x - matematikkurtlari

GÖSTERİYE BAŞLA
TANIM: f : [a, b]  R tanımlı ve bu aralıkta sürekli olmak koşuluyla;
b
 f ( x)dx
İntegralinin değerine x=a dan x=b ye kadar f(x) eğrisi ve x
ekseni arasındaki alan denir.
a
a
A
b
A
a
b
A1
a
A2
b
b
A   f ( x)dx
b
A   f ( x)dx
a
a
b
c
a
b
A   f ( x)dx    f ( x)dx
f(x) in grafiği y-ekseni y=m ve y=n doğrularıyla sınırlı bölgenin alanı
n
A
m
n
A   xdy
m
NOT:
20br2
-3 3br2
a) Yukarıda verilen f(x) fonksiyonuna göre
6

6
3
f ( x)dx
integralinin değeri nedir? Denildiğinde alanların cebirsel toplamı yapılır.

6
3
f ( x9dx  5  20  15
b)|-3,6| aralığında f(x) ve x ekseni arasındaki taralı alan nedir? denildiğinde
ise mutlak değerce toplamı yapılır.

6
3
f ( x)dx   5  20  25br 2
ÖRNEK1 :x+2 doğrusu x=-1, x=2 doğruları ve x-ekseni arasında
kalan alankaç br2dir?
ÇÖZÜM: meydana gelen şekil yamuk olup integralsiz de
çözülebilir.
y
y=x+2
2
-2
2
x
-1
2
2
x
A   f ( x)dx   ( x  2)dx   2 x
1
1
2
1
 22
  1  15 2
   2 * 2     2   br
2
 2  2
2
2
ÖRNEK2: f(x)=2-x2/2 eğrisi ile ox ekseni arasında kalan
alanı bulunuz.
ÇÖZÜM:

x2 
1 x3
A    2  dx  2 x  *
2
2 
2 3

2
2
2
3



2 
 2 
  2 * 2    2 *  2  

6 
6 

4
4 16 2
 4   4   br
3
3 3
3
-2
2
2
f(x)
f(x)
1)
f(x)
g(x)
a
g(x)
b
g(x)
a
b
Şekillerde görüldüğü gibi taralı alan;
b
a
g(x)
f(x)

f ( x)  g ( x)dx' dir
a
A
b
2) İki eğri arasında kalan alan şekildeki gibi ise
f(x)
a
b
c
g(x)
c
A   f ( x)  g ( x) dx
a
  g ( x)  f ( x)dx    f ( x)  g ( x)dx
b
c
a
b
ÖRNEK3: y=x2 eğrisi ile y=x+2 doğrusu arasında kalan
bölgenin alanı kaç br2dir?
ÇÖZÜM: Önce kesim noktaları bulunup, grafik çizilir.
y=x2
y
y=x2
y=x+2
, y=x+2
x2=x+2
x2-x-2=0
2
(x+1) (x+2)=0
x=-1 ,
x=2
-2
-1
2
A    f ( x)  g ( x)dx' den
b
a
2
x2
x3
2
A   ( x  2  x )dx 
 2x 
1
2
3 1
8 1
1
1 8 1

 2  4     2    6  2   
3  2
3
2 3 3

1 9
 5   br 2
2 2
2
x
ÖRNEK4: y2=x eğrisi ile y=x-6 doğrusu arasında kalan
bölgenin alanı kaç br2dir?
ÇÖZÜM:
y=x-6
y
y2=y+6
y2-y-6=0
3
(y+2) (y-3)=0
y=-2 , y=3
x
-2
Şekilden de anlaşılacağı gibi y ekseni
arasında kalan alanı bulmalıyız.
y2=x


3
y2
y3
2
A   y  6  y dy 
 6y 
2
2
3 2
27   4
8 9
8
9
   18      12     9  10 
3  2
3 2
3
2
9 8
11 125 2
 19    19  
br ' dir
2 3
6
6
3
ÖRNEK5: f(x)=x2-x, g(x)=3x-x2 eğrileri arasında kalan bölgenin alanını
bulunuz.
ÇÖZÜM: iki eğriyi ortak çözüp integral sınırlarını bulalım.
x2-x=3x-x2
f(x)=g(x)
dir.
ise
2x2-4x=0
x=0, x=2


A   g ( x)  f ( x)dx   3x  x 2  x 2  x dx
2
2
0
0
2
3
4x
x
A    4 x  2 x  dx 
2
0
2
3
2
2
8
16 8

  2 * 4  2 *   0  8   br 2 ' dir .
3
3 3

2
0
ÖRNEK6: f(x) fonksiyonunun grafiği şekildeki
gibidir. Buna göre;

c
a
f ( x)dx  18

c
a
f ( x)dx  10 ve
ise

c
b
f ( x)dx' in
c
a
değeri nedir?
b
f(x)
ÇÖZÜM:

c

c
f ( x) dx  18 şekildeki taralı alanların toplamıdır.
a
f ( x)dx  10 ise üstteki pozitif alan ile alttaki negatif alanın toplamıdır.
a

b
a

c

c
a
a
f ( x)dx  A
f ( x) dx  A  B  18
f ( x)dx  A  B  10

c
b
f ( x)dx  B
A  B  18
A  B  10
A  14
B  4
(B<0) dersek,
Yani;

c
b
f ( x)dx  4
bulunur.
y
y=x2+2x
ÖRNEK7: Grafiği verilen f(x) fonksiyonu,
x=2 doğrusu ve x ekseni arasında kalan
taralı alan kaç br2dir?
x
2
-2
ÇÖZÜM:
2
 f ( x)dx  A  A
 x  2 x dx   x
1
2
2
2
0
2
2
 x3
2
A    x 
 3

2
2



 2 x dx   x 2  2 x dx
 x3
2
   x 
2
 3

0
2
0
2
0
  8
  8
  4 20 24
 0     4     4   0  

 8br 2
3
  3
  3 3
  3
1.
y
y=f(x)
x
a
b
Y=f(x) denklemi ile temsil
edilen eğrinin [a,b] aralığına
ait parçanın Ox ekseni
etrafından döndürülmesi ile
elde edilen cismin hacmi :
b
b
Vx    f ( x) dx   y dx
2
a
2
a
2.
y
y=f(x)
d
f(a)=c
f(b)=d
c
x
a
b
Aynı şekilde y=f(x)
denklemi ile temsil edilen
[c,d] aralığına ait
parçanın Oy ekseni
etrafında döndürülmesi
ile meydana getirilen
cismin hacmi:
c
d
c
c
Vy    f ( y ) 2 dy    x 2 dy
3.
y
İki eğri arasında kalan alanın
Ox ekseni etrafında 360
derece döndürülmesinden
elde edilen şeklin hacmi:
g(x)
x
a
b
f(x)
b
Vx    [ f ( x)  g ( x) ]dx
2
a
2
Örnek 1:
y=x2 eğrisi ile x=2 doğrusu ve x ekseni arasında kalan alanın Ox ekseni etrafında
döndürülmesinden oluşan cismin hacmi kaç br3 dür?
Çözüm:
y
2
Vx    y dx
2
y=x2
0
2
   x dx
x
4
0
x5 2

5 0
32

br 3dür.
5
x=2
y=ex eğrisi ve x=1 doğrusu ve eksenler arasında kalan
bölgenin Ox ekseni etrafında döndürülmesinden oluşan cismin
hacmi kaç br3 dür?
Örnek 2:
y
Çözüm:
y=ex
1
VX    y dx
2
0
1
  dx
 e
0
x
2
1
1
   e 2 x dx
0


2
e
2x
1
0


2
e 
2

2
e 
0


e
2
2

 1 br 3
x
Örnek3:
y=cosx eğrisinin x=0, x=л doğruları ve x ekseni arasında kalan alanın
yine ox ekseni etrafında döndürülmesinden meydana gelen cismin
hacmi kaç br3’tür?
Çözüm:
0 ve /2arasındaki alan, /2 ile  arasında kalan alana eşit
olduğundan x ekseni etrafında dönmesinden oluşacak hacimlerde
eşit olacağından;
y


0
0
Vx  2  2 y 2 dx 2  2 cos 2 xdx
y=cosx

0
/2

x

cos
2
x

1
 2  2
dx    2 cos 2 x  1dx
0
0
2
1 

   sin 2 x *  
2 2



2

2
2
br 3

2
0


 1 
   sin 2 *    0 
2 2 2


Örnek4:
f(x)=2/x2 eğrisine x=1 apsisli noktadan çizilen teğeti ile eksenler
arasındaki düzlemsel bölgenin oy ekseni etrafında döndürülmesi
ile oluşan şeklin hacmi kaç br3’tür?
Çözüm:
Meydana gelen düzlemsel bölgenin alanı şekildeki gibidir.
Önce f(x)in x=1 noktasındaki teğeti bulunur.
f(x)=-2x*2/x4
y
=-4/x3
m=f-1(x)=-4
x=1 için f(1)=2
A(1,2)
-3/2
3/2
x
Teğetin denklemi:
y-y1=m(x-x1)
y-2=-4(x-1)
y=-4x+6
1. Yol:
Şekil konidir. Koninin hacminden;
2
3

*
  *6
2
 *r *h
 *9*6
9
2
V 



br 3
3
3
4*3
2
2.Yol:
Vy   
6
0

 6 2
 y6
x dy    
 dy  0 y  12 y  36 dy
0
16
 4 
2
  y 3 12 y 2

 
 36 y 
16  3
2

  63
2
6


6
0


2


   6 * 6  36 * 6   0  
72  63  63
16  3
16

 * 72 9 3


br
16
2


Örnek5:
İntegral yardımıyla koninin hacmini bulunuz.
Çözüm:
Koninin yüksekliğine h ve taban yarıçapına r diyelim
ve [AB]doğrusunun denklemini bulalım.
A(0,r)
B(h,0)
x
A (0 , r) = (x1 , y1)
, y2)
,
B = (h , 0) = (x2
(x-x1) * (y2-y1) = (x2-x1) * (y-y1)
y
(x-0) * (0-r) = (h-0) * (y-r)
-x*r = h*(y-r)
ise
y=r-(x*r)/h
Buna göre;
2
x*r 

Vx     r 
 dx
0
h 

h

h
0
 2
2* x*r2
x2 * r 2


2
r 
h
h



dx

 2
2r 2
x2
r2
x3 
  r * x 
*
 2 *

h
2
h
3


h
0
 2

r2
r2
h3 
2
  
 r h  h * h  h2 * 3 
  0 



2
 2
r
h
2

r h  r h  3 



 *r2 *h
Vx 
br 3
3
1 ) y=x2-2x eğrisi x=3 doğrusu ve x ekseni arasında kalan
alan kaç br2’dir?
A ) 16/3
B) 8/3
C ) 4/3
D) 3
E) 3/2
ÇÖZÜM:
A=A1+A2
2


3


A    x  2 x dx   x 2  2 x dx
0
y
2
 x3
x2 
   2 
2
3
y=x2-2x
x
2
3
2
2
3


x
x
2
   2 
0
2
 3
3
2
 8

 8
   27
    4   0    9     4 

 3
   3
 3
4 8 2
4
  0   br
3 3
3
CEVAP B
2) y=x3 eğrisi y=3 doğrusu ve y-ekseni arasında kalan alan
kaç br2’dir?
A)4
B)
2
C) 3
4
D ) 33 4
E)
3
4
4
ÇÖZÜM:
3
3
1
1
A   xdy  
3
y  1dy
t 3  y  1  3t 2 * dt  dy
y=x3-1
y=3
3
1
-1
3
A   t * 3t dt  3 t dt
2
3
1
3
t4 3 3
4
 y  1 1
3 
4 4
3 3
4


3  1  3 (1  1) 4

4 
3 3 4
 * 4  33 4br 2
4
CEVAP D
3) y=lnx eğrisi ox ekseni ve x=e doğrusu arasında kalan
düzlemsel bölgenin alanı kaç br2’dir?
SANKİ
BULDUM
GİBİ..
A ) 1/2
B) 1
C ) 3/2
D) 2
E) 5/2
ÇÖZÜM:
y
y=lnx
1
e
A   ln xdx
u  ln x
1
e
dx
du 
x
e
A   ln xdx  ln x * x  
1
 x * ln x  x
x
dv  dx
dx
x*
x
e
1
 e * ln e  e   1* ln 1  1
 (e  e)  0  1  1br 2
CEVAP B
vx
4) y=2-x2 ile y=x2 eğrileri tarafından sınırlanan alan kaç br2’dir?
A ) 11/12
B) 5/6
C ) 4/3
D) 1/2
E) 8/3
ÇÖZÜM:
y=x2
1
1


1
y=2-x2
y=x2
y=2-x2
x2=2-x2
x2=1


3
1
x
  2  2 x dx  2 x  2
1
3 1
3

13  
2 *  1 

  2 *1  2 *    2 *  1 

3 
3


2 
2
 2   2  
3 
3
1
-1
ise
1
A   ( y1  y2 )dx   2  x 2  x 2 dx
1
2x2=2
1
2
4  4 4 4 8 2
        br
3  3 3 3 3
x=1, x=-1
CEVAP E
5 ) f(x)=lnx eğrisinin x=e noktasından çizilen teğeti ile x ekseni ve
f(x) = lnx eğrisi arasındaki alan kaç br2’dir?
A)2
B) 1
C)e
D) e/2
E) (e-2)/2
ÇÖZÜM: Önce teğetin denklemi bulunur.
f(x) = lnx
A(e,1)
f´(x)=1/x
ise
1
T
m=1/e dir
0
y-y1=m(x-x1)
1 e
y=lnx
y-1=1/e(x-e)
y=x/e-1+1
y=x/e
1
e
 * e *1 
2
2
Aüçgen
S 

e
1
ln xdx  x * ln x  x
e
e2
A  1 
2
2
e
1
1
CEVAP E
6 ) f(x)=x2 parabolü ve g(x)=x doğrusu arasında kalan
düzlemsel bölgenin ox ekseni etrafında 360 döndürülmesi ile
oluşan cismin hacmi nedir?
A ) /15
B) 2/15
C ) 1/15
D) 15/ E) 
ÇÖZÜM:
f(x) =g(x)  x2=x  x=0 veya
x=1
g(x) = x
f(x)
=x2

V   *  g x   f
1
1

0
2
2

   x  x dx
0
1
2
4
1 3 1 5 1
 x  x  0
5 
3
 1 1  2 3
   
br
 3 5  15
CEVAP B
x dx
7 ) y=x2 parabolü, x=0 ve y=2 doğruları arasında kalan
bölgenin Oy eksen etrafında 360 döndürülmesi ile elde
edilen dönnel cismin hacmini bulunuz.
A ) 2 br3
B) 3/2 br3 C )  br3
D) /2 br3 E) /3 br3
ÇÖZÜM:
y = x2 
x = y
(x >=0) dır. Oluşan cismin hacmi:
2
y=2
y= x
V  *
2
0
2
y

2
2
0
2
2
y * dy   *  y * dy
0
4 3

br
2
CEVAP A
8 ) x2+(y-3)2 =4 çemberinin sınırladığı bölgenin, Oy ekseni
etrafında dönmesinden oluşan cismin hacmi nedir?
A ) 32/2 br3 B) 32/3 br3 C ) 16 /2br3 D) 5/6 br3
E) /2 br3
ÇÖZÜM:
M(0,3)
5
r=2
Oluşacak şekil küre
olduğundan
Kürenin hacmi ile de
çözülebilir.
y=(4-x2)+3
3
Vy=4/3 br3 =4/3*8
1
-2
2
32/3 br3
CEVAP B
9 ) y= x2 eğrisi ile y=4 doğrusu x ekseni etrafında
döndürülüyor. Elde edilen cismin hacmi kaç br3’tür?
A ) 256/4 br3 B) 128/5 br3 C ) 64 /2br3 D) 256/5 br3 E) /256 br3
ÇÖZÜM:
x2=y
x2=4
x=2 ,
x=-2
y2=x2
y1=4
-2
2
Vx   * 
2
2
y
2
1

 y22 dx
256 3
  *  16  x dx 
br
2
5
2

4

CEVAP D
İLK SLAYT