Slide 1 - Ninova

hatırlatma
Özdeğerler ve özvektörler
Bir skaler
Ax  x
Bir matris
A :R  R
n
Bir vektör
x R
n
n
Lineer bir dönüşüm
 ve x , A için özel bir skaler ve vektör
Özdeğer ve özvektör
hatırlatma
Ax  x ‘in çözümünü arayacağız
( A  I ) x  0
Bu ifadeye bakarak λ ve x
için ne diyebilirsiniz?
x N ( A  I )
λ öyle seçilmeli ki N ( A  I ) sıfırdan farklı olsun.
λ’ yı bulmak için bir yol önerebilir misiniz?
Determinant hesaplamayı da biliyorsunuz…
det( A  I )  0
kökleri A’nın özdeğerleridir
Karakteristik çok terimli
Özdeğer ve özvektörü belirlemek için hangi adımları atacağız
A  I veyaI  A‘nın determinantını hesaplayacağız,
özdeğerler
det( A  I )  0
Her özdeğer için
çok terimlisinin köklerini belirleyeceğiz,
 A  I x  0 lineer denklem takımının
çözümlerini bulacağız.
özvektörler
Sizce özdeğerleri bulmak kolay mı?
Çok terimlinin köklerini analitik olarak bulmanın yolları
hakkında ne biliyorsunuz?
Çok terimlinin köklerini yaklaşık olarak bulmanın yolları
hakkında ne biliyorsunuz?
Kolaylık sağlayacak bazı özel durumlar var mı?
A matrisi köşegen ise…..
A matrisi izdüşüm matrisi ise…..
A matrisi üçgen ise…..
Özdeğerlere ilişkin iki sınama….
1  2  ...  n  a11  a22  ...  ann
det A  12 ...n
Özdeğerleri değiştirmeden matris nasıl köşegenleştirilir?
A, nxn boyutunda, n tane lineer bağımsız özvektörü
olan bir matris olsun S sütunları özvektörler olan
matris olmak üzere:
1

2


1
S AS    




.
.
.








n 
AS  Ax1
x2 ... xn   1 x1 2 x2 ... n xn 
 x1
AS  S
x2
S 1 AS  
A  S  S 1
1

2


... xn 




.
.
.








n 
Bazı sonuçlar:
n farklı özdeğeri olan nxn boyutlu her matris
köşegenleştirilebilir.
Köşegenleştirmeyi sağlayan S matrisi tek değildir
Köşegenleştirilemeyenler için bir çare yok mu?
Jordan kanonik form elde edilir
1













2
2
3
1
3
.
.
.












k 
 J1








J2
.
.
.








J k 
Sonuçlara devam….
Köşegenleştirme özvektörlerle ilişkili
Tersinir olma özvektörlerle ilişkili
k
A
‘nın özdeğerleri A ‘nın özdeğerlerinin k katıdır
ve aynı özvektörlere sahiptir.
k
1 k
 S A S
A ve B köşegenleştirilebilir olsun, AB=BA ise aynı
özvektör matsisi S’e sahiptirler.
Fark denklemleri
0,1,1,2,3,5,8,13,….
Bu diziye ilişkin genel kuralı ifade edelim
Fk  2  Fk 1  Fk
Pisa’lı Leonardo
Fibonacci
(1175-1250)
Liber Abacis
Bu kuralı bir daha daha farklı şekilde
yazalım:
Önce yeni bir değişken
tanımlayalım:
 Fk 1 
uk ˆ 

F
 k 
 Fk  2   Fk 1  Fk 
uk 1  



F
F
k 1
 k 1  

1 1  Fk 1 

 F 
1
0

 k 
1 1

uk

1 0
Bu denklem
uk 1  Auk
sizin için ne
ifade ediyor?
Bu fark denkleminin çözümünü nasıl buluruz?
u1  Au0
u2  Au1  A( Au0 )  A u0
2
u3  Au2  A( A u0 )  A u0
2
3
●
●
●
n 1
un  Aun 1  A( A u0 )  A u0
n
n
A
‘i hesaplamanın kolay bir yolu var mı?
Köşegenleştirirsek işler kolaylaşır
A  S S

S’sütunları için
ne diyebilirsiniz
1



un  Anu0  SS 1 SS 1 ... SS 1 u0  Sn S 1u0
 1

... xk 



n
u n  S c  x1
n
.
 c11n x1  c2 n2 x2  ...  ck nk xk
.
 c1 
 
 . 
 . 
 
.
n 
 k   
ck 
Ne işe yarıyorlar?
c
Artık Fibonacci için bir çözüm yazabiliriz ….
uk 1  Auk
1 1
A

1
0


İlk koşullara da ihtiyacımız var
1
u0   
0