Slayt 1 - Asaf VAROL

Prof. Dr. Asaf Varol
2012-2013 Bahar Dönemi
1
2


Lineer Denklem: Sadece birinci derece bilinmeyenli olan denklemlerin
gösterimidir.
Lineer Denklem Sistemleri: Lineer denklemlere karşılık birden fazla
bilinmeyenli denklemler de vardır.
3
(n+1) noktaları boyunca ilerleyen n dereceli bir polinomun katsayılarını
bulmak istersek (n+1) denklemlerin bir lineer sistemi gösterilir. Örneğin x ve
y noktaları boyunca ilerleyen 2. dereceden bir parabol için denklem bulma;
(-1,0) ; (1,1) ; (2,-1) a0, a1 ve a2 bilinmeyen katsayılar için aşağıdaki
denklemleri çözebiliriz.
2. derecedeki bir polinom için genel denklem her bir x ve y noktasının değeri
ile elde edilir.
4
x1
k1
x2
x3
k2
m1
k3
m2
m3
Birbirine yaylı bir araçla bağlanan 3 demiryolu aracının titreşimi.
Newtonun 2. Kanununa göre her aracın kazancı
-k1 x1 + k2 (x2 – x1)
= m1 a1
-k2 (x2 – x1) + k3 (x3 – x2) =
-k3 (x3 – x2)
=
m2 a2
m3 a3
5



k1=k2=k3=k=10000 kg/s ve m= 2000 kg , m2=3000 kg ve m3= 1000 kg’dir.
Hepsinin ivmesi 1m/s olduğu durumda her bir aracın konumunu belirleyiniz.
Bu temsili değerler ile denklem ve kazanç düzenlenirse;
-2x1 + x2
x1 - 2x2
x2
+ x3
- x3
= 0.2
= 0.3
= 0.1
Bu özel form denklem sistemlerinin matris temsili için çok uygundur.
[A]{X} = {C}

[A] katsayıların matris gösterimi, {x} bilinmeyen vektör temsili, ( x1,x2,x3 ) ve
{C} eşitliğin karşı tarafındaki katsayılardır.
6





Serbest cisim diyagramı çizilir ve x- ve y- yönlerinde kuvvetlerin toplamı
ayarlanarak sıfıra yaklaştırılır ve aşağıdaki denklem elde edilir;
c ile:
a ile:
-Fcd cos30 – Fbc cos45 = 0
Fax + Fab cos45 + Fad cos30 = 0
Fcy + Fcd sin30 + Fbc sin45 = 0
Fay + Fab sin45 + Fad sin30 = 0
b ile:
-Fab cos45 + Fbc cos45 + 3 = 0
-Fab sin45 – Fbc sin45 –Fbd = 0
d ile:
-Fad cos30 + Fcd cos30 = 0
Fbd – Fad sin30 – Fcd sin30
7
Denklem yeniden düzenlenirse;
Denklem organize biçimde yeniden düzenlendiğinde bu değerler bir matris formunda
kolaylıkla yerine koyulabilir.
F1 =Fax, F2 = Fay, F3 = Fab, F4 =Fad, F5 = Fbc, F6 = Fbd, F7 = Fcd, ve F8 = Fcy
Matris denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir.
[G]{F} = {L}
G geometrik matris, F Güç vektörü ve L yol vektörüdür.
8
Denklem sistemi 8 bilinmeyen için çözülebilir. 8 bilinmeyenli denklemin çözümü 8
denklem yardımıyla olur. Elbette bu istenilen bir iş değildir. Bu yüzden hesap ve
çözüm algoritmalarını şu an bu bölümde bu görevi nispi kolaylaştırma ile yerine
getirebiliriz.
9
[A] 3*3 matrisi belirler
[A] = aij =
a11
a21
a12
a22
a13
a23
a31
a32
a33
İlk indeks i=1,2,3 satır sayılarını belirtir ve 2. indeks j=1,2,3 sütun sayıları belirtir.
Aii(a11, a22, a33 ) elemenları köşegen elemanlardır. Bu köşegen elemanların
üstündeki elemanlar üst köşegen elemanlar altındakileri ise alt köşegen
elemanlar olarak adlandırılır.
Alt köşegen elemanlar 0 olduğunda üst üçgen matris üst köşegen elemanlar 0
olduğunda alt üçgen matris olarak adlandırılır.
Bir matris genellikle m satır ve n sütun ile belirtilir.
[A] = aij ; i=1,2,3,...,m; j=1,2,3,...,n
m=n eşit olduğunda kare matris olarak adlandırılır. Matrisin büyüklüğü n*m ile
belirtilir.
10
İki matrisi toplayabilmek için aynı büyüklükte olmaları gerekir. İki matrisin
toplanabilmesi için bu işlem elemanlarının uygun olması gerekir.
[A] + [B] = [C]
yani
aij + bij = cij
Örneğin c11 = a11 + b11; c12 = a12 + b12; c21 = a21 + b21 vs.
11

1.matrisin sütun sayısı ile 2. matrisin satır sayısı aynı olması şartıyla
iki matris çarpılabilir.
[A]mxn [B]nxk = [C]mxk

Matrisin çarpım sonucu 2. matrisin sütun sayısı ile 1. matrisin satır
sayısıyla aynı olduğu görülür. İki matris çarpımında rakamlar
aşağıdaki denklem ile gösterir;
 aij bjk = cik


Toplam j indeksi üzerinde ise
önemli not : çarpımda yerler değiştirilemez.
[A][B]  [B][A]
12

Problem: Aşağıda verilen matrisin çarpımını bulunuz
[A] = aij =
1
2
3
-1 0
-2 1
0 -1
[C] = cik =
2
7
3
-2
-4
-3
Çözüm:






i=1, k=1
i=2,k=1
i=3,k=1
i=1,k=2
i=2,k=2
i=3,k=2
c11 = a11b11 + a12b21 + a13b31 = 1 * 2 + -1 * 0 + 0 * 3 = 2
c21 = a21b11 + a22b21 + a23b31 = 2 * 2 + -2 * 0 + 1 * 3 = 7
c31 = a31b11 + a32b21 + a33b31 = 3 * 2 + 0 * 0 + -1 * 3 = 3
c12 = a11b12 + a12b22 + a13b32 = 1 * -1 + -1 * 1 + 0 * 0 = -2
c12 = a21b12 + a22b22 + a23b32 = 2 * -1 + -2 * 1 + 1 * 0 = -4
c12 = a31b12 + a32b22 + a33b32 = 3 * -1 + 0 * 1 + -1 * 0 = -3
13





Bir matrisin transpozu, [A]T matrisin sütunlarıyla satırlarının yer değiştirmesiyle elde
edilir.
[B] = [A]T ; bij = aji
Bir simetrik [A] matrisi için; [A]T = [A].
Bir matrisinin determinantı şu şekilde tanımlanır.
det[A] = (-1)i+j aij
Minormatris j sütun ve i satır bağlantısıyla elde edilen orijinal matrisin örneğidir. Eğer
2 satır yer değiştirirse bu determinant değişikliği işaretidir. En küçük 2 ncil matris 2 *
2 dir ve determinantı:
Eğer Det [A] =0 ise, [A] matris tanımsızdır ve sistemin tek çözümü yoktur.
14
15

[A] matrisinin tersi [A]-1 olarak tanımlıdır.
[A][A]-1 = [I] = [A]-1[A]

[I] birim matris olarak adlandırılır. Bu matrisin köşegen elemanı 1
diğer tüm elemanları 0 dır. Örneğin 4 * 4 tanımınlı matris;
16
17
18

Birleşme Kuralı
([A]+[B])+[C] = [A]+([B]+[C])
([A][B])[C] = [A]([B][C])

Yerdeğiştirme Kuralı
[A] + [B] = [B] + [A]

Dağıtma Kuralı
[A]([B]+[C]) = [A][B] + [A][C]
([A][B])T = [B]T [A]T
([A] + [B])T =[A]T + [B]T

Tersi
([A][B])-1 = [B]-1 [A]-1

(c=Sabit)
(c[A]) -1 = [A]-1/c

Determinant

(c=Sabit)
det([A][B]) = det[A]det[B]
det([A]T) = det[A]
det(c[A]) = cn det[A] (n.derece)
19

Bir vektörün normu veya bir matris negatif olmayan sayılardır. Bu sayılar matris
veya vektörün büyüklüğünün bir ölçümüdür. Scaler sayıların büyüklüğü tam
değerlerdir. Çünkü bir skaler birden fazla vektörü ve matrisi içerir. Vektörler ve
matrisler için normlar birden fazla yolla hesaplanabilir ve tanımlanabilir. Vektörün
büyüklüğü elemanların karelerinin toplamının karekökü ile tanımlanır.
örneğin {v} = -1i + 2j -3k; v1 = -1, v2 = 2, v3 = -3
{V} =

Bu normlar Euclidian norm olarak bilinir.

Genellikle bir ‘’p’’ normu tanımlanabilir.


20

Diğer yaygın kullanım normu uniform (tekbiçimli) vektör norm olarak adlandırılır.
1 i  n için

Benzer normlar n*n büyüklüğündeki bir [A] matrisi ile tanımlanır.

Frobenius norm:

Uniform matris normu (ya da satır-toplam normu):
for 1 i  n

Sütun normu (ya da sütun-toplam normu):
for 1 j  n
21

Problem: Aşağıdaki matrisi 3 yaygın normlarla hesaplayınız.

Çözüm: Tanımlamaların kullanımıyla elde edelim

Frobenius norm:
{(1)2 + (2)2 + (3)2 + (-2)2 + (3)2 + (4)2 + (-1)2 + (-2)2 + (5)2 }1/2 = 8.54

Uniform matris normu:
max{(1+2+1), (2+3+2), (3+4+5)}
= max(4,7,12) = 12

Sütun normu:
max{(1+2+3), (2+3+4), (1+2+5)}
= max(6,9,8) = 9
22
Bir matrisin koşul sayısı A ile tanımlanır.
Cond([A]) =
Sembol matrisin bir normunu gösterir. Cebir matrisiyle gösterilebilir. Bir matrisin koşul
sayısı genellikle 1 den büyük ve eşittir.
Cond ([A]) =
Eğer bir matrisin koşul sayısı büyükse ona kötü şart denilebilir. Denklem
sistemlerinde kötü şart içeren sistem varsa zor çözülürler. Bir sayısal çözümün
bulunma denenmesinden önce bu sistemler ilk olarak önceden hazırlanmalıdır. Kötü
şartlı sistemler için katsayıdaki küçük bir değişiklik çözümde büyük bir değişikliğe
götürür.
23
Problem:Verilen matrisin koşul sayısını bulunuz
[A] =
[A]-1 = (1/56)
Çözüm: Tek matris normu kullanımı :
= Max (4, 7, 12) = 12;
= Max[(1/56) (36, 24, 18)] = 36/56 = 9/14
Cond ([A]) = (12)(9/14) = 54/7
Sütun Normu Kullanımı:
= Max (6, 9, 8) = 9;
= Max[(1/56) (40, 24, 14)] = 40/56 = 5/7
Cond ([A]) = (9)(5/7) = 45/7
24

Matris ölçümünden sonra uygulama denemelerini izleme, [A] gibi geniş
elemanlarda her bir satır 1 dir.
1)
Eğer kapalı köşegen elemanlarının tam değerlerinin toplamı ,ayrı ayrı her
bir satır için köşegen elemanlarının tam değerinden daha az ise bu matris
muhtemelen iyi koşullanmamıştır.
Not :Satırların kısmi eksende yer değiştirmesi bir matrisin koşul sayısını
değiştirmez.
1)
Eğer det[A]  0. ise bu matris kötü koşullanmıştır.
2)
Eğer [A]-1 in elemanlarının ve varsa [A]-1 elemanlarının sırası bir
diğerinden büyükse muhtemelen kötü koşullanmıştır.
3)
[I]* = [A] [A]-1; Eğer [I]* , [I], özdeş matrisinden farklı özellikteyse matris
muhtemelen kötü koşullanmıştır.
4)
[A]* = {[A]-1}-1 ; Eğer [A]* orijinal
muhtemelen kötü koşulludur.
[A] matris inde kapalı değilse
25
Problem: Verilen gösterimde
satırlar yer değiştiği zaman matrisin koşul şartının yer değişmediğini gösterelim.
Çözüm:
Şimdi aşağıdaki matrisi elde etmek için satırları değiştirin.
Matrisin tersinin doğruluğu çarpımın kontrolüyle gösterilir.
[B][B]-1 = I
Froberius normu kullanarak bulabiliriz ;
cond([A]) = ||[A]||e||[A]-1||e = (1.4177)(1.4177) = 2.001
cond([B]) = ||[B]||e||[B]-1||e = (1.4177)(1.4177) = 2.001
26

Genelde yaygın olarak Direk Metot kullanılır. Bu metodu anahat prosödürü
veya algoritması koşullandırıldığı zaman çözebiliriz. Bu nedenle yaklaşık
çözüm geliştirmede iterasyona ihtiyaç yoktur.

Cramer’s Metodu:

Bu metod liner bir denklemin çözüm metodundan çok kullanışsız ve
masraflıdır. n*n matrisin determinantının hesaplanması istenirse n
bilinmeyen sayısıdır. Bu kural ;
xi = det{[A]*}/det[A]
(3.4.1)
i=1,2,3,...,n
için
[A]* matrisin değişimidir “i”ninci matris diğer tarafındaki
sütunun değişimidir örneğin {c}T = (c1,c2,c3, ...
27

Problem: (3.1.4).denklem sistemin çözümünü bulunuz

Çözüm: İlk olarak denklemin matris formunu yazmalıyız [A]{X}={C}

x1 = a0 = det[A*]1/det[A]; x2 = a1 = det[A*]2/det[A];

Daha sonra

a0 = 8/6
x3 = a2 = det[A*]3/det[A]
det[A] = 6
a1 = 3/6 a2 = -5/6
28
29






Celik, Ismail, B., “Introductory Numerical Methods for Engineering
Applications”, Ararat Books & Publishing, LCC., Morgantown, 2001
Fausett, Laurene, V. “Numerical Methods, Algorithms and
Applications”, Prentice Hall, 2003 by Pearson Education, Inc., Upper
Saddle River, NJ 07458
Rao, Singiresu, S., “Applied Numerical Methods for Engineers and
Scientists, 2002 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458
Mathews, John, H.; Fink, Kurtis, D., “Numerical Methods Using
MATLAB” Fourth Edition, 2004 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ
07458
Varol, A., “Sayisal Analiz (Numerical Analysis), in Turkish, Course
notes, Firat University, 2001
http://math.uww.edu/faculty/mcfarlat/inverse.htm
30