8. SAYISAL TÜREV ve İNTEGRAL

8. SAYISAL TÜREV ve İNTEGRAL
=Değişimin matematiği
Mühendisler değişen sistemler ve süreçlerle sürekli
olarak uğraşmak zorunda oldukları için türev ve
integral kavramları mesleğimizin temel araçları
arasındadır.
t
x
Bağımlı değişkenin / bağımsız değişken
X
t
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
1
Türev Tanımı:
(matematikte),
fark (difference) yaklaşımı idi
• Diferansiyel, farkları belirlemek, ayırmak anlamına gelir
f ( xi  x)  f ( xi )
f

x
x
f ( xi  x)  f ( xi )
f ( x)
f ' ( x) 
 lim
x
x
x 0
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
2
Mühendislikte türev
•Mühendislikte bir çok yasa ve genelleştirme,
fiziksel dünyada karşılıkları olan değişimlerin
tahmin edilmesi esasına dayanmaktadır.
•Newton’un ikinci yasası temel bir örnek olup, bir cismin konumuyla
değil, konumunun zamana göre değişimiyle ilgilenmektedir
v= dX/dt
•Isı geçişleri, sıcaklık farkına bağlı olarak, akım yasası potansiyel farkına
bağlı olarak ifade edilir.
• Benzer şekilde, L,C elemanlarının uç denklemleri;
dvc
d iL
VL=L
, ic=C
dt
dt
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
3
İntegral Tanımı
 Yüksek matematikte diferansiyelin
ters işlemi; integraldir
Birleştirme, biraraya getirme, toplama(sum)
f(x)
f(xi)dx
Sum [ f(x)dx dilimleri ]
S
200
 f (x)dx
f(xi)dx
0
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
4
Mühendislikte integral: (fonksiyonuneğrinin altında kalan alan)
(a)
(b)
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
(c)
5
8.1) Sayısal Türev
8.1.1. İki noktalı basit türev yaklaşımları
a) Geri Fark Yaklaşımı
f ' ( xi ) 
f(xi )
f(xi -h)
f ( xi )  f ( xi  h)
f

x
h
(8.4)
Geri Fark Formülü
h= x
xi -h
xi
Şekil.8.2. Geri Fark Yaklaşımı
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
6
8.1.1. İki noktalı basit türev yaklaşımları
a) İleri Fark Yaklaşımı
f ' ( xi ) 
f(xi +h)
f(xi )
f ( xi  h)  f ( xi )
f

x
h
(8.5)
İleri Fark Formülü
h= x
xi
xi+h
Şekil.8.3. İleri Fark Yaklaşımı
b) Merkez Fark Yaklaşımı
x  2h
f(xi +h)
f(xi )
f(xi -h)
f ' ( xi ) 
h
xi-h
(8.6)
Merkez Fark Formülü
h
xi
f ( xi  h)  f ( xi  h)
f

x
2h
xi+h
Şekil.8.4. Merkez Fark Yaklaşımı
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
7
Örnek: y=x2 işlevinin x=2’deki türevini h=0.1 kullanarak
her üç yöntemle yaklaşık olarak bulunuz.
a) İleri fark yöntemiyle
2
f (2  0.1)  f (2) 2.1  2 2
f ' 2 

 4.1
0.1
0.1
b) Geri fark yöntemiyle
2
2
f (2)  f (2  0.1) 2  1.9
f ' 2 

 3.9
0.1
0.1
c) Merkez fark yöntemiyle
2
f (2  0.1)  f (2  0.1) 2.1  1.9 2
f ' 2 

4
0.2
0.2
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
8
8.1.2. Taylor Serisi yardımıyla
çok noktalı türev yaklaşımları
 İki noktalı türev yaklaşımları
h1 f ' ( xi ) h 2 f ' ' ( xi )
h n f n ( xi )
f ( x i  h)  f ( x i ) 

 .................................
1!
2!
n!
-4
+
h1 f ' ( xi ) h 2 f ' ' ( xi )
f ( x i  h)  f ( x i ) 

1!
2!
f ( x i  2h) 
1
2

2h  f ' ( x) 2h  f ' ' ( x)
f (x ) 

i
1!
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
2!
9
İki noktalı türev yaklaşımları : Taylor serisi için ileri fark yöntemi
+
h 2 f ' ' ( xi )
 4 f ( xi  h)  4 f ( xi )  4hf ' ( xi )  4
2
4h 2 f ' ' ( x )
f ( xi  2h)  f ( xi )  2hf ' ( xi ) 
2
1
f ' ( xi ) =  3 f ( xi )  4 f ( xi  h)  f ( xi  2h)
2h
veya kısaca
1
f i' =
 3 f i  4 f i 1  f i  2
2h


Taylor serisi için ileri fark formülü
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
10
b) Aynı işlemler, geriye (xi-1 noktasına ) doğru yapılırsa
fi+2
fi+1
fi
fi-1
fi-2
h
xi-2 xi-1
h
xi
xi+1
xi+2
Şekil.8.5. Taylor Serisi yardımıyla iki noktalı türev yaklaşımları
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
11
İki noktalı türev yaklaşımları : Taylor serisi için geri fark yöntemi
 h  f ' ( x i )  h 
1
f (x i  h)  f (x i ) 
f ( x i  2h) 
1!
f ' ' (x i )
2!
1
2

 2h  f ' ( x)  2h  f ' ' ( x)
f (x ) 

i
1!

1
fi =
 3 f i  4 f i 1  f i  2
2h
'

2
2!

Taylor serisi için geri fark formülü
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
12
Üç noktalı türev yaklaşımları
Taylor serileri 3. dereceden kuvvetlerine kadar açılarak ve yine taraf tarafa yok etme işlemleri
kullanılarak 1. 2. ve 3. dereceden türevleri yaklaşık olarak bulunabilir. Buradan

f i' =
1
 11 f i  18 f i 1  9 f i  2  2 f i 3
6h
f i '' =
1
2 f i  5 f i 1  4 f i  2  f i 3
h2
f i ''' =
1
 f i  3 f i 1  3 f i  2  f i 3
h3

(8.15)


(8.16)


(8.17)
Ödev: Taylor serisine açarak bu denklemleri ispatlayın
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
13
Örnek: f(x)=ex-2 işlevinin x=2 noktasındaki
yaklaşık türevini gördüğümüz yöntemlerle
bulunuz. ( h=0,1 Analitik çözüm: f ' (2)  e 22  1 )
Çözüm:
 İki noktalı ileri farkla çözüm
f i  f 2  e 22  1
f i 1  f 2  0,1  e 2.12  e 0.1  1.105179 ,
f i' =


f i  2  f 2  0,2  e 2.22  e 0.2  1.22140

1
1
 3 *1  4 *1,105179  1.22140 =0.9964
 3 f i  4 f i 1  f i  2 olduğundan, f i ' =
2h
2 * 0.1
Basit ileri farkla çözüm;
f (2,1)  f (2) e 0.1  e 0
f i 2  =

 1,0517
h
0.1
'
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
14
Örnek (devam)

İki noktalı geri farkla çözüm
f i  f 2  e 22  1
f i 1  f 2  0,1  e1.92  e 0.1  0,90483 ,
f i' =


1
 3 f i  4 f i 1  f i  2
2h

f i 2  f 2  0,2  e1.82  e 0.2  0.81873
olduğundan, f i ' =
1
3 *1  4 * 0,90483  0.81873 =0.99705
2 * 0.1
Basit geri farkla çözüm;
f (2)  f (1,9) e 0  e 0.1 1  0,90483
f i 2  =
 0,9516


0. 1
h
0.1
'
Merkez farkla çözüm;
f (2,1)  f (1,9) e 0,1  e 0.1 1,10517  0,90483
f i 2  =
 1,001


0.2
h
0.2
'
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
15
8.2) Sayısal İntegral
f(x)=T
x= t
Şekil.8.6. Bir sisteme ait 1’er dakika aralıklarla alınmış ayrık sıcaklık verileri
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
16
2
Örnek:

0

2  cos 1  x
3/ 2
1  0.5 sin x
e
0.5 x
dx
f(x)
x
0.25
0.75
1.25
1.75
f(x)
2.599
2.414
1.945
1.993
x
0
0.25
0.75
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
1.25
1.75
17
8.2.1. Basit İntegral Yaklaşımları
Alt Değer Yaklaşımı
f (x)
f (xi+h)
f(xi)
xi  h
 f x dx  I
A
 f xi h
xi
xi
xi+h
x
Şekil.8.8. Alt Değer Yaklaşımı
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
18
Üst Değer Yaklaşımı
Orta Nokta Yaklaşımı
f (x)
f (x)
f (xi+h)
f(xi)
xi
xi  h

xi
f(xi )
xi+h
x
f x dx  I Ü  f xi  h h
xi
f(xi+h/2 )
xi+h/2
f (xi +h)
xi +h
h

I Ü  f  xi  h
2

Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
19
x
8.2.2. Newton-Cotes Formülleri
b
b
a
a
f n  x  =ao+a1x+........anxn
I   f x dx   f n x dx
8.2.2.1. Trapez (Yamuk) Kuralı
b,f(b)
f1(x)
doğrusal interpolasyon
a, f(a)
b

I= [f(a)+ f (b)  f (a ) ( x  a )]dx
ba
f1 x = f(a)+
f (b)  f (a )
( x  a)
ba
I=(b-a)* f (b)  f ( a )
2
a
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
20
Trapez (Yamuk) Kuralı
f (x)
f (b)
f(a)
I=Taban * ortalama yükseklik
I=(b-a)* f (b)  f ( a )
a
Taban
b
x
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
2
21
Trapez kuralı’nın tekli uygulaması

Örnek:
f(x) = 0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5
işlevinin x=0’dan 0.8’e kadar trapez kuralı ile
integralini alın.
(İntegralin analitik çözümü:1.640533)
f(x)
-
Çözüm: İşlevin verilen noktalardaki değerleri;
2.0f(0)=0.2, f(0.8)=0.232 bulunur . Eşitlikte yerine koyulursa 0
I=(b-a)* f (b)  f (a)  0.8 0.2  0.232  0.1728 bulunur.
2
Hata
2
-
Hata
Et=1.640533-0.1728=1.467733
.
0.8 x
İntegral Tahmini
Sonuç %89.5 bağıl hatayla bulunmuştur.
Şekil.8.12.
Aralığın büyük seçilmesi sonucu
integral hatası(Chapra S.,Canale,R., 2003)
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
22
Trapez kuralı’nın çoklu uygulaması
fn
fn-1
h
I1= ( f o  f 1 ) ,
2
f2
h
I2= ( f 1  f 2 )
2
f1
f0
I1
x0
I2
x1
I=I1+I2+................In Burada
h
1980’lerde Türkçemize giren deyim; “toplanıp Voltranı
oluşturmak”
x2....... xn-1
xn
Şekil.8.13. Çoklu uygulamalarda trapez kuralı
h
I= ( f o  f1  f1  f 2  f 2  f 3  ............... f n  2  f n 1  f n 1  f n )
2
n 1
h
I= ( f o  f n  2 f k )
2
k 1
Trapez kuralının çoklu uygulaması için genelleştirilmiş formül
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
23
Örnek:
Kalbin pompaladığı kan debisini ölçmek için kullanılan standart teknik, Hamilton tarafından geliştirilen
indikatör seyrelmesidir. Küçük bir sondanın bir ucu radyal bir atardamara sokulur ve diğer ucu kan içindeki
boyanın (indikatör) derişikliğini otomatik olarak kaydedebilen bir yoğunluk ölçere bağlanır. Bilinen miktarda
boya (5.6 mg) hızlı bir şekilde enjekte edilir ve Tablo’daki veriler alınır.
M
C=
* 60 , Burada C kalp debisi [L/dakika],
A
M=enjekte edilen boya miktarı (mg),
60=dakikayı saniyeye çeviren katsayı (s/dakika)
ve A= eğrinin (Analistler tarafından düzeltilmiş
haliyle!) altında kalan alandır ((mg/L)*s).
Derişim
Boya seyrelmesinde elde edilen bu sonuçların grafiği Şekil’de görülmektedir. Derişim 15 sn civarında en yüksek
değere ulaşmakta, daha sonra düşmektedir ve bu düşüşü yeniden dolaşan boya nedeniyle bir artış izlemektedir.
Yeniden dolaşımın etkisini gözardı etmek için
analistler derişim eğrisini düz bir doğru şeklinde
10
fD(t)
uzatırlar. Bu durumda derişim ( fD(t) ): t=23.
9
saniyede 1.1, t=25. saniyede 0.9, t=27. saniyede
8
0.45 ve t=29. saniyede 0 olmaktadır. Daha
7
sonra kalp çıktısı (cardiac output) şöyle
6
5
hesaplanabilmektedir;
4
3
2
1
0
-1 0
5
10
15
20
25
30
35
Enjeksiyon Sonrası Zaman (s)
Şekil.
t1=5. ile t13=29. saniyeler arasında, 2s adım
büyüklüğüyle, trapez kuralınının çoklu uygulamasını kullanarak bu hastanın kalp debisini hesaplayın.
n 1
h
(Trapez formülü : I= (f 1  f n  2 f k ) )
2
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
k 2

Hab,Kocaeli Ün.,2007
24
40
Çözüm:adım büyüklüğü h=2 sn
n 1
h
f k ) idi.
I= (f 1  f n  2
2
k 2

 f1= f(5)=0, f2= f(7)=0.1, f3= f(9)=0.11, f4= f(11)=0.4,
f5= f(13)=4, f6=f(15)=9, f7=f(17)=7.9, f8=f(19)=4.1,
f9=f(21)=2.2, f10=f(23)=1.1, f11=f(25)=0.9,
f12=f(27)=0.45,
fn= f13=f(29)=0
29
12
2
fk )
5 f D (t)dt  A  I  2 (f1  f13  2
k 2
= 0+0+2*(0.1+0.11+0.4+4+9+7.9+4.1+2.2+1.1+0.9+0.45) =60.52 mg/L
5.6 mg
M
Debi : C  * 60 
* 60 s / dakika  5.55188 L/dk
A
60.52 (mg / L) * s
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
25
Soru:a) Aynı veriler ve yöntemi kullanarak kalp debisini hesaplayacak bir
bilgisayar algoritması oluşturun.
a)
İlk Değerleri Ata
b) ve programını yazın
M, n,h, Toplam
Yoğunlukölçerden alınıp düzeltilen
tüm verileri gir f1……..fn
Toplam=Toplam+f(k)
E
k=2
k  (n  1) ?
k=k+1
H
b)
( n 1)
f
k
= Toplam
k2
h
A   f1  f n  2 *
2 
( n 1)
f
k2
k




C=(M/A)*60
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
26
8.2.2.2.Simpson Kuralları
f(x)
f(x)
x
Şekil.8.14.
2. dereceden polinom
x
Şekil.8.15. 3. dereceden polinom
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
27
Simpson’un 1/3 Kuralı
b
b
a
a
I   f x dx   f 2 x dx
x2, f(x2)
x3, f(x3)
x1, f(x1)
a=x0, b=x2’dir. x1 ise a ve b’nin ortasındaki nokta
f 2 x  2. Dereceden Lagrange İnterpolasyon Polinomu
 x  x1 x  x 2 

x  x0 x  x2 
x  x0 x  x1 
I  
f ( x0 ) 
f ( x1 ) 
f ( x 2 )dx
x0  x1 x0  x2 
x1  x0 x1  x2 
x2  x0 x2  x1 

xo 
x2
h
I   f x0   4 f ( x1 )  f ( x 2 )
3
ba
h= 2
I  (b  a )

Taban
 f x0   4 f ( x1 )  f ( x2 )
6 

Ortalama yükseklik
Simpson’un 1/3 Kuralı (İkinci Newton Cotes İntegral Formülü)
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
28
Simpson’un 1/3 Kuralının Tekli Uygulaması:

Örnek: f(x)=0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5 işlevini a=0’dan b=0.8’e kadar
Simpson’un 1/3 kuralıyla sayısal olarak integre edin. (İntegralin tam
değeri:1.640533 idi)
Çözüm: f(0)=0.2,
I  0.8
f(0.4)=2.456, f(0.8)=0.232 ‘dir. Integral değeri
0.2  4(2.456)  0.232)  1.367467
6
Bu değer yamuk yöntemiyle çözüme göre daha doğru bir sonuç bulmuştur.
Et=1.640533-1.367467=0.2730667, yüzde bağıl hatası %16.6’dır.
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
29
Simpson’un 1/3 Kuralının Çoklu Uygulaması:
h=
ba
n
I=I1+I2+................In
h
I=  ( f o  4 f1  f 2 )  ( f 2  4 f 3  f 4 )  ...............( f n 2  4 f n 1  f n ) 
3
( n2) / 2
n/2

 f 0  f n  4 f 2i 1  2  f 2i
i 1
i 1
I= b  a 

3n








I  (b  a )

Taban
 f x0   4 f ( x1 )  f ( x2 )
6 

Ortalama yükseklik
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
30
Örnek: : f(x) = 0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5 işlevinin a=0’dan b=0.8’e kadar
Simpson’un 1/3 kuralını kullanarak n=4 aralık için integre edin.
(İntegralin tam
değeri:1.640533 idi)
Çözüm: n=4, h=(0.8-0)/4=0.2
f(0)=0.2
f(0.2)=1.288
f(0.4)=2.456
f(0.6)=3.464
f(0.8)=0.232
x0=0, x1=0.2, x2=0.4, x3=0.6, x4=0.8
 0.2  0.232  4(1.288  3.464)  2(2.456) 
I  0.8
  1.623467
12


Et=1.640533-1.623467=0.017067. Bağıl yüzde hatası %1.04 bulunur.
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
31
İlk Değerleri Ata
n, b, a, h, ToplamTekler=0,
ToplamÇiftler=0, f0
Program Algoritması
h=0.2 aralıklarla tüm noktalarda sırayla
fonksiyonun aldığı değerler bulunur
f1, f2.........fn= f(0.2)........f(0.8)
E
i=1
i  n?
i=i+1
H
Tek x sayıları için fonksiyonların aldığı
değerlerin toplamını bul
ToplamTekler=ToplamTekler+f(i)
E
i  n / 2?
i=1
i=i+1
H
n/2

f 2 i 1
=Toplam Tek Sayılar
i 1
Çift x sayıları için fonksiyonların aldığı
değerlerin toplamını bul
ToplamCiftler=ToplamCiftler+f(i)
E
i  ( n  2) / 2 ?
i=1
i=i+1
H
(n2) / 2

i 1
Simpson’un 1/3 kuralının
çoklu uygulaması için örnek algoritma
f 2i =
Toplam Çift Sayılar
( n  2) / 2
n/2

 f 0  f n  4 f 2i 1  2  f 2i
i 1
i 1
I  b  a 

3n


Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007






32
Program Kodları
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
33
Simpson’un 3/8 Kuralı
Diğer iki yöntemin türetilmesine benzer şekilde, üçüncü dereceden bir Lagrange polinomu
dört noktadan geçirilebilir ve integrali alınacak f(x) işlevi yerine kullanılabilir.
b
b
a
a
I   f x dx   f 3 x dx
Üçüncü dereceden Lagrange polinomunun integrali;
3h
 f 0  3 f1  3 f 2  f 3 
8
veya
I
Simpson’un 3/8 kuralı (3. Newton Cotes integral formülü):
 f  3 f1  3 f 2  f 3 
I  b  a  0

8


Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
34
Sayısal Türev ve İntegralin Elektrik-Elektronik Mühendisliğinde Uygulamaları
Bir periyot boyunca salınan bir elektrik akımının ortalama değeri sıfır olabilir. Örneğin
akımın basit bir sinüsle tanımlandığını varsayalım: i(t)=sin(2  /T). Burada T periyottur. Bu
işlevin ortalama değeri aşağıdaki eşitlikle hesaplanabilir.
 2 
sin
0  T dt  cos(2 )  cos 0
0
i=
=
T
T 0
T
Burada net sonucun sıfır olması gerçeğine karşın, bu akım bir iş yapabilir ve ısı üretebilir.
Ortalama değeri sıfır olsa da bu tür etkilerinden dolayı etkili veya etkin akım değeri olarak
adlandırılır. Bu nedenle elektik mühendisleri bu tür bir akımı genellikle aşağıdaki eşitlikle
tanımlarlar. (RMS: Roots of mean square:karesel ortalamanın karekökü) :
T
1 2
IRMS=
i (t ) dt
T 0
Burada i(t): t anındaki anlık akımdır.
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
35
Ödev: T=1sn için şekilde görülen dalganın etkin akımını trapez ve Simpson 1/3 kurallarıyla 4
~
aa
aralık için bulun. Bağıl yüzde hatayı bulun. (Gerçek değer 15.41261, % r 
)
a
i
0
0
t  T / 2 için
t 

i(t)=10e-t/Tsin  2
,
T

T /2<t  T için i(t)=0.
T/4
T/2
t
Şekil.8.18. Yarım periyot için sinüzoidal akım işareti
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
36
Ödev.2.
Şekilde değişimi verilen akımın etkin değerini Simpson’un 1/3 integral formülünü kullanarak h=  / 6 adımı ile
hesaplayınız. Burada akım; şekilden de görüldüğü gibi  / 3 ve katlarında periyodik olarak başlayan (iletime
geçen), genliği 1.45A, periyodu T  2 olan sinüzoidal bir işarettir. Dolayısıyla taralı bölgeler simetrik ve
alanları eşittir.
n  2  / 2
n/2

 f 0  f n  4 f 2i 1  2
f 2i

i 1
i 1
A=(b-a) 
3n




T
1 2
ietkin=
i ( x ) dx ,
T0





ba
,h=
, Radyan= Derece*  )

n
180



i(x)
1.45
0
4 / 3
/3
2

x (rad)
-1.45
Soruyu çözecek a) algoritmayı oluşturun b) programı yazın.
Serhat YILMAZ, Elektronik ve
Hab,Kocaeli Ün.,2007
Kaynaklar
•
Müh. İçin Say. Yöntemler, CAPRA,S ve
diğ., Literatür Yayınları
•
Sayısal Çözümleme,Aktaş Z., ODTÜ
Yayınları
•
Applied Num. Analysis, Gerald,C.F. ve
diğ. Addison Wesley Pub.
•
Sayısal Çözümleme Ders Notları,
Bilgin, M.Z., Kocaeli Ün., Elektrik
Müh. Bölümü
37