Analiz3_2015-16-Çalisma Soruları-2

1/10
Analiz III
Çalışma Soruları –2
17.12.2015
A-B. Aşağıdaki genelleştirilmiş integralleri sınıflandırarak, karakterlerini (yani, yakınsak olup
olmadıklarını) araştırınız. [(A1) için değerini bulunuz]
.¥
A1.
ò
7
1
. 2
.dx
x - 6x + 5
..¥
A4.
ò
1
ò.
A7.
-1
..¥
B1.
(x
2
-1)
.2.
3
0
x + x .3.
ò
A2.
1
ò
A5.
dx
.1 + x3
1
.dx
ò.
A8.
-1
..¥
.
ò
B2.
dx
0
.
dx
(x
ò
0
A6.
ò.
-1
x.
2
..1
A3.
1
dx
x + .x
.
3
..0
x
..¥
x.
1
ò
.
.1 + 2 x5
2
1
. 2
.dx
x - 6x + 5
..¥
x
..0
..5
2
-1)
x.
1/3
( x2 -1)
.dx
.dx
1
dx
3
x + x2
.
..¥
B3.
1
ò
.1.
0
x .3.
.
dx
+ .x
C. Aşağıdaki integralleri Euler integralleri yardımıyla hesaplayınız (uygun dönüşümlerle
birer Gama fonksiyonu veya Beta fonksiyonu olarak ifade edilebildiğini gözleyiniz! ve bu
fonksiyonların özelliklerini kullanarak integrallerin değerlerini hesap ediniz)
C1.
ò
0
D1.
.¥
1
.
.dx
1+ x6
ò.
C2.
0
¥
1
= å tn
1- t n=0
.
,
t Î (-1, 1.)
.
.1
x
1+ x
.
6
.dx
C3.
eşitliğini kullanarak,
ò .x
2
.1- x 2 .dx
0
f ( x) = arctan( x + 1)
ve
g ( x) = n( x + 1) fonksiyonlarının x = 0 noktası civarında Taylor serisine açılımlarını elde
ediniz. Bu açılımlardan yararlanarak, p ve n2 sayıları için 3.mertebeden yaklaşık değerler
elde ediniz.
S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
Çalışma Soruları –2
.¥
D2. f ( x) = e2 x fonksiyonunun x = 0 noktası civarında Taylor serisine açılımını elde ediniz.
Bu açılımdan yararlanarak e 2 için 3.mertebeden yaklaşık bir değer elde ediniz.
2/10
(Dikkat: yukarıdaki Taylor serisi açılımlarının elde edilmesinde: ezbere çözümler
yapılmayacak farklı metotlar uygulanmayacak, derste yapıldığı gibi istenilen şekilde adım
adım çözüm elde edilecek)
Çalışma Soruları –2
1
E. f ( x) = (p - x) fonksiyonunun [-p, p .] aralığında Fourier serisini bulunuz.
2
S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
Not: Yanıtlar-Yol göstermeler kontrol amaçlıdır, yazım hatası - eksiklikler vs.. olabilir.
Çözümlerin hemen hepsinde ara işlemler eksiktir, ara işlemleri tamamlayarak yaptığınız
kendi çözümlerinizle mutlaka karşılaştırınız..
3/10
Yantılar-Yol Göstermeler…
(son güncelleme : 17.12.2015)
Önbilgi 1. Karakterlerini bildiğimiz gen. integraller :
.¥
(i) ( a > 0 , p > 0 olmak üzere)
ò
.
a
1
.dx
xp
..b
(ii) ( a, b Î  , p > 0 olmak üzere)
ìïï ..yakınsak , p > 1...
í
ïïî....ıraksak , 0 < p £ 1
1
ò . ( x - a) p .dx
a
..b
(iii) ( a, b Î  , p > 0 olmak üzere)
ò
.
a
.¥
I=
A1.
ò .x
7
2
1
.dx
- 6x + 5
1
.dx
(b - x) p
ïìï ..ıraksak , p ³ 1......
í
ïïî...yakınsak , 0 < p < 1
ìïï ..ıraksak , p ³ 1......
í
ïïî...yakınsak , 0 < p < 1
1
,
x - 6x + 5
f ( x) =
2
x 2 - 6 x + 5 = ( x -1)( x - 5) = 0 denkleminin kökleri  x1 = 1 , x2 = 5
Buradan ise 7 £ x < ¥ aralığında f ( x) > 0 ve I integralinin 1.tür gen.integral olduğu
anlaşılır. Şimdi I integralinin yakınsaklığını araştıralım.
1
g ( x) = 2
x
.¥
seçelim
.¥
1
ò .g ( x).dx = ò . x2 .dx
7
integralinin yakınsak olduğunu biliyoruz.
7
f ( x)
x2
= 2
 1
g ( x) x - 6 x + 5
olduğundan Karşılaştırma Testinin Limit Şeklinden I ile
.¥
ò .g ( x).dx integrali aynı karakterdedir. Dolayısıyla I
7
Şimdi I integralinin değerini hesaplayalım,
.¥
I=
ò
7
..b
1
1
. 2
.dx = lim .. . 2
.dx. = . ?
b¥
x - 6x + 5
x - 6x + 5
ò
7
S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
integrali Yakınsaktır.
Çalışma Soruları –2
x¥
Bunun
için
önce
I* =
ò .x
2
1
.dx =
- 6x + 5
1
ò . ( x -1)( x - 5).dx
belirsiz
integralini
4/10
x -5
1
hesaplanırsa I * = . .n .
. . + .k1 olduğu kolaylıkla görülür. I integralinin hesabına geri
4
x -1
dönelim,
..b
ò
I = lim .. .
b¥
7
é1
1
x -5 ù b
.dx. = lim .. ê .n .
.ú.
b¥ ê 4
x -1 úû 7
x - 6x + 5
ë
2
1é
b -5
2ù
1
2
= lim .. ê.n .
. - n. .ú = - n.
ú
b¥ 4 ê
b -1
6û
4 6
ë
1
2
= - .n.
4
6
.5
A2.
I=
ò .x
2
1
1
.dx
- 6x + 5
f ( x) =
1
1
=
,
x - 6 x + 5 ( x -1)( x - 5)
2
1 £ x £ 5 aralığında x 2 - 6 x + 5 = ( x -1)( x - 5) = 0 kökleri x1 = 1 , x2 = 5 ve bu noktalar
için lim .. f ( x) = ¥ ve lim .. f ( x) = -¥ olduğundan I integralini parçalamak gerekir ,
x1+
x5-
..2
I = I1 + I 2 =
ò
1
1
.
.dx +
( x -1)( x - 5)
..5
1
ò . ( x -1)( x - 5).dx
.
( I1 , I 2 2.tür gen.integrallerdir)
2
Şimdi I1 in karakterini araştıralım. 1 < x < 2 aralığında f ( x) < 0 olduğundan
..2
ò .- f ( x).dx. = -ò .(- f )( x).dx
I1 = -
1
..2
g ( x) =
1
..2
1
ò .g ( x).dx = ò . x -1 .dx
1
şeklinde yazalım.
integralinin ıraksak olduğunu biliyoruz.
1
1
x -1
seçelim,
(- f )( x)
1
1

=
g ( x)
5- x
4
x  1+
..2
olduğundan Karşılaştırma Testinin Limit Şeklinden I1 ile
ò .g ( x).dx
1
S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
integrali aynı
Çalışma Soruları –2
..2
karakterdedir. Dolayısıyla I1 integrali Iraksaktır. I1 ıraksak olduğu için de I = I1 + I 2
5/10
integralinin ıraksak olduğu anlaşılır.
..1
I=ò
A3.
0
1
1
dx , f ( x) = 3
x + .x
x + .x
(2.tür gen.integral, fonksiyon x = 0 da sonsuz
.
3
süreksizliğe sahip ) "x Î (0,1] için
f ( x) ³ 0 ; g ( x ) =
1
.x.
alınırsa
aralıktaki her x için
f ( x ) £ g ( x ) olur. Karşılaştırma Testinden I nın de yakınsak olduğu anlaşılır.
..¥
x
A4. I = ò
.1 + 2 x5
1
g ( x) =
x
dx , f ( x) =
seçelim
3/2
; 1.tür gen.integral ( "x Î [1, ¥) için f ( x) ³ 0 )
.1 + 2 x 5
..¥
1
x
.
..¥
1
ò .g ( x).dx = ò . x3/2 .dx
1
f ( x)
x5/2
1
=

g ( x)
.1 + 2 x 5 . x  ¥ 2
integralinin yakınsak olduğunu biliyoruz.
1
olduğundan Karşılaştırma Testinin Limit Şeklinden I ile
..¥
ò .g ( x).dx integrali aynı karakterdedir. Dolayısıyla I
integrali Yakınsaktır.
1
x
.1 + x
1
..0
A6.
I=
ò.
-1
süreksizliğe
..0
3
.
dx , f ( x) =
x.
(x
2
sahip
..0
1/3
-1)
x
.1 + x
.dx , f ( x) =
(x
1
ò .g ( x).dx = ò . ( x +1)1/3 .dx
-1
; 1.tür gen.integral ( "x Î [1, ¥) için f ( x) ³ 0 )
x.
"x Î (-1, 0]
)
3
-1
S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
2
1/3
-1)
için
(2.tür gen.integral, fonksiyon x = -1 de sonsuz
f ( x) ³ 0 ;
integralinin
g ( x) =
yakınsak
1
1/3
( x +1)
olduğunu
seçelim,
biliyoruz.
Çalışma Soruları –2
..¥
A5. I = ò
1/3
1
f ( x) x ( x +1)
x

=
=
1/3
1/3
1/3
g ( x)
( x2 -1) ( x -1) .x  -1 + 2
olduğundan Karşılaştırma Testinin Limit
6/10
..0
ò .g ( x).dx integrali aynı karakterdedir. Dolayısıyla I
Şeklinden I ile
integrali yakınsaktır.
-1
..0
A7. I =
ò.
-1
x.
2
( x2 -1)
.dx , A6 ya benzer şekilde; g ( x) =
1
2
( x +1)
f ( x)
g ( x)
seçilirse

-
. x  -1 +
1
4
dolayısıyla I integralinin ıraksak olduğu gözlemlenebilir.
..0
A8. I = I1 + I 2 =
ò.
-1
..¥
x.
2
( x2 -1)
.dx +
ò.
0
x.
2
( x2 -1)
.dx şeklinde parçalayınız (1.tür+2.tür karma
gen.integral), I1 :A7 den ıraksak olduğu için dolayısıyla
..¥
1
B1. I = ò
.
.2.
3
0
x + x .3.
1
dx , f ( x) =
x
3
. 2.
+ x . 3.
I integrali ıraksak olur.
; fonksiyon x = 0 da sonsuz süreksizliğe sahip, 1.tür+2.tür
karma gen.integral. o halde I integralini parçalamak gerekir,
..1
I = I1 + I 2 = ò
..¥
1
.2.
0 3
x + x .3.
.
dx +
I1 in karakterini araştıralım:
ò.
1
1
x
3
.2.
+ x .3.
.dx , ( "x Î (0, ¥) için f ( x) ³ 0 )
“ "x Î (0,1] için f ( x ) £
1
.2 .
x .3 .
..1
“ ve
“ò
1
.2.
0
x .3.
.
dx yakınsak”
olduğundan Karşılaştırma Testinden I1 in yakınsak olduğu anlaşılır.
1
Şimdi I 2 in karakterini araştıralım: “ "x Î [1, ¥) için f ( x ) £ 3 “ ve “
x
..¥
1
ò . x3 .dx yakınsak”
1
 I = I1 + I 2 : yakınsak olur
..¥
B2. I = ò
0
1
1
dx , f ( x) = 3
; fonksiyon x = 0 da sonsuz süreksizliğe sahip, 1.tür+2.tür
2
x +x
x + x2
3
.
karma gen.integral. o halde I integralini parçalamak gerekir,
S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
Çalışma Soruları –2
olduğundan Karşılaştırma Testinden I 2 in yakınsak olduğu anlaşılır.
..1
1
dx +
3
x + x2
I = I1 + I 2 = ò
.
0
..¥
f ( x) ³ 0 )
7/10
1
1
g ( x) = 2
x
I1 in karakterini araştıralım:
ıraksak olduğunu biliyoruz.
1
ò . x3 + x2 .dx , ( "x Î (0, ¥) için
.1
seçelim
.1
1
ò .g ( x).dx = ò . x2 .dx
0
integralinin
0
f ( x)
x2
x2
1
= 3
=
=
 1
2
2
g ( x) x + x
x ( x +1) x +1
olduğundan
x  0+
.1
Karşılaştırma Testinin Limit Şeklinden I1 ile
ò .g ( x).dx
integrali aynı karakterdedir.
0
Dolayısıyla I1 integrali Iraksaktır. I1 ıraksak olduğu için de I = I1 + I 2 integralinin ıraksak
olduğu anlaşılır.
..¥
1
B3. I = ò
.1.
0
x .3.
.
dx , f ( x) =
+ .x
1
.1.
x .3.
; fonksiyon x = 0 da sonsuz süreksizliğe sahip,
+ .x
1.tür+2.tür karma gen.integral. o halde I integralini parçalamak gerekir,
..1
I = I1 + I 2 = ò
.1.
0
x .3.
..¥
1
.
+ .x
dx +
ò
.
1
1
.1.
x .3.
.dx , ( "x Î (0, ¥) için f ( x) ³ 0 )
+ .x
1
I 2 nin karakterini araştıralım: g ( x) =
.x
ıraksak
olduğunu
biliyoruz.
seçelim
f ( x)
=
g ( x)
.
.1.
x .3.
..¥
..¥
1
1
ò .g ( x).dx = ò .
x
+ .x
=
.
x
.1.
.6.
.x (x
1
.dx integralinin
.x
=
+ 1)
1
.1.
x .6.
 1
+1 .x  ¥
olduğundan Karşılaştırma Testinin Limit Şeklinden I 2 ile
ò .g ( x).dx
integrali aynı
1
karakterdedir. Dolayısıyla I 2 integrali Iraksaktır. I 2 ıraksak olduğu için de I = I1 + I 2
integralinin ıraksak olduğu anlaşılır.
S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
Çalışma Soruları –2
..¥
(Euler integralleri)
8/10
.¥
Önbilgi 2. (A) Gama fonksiyonu: G(a ) =
ò .t
a-1
e-t .dt
0
temel özellikleri:
i. G(a + 1) = aG(a )
iii. G(a ).G(1- a ) =
ii. G( n + 1) = n ! , n = 1, 2, 3,...
p
sin(ap )
( 0 < .a. < 1 )
ü
ï
ï
ï
...
.p 
1
3
1 1
ï
G( ) = .p , ..G( ) = G( ) =
ï
2 2
2
2
2 ï
ï

G(1) = G( 2) = 1...
iv. (Bazı özel değerleri)
.1
(B)
Beta fonksiyonu: B(a, b ) =
ò .t
a-1
(1- t )b-1.dt
( a>0, b >0 )
0
temel özellikleri:
.¥
i. B(a, b ) =
z a-1
ò . (1 + z )a+
b
.dz
ii. B(a, b ) =
0
iv. B(a,1- a ) =
.¥
C1. I =
G(a).G(b )
G(a + b )
iii. B(a, b ) = B(b , a )
p
( 0 < .a. < 1 )
sin(ap )
1
ò .1+ x
6
.dx integralini ; x6 = t dönüşümü yaparak önbilgi 2(B) (i) deki Beta
0
fonksiyonunun bir diğer haline getirerek çözebiliriz.
ì
ï
x6 = t  6 x5 dx = dt
ï
ï
ï
1
ï
ìï x = 0 için t = 0.
ï
x = t1/6
 dx = 5 dt
ï
ïí
ve
sınırlar
í
6x
ï
ïï x = ¥ için t = ¥
ï
î
ï
1
ï
= 5/6 dt
ï
ï
6t
ï
î
)
.¥
1
1
I = . .t -5/6
.dt ,
6
1+ t
ò
0
S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
Çalışma Soruları –2
(
.¥
önbilgi 2(B) (i) den B(a, b ) =
ò
.
0
.¥
x
ò.
.
0
(1 + z )a+b
.dz idi. 
ü
ï
1
5
1 1 5
1
ï
  a = , b =  I = .B( , ) =
ï
6
6
6 6 6
6
ï

a -1 = - 5 / 6
a + b =1
C2. I =
z a-1
1+ x
6
.dx
9/10
p
p
=
1
sin( p ) 3
6
integralini; C1 de yapılanlara benzer şekilde, x6 = t dönüşümü
yaparak önbilgi 2(B) (i) deki Beta fonksiyonunun bir diğer haline getirerek çözebiliriz.
.¥
.¥
1
t1/6
1
1
.dt = . .t -2/3
.dt ,
I = . .t -5/6
1/2
1/2
6
6
1
1
+
t
+
t
( )
( )
0
0
ò
ò
.¥
önbilgi 2(B) (i) den B(a, b ) =
ò
.
0
a -1 = -2 / 3
a + b = 1/ 2
z a-1
(1 + z )a+b
.dz idi. 
1
1
G( ).G( )
ü
ï
1
1
1
1
1
1
ï
3
6
  a = , b =  I = .B( , ) =
1
ï
3
6
6
3
6
6
ï

G( )
2
.1
C3. I =
ò .x
2
.1- x 2 .dx integralini hesaplamak için x 2 = t dönüşümü yapalım.
0
ì
ï x 2 = t  2 xdx = dt
ï
ï
ï
1
ï
ï
x = t1/ 2
 dx = - dt ve sınırlar ìïï x = 0 için t = 0.
ï
í
í
2x
ïï x = 1 için t = 1...
ï
ï
î
ï
1
ï
= 1/ 2 dt
ï
ï
2t
ï
î
)
.1
1
1
1
I = . .t. 1/ 2 .(1- t )1/ 2 .dt = .
2
2
.t .
ò
.1
ò .t
0
1/ 2
0
.1
B (a , b ) =
ò
.t a-1 (1- t )b -1.dt
.(1- t )1/ 2 .dt
idi. 
0
S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
a -1 = 1/ 2  a = 3 / 2
b -1 = 1/ 2  b = 3 / 2
ü
ï
ï

ï
ï

Çalışma Soruları –2
(
10/10
3
3
G( ).G( )
1 3 3
1 2
2
I = .B( , ) =
2 2 2
2 G(3)
( G(
1
3
1 1
.p
, G(3) = 2! = 2 olduğundan
) = .p , ..G( ) = G( ) =
2
2
2 2
2
I=
p
16
bulunur.)
D1. ile ilgili yol gösterme derste verildi. Bkz Ders notları
D2. Derste verilen f ( x) = e x in x = 0 daki Taylor serisine açılımını benzer şekilde
yapılacak.
Çalışma Soruları –2
E. Derste çözüldü. Bkz Ders notları
S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters