7. bölüm - akademi vizyon

AÇIORTAY-KENARORTAY
7.
www.akademivizyon.com.tr
Açıortay ve Kenarortay
BÖLÜM
1. AÇIORTAY
ÖRNEK
[OC ışını AOB açısının
açıortayıdır.
üzerinde alınan herhangi
E
çizilen
dik
F
O
E
4
AE = 3 br
uzunluklar
eşittir.
3
AB = 4 br
BC = 6 br
C
bir noktadan kenarlara
A
[BE açıortay
B
Açıortay
D
x
A
B
6
C
AC= BC ve AO = BO
Buna göre, EC = x kaç br dir?
FD = EF ve DO = EO
A)
ÖRNEK
A
[BC açıortay
7
2
B) 4
C)
9
2
D) 5
E)
11
2
x
C
[CE]  [BE]
ÇÖZÜM
AB = 7 br
7
BE = 3 br
İç açıortay teoremine göre,
4
4 3
9
 4x = 18  2x = 9  x =
br bulunur.

6 x
2
CE = 4 br
3
B
Cevap C’dir.
E
olduğuna göre, AC = x kaç birimdir?
ÖRNEK
A) 4
B) 4 2
C)
4 3
D) 5
E)
5 2
A
[AN açıortay
ÇÖZÜM
AB= 6 br
[CH] dikmesi çizildiğinde
CH= CE = 4 br ve
A
AC = 8 br
x
C
4
H
B
4
3
AH = 4 br olur.
8
4
BH = BE = 3 br dir.
AB = 7 br olduğundan
6
BC= 7 br
x
N
C
olduğuna göre, BN = x kaç birimdir?
3
B
E
A)
Buna göre, AHC ikizkenar dik üçgende AC=x= 4 2 br
9
2
B) 4
C)
7
2
D) 3
E)
5
2
bulunur.
ÇÖZÜM
Cevap B’dir.
2. İÇ AÇIORTAY TEORE Mİ
ait
olduğu
kenarı
NC = 7 – x br olur.
yan
İç açıortay teoremine göre;
kenarlar oranında böler.
[AN] iç açıortay 
A
BC = 7 br ise
A
Bir üçgende bir iç açıortay
c
c m

b n
B
m
N
n
6
8
6
x
 8x = 42 – 6x

8 7x
b
 14x = 42  x = 3 br
bulunur.
C
B
x
N
7–x
C
Cevap D’dir.
www.akademivizyon.com.tr
1
GE OM ETRİ K ONU ANL ATIM LI SOR U B AN KA SI
GEOMETRİ
www.akademivizyon.com.tr
3. ALAN BAĞINTISI
ÖRNEK
İç açıortayın ayırdığı üçgenlerin alanlarının oranı yan
A
[AN iç açıortay
kenarlar oranına eşittir.
AB= 6 br
A
AC = 9 br
6
9
x
BN = 2 br
c
b
olduğuna göre, AN= x
kaç birimdir?
B
N
C
A) 4
A( ABN ) c

olur.
A( ANC ) b
B) 5
B
2
N
C
D) 4 2 E)
C) 6
4 3
ÇÖZÜM
A
x  6 .9  2 .y
x  54  2y eşitliğinde
6
x i bulmak için önce y yi
ÖRNEK
iç açıortay teoreminden
A
[BN açıortay
buluruz.
B
AB = 4 br
BC = 5 br
N
4
A(ABC) = 36 br
9
x
N
y
Buna göre,
5
C
x  54  2.3  x  48
 x  4 3 br
bulunur.
2
Cevap E’dir.
olduğuna göre, ABN üçgeninin alanı kaç br dir?
A) 24
B) 20
C) 28
D) 16
E) 12
5. DIŞ AÇIORTAY TEOR EMİ
c ax

b
x
ÇÖZÜM
A(ABN) = 4a br2 ve
y
c
b
B
N
4a
4
A
y  x( x  a)  b.c
A
A( ABN) 4

ise
A(BNC ) 5
C
6 2

 6y = 18  y = 3 br
9 y
2
B
2
a
C
x
D
A(BNC) = 5a br2 olur.
5a
B
ÖRNEK
5
C
A
[AC dış açıortay
AB = 5 br
A(ABC) = A(ABN) + A(BNC)
36 = 4a + 5a  9a = 36  a = 4 br
2
5
AC = 4 br
2
4
BC = 3 br
Buna göre, A(ABN) = 4a = 16 br bulunur.
B
Cevap D’dir.
3
C
x
D
olduğuna göre, DC = x kaç birimdir?
4. AÇIORTAY UZUNLUĞU
A) 6
A
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
ÇÖZÜM
c
x  b.c  m.n dir.
b
Dış açıortay teoreminden;
x
B
m
N
5 3 x
 5x = 12 + 4x  x = 12 br olur.

4
x
n
GE OM ETRİ K ONU ANL ATIM LI SOR U B AN KA SI
C
Cevap E’dir.
2
www.akademivizyon.com.tr
AÇIORTAY-KENARORTAY
www.akademivizyon.com.tr
A
6. [BK ve [CK iç açıortay
ÖRNEK
[ED] // [BC] ise
A
[AE ve [BD açıortay
ED = BE+DC dir.
BC = 12 br
K
E
D
D
AB = 6 br
E
BE = 2.DE
B
C
olduğuna göre, AC
B
C
uzunluğu kaç birimdir?
ÖRNEK
A) 6
A
[ED] // [AC]
AE = 2 br
DC = 3 br
B) 7
D) 9
A
ABD üçgeninde
x
| AB | | BE |
6 2a



| AD | | ED |
x
a
K
B
D
kezi olduğuna göre, ED uzunluğu kaç birimdir?
| AB | | AD |

| BC | | DC |
A) 4

D) 7
6
E) 8
D
a
2a
 2x = 6  x = 3 br dir.
ABC üçgeninde,
C
Yukarıdaki şekilde K noktası iç teğet çemberin mer-
C) 6
E) 10
ÇÖZÜM
E
B) 5
C) 8
y
E
B
C
12
6
x
1 3
  
 y = 6 br dir.
12 y
2 y
O halde AC = x + y = 3 + 6 = 9 br olur.
Cevap D’dir.
ÇÖZÜM
A
K noktası iç teğet çemberin merkezi ise [AK ve [CK
iç
açıortaylardır.
göre,
ED = AE+DC
ED= 2+3  ED=5 br
bulunur.
ÖRNEK
E
Buna
A
ABC bir dik üçgen
K
[AN iç açıortay
CN = 3 br
B
D
C
x
BN = 1 br
Cevap B’dir.
C
3
N
B
1
Yukarıdaki verilere göre, AN = x kaç birimdir?
ÖRNEK
2
A)
A
[AD dış açıortay
B)
3
C)
2 2
D) 2 3
E) 2
AC = 6 br
x
BC = 5 br
ÇÖZÜM
6
CD = 15 br
B
5
C
15
Açıortay
D
A
teoremine
göre,
olduğuna göre, AB = x kaç birimdir?
A) 12
B) 11
C) 10
D) 9
3n  3 2
| AC | 3
 AC= 3n
| AB | 1
E) 8
ve AB = n olur.
n 2
x
C
3
N
1
B
ABC dik üçgeninde Pisagor bağıntısından
ÇÖZÜM
(3n)2 = n2 + 42  8n2 = 16  n =
Dış açıortay teoreminden;
Açıortay uzunluk bağıntısından;
x2 = AC . AB – CN . NB
x 5  15
x 20
 3x = 24  x = 8 br bulunur.



6
15
6 15
Cevap E’dir.
www.akademivizyon.com.tr
x2 = 3 2  2  3  x2 = 3  x =
2 br dir.
3 br bulunur.
Cevap B’dir.
3
GE OM ETRİ K ONU ANL ATIM LI SOR U B AN KA SI
GEOMETRİ
www.akademivizyon.com.tr
KENARORTAY
A
(v) ABC üçgeninde
1. AĞIRLIK MERKE Zİ
[AD] kenarortay
Üçgende kenarortaylar bir noktada kesişirler. Kenaror-
| GE | 1

ise
| GB | 2
tayların kesiştikleri noktaya üçgenin ağırlık merkezi
x
E
G
2x
denir.
G noktası ağırlık mer-
A
ABC üçgeninde
B
D
C
kezidir.
[AD], [BE] ve [CF] sırasıyla
[BC], [AC] ve [AB] kenarları-
E
F
na ait kenarortay ve G nokG
tası da ABC üçgeninin ağırlık
B
merkezidir.
C
D
(vi)
AD = Va BE = Vb ve
| GD | | GE | 1


| GA | | GB | 2
CF = Vc dir.
kenara
2x
y
ise
A
(i) Ağırlık merkezi kenarortayı,
A
ABC üçgeninde
G
2y
x
G noktası ağırlık mer-
olan
2x
uzaklığı 1 birim, köşe-
F
z
y
ye olan uzaklığı 2 bi2y
rim olacak şekilde böler.
D
x
C
D
ÖRNEK
ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ise,
| GD | | GE | | GF | 1



dir.
| GA | | GB | | GC | 2
A
ABC bir üçgen
KL = 4 birim
A
(ii) D, E ve F noktalarını
birleştirdiğimizde oluşan
DEF
ağırlık
merkezi
F
K
x
ile
merkezi aynıdır.
B
K L
x
AE= EB
E
B
D
D
C
Yukarıdaki verilere göre, CL = x kaç birimdir?
G 2x
ABC üçgeninin ağırlık
F
E
AF = FL = LD
3x
üçgeninin
C
2z
G
B
B
kezidir.
E
E
C
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
GK = x, GD = 2x, AK = 3x eşitlikleri bulunur.
K noktası [AD] kenarortayın orta noktasıdır. Aynı bağıntılar [BE] ve [CF] kenarortayları için de geçerlidir.
A
(iii) Bir üçgende iki kena-
ÇÖZÜM
rortayın kesim noktası
G;
üçgenin
A
ABC
ağırlık
üçgeninde
[CE]
| LD | 1
kenarortay ve

| LA | 2
E
merkezidir.
G
olduğundan
B
D
L
F
E 2
4
L
K
noktası
ağırlık merkezidir.
C
B
kezi olur.
[AD] kenarortay
2x
| GD | 1
ve

ise
| GA | 2
O halde,
G
B
| KE | 1

 KE = 2 br dir.
| KL | 2
| LE | 1
  CL = 2.(2 + 4)CL= 12 birim bulunur.
| CL | 2
x
G noktası ağırlık merkezidir.
C
[BL] yi çizersek, K noktası ABL üçgeninde ağırlık mer-
A
(iv) ABC üçgeninde
D
x
D
GE OM ETRİ K ONU ANL ATIM LI SOR U B AN KA SI
C
Cevap D’dir.
4
www.akademivizyon.com.tr
AÇIORTAY-KENARORTAY
www.akademivizyon.com.tr
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
E) 9
ÇÖZÜM
ÖRNEK
ğinde [AD] doğru parçası
AF= FC
BD = DC
AB= 12 birim
E
K
x
D
B
C) 3
G
x
 AD = 9 birim olur.
C
B
9
D
9
C
G ağırlık merkezi olduğundan AG = 2x dersek
olduğuna göre, KD = x kaç birimdir?
B) 2
2x
[BC] yi iki eş parçaya
| BC |
böler ve | AD |
dir.
2
F
12
FE= EC
A) 1
A
[AG] nin uzantısı çizildi-
A
ABC bir üçgen
D) 4
GD = x olur.
E) 5
Buna göre AD = 9 = 3x  x = 3 br dir.
ÇÖZÜM
O halde, AG = 6 br olarak bulunur.
A
ABC üçgeninde F ve D
Cevap C’dir.
2b
noktaları [AC] ve [BC] nin
orta noktaları olduğundan,
| AB |
FD =
dir.
2
ÖRNEK
F
12
b
2x
K
b
x
 FD= 6 birim olur.
a
B
a
D
A
AB  BC ve
E
G ağırlık merkezidir.
8
GD=
br
3
C
[BF] çizildiğinde K noktasının, BCF üçgeninin ağırlık
merkezi olduğu açıktır.
EG = 2 br
| KD | 1

olduğundan KF = 2x ve FD = 3x dir. O
| KF | 2
AC = x br
E
G
B
D
C
Buna göre, x kaç birimdir?
hâlde 6 = 3x ise KD = 2 birim bulunur.
Cevap B’dir.
A) 4 5
2. DİK ÜÇGENDE K ENARORTAYLAR
B) 3 5
2 5
C)
D) 8
E) 4
ÇÖZÜM
A
G ağırlık merkezi olduğun-
(1) AB  BC
AD=DC
 | BD | 
A
dan
| AC |
2
D
CE = 6 br ve
16
3
E
AD = 8 br bulunur.
2

8
3
m( ABC ) = 90 ise,
C
B
B
A

(2) m( ABC ) = 90 ve
CE2 + AD2 = 5.BF2 ve BF =
G ağırlık merkezi ise;
AE = Va, BD = Vb ve
F
G
D
F
4
D
C
| AC |
dir.
2
 36 + 64 = 5.BF2  BF2 = 20
G
 BF = 2 5 br ise AC= 4 5 br bulunur.
CF = VC olmak üzere;
Va 2  Vc 2  5.Vb 2
B
E
Cevap A’dir.
C
ÖRNEK
3. DİK KESİŞEN KENARORTAYLAR
A
ABC üçgeninde
sırasıyla a ve b kenarla-
G ağırlık merkezidir.
E
rına ait kenarortay olmak
G
BC= 18 birim
üzere,
B
18
Va  Vb ise,
C
(1)
olduğuna göre, AG uzunluğu kaç birimdir?
www.akademivizyon.com.tr
A
AD = Va ve BE = Vb
AB  AC
5
Va2

Vb2
B

D
Vc2
GE OM ETRİ K ONU ANL ATIM LI SOR U B AN KA SI
C
GEOMETRİ
www.akademivizyon.com.tr
(2) a 2  b 2  5c 2
Cevap E’dir.
4.KENARORTAYLARIN BÖLDÜĞÜ ALANLAR
ÖRNEK
(1) Kenarortaylar
A
AD  BE
üçgenin
3
AE = EC = 3 br
BD = DC = 4 br
A
bir
alanını
altı
eşit parçaya böler.
a
F
E
x
a
a
3
AB= x br
G
a
B
B
4
D
4
(2) G
ağırlık
köşelere
C) 4 5
B) 3
D) 3 5
a
C
D
C
Buna göre, x kaç birimdir?
A) 4
E
a
A
merkezi
birleştirildi-
ğinde üçgenin alanı üç
E) 2 5
a
eşit parçaya bölünür.
a
G
a
ÇÖZÜM
B
C
[AD] ve [BE] kenarortay ve AD  BE ise,
A
(3) G
5.AB2 = AC2 + BC2  5x2 = 62 + 82
ağırlık
merkezi
kenarların orta nokta-
 5x2 = 100  x = 2 5 br bulunur.
Cevap E’dir.
a
F
larıyla birleştirildiğinde
üçgenin alanı üç eşit
G
a
parçaya bölünür.
E
B
a
C
D
ÖRNEK
A
A
ABC üçgeninde
(4) ABC ve DEF üçgenlerinde kenarortaylar çi-
G ağırlık merkezi ve
AD  BE dir.
4
bi bir alan bölünmesi
AB= 4 br
G
B
3a
a
a
3a
a a
3a
3a
B
C
E
a a
oluşur.
D
3a
3a
F
zildiğinde şekildeki gi-
E
C
D
Yukarıdaki verilere göre, AD2 + BE2 toplamının
A
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
(5) Kenarların orta noktaA) 4
B) 9
C) 16
D) 25
E) 36
a
ları birbirine birleştirildiğinde üçgenin alanı
a
dört eşit parçaya bö-
a
B
ÖRNEK
ABG dik üçgen olur.
ağırlık
2
merkezi
olduğundan,
F
[GF]
2
B
GF= 2 br olur.
AE = EC
4
G
AF= FB
D
C
2
B

Vb2

Vc2
bağıntısından
D
C
dir?
AD + BE = FC dir.
2
E
olduğuna göre, ABC üçgeninin alanı kaç birim kare-
2
2
K
G
A(KGCE) = 15 br2
GC = 4 br dir.
2
F
BD= DC
GF = 2 br ise
Va  Vb 
A
ABC bir üçgen
E
2
kenarortay ve
Va2
C
D
A
AD  BE olduğundan
G
a
lünür.
ÇÖZÜM
E
F
2
Buna göre, AD + BE = 6 = 36 br bulunur.
GE OM ETRİ K ONU ANL ATIM LI SOR U B AN KA SI
6
www.akademivizyon.com.tr
AÇIORTAY-KENARORTAY
A) 48
B) 63
www.akademivizyon.com.tr
C) 72
D) 78
E) 81
Cevap C’dir.
ÇÖZÜM
ÖRNEK
A
A
ABC bir üçgen
E
AB= 7 br
a
a
a
a
3a
G ağırlık merkezi
3a
3a
F
3a
a a
3a
3a
B
DC =
C
D
10
G
10 br
B
5
2
5a=15 br  a=3 br olur.
A(ABC) = 24a
2
A)
C) 2 2
3
B)
D) 2 3
A
G ağırlık merkezi olduğun-
Cevap C’dir.
dan,
5. KENARORTAY TEOR EMİ
b
Kenarortay teoremine göre,
7 2  5 2  2.(3 x ) 2 
dir.
B
D
C
D
x
2x
olur.
c
G
B
10
5
C
( 2 10 ) 2
2
 49 + 25 = 18x2 + 20  18x2 = 54
a
 x2 = 3  x =
Bu bağıntı diğer kenarortaylar içinde geçerlidir.
b2
2
7
10 br
ve DC = DA=
AD = Va olmak üzere
a 2  c 2  2.Vb2 
10
GD = x ise BG = 2x
A
a2
2
E) 3 3
ÇÖZÜM
 A(ABC) = 24.3  A(ABC) = 72 br2 bulunur.
b 2  c 2  2.Va2 
C
Yukarıdaki verilere göre, x kaç birimdir?
A(KGCE) = 5a ve A(ABC) = 24a olduğu açıktır.
ABC üçgeninde,
D
x
GD = x br
ABC ve DEF üçgenlerinde kenarortaylar çizildiğinde
2
7
BC = 5 br
ve a 2  b 2  2.Vc2 
c2
2
3 br bulunur.
Cevap B’dir.
olur.
ÖRNEK
A

ÖRNEK
m(BCA ) = 90
A
ABC üçgeninde
BD= DA
G ağırlık merkezi
DC=
E
AE = EB
A(ABC) = 36 br
2
D
a3
birim
2
a+3
2
AC= 4 3 birim
G
D
C
a–1
B
BC= (a – 1) birim
B
4 3
C
Yukarıdaki verilere göre, a kaçtır?
Yukarıdaki verilere göre, taralı alanlar toplamı kaç
A) 2
br2 dir?
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
ÇÖZÜM
A) 15
B) 13
C) 12
D) 9
E) 8
ait kenarortay uzunluğu
A
G ağırlık merkezi oldu-
eşit
a
E
parçaya
B
ABC
a
a
a
a+3
2
C
D
dik
üçgeninde
B
a–1
C
pisagor teoreminden;
(a + 3)2 = (a – 1)2 + ( 4 3 )2
2
 a2 + 6a + 9 = a2 – 2a + 1 + 48  8a = 40
 a = 5 birim bulunur.
A(ABC) = 6a = 36 br  a = 6 br dir.
2
Buna göre, Taralı alanlar toplamı 2a = 12 br bulunur.
www.akademivizyon.com.tr
4 3
AB= (a + 3) birim olur.
a
a
bölünür.
2
D
olduğundan
uzatırsak ABC üçgeninin
altı
a+3
hipotenüsün yarısına eşit
ğundan [BG] ve [EG] yi
alanı
A
Dik üçgende hipotenüse
ÇÖZÜM
7
GE OM ETRİ K ONU ANL ATIM LI SOR U B AN KA SI
GEOMETRİ
www.akademivizyon.com.tr
Cevap D’dir.
A) 146
5.
ÇÖZÜMLÜ TEST
1.
ABC bir üçgen
E iç teğet çemberin
merkezidir.
AB = 6 br
AC = 8 br
A
B) 144
C) 142
ABC dik üçgen
[AD] ve [CE]
kenarortay
AD = 12 br
EC = 16 br
B
C
Yukarıdaki verilere göre, BE uzunluğu kaç
birimdir?
B) 2 5
D) 2 3
E)
D
A) 4 5
B) 8 5
D) 24
E) 28
A
6.
10
A
3.
5
2
D
4
B
F
B
6
K
9
5
C
C
E x

10
C) 2
3
2
D)
AE = EB = 4 br, AD=DC= 6 br
Yukarıdaki verilere göre, AEKD dörtgeninin
alanı kaç br2 dir?
A) 24
E) 1
A

7.
m(BAC) = 90
G, ABC üçgeninin
ağırlık merkezi
F
E
m(BAC) = 90,
Şekilde [BD]  [CE] = {K},
4
Yukarıdaki verilere göre, EF = x kaç birimdir?
B)
6
E
D
A) 3
C) 20
C) 3 2
4
Şekilde
[AE ve [DF açıortay
AB =5 br
AC = 9 br
BD = 10 br
DC = 4 br
BC = 7 br
C
Buna göre, AC uzunluğu kaç birimdir?
D
A) 2 6
E) 134
E
B
E
BD = 3 br
2.
D) 136
A
B) 18
C) 16
D) 14
E) 12
A
[AD iç açıortay
AB = 6 birim
AC = 10 birim
BC = 12 birim
G
B
D
B
C
A) 5
kaçtır?
A)
4
3
B)
5
6
C)
3
4
6
5
D)
E)
Şekilde [AC] açıortay
BC = CD
C) 4
D)
7
2
E) 3
Şekilde
A
D
m( CBD) = 90
x

m( ABE ) = 45

m(EBC) = 34

9
2

F
D
B)
3
2
8.
4.
C
Buna göre, BD uzunluğu kaç birimdir?
| GD | | EF |
toplamı

| EF | | AD |
Yukarıdaki verilere göre,
D
BC = 12 br
BD = 5 br
C
A
m(FDC) = x
B
E
B
C
Buna göre, ADuzunluğu kaç birimdir?
Buna göre, x kaç derecedir?
GE OM ETRİ K ONU ANL ATIM LI SOR U B AN KA SI
45
E
8
www.akademivizyon.com.tr
AÇIORTAY-KENARORTAY
A)
9.
65
5
B)
65
6
www.akademivizyon.com.tr
65
7
C)
65
8
D)
A) 10
65
9
E)
C) 15
E
x
4
E) 20
A
B
m( ADC ) = 90
[CA açıortay
BC = 7 br
AD = CD = 4 br
4
D) 18
x

A
ABC bir üçgen
[AD]  [BE]
BD=DC = 3 br
AE=EC= 4 br
B) 12
13. Şekilde
4
D
7
4
C
B
D
3
C
3
Buna göre, AB = x kaç birimdir?
Buna göre, AB= x kaç birimdir?
A) 2 2
B) 4
C)
2 5
D) 5
A) 5
B) 2 6
D) 4
E) 2 3
E) 6
14. ABC dik üç10. ABC bir üçgen
D
B) 10
10
C
C
C) 9
D) 8
E) 7
F iç teğet çemberin
merkezidir.
EB = 2 br
DC= 3 br
F
E
D
C
D) 3 5
E) 4 5
3
D)
2
A
N
6
x
B
A) 7
B) 8
D) 3 6
E) 3 5
E
A
BC = 14 br
BE = 2.ED
D
D
E
G
B
B
C
Yukarıdaki şekilde [AE ve [BD iç açıortaylar
olduğuna göre, ABC üçgeninin çevre uzunluğu
kaç birimdir?
C
Buna göre, [BC] kenarına ait kenarortay uzunluğu kaç birimdir?
A) 28
www.akademivizyon.com.tr
C) 3 7
2
E)
3
A
[BD]  [CE]
G, ağırlık merkezi
EG = 3 br
GD = 4 br
C
10
16. AD = 3 br
12. ABC bir üçgen
C) 6
Yukarıdaki verilere göre, x kaç birimdir?
| AE |
oranı kaçtır?
| AD |
3
C)
4
B) 4 2
üçgen
[BN iç açıortay
AB = 6 br
BC = 10 br
BN = x br
B
4
3
A) 2 7
15. ABC bir dik
A
B)
3
Buna göre, BC uzunluğu kaç birimdir?
11. [ED] // [BC]
3
A)
5
D
B
E
olduğuna göre, AC uzunluğu kaç birimdir?
Buna göre,
2
6
B
A) 11
A
gen
[BD iç açıortay
AD = 2 br
DC = 3 br
A
[AE ve [BD
iç açıortay
AB = 6 br
BC = 10 br
BE= 2.ED
C) 3 2
9
B) 30
C) 32
D) 34
E) 36
GE OM ETRİ K ONU ANL ATIM LI SOR U B AN KA SI
GEOMETRİ
www.akademivizyon.com.tr
3.
ÇÖZÜMLER
| AD |
1.
A
İç teğet çemberin
merkezi iç açıortayların
kesim
noktasıdır.
Açıortay bağıntısına göre,
| BC |
2
ve EF=
2n
6
B
3
F
E
G
| BC |
2
B
8
D
C
 AD = EF olur.
E
n
x
A
ABC dik üçgende G
ağırlık merkezi olduğundan,
D
| GD | 1
| GD | 1



dür.
| GA | 2
| AD | 3
C
4
6
8  DC = 4 br dir.

3 | DC |
AD = EF olduğundan
ABD üçgeninde aynı bağıntıdan
O halde
6 | AE |

dir.
3 | ED |
| GD | 1

olur.
| EF | 3
| GD | | EF | 1
4

  1
bulunur.
| EF | | AD | 3
3
Cevap A’dır.
AE = 2n, ED = n olur.
Açıortay uzunluğundan;
x2 = 18 – 2n2 dir.
O halde önce n2 yi sonrada x i bulalım.
(3n)2 = 48 – 12  9n2 = 36
 n2 = 4 olur.
Buna göre x2 = 18 – 8  x =
4.
10 bulunur.
Cevap E’dir.
Şekildeki
[AC
F
ışını açıortay olD
x
duğundan CH
K 34
= CK olur.
KCD ve HCB
C
üçgenlerinde iki
34
kenar uzunluğu A
B
H
E
ile birer açıları
eşit olduğundan
üçgenlere
eş
üçgen denir.
Üçüncü kenarları ve bütün açıları eşittir. Buna

göre [CH] yi gören m(CBH ) = 34 ise [KC] yi gö-
2.
A
ABC üçgeninde
[AE] iç açıortay
olduğundan
5 | BE | dir.

9 | EC |

ren m(KDC ) = 34 olur.
9
5

O halde x + m(KDC ) = 180
9n
E
5n
B
F
 x+34 = 180  x=146 bulunur.
C
4k
Cevap A’dır.
10k
Buna göre,
BE = 5n ve
EC = 9n olur.
10
4
D
5.
BC = 5n + 9n
 7 = 14n  n =
1
2
dir.
EC = 9n  | EC |  9 br olur.
[AD]
ve
[CE]
kenarortay olduğundan [BF] de
kenarortaydır.
A
E
F
2
BDC üçgeninde [DF] iç açıortay olduğundan
10 | BF |  BF = 10k ve FC = 4k dir.

4 | FC |
B
D
C
FC = 4k  | FC |  2 br olur.
| AC |
ABC dik üçgen olduğundan, | BF |
dir.
2
Kenarortay bağıntılarından
AD2 + CE2 = 5.BF2
 144 + 256 = 5.BF2 BF2 = 80
O halde EF + FC = EC
 BF = 4 5 olur.
5 bulunur.
 x + 2= 9  x =
O halde AC= 2.4 5  8 5 br bulunur.
BC = 10k + 4k  7 = 14k  k =
2
1
dir.
2
2
Cevap B’dir
GE OM ETRİ K ONU ANL ATIM LI SOR U B AN KA SI
Cevap B’dir.
10
www.akademivizyon.com.tr
AÇIORTAY-KENARORTAY
www.akademivizyon.com.tr
A
6.
9.
4
6
E
A
[AD], [BE] kenarortay ve [AD]  [BE]
olduğundan
4
E
x
D
4
4
6
B
B
F
Şekilde [BC] ve [AF] yi çizdiğimizde ABC dik üçgeninde kenarortayların ayırdığı 6 eş üçgen oluA( ABC )
şur. Buna göre Taralı bölgenin alanı =
3
8.12
olduğu açıktır. O halde A ( ABC ) 
= 48 br2
2
olduğuna göre, taralı alan = 16 br2 bulunur.
Cevap C’dir.
5x2 =
B
D
12
10n
D
n
6
2n
E
B
C
10
C
[AD] iç açıortay olduğundan
| AB | 2n
6


 2  AD = 3 br olur.
| AD | n
| AD |
| AB | | BD | | AB | | BD | 6




dur.
| AC | | DC | | AC | | DC | 10
BCD üçgeninde de aynı teoremden
| BC | 2n
10


 2  DC = 5 br dir.
| DC | n
| DC |
BD = 6n ve DC = 10n dir.
BC = 12 = 16n  n 
3
olur.
4
Buna göre, BD= 6n  BD= 6 
8.
br bulunur.
A
E noktası iç
açıortayların
kesim noktasıdır.
ABD üçgeninde
açıortay teoreminden,
10
6n
2 5
Cevap C’dir
10. ABC üçgeninde
6
C
3
62  82
5x2 = 36+ 64  5x2 = 100  x =
A
7.
D
3
C
Buna göre, AC = AD + DC
 AC= 3 + 5 = 8 br bulunur.
3 9
bulunur.

4 2
Cevap B’dir.
Cevap D’dir.
A

m(EBA ) = 45
x
D

tayların kesiştikleri
noktadır.
[ED] // [BC] olduğundan
13
45 5

dan m( ABD ) =
A
11. F noktası iç açıor-
m(DBC ) = 90
ve E, B, C doğrusal olduğun-
45
E
B
12
C

45 dir.
B

3
F
D
3
C

m(DFC )  m(FCB ) (İç ters açılar)
Buna göre, EF= BE = 2 br ve
FD = DC= 3 br olur.
AED üçgeninde [AF] iç açıortay olduğundan
| AE | 2

bulunur.
| AD | 3
12 13  x
 12x = 65 + 5x  7x = 65

5
x
x=
2
2
m(EFB )  m(FBC )
(İç ters açılar)
(5-12-13) üçgeninden
DC= 13 br dir.
BCD üçgeninde [BA] dış açıortay olur.
Dış açıortay bağıntısından,
www.akademivizyon.com.tr
E

65
bulunur.
7
Cevap C’dir.
Cevap E’dir.
11
GE OM ETRİ K ONU ANL ATIM LI SOR U B AN KA SI
GEOMETRİ
www.akademivizyon.com.tr
12. ABC üçgeninde G
A
15.
A
ağırlık merkezi olduğundan,
y=3
N
D
E
G
3
x
8–y
4
8
B
6
8
B
6
F
C
C
10
ABC dik üçgeninde pisagor teoreminden;
AC = 8 br olarak bulunur.
Açıortay teoreminden;
DG = 4  GB = 8 br
EG = 3  GC= 6 br olur.
[BC] kenarına ait kenarortay [AF] olsun
[BD]  [CE] olduğundan
BD2 + CE2 = AF2  122 + 92 = AF2
 AF = 15 br bulunur.
Cevap C’dir.
| AB | | AN |

orantısından
| BC | | NC |
6
y

 y = 3 br bulunur.
10 8  y
ABN üçgeninde, pisagor teoreminden
x2 = 62 + 32
 x2 = 36 + 9
 x2 = 45
 x = 3 5 br olarak bulunur.
Cevap E’dir.
13. [CA] açıortay, A
noktasından [BC]
ye dik olan [AH]
yi çizdiğimizde,
A
5
B
4
4
3
4 2
D
H
4
4
C
A
16.
3
AH = AD = 4 br ve HC = CD = 4 br ve
BH= 3 br olur.
Buna göre, ABH dik üçgeninde
AB= 5 br bulunur. (3-4-5 üçgeni)
Cevap A’dır.
n
6
2n
B
E
14
D
7
C
BE = 2.ED olarak verildiğinden,
ED = n dersek BE = 2n olur.
ABD üçgeninde [AE] açıortay olduğundan,
| AB | | BE |

| AD | | ED |
| AB | 2n


3
n
 AB = 6 birim olur.
ABC üçgeninde de [BD açıortay olduğundan,
A
14. ABC dik üçgeninde [BD] iç
açıortay olduğundan
| AB | 2

dir.
| BC | 3
2
D
2a
| AB | | AD |

| BC | | DC |
6
3


14 | DC |
3
B
3a
C
 DC = 7 birim olur.
Buna göre, çevre(ABC) = 30 br olarak bulunur.
Cevap B’dir
AB = 2a, BC= 3a ve AC= 5 br olmak üzere
Pisagor bağıntısından
(2a)2 + 52 = (3a)2  4a2 + 25 = 9a2
 25 = 5a2  a =
5 olur.
Buna göre, BC= 3 5 br dir.
Cevap D’dir.
GE OM ETRİ K ONU ANL ATIM LI SOR U B AN KA SI
12
www.akademivizyon.com.tr
AÇIORTAY-KENARORTAY
www.akademivizyon.com.tr
5.
KONU TEKRAR TESTİ
1.
A
ABC bir dik üçgen
G: ağırlık merkezi
AB = 7 br
AC = 24 br
G
2.
25
3
B)
25
4
C)
25
5
D)
E)
D) 2 15
25
6
6.
D
C
D
B)
15
E)
26
C) 2 5
A

m(BAC ) = 90
B) 8
C) 9
D) 10
2
3
D
E
3
C
2
F
C
B


A( BEF )  A(DFC) toplamı kaç br2 dir?
E) 12
A) 3
B) 4
C) 6
D) 8
E) 9
A

ABC üçgeninde
[KF] // [ED] // [AC]
dir.
G ve G1 sırasıyla


E
7.
K
G
G1
B
A B C ve B D E
üçgenlerinin ağırlık
merkezleridir.
F
D
C
A(B F K)

oranı kaçtır?
A)
A(A B C)
2
3
B)
4
9
ABC dik üçgen
G: ağırlık merkezi
AB = 12 br
AC = 16 br
AG = x br
A
G
B
C)
16
64
D)
16
81
E)
22
3
B)
20
3
C)
BE = 2ED
AB = 8 br
BC = 10 br
17
3
E)
14
3
A
ABC dik üçgen
D
D
D) 28
C
E
K noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezi olduKL DE
ğuna göre,

toplamı kaçtır?
ED BF
Yukarıdaki verilere göre, ABC üçgeninin çevresi kaç birimdir?
C) 27
F
L
C
B
K
B
E
E) 29
A)
www.akademivizyon.com.tr
D)
A
[AE ve [BD açıortay
B) 26
19
3
25
49
8.
A) 25
C
olduğuna göre, AG = x kaç birimdir?

Buna göre,
4.
B
AE = EB
AD=DC = 2 br
olduğuna göre, AD = x uzunluğunun alabileceği en büyük tamsayı kaçtır?
A)
15
A)
x
B
3.
F
A
ABC üçgeninde
[BD] açıortaydır.
BC = 12 br
AB = 9 br
A) 6
E
C
olduğuna göre, AG uzunluğu kaç br dir?
25
2
A
olduğuna göre, [EF] uzunluğu kaç br dir?
B
A)
ABC üçgeninde,
[BE] açıortay
[AD] kenarortay
[AD]  [BE]
BC = 26 br
EC = 14 br
13
7
6
B)
8
7
C)
9
7
D)
11
9
E)
11
8
GE OM ETRİ K ONU ANL ATIM LI SOR U B AN KA SI
GEOMETRİ
9.
www.akademivizyon.com.tr
A
ABC bir üçgen
[AD açıortay
AB = 6 br
AC = 10 br
AF = 3 br
FD = 2 br
G: Ağırlık merkezi
AC=AB = 10 br
GH = 2 br
10
6
E
3
2
B
A
13. [GH]  [BC]
F
G
C
D
B
Buna göre, DC = x kaç birimdir?
A) 5
B)
16
3
C) 7
20
3
D)
Yukarıdaki verilere göre, ABC üçgeninin alanı
kaç br2 dir?
E) 8
A) 32
A
10. ABC üçgeninde G
G
B
BF = 2 5 br
C
E
olduğuna göre, A(ABGC) kaç br2 dir?
A) 120
B) 100
C) 90
D) 80
E
F
B
C
D
Yukarıdaki verilere göre, AC = x kaç br dir?
E) 60
A) 2 35
B) 3 35
D) 3 34
E) 2 33
C) 2 34
A
[AE açıortay
BE = 3 br
EC = 5 br
E
F
B
olduğuna göre,
B)
E) 54
A
15. [AB]  [BC]
[AD] kenarortay
AB = 9 br
BC = 6 br
1
3
D) 48
A
11. [BE] açıortay
A)
C) 40
AE = EB
BD = DC
EF = 4 br
FD = 2 br
D
39
2
B) 36
14. ABC bir üçgen
ağırlık merkezidir.
BC = 24 br
BD =
C
H
C
D
| AF |
oranı kaçtır?
| AD |
1
2
2
3
C)
3
4
D)
B
E)
4
5
A) 18
B) 20
C) 22
5
C
D) 24
E) 26
A
16. [ED] // [AC]
F: İçteğet çembe-
2BE = 3ED
DC = 4 br
AB = 12 br
E
olduğuna göre, ABC üçgeninin çevresi kaç
birimdir?
A
12. [BD ve [AE açıortay
3
E
rin merkezidir.
D
F
E
B
B
C
C
Yukarıdaki ABC üçgeninde AB + BC = 16
br olduğuna göre, BED üçgeninin çevresi kaç
birimdir?
Yukarıdaki verilere göre, ABC üçgeninin çevre
uzunluğu kaç br dir?
A) 32
B) 30
C) 28
D) 26
E) 24
GE OM ETRİ K ONU ANL ATIM LI SOR U B AN KA SI
D
A) 8
14
B) 12
C) 16
D) 18
E) 24
www.akademivizyon.com.tr