dev_sis_ders2_13

Sürekli Sinüsoidal Hal
Amaç: Özel çözümü belirlemeye yönelik bir yöntem geliştirmek
Neden “sürekli sinüsoidal hal”?
sürekli
sinüsoidal
Kalıcı çözümle ilgileniyoruz
Devreyi uyaran kaynaklar sinüsoidal
Yöntem sadece elektrik devreleri ile sınırlı değil; kontrol teorisinde,
Kuantum elektroniğinde, elektromanyetik teoride de kullanılır.
Araç: Fazör kavramından yararlanılacak
Sinüsoidal
x(t )  Am cos( wt   )
genlik frekans faz
Am  0
x(t )  Am cos( wt   )
2
w : [rad / sn], T ˆ
, w  2f
w
f : [ Hz ]
Fazör
A ̂ Ame
j
Fazör verildiğinde sinüsoidal büyüklüğe nasıl geçeceğiz?
Frekans w ve fazör
A
biliniyorsa
Re[ Ae jwt ]  Re[ Ame j ( wt  ) ]
 Am cos( wt   )
Sinüsoidal
x(t )  Am cos( wt   )
 Am cos( ) cos( wt ) 
Fazör
j
A  Ame
 Am cos   jAm sin 
( Am ) sin () sin (wt)
Am cos( wt   )  Re( A) cos wt  Im( A) sin wt
Lemma 1:
Tanıt:
Re[ Ae jwt ]  Re[ Be jwt ], t
AB
AB
Ae jwt  Be jwt ,
Re[ Ae
jwt
]  Re[ Be
t
jwt
],
t
Re[ Ae jwt ]  Re[ Be jwt ],
t
t1  0 : Re[ A]  Re[ B]
jwt 2

Re[ Ae ]  Re[ jA]   Im A
j

jwt 2
t2 
: e
e 2  j
2w
Re[ Be jwt 2 ]  Re[ jB]   Im B
Im[ A]  Im[ B]
A  Re[ A]  j Im[ A]  Re[ A]  j Im[ B]  B
Lemma 2:
x1 (t )  Re[ A1e
jwt
],
x2 (t )  Re[ A2e
jwt
]
A1  x1(t )
A2  x2 (t )
a1, a2  R, a1x1(t )  a2 x2(t)  a1 A1  a2 A2
Tanıt:
a1x1 (t )  a2 x2(t)  a1 Re[ A1e ]  a2 Re[ A2e ]
 Re[ a1 A1e jwt ]  Re[ a2 A2e jwt ]
jwt
jwt
 Re[ a1 A1e  a2 A2e ]
jwt
 Re[( a1 A1  a2 A2 )e ]
a1x1(t )  a2 x2(t)  a1 A1  a2 A2
jwt
jwt
Lemma 3:
Tanıt:
A  Am cos(wt   A )
A  Ame
j
d
jA  [ Am cos(wt   A )]
dt
d
d
jwt
{Re[ Ae ]}  {Re[ Ame j ( wt  A ) ]}
dt
dt
d
 {Am cos(wt   A )}
dt
  Am sin(wt   A )
 Re[ jAme j ( wt  A ) ]
 Re[ jAe jwt ]
Durum denklemlerini çözmede fazör kavramı
Diferansiyel Denklem
Fazör
Kavramı
x (t )  Ax(t )  Bu(t )
Cebrik Denklem
jX  AX  BU
Cebrik Denklem
çözümü
X  [ j  A]1 BU
Özel Çözümün
bulunması
Zaman Bölgesine
geçiş
Çözüme ilişkin
fazörlerin elde
edilmesi
Sürekli Sinüsoidal Hal’de devre denklemleri
Lineer zamanla değişmeyen elemanlardan oluşmuş hepsi w frekanslı
kaynaklarla sürülen devre
1. Düğüm i (t )  i (t )  i (t )  0, t
2
3
için KAY 1
Ai(t )  0, t
Re{I1e jt }  Re{I 2e jt }  Re{I 3e jt }  0, t
Teklik ve lineerlik özelliğinden
Tüm düğümler için genelleştirirsek
I1  I 2  I 3  0
AI  0
Reel katsayılı
matris
Kompleks elemanlı
sütun vektör
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York
1-2-3-1 Kapalı düğüm dizisi için KGY:
v1 (t )  v2 (t )  v4 (t )  0, t
AT vd (t )  v(t ), t
Re{V1e jt }  Re{V2e jt }  Re{V4e jt }  0, t
Teklik ve lineerlik özelliğinden
V1  V2  V4  0
Genelleştirirsek
ATVd  V
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York
Lineer zamanla değişmeyen devre elemanları
Direnç
Endüktans
Kapasite
Gerilim kontrollü gerilim kaynağı
Gerilim kontrollü akım kaynağı
Akım kontrollü gerilim kaynağı
Akım kontrollü akım kaynağı
Jiratör
İdeal Transformatör
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York
Empedans-Admitans Kavramı
Amaç: Lineer zamanla değişmeyen elemanlardan oluşmuş N devresinin
iki uçlu olarak tanımlanması
is
+
v
_
N
1-kapılısı
Z ( w)  R( w)  jX ( w)
resistans reaktans
is (t )  Re[ I se jwt ]  I s coswt  s 
v(t )  Re[Ve jwt ]  V coswt  v 
N 1-kapılısına ilişkin giriş empedansı
V ( w)
Z ( w) ˆ
I s ( w)
V (w)  Z (w) I s (w)
V ( w)  V ( w) e jv
V (w)  Z (w) I S
v  Z  S
v(t )  Z (w) I S coswt  Z  S 
i
+
+
v
_
vS (t )  Re[VS e jwt ]  VS coswt  S 
N
1-kapılısı
Y ( w)  G ( w)  jB( w)
kondüktans suseptans
i(t )  Re[ Ie jwt ]  I coswt   I 
N 1-kapılısına ilişkin giriş admitansı
I ( w)
Y ( w) ˆ
Vs ( w)
I ( w)  Y ( w)Vs ( w)
I ( w)  I ( w) e j I
I (w)  Y (w) VS
 I  Y  S
i(t )  Y (w) VS coswt  Y  S 
vC (t )  cos 2t ve devre SSH’de çalışmaktadır. a) Devrede gösterilen akım
ve gerilimlerin fazör diyagramını çiziniz. b) e1 (t )‘ ye ait fazörü ve e1 (t ) ‘yi
belirleyiniz.
Empedans-Admitans Kavramını kullanarak neler yapabiliriz?
V ( w)
Z ( w) 
I ( w)
V1 ( w)  V2 ( w)

I ( w)
 Z1(w)  Z2 (w)
I ( w)
Y ( w) 
V ( w)
I1 ( w)  I 2 ( w)

V ( w)
 Y1(w)  Y2 (w)
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York
Devre Denklemleri
0
 AT

 0
KAY:
AI  0
KGY:
ATVd  V
ETB:
M (w)V  N ( w) I  U s
A  Vd   0 
I
0   V    0 
M ( w) N ( w)  I  U s 
0
T (w)
T ( w) ˆ T 0 jwT1
Direnç Devreleri
0
 AT

 0
0
I
M
A  vd (t )  0 
0   v(t )    0 
N   i(t )  us (t )
T
vd (t ), v(t ), i (t )
Sürekli Sinüsoidal Hal
0
 AT

 0
A  Vd   0 
I
0   V    0 
M ( w) N ( w)  I  U s 
0
T (w)
Vd ,V , I
 Zamanın fonksiyonu olan vektörler  Elemanları fazör olan vektörler
 T’nin elemanları reel sayılar
 T(w)’nın son ne satırı kompleks sayılar
 Devre reel katsayılı, lineer,
cebrik denklem takımı ile
tanımlanmıştır.
 Devre kampleks katsayılı, lineer,
cebrik denklem takımı ile
tanımlanmıştır.
v
0
0

0

0
1

1
0

0

0
0

0
0

0
0

0

0
0

0
0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1 0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
G1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
G2
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
jC1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
jC 2
0
0
0
0
0
0
0
1 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1 0
0
0
0
0
0
0
0 Vd 1  0


0 Vd 2  0
0 Vd 3  0
  

1  Vd 4  0
0  V1  0
  

0 VR1  0
0 VR 2  0
  

0 VC1  0
  

0 VC 2  0
0   V p  0 
 

0  Vn  0
0  Vo  0
  

0  I1  1
0  I R1  0

 
0   I R 2  0 
  

0   I C 1  0 
0   I C 2  0 
  

0   I p  0 
0   I n  0 
  

0  I o  0