1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi

1. Metrik Uzaylar ve
Topolojisi
Euclidean R uzayının tabanının
B = {(a, b) : a, b ∈ R}
olduğunu biliyoruz. Demek ki bu uzayda belirleyiçi unsur açık aralıklar. Her
açık aralık (a, b) için,
d : R × R → R+ , d(x, y) = |x − y|
olmak üzere,
(a, b) = (x0 − , x0 + ) = {x ∈ R : d(x, x0 ) < }
olacak biçimde > 0 ve x0 ∈ R vardır. Bu durumda
(a, b) = Bd (x0 , )
yazarız. O halde
B = {Bd (x, ) : x ∈ R, > 0}
dır. R üzerinde tabanı B olan topolojinin özellikleri, aşağıda tanımlanan d
fonksiyonunun aşağıdaki özellikleri ile birebir ilişkilidir.
(i) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y
(ii) d(x, y) = d(y, x)
(iii) d(x, y) ≤ d(x, y) + d(y, z)
Bu bölümde yukarıdaki üç koşulu sağlayan ve tanım kümesinde R yerine X
alarak tanımlanan d fonksiyonunun ürettiği topolojiyi tanımlıyarak temel özelliklerini vereceğiz.
1.1. Metrik ve Metrik Topolojisi
1.1
3
Metrik ve Metrik Topolojisi
Aşağıdaki tanımla başlayabiliriz.
Tanım 1.1. Boş kümeden farklı X kümesi üzerinde tanımlı gerçel değerli
d : X → R fonksiyonu, her x,y, z ∈ X için aşağıdaki özellikleri sağlıyor ise,
d’ye metrik denir.
(M1) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.
(M2) d(x, y) = d(y, x)
(M3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
(X, d) ikilisine metric uzayı denir.
Tanımda geçen (M 3) özelliğine üçgen eşitsizliği denir. Bu eşitsizliği sağlayan
f : X → R fonksiyonu, her x,y, z ∈ X için
|f (x, y) − f (x, z)| ≤ sup{d(y, z), d(z, y)
dir. Ayrıca d metriği için, x,y, z ∈ X olmak üzere
|d(x, y) − d(x, z)| ≤ d(y, z).
sağlanır.
Metrik uzaylar ile ilgili bilinen metrik örnekleri alıştırmalar kısmındadır. En
temel ve mütevazi metrik örneği ise tartışılmaz bir şekilde aşağıdakidir.
Örnek 1.1. d : R × R → R, d(x, y) = |x − y| olarak tanımlanan fonksiyon bir metriktir.
R’de tanımlı sınırlı açık ve kapalı aralık kavramı aşağıdaki gibi genellenebilir.
Tanım 1.2. (X, d) bir sözde metrik uzay olmak üzere, x ∈ X ve r > 0 verilsin.
x merkezli ve r yarıçaplı
(i) açık küre: B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r}
(i) kapalı küre: B[x, r] = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r}
olarak tanımlanır.
Aşağıdaki teoremden de anlaşılacağı üzere açık küre kavramı önemlidir.
Teorem 1.1. (X, d) bir sözde metrik uzay olmak üzere, X üzerinde
B = {B(x, r) : x ∈ X, r > 0}
bir topoloji tabanıdır. Tabanı bu olan topolojiye d tarafından üretilen metric
topoloji denir.
4
1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi
Kanıt: ∪x∈X,r>0 B(x, r) = X olduğu açık. z ∈ B(x, s) ∩ B(y, r) verilsin.
t = min{s − d(x, z), r − d(y, z)}
olmak üzere,
B(z, r) ⊂ B(x, s) ∩ B(y, r)
sağlanır. Bu kanıtı tamamlar.
τ , X üzerinde d metriği tarafından üretilmiş topoloji ise,
T = {U ⊂ X : ∀x ∈ U ∃r > 0
such that B(x, r) ⊂ U }
olduğu açıktır.
Tanım 1.3. Topolojisi metrik topoloji olan topolojik uzaya metrikleşebilir
topolojik uzay ya da denir.
d : X × X → R metrik olsun. X kümesinin boş kümeden farklı her alt
kümesi için d|A×A , A kümesi üzerinde bir metrik olduğundan, aşağıdaki teoremin kanıtı barizdir.
Teorem 1.2. Metrikleşebilir topolojik uzayın topolojik altuzayı metrikleşebilir
uzaydır.
Metrikleşebilir topolojik uzayın temel özelliklerinden birisi Hausdorff olmasıdır.
Teorem 1.3. Metrikleşebilir topolojik uzay T2 -uzayıdır.
Kanıt: (X, τ ), d metriği tarafından üretilen topolojik uzay olsun. x,y ∈ X,
x 6= y verilsin.
r=
d(x,y)
3
diyelim. r > 0 ve
B(x, r) ∩ B(y, r) = ∅
sağlanır. Açık küreler açık, x ∈ B(x, r) ve y ∈ B(y, r) olmamsından kanıt
tamamlanır.
(X, d) metrik uzay olmak üzere her x ∈ X’nın A ⊂ X kümesine olan uzaklığı
d(x, A) := inf{d(x, a) : a ∈ A}
olarak tanımlanır. Her x, y ∈ X ve A ⊂ X için
1.1. Metrik ve Metrik Topolojisi
5
|d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y)
eşitsizliği sağlanır. Bu eşitsizlik sonucu, A ⊂ X için,
f : X → R, f (x) = d(x, A)
olarak tanımlanan fonksiyon,
|f (x) − f (y)| ≤ d(x, y)
eşitsizliğini sağlar. Bu noktodan sonra f ’nin sürekli olduğunu göstermek zor
değildir. Bu gözlem sonucu, metrikleşebilir bir topolojik uzayda bir kümenin
kapalı olması için gerekli ve yeterli koşulun, o kümenin R’nin kapalı bir altkümesin
sürekli bir fonksiyon altındaki ters görüntüsü olmasıdır. Daha açık bir söylem
ile:
Teorem 1.4. τ , X üzerinde d metriği tarafından üretilmiş topoloji olsun. Her
A ⊂ X için
A = {x ∈ X : d(x, A) = 0}
dir.
Kanıt: x ∈ A olsun. > 0 verilsin. d(x, A) > olduğunu varsayalım.
0 < r = d(x, A) − diyelim. B(x, r) ve x’i içerdiğinden,
d(x, a) < d(x, A) − ≤ d(x, a) − elde edilir ki, bu çelişkidir. O halde her > 0 için d(x, a) ≤ dır. Böylece
d(x, a) = 0 elde edilir. Şimde d(x, A) = 0 özelliğinde x ∈ X seçelim. > 0
verilsin. d(x, a) < özelliğinde a ∈ A seçebiliriz. Yani
B(x, ) ∩ A 6= ∅
dır. Böylece x ∈ A dır. Kanıt tamamlanır.
Metrik uzay kavramı aşağıdaki gibi genellenebilir. Ancak bu kavramların detaylarına girilmeyecektir.
Tanım 1.4. d : X ×X → R+ fonksiyonu verilsin. (M 1), (M 2) ve (M 3) metrik
uzayı tanımında geçen aksiyomlar olmak üzere, d’ye
(i) sözde mertik : (M 2) ve (M 3) koşulları ve her x ∈ X için d(x, x) = 0
özelliği sağlanıyor ise,
(i) simetrik mertik : (M 1) ve (M 2) sağlanıyor ise,
6
1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi
(i) yarı mertik1 (Wilson (1931)) : (M 1) ve (M 3) sağlanıyor ise.
Örnek 1.2.
(i) sözde metrik metrik olmayabilir: X, [0, 1]’den R’ye tanımlı integrallenebilir fonksiyonların kümesi olsun.
R1
d(f, g) = 0 |f (x) − g(x)|dx
olarak tanımlanan d fonksiyonu sözde metrik fakat metrik değildir.
(i) yarımetrik metrik olmayabilir: d : R × R → R+ fonksiyonu
d(x, y) =
x−y
−1
x≥y
x<y
olarak tanımlansın. d yarımetrik fakat metrik değildir.
(i) simetrik metrik olmayabilir: d : R × R → R+ fonksiyonu
d(x, y) = |xy| + |x| + |y|
simetrik fakat metrik değildir, gerçekten
d(1, 2) 6≤ d(1, 0) + d(0, 2)
(X, d) sözde metrik uzay ise, metrik uzayda olduğu gibi,
B = {{x : d(x, y) < ρ} : x ∈ X, r > 0}
X üzerinde bir topolojik tabandır. Tabanı bu olan topolojik uzaya sözde
metrik topoloji denir. Sözde metrik uzayın T2 -uzay olması gerekmez. Diğer
taraftan sözde metrik topolojik uzayın T2 -olması için gerekli ve yeterli koşul,
sözde metriğin metrik olmasıdır.
Alıştırmalar
1.3. En az iki elemanlı bir X kümesi üzerinde tanımlı en kaba topolojinin metrik olmayan
sözde metrik topoloji olduğunu gösteriniz.
1.4. Bir X kümesi üzerinde tanımlı en ince topolojinin bir metrik topolojisi olduğunu gösteriniz.
1.5. Sözde metrik topolojisinin bir metrik topoloji olması için gerekli ve yeterli koşulun
Hausdorff olması gerektiğini gösteriniz.
1.6. X boçkümeden farklı bir küme olmak üzere, her f : X → R fonksiyonu için,
df : X → R,
df (x, y) = |f (x) − f (y)|
olarak tanımlanan fonksiyon bir sözde metriktir. Bu metrik tarafından belirlenen topolojiyi tanımlayınız. Bu sözde metriğin bir metrik olabilmesi için f üzerindeki gerekli ve
yeterli koşulu belirleyiniz.
1.7. d : X × X → R bir sözde metrik olsun.
i.) x ≡ y ⇐⇒ d(x, y) = 0 ilişkisi bir denklik bağlantısıdır.
ii.) x ∈ X’nin denklik sınıfı [x] ile gösterilsin. Y = {[x] : x ∈ X} olmak üzere,
p : Y × Y → R,
bir metrik tir.
1
quasi metric
p([x], [y]) = d(x, y)
1.1. Metrik ve Metrik Topolojisi
7
1.8. (X, d) bir metrik uzay olsun. X × X’den R’ye aşağıdaki fonksiyonlar tanımlansın.
p(x, y) = min{d(x, y), 1}
ve
q(x, y) =
d(x, y)
.
1 + d(x, y)
i.) p ve q’nun metrik olduğunu gösteriniz.
ii.) d, p ve q metriklerinin aynı topolojiyi ürettiğini gösteriniz.
1.9. Bir X kümesi üzerinde tanımlı d ve p metriklerinin denk olması,
md(x, y) ≤ p(x, y) ≤ M d(x, y),
x, y ∈ X
özelliğinde m, M > 0 gerçel sayılarının var olmasıdır. d ve p metrikleri denk ise, bunlar
tarafından üretilen metrik topolojilerin eşit olduklarını ancak tersinin doğru olmadığını
gösteriniz.
d(x,y)
(Kanıt: d metriıgi sınırlı olmayan metrik olsun. p : X × X → R, p(x, y) = 1+d(x,y)
olarak tanımlanan metrik ile d metriğinin topolojilerinin aynı olmalarına karşın denk
değillerdir.)