Hatırlatma Toplamsallık ve Çarpımsallık Özelliği Teorem: (Toplamsallık) Lineer direnç elemanları+Bağımsız kaynaklar 1. Grup bağımsız kaynaklar 2. Grup bağımsız kaynaklar 1. Grup bağımsız kaynaklar devrede, 2. grup bağımsız kaynaklar devre dışı iken devre çözülsün i1,v1 2. Grup bağımsız kaynaklar devrede, 1. grup bağımsız kaynaklar devre dışı iken devre çözülsün i2 ,v2 Devrede tüm bağımsız kaynaklar varken ki çözüm Teorem: (Çarpımsallık) iT i1 i2 , vT v1 v2 Lineer direnç elemanları+Bağımsız kaynaklar i, v var iken devre çözülsün Lineer direnç elemanları+Bağımsız kaynakların değeri k katına çıkarılsın ve devre çözülsün ~ i ki v~ kv ~~ i ,v Thevenin (1883) ve Norton (1926) Teoremleri Amaç: Lineer, zamanla değişmeyen çok uçlu, iki uçlu dirençlerden ve bağımsız akım ve gerilim kaynaklarından oluşmuş bir N 1-kapılısının basit bir eşdeğerini elde etmek. Thevenin Eşdeğeri: RTH i + N 1-Kapılısı v _ + _ i + VTH v _ RTH + _ RTH i + v VTH _ Thevenin eşdeğer direnci Devredeki tüm bağımsız kaynaklar devre dışı iken 1-1’ uçlarından görülen eşdeğer direnç VTH Açık devre gerilimi 1-1’ uçları açık devre iken 1-1’ uçları arasındaki gerilim Thevenin Teorem: N 1-kapılısının uçlarına i değerinde bir akım kaynağı bağlandığında tüm i değerleri için tek çözümü varsa ( tek v değeri belirlenebiliyorsa) Thevenin eşdeğeri vardır. Norton Eşdeğeri: i + N 1-Kapılısı v _ i + iN GN v _ i GN Norton eşdeğer iletkenliği + iN GN v _ Devredeki tüm bağımsız kaynaklar devre dışı iken 1-1’ uçlarından görülen eşdeğer iletkenlik iN Kısa devre akımı 1-1’ uçları kısa devre iken 1-1’ uçlarındaki akım Norton Teorem: N 1-kapılısının uçlarına v değerinde bir gerilim kaynağı bağlandığında tüm v değerleri için tek çözümü varsa ( tek i değeri belirlenebiliyorsa) Norton eşdeğeri vardır. • Thevenin Eşdeğeri: v(t ) RTH i(t ) vTH (t ) N kapılısı akım kontrollü değilse Thevenin eşdeğeri yok • Norton Eşdeğeri: i(t ) GN v(t ) iN (t ) N kapılısı gerilim kontrollü değilse Norton eşdeğeri yok • • RTH 0, v 0 GN 0, i 0 vTH (t ) RTH 0, Norton eşdeğeri yok RTH i (t ) G 0, Thevenin eşdeğeri yok vTH (t ) N N GN iN (t ) v (t ) v (t ) v (t ) vTH iN i (t ) iN i (t ) i (t ) vTH Sonuç: • Lineer, zamanla değişmeyen direnç ve bağımsız kaynaklardan oluşmuş N 1-kapılısı akım kontrollu ise bağlı bulunduğu devrenin çözümünü etkilemiyecek şekilde Thevenin eşdeğeri ile ifade edilir. •Lineer, zamanla değişmeyen direnç ve bağımsız kaynaklardan oluşmuş N 1-kapılısı gerilim kontrollu ise bağlı bulunduğu devrenin çözümünü etkilemiyecek şekilde Norton eşdeğeri ile ifade edilir. Eleman Tanım Bağıntıları f R (v, i, t ) 0 v i fC (v, q, t ) 0 q i q v f m ( , q, t ) 0 memristor endüktans Kapasite direnç f L ( , i, t ) 0 Ø Direnç Elemanı: v ve i arasında cebrik bağıntı ile temsil edilen eleman Endüktans Elemanı: Ø ve i arasında cebrik bağıntı ile temsil edilen eleman Kapasite Elemanı: v ve q arasında cebrik bağıntı ile temsil edilen eleman Memristor Elemanı: Ø ve q arasında cebrik bağıntı ile temsil edilen eleman 2-uçlu Kapasite ve Endüktans Elemanları Lineer ve Zamanla Değişmeyen Kapasite Endüktans di (t ) dt d (t ) di (t ) L dt dt dv(t ) dt dq (t ) dv(t ) C dt dt i (t ) C v(t ) L Zamanla Değişmeyen Lineer olmayan ve zamanla değişenleri ifade edebilmek için akı ( ) ve yük (q ) kullanılır: t q(t ) ˆ i ( )d t [C] (t ) ˆ v( )d [Wb] L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York Kapasite f C ( q, v ) 0 yük kontrollü v vˆ( q ) gerilim kontrollü q qˆ (v) qˆ (v ) türetilebilir bir fonksiyon ise dq d (qˆ (v)) dv ˆ i dt dv dt dv C (v) ˆ dqˆ (v) i C (v ) dv dt Endüktans f L ( , i) 0 akı kontrollü i iˆ( ) akım kontrollü ˆ(i ) ˆ(i ) türetilebilir bir fonksiyon ise d d (ˆ(i )) di ˆ v dt di dt dˆ(i ) di v L(i ) L(i ) ˆ di dt Kapasite Lineer Zamanla Değişmeyen Endüktans Lineer Olmayan Zamanla Değişmeyen L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York Kapasite Lineer Zamanla Değişen q(t ) C (t )v(t ) dv(t ) dC (t ) i (t ) C (t ) v(t ) dt dt q(t ) (2 sin t )v(t ) C (t ) 2 sin t Endüktans (t ) L(t )i(t ) v(t ) L(t ) di (t ) dL(t ) i (t ) dt dt (t ) (2 sin t )i(t ) L(t ) 2 sin t di (t ) dv(t ) v ( t ) ( 2 sin t ) (cos t )i (t ) i (t ) (2 sin t ) (cos t )v(t ) dt dt L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York Zamanla Değişmeyen Lineer Kapasite ve Endüktans Elemanlarının Özellikleri Kapasite Bellek Özelliği t 1 v(t ) i ( )d C v (t ) sadece i (t ) ‘ye değil, i ( ) ‘nun t aralığındaki tüm geçmiş değerlerine de bağlı t0 t v(t0 ) 1 v(t ) v(t0 ) i ( )d , t t0 Ct 0 Endüktans t 1 i (t ) v( )d L i (t ) sadece v (t ) ‘ye değil,v ( ) ‘nun t aralığındaki tüm geçmiş değerlerine de bağlı t0 i (t0 ) t 1 i (t ) i (t0 ) v( )d , t t0 Lt 0 v(t0 ) ilk koşul, geçmiş i ( ) , t v(t0 ) ilk koşul, geçmiş v ( ), t değerlerinin v (t ) ‘ye etkisini veriyor. değerlerinin i (t ) ‘ye etkisini veriyor. Kapasite Süreklilik Özelliği iC (t ), [ta , tb ] aralığında sınırlı değerler alıyorsa, kapasite gerilimi vC (t ), (ta , tb ) aralığında sürekli bir fonksiyondur. ta T tb vC (T ) vC (T ) Endüktans vL (t ), [ta , tb ] aralığında sınırlı değerler alıyorsa, kapasite gerilimi iL (t ) , (ta , tb ) aralığında sürekli bir fonksiyondur. ta T tb iL (T ) iL (T ) L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York Kayıpsızlık Özelliği Tanım: (Enerji) [t1, t2 ] aralığında bir elemana aktarılan toplam enerji w(t1, t2 ) [Joules] ‘dur. t2 w(t1, t2 ) ˆ v(t )i (t )dt t1 Kapasite Yük kontrollü kapasite elemanına ilişkin enerji kapasite gerilimi veya yük fonksiyonundan bağımsızdır. t1 ve t 2 anlarındaki yük değerleri ile belirlenir. t2 dq wC (t1, t2 ) v(q) dt dt t 1 wC (q1, q2 ) q2 v(q)dq Endüktans Akı kontrollü endüktans elemanına ilişkin enerji endüktans akımı veya akı fonksiyonundan bağımsızdır. t1 ve t 2 anlarındaki akı değerleri ile belirlenir. t2 d wL (t1, t2 ) i ( ) dt dt t 1 wL (1, 2 ) vC ( q ) q C i( )d 1 q1 Örnek: 2 iL ( ) L sonuç Kapasite Periyodik bir fonksiyon ile uyarıldığında, yük kontrollü kapasiteye ilişkin enerji bir peryod boyunca sıfırdır 1 1 2 WC (Q ) Q CV 2 2C 2 Bir kapasiteden alınabilecek maksimum enerji miktarı Endüktans Periyodik bir fonksiyon ile uyarıldığında, yük kontrollü kapasiteye ilişkin enerji bir peryod boyunca sıfırdır 1 2 1 WL ( ) LI 2 2L 2 Bir endüktanstan alınabilecek maksimum enerji miktarı 1. Mertebeden Lineer Devreler RTH iC vC vTH E.T.B+KGY dvC iC C CvC dt vC vTH vC RTH C RTH C E.T.B+KAY GN vL iL iN diL LiL dt i i iL L N GN L GN L vL L Durum Denklemleri, Kalman (1960) x ax bu, x(0) x0 L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York 1. Mertebeden Diferansiyel Denklem Çözümü x ax dx ax dt x(0) x0 x (t ) C t dx adt x 0 Inx (t ) InC at x(t ) In at C x(t ) Ceat t x (0) Cea 0 x(t ) eat x0 x ax u x(0) x0 varsayım: x(t ) S (t )e at d ( S (t )e at ) a ( S (t )e at ) u(t) dt dS(t) at at aS (t )e e aS (t )e at u(t) dt t