Trigonmetri 2

TRİGONOMETRİ − 2
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
BİR AÇININ KOSİNÜS VE SİNÜS DEĞERLERİ
Örnek...1 :
B i r im ç em b e r k ul l a n a r a k a ş a ğ ıd a k i if a d e l e r i
h e s a p l a yın ı z .
Sinüs
ekseni
M e rk e zi
orijin ve
ya r ı ç a p ı 1
P(a,b)
b i r im o l a n
ç em b e r e
1
b i r im ç em b e r
x
Kosinüs
d e n i r.
Standart
ekseni
O
p o zi s yo n d a
(Köşesi
orijinde,
başlangıç
y
kenarı x
ek s e n i v e
yö n ü p o zi t if yö n o l a n a ç ı ) v e ö l ç ü s ü θ
o l a n a ç ı n ı n b i r i m ç e m b e r ü ze r i n d e ya y
b i t im n ok t a s ı P ( a , b ) o l s u n :
y
a) sin 900
b) cos 1800
B 1
C
−1
O
A
1
x
−1 D
c) sin 225
d) cos 3300
0
1, -1,
−√ 2
,
2
√3
2
θ r e e l s a yı s ı n ı c o s θ i l e e ş l e ye n
f o nk s i yo n a k o s i n ü s f o n k s i yo n u d e n i r.
K o s i n ü s F o n k s i yo n u
cos : R → [−1,1]
θ → cos θ
Burada cos θ nın değer aralığı
−1≤ cos θ ≤1 d i r.
A yr ı c a , c o s ( θ + k . 2 π ) = c o s θ d ı r.
www.matbaz.com
˙
A ) cos(θ)=a
o l a r ak t a n ım l a n ı r.
O x ek s e n i n e k os i n ü s e k s e n i d e n i r.
Örnek...2 :
sin2 12+cos 2 12−1
sin 67+cos 34. sin41
i ş l em i n i n s o n u c u k aç t ır ?
0
B ) sin(θ)=b o l a r ak t a n ım l a n ı r.
O y ek s e n i n e i s e s i n ü s e k s e n i d e n i r
θ r e e l s a yı s ı n ı s i n θ i l e e ş l e ye n
f o nk s i yo n a s i n ü s f o n k s i yo n u d e n i r
S i n ü s F o nk s i yo n u
sin : R → [−1,1]
θ → sin θ
Burada sin θ nın değer aralığı
−1≤ sinθ ≤1 d i r.
A yr ı c a , s i n ( θ + k . 2 π ) = s i n θ
Örnek...3 :
13+5 sinx
3
i s e a k a ç f ar k l ı t a m s a yı d e ğ e r i a l ır ?
a=
4
d ı r.
SONUÇ
O K P d i k ü ç g e n i n d e cos 2(θ)+sin2 (θ)=1 d i r.
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
1/6
TRİGONOMETRİ − 2
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
BİR AÇININ TANJANT VE KOTANJANT
DEĞERLERİ
B i r im
ç em b e r e
A(1,0)
Kotanjant
ekseni
DAR AÇILARIN TRİGONOMETRİK
DEĞERLERİ
y
)
k,1
K(
B 1
y
K
T(1,t)
tanθ
1
x
sinθ
O cos P
1
Tanjant
ekseni
A
1
F
R
x
T
n ok t a s ı n d a n ç i zi l e n t e ğ e t e t a n j a n t
e k s e n i , B ( 0 , 1 ) n o k t a s ı n d a n ç i zi l e n t e ğ e t e
d e k o t a n j a n t e k s e n i d e n i r.
P O R d i k ü ç g e n i n d e cos 2(θ)+sin2 (θ)=1 e l d e
edilir
Bir açının tanjant (kotanjant) değeri
b u l u n u rk e n ş u a d ı m l a r i zl e n i r :
Ş e k i l d e k i P O R v e TO F ü ç g e n l e r i n i n
b e n ze r l i ğ i n d e n
Ad ı m 1 ) Ve r i l e n a ç ı ya e ş i t o l a n p o zi t i f
yö n l ü s t a n d a r t b i ç i m l i ya yı n b i t im n ok t a s ı
b i r im ç em b e r d e i ş a r e t l e n i r,
sin (θ)
ve
cos(θ)
cos(θ)
cot(θ)=
sin(θ)
e l d e e d i l i r.
Ad ı m 3 ) D o ğ r u t a n j a n t e k s e n i i l e
k e s i ş t i r i l i r,
Ad ı m 4 ) K e s im n ok t a s ı n ı n o r d i n a t ı a ç ın ın
t a n j a n t ı d ı r.
A yn ı ş e k i l d e k o t a n j a n t d e ğ e r i d e ya y
b i t im v e o r i j i n i b i r l e ş t i r e n d o ğ r u n u n ( v e ya
u za n t ı s ı n ı n ) k ot a n j a n t ek s e n i n i k e s t i ğ i
n ok t a n ı n a p s i s i d i r.
Örnek...4 :
B i r i m ç e m b e r k u l l a n a r ak a ş a ğ ı d ak i i f a d e l e r i
h e s a p l a yı n ı z.
a) tan 60
b) cot 120
y
c) tan 225
O
Z
r
y
B u b e n ze r l i ğ i n
M
x
r a s t g e l e b e n ze r
b i r d i k ü ç g e n e u yg u l a nm a s ı yl a
T
x
y
y
x
, sin(θ)=
, tan (θ)= , cot(θ)=
r
r
x
y
e l d e e d i l i r.
cos(θ)=
TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLER
cos2 (θ)+sin2 (θ)=1
v e tan(θ).cot(θ)=1 d i r.
Ayr ıc a b i r b i r i n i 9 0 o ye ( π ye )
2
t a m a m l a ya n a ç ıl a r i ç i n
birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne;
birinin tanjantı diğerinin kotanjantına
e ş i t t i r. Ya n i ,
y
x
cos(90 o−θ)= =sin(θ) , tan(90o −θ)= =cot (θ)
r
y
B 1
C
−1
www.matbaz.com
Ad ı m 2 ) Ya y b i t im n ok t a s ı v e o r i j i n i
b i r l e ş t i r e n d o ğ r u ç i zi l i r,
tan (θ)=
A
1
x
Örnek...5 :
5 sinx
cosx
i s e t a n x k aç t ır ?
=
9
tanx . cotx+2
−1 D
√ 3 , −1 , 1
√3
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
3
5
2/6
TRİGONOMETRİ − 2
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
Örnek...6 :
SEKANT VE KOSEKANT FONKSİYONLARI :
c o s 2 1 o + c o s 2 2 o + c o s 2 3 o + . . . . . . . . + c o s 2 9 0 o k a ç t ır ?
44,5
Örnek...7 :
x d a r b i r a ç ı o l m a k ü ze r e , cos(x)=
2
ise
3
sin2 (x)−tan 2 (x) k a ç t ı r ?
−25
36
1
tan2 x−
+sin2 x+cos2 x=?
cos 2 x
0
Örnek...9 :
TBZ bir dik üçgen
^
m (TMZ )=90 o
^
m (BTZ)=90 o
|TM|=6 br
|MZ|=4 br i s e
^
cos( TBM) k aç t ı r ?
www.matbaz.com
Örnek...8 :
y
Standart
p o zi s yo n d a
S(0,c)
( k öş e s i
orijin ve
B
b a ş l a n g ıç
k en a r ı O x
P
L
ekseni )
verilmiş ve
R(s,0)
ölçüsü θ
K A
x
olan
a ç ın ı n
birim
çember
ü ze r i n d e
gördüğü
ya yın b i t i m n ok t a s ı P ( x , y) n ok t a s ı o l s u n .
P ( x , y) n o k t a s ın d a b i r im ç em b e r e ç i zi l e n
t e ğ e t i n x ek s e n i n i k e s t i ğ i R n o k t a s ın ı n
a p s i s i n e θ n ın s e k a n t ı ; y ek s e n i n i
k es t i ğ i S n o k t a s ın ın o r d i n a t ı n a θ n ın
k os e k a n t ı d e n i r. θ r e e l s a yı s ın ı s e c θ
i l e e ş l e ye n f o nk s i yo n a s e k a n t f o nk s i yo n u ;
c o s e c θ i l e e ş l e ye n f on k s i yo n a i s e
k os e k a n t f o nk s i yo n u d e n i r.
SONUÇLAR
cosec(θ)=
1
sinθ
sec(θ)=
1
cos θ
Örnek...11 :
Ta b l o d a b o ş k al a n ye r l e r i d o l d u r u n u z .
T
1. Bölge
3. Bölge
4. Bölge
cos
6
sin
B
2. Bölge
M
4
Z
3 √ 13
13
+
tan
−
cot
sec
Örnek...12 :
a= c o s 1 9 0 o , b= s i n 1 7 0 o , c= t a n 7 0 o , d= s e c 3 2 0 o
e= c o s e c 1 7 9 o s a yıl a r ın ı n i ş a r e t l e r i n i
b e l i r l e yi n i z .
−++++
Örnek...10 :
a=cos70o
b=sin70o
s ı r a l a yı n ı z.
c = t a n 7 0 o s a yı l a r ı n ı
a< b < c
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
Örnek...13 :
√ 2 .(tan 30o . cos 45o +cosec 60 o . sin 45o )=?
√3
3/6
TRİGONOMETRİ − 2
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
İNDİRGEME BAĞINTILARI
Örnek...14 :
Ş ek l i
y
i n c e l e yi n i z .
B i r im
P'(-a,b)
P(a,b)
ç em b e r d e
standart
π−θ
b i ç im d e v e
θ
θ
ölçüsü θ
O
K
r a d ya n o l a n b i r
d a r a ç ı a l a l ım .
Bu açının
g ö r d ü ğ ü ya yı n
b i t im
n ok t a s ı n ı n
koordinatı P(a,b) olsun.
cos θ =a , sin θ =b , tan θ =b/a olmak
ü ze r e , π−θ v e π −θ t ü r ü n d ek i a ç ı l a r ı n
2
t r i g o n om e t r i k o r a n l a r ı ş ö yl e h e s a p l a n ı r.
A ş a ğ ı d ak i i f a d e l e r i n ö zd e ş l e r i n i b u l u n u z .
1) tan(180+x)
tanx
2) cos(90+2x)
x
−sin2x
3) sin(270−4x)
−cos4x
4) cot(90−7x)
tan7x
5) cos(360−4x)
cos4x
6) tan(270+8x)
−cot8x
π−θ BİÇİMİNDEKİ AÇILAR
7)
π−θ ‘ l ı k ya yı n b i t im n o k t a s ı P ' ( − a , b )
olacağından :
c o s (π−θ) = − a = − c o s θ
s i n (π−θ) = b = s i n θ
t a n (π−θ) = − b / a= − t a n θ
c o t (π−θ) = − a / b= − c o t θ o l u r.
www.matbaz.com
b) sin(−x)
π −θ BİÇİMİNDEKİ AÇILAR
2
π −θ ‘ l ık ya yı n b i t i m
2
n ok t a s ı P ( b , a )
olacağından :
c o s π −θ = b = s i n θ
2
s i n π −θ = a = c o s θ
2
t a n π −θ = c o t θ
2
c o t π −θ = t a n θ o l u r.
2
y
P(b,a)
( )
( )
( )
( )
c) tan(−x)
d) cot(−x)
e) cosec(−x)
cosx; −sinx; −tanx; −cotx; −cosecx
8) sin(−5x)
−sin5x
9) tan (9x−270)
−cot 9x
x
O
K
10) cot(4x−180)
cot4x
GENELLEME (GENEL İNDİRGEME BAĞINTISI)
(
a) cos(−x)
11) cos240+sin150
0
)
π ∓θ ( π±θ ) 3 π ∓θ (2 π−θ ) o l a r a k
2
2
v e r i l e n i f a d e l e r d e π s a d e l e ş t i r i lm e s i i ç i n
Ölçüsü
(
)
Ad ı m 1 A ç ı n ı n b ö l g e s i n d e n ya r a l a n ı l a r ak
i ş a r e t b u l u n u r. ( A ç ı d a i m a d a r k a b u l e d i l i r )
Ad ı m 2 π , 2 π i ç i n i s i m d e ğ i ş t i r i l m e z,
π , 3 π i ç i n i s im s i n ↔ c o s , t a n ↔ c o t
2 2
ş ek l i n d e d e ğ i ş t i r i l i r.
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
12) tan135o−cos(−240)=?
−1
2
4/6
TRİGONOMETRİ − 2
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
DEĞERLENDİRME
7) tan1o. tan3o. tan5o..........tan89o kaçtır?
1
1) sinx+cosx=0,7 ise sinx.cosx kaçtır?
−51
200
8)
2) sinx=0,8 ise sin4x+cos4x kaçtır?
sin2 x +cos 3 x+cosx . sin2 x
ifadesinin en sade
1−cos x
hali nedir?
337
625
1+2.cos x
3) cosx−sinx=m ise cos3x−sin3x m türünden
nedir?
3
4) tanx+cotx=m ise tan3x+cot3x m türünden
nedir?
3
m −3 m
9)
www.matbaz.com
3 m−m
2
(
)
sin x
sin x
−
. tanx ifadesinin en sade
1−cos x 1+cos x
hali nedir?
2
10)
cos2 x
ifadesinin en sade hali
sin x−cosec 2 x+cot 2 x
2
nedir?
−1
5) a=cos10o ,b=cos20o ,c=sin50o sayılarını
sıralaması nasıldır?
a>b>c
11) sin (
6) a=tan100o ,b=tan120o ,c=tan150o sayılarını
sıralaması nasıldır?
7π
7π
) +cos ( ) =?
4
4
0
a< b < c
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
5/6
TRİGONOMETRİ − 2
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
cos
12)
(
)
( )
3π
−x +sin (x−2 π )
2
cot
5π
4
T
16) Ş e k i l d e M T Z
ifadesinin en sade hali
eşkenar
ü ç g e n d i r.
|MZ|=4.|MB| , i s e
^
cos (MBT)
k aç t ır ?
nedir?
0
M
Z
B
−1
√ 13
13) sinx=a ise sin(π+x)+cos ( 3 π −x)+sin(−π−x)
2
ifadesinin a türünden eşiti nedir?
−a
14) x+y= π ve sin x=0,3 ise cos (4x+5y) kaçtır?
5
−√ 91
10
www.matbaz.com
17) tan24o =p ise
tan 114o−tan 156o
ifadesinin p
tan 564 o−tan 225o
türünden eşiti nedir?
p+1
p
18) sin21o + sin22o + sin23o +..........+ sin290o kaçtır?
45,5
15) Ş ek i l d e M o r t a
n ok t a , T B Z d i k
ü ç g e n d i r.
|TZ|=3 br ,
|BZ|=5 br i s e
^
cos (BMZ)
kaçtır?
T
3
M
B
Z
5
−2
√ 13
19) Eş kareler kullanılarak elde
edilen şekilde ki x açısı için
tan x kaçtır?
x
−3
2
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
6/6