VEKTÖRLER

VEKTÖRLER
KT
1
Mekanik olayları ölçmekte ya da değerlendirmekte
kullanılan matematiksel büyüklükler:
• Skaler büyüklük: sadece bir sayısal değeri
tanımlamakta kullanılır, pozitif veya negatif
olabilir. Kütle, hacim ve uzunluk statikte sıkça
kullanılan skalerlerdir.
• Vektörel büyüklük: iddet, doğrultu ve yön ile
belirtilen fiziksel bir büyüklüktür. Kuvvet,
moment, konum vektörel birer büyüklüktür.
Vektör, yönlenmiş bir doğru parçasıyla temsil
edilir.
KT
2
• Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok,
şiddetini de okun boyu belirler.
• Vektörler harfin üzerine kısa bir ok çizilerek gösterilir.
r
A
• Bu şekilde gösterilen vektörün şiddeti “A” ile ifade edilir.
KT
3
Vektörel İşlemler
• Vektörün bir skalerle çarpımı veya bölümü
• bir vektörün bir skalerle çarpımı veya bölümü, yine aynı
vektör doğrultusunda yeni bir vektör verir. Bu vektörün
şiddeti, skaler ile mevcut vektörün şiddetinin çarpımına
eşittir
KT
4
Vektörlerin Toplamı
• Vektörler paralelkenar ilkesi kullanılarak birbiriyle
toplanır. A ve B vektörleri başlangıç noktalarında
birleştirilir. Her bir vektörün ucundan diğer vektöre çizilen
paralel doğrular paralelkenarı oluşturur. R bileşkesi A ve
B’nin başlangıcından doğruların kesiştiği noktaya çizilen
doğrudur. R bileşkesi paralelkenarın köşegenidir.
r r r
R = A+ B
KT
5
Vektörlerin Toplamı
• A ve B vektörlerini paralelkenar ilkesinin özel bir
uygulaması olan “üçgen ilkesi”ne göre de toplayabiliriz.
• A vektörünün ucuna B vektörü eklenir, A’nın başlangıcı
ile B’nin ucu birleştirilir ve R bileşke vektör elde edilir.
Vektör toplamı komutatif’tir,
vektörler herhangi bir
KT
sırada toplanabilir.
r r r r r
R = A+ B = B + A
6
Vektörlerin Toplamı
• A ve B vektörü aynı etki çizgisine sahipse
paralelkenar kuralı cebirsel (skaler)
toplama indirgenir.
• R= A+B (şiddetlerin toplamı)
KT
7
Vektör Çıkarması
• A ve B vektörlerinin çıkarılması için paralelkenar veya üçgen kuralı
kullanılabilir. A ve B vektörleri arasındaki fark bileşke vektörü:
r r r
r
R′ = A − B = A + ( − B )
• Vektör toplamı için uygulanan kurallar vektör çıkarması için de
kullanılmaktadır.
KT
8
Kuvvetlerin Vektörel Toplamı
• Kuvvetler, belli bir büyüklük, doğrultu ve yöne
sahiptir ve vektörel bir büyüklük olduğu için
paralelkenar kuralına göre toplanır.
• Statikteki iki genel problem:
– Bileşenlerden bileşke kuvvet bulmak
– Bilinen bir kuvveti bileşenlerine ayırmak
KT
9
Bir kuvvetin bileşenlerine ayrılması
• Bir noktaya etkiyen bir tek vektör yerine aynı etkiyi
yapacak iki veya daha fazla vektör koymak
mümkündür.Bunlara vektörün bileşenleri denir. Bu
bileşenleri bulabilmek için:
– İki bileşenden düzlemde biri, uzayda ise üç bileşenden ikisi
bilinmelidir.
– Bileşenlerin tesir çizgileri bilinmelidir.
KT
10
İkiden fazla kuvvetin toplanması
• İkiden fazla kuvvet toplanacaksa, bileşke kuvveti bulmak
için paralelkenar kuralı birden fazla uygulanabilir.
KT
r
r r
r
FR = ( F1 + F2 ) + F3
11
Analizde izlenecek yol
• Paralelkenar kuralı
• Trigonometri
KT
12
Örnek 1
• F1 ve F2 kuvvetlerinin
bileşkesini ve yönünü
bulunuz.
• Çözüm:
KT
13
Örnek 1
• Kosinüs teoremi’nden:
• Sinüs teoreminden:
KT
14
Örnek 2
200 N
• Bu iki kuvvetin bileşkesinin y
ekseni üzerinde olması için F
kuvvetinin şiddetini bulunuz.
r
F
200 N
=
Sin60 Sin 45
r
F = 245 N
r
FR
200 N
=
Sin75 Sin 45
r
FR = 273 N
200 N
KT
200 N
15
ödev
• Ödev1: 600N’luk kuvveti
u ve v eksenlerinde
bileşenlerine ayırınız.
600 N
KT
• Ödev2: F2 kuvvetinin
şiddetini, yönünü ve bileşke
kuvveti bulunuz. (bileşke
kuvvet x ekseni üzerinde, F2
kuvveti ise minimum şiddette
olsun)
16
Düzlemsel kuvvetlerin toplanması
(Kartezyen Koordinatlar)
• Eğer bir kuvvet x ve y eksenlerindeki bileşenlerine
ayrılırsa, bu bileşenlere “kartezyen bileşenler” denir.
• x ve y eksenleri pozitif ve negatif yönler belirttiklerinden,
bir kuvvetin dik bileşenlerinin büyüklüğü ve yönü cebirsel
skalerlerle ifade edilebilir.
Skaler gösterim:
Fx = F . cos θ
Fy = F . sin θ
KT
17
• F vektörünün yönü, θ açısı yerine küçük eğim üçgeni ile de
gösterilebilir.
a
Fx = F ( ) veya
c
b
Fy = F ( ) veya
c
Fx a
=
F c
Fy b
=
F c
• Fy vektörünün yönü negatif y ekseninde olduğundan y
bileşeni negatiftir, bu nedenle hesaplamalarda (-) işareti
kullanılmalıdır.
KT
18
Kartezyen vektör gösterimi
• Bir kuvvetin bileşenleri,
kartezyen birim vektörler
cinsinden ifade edilebilir.
x ve y eksenlerinin
doğrultularını belirtmek
için sırasıyla i ve j
kartezyen birim vektörleri
kullanılır. Bu vektörler,
boyutsuz birim
uzunluktadır ve yönleri
(ok ucu), pozitif veya
negatif x ve y eksenini
işaret etmesine bağlı
olarak, artı veya eksi
işareti ile gösterilir.
KT
r
F = Fx iˆ + Fy ˆj
19
Aynı düzlemdeki kuvvetlerin bileşkeleri
• Bir kuvvetin bileşenlerini göstermede kullanılan iki
yöntem de çok sayıda düzlemsel kuvvetin bileşkesini
belirlemek için de kullanılabilir. Bunun için, her bir kuvvet
önce x ve y bileşenlerine ayrılır ve sonra karşılıklı
bileşenler aynı doğru üzerinde bulunduklarından skaler
cebir kullanılarak toplanır.
r
F1 = F1x iˆ + F1 y ˆj
r
F2 = − F2 x iˆ + F2 y ˆj
r
F3 = F3 x iˆ − F3 y ˆj
KT
20
Aynı düzlemdeki kuvvetlerin bileşkeleri
r
r r r
FR = F1 + F2 + F3
VEKTÖREL TOPLAM
SKALER TOPLAM
KT
21
İkiden fazla kuvvetin toplanması
FRx = ∑ Fx
FRy = ∑ Fy
KT
• Herhangi bir sayıda düzlemsel kuvvetin
bileşkesinin x ve y bileşenleri, bütün
kuvvetlerin x ve y bileşenlerinin cebirsel
toplamıyla bulunabilir.
22
∑
= ∑
F Rx =
Fx
F Ry
Fy
• Bileşkenin bileşenleri belirlendikten sonra,
şekildeki gibi, x ve y eksenleri boyunca çizilebilir.
Bileşke kuvvet vektör toplamından belirlenebilir.
Bileşkenin büyüklüğü ve yönü ise şu şekilde
bulunabilir.
KT
23
Örnek 3:
• ekilde gösterilen
kuvvetlerin bileşkesini
birim vektörleri
kullanarak bulunuz
KT
24
Örnek 3:
KT
25
Ödev 3-4
• Etkiyen kuvvetlerin
bileşkesinin y ekseni
boyunca olması ve
şiddetinin de 800 N
olması için F1 kuvvetinin
şiddetini, θ açısının ne
olması gerektiğini
bulunuz
• ekilde gösterilen
kuvvetlerin bileşkesini
birim vektörleri
kullanarak bulunuz
KT
26