No: Ad-Soyad: mza: 1104024182006.1 GEOMETR K TOPOLOJ F
advertisement
16.06.2015 No: Ad-Soyad: Soru Puanlama mza: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Toplam 25 25 25 25 25 25 100 Alnan Puan 1104024182006.1 GEOMETRK TOPOLOJ FNAL SINAVI CEVAP ANAHTARI (.Ö.) Not: Süre 1. a) Kb Klein ³i³esi ile b) RP 2 c) T 90 RP 2 2RP 2 4 soruyu cevaplaynz. projektif düzlemin, projektif düzlem ile Torr ile Dakika. stedi§iniz S2 kürenin, nin neden homeomorf olamayaca§n açklaynz. Cevap : ki yüzeyin birbirine homeomorf olmas için Euler karakteristiklerinin e³it ve her ikisinin de yönlü/yönsüz olmas gerekir. Buna göre a) Kb Klein ³i³esinin Euler karakteristi§i 0 ancak RP 2 projektif düzlemin Euler karakteristi§i 1 oldu§undan bu iki yüzey homeomorf olamaz. b) RP 2 projektif düzlemin Euler karakteristi§i 1 iken S2 nin Euler karakteristi§i 2 oldu§undan bu iki yüzey homeomorf olamaz. c) T ile 2RP 2 nin Euler karakteristikleri ayn ancak biri yönlü iken di§eri yönsüz oldu§undan bu iki yüzey homeomorf olamaz. 2. ∀a ∈ R göre a için t 7→ fa (t) = (t2 , t(t2 − a)) nn hangi de§erleri için Cevap : fa fa ile tanml fa : R → R2 immersiyondur? dönü³ümünün Jacobien matrisi J(fa ) = 2t 3t2 − a fonksiyonlar verilsin. Buna t=0 ³eklindedir. Buna göre ve 3t2 = a iken matrisin rank 0 olacaktr. Yani a=0 iken t=0 ise (fa )∗ Tp (R) → Tfa (p) (R2 ) a 6= 0 ise (fa )∗ injektif olamaz. Ancak 3. R4 de her zaman injektiftir. O halde x21 + x22 − x23 − x24 =0 x + 2x + 3x + 4x 1 2 3 4 =4 a 6= 0 iken fa denklemlerinin çözüm kümesi X olsun. Bu durumda X kümesinin 1 immersiondur. 0 p= 1 0 noktasnn kom- ³ulu§unda manifold oldu§unu gösteriniz. Cevap : X kümesinin 2x1 2x2 −2x3 −2x4 Jacobien matrisinde p 1 2 3 4 noktasn koyarsak 2 0 −2 0 1 2 3 4 elde edilir. Bu matriste ilk iki sütun lineer ba§msz oldu§undan rank kom³ulu§unda 4. G kümesi manifolddur. bir Lie grup ve i:G→G Cevap : i X G0 , e birim elemann içeren ba§lantl bile³en ve dönü³ümü verilsin. Bu takdirde G bir Lie grup oldu§undan i ba§lantl kümesi old§undan i(G0 ) = G0 e i(G0 ) = G0 i(G0 ) ⊂ G birim elemann içerir. olmak zorundadr. e i(g) = −g ile tanml oldu§unu ispatlaynz. dönü³ümü süreklidir. Bu nedenle sürekli dönü³ümü altndaki görüntüsü i(G0 ) 2 dir. O halde p noktasnn G0 ba§lantldr. Ayrca ba§lantl kümesinin i(e) = e oldu§undan birim elemann içeren ba§lantl bile³en G0 5. (G, .) topolojik grup ve K1 K2 ile kompakt alt kümeler ise K1 .K2 nin de kompakt olaca§n ispatlaynz. Cevap : G topolojik grup oldu§undan ∀a, b ∈ G için f (a, b) = a.b ile tanmlanan f :G×G→G dönü³ümü süreklidir. K1 ve K2 , G uzaynda kompkatr. O halde topolojik grubunda kompakt oldu§undan f (K1 × K2 ) = K1 .K2 de G K1 × K2 de G×G uzaynda kompkat olur. 6. Skein ba§nts yardmyla a³a§daki dü§ümün Alexander polinomunu hesaplaynz. Cevap : Buna göre 4 = 1 − z(0 − z) = 1 + z 2 Skein ba§nts elde edilir. Burada z = (t1/2 − t−1/2 ) alnrsa Alexander polinomu elde edilir yani: 4 = t−1 + t − 1 = t2 − t + 1. 7. A³a§daki dü§ümün renklendirilebilir oldu§unu gösteriniz. Cevap : ekilden de görülece§i üzere toplamda 3 renk kullanld§ndan renklendirme olmann ilk ³art olan "en az iki renk kullanma" sa§lanm³ olur. Ayrca her bir çaprazlamada ya 3 farkl renk ya da tek renk kullanld§ndan bu dü§üm renklendirilebilirdir. (Reidemeister hareketi renklendirmeyi etkilemez.) Ba³arlar Dilerim. Prof. Dr. smet KARACA
