KUVVETLĐ VE MUTLAK TOPLANABĐLME ÜZERĐNE

KUVVETLĐ VE MUTLAK TOPLANABĐLME ÜZERĐNE
Gülseli ERMEZ
Temmuz 2006
DENĐZLĐ
KUVVETLĐ VE MUTLAK TOPLANABĐLME ÜZERĐNE
Pamukkale Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Yüksek Lisans Tezi
Matematik Anabilim Dalı
Gülseli ERMEZ
Danışman: Prof. Dr. Mehmet Ali SARIGÖL
Temmuz 2006
DENĐZLĐ
i
ii
TEŞEKKÜR
Bu çalışmanın hazırlanmasında bana destek olan aileme, gerekli bütün imkanları
sağlayarak benden her zaman yakın ilgi ve yardımlarını esirgemeyen değerli hocam
Prof. Dr. M. Ali SARIGÖL’e ve Pamukkale Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi
Matematik bölümündeki tüm öğretim elemanlarına teşekkürlerimi sunmayı bir borç
bilirim.
Gülseli ERMEZ
iii
iv
ÖZET
KUVVETLĐ VE MUTLAK TOPLANABĐLME ÜZERĐNE
Ermez, Gülseli
Yüksek Lisans Tezi, Matematik ABD
Tez Yöneticisi:Prof. Dr. M. Ali SARIGÖL
Temmuz 2006, 41 Sayfa
Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır.
Birinci bölümde, sonraki bölümlerde kullanılacak olan temel tanım ve teoremler
verilmiştir.
Đkinci bölümde, mutlak toplanabilme, üçüncü bölümde kuvvetli toplanabilme ele
alınmıştır.
Dördüncü bölümde ise adi, mutlak ve kuvvetli toplanabilme arasındaki ilişkileri
ortaya koyan teoremler ve sonuçlar ortaya konulmuştur.
Anahtar kelimeler:Kuvvetli toplanabilme, mutlak toplanabilme, Cesáro matrisleri,
Hausdorff matrisleri, Hölder matrisleri.
Prof. Dr. M. Ali SARIGÖL
Doç. Dr. Murat ALP
Doç. Dr. Sadulla JAFAROV
v
ABSTRACT
ON STRONG AND ABSOLUTE SUMMABILITY
Ermez, Gülseli
M. Sc. Thesis in Mathematics
Supervisor: Prof. Dr. M. Ali SARIGÖL
July 2006, 41 Pages
This thesis consists of four chapters.
In the first chapter, some definitions and theorems that will be used in the other
chapters are stated.
In the second chapter absolute summability, in the third chapter strong
summability have been examined.
In the fourth chapter relations between ordinary summability, absolute
summability and strong summability have been given.
Keywords:Strong summability, absolute summability, Cesáro matrices, Hausdorff
matrices, Hölder matrices.
Prof. Dr. M. Ali SARIGÖL
Assoc. Prof. Dr. Murat ALP
Assoc. Prof. Dr. Sadulla JAFAROV
vi
ĐÇĐNDEKĐLER
Yüksek Lisans Tezi Onay Formu..................................................................................i
Teşekkür.......................................................................................................................ii
Bilimsel Etik Sayfası...................................................................................................iii
Özet..............................................................................................................................iv
Abstract........................................................................................................................ v
Đçindekiler....................................................................................................................vi
BĐRĐNCĐ BÖLÜM........................................................................................................1
1.1.Temel Tanım ve Teoremler...............................................................................1
ĐKĐNCĐ BÖLÜM...........................................................................................................9
2.1.Mutlak Toplanabilme.........................................................................................9
ÜÇÜNCÜ BÖLÜM....................................................................................................23
3.1.Kuvvetli Toplanabilme....................................................................................23
DÖRDÜNCÜ BÖLÜM..............................................................................................32
4.1.Adi, Mutlak ve Kuvvetli Toplanabilme Arasındaki Đlişki...............................32
KAYNAKLAR...........................................................................................................40
ÖZGEÇMĐŞ................................................................................................................41
1
1.BĐRĐNCĐ BÖLÜM
Bu bölümde, daha sonraki bölümlerde kullanılan temel tanım ve teoremler
verilecektir.
1.1.Temel Tanım ve Teoremler
Tanım 1.1.1:
Cesáro matrisi, λ > 0, α > −1, γ
n
n + γ
 , s n = ∑ a r
reel bir sayı ve ε nγ = 
r =0
 n 
olmak üzere
C α (s n ) = s αn =
1
ε αn
n
∑ε
r =0
α −1
n−r r
s
dönüşümü ile tanımlanır (Borwein 1959).
Tanım 1.1.2:
s αn → s ise
∞
∑an
n =0
serisi s ye (C, α ) toplanabilirdir denir(Borwein 1959).
Tanım 1.1.3:
Eğer
λ
1 n α
s r − s = o(1)
∑
n + 1 r =0
∞
ise
∑a
n =0
n
serisi s ye λ indisiyle (C, α + 1) kuvvetli toplanabilirdir veya [C, α + 1]λ
toplanabilirdir denir (Borwein 1959).
Tanım 1.1.4:
2
Eğer
∞
∑ n γλ+λ−1 s αn − s αn −1
<∞
n =1
∞
ise
∑a
n =0
n
serisi s ye γ, λ indisiyle (C, α ) mutlak toplanabilirdir veya C, α, γ λ
toplanabilirdir denir (Borwein 1959).
[C, α + 1]λ
ve C, α, γ λ toplanabilme yöntemleri sırasıyla
[C1 , C α ]λ
ve C α , γ λ
şeklinde de gösterilebilir.
Tanım 1.1.5:
Q = (q n ,r ) reel veya kompleks terimli sonsuz matris olsun ve (s n ) dizisi verilsin.
∞
s n → s olduğunda Q(s n ) = σ n = ∑ q n ,r s r
r =0
(n = 0,1,2,...) serisi yakınsak ve
σn → s
oluyorsa Q dönüşümü (matrisi) regülerdir denir (Hardy 1949).
Teorem 1.1.6 (Toeplitz Teoremi):
Q = (q n ,r ) matrisinin regüler olması için gerek ve yeter şart
i) ∀n ∈ IN için
∑q
n ,r
<H
olacak şekilde H sayısı vardır.
ii) Her r için, n → ∞ olduğunda
q n ,r → 0
dır.
iii) n → ∞ için
q n = ∑ q n ,r → 1
olmasıdır (Hardy 1949).
3
Teorem 1.1.7:
∞
Q = (q n ,r ) sonsuz matrisi ve (s n ) dizisi verilsin. σ n = ∑ q n ,r s r (n = 0,1,2,...) serisi
r =0
yakınsak ve s r → 0 olduğunda σ n → 0 olması için gerek ve yeter şart q n ,r → 0
(r = 0,1,2,...) ve ∀n ∈ IN
için
∞
∑q
r =0
n ,r
<H
olacak şekilde H sayısının mevcut olmasıdır (Hardy 1949).
Teorem 1.1.8:
λ ≥ 1 ve α > 0 olsun. Bu taktirde herhangi bir serinin bir s değerine [C, α ]λ
toplanabilir olması için gerek ve yeter şart aynı s değerine (C, α ) toplanabilir ve
n
∑ r λ s αr − s αr −1
r =0
λ
= o(n )
olmasıdır. (Hyslop 1951).
Tanım 1.1.9 (Abel toplanabilirliği):
Eğer 0 < t < 1 için
∞
∑a
n =0
n
t n serisi yakınsak ve
∞
lim ∑ a n t n = s < ∞
t →1
n =0
∞
ise bu taktirde
∑a
n =0
n
serisi s ye Abel toplanabilirdir denir ve A ile gösterilir.
Teorem 1.1.10:
µ > 1, α > − 1 µ , β > α − 1 µ ′ ve 1 µ + 1 µ ′ = 1 olsun.
∞
∑an
n =0
serisi
C, α µ
toplanabilir ise bu taktirde A toplanabildiği her zaman (C, β) toplanabilirdir (Flett
1956).
4
P ve Q toplanabilme metodları olmak üzere
P⇒Q
gösterimi s ye P toplanabilen her seri, s ye Q toplanabilirdir anlamında kullanılır. Bu
duruma aynı zamanda
Q, P yi kapsar da denir. Eğer her iki
metot birbirini
kapsıyorsa bu metotlara denk metotlar denir ve P ≅ Q ile gösterilir.
Tanım 1.1.11:
(ξ n ) reel bir dizi;
X n ,r
 n  n − r
vn − r
 ξ r + v , 0 ≤ r ≤ n ise
  ∑ (− 1) 
=  r  v =0
 v 
0
, diğer durumlarda

olsun ve (X n ,r ) matrisini (h, ξ n ) ile gösterelim. Bu tipteki matrislere reel Hausdorff
matrisleri denir (Borwein, 1959).
X = (h , ξ n ), Y = (h , η n ) olsun. Bu durumda
XY = YX = (h , ξ n η n )
olur. Sonuç olarak ξ n ≠ 0 olduğunda X −1 = (h ,1 ξ n ) olur. Bu durumda X ⇒ Y
olması için gerek ve yeter şart YX −1 in regüler olmasıdır.
Ayrıca X in regüler olması için gerek ve yeter şart
1
ξ n = ∫ t n dχ(t )
0
olmasıdır. Burada χ(t ), [0,1] aralığında sınırlı salınımlı reel bir fonksiyon öyle ki
χ(0 + ) = χ(0 ) = χ(1) − 1
...(1)
ve ξ 0 için 0 0 = 1 dır.
Öte yandan C k = (h,1 ε kn )
(k > −1) ve
C α C β ≅ C α +β
...(2)
dir (Hardy 1949).
(α > −1, β > −1, α + β > −1)
5
Tanım 1.1.12:
(H,1)
matrisi, (C,1) matrisi ile aynıdır. Her k (k = 1,2,...) için (H, k ) matrisi
(H,1) ’in kendi kendisiyle k defa çarpımı olarak tanımlanır.
Her α reel sayısı için
(h, (n + 1) )
−α
Hausdorff matrisine karşılık gelen
toplanabilme metoduna Hölder metodu denir ve H α veya (H, α ) ile gösterilir.
Buna göre (H,1) = (C,1) ve (H, α )(
. H, β ) = (H, α + β ) olduğu açıktır.
Teorem 1.1.13:
α > −1 için (C, α ) ve (H, α ) toplanabilme yöntemleri denktir (Hardy 1949), yani
(C, α ) ≅ (H, α )
dır.
Teorem 1.1.14:
φ(t ) ∈ Lp (0,1), p > 1, (x n ,r ) bir Hausdorff matrisi olmak üzere
1
ξ n = ∫ t c φ(t )dt
0
olması için gerek ve yeter şart
n
(n + 1)p−1 ∑ x n ,r
p
< Hp
r =0
olmasıdır. Burada H, n den bağımsızdır (Hardy 1949).
Teorem 1.1.15 (Stirling Formülü):
z kompleks sayı olmak üzere pozitif reel eksen üzerinde z → ∞ için
Γ(z + 1) ≈ 2π z z +1 2 e − z
dir.
Stirling Formülünde her iki tarafın logaritması alınırsa
log Γ(z + 1) ≈
1
1

log 2π +  z +  log z − z
2
2

bulunur. α > −1 ve s = σ + iτ, σ > −α − 1 = c, c < 0
6
θ(s ) =
Γ(α + 1)Γ(s + 1)
(s + 1)α
Γ(α + s + 1)
olmak üzere
log Γ(z + 1) ≈
1
1

log 2π +  z +  log z − z
2
2

formülünde yeterince büyük s için σ > c olduğunda z yerine s + α alınırsa
log Γ(α + s + 1) ≈
1
1

log 2π +  s + α +  log(s + α ) − (s + α )
2
2

elde edilir.
1
1


 s + α +  log(s + α ) − (s + α ) ≈  s + α +  log(s + 1) − (s + 1)
2
2


olduğundan
1
1
1

log Γ(α + s + 1) =  s + α +  log(s + 1) − (s + 1) + log 2π + o 
2
2

s
bulunur. Bu durumda σ > c olduğunda yeterince büyük s için
log
1
Γ(s + 1)
= −α log(s + 1) + o 
Γ(α + s + 1)
s
olur. Şu halde

 1 
θ(s ) = Γ(α + 1)1 + o 

 s 
elde edilir (Rogosinski 1942).
Teorem 1.1.16:
t 2 c +1φ′ 2 (t ) ∈ L olmak üzere
1
F(z ) = ∫ t z φ′(t )dz
(ℜz > c )
0
şeklinde tanımlanan F(z) fonksiyonlarının sınıfı
Mc
olsun. Bu durumda
M c , ℜz > c için regüler olan ve
∞
∫ F(z )
−∞
2
dy =
∞
∫ F(x + iy )
2
dy ≤ c
(x > c)
−∞
eşitsizliğini sağlayan F(z) fonksiyonlar sınıfı ile aynıdır (Rogosinski 1942).
7
Tanım 1.1.17 (Hölder Eşitsizliği):
p > 1,
1 1
+ = 1 , a 1 , a 2 ,..., a n ≥ 0 ve b1, b 2 ,..., b n ≥ 0 olsun. Bu durumda
p q
1p
 n
 n
q 
p
a
b
≤
(
a
)


 ∑ (b k ) 
∑
∑
k k
k
k =1
 k =1
  k =1

n
1q
olur.
Tanım 1.1.18 (Minkowski Eşitsizliği):
p ≥ 1, a 1 , a 2 ,..., a n ≥ 0 ve b1 , b 2 ,..., b n ≥ 0 olsun. Bu durumda
 n
p
 ∑ (a k + b k ) 
 k =1

1p
 n

≤  ∑ (a k ) p 
 k =1

1p
 n
p
+  ∑ (b k ) 
 k =1

1p
olur.
Q = (q n ,r ), (n , r = 0,1,2,...) bir sonsuz matris ve s n = ∑ a r olmak üzere her
n
r =0
n ∈ IN için
∞
σ n = Q(s n ) = ∑ q n ,r s r
r =0
serisi yakınsak olsun.
Tanım 1.1.19:
Eğer lim σ n = s ise
n →∞
∞
∑an
serisi Q matrisiyle s ye toplanabilirdir denir ve
n =0
s n → s(Q ) ile gösterilir (Borwein 1959).
Aşağıdaki kısımlarda
gösterecektir.
Tanım 1.1.20:
P = (p n ,r )
(n, r = 0,1,2,...)
negatif olmayan matrisi
8
Eğer
(
P σn − s
∞
∑an
ise
n =0
λ
)= ∑ p
∞
r =0
λ
n ,r
σ n − s = o(1)
serisi, s ye λ indisiyle (P,Q) kuvvetli toplanabilirdir veya [P, Q]λ
toplanabilirdir denir ve s n → s[P, Q]λ ile gösterilir (Borwein 1959).
Tanım 1.1.21:
Eğer
∞
∑ n γλ+λ−1 σ n − σ n−1
λ
<∞
n =1
∞
ise
∑an
n =0
serisi γ, λ indisiyle Q mutlak toplanabilirdir ya da Q, γ λ toplanabilirdir
denir (Borwein 1959).
QR , [P, QR ]λ , QR , γ λ çarpım formlarını tanımlarken, R herhangi bir matris
olmak üzere, R (s n ) = τ n , σ n = Q(τ n ) olarak alacağız. Birim matrisi ise I ile
göstereceğiz. Bu durumda I(s n ) = s n olduğu açıktır.
Teorem 1.1.22:
X ve Y Hausdorff matrisleri olmak üzere, eğer X ⇒ Y ise
AX ⇒ AY
dır (Borwein 1958).
Teorem 1.1.23:
α > −1, γ > β > −1 olmak üzere
C α ⇒ AC β ⇒ AC γ
dır (Borwein 1958).
9
10
2.ĐKĐNCĐ BÖLÜM
Bu bölümde öncelikle herhangi bir Q matrisinin mutlak toplanabilmesini, daha
sonra Hausdorff matrislerinin mutlak toplanabilmesini ve bunların Lp sınıfından
fonksiyonlarla ilişkilerini ortaya koyan teoremler verilecektir.
2.1.Mutlak Toplanabilme
Teorem 2.1.1:
λ ≥ µ > 0, γ > δ ise
 ∞ δµ+µ−1
i)  ∑ n
ωn

 n =1
µ
1µ




 ∞ γλ+λ −1
≤ M ∑ n
ωn
 n =1
λ
1λ




dır. Burada M, (ω n ) dizisinden bağımsızdır.
ii) Her Q matrisi için
Q, γ λ ⇒ Q, δ µ
dır.
Đspat:
i) λ = µ durumu açıktır. λ > µ olsun. Bu durumda Hölder eşitsizliğinden
∞
∑ n δµ+µ−1 ωn
n =1
µ
∞
= ∑ n δµ − γµ + γµ +µ−µ λ −(λ −µ ) λ ω n
n =1
∞
(
= ∑ n γµ +µ −µ λ ωn
n =1
µ
)(n
(
∞
≤  ∑ n γµ +µ −µ λ ω n
 n =1
 ∞
λ 
=  ∑ n γλ + λ −1 ω n 
 n =1

yazılabilir.
µ
δµ − γµ − (λ −µ ) λ
)
µ λµ
µ λ



µ λ
)
(
 ∞ δµ − γµ −(λ −µ ) λ
 ∑ n
 n =1
 ∞ (δ − γ )µλ (λ −µ )−1 
∑n

 n =1

1−µ λ
)
λ (λ −µ ) 


(λ −µ ) λ
11
(δ − γ )µλ (λ − µ ) − 1 = α
α < −1 olduğundan
diyelim. Bu durumda δ − γ < 0 olduğundan α < −1 dir.
∞
∑ nα
serisi yakınsaktır. Dolayısıyla eşitsizliğin her iki tarafının
n =1
1 µ −1 λ
∞

1 µ -üncü kuvvetini alıp  ∑ n α 


 n =1 
= M dersek istenen eşitsizlik elde edilir.
∞
ii) Biliyoruz ki
∑ n γλ+λ−1 σ n − σ n −1
λ
< ∞ olması için gerek ve yeter şart serinin
n =1
Q, γ
λ
limitlenebilir olmasıdır.. Bu durumda (i) sonucunda ω n yerine σ n − σ n −1
alınırsa Q, γ
λ
⇒ Q, δ µ elde edilir.
Lemma 2.1.2:
1
1
~
ξ n = ∫ t dχ(t ), ξn = ∫ t n dχ(t ) < ∞
n
0
(n = 0,1,...)
0
(
) ve λ ≥ 1 ise her (ω
) ≤ (~ξ ) X~( ω )
~
~
olmak üzere X = (h , ξ n ) , X = h , ξn
X(ω n
λ −1
λ
0
n
) dizisi için
λ
n
olur.
Đspat:
( ) olsun. X = (h, ξ
~
~
X = (X n ,r ) , X = X n ,r
n
) olduğundan
0 ≤ r ≤ n için
 n  n −r
vn − r
 ξ r + v
X n , r =   ∑ (− 1) 
 r  v=0
 v 
 n  n −r
 n − r  r+v
 ∫ t dχ(t )
=   ∑ (− 1)v 
 r  v =0
 v 0
1
1
 n −r
n
vn − r v 
 t  dχ(t )
=   ∫ t r  ∑ (− 1) 
 r  0  v=0
 v  
1

n r 
n − r 2


 t + ... + (− 1)n −r t n −r  dχ(t )
=   ∫ t 1 − (n − r ) t + 
r  0 
 2 

12
1

n r 
n − r
 (− t )2 + ... + (− t )n − r  dχ(t )
=   ∫ t 1 + (n − r )(− t ) + 
r  0 
 2 

n 1
n −r
=   ∫ t r (1 − t ) dχ(t )
r
 0
olur. Benzer şekilde
n 1
~
n−r
X n ,r =   ∫ t r (1 − t ) dχ(t )
r  0
dır.
Hölder eşitsizliğinden, p = λ (λ − 1), q = λ için
X(ω n )
λ
=
n
∑ X n ,r ω r
λ
r =0
 n

≤  ∑ X n ,r ω r 
 r =0

 n ~

=  ∑ X n ,r ω r 
 r =0

λ
λ
 n ~
=  ∑ X n ,r ((λ −1) λ +1 λ ) ω r
 r =0
(
)
(
 n ~ (λ −1) λ ~
X n ,r
=  ∑ X n ,r
 r =0
( )



)
1λ
 n ~ (λ −1) λ.λ (λ −1) 

≤  ∑ X n ,r
r
0
=


 n ~ 
=  ∑ X n ,r 
 r =0

λ −1 n
~
( ) X~( ω )
~
= ξ0
λ −1
λ
n
bulunur. Bu ise ispatı tamamlar.

ω r 

λ
λ.(λ −1) λ
∑ X n ,r ω r
r =0
λ
λ
( )
 n ~
 ∑ X n ,r
 r =0
1 λ.λ
ωr
λ



λ.1 λ
13
Teorem 2.1.3:
1
ξ n = ∫ t n dχ(t ) (n=0,1,…)
0
χ, [0,1] aralığında sınırlı salınımlı reel bir fonksiyon olmak üzere X = (h, ξ n ) ,
1
∫t
−γ
dχ(t ) < ∞
0
...(3)
ve λ ≥ 1 ise bu taktirde
∞
i)
∑ n γλ−1 X(na n )
λ
n =1
∞
≤ M ∑ n γλ−1 na n
λ
n =1
dır. Burada M, (a n ) dizisinden bağımsızdır.
ii) Her Q matrisi için
Q, γ
λ
⇒ XQ, γ
λ
dır.
Đspat:
i) Đlk olarak γ ≤ 0 olduğunu kabul edelim. n ≥ r için n γλ ≤ r γλ olur.
Lemma 2.1.2 den
( ) X~( na )
~
λ
X(na n ) ≤ ξ0
λ −1
λ
n
( ) ∑ X~
~
= ξ0
λ −1
n
r =1
n ,r
( ) ∑ ra
~
= ξ0
λ −1
n
r =1
λ
r
λ
ra r
n 1 r
  ∫ t (1 − t )n − r dχ(t )
r  0
dır. Böylece
∞
∑ n γλ−1 X(na n )
n =1
λ
( ) ∑ n ∑ ra
~
≤ ξ0
λ −1
∞
n =1
γλ −1
n
r =0
( ) ∫ dχ(t ) ∑ r
~
= ξ0
λ −1
1
∞
0
r =1
λ
r
−1
n 1 r
  ∫ t (1 − t )n − r dχ(t )
r  0
∞
 n − 1
λ
 (1 − t )n − r
ra r t r ∑ n γλ 
n=r
r −1 
14
∞
≤ M ∑ r γλ −1 ra r
λ
r =1
elde edilir.
γ > 0 olduğunu kabul edelim ve 0 ≤ t ≤ 1 olmak üzere
n
f n (t ) = ∑   t r (1 − t )n −r ra r
r =0  r 
n
olsun. Bu durumda Hölder eşitsizliğinden p = λ, q =
f n (t )
λ
n
n −r
= ∑   t r (1 − t ) ra r
r =0  r 
n
 n 
n −r 
= ∑   t r (1 − t ) 
r = 0  r 

n
 n 
n−r 
= ∑   t r (1 − t ) 
r = 0  r 

n
λ
için
λ −1
λ
1 λ + (λ −1) λ
1λ
λ
(ra r )
 n

(ra r )   t r (1 − t )n − r 
 r 

n n

n
 
λ
≤ ∑   t r (1 − t )n − r ra r ∑   t r (1 − t )n − r 
r =0  r 
 r =0  r 

n
⇒ f n (t )
λ
n n
 
n r
≤ ∑   t r (1 − t ) − ra r
r =0  r 
(λ −1) λ
λ −1
λ
olur ve buradan da
∞
∑ n γλ−1 f n (t )
n =1
λ
n n
∞
 
n −r
≤ M 1 ∑ ε nγλ−1 ∑   t r (1 − t ) ra r
n =1
r =1  r 
∞
λ
∞
n r
= M 1 ∑ ε rγλ−1 ra r t r ∑ ε nγλ−+r r −1 (1 − t ) −
λ
r =1
n =r
∞
≤ M 2 t − γλ ∑ r γλ−1 ra r
λ
r =1
elde edilir. Burada M 1 ve M 2 , (a n ) dizisinden bağımsızdır.
λ
15
n
X(na n ) = ∑ X n ,r (ra r )
r =0
1
n
n
n−r
= ∑ ra r ∫   t r (1 − t ) dχ(t )
r
r =0
0  
1 n
n
n −r
= ∫ ∑ ra r   t r (1 − t ) dχ(t )
r 
0 r =0
1
= ∫ f n (t )dχ(t )
0
olduğundan ve Minkowski eşitsizliğinden
1λ
 ∞ γλ−1
λ
 ∑ n
X(na n ) 
 n =1

∞

=  ∑ n γλ−1
 n =1

1
∫ f n (t )dχ(t )
0
λ 1 λ



1λ
∞
λ
≤ ∫ dχ(t )  ∑ n γλ−1 f n (t ) 
 n =1

0
1
≤ M2
1λ
1
∫t
−γ
0
∞
dχ(t )  ∑ r γλ−1 ra r
 r =1
λ
1λ



elde edilir. Böylece (i) nin ispatı tamamlanır.
Bir X Hausdorff matrisi için
∑an
nin X, γ
λ
toplanabilir olması için gerek ve
yeter şart
∞
∑ n γλ−1 X(na n )
λ
<∞
n =1
olmasıdır, çünkü X(na n ) = n (σ n − σ n −1 ) (n = 1,2,...) dir. (i) nedeniyle
∞
∑ n γλ−1 X(na n )
n =1
olduğundan I, γ
λ
sonucu elde edilir.
⇒ X, γ
λ
λ
∞
≤ M ∑ n γλ−1 na n
λ
n =1
olduğu görülür. Böylece I yerine Q alındığında (ii)
16
Teorem 2.1.4:
i) α > −1, λ ≥ 1, γ < min (1,1 + α ) ise
C, α, γ
λ
⇒ H , α, γ
λ
dır.
ii) α > −1, λ ≥ 1, γ < 1 veya α = 2,3,... , λ ≥ 1, γ < 2 ise
H, α, γ
λ
⇒ C, α, γ
λ
dır.
Bu teoremin ispatı için önce aşağıdaki lemmayı ifade ve ispat edelim.
Lemma 2.1.5:
Eğer σ 0 < 0 ve g(s ) , σ > σ 0 bölgesinde s = σ + iτ nun analitik bir fonksiyonu
ve yeterince büyük s için, K, δ sabitler ve δ >
1
olmak üzere
2
( )
g(s ) = K + 0 s
−δ
ise bu taktirde
1
g(n ) = ∫ t n dχ(t )
(n ≥ 0)
0
1
∫t
olur. Burada χ , her c > σ 0 için
c
dχ(t ) < ∞ olmak üzere [0,1] aralığında sınırlı
0
salınımlı bir fonksiyondur.
Đspat:
f (s ) = g(s ) − K olsun. Bu durumda c > σ 0 + ε > σ için
∞
∫ f (c + it )
2
dt < M ε
−∞
olur. Burada M ε , c den bağımsız sonlu bir sayıdır. Bu durumda Teorem 1.1.16 dan,
her c > σ 0 + ε için ve dolayısıyla her c > σ 0 için t c φ (t ) ∈ L(0,1) olmak üzere
1
f (n ) = ∫ t n φ (t )dt
0
(n ≥ 0 )
17
elde edilir. Sonuç olarak
1
g(n ) = ∫ t n dχ(t )
(n ≥ 0)
0
t
1
0
0
bulunur. Burada 0 ≤ t < 1 için χ(t ) = ∫ φ(u )du ve χ(1) = K + ∫ φ(u )du dur. Bu, her
1
c > σ 0 için ∫ t c dχ(t ) < ∞ olduğunun ispatıdır. Lemma böylece ispatlanır.
0
Teorem 2.1.4’ün ispatı:
ω(s ) = (s + 1)−α
Γ(s + α + 1)
Γ(α + 1)Γ(s + 1)
ve ω n = ω (n ) olmak üzere, W= (h , ω n ) şeklinde Hausdorff matrisi olsun.
i) Stirling formülünden, ω (s ) dönüşümü δ = 1, σ 0 = max(− 1,−1 − α ) için Lemma
2.1.5 deki g(s ) nin hipotezlerini sağlar. Bu durumda Teorem 2.1.3 de X=W alınırsa
− γ > σ 0 yani γ < min (1,1 + α ) için
Cα , γ
λ
⇒ WC α , γ
λ
olur. WC α = H α olduğundan (i ) nin ispatı tamamlanır.
ii)
1
fonksiyonu, α > −1 için δ = 1, σ 0 = −1 ve α = 2,3,... için δ = 1 , σ 0 = −2
ω (s )
olan Lemma 2.1.5 deki g(s ) nin hipotezlerini sağlar.
Bu durumda Teorem 2.1.3 de X = W −1 alınırsa α > −1 olduğunda − γ > −1 için
ve α = 2,3,... olduğunda − γ > −2 için
Hα , γ
λ
⇒ W −1 H α , γ
λ
olur. W −1H α = C α olduğundan bu (ii) nin ispatını tamamlar.
18
Teorem 2.1.6:
µ > λ ≥ 1,
1
1 1
= 1 + − , γ ≥ 0 ve
p
µ λ
1
ξ n = ∫ t n φ(t )dt , φ(t ) ∈ L(0,1) , t 1− γ −1 p φ(t ) ∈ Lp (0,1)
0
olmak üzere X = (h , ξ n ) olsun. Bu durumda
∞
µ
i)  ∑ n γµ −1 X(na n ) 
 n =1

1µ
∞
≤ M ∑ n γλ−1 na n
 n =1
λ
1λ



,
burada M, (a n ) dizisinden bağımsızdır.
ii) Her Q matrisi için
Q, γ
λ
⇒ XQ, γ
µ
dır.
Đspat:
i) n, t ve (a n ) dizisinden bağımsız olan pozitif sayıları
gösterelim. 0 ≤ t ≤ 1 olmak üzere
∞
S = ∑ n γλ−1 na n
λ
<∞
n =1
ve
n n
 
f n (t ) = ∑   t r (1 − t )n −r ra r
r =0  r 
olsun. Bu durumda Teorem 2.1.3 ün ispatına benzer olarak
f n (t )
λ
n n
 
n r
≤ ∑   t r (1 − t ) − ra r
r =0  r 
λ
olur. Dolayısıyla
n n
 
λ
λ
n r
n γλ ∫ t γλ−1 f n (t ) dt ≤ n γλ ∫ t γλ−1 ∑   t r (1 − t ) − ra r dt
r =1  r 
0
0
1
1
=n
γλ
n
∑ ra r
r =1
λn
1
  ∫ t γλ+ r −1 (1 − t )n − r dt
r  0
M 1 , M 2 , M 3 , M 4 ile
19
n
λ  n  Γ(γλ + r )Γ(n − r + 1)
= n γλ ∑ ra r  
Γ(n + γλ + 1)
r 
r =1
n
= n γλ ∑ ra r
(γλ + r − 1)!(n − r )!
n!
(n − r )!r!
(n + γλ )!
λ
r =1
n
= n γλ ∑ ra r
(γλ + r − 1)!
r (r − 1)!
(n + γλ )!
λ
r =1
n!
(γλ + r − 1)!
n
λ 1 (γλ )!(r − 1)!
= n γλ ∑ ra r
r (n + γλ )!
r =1
(γλ )!n!
 γλ + r − 1


n
r − 1 
λ 1
γλ
= n ∑ ra r
r  γλ + n 
r =1


 n 
=n
γλ
n
∑ ra r
ε rγλ−1
λ −1
r
ε nγλ
r =1
=
n γλ
ε nγλ
n
∑ r −1ε rγλ−1 ra r
λ
r =1
n
≤ M1 ∑ r γλ−1 ra r
λ
r =1
= M 1S
...(4)
elde edilir.
Ayrıca γ > 0 için Teorem 2.1.3(i) den
∞
∑n
n =1
γλ −1
f n (t )
λ
≤ M2t
− γλ
∞
∑ r γλ−1 ra r
r =1
λ
= M 2St − γλ
...(5)
bulunur. γ = 0 durumu için de Teorem 2.1.3(i) nin ispatına benzer olarak
1  n  1  n − 1
 = 

n  r  r  r − 1 
20
özdeşliğinden yararlanarak eşitsizliğin geçerliliğini gösterebiliriz. Gerçekten,
∞
∑n
n =1
−1
f n (t )
λ
∞
≤ ∑n
−1
n =1
n
n
∑  r  t r (1 − t )n −r ra r
r =0 
∞
= ∑ t r ra r
λ
r =1
∞
= ∑ t ra r
r
λ
r =1
λ

∞
1 n
∑ n  r  (1 − t )n −r
n =r
 
∞
1  n − 1
∑ r  r − 1  (1 − t )n −r

n =r

∞
∞ n −1


λ
 (1 − t )n − r
= ∑ r −1 ra r t r ∑ 
r =1
n =r  r − 1 
∞
= ∑ r −1 ra r t r
λ
r =1
∞
= ∑ r −1 ra r
1
tr
λ
r =1
olur. Böylece γ = 0 durumu için de eşitsizliğin doğruluğunu göstermiş oluruz. Şimdi
1
1
p
c = 1 − γ − , Ψ (t ) = t c φ(t ), k = ∫ Ψ (t ) dt
p
0
olsun. Bu durumda k sonludur ve
X(na n )
λ
1
= ∫ Ψ (t ) t f n (t )dt
λ
−c
0
1

≤  ∫ Ψ (t ) t −c f n (t ) dt 
0

λ
1

p.1 p − c
t f n (t ) dt 
=  ∫ Ψ (t )


0

λ
1

p (1+1 µ −1 λ ) − c
t f n (t ) dt 
=  ∫ Ψ (t )


0

λ
1

p (1−1 λ )
p µ
=  ∫ Ψ (t )
Ψ (t ) t −c f n (t ) dt 


0

λ
21
1
p(λ −1) λ.λ (λ −1) 
dt 
≤  ∫ Ψ (t )


0

1

p
=  ∫ Ψ (t ) dt 


0

λ −1 1
∫ Ψ(t )
λ (λ −1) λ
1

 Ψ (t ) p.λ µ t −cλ f n (t ) λ dt 
∫

0

p.λ µ 1− cλ −λγ λγ −1
t
t
λ.1 λ
f n (t ) dt
λ
0
1
= k λ −1 ∫ t (λγ −1)((µ−λ ) µ +λ µ ) f n (t )
λ ((µ − λ ) µ + λ µ )
Ψ (t )
p.λ µ 1−λc −λγ
t
dt
0
1
= k λ −1 ∫ t (λγ −1)(µ −λ ) µ t (λγ −1)λ µ f n (t )
λ (µ − λ ) µ
f n (t )
λλ µ
Ψ (t )
p.λ µ 1−λc − λγ
t
dt
0
≤k
 1 (λγ −1)(µ −λ ) µ.µ (µ−λ )
λ (µ − λ ) µ.µ (µ −λ ) 
(
)
t
f
t
dt 
n
∫

0

(µ −λ ) µ
λ −1 
1

 Ψ (t ) pλ µ.µ λ t (λγ −1)λ µ.µ λ t (1−λc−λγ )µ λ f n (t ) λ λ µ.µ λ dt 
∫

0

λµ
 1 (λγ −1)

λ

(
)
t
f
t
dt
n
∫

0

1− λ µ
1

 Ψ (t ) p t (λγ −1)t f n (t ) λ dt 
∫

0

 1 (λγ −1)

λ
t
f n (t ) dt 
∫


0

1− λ µ
1

 Ψ (t ) p t λγ f n (t ) λ dt 
∫


0

=k
λ −1 
=k
λ −1 
λµ
λµ
elde edilir. Eşitsizliğin her iki tarafının µ λ kuvvetini alırsak
X(na n ) ≤ k
µ
(λ −1)µ
λ
 1 λγ −1

λ
∫ t

f
t
dt
(
)
n


0

(µ −λ ) λ
1
∫ Ψ(t )
t f n (t ) dt
p λγ
λ
0
bulunur.
n γµ −1 = n γµ − γλ + γλ −1 = n γµ − γλ n γλ −1 = n γ (µ − λ )n γλ −1 = (n γλ )
(µ −λ ) λ
n γλ −1
olduğundan
n
γµ −1
X(na n ) ≤ k
µ
(λ −1)µ
λ
 γλ 1 λγ −1

λ
n ∫ t
f n (t ) dt 

0


µ λ −1
1
∫ Ψ (t )
0
p
t λγ n γλ −1 f n (t ) dt
λ
22
olur ve dolayısıyla (4) ve (5) den
∞
∑n
γµ −1
n =1
X(na n )
µ
≤k
(λ −1)µ
λ
(M 1S)
µ λ −1
1
p
λ
n =1
0
≤ k (λ −1)µ λ M 1
∞
λγ
γλ −1
∫ Ψ(t ) t ∑ n f n (t ) dt
µ λ −1 µ λ −1
S
1
∫ Ψ(t )
p λγ
t M 2 St − γλ dt
0
= M 3S
µ λ −1
1
M 2S∫ Ψ (t ) dt
p
0
= M 3 M 2 kSµ λ = M 4 S µ λ
bulunur. Bu eşitsizlikte her iki tarafın 1 µ kuvveti alınır ve S yerine yazılırsa
 ∞ γµ −1
µ 
X(na n ) 
∑ n
 n =1

elde edilir. Bu ise I, γ
λ
⇒ X, γ
µ
1µ
 ∞
λ 
≤ M ∑ n γλ −1 na n 
 n =1

1λ
demektir. Öte yandan I yerine Q alınarak (ii)
bulunur.
Lemma 2.1.7:
Q herhangi bir matris ve
i) λ = µ ≥ 1, γ ≥ 0, α + 1 > γ > δ, β ≥ α − γ + δ, β > −1,
veya
ii) λ > µ ≥ 1, γ ≥ 0, α + 1 > γ > δ, β > α − γ + δ, β > −1, ise
C α Q, γ
λ
dır (Borwein 1959).
Sonuç 2.1.8:
Q herhangi bir matris ve
i) µ ≥ λ ≥ 1, ρ > 1 λ − 1 µ , α + 1 > γ ≥ 0
veya
ii) µ > λ > 1, ρ = 1 λ − 1 µ , α + 1 > γ ≥ 0
⇒ C β Q, δ
µ
23
ise bu taktirde
C α Q, γ
λ
⇒ C α +ρ Q, γ
µ
olur.
Đspat:
1
i) ε αn ε αn + ρ = ∫ t n φ(t )dt , φ(t ) =
0
Γ(α + ρ + 1) α
ρ −1
t (1 − t ) , X = h , ε αn ε αn +ρ
Γ(ρ )Γ(α + 1)
(
)
olmak
üzere
−1
C α +ρ = C α + ρ C α C α = XC α
olur. Đlk olarak λ = µ olduğunu varsayalım. Bu durumda α − γ + 1 > 0, ρ > 0
olduğundan
Γ(α + ρ + 1) α − γ
ρ−1
∫ t φ(t )dt = ∫ Γ(ρ)Γ(α + 1) t (1 − t ) dt
1
0
−γ
1
0
integrali yakınsaktır. Dolayısıyla t − γ φ(t ) ∈ L(0,1) olur. Teorem 2.1.3 den
Cα , γ
λ
⇒ C α +ρ , γ
λ
elde edilir.
Şimdi µ > λ ve 1 p = 1 + 1 µ − 1 λ
olduğunu kabul edelim. Bu durumda
p(ρ − 1) > −1 ve α + 1 − γ > 0 olduğundan p(α + 1 − γ − 1 p ) > −1 olur. O halde
Γ(α + ρ + 1) α
ρ−1
∫ φ(t )dt = ∫ Γ(ρ)Γ(α + 1) t (1 − t ) dt
1
1
0
0
ve
1
∫t
0
1− γ −1 p
φ(t )
p
 Γ(α + ρ + 1)  p (α − γ −1 p +1)
 t
(1 − t )p (ρ−1) dt
dt = ∫ 
(
)
(
)
Γ
ρ
Γ
α
+
1

0
1
p
integralleri yakınsaktır. Buradan φ(t ) ∈ L(0,1) ve t 1− γ −1 p φ(t ) ∈ Lp (0,1) elde edilir.
Đstenen sonuç Teorem 2.1.6 dan bulunur.
24
3.ÜÇÜNCÜ BÖLÜM
Bu bölümde kuvvetli toplanabilme kavramını herhangi bir Q matrisi için
incelendikten sonra Hausdorff matrislerinin kuvvetli toplanabilmesi ve Hausdorff
matrislerinin Lp sınıfından fonksiyonlarla ilişkilerini ifade eden teorem ve lemmalar
ele alınacaktır.
3.1.Kuvvetli Toplanabilme
Teorem 3.1.1:
Q herhangi bir matris, P = (p n ,r ),
∞
∑ p n ,r < M
(n=0,1,…)
r =0
...(6)
olan bir matris ve λ > µ > 0 ise bu taktirde
[P, Q]λ ⇒ [P, Q]µ
dır.
Özel olarak λ > µ > 0 ve P regüler ise teorem sağlanır.
Đspat :
Her (ω n ) dizisi için Hölder eşitsizliğinden,
∞
∑p
r =0
n ,r
ωr
µ
∞
(
= ∑ p n ,r
r =0
1−µ λ +µ λ
)ω
µ
r
25
∞
(
)
µ λ
= ∑ p n ,r
ωr
r =0
(
∞
µ λ
≤  ∑ p n ,r
 r =0
∞
µ
) (ω )
µ λµ
r
µ λ
 ∞
λ 
<  ∑ p n ,r ω r 
 r =0

µ λ
⇒ ∑ p n ,r ω r
)



 ∞

 ∑ p n ,r 
 r =0

µ λ
(
∞
 ∑ p n ,r (λ −µ ) λ
 r =0
)
λ ( λ −µ )



1−µ λ
1−µ λ
M 1−µ λ
∞
≤  ∑ p n ,r ω r
 r =0
r =0
1−µ λ
n ,r
λµ
 ∞
λ 
=  ∑ p n ,r ω r 
 r =0

µ
(p
λ




µ λ
M 1−µ
λ
n
olur. Burada s n = ∑ a r , σ n = Q(s n ) olmak üzere, (ω n ) dizisi yerine (σ n − s ) dizisi
r =0
alınırsa istenen sonuç elde edilir.
Teorem 3.1.2:
Q herhangi bir matris ve λ > µ > 0, βλ > αµ > 0 ise bu taktirde
[C α , Q]λ ⇒ [C β , Q]µ
dır.
Đspat:
p=
βq − α
(
λ
λ
, q=
ve (ω n ) herhangi bir dizi olsun. α > 0, β > 0,
µ
λ−µ
q
q
= (βλ − αµ ) > 0 olduğu için Hölder eşitsizliğinden
λ
p
Cβ ωn
µ
) = ε1 ∑ ε
n
β
n r =0
β −1
r
ωn −r
µ
(ε )
(ε )
=
∑
(ε ) ε (ε )
α 1p
n
α 1p β
n
n
n r =0
α −1 1 p
r
α −1 1 p
r
ε βr −1 ω n − r
µ
26
1
≤ α
εn
1p
λ


n
∑ ε αr −1 ωn −r
r =0
{ (
≤ M1 C α ωn
λ
)}
1p
( )
(ε )
∑
( ) (ε )
 ε α q p
n
 β q
 ε n
β −1 q
r
α −1 q p
r
n
r =0
1q



n

α q p −βq
(
)
(r + 1)βq −αq p −1 
+
n
1

∑
r =0


olur ve buradan da
(
µ
Cβ ω n
...(7)
)≤ M{C ( ω )}
α
λ 1p
n
n
elde edilir. M1 ve M sayıları, n den ve (ω n ) dizisinden bağımsızdır. s n = ∑ a r ,
r =0
σ n = Q(s n ) olmak üzere ωn = σ n − s alındığında istenen sonuç elde edilir.
Teorem 3.1.3:
P, X regüler Hausdorff matrisleri, Q herhangi bir matris ve λ ≥ 1 ise bu taktirde
[P, Q]λ ⇒ [P, XQ]λ
dır.
Đspat:
X = (h , ξ n ) ve σ n = X(s n ) olsun. X regüler olduğundan
1
σ n − s = X(s n − s ) ve ξ n = ∫ t n dχ(t )
0
olur. Burada χ , (1) şartını sağlayan, [0,1] aralığında sınırlı salınımlı bir
fonksiyondur. Bu durumda Lemma 2.1.2 den
( ) X~( s
~
λ
σ n − s ≤ ξ0
λ −1
n
λ
−s
)
~
bulunur. P negatif elemanı olmayan bir Hausdorff matrisi ve X bir Hausdorff
matrisi olduğundan
(
P σn − s
λ
)≤ (~ξ )
λ −1
0
(
) ( )
~
~
λ
PX s n − s = ξ0
λ −1
(
~
λ
XP s n − s
)
...(8)
~
~
elde edilir. Teorem 1.1.7 den u n → 0 olduğunda X(u n ) → 0 olur. ( X nın regüler
olması gerekli değildir.)
27
(
Bu durumda P s n − s
λ
)→ 0
(
ise (8) den P σ n − s
λ
)→ 0 , yani [P, I]
λ
⇒ [P, X ]λ
bulunur. I yerine Q matrisi aldığımızda [P, Q]λ ⇒ [P, QX ]λ elde edilir.
Aşağıdaki sonuçlar bu teoremden kolayca görülür.
Sonuç 3.1.4:
λ ≥ 1, P, Y, Z Hausdorff matrisleri, P regüler, Y = (h, η n ), η n ≠ 0 ve Y ⇒ Z ise
[P, Y]λ ⇒ [P, Z]λ
olur.
Sonuç 3.1.5:
X bir Hausdorff matrisi ve λ ≥ 1 ise
∞
∑an
n =0
serisinin s ye [C1 , X ]λ toplanabilir
olması için gerek ve yeter şart s ye C1X toplanabilir ve na n → 0[C1 , C1 X ]λ
olmasıdır.
(2) den C1C α −1 ≅ C α
(α > 0) ve dolayısıyla Sonuç 3.1.4 den
[C1 , C1C α −1 ]λ ≅ [C1 , C α ]λ (α > 0, λ ≥ 1)
olur. Bu durumda Sonuç 3.1.5 den aşağıdaki sonuç elde edilir.
Sonuç 3.1.6:
λ ≥ 1, α > 0 ise bir
∞
∑an
n =0
serisinin s ye [C, α ]λ toplanabilir olması için gerek ve
yeter şart serinin s ye (C, α ) toplanabilir olması ve
m
∑ C (na )
n =0
α
n
λ
= o(m ) olmasıdır.
Bu sonuç Hyslop (1951) tarafından verilmiş ve α = 0 değeri için
[C,0]λ
toplanabilme metodu aşağıdaki şekilde ifade edilmiştir:
∞
∑a
n =0
n
serisinin s değerine [C,0]λ
serinin s ye yakınsak ve
toplanabilir olması için gerek ve yeter şart
28
m
∑ na n
n =0
λ
= o(m )
olmasıdır.
Teorem 3.1.7:
α ≥ 0, λ ≥ 1 ise
[C, α]λ ≅ [H, α]λ
dır.
Đspat:
Önce α > 0 alalım. Bu durumda Teorem 1.1.13 den
C α −1 ≅ H α −1
olur. C1 = H1 olduğundan Sonuç 3.1.4 nedeniyle
[C1 , C α −1 ]λ ⇒ [C1 , H α −1 ]λ = [H1 , H α −1 ]λ
elde edilir. [C, α ]λ = [C1 , C α −1 ]λ ve [H, α ]λ = [H 1 , H α −1 ]λ gösterimlerinden
[C, α]λ ⇒ [H, α]λ
bulunur. Benzer şekilde [H, α ]λ ⇒ [C, α ]λ elde edilir.
X = H −1 = C1
α = 0 için Sonuç 3.1.5 de
[
]
−1
olarak alalım. Bu durumda
(
s n → s C1 , C1 −1 olması için gerek ve yeter şart s n → s C1 , C1
−1
) ve na
n
→ 0[C1 , I]λ
olmasıdır. Buradan s n → s ve
1 m
∑ na n
m + 1 n =0
elde edilir. [C,0]λ nın tanımı gereğince
[H,0]λ = [H1 , H −1 ]λ
[
= C1 , C1 −1
]
λ
→0
[C,0]λ
[
≅ C1 , C1
−1
olduğu dikkate alınarak
]
λ
bulunur. Öte yandan
[C,0]λ ≅ [H,0]λ olduğu
görülür.
Lemma 3.1.8:
φ(t ), p > 1 olmak üzere Lp (0,1) sınıfından reel bir fonksiyon ve
1
ξ n = ∫ t φ(t )dt , ξ n
n
0
(p )
1
= ∫ t n φ(t ) dt
p
0
(n = 0,1,...) ,
(
X = (h , ξ n ) , X (p ) = h , ξ n
(p )
)
29
olsun. µ > λ ≥ 1 ve 1 + 1 µ − 1 λ = 1 p ise her (ω n ) dizisi için
( ( ) ) ( ){C ( ω )}
X(ω n ) ≤ ξ 0
µ
λ
µ 1−1 λ
p
1
µ λ −1
n
(
X (p ) ω n
dır.
Đspat:
0 ≤ t ≤ 1 olmak üzere
n n
 
f n (t ) = ∑   t r (1 − t )n − r ω r
r =0  r 
olsun. Teorem 2.1.3 ün ispatına benzer olarak
f n (t )
λ
n n
 
n r
≤ ∑   t r (1 − t ) − ω r
r =0  r 
λ
olur.
1
1
∫ f n (t ) dt ≤ ∫
λ
n
∑  r  t (1 − t )
n
0 r =0
0
n−r
r
 
λ
ω r dt
n
λn
n −r
= ∑ ω r   ∫ t r (1 − t ) dt
r
 0
r =0
1
n
λ  n  Γ (r + 1)Γ(n − r + 1)
= ∑ ω r  
Γ(n + 2)
r 
r =0
n
= ∑ ωr
r =0
=
1 n
∑ ωr
n + 1 r =0
(
= C1 ω n
λ
λ
(r )!(n − r )!
n!
(n − r )!r ! (n + 1)!
λ
)
...(9)
ve dolayısıyla
φ(t ) f n (t )
p
elde edilir. Buradan da
λ
n n
 
p
n r
≤ ∑   t r (1 − t ) − φ(t ) ω r
r =0  r 
λ
λ
)
30
1
∫
0
n

 n  1
λ
p
p
n −r
φ(t ) f n (t ) dt ≤ ∑    ∫ t r (1 − t ) φ(t ) dt  ω r
r =0  r   0

(
= X (p ) ω n
λ
λ
)
...(10)
bulunur. Ayrıca iki kez Hölder eşitsizliğini uygulayarak
X(ω n )
λ
1
= ∫ φ(t )f n (t )dt
λ
0
1

p.1 p
≤  ∫ φ(t )
f n (t ) dt 
0

λ
1

p (1+1 µ −1 λ )
=  ∫ φ(t )
f n (t ) dt 
0

λ
1

p (1−1 λ )
p µ
=  ∫ φ(t )
φ(t ) f n (t ) dt 
0

1

p ((λ −1) λ )(λ (λ −1))
≤  ∫ φ(t )
dt 
0

1

p
=  ∫ φ(t ) dt 
0

λ −1
1

p
=  ∫ φ(t ) dt 
0

λ −1
( ( )) ∫ f
= ξ0
p
λ −1
1
n
1
∫ φ(t )
λ .(λ −1) λ
( p µ ).λ
λ
1

 ∫ φ(t ) p µ.λ f n (t ) λ dt 


0

λ .1 λ
f n (t ) dt
λ
0
1
∫ φ(t )
p .λ µ
f n (t )
λ ((µ − λ ) µ + λ µ )
dt
0
(t ) λ(µ−λ ) µ f n (t ) λ.λ µ φ(t ) p.λ µ dt
0
( )
≤ ξ0
(p )
λ −1
1

 ∫ f n (t ) λ (µ −λ ) µ.µ (µ −λ ) dt 


0

1− λ µ
1

 ∫ f n (t ) λ .λ µ.µ λ φ(t ) p.λ µ.µ λ dt 


0

λµ
31
( )
= ξ0
(p )
λ −1
1

 ∫ f n (t ) λ dt 


0

1− λ µ
1

 ∫ f n (t ) λ φ(t ) p dt 


0

λµ
...(11)
bulunur. (9), (10) ve (11) den
( ( ) ) {C ( ω )}(
X(ω n ) ≤ ξ 0
λ
λ −1
p
µ −λ ) µ
λ
1
n
(X ( ω ))
(p )
λµ
λ
n
elde edilir. Eşitsizliğin her iki tarafının µ λ kuvveti alınırsa
( ( ) ) ( ){C ( ω )}
X(ω n ) ≤ ξ 0
µ
λ
µ 1−1 λ
p
1
µ λ −1
n
(
X (p ) ω n
λ
)
olur.
Teorem 3.1.9:
1
µ > λ ≥ 1 , 1 p = 1 + 1 µ − 1 λ olsun. Ayrıca φ(t ) ∈ Lp (0,1) ξ n = ∫ t n φ(t )dt , ξ 0 = 1
0
olmak üzere X = (h , ξ n ) alalım. Bu durumda her Q matrisi için
[C1 , Q]λ ⇒ [C1 , XQ]µ
dır.
Đspat:
X regüler bir Hausdorff matrisi ve X (p ) , ν n → 0 olduğunda X (p ) (ν n ) → 0 olan
bir Hausdorff matrisidir. Kabul edelim ki s n → s[C1 , Q]λ olsun. Kısalık için
(
ω n = Q(s n ) − s = σ n − s , ν n = C1 ω n
alalım. Bu durumda
(
ν n = C1 ω n
λ
λ
),
( ( )) (
k = ξ0
p
) = C ( Q(s ) − s ) → 0
λ
1
n
olur. ν n → 0 olduğundan k sonludur ve Lemma 3.1.8 den
(
C1 X(σ n ) − s
µ
) = C ( X(ω ) )
≤ kC X ( ) ( ω )
= kX ( )C ( ω )
µ
1
n
λ
p
1
n
λ
p
1
n
µ 1−1 λ )
sup(ν n )
µ λ −1
n≥0
32
= kX (p ) (ν n ) = o(1)
elde edilir. Bu ise s n → s[C1 , XQ] µ olmasıdır. Bu ise ispatı tamamlar.
Sonuç 3.1.10:
Q herhangi bir matris ve
i) µ ≥ λ ≥ 1 , ρ > 1 λ − 1 µ
veya
ii) µ > λ > 1 , ρ = 1 λ − 1 µ ise bu taktirde
[C1 , Q]λ ⇒ [C1 , C ρ Q]µ
dır.
Đspat:
i) λ = µ durumu Teorem 3.1.3 de P matrisi yerine C1 matrisi, X matrisi yerine C ρ
matrisi alınmasıyla elde edilir.
µ > λ olduğunu varsayalım ve 1 p = 1 + 1 µ − 1 λ olsun. φ(t ) = ρ(1 − t )
ρ −1
olmak
üzere C ρ = (h ,1 ε ρn ) ve
1
ε ρn
1
= ∫ t n φ(t )dt
0
olur. Ayrıca ρ − 1 > −1 − 1 µ + 1 λ = − 1 p , p(ρ − 1) > −1 olduğundan
1
∫
0
1
φ(t ) dt = ∫ ρ p (1 − t )
p
0
p (ρ −1)
1
dt = ρ p ∫ t 0 (1 − t )
p (ρ −1)
dt
0
integrali yakınsaktır. Buradan φ(t ) ∈ Lp (0,1) elde edilir. Böylece Teorem 3.1.9 dan
istenen sonuç bulunur.
33
4.DÖRDÜNCÜ BÖLÜM
Bu bölümde daha önceki bölümlerde ortaya koyduğumuz teorem, lemma ve
sonuçların yardımıyla adi, mutlak ve kuvvetli toplanabilme arasındaki ilişkileri ele
alacağız.
4.1.Adi, Mutlak ve Kuvvetli Toplanabilme Arasındaki Đlişki
Teorem 4.1.1:
P, Q herhangi iki matris ve P regüler ise bu taktirde
i) λ > 0 için
ii) λ ≥ 1 için
Q ⇒ [P, Q]λ
[P, Q]λ ⇒ PQ
34
dır.
Đspat:
n
olmak üzere, Q(s n ) = σ n → s ise
i) s n = ∑ a r
r =0
(
olduğundan P σ n − s
λ
λ
σ n − s → 0 dır. P regüler
) → 0 olur. Bu ise Q ⇒ [P, Q]
λ
demektir.
ii) s n → s[P, Q]λ olsun. Teorem 3.1.1 den λ ≥ 1 olduğundan s n → s[P, Q] 1 olur.
P(σ n − s ) ≤ P( σ n − s ) = o(1)
eşitsizliğinden ve P regüler olduğundan P(σ n ) → s elde edilir. Bu da [P, Q]λ ⇒ PQ
demektir.
Teorem 4.1.1 in (i) şıkkının bir sonucu olarak şunu elde ederiz:
Sonuç 4.1.2:
P,Q regüler matrisler ve λ > 0 ise bu durumda [P, Q]λ regülerdir.
Đspat:
s n → s olsun. Q regüler olduğundan
σ n = Q(s n ) → s
olur. σ n → s ise σ n − s
λ
→ 0 dır. P regüler olduğundan
(
P σn − s
λ
)→ 0
olur. Buradan s n → s[P, Q]λ olur. Şu halde [P, Q]λ regülerdir.
Şimdi Teorem 1.1.8 in genelleştirilmesi olan bir teorem verelim.
Teorem 4.1.3:
P regüler bir matris, Q bir matris ve λ ≥ 1 ise bu taktirde bir serinin s ye [P, Q]λ
toplanabilir olması için gerek ve yeter şart serinin s ye PQ toplanabilir ve 0’a
[P, (1 − P )Q]λ
Đspat:
toplanabilir olmasıdır.
35
σ n = Q(s n ), τ n = P(σ n ) olsun. Bu durumda
(
P σn − s
) = o(1)
λ
...(12)
olması için gerek ve yeter şartın
τn → s
...(13)
ve
(
λ
P σn − τn
) = o(1)
...(14)
olduğunu göstermeliyiz.
i) (12) nin sağlandığını kabul edelim. Bu durumda Teorem 4.1.1(ii) den (13) sağlanır.
(
P regüler olduğundan P τ n − s
{P( σ
n
− τn
λ
)}
1λ
λ
) = o(1) olur. Minkowski eşitsizliğinden ve (12) den
1λ
∞
λ
= ∑ p n ,r σ r − τ r 
 r =0

1λ
∞
λ
= ∑ p n ,r (σ r − s ) + (s − τ r ) 
 r =0

1λ
∞
λ
≤ ∑ p n ,r σ n − s 
 r =0

{(
= P σn − s
λ
1λ
∞
λ
+ ∑ p n ,r τ n − s 
 r =0

)} + {P( τ
1λ
n
−s
λ
)}
1λ
= o(1)
olur ve buradan da (14) sağlanır.
ii) (13) ve (14) ün sağlandığını kabul edelim. P regüler olduğundan
(
) = o(1) olur. Bu durumda Minkowski eşitsizliğinden ve (14) den
{P( σ − s )} = ∑ p σ − s 


P τn − s
λ
λ
n
1λ
∞
r =0
λ
n ,r
1λ
r
1λ
∞
λ
= ∑ p n , r σ r − τ r + τ r − s 
 r =0

36
1λ
∞
λ
≤ ∑ p n ,r σ n − τ n 
 r =0

1λ
∞
λ
+ ∑ p n ,r τ n − s 
 r =0

= o(1)
olur ve buradan (12) sağlanır. Böylece ispat tamamlanır.
Teorem 4.1.4:
λ > 1,
∞
2 > ρ > −1 ,
X bir Hausdorff matrisi ve
∑a
n =0
serisi i) C1 X,0 λ
n
toplanabilirse ve ii) s’ye AC ρ X toplanabilirse, seri s’ye [C1 , X ]λ toplanabilirdir.
λ = 1 için (ii) şartına gerek yoktur.
Đspat:
n
s n = ∑ a r , τ n = C1 X(na n ) , σ n = C1 X(s n ) olsun. Bu durumda
r =0
τ n = C1 X(na n ) = n (σ n − σ n −1 )
olur. (i) hipotezinden yani seri C1 X,0 λ toplanabilir olduğundan
∞
∑n
λ −1
n =1
σ n − σ n −1
λ
<∞
dur. Buradan
∞
∑n
σ n − σ n −1
λ
1 n r τr
=
∑
n + 1 r =1 r
λ
λ −1
n =1
∞
= ∑n
−1
n =1
n (σ n − σ n −1 )
λ
∞
=∑
τn
n
n =1
bulunur. Dolayısıyla
1 n
∑ τr
n + 1 r =1
λ
n
=∑
τr
λ
τr
λ
=∑
−∑
r =1
τr
r =1
λ
r
1 n r τr
+
∑
r
n + 1 r =1 r
r =1
n
n
n
+∑
τr
r =1
λ
elde edilir. Bu durumda
r
τ
1 n
−
(n + 1) r
∑
n + 1 r =1
r
τ
1 n
−
(n + 1 − r ) r
∑
r
n + 1 r =1
r
= o(1)
λ
λ
λ
λ
<∞
37
1 n
∑ τr
n + 1 r =1
λ
=
1 n
λ
C1 X(ra r ) − 0 = o(1)
∑
n + 1 r =1
olduğuna göre
na n → 0[C1 , C1 X ]λ
olur. Nihayet, Sonuç 3.1.5 den ispatı tamamlamak için
s n → s(C1 X )
...(15)
olduğunu göstermemiz yeterlidir. λ = 1 olduğunda (15), (i) hipotezinden elde edilir.
Dolayısıyla (ii) hipotezi gereksizdir. Çünkü λ = 1 için (i) hipotezine göre seri
C1 X,0 1 toplanabilir olduğuna göre
∞
∞
n =1
n =1
∑ C1X(s n ) − C1X(s n −1 ) = ∑ σ n − σ n −1 < ∞
olur. Bu ise (σ n ) dizisinin yakınsak olması yani
s n → s(C1 X )
olmasıdır.
Şimdi λ > 1 ve 2 > ρ ≥ 1 + 1 λ olduğunu varsayalım. Diyelim ki
n
C ρ X(s n ) = ω n = ∑ u r
r =0
olsun. C ρ X(na n ) = n (ω n − ω n −1 ) (n = 1,2,...) olduğu için
nu n = C ρ X(na n )
olur. Bu durumda (ii) den
ω n → s(A )
...(16)
∞
bulunur, yani
∑u
n =0
n
serisi s’ye A toplanabilirdir. Öte yandan, ρ − 1 > 1 λ − 1 µ ve
olduğuna göre Sonuç 2.1.8 nedeniyle
C1 X,0 λ ⇒ C1+ ρ−1 X,0 µ = C ρ X,0 µ
olur. Dolayısıyla (ii) den seri C ρ X,0 µ toplanabilir yani
(µ > λ )
38
∞
∑n
n =1
µ −1
ω n − ω n −1
µ
∞
= ∑n
∑u − ∑u
n =1
r =0
∞
= ∑ n µ −1 u n
µ
n −1
n
µ −1
r
r =0
r
µ
n =1
∞
=∑
nu n
n =1
µ
<∞
n
...(17)
dır. Teorem 1.1.10, (16) ve (17) nedeniyle her δ > 1 µ − 1 için
∞
∑u
n =0
n
serisi s’ye
(C, δ) toplanabilirdir, yani
C δ (ω n ) → s
...(18)
olur. µ istenildiği kadar büyük alınırsa her δ > −1 için (18) sağlanır. Sonuç olarak
δ = 1 − ρ alınırsa, C1−ρ C ρ ≅ C1 olduğundan
C1−ρ (ω n ) = C1−ρ C ρ X(s n ) = C1 X(s n ) → s
elde edilir. Bu durumda (15) sağlanır. Bu da ispatı tamamlar.
Teorem 4.1.5:
X bir Hausdorff matrisi, λ ≥ 1 , α > γ > 0 , β ≥ α − γ − 1 ise bu taktirde
C α X, γ
λ
⇒ [C1 , C β X ]λ
dır.
Đspat:
−1
Y = C1 C α − γ X olsun. Bu durumda (2) den
Y ≅ C α − γ −1 X ve C γ +1 Y ≅ C α X
olur. Dolayısıyla Lemma 2.1.7 de µ = 1, δ = 0, β = α alınırsa ve Teorem 1.1.23 den
her ρ > −1 için
C α X, γ
λ
⇒ C α X,0 1 ⇒ C α X ⇒ AC ρ Y
bulunur. Ayrıca Lemma 2.1.7(i) de δ = 0, β = α − γ alınırsa
C α X, γ
λ
⇒ C α − γ X,0 λ = C1 Y,0 λ
39
bulunur. Şu halde β ≥ α − γ − 1 olduğundan Y ≅ C α − γ −1X ⇒ C β X olduğu için
Sonuç 3.1.4 ve Teorem 4.1.4 den
C α X, γ λ ⇒ [C1 , Y ]λ ⇒ [C1 , C β X ]λ
elde edilir.
Teorem 4.1.4 ve Teorem 4.1.5 göz önüne alınarak bazı sonuçlar verilebilir.
Öncelikle şu iki basit sonucu ifade edelim.
Sonuç 4.1.6:
λ > 1, β > α − 1 + 1 λ ise
[H, α]λ ⇒ (H, β)
dır.
Đspat:
β − α + 1 > 1 λ olduğuna göre Teorem 3.1.2 den
[H, α]λ ≅ [C, α]λ ≅ [C1 , C α −1 ]λ ≅ [C1 , H α −1 ]λ ⇒ [C β−α +1 , H α −1 ]1
elde edilir. Teorem 4.1.1(ii) ve Teorem 1.1.13 den
[H, α]λ ⇒ C β−α +1H α −1 ≅ H β
bulunur. Bu da ispatı tamamlar.
Benzer olarak şu sonucu da verebiliriz.
Sonuç 4.1.7:
λ > 1, β > α − 1 + 1 λ , α ≥ 0 ise
[C, α]λ ⇒ (C, β)
dır.
Bu sonucun α = 1 , α > 1 λ ve α > 0 durumları sırasıyla Kuttner (1946), Hyslop
(1951) ve Chow’a (1954) aittir.
Sonuç 4.1.8:
40
λ > 1, 1 + α > ρ olsun. Eğer
∞
∑a
n =0
n
serisi
i) H, α,0 λ toplanabilir ve ii) s ye AH ρ toplanabilir ise bu taktirde seri s ye [H, α ]λ
toplanabilirdir. Dolayısıyla Sonuç 4.1.6 dan her β > α − 1 + 1 λ
için s ye (H, β )
toplanabilirdir.
Đspat:
δ , 2 > δ ≥ ρ + 1 − α olacak şekilde ise pozitif bir sayı olsun. Bu durumda
Teorem 1.1.13 den
H ρ ⇒ H δ H α −1 ≅ C δ H α −1
olur. Teorem 1.1.22 den
AH ρ ⇒ AC δ H α −1
elde edilir. Teorem 4.1.4 de λ > 1, 2 > δ > −1 için ρ yerine δ , X = H α −1 olarak
∞
alınırsa
∑a
n =0
n
, C1 H α −1 ,0 λ toplanabilir ve s ye AC δ H α −1 toplanabilir olduğundan,
seri s ye [C1 , H α −1 ]λ toplanabilirdir. Sonuç 4.1.6 nın uygulanmasıyla
[C1 , H α −1 ]λ ≅ [H, α]λ ⇒ (H, β)
elde edilir.
Benzer şekilde aşağıdaki sonuç ispat edilebilir.
Sonuç 4.1.9:
Eğer λ > 1, 1 + α > ρ ≥ 0, β > α − 1 + 1 λ ve
∞
∑a
n =0
n
serisi i) C, α,0 λ toplanabilir
ve
ii) s ye AC ρ toplanabilir ise bu taktirde seri s ye (H, β ) toplanabilirdir.
Sonuç 4.1.10:
λ > 1, γ > 0, β > α − 1 − γ + 1 λ ise
H, α, γ λ ⇒ [H, α − γ ]λ ⇒ (H, β )
dır.
41
Đspat:
−1
ρ > γ olmak üzere X = C ρ H α olsun. Bu durumda C ρ X = H α olduğundan ve
Teorem 1.1.13 den
C ρ − γ −1 X ≅ H α − γ −1
olur. Teorem 4.1.5 de α yerine ρ , β yerine ρ − γ − 1 alınırsa, Sonuç 3.1.4 ve
Sonuç 4.1.6 dan
H, α, γ λ = C ρ X, γ ⇒ [C1 , C ρ − γ −1 X ]λ ≅ [H1 , H α − γ −1 ]λ = [H, α − γ ]λ ⇒ (H, β)
λ
bulunur.
Benzer yolla aşağıdaki sonuç da ispat edilebilir.
Sonuç 4.1.11:
λ > 1, α > −1, γ > 0, β > α − 1 − γ + 1 λ ise
C, α, γ λ ⇒ (H, β )
dır.
Bu sonucun α > γ − 1 λ durumu Flett (1958) tarafından ispat edilmiştir.
42
KAYNAKLAR
Borwein, D., (1958) Theorems On Some Methods of Summability. Proc. Quart. J.
Math. Oxford (2), 9: 310-316.
Borwein, D., (1959) On Strong and Absolute Summability. Proc. Glosgow Math.
Assoc. (4): 122-139.
Chow, H.C., (1954) A Further Note On the Summability of A Power Series On Its
Circle of Convergence. Ann. Acad. Sinica, 1: 559-567.
Flett, T.M., (1957) On An Extension of Absolute Summability and Some
Theorems of Littlewood and Paley. Proc. London Math. Soc.(3), 7: 113-141.
Flett, T.M., (1958) Some More Theorems Concerning the Absolute Summability of
Fourier Series and Power series. 8: 357-387.
Hardy, G.H., (1949) Divergent Series, Oxford.
Hyslop, J.M., (1951) Note On the Strong Summability of Series. Proc. Glasgow
Math. Assoc., 1: 16-20.
Kuttner, B., Note On Strong Summability. J. London Math. Soc., 21: 118-122.
Rogosinski, W.W., (1942) On Hausdorff Methods of Summability. Proc.
Mathematical Proceedings, 38: 166-192.
Marsden, J.E., (1973) Basic Complex Analysis, San Francisco.
43
ÖZGEÇMĐŞ
Adı Soyadı
:Gülseli ERMEZ
Ana Adı
:Cemile
Baba Adı
:Süleyman
Doğum Yeri ve Tarihi
:DENĐZLĐ, 26.10.1979
Lisans Eğitimi ve Mezuniyet Tarihi :Pamukkale Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi
Matematik Bölümü, 2003
Çalıştığı Yer
:Pamukkale Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi
Matematik Bölümü
Bildiği Yabancı Diller
:Đngilizce
Mesleki Etkinlikleri
:Pamukkale Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi
Matematik Bölümü Araştırma Görevlisi