ Handberg, R. & Campante, T. L. 2011, A&A, 527, A56