lys limit ve süreklilik konu özetli çözümlü soru bankası

LYS
LİMİT VE
SÜREKLİLİK
KONU ÖZETLİ
ÇÖZÜMLÜ
SORU BANKASI
ANKARA
İÇİNDEKİLER
Limit Kavramı ve Grafik Soruları.........................................................................1
Limitle İlgili Bazı Özellikler ..................................................................................7
Genişletilmiş Reel Sayılarda Limit..................................................................... 12
Bileşke Fonksiyonun Limiti................................................................................ 14
Mutlak Değer Fonksiyonun Limiti.................................................................... 16
Parçalı Fonksiyonların Limiti............................................................................. 20
Trigonometrik Fonksiyonların Limiti............................................................... 25
0
0
Belirsizliği........................................................................................................ 30
3
3
Belirsizliği........................................................................................................ 36
Bazı Özel Belirsizlikler........................................................................................ 42
Sonsuz Geometrik Dizilerin Limiti................................................................... 50
Süreklilik............................................................................................................... 58
Genel Tekrar 15 Test............................................................................................ 66
SOLDAN VE SAĞDAN YAKLAŞIM
c
lim f (x) = lim+ f (x) = L
x " a-
b
x"a
x"a
x
a
lim f (x) = b
a’ya
x " a-
a’ya
soldan yaklaşım
f(x)
●● Soldan limit, sağdan limite eşit değilse fonksiyonun x = a noktasında
limiti yoktur.
a
y
O halde lim f (x) = L
●● a bir reel sayı olsun.
3.
●● Soldan limit, sağdan limite eşitse
fonksiyonun x = a noktasında limiti
vardır.
●● Limit kelime anlamı olarak sınır, uç
nokta demektir.
LİMİT TANIMI VE GRAFİK SORULARI
LİMİT
sağdan yaklaşım
lim f (x) = c
x " a+
●● b ! c olduğundan
(a– ile gösterilir) (a+ ile gösterilir)
f(x) fonksiyonunun x = a noktasında limiti yoktur.
GRAFİK ÜZERİNDE LİMİT KAVRAMI
lim f (x) yoktur.
x"a
1.
ÖRNEK – 1
f(x)
a = 6 olsun.
5
5,3 5,5 5,8 5,9
soldan yaklaşım
6,01 6,1 6,5 6,6 7
Burada a = 6 sayısına sağdan azalan değerlerle, soldan artan değerlerle yaklaşım
olmaktadır.
SOLDAN VE SAĞDAN LİMİT
f(x)
f(x)
c
sağdan yaklaşım
y
y
8
x
a
B İ D E R S YAY I N C I L I K
4
4.
b
6
lim f (x) = b
x " a-
lim f (x) = b
x " a+
O halde; lim f (x) = b
x"a
c
d
B İ D E R S YAY I N C I L I K
y
b
x
a
lim f (x) = b
x " a-
lim f (x) = c
x " a+
●● b ! c olduğundan
f(x) fonksiyonunun x = a noktasında limiti yoktur.
b
a
x
2.
lim f (x) yoktur.
x"a
f(a) = d olması limiti etkilemez.
y
f(x)
b
●● Şekildeki a noktasına soldan artan
değerlerle yaklaşılırsa fonksiyon
artarak b gibi bir noktaya yakınsar.
Bu duruma fonksiyonun soldan
limiti denir.
5.
a
f(x)
b
c
lim f (x) = b
x " a-
lim f (x) = b
x " a-
●● Şekildeki a noktasına azalan değerlerle yaklaşılırsa fonksiyon azalarak c gibi bir noktaya yakınsar.
Bu duruma fonksiyonun sağdan
limiti denir.
y
x
lim f (x) = c
x " a+
lim f (x) = b
a
x " a+
O halde; lim f (x) = b
x"a
lim f (x) = b
x " a-
●● Burada f(x) fonksiyonunun x = a
noktasında tanımlı olmaması limiti
etkilemez.
x
lim f (x) = b
x " a+
lim f (x) = b
x"a
f(a) = c olması limiti etkilemez.
1
3.
y
1.
5.
y
y
2
2
1
1
–6 –5
–2
–1
1
3
5
1
x
x
–5
–2
1
–3
A) lim f ` x j = 3
Yukarıda grafiği verilen f(x) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi
yanlıştır?
x"3
B) lim f ` x j = - 1
x"0
C) lim-f ` x j = 1
A) lim f (x) = 2
x"5
x"3
D)
B) lim+ f (x) = 2
A) 4 B) 3 C) 5 D) 2 E) 6
x"1
C)
x
Grafiği verilen f(x) fonksiyonu için
aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
–3
Buna göre f(x) fonksiyonunun
(–6, 5) aralığındaki kaç tam sayı
değeri için limiti yoktur?
5
–1
–1
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
3
lim f ` x j = 0
x " - 2+
E) lim-f ` x j = 1
lim f (x) = 2
x"1
x " - 1-
D) lim f (x) = - 3
x"0
lim f (x) = 2
B İ D E R S YAY I N C I L I K
x " - 1+
B İ D E R S YAY I N C I L I K
E)
6.
4.
y
3
y
2
4
3
1
–2
2.
y
–3
–1
4
x
Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun (–3, 4) aralığındaki kaç tam
sayı değeri için limit vardır?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 3
1. A
4
5
x
Yukarıda f(x) fonksiyonunun grafiği
verilmiştir.
Yukarıda grafiği verilen f(x) fonksiyonu için
2
2. B
x
–2
2
Buna göre
a= lim f ` x j
x"1
I.
x "-2
II.
x"5
III. lim f ` x j = 0
b= lim +f ` x j
c= lim-f ` x j
d= lim-f ` x j
lim f ` x j = 3
x " - 2x"0
ifadelerinin hangileri doğrudur?
x"0
olduğuna göre a+b+c+d toplamı
kaçtır?
A) 4 B) 3 C) 9 D) 12 E) 5
3. E
lim f ` x j = 2
x " - 2+
4. C
A) Yalnız I
B) I ve II
C) I ve III
D) I, II ve III
E) II ve III
5. E
6. D
3
AÇIK UÇLU SORULAR
1.
lim ` x 2 - 6x - 7j
5.
x "-3
ifadesinin değeri kaçtır?
lim
x"2
x10 - 4 2x
8x - x4
9.
m"y
g"u
olduğuna göre k nın pozitif değeri
kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
(20)
lim k + lim k 2 + lim `- 6j = 0
h"x
(16)
(2)
lim f (x) = 5
2.
3x - 1
lim e
o
x " 1+ x - 2
6.
lim
x "-1
ifadesinin değeri kaçtır?
x"3
g ( x) = 4
olduğuna göre
x"2
ifadesinin değeri kaçtır?
lim f
x"
1
2
2x + 2
p
x
7.
x "-1
`3m + 1j x3 - 2x 2 + mx - 3
4nx 2 - 6x + 2
x+ 3
x- 5
p
7
e - o
2
8.
lim
x " 12
k+ x+4
x-3+2
=2
olduğuna göre k kaçtır?
lim (x - 1) (x - 2) (x - 3) = a
11.
x"5
lim (3 - x) (4 - x) (5 - x) = b
x "-2
=1
olduğuna göre m + n toplamı kaçtır?
10
x" 5- 3
f
15
p
f 3
`2 + 2 2 j
lim
lim
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
4.
(6)
(26)
B İ D E R S YAY I N C I L I K
3.
B İ D E R S YAY I N C I L I K
x " e2
ifadesinin değeri kaçtır?
lim 82f (x + 1) + g (x - 3)B
(–2)
1
lim eln x 2 - ln x o
10. (16)
olduğuna göre a . b çarpımı kaçtır?
(7!)
12. a > 0 olmak üzere
lim
x"a
1
1
= lim
x2 - 9 x " 3 x2 - 4
olduğuna göre a kaçtır?
` 14 j
SÜREKLİLİK
SÜREKLİLİK
ÖRNEK – 3
●●
f : A → R ve a d A olsun.
f(x)
●● f fonksiyonunun x = a noktasında
sürekli olması için
lim f ` x j = lim-f ` x j = f `aj
a
x"a
x " a+
Z
] x-a , x > 2
]
]
f (x) = [ 10
, x=2
]
]] 2
2x - b , x = 2
\
fonksiyonu x = 2 noktasında sürekli olduğuna göre a.b çarpımı kaçtır?
y
olmalıdır.
x
b
f(x), (a,b) aralığında süreklidir.
●● Yani fonksiyonun sağdan limiti soldan limiti ve x = a noktasındaki görüntüsü birbirine eşit olmalıdır.
●●
y
ÇÖZÜM
f(x)
f(x) fonksiyonu x = 2 noktasında sürekli
olduğu için
a
ÖRNEK – 1
5
3
Buna göre f(x) fonksiyonunu (–4, 5) aralığında sürekli olduğu ve süreksiz olduğu tam sayı değerlerini bulunuz.
ÇÖZÜM
Süreklilik
Süreksizlik
Noktaları
Noktaları
–3
0
–2
1
–1
3
2
B İ D E R S YAY I N C I L I K
Yukarıda f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
●● Limit konusunda, uç noktalardaki
limit değeri hesaplanırken sadece
sağdan ve soldan limite bakılacağını hatırlayın. Bundan dolayı
x
lim f ` x j = f `aj
ÖRNEK – 4
lim f ` x j = f `b j
x " b-
f ve g fonksiyonları x = a noktasında
sürekli ve g(a) ] 0 olmak üzere
●● (f + g)(x) , x = a da süreklidir.
●● (f – g)(x) , x = a da süreklidir.
●● (f.g)(x) , x = a da süreklidir.
4
Z x + 10
]
, x>0
]] x 2 - 16
f ( x) = [
2x
]
, xG0
] 2
x
x-6
\
olduğuna göre f(x) fonksiyonu x in kaç
farklı değeri için süreksizdir?
ÇÖZÜM
Paydayı sıfır yapan değerlerde fonksiyon süreksizdir.
●● x2 – 16 = 0 denkleminin çözümünden
Z
] sin 2x , x ] 0
] x
f ( x) = [
]]
a+3 , x = 0
\
fonksiyonu x = 0 noktasında sürekli olduğuna göre a kaçtır?
ÇÖZÜM
58
lim f (x) = lim- f (x) = f (0)
x"0
x " 0+
lim
x " 0+
sin 2x
sin 2x
x = xlim
x = a+3
" 0-
2 = a+3
a =-1
●● (fog)(x) , x = a da sürekli de olabilir
süreksiz de olabilir. Bu yüzden kesin bir şey söylenemez.
x = 4 ve x = –4 bulunur.
x > 0 olduğundan sadece x = 4 için fonksiyon süreksizdir.
f
●● e g o (x) , x = a da süreklidir.
ÖRNEK – 2
a = –8 ve b = –2 bulunur.
O halde a.b = (–8).(–2) = 16
x " a+
olduğundan f(x) uç noktalarda süreklidir.
x"2
2 – a = 2.22 – b = 10
B İ D E R S YAY I N C I L I K
1
lim f (x) = lim-f (x) = f (2)
x " 2+
olmak zorundadır.
f(x), [a, b] aralığında süreklidir.
y
–4
b
x
●● x2 – x – 6 = 0 denkleminin çözümünden
x = 3 ve x = –2 bulunur.
x G 0 olduğundan sadece x = –2 için fonksiyon süreksizdir.
x = 0 kritik nokta olduğu için fonksiyonun sürekli olup olmadığına bakalım.
●● Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır
yapan değerler
●● Çift dereceli köklerde kökün içerisini sıfırdan küçük yapan değerler
●● loga f (x) şeklindeki denklemlerde
f (x) G 0 yapan değerler süreksizlik
noktalarıdır.
lim e
x + 10
10
o =16
x 2 - 16
lim e
2x
o=0
x2 - x - 6
x " 0+
x " 0-
Sağ limit sol limite eşit olmadığı için
x = 0 noktası da süreksizlik noktasıdır.
AÇIK UÇLU SORULAR
1.
f`xj =
2x - 5
x - mx + 4
2
4.
fonksiyonu her x reel sayısı için
sürekli olduğuna göre m nin alacağı tam sayı değerleri kaç tanedir?
(7)
Z
] x + 3 , x >-3
] x+5
f`xj = [
]]
2x + 6 , x G - 3
\
fonksiyonunun sürekli olduğu en
geniş aralık nedir?
7.
f(x) = Ix2 – 6x – 14I
fonksiyonu için aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
(R)
I. x = –2 de süreksizdir.
II. x = 6 da süreksizdir.
III. Reel sayılarda süreklidir.
3.
Z sin x
]
, x>0
] x
]]
f`xj = [ a + 2 , x = 0
]
]b - 2
, x<0
]
x-1
\
fonksiyonu R de sürekli olduğuna
göre a.b çarpımı kaçtır?
62
(11)
(–1)
Z
] 3x + 7 , x 2 0
] 2
x -9
f`xj = [
]]
- 2x , x G 0
\
f(x) fonksiyonu x in kaç farklı değeri için süreksizdir?
(2)
8.
f`xj =
9-x
x-1
9.
6.
f ` x j = log
fonksiyonunun sürekli olduğu tam
sayı değerleri toplamı kaçtır?
B İ D E R S YAY I N C I L I K
5.
B İ D E R S YAY I N C I L I K
2.
Z
x <-2
] a - 3x ,
]
]
f ` x j = ]3a - b , - 2 G x < 1
[
]
] x+1 ,
xH1
] 2
\
fonksiyonu R de sürekli olduğuna
göre a – b kaçtır?
(Yalnız III)
f`xj =
(35)
x-2
x+1
g ` x j = 2x 2 - 3
fonksiyonları veriliyor.
x4 + 2
x + 2x + a + 1
3
fonksiyonu x = 1 noktasında süreksiz olduğuna göre a kaçtır?
Buna göre (fog)(x) fonksiyonunu
süreksiz yapan kaç farklı değer
vardır?
(–4)
(2)
13. n n
e o.e o
4 2
lim
n"3
17. n n
n
e o.e o.e
o
3 1 n-2
x"7
sin ` x 2 - 49j
21. a ve b gerçel sayılardır.
x 4 - 49 2
lim
x"3
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
A) 2 B)
lim
A)
1
1
C) 0 D) 3 E)
4
2
1
98
B)
D) 0
1
9
`3a - 12j x 4 + `2b - 4j x - 10
`b + 1j x 4 - ax + 3x + 4
2a – b = 0
C) 49
olduğuna göre a + b toplamı kaçtır?
E) 3
A) 10
B) 0
D) –3
lim
x " 125
18. x -5
x -5 5
limitinin değeri kaçtır?
B)
53 5
2
C) 6 3 5
E)
15. 3
2 5
6
D) 3
5 5
cos 2x + 3 sin x - 1
cos x - sin 3x - 1
22. lim
x "-2
C) –15
E) 12
x5 + 32
x+2
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
A) 1 B) 2 C) –2 D) –1 E) 0
A) 64 B) 28 C) 42 D) 80 E) 16
2
3 5
B İ D E R S YAY I N C I L I K
A)
2
lim
x"0
2- x
lim
x"4
4
ln x
B İ D E R S YAY I N C I L I K
14. 3
=3
19. limitinin değeri kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 4 D) 0 E) 3
lim
m"n
32m 2 - 32n 2
8 tan . `m - nj
23. lim
x"3
4x 2 - x + 7 + 3x
5 + 2x + x 2 - 2x + 5
limitinin değeri kaçtır?
= 3n + 10
A)
olduğuna göre n kaçtır?
5
2
B) 3 C) D) 1 E) 0
7
3
A) 0 B) 1 C) 10 D) 2 E) 7
24. 16. lim
x"2
2x cos e
3rx
o+ 4
2
20. x-2
14. E
15. A
10
lim 2x. ln e1 + x o
A) -
x "+3
limitinin değeri kaçtır?
A) –1 B) –2 C) 0 D) 4 E) –4
13. E
x + 1 - 2x - 2
x- 3
fonksiyonunun x = 3 için limiti aşağıdakilerden hangisidir?
limitinin değeri kaçtır?
48
f`xj =
16. B
3
2
D) 0
A) e B) 20 C) 1 D) 0 E) 3
17. A
18. D
19. D
20. B
B) 8 3 21. C
22. D
23. A
E)
C) 1
1
3
24. A
1.
f`xj =
1.
4x + 7
x-2
fonksiyonunun sürekli olduğu en
geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?
A) R–
1.
1
–2
–1
1
0
C) R+
B) R
D) {2}
y
2
3
x
–1
E) R – {2}
Z
] sin 2 4x
, x>0
]
] tan 2 2x
f`xj = [
] x3 - x + a
, xG0
]]
2a + 1
\
fonksiyonu x = 0 noktasında sürekli olduğuna göre a kaçtır?
A) 0
Yukarıdaki verilen f(x) fonksiyonunun (–3, 4) aralığında; süreksiz
olduğu noktaların apsisler toplamı
a, (–3, 4) aralığındaki tam sayılarda
var olan limitler toplamı b olduğuna göre a + b toplamı kaçtır?
B) D) –1
4
7
E)
C) 2
13
40
A) –3 B) 4 C) –1 D) 2 E) 3
2.
y
f(x)
10
f (x) = *
2x + a , x > 3
2-a , x G 3
fonksiyonu reel sayılarda sürekli
olduğuna göre a kaçtır?
A) 2 B) –2 C) 3 D) 4 E) –4
2.
x3 - 1
I. f ` x j =
II. f ` x j =
III. f ` x j =
x2 + 1
sin ` x 2 - 9j
x2 - 4
x2 - 4
x-2
Yukarıdaki fonksiyonlardan hangileri reel sayılar kümesinde süreklidir?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) Yalnız III
D) I ve II
B İ D E R S YAY I N C I L I K
2.
B İ D E R S YAY I N C I L I K
1
x
5
Yukarıda f(x) fonksiyonunun grafiği
verilmiştir.
Buna göre aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri x = 2 noktasında
süreklidir?
I.
II.
III.
E)I, III
f`xj
f ` x + 2j
f ` x - 1j
f ` x + 3j
f ` x - 3j
f ` x - 1j
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve II
D) Yalnız III
E) I, III
3.
3.
64
Zx-k
]
, x>0
] x+1
f (x) = [
]x+6 , x G 0
]x-2
\
fonksiyonu reel sayılarda sürekli
olduğuna göre k kaçtır?
Z
] x - 2 , x 2 10
]
f`xj = [
]] 4 - x , x G 10
\
fonksiyonunun süreksiz olduğu
kaç farklı nokta vardır?
A) 5 B) 4 C) 3 D) 1 E) 2
A) 10 B) 3 C) 9 D) 3 E) 1
1. E
2. B
3. C
3.
1. D
2. A
3. E
Z
x+1
, x<2
]
]
]
f`xj = [ m - 1 - 7 , x = 2
]
]]
m .k
, x>2
\
f(x) fonksiyonunun x = 2 noktasında sürekli olması için k nın alacağı
değerler çarpımı kaçtır?
A)
3
55
B)
D) 1
1. B
2
21
C) –4
E) 0
2. A
3. A
12
1.
lim =`13j
x"3
5-x
+ (7) x - a + 2G = 5
4
4.
olduğuna göre a kaçtır?
A) 2 B) 1 C) 0 D) –2 E) –1
Z
]4 + x , x <-1
f (x) = ]
[
]] x + 1 , x H - 1
2
\
fonksiyonu veriliyor.
Buna
7.
lim + ` fof j` x j
göre
y
–3
f(x)
2
6
x
x "-1
limitinin değeri kaçtır?
A)
1
2
B) 1 C) 3 D) 4 E)
2
3
Yukarıda verilen y = f(x) fonksiyonun (–3, 6) aralığında sürekli olduğu x tam sayı değerlerinin toplamı
kaçtır?
A) 30 B) 25 C) 10 D) 15 E) 20
f ( x) = *
x2 + 1 , x < 2
1-x , x > 1
g (x) = *
1+x , x G 1
fonksiyonları veriliyor.
Buna göre lim ` fogj` x j limitinin
x"4
değeri kaçtır?
5.
lim
y "-1
y+2+y
2y + 2
limitinin değeri kaçtır?
A)
1
4
B)
D)
1
2
5
4
C)
E)
3
2
3
4
B İ D E R S YAY I N C I L I K
B İ D E R S YAY I N C I L I K
2.
x2 - 1 , x H 2
8.
A) (–4, 4)
9.
6.
3.
lim
x " 2-
2-x
-
x-2
limitinin değeri kaçtır?
A) 0 B) 1 C) 4 E) 3 E) 5
1. D
2. A
xk - 1
=3
x"1 x - 1
lim
3. C
C) b
Belirli bir yükseklikten yere bırakılan
bir top yere her çarpışında bir önceki
yüksekliğinin %60 ı kadar yükseliyor.
limitinin değeri kaçtır?
Buna göre topun duruncaya kadar
düşeyde aldığı yol 80 olduğuna
göre top başlangıçta kaç metre
yükseklikten bırakılmıştır?
A) 13 B) 15 C) 17 D) 12 E) 16
A) 40 B) 35 C) 30 D) 25 E) 20
olduğuna göre
x+3
B) R–{0}
D) [4, 12) E) (–2, 4)
A) 10 B) –5 C) 0 D) 7 E) –9
x2 - 4
Z
] sin 8x , x ] 0
] 2x
f ( x) = [
]]
-5 , x = 0
\
fonksiyonunun sürekli olduğu en
geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?
4. A
5. E
lim `k 2 + 3k - 5j
x " - 75
6. A
7. C
8. B
9. E
77