ıv. ders d ferens yelleneb lr man foldlar

Bölüm 1
IV. DERS
DFERENSYELLENEBLR
MANFOLDLAR
Bir önceki bölümde bir yüzeyin noktalarnn yeterince küçük kom³uluklaryla
ilgilenebildik. Bu prosesin soyut realizasyonu için, sonuçta bizi diferensiyellenebilir manifold kavramna götürecek olan atlas veya diferensiyellenebilir
yap kavramlarn takdim edece§iz.
n > 2, 3 boyutlar için
2 veya 3 alnacaktr.
Kavramlar
n
boyutu
de geçerlidir. Sunumu kolayla³trmak için,
Tanm 1.0.1 Bir topolojik uzay,
1 ) Haussdor uzaydr,
2 ) rtibatldr,
3 ) Her noktas,
Rn
in bir açk alt cümlesine homeomork olan bir kom³u-
lu§a sahiptir.
özelli§ine sahip
n−boyutlu
Mn
topolojik manifold olarak adlandrlr. (
³eklinde gösterilir.)
1
2
IV. DERS
DFERENSYELLENEBLR MANFOLDLAR
n
z
M
n
U
IR
j
V
P
y
x
“ekil 1.1:
Mn
M n nin açk alt cümn nin
lelerinin numaralanm³ (indexed) bir cümlesi V = {Vα } olsun. E§er, M
S
her noktas için bu noktay ihtiva edenen azndan bir Vα var ve
Vα = M n
ise
V
herbir
bir
ye
n−boyutlu
α
Mn
Vα
nin bir açk örtüsü denir.
V = {Vα }
açk örtüsü verildi§inde,
Rn nin bir Uα sna irtibatlandran
Böylece, V = {Vα } dan hareketle bir
için
zmi vardr.
topolo jik manifoldu göstersin.
Vα
y
bir de
φα
homeomor-
A = {(Vα , φα ) | φα : Vα → Uα }
koleksiyonu elde edilir.
A
koleksiyonundaki herbir
(Vα , φα )
ikilisine
A koleksiyonundaki
Vα ∩ Vβ =
6 ∅ iken,
koordinat dönü³ümü veya harita denir.
(Vα , φα ), (Vβ , φβ )
haritalar için,
Mn
için
herhangi iki
φα ◦ φ−1
β : φβ (Vα ∩ Vβ ) → φα (Vα ∩ Vβ )
bile³ke dönü³ümleri
koleksiyonuna
Bir
M
Mn
r−mertebeden
diferensiyellenebilir ise
A = {(Vα , φα )}
için "diferensiyellenebilir atlas" ad verilir.
diferensiyellenebilir manifoldu üstündeki tüm diferensiyellenebilir
yaplarn cümlesi
A∗
ile gösterilsin.
A∗
üstünde bir ba§nty ³öyle tanmlay-
alm.
Ai ∼ Aj ⇔ Ai ∪ Aj ∈ A∗
∼
ba§nts
A∗
üstünde bir denklik ba§ntsdr. Böylece,
A∗ ′ ∼
bölüm uza-
ynn denklik snar söz konusudur. Herbir denklik snfna bir "n. mertebeden diferensiyellenebilir yap" denir.
Tanm 1.0.2
yapyla birlikte
n−boyutlu bir topolojik manifold üzerindeki diferensiyellenebilir
n−boyutlu diferensiyellenebilir manifold olarak adlandrlr.
Not 1.0.3 Not: Denklik snar, cümlenin cümlenin herhangi bir elemanyla
temsil edilebilece§inden bir
M, n−topolojik manifoldu üzerinde bir diferenM nin bir diferensiyellenebilir atlasn bulmak
siyellenebilir yap bulmak için,
yeterlidir.
3
Özet 1.0.4 Bir
M (=
6 ∅)
cümlesinin
n−boyutlu
diferensiyellenebilir mani-
fold olmas için sa§lamas gereken tüm ³artlar toplu olarak ³öyledir:
Topolojik manifold olma ³artlar (1-4):
1 )
τ
M
bir topolojik uzaydr. Yani,
M
nin alt cümlelerinin bir kolleksiyonu
olmak üzere;
1.1.
1.2.
1.3.
∅, M ∈ τ,
S
Uα ∈ τ,
U ∈ τ,
Sαn αT
Uα ∈ τ
Uα ∈ τ,
α=1
α
³artlar sa§lanyor.
M
2 )
q ∈ Vq
∀ p, q ∈ M, p 6= q
bir Haussdor uzaydr. Yani;
için,
p ∈ Vp ,
açklar
Vp ∩ Vq = ∅
olacak ³ekilde vardr.
M
3 )
irtibatldr. Yani,
M
ayrk iki açk alt cümlenin birle³imi olarak
yazlamaz.
∀p∈M
4 )
için
∃ Vp ⊂ M,  p ∈ Vp
ϕ : Vp ⊂ M → U ⊂ Rn
ve
∃ϕ
homeomorzmi
(1-1, örten, sürekli,
U, Rn de açk).
bir A = {(Vα , φα )}
ϕ−1
sürekli)
olacak ³ekilde vardr (
M
5 )
üzerindeki
atlas için;
³eklinde görülen
M
Vb
Va
w
fa
fb
n
n
IR
IR
fb o fa-1
fa(w)
fb(w)
fa o fb-1
“ekil 1.2:
4
IV. DERS
DFERENSYELLENEBLR MANFOLDLAR
φβ ◦ φ−1
α : φα (Vα ∩ Vβ ) → φβ (Vα ∩ Vβ )
dönü³ümleri diferensiyellenebilirdir (diferensiyellenebilir yap ³art).
1.1
Manifold Örnekleri
Örnek 1.1.1
M = Rn
seçilsin.
Rn
üzerinde seçilen satndart topolojiye göre
, topolojik uzay , irtibatl ve Haussdor uzay olma özelliklerine sahiptir.
üzerindeki bir kolleksiyonu,
V = Rn , ϕ = IRn
M
olmak üzere;
A = {(Rn , I)}
olarak seçelim.
n
IR
I
I
-1
I o I =I
n
IR
-1
I o I =I
n
IR
“ekil 1.3:
I ◦ I −1 = I −1 ◦ I : Rn → Rn
A = {(Rn , I)}, Rn üzerinde
n
yapyla birlikte R , n−boyutlu
dönü³ümleri diferensiyellenebilirdir. Dolaysyla
bir diferensiyellenebilir yap tanmlar ve bu
diferensiyellenebilir manifolddur.
1.1 Manifold Örnekleri
5
Örnek 1.1.2
M = S 1 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1} = B01 (1)
orijin merkezli
r=1
yarçapl birim çemberi ele alalm.
U
“ekil 1.4:
S1
üzerindeki bir topoloji,
S1 ∩ U
olmak üzere;
S1
topolojiyle Haussdor uzaydr
S1
R2
S1
topolojik uzay,
R2
den indirgenen bu
ve irtibatldr.
üzerinde topolojik manifold yaps olu³turalm.
V2
V1
j2
-1
U ⊂ R2 ler
1
açklar S üzerinde
nin açklar
alt cümleleri olarak tanmlanr. Bu
bir topoloji in³a ederler. Ayrca
“imdi
in açklar;
j1
0
1
-1
“ekil 1.5:
0
1
6
IV. DERS
S1
DFERENSYELLENEBLR MANFOLDLAR
(x, y) ∈ S 1 olmak
in açk alt cümleleri olarak;
üzere;
V1 = {(x, y) | x > 0}
V2 = {(x, y) | y > 0}
V3 = {(x, y) | x < 0}
V4 = {(x, y) | y < 0}
³eklinde seçilsin.
4
[
Vi = S 1
i=1
oldu§u a³ikardr.
ϕ1
Vi
ler üzerinden
ϕi
ler birer homeomorzmdirler. Mesela;
i inceleyelim.
ϕ1 , 1 − 1
dir:
ϕ1 (x, y)
ϕ1 (x1 , y1 ) ⇒ y = y1
q
p
2
1 − y = 1 − y12
⇒
=
⇒ x = x1
⇒ (x, y) = (x1 , y1 )
p
ϕp
⇒ 1 − y 2 ∈ (0, 1)
1 , örtendir: ∀ y ∈ (−1, 1) p
( 1 − y 2 , y) ∈ V1 dir ve ϕ1 ( 1 − y 2 , y) = y dir.
ϕ1 süreklidir. ϕ1 in tersi,
p
1 − y 2 , y)
ϕ−1
(y)
=
(
1
olup, (
y 6= ±1
ve
p
1 − y2 = x
denirse,
oldu§undan) süreklidir. (Sürekli fonksiyonlarn cebirsel i³lem
ϕ2 , ϕ3 , ϕ4 için benzer i³lemler
A = {(Vα , φα )} kolleksiyonunun
(atlasn) diferensiyellenebilir atlas oldu§unu gösterelim. V1 ∩V2 6= ∅ oldu§undan, ilk olarak, (V1 , ϕ1 ), (V2 , ϕ2 ) ikilisini ele alalm.
altndaki sonuç dönü³ümleri süreklidir. ) (
yaplabilir.) “imdi bu ³ekilde olu³turulan
ϕ2 ◦ϕ−1
1 : ϕ1 (V1 ∩V2 ) → ϕ2 (V1 ∩V2 ),
V1 ∩V2 = {(x, y) ∈ S 1 / x > 0, y > 0}
−1
(ϕ2 ◦ ϕ−1
1 )(y) = ϕ2 (ϕ1 (y))
p
= ϕ2 ( 1 − y 2 )
p
=
1 − y2, 0 < y < 1
1.1 Manifold Örnekleri
ve görüldü§ü gibi
7
ϕ2 ◦ ϕ−1
1
diferensiyellenebilirdir. Benzer ³ekilde
diferensiyellenebilirdir. O halde
ϕ1 ◦ ϕ−1
2
(V1 , ϕ1 ), (V2 , ϕ2 ) istenen ³art sa§larlar. Ben-
zer i³lemler
(V2 , ϕ2 ), (V3 , ϕ3 )
(V3 , ϕ3 ), (V4 , ϕ4 )
(V4 , ϕ4 ), (V1 , ϕ1 )
koordinat kom³uluklar ikilileri için de kontrol edilmi³tir ve sonuç olumludur.
Sonuç olarak,
A = {(Vi , φi )}i=1,...,4 atlas bir diferensiyellenebilir yap
S 1 bir 1−boyutlu diferensiyellenebilir mani-
tanmlar ve bu yapyla birlikte
folddur.
Herhangi bir cümle üzerinde diferensiyellenebilir manifold yaps ara³trlrken
cümle üzerinde mevcut olan özellikler -do§al olarak-atlanr. Ayrca manifold
olma incelenirken kullanlan ve kolaylk sa§layan baz kriterler problemler
içinde ele alnacaktr. Bir di§er yöntem ise verilen noktalar ile manifold
yaps bilinen bir cümlenin noktalar arasndaki
1:1
e³leme tesis etmektir.
Önce bu son duruma örnek verelim.
Örnek 1.1.3
P = {(x, y) ∈ R2 | y = x2 }
ile verilen cümle üzerindeki difer-
ensiyellenebilir manifold yapsn ara³tralm.
Rn nin bir diferensiyellenebilir manifold yapsna sahip oldu§unu
oruz. n = 1 için R bir 1−boyutlu diferensiyellenebilir manifolddur.
π: P →
biliy-
R
(x,y) → π(x,y)=x
olarak tanmlanan dönü³üm
1:1 tekabülden dolay
Örnek 1.1.4
M
bir
açk alt cümle olsun.
P
bir
1 : 1 ve örtendir. O halde P ve R1 arasnda
1−boyutlu diferensiyellenebilir manifolddur.
n−boyutlu diferensiyellenebilir manifold, U ⊂ M
"U da n−boyutlu diferensiyellenebilir manifolddur"
bu
bir
ön-
ermesinin do§ru oldu§unu gösteriniz.
U, M
den indirgenen topolojiye ba§l olarak, topolojik uzaydr, Haussdor
uzaydr, irtibatldr.
M
üzerindeki bir atlas
A = {(Vi , ϕi )}i
AU = {(Vi ∩ U, ϕi |U ∩Vi )}
de
U
üstünde bir atlastr. “öyle ki;
ise,
8
IV. DERS
DFERENSYELLENEBLR MANFOLDLAR
M
U
Vi U
ji
Vi
n
IR
ji U
“ekil 1.6:
∀ i, Vi ∩ U
bir açk alt cümledir. Analiz derslerinden bilindi§i gibi,
ϕi
homeomorzminin, tanm cümlesinin her açk alt cümlesine kstlamas da
homeomorzmdir. Dolaysyla,
U
bir
n−boyutlu
“imdi bu
AU
AU , U için
S bir atlastr ve bu atlasla birlikte
(Vi ∩ U ) = U oldu§u a³ikardr).
topolojik manifolddur (
i
atlasnn diferensiyellenebilir yap olu³turdu§unu gösterelim.
1.1 Manifold Örnekleri
9
M
Vj
U
Vi
w
jj
ji
n
n
IR
IR
jj(Vj)
jj o ji -1
ji(Vi)
w
w
j j
j -1
ji(w)
jj(w)
i o
w
w
“ekil 1.7:
ϕj |w ◦ϕ−1
i |w : ϕi (w) → ϕj (w)
ϕi |w ◦ϕ−1
j |w : ϕj (w) → ϕi (w)
dönü³ümleri ile ilgili açk alt cümleler üzerinde diferensiyellenebilirdir. Dolaysyla,
AU atlas U için bir diferensiyellenebilir atlastr
n−boyutlu diferensiyellenebilir manifolddur.
Örnek 1.1.5
bir
M = Mnm (R), m × n
mn−boyutlu
ve bu atlasla birlikte
U
bir
tipinden bütün matrislerin cümlesinin
diferensiyellenebilir manifold oldu§unu gösteriniz.
M = {A = [aij ]m×n | aij ∈ R},
Rmn
[aij ] → π(aij )=(a11 ,a12 ,...,a1n ,a21 ,a22 ,...,a2n ,...am1 ,...amn )
π: M →
1 : 1 tekabülden dolay, M cümlesi Rmn deki
manifold yaps ta³narak bir mn−boyutlu manifold yapsna kavu³turulabilir.
dönü³ümü
1:1
Örnek 1.1.6
ve örtendir. Bu
GL(n, R) = {A ∈ Mnn , det A 6= 0}
cümlesinin
diferensiyellenebilir manifold oldu§unu gösteriniz.
n2 −boyutlu
bir
10
IV. DERS
Mnn , n2 −boyutlu
DFERENSYELLENEBLR MANFOLDLAR
bir diferensiyellenebilir manifolddur. Ayrca;
det : Mnn → R, det A =
X
aσ(1)1 aσ(2)2 ...aσ(n)n
S∈Sn
olarak tanml
det
fonksiyonu süreklidir.
det{0}−1 ⊂ Mnn kapaldr. det{0}−1 in
n
2
tümleyeni açktr. Yani GL(n, R), Mn (R) de açktr ve dolaysyla n −boyutlu
{0} ⊂ R
kapal oldu§undan,
bir diferensiyellenebilir manifolddur.