Sınırlı ve sürekli lineer operatörler Kaynak

11
S¬n¬rl¬ve Sürekli Lineer Operatörler
Tan¬m 11.1 (X; k:k1 ) ve (Y; k:k2 ) normlu uzaylar D(T )
D(T ) ! Y lineer bir operatör olsun. Her x 2 D(T ) için
kT xk2
X olmak üzere T :
c kxk1
(11.1)
olacak şekilde bir c > 0 say¬s¬ mevcutsa T operatörüne s¬n¬rl¬ lineer operatör
denir. Bu durumu bazen, uygunluk aç¬s¬ndan, indislerdeki 1 ve 2 say¬lar¬n¬
yazmadan kT xk c kxk şeklinde ifade edece¼
giz.
Not: (X; k:k1 ) ve (Y; k:k2 ) normlu uzaylar olmak üzere X’den Y ’nin içine olan
operatörlerin uzay¬B(X; Y ),
kT k = sup
x6=
kT xk2
= sup kT xk2 , T 2 B(X; Y )
kxk1
kxk=1
ile bir normlu uzayd¬r. Burda kT k say¬s¬na T operatörünün normu denir ve
tan¬m gere¼
gince 11.1 eşitsili¼
gini sa¼
glayan her c > 0 say¬s¬için kT k c gerçeklenir.
Teorem 11. 2 X ve Y normlu uzaylar D(T ) X olmak üzere T : D(T ) ! Y
lineer bir operatör olsun. Bu durumda T ’nin sürekli olmas¬için gerek ve yeter
şart s¬n¬rl¬olmas¬d¬r.
Soru 11.1 X ve Y normlu uzaylar T : X ! Y lineer operatörünün s¬n¬rl¬
olmas¬için gerek ve yeter şart X uzay¬nda s¬n¬rl¬olan her M kümesi için T (M )
kümesinin de Y uzay¬nda s¬n¬rl¬olmas¬d¬r. I·spatlay¬n¬z.
Çözüm: T s¬n¬rl¬bir operatör ve M kümesi X uzay¬nda s¬n¬rl¬bir alt küme
olsun. T s¬n¬rl¬ oldu¼
gundan her x 2 X için kT xk
c kxk olacak şekilde bir
c > 0 mevcuttur. Di¼
ger yandan M s¬n¬rl¬oldu¼
gundan her x 2 M için kxk H
olacak biçimde bir H > 0 mevcut olaca¼
g¬ndan her x 2 M için kT xk cH elde
edilir ki bu ise T (M ) kümesinin s¬n¬rl¬l¬g¼¬n¬ispatlar.
Karş¬t olarak X uzay¬ndaki her M s¬n¬rl¬kümesi için T (M ) s¬n¬rl¬olsun. Şimdi
X uzay¬nda s¬n¬rl¬M = fx 2 X : kxk 1g alt kümesini göz önüne alal¬m. x 6=
x
x
olmak üzere
= 1 oldu¼
gundan
2 M olmal¬d¬r. T (M ) s¬n¬rl¬oldu¼
gunkxk
kxk
x
dan T
H olacak şekide H > 0 mevcuttur. Di¼
ger yandan T lineer
kxk
oldu¼
gundan kT xk H kxk elde edilir. E¼
ger x = ise durum aç¬kt¬r. O halde
T operatörü s¬n¬rl¬d¬r.
23
xk
Soru 11.2 Her k için yk =
olmak üzere T x = y ile tan¬ml¬T : l1 ! l2 opek
ratörü veriliyor.
T operatörünün lineer ve s¬n¬rl¬ oldu¼
gunu gösterip
1
2
X
1
=
eşitli¼
ginden yararlanarak normunu hesaplay¬n¬z.
k2
6
k=1
Çözüm: T operatörünün lineerli¼
gi tan¬mdan aç¬kt¬r. Key… x 2 l1 alal¬m.
O halde kxk1 = sup jxk j oldu¼
gundan her k için jxk j
kxk1 gerçeklenir. Bu
k
durumda
kT xk2
1
X
=
2
(T x)k
k=1
1
X
xk
k
=
k=1
kxk1
!1=2
2
!1=2
1
X
1
k2
k=1
= kxk1 p
!1=2
6
(11.2)
olup T operatörü s¬n¬rl¬d¬r. Şimdi kT k say¬s¬n¬ hesaplayal¬m. Tan¬m gere¼
gi
p oldu¼
kT k
gu aç¬kt¬r. Di¼
ger yandan z = (1; 1; 1; :::) 2 l1 dizisi için
6
kzk1 = 1 olup kT zk2
sup kT xk2 = kT k gerçeklenir. Burada kT zk =
1
X
k=1
1
k2
!1=2
kxk=1
= p
6
oldu¼
gundan p
kT k elde edilir. O halde buradan ve
6
11.2 eşitsizli¼
ginden kT k = p bulunur.
6
Soru 11.3 p
1, a = (ak ) 2 lp olsun. x 2 l1 için fa (x) = ax ile tan¬ml¬
fa : l1 ! lp operatörünün lineer ve s¬n¬rl¬oldu¼
gunu gösterip normunu hesaplay¬n¬z.
Burada her k için (ax)k = ak xk ile verilmektedir.
Çözüm: x; y 2 l1 ve ; key… skalerler olmak üzere
fa ( x + y)
=
a ( x + y)
=
ak xk + ak yk
=
fa (x) + fa (y)
oldu¼
gundan fa lineerdir. Şimdi fa operatörünün s¬n¬rl¬l¬g¼¬n¬ gösterelim. Her
24
x 2 l1 için
kfa (x)kp
= kaxkp
X
=
k
kxk1
jak xk j
X
k
p
!1=p
jak j
p
!1=p
= kxk1 kakp
oldu¼
gundan fa s¬n¬rl¬d¬r. Di¼
ger yandan z = (1; 1; 1; :::) 2 l1 için kzk1 = 1 olup
kT zkp
sup kT xkp = kT k gerçeklenir. Ayr¬ca kT zkp = kakp oldu¼
gu aç¬kt¬r.
kxk=1
Bu durumda kfa k = kakp elde edilir.
Soru 11.4 T bir X normlu uzay¬ndan bir Y normlu uzay¬na sürekli bir lineer
operatör olsun. Bu durumda (xn ) dizisi X uzay¬nda bir Cauchy dizisi ise (T xn )
de Y uzay¬nda bir Cauchy dizisidir. Gösteriniz.
Çözüm: T operatörü sürekli lineer oldu¼
gundan Teorem 11.2’den s¬n¬rl¬d¬r.
(xn ) dizisi Cauchy olsun. Bu durumda n; m ! 1 için kxn xm k ! 1 gerçeklenir. Di¼
ger yandan T operatörü s¬n¬rl¬ve lineer oldu¼
gundan
0
kT xn
T xm k
kT (xn
xm )k
kT k kxn
xm k ! 0; n; m ! 1
olup (T xn ) bir Cauchy dizisidir.
Z1
Soru 11.5 C[0; 1] üzerinde , S ve T operatörlerini s¬ras¬yla y(s) = s x(t)dt ve
0
h(s) = sx(s) şeklinde tan¬mlayal¬m. S ile T yer de¼
giştirebilir mi?
Z1
Çözüm: x 2 C[0; 1] alal¬m. ((ST )x) (s) = S(T x)(s) = s (T x) (t)dt =
0
0 1
1
Z1
Z
s tx(t)dt ve ((T S)x) (s) = T (Sx)(s) = s @s x(t)dtA elde edilir. Şimdi x(t) =
0
0
Z1
s
ve
t ile tan¬ml¬ x 2 C[0; 1] fonksiyonunu alal¬m. ((ST )x) (s) = s t2 dt =
3
0
0 1 1
Z
s2
((T S)x) (s) = s @s tdtA =
oldu¼
gundan S ile T yer de¼
giştiremez.
2
0
25