Üçgen sayılar

=ÜÇGEN SAYILAR=
Sayılar Matematiğin temel taşları, bazı sayılarda Matematiğin mücevherleridir.
Asal sayılar, Mükemmel sayılar, Kare sayılar, Üçgen sayılar … gibi.
Biz burada Üçgen sayıları araştıracağız. Önce sayılarla biraz oynamak istiyorum.
1= 1
1+2= 3
1+2+3= 6
1+2+3+4= 10
1+2+3+4+5= 15
………………………….
1+2+3+4+……+(n-1)+n=
1
2
3
4
1
3
6
10
5
n
15
Tabandaki nokta sayısı
Toplam nokta sayısı
1
2
3
4
Işın sayısı
0
1
3
6
Açı sayısı
1
2
3
1
3
6
4
10
Tabandaki bölme sayısı
Üçgen sayısı
(a)2=a2
terim sayısı: 1
2
2
(a+b) =a +2ab+b2
terim sayısı: 3
2
2
2
2
(a+b+c) =a +b +c +2ab+2ac+2bc
terim sayısı: 6
(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
terim sayısı: 10
………….
(Açılımda kare olmayan terim sayıları da 1, 3, 6, … dır. )
ÜÇGEN SAYILAR:
1‘den n‘e kadar ardışık doğal sayıların toplamını veren sayılara Üçgen sayılar denir.
n sayma sayısı olmak üzere
şeklinde yazılabilen sayılardır.
Ü={1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, … ,
Ü1= 1
Ü2=1+2= 3
Ü3=1+2+3= 6
Ü4=1+2+3+4= 10
Ü5=1+2+3+4+5= 15
…………
Ün=1+2+3+ …
+n=
,…}
ÖZELLİKLER:
Ardışık iki üçgen sayının toplamı, bir kare sayıdır.
Ü1+Ü2=1+3=22
Ü2+Ü3=3+6=32
Ü3+Ü4=6+10=42
……
Ün-1+Ün=
Üçgen sayılardan bir tek 3 sayısı bir asal sayıdır.
Mükemmel sayılar (kendisi dışında tüm doğal sayı bölenlerinin toplamına eşit olan
sayılar: 6, 28, 496, … ) bir üçgen sayıdır.
Üçgen bir sayının dokuz katının bir fazlası yine üçgen bir sayıdır.
9.Ü4+1=9.10+1=91=Ü13
Üçgen bir sayının sekiz katının bir fazlası bir kare sayıdır.
8.Ü5+1=8.15+1=121=112
UYARI: Herhangi bir doğal sayının Üçgen sayı olup olmadığını anlamanın yolları:
eşitliğini sağlayan n sayma sayısı bulunabiliyorsa, x üçgen sayıdır.
√
eşitliğini sağlayan n sayma sayısı bulunabiliyorsa, x üçgen sayıdır.
Üa+b=Üa+Üb+a.b
Ü7=Ü2+5=Ü2+Ü5+2.5=3+15+2.5=28
Üa.b=Üa.Üb+Üa-1.Üb-1
Ü15=Ü3.5=Ü3.Ü5+Ü2.Ü4=6.15+3.10=120
Birden başlayan ardışık doğal sayıların küplerinin toplamı, bir üçgen sayının karesidir.
13+23+33+ … +n3= (1+2+3+ … +n)2= (
)
Ün2
SONUÇ:
Ün+12-Ün2=(n+1)3
x2-y2= a3 eşitliğini sağlayan x, y, a doğal sayıları varsa;
x ve y ardışık üçgen sayılardır.
SORU:
x2-y2= 63
eşitliğini sağlayan x ve y doğal sayılarını bulunuz?
Ün+12-Ün2= (n+1)3
eşitliğinden;
x=Ü6=1+2+3+4+5+6=
y=Ü5=1+2+3+4+5=
SORU:
x2-y2=83
eşitliğini sağlayan x ve y doğal sayılarını bulunuz?
Ün+12-Ün2= (n+1)3
eşitliğinden;
x=Ü8=1+2+3+4+5+6+7+8=
y=Ü7=1+2+3+4+5+6+7=
ŞAKA:
 24=Ü3+Ü4
34=Ü8+Ü9
44=Ü15+Ü16
…
Bir sayma sayısının 4. Kuvveti iki üçgen sayının toplamıdır.
 Ü10=Ü5+5=55

Ü100=Ü50+50=5050
Ü1000=Ü500+500=500500
4.5.6=2.3.4.5=1.2.3.4.5=120= Ü15
 1+9+92+93+ … +9n
 3.Ün+Ün-1= Ü2n
Toplamı bir üçgen sayıdır.
3.Ün+Ün+1= Ü2n+1
 1+3+5+ … +(2n-1)= Ün+Ün-1
…