2. ÖLÇÜLER 2.1 Baz¬Küme S¬n¬‡ar¬ SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin bir s¬n¬f¬olsun. A s¬n¬f¬X üzerinde bir cebir midir? ÇÖZÜM 1: A := fB 2 P (X) : B sonlug X2 = A oldu¼ gundan A s¬n¬f¬ cebir de¼ gildir. SORU 2: X say¬lamayan bir küme (a) A1 := fA X : A say¬labilirg (b) A2 := fA X : A say¬labilir veya XnA say¬labilirg s¬n¬‡ar¬X üzerinde cebir midir? ÇÖZÜM 2: (a) X 2 = A1 oldu¼ gundan A1 s¬n¬f¬X üzerinde (b) (i) X t = ; say¬labilir oldu¼ gundan X 2 A2 dir. (ii) Key… A 2 A2 için XnA 2 A2 oldu¼ gunu gösterelim: A 2 A2 =) A say¬labilir veya XnA say¬labilir {z } | | {z } + + (XnA)t =A + XnA2A2 XnA2A2 1 cebir de¼ gildir. (iii) 8n 2 N için An 2 A2 olsun. söz konusudur: 1 [ n=1 An 2 A2 oldu¼ gunu gösterelim. Üç durum b1c 8n 2 N için An 2 A2 say¬labilir olsun. Bu durumda Yani 1 [ n=1 1 [ An say¬labilirdir. n=1 An 2 A2 olur. b2c 8n 2 N için Atn 2 A2 say¬labilir olsun. Bu durumda say¬labilirdir. Dolay¬s¬yla 1 [ n=1 1 \ Atn = n=1 1 [ n=1 An !t An 2 A2 : b3c B = fAn : An say¬labilirg An : Atn say¬labilir C = olarak tan¬mlayal¬m. 1 [ n=1 olarak yaz¬labilir. 1 [ An n=1 !t 0 An = @ 0 =@ 1 \ 1 [ 1 An A [ @ |{z} n=1 2B 1 0 An t A \ @ |{z} n=1 2B 0 1 \ 1 [ An A |{z} n=1 2C 1 An t A |{z} n=1 2C 1 1 \ An t |{z} n=1 2C gerçeklenir. C s¬n¬f¬na ait olan An kümelerinin Atn tümleyenleri say¬labilir oldu¼ gun1 \ dan Atn say¬labilirdir. Say¬labilir bir kümenin her alt kümeside say¬labilir olan=1 ca¼ g¬ndan 1 [ n=1 An !t say¬labilirdir. Dolay¬s¬yla 1 [ n=1 2 An 2 A2 sa¼ glan¬r. Sonuç olarak A2 s¬n¬f¬X üzerinde cebirdir. SORU 3: A, X kümesi üzerinde bir cebir ve (Bn ) de A daki elemanlar¬n 1 [ ayr¬k dizisi olsun. Bn 2 A ise A s¬n¬f¬X üzerinde cebirdir. Gösteriniz. n=1 ÇÖZÜM 3: 8n 2 N için An 2 A olmak üzere meliyiz. E0 : = ;; En := Bn : = An nEn n [ 1 [ n=1 An 2 A oldu¼ gunu göster- Ak k=1 1 kümelerini tan¬mlayal¬m. Bu durumda (Bn ) dizisi ayr¬k olup 1 [ An = gerçeklenir. Hipotezden n=1 s¬n¬f¬X üzerinde Bn n=1 n=1 1 [ 1 [ Bn 2 A oldu¼ gundan cebirdir. SORU 4: X kümesi üzerindeki 1 [ n=1 An 2 A d¬r. Dolay¬s¬yla A cebirlerin birleşimi de X üzerinde cebir midir? ÇÖZÜM 4: A : = f;; N; f2n : n 2 Ng ; f2n + 1 : n 2 Ngg 8 9 < = B : = ;; N; f3n : n 2 Ng; f3n + 1 : n 2 Ng; f3n + 2 : n 2 Ng; A [ B; A [ C; B [ C | {z } | {z } | {z } : ; =A =B =C 3 A ve B s¬n¬‡ar¬N üzerinde cebirdir. A [ B = f;; N; f2n : n 2 Ng ; f2n + 1 : n 2 Ng ; A; B; C; A [ B; A [ C; B [ Cg olur. f2n : n 2 Ng [ A 2 = A [ B oldu¼ gundan A [ B s¬n¬f¬ N üzerinde cebir de¼ gildir. SORU 5: Her tipten aral¬k, ¬ş¬n ve tek nokta kümelerinin Borel cebirinin eleman¬oldu¼ gunu gösteriniz. ÇÖZÜM 5: (a; b] [a; b] 1 \ = = a; b + 1 n 1 ;b n + n=1 1 \ a 2 B (R) 1 n n=1 (b; 1) 1 [ = n=1 1 [ ( 1; a) = [b; 1) fag (b; b + n) 2 B (R) (a n=1 n; a) 2 B (R) 1; a2 [ ( 1; a] = 2 B (R) a ;a 2 2 B (R) [b; 2b] [ (2b; 1) 2 B (R) 1 \ = a n1 ; a + n1 2 B (R) = n=1 SORU 6: f : X ! Y bir fonksiyon ve B s¬n¬f¬da Y üzerinde A := fA s¬n¬f¬X üzerinde X : f (A) 2 Bg cebir midir? 4 cebir olsun. ÇÖZÜM 6: (i) X 2 A oldu¼ gunu göstermeliyiz. E¼ ger f fonksiyonu örten ise f (X) = Y 2 B olup X 2 A d¬r. (ii) Key… A 2 A için At 2 A oldu¼ gunu göstermeliyiz. f fonksiyonu 1 1 ve örten ise A 2 A () f (A) 2 B =) [f (A)]t 2 B =) f (At ) 2 B =) At 2 A elde edilir. (iii) 8n 2 N için An 2 A olsun. B nin Y üzerinde cebir oldu¼ gu kullan¬l¬rsa An 2 A () f (An ) 2 B 1 [ =) f (An ) 2 B n=1 ! 1 [ =) f An 2 B n=1 1 [ =) n=1 An 2 A bulunur. Sonuç olarak f fonksiyonu 1 1 ve örten ise A s¬n¬f¬X üzerinde SORU 7: f : X ! Y bir fonksiyon ve A s¬n¬f¬da X üzerinde B := B Y : f 5 1 (B) 2 A cebirdir. cebir olsun. s¬n¬f¬Y üzerinde cebir midir? ÇÖZÜM 7: (i) f 1 (Y ) = X 2 A oldu¼ gundan Y 2 B dir. (ii) Key… B 2 B olsun. A s¬n¬f¬n¬n X üzerinde cebir oldu¼ gu dikkate al¬n¬rsa f 1 (B) 2 A =) [f 1 (B)] 2 A =) 1 (B t ) 2 A B 2 B () f t Bt 2 B =) elde edilir. (iii) 8n 2 N için Bn 2 B olsun. B 2 B () =) f 1 [ 1 f n=1 1 =) f (Bn ) 2 A 1 (Bn ) 2 A ! 1 [ Bn 2 A n=1 1 [ =) n=1 gerçeklenir. Dolay¬s¬yla B s¬n¬f¬Y üzerinde SORU 8: X 6= ; ve A s¬n¬f¬X üzerinde Bn 2 B cebirdir. cebir olsun. ; = 6 B 2 A olmak üzere E := fA s¬n¬f¬B kümesi üzerinde X : A = B \ C; cebir midir? 6 C 2 Ag ÇÖZÜM 8: (i) B = B \ X veya B = B \ B oldu¼ gundan X; B 2 A olmas¬ dikkate al¬n¬rsa B 2 E elde edilir. (ii) Key… A 2 E için BnA 2 E oldu¼ gu gösterilmelidir. A 2 E =) A = B \ C; C2A =) BnA = Bn (B \ C) =) BnA = B \ (B \ C)t =) BnA = B \ (B t [ C t ) =) BnA = (B \ B t ) [ (B \ C t ) =) BnA = (B \ C t ) gerçeklenir. C t 2 A oldu¼ gu dikkate al¬n¬rsa BnA 2 E elde edilir. (iii) 8n 2 N için An 2 E olsun. An 2 E =) An = B \ Cn ; Cn 2 A 1 1 [ [ =) An = (B \ Cn ) n=1 n=1 ! 1 1 [ [ =) An = B \ Cn n=1 olur. 1 [ n=1 edilir. n=1 Cn 2 A oldu¼ gu dikkate al¬n¬rsa E s¬n¬f¬n¬n tan¬m¬ndan Dolay¬s¬yla E s¬n¬f¬B kümesi üzerinde 7 cebirdir. 1 [ n=1 An 2 E elde SORU 9: B herhangi bir küme olmak üzere A := fA s¬n¬f¬X üzerinde X: A B Xg cebir midir? ÇÖZÜM 9: (i) B = X al¬n¬rsa A s¬n¬f¬n¬n tan¬m¬ndan X 2 A d¬r. (ii) Key… A 2 A kümesini dikkate alal¬m. B = X al¬n¬rsa At X X Bt X gerçeklenir. O halde At 2 A sa¼ glan¬r. (iii) 8n 2 N için An 2 A olsun. An 2 A =) An =) B 1 [ An X, B B X X n=1 olup 1 [ n=1 An 2 A sa¼ glan¬r. O halde A s¬n¬f¬X üzerinde cebirdir. SORU 10: A sabitlenmiş bir küme olmak üzere A := B s¬n¬f¬X üzerinde X: A X veya A B Bt X cebir midir? ÇÖZÜM 10: (i) X 2 A oldu¼ gu tan¬mdan aç¬kt¬r. (ii) Key… B 2 A olsun. Bu durumda A olaca¼ g¬ndan B t 2 A gerçeklenir. 8 B X veya A X (iii) 8n 2 N için Bn 2 A olsun. Buradan A Bn X veya A Bnt 1 1 1 [ [ [ olaca¼ g¬ndan A Bn X veya A Bnt X sa¼ glan¬r. Yani, Bn 2 A n=1 n=1 n=1 d¬r. Dolay¬s¬yla A s¬n¬f¬X kümesi üzerinde 9 cebirdir.