hangi sayının karesi?

Kareköklü
Sayılar
YAZM
ADAN
İN
C E LE
ÇIKAN
3
SONUCU
DEGERLENDİR
2
Yukarıdaki sayının 3 üssü 2 veya 3’ün 2. kuvveti diye
okunduğunu biliyoruz.
Bunun yanı sıra bir sayının 2. kuvveti o sayının karesi olarak
ifade edilebilir.
Bu anlamda yukarıdaki sayı 3’ün karesi şeklinde ifade
edilebilir.
4
2
7
2
4 ün karesi
7 nin karesi
16
49
-Dedem dedi ki bizim kökümüz çok eskilere
dayanırmış.
Bir sayının kökünü bulmak, o sayıya ulaşmak için kuvveti
alınan değeri (geçmiş değeri) bulmaktır.
ÖRNEK: 16 sayısı hangi sayının karesi alınarak elde edilmiştir?
İşte burada 16 sayısının kare alınmadan önceki geçmiş değerin
bulunması isteniyor.
Hangi sayının karesi 4 tür?
=2
Yukarıda görüldüğü gibi
sembolü “hangi sayının karesi?”
sorusunu sorar. Bu sembol “Karekök” diye okunur.
16
ifadesinin nasıl okunduğunu ve ne anlama geldiğini söyleyiniz.
İleride yapacağımız işlemlerde kolaylık sağlaması açısından
aşağıdaki tabloyu inceleyelim.
Örnek:
02=0
42=16
82=64
122=144
12=1
52=25
92=81
132=169
22=4
62=36
102=100
142=196
32=9
72=49
112=121
152=225
13  2  55  36  ?
KAREKÖKLÜ SAYILARLA TOPLAMA ÇIKARMA
ETKİNLİK:
3
ELMA + 2 ELMA = 5
5
5
5
5
3
5
+
5
2
5
= 5
Verilen bir işlemde toplama çıkarma varsa öncelikle toplanabilirlik
durumu incelenmelidir. Şöyle ki:
3
ELMA + 2 ARMUT= 5
Burada görüldüğü gibi sonuçta ne elde ettiğimiz belli değildir. Bu
durumda yukarıdaki gibi bir toplama işlemi yapılamaz.
Toplama işlemi yaparken toplanacak olan ifadelerin aynı cins
olmasına dikkat edilir aksi halde toplama yapılamaz. Aynı durum
çıkarma işlemi için de geçerlidir.
3
ELMA + 2 ELMA = 5
Toplama-çıkarma işlemi yaparken toplanacak-çıkarılacak ortak
cinslerin miktarını anlatan sayılar (katsayılar) toplanır-çıkarılır.
Kareköklü sayılarla toplama yapılırken:



Kök içlerinin aynı olmasına dikkat
edilir.
Katsayılar toplanır-çıkarılır katsayı
olarak yazılır.
Ortak kök, elde edilen katsayının
yanına yazılır.
ÖRNEK:
3 2 7 2 4 2  6 2
(3+7-4)=6
Katsayılar toplanıp
katsayı olarak yazılır.
ÖRNEK:
5 3 34 3  8 3
(5-1+4)=8
Burada 2. terimin katsayısı
görülmemektedir. Bir ifadenin
katsayısı görülmüyorsa
çarpmada etkisiz eleman olan
1 o ifadenin katsayısıdır.
ÖRNEK:
8 6
+
5 2
5 6
-
3 6
+
+
2
6 2
ÖRNEK:
18 5  2 7  20 5  7  ?
Kareköklü sayılarla çarpma yaparken katsayılar çarpılır
katsayı olarak yazılır. Kök içleri çarpılır kök olarak yazılır.
Bölmede de aynı mantık geçerlidir.
ÖRNEKLER:
1.)
2.)
3.)
4.)
3 7  2 5  6 35
5 3  4 12 
27 6
27 6  3 2 
9 3
3 2
25 12 25
25 12  4 6 

2
4 6
4
Kareköklü Sayıyıa
c Şeklinde Yazma
12 12
12
144  12
=
81  9  9  9
162  81 2  9  9  2  9 2
72  36  2  6  6  2  6 2
Her zaman için verilen ifade bu kadar kolay çarpanlarına
ayrılamayabilir. Bu durumda kök içindeki sayıyı asal
çarpanlarına ayırarak işlemimize devam edebiliriz.
768 
2
384
192
96
48
24
12
6
3
1
2
2

2 .2. 2. 2. 2. 2. 2.2.3
2
2
2
2
2
3
=16
3
ÖRNEK:
12  ?
ÖRNEK:
720  ?
ÖRNEK:
12  3 27  2 75  ?
Gerçek Sayılar
ETKİNLİK:
Sınıftan seçeceğimiz 4 gruptan kırmızı bölgede
bulunan bir rasyonel sayı yazması istenecektir.
Gruplar sayıyı bir kağıda yazıp süre (20 sn) bitiminde
kağıdı kaldırarak cevabı verecektir.
Her grup doğru yazdığı sayı için 12 puan alacaktır.
Eğer farklı gruplar aynı sayıyı bulursa 12 puan bu
gruplara bölünerek verilecektir. (Örneğin 3 grup aynı
sayıyı bulursa 12:3=4 er puan alacaktır.)
Sayı bulma işlemi 3 defa tekrarlanacak sonunda
kazanan grup belli olacaktır.
Sayı doğrusunda iki rasyonel sayı arasına sonsuz rasyonel
sayı yazılabilir.
Ancak her ne kadar sonsuz rasyonel sayı yazılsa da sayı doğrusunu rasyonel
sayılarla tam olarak dolduramayız. Bu anlamda sayı doğrusunda boş kalan
noktalara karşılık irrasyonel sayılar gelmektedir.
Böylece Q ile Qı elemanları bir araya gelerek sayı doğrusunu hiç boşluk
kalmayacak şekilde doldururlar.
R reel sayılar kümesini verir.
Bu iki kümenin birleşimi
Q U Qı =R olur.
N
Z
Qı
R
Qı ∩ Q=Ø
Q
R
N
Z Q
Qı
Standart Sapma

Bir örnekle standart sapmayı ele alalım.
İki öğrencinin 3 yazılı sonunda aldığı notlar aşağıdaki gibidir:
2. Öğrenci
1. Öğrenci
1.yazılı 2.
yazılı
3.
yazılı
1.Yazılı 2.
yazılı
3.
yazılı
70
72
30
42
65
90
Bu öğrencilerden hangisi daha tutarlı notlar almıştır?
Standart sapma değerlerini hesaplayarak tutarlılıklarını
değerlendirelim.
1. Öğrenci
2. Öğrenci
1.
yazılı
2.
yazılı
3.
yazılı
1.
yazılı
2.
yazılı
3.
yazılı
70
65
72
30
90
42
ARİTMETİK ORTALAMA
70  65  72
 69
3
ARİTMETİK ORTALAMA
30  90  42
 54
3
NOTLAR İLE ORTALAMA ARASINDAKİ FARKIN KARELERİ TOPLAMI
(70  69) 2  12  1
(30  54) 2  (24) 2  576
(65  69) 2  (4) 2  16
(90  54) 2  (36) 2  1296
(72  69) 2  32  9
(42  54) 2  (12) 2  144
1  16  9  26
Standart Sapma
26
 13  3,5
3 1
576  1296  144  2016
Standart Sapma
2016
 1008  31,7
3 1
Şimdi elde ettiğimiz bu standart sapma değerlerini
yorumlayalım:
Bir veri grubunun standart sapması 0’a ne kadar
yakınsa bu veri grubu o kadar tutarlıdır. Bu durumda
1. öğrencinin standart sapması 2. öğrencinin
standart sapmasından küçük olduğundan 1.
öğrencinin daha tutarlı notlar aldığı sonucuna
ulaşılır.
YAZM
ADAN
İN
C E LE
ÇIKAN
SONUCU
DEGERLENDİR
Neden verilerin aritmetik ortalamaya olan uzaklıklarını direk
toplamak yerine karelerini topluyoruz?
Bir adamın Salı ve Çarşamba günleri 3’er saat süresince her saat
tuttuğu balık sayısı aşağıdaki gibidir:
Salı:1. saat6 tane
2. saat5 tane
3. saat 4 tane
Çarşamba:1. saat6 tane
1. saat5 tane
1. saat1 tane
Burada ortalamaları alıp ortalamaya olan uzaklıkları direk toplarsak
Salı Günü Ortalaması: 5
Çarşamba Günü Ortalaması:4
Ortalamaya olan uzaklıklar
1. Saat +1
1. Saat +2
2. Saat 0
2. Saat +1
3. Saat -1
3. Saat -3
TOPLAMLARI0
TOPLAMLARI0
Bu durumda her iki gündeki tutarlılığın aynı olduğunu söylemek
gerekecekti.
Sizce her iki günün tutarlılığı aynı mı?
26
 13  3,5
3 1
Neden veri sayısının 1 eksiği
alınıyor?
Yazılıdan 70 alan bir çocuğun aldığı bu tek not için tutarlılığı hakkında ne
söylersiniz?
Şimdi bu çocuğun aldığı tek not için standart sapmayı hesaplayalım.
Aritmetik ortalama: 70
Aritmetik ortalamaya uzaklıkların kareleri toplamı: (70-70)2=0
Şimdi bulduğumuz bu değeri veri sayısına bölüp karekök alarak standart
sapmayı bulalım:
0
0
1
Bu durumda bu çocuğun çok tutarlı olduğu söylenebilir. Oysa ki
tek notla bir çocuğun tutarlılığı yorumlanamaz.
Şimdi de veri sayısının 1 eksiğine bölüp karekök alarak standart
sapmayı hesaplayalım.
0
 TANIMSIZ Bu durumda bu çocuğun tutarlılığı yorumlanamaz.
0
Buradan çıkardığınız sonucu
tartışınız.