1. Dizisel Topolojik Uzaylar

1. Dizisel Topolojik Uzaylar
Topolojik uzay teorisinin temel motivasyon kaynağının metrik uzaylar olduğunu
söylemiştik. Bir X metrik uzayının A altkümesinin kapanışının
A = {x : ∃f ∈ AN ,
f → x}
olduğunu biliyoruz. Bu gözlem sonucu hangi tür X topolojik uzayında her
A ⊂ X için
A = {x : ∃f ∈ AX ,
f → x}
olduğunu sorgulamak ve bu özellikteki topolojik uzayları sınıflamak ya da
çercevesini belirlemek anlamlıdır. Bu bölümde bu tür sorular etrafında dolaşacağız.
1.1. Dizisel Topolojik Uzaylar
1.1
3
Dizisel Topolojik Uzaylar
X bir topolojik uzay ve U ⊂ X verilsin. U ’nın açık küme olması için gerekli
ve yeterli koşulun X \ U ∩ U = ∅ olması gerektiği hemen hemende barizdir.
Bunu net terimiyle ifade edecek olursak: U ’nın açık olması için gerekli ve
yeterli koçul, X \ U ’da, U ’nın bir elemanına yakındayacak netin olmamasıdır.
Bu betimlede ”net yerine dizi alınabilir mi?” sorusu anlamlıdır. Bu soru bizi
aşğıdaki tanımı vermeye yönlendirir.
Tanım 1.1. X bir topolojik uzay ve A ⊂ X verilsin. A kümesinin dizisel
kapanışı
sclA = {x ∈ X : ∃f ∈ AN , f → x}
olarak tanımlanır.
Bir X topolojik uzayında her A ⊂ X için
A ⊂ scl(A) ⊂ A
ve
Ao ⊂ X \ (scl(X \ A)) ⊂ A
olduğu açıktır. Bu kapsamaların eşit olma durumları aşağıdaki gibi tanımlanır.
Tanım 1.2. X bir topolojik uzay ve A ⊂ X verilsin. A kümesine:
i.) A = scl(A) ise dizisel kapalı,
ii.) A = X \ (scl(X \ A)) ise dizisel açık
denir.
Bir topolojik uzayda: kapalı küme dizisel kapalı ve açık küme dizisel açıktır.
Bir A kümesinin dizisel açık olması için gerekli ve yeterli koşul, limiti A’da olan
X \ A’de bir dizinin olmamasıdır.
Tanım 1.3. (X, τ ) topolojik uzay olsun. Her A ⊂ X için,
A = scl(A)
ise X’e Frechet-Uryshohn uzayı denir.
Örnekler
1.1. Metrikleşbilir topolojik uzaylar Frechet-Uryshon uzayıdır.
Tanım 1.4. Bir topolojik X uzayında her açık küme dizisel açık ise X’e
dizisel topolojik uzay (yada dizisel uzay) denir. Dizisel uzayın topolojisine
dizisel topoloji denir.
4
1. Dizisel Topolojik Uzaylar
Her topolojik uzay dizisel topolojik uzay değildir. Bununla ilgili örnekler aşağıda.
Örnekler
1.2. X sayılamaz bir küme olsun.
τ = {A ⊂ X : X \ A
sayılabilir},
X üzerinde bir topolojisdir. Bu topolojik uzayın en ince topolojiden farklı olduğu bariz.
X’nin dizisel topolojik uzay olmadığını göstermek için X’nin her alt kümesinin dizisel açık olduğunu göstermek yeterlidir. A ⊂ X alt kümesi verilsin. A’nın dizisel açık
olmadığını varsayalım. xn → y ∈ A özelliğinde X \ A kümesinde (xn ) dizisi vardır.
B = {X \ {xn : n ∈ N}) ∪ {y}
kümesi açık ve y ∈ B dir. Buradan her n ≥ n0 için xn ∈ B olacak biçimde n0 ∈ N vardır
ki, bu çelişkidir. Böylece X’nin her alk kümesi dizisel açıktır. Dolayısıyla X topolojik
uzayı dizisel topolojik uzay değildir.
1.3. w1 ilk sayılamaz ordinal olmak üzere,
[0, w1 ] = {α : α
ordinal ve
α ≤ w1 }
tam sıralı kümeyi sıra topolojik uzay olarak ele alacak olursak, bu uzayda {w1 } dizisel
açık olmasına karşın açık değildir. Dolayısıla [0, w1 ] sıra topolojik uzayı dizisel topolojik
uzay değildir.
Q
1.4. I sayılamaz bir küme ve {0, 1} en ince topolojik uzay olmak üzere X = i∈I {0, 1}
çarpım uzayını ele alalım.
X = {χA : A ⊂ I}
olarak yazalim.
Y = {χA : A ⊂ I,
sayılamaz}
kümesinin açık olduğunu göstermek zor değildir.
χAn → χA ∈ Y
olsun. Bu durumda A ⊂ ∪n An dir. A sayılamaz olduğundan en az bir n ∈ N için An
sayılamaz kümedir. Bu bize
χAn → χA ∈ Y
özelliğinde X \ Y ’de (χAn ) dizisinin olmayacağını söyler. O halde Y , dizisel açıktır.
Böylece X dizisel topolojik uzay değildir.
Bir X bir topolojik uzayın her noktasının sayılabilir açık tabanı var ise X’e
birinci dereceden sayılabilir denildiğini hatırlılayalım.
Teorem 1.1. Birinci dereceden toplojik uzay Frechet-Uryshohn uzay ve Frechet Uryshon topolojik uzay, dizisel topolojik uzaydır.
Kanıt: X birinci dereceden sayılabilir topolojik uzay olsun. {Un : n ∈ N},
X’nin sayılabilir tabanı olsun. Her n için Un+1 ⊂ Un olduğunu varsayabiliriz.
A ⊂ X verilsin. sqc(A) ⊂ A olduğunu biliyoruz. x ∈ A verilsin. Her n ∈ Niçin
xn ∈ Un ∩A seçebiliriz. f (n) = xn olarak tanımlanan f dizisi A’da dır ve f → x
dir. Buradan scl(A) = A elde edilir ki, X’nin Frechet-Uryhson uzay olduğu
gösterilmiş olur. Şimdi X’nin Frechet-Uryhson uzay olduğunu varsayalım. U ⊂
X dizisel açık olsun. Buradan
1.1. Dizisel Topolojik Uzaylar
5
U = X \ sqc(X \ U ) = X \ X \ U = (X \ (X \ U ))o = U o
elde edilir. Yani, U açıktır. X’nin dizisel açıl olduğu gösterilmiş olur.
Teorem 1.2. X bir topolojik uzay olsun. Aşağıdakiler dekntir.
i.) X Frechet-Uryshohn uzayıdır.
ii.) X’nin her altuzayı diziseldir.
Kanıt: (i) =⇒ (ii): Bunun doğru olmadığını varsayalım. Yani X’nin bir Y alt
uzayı dizisel olmasın. Yanı, bir A ⊂ Y altkümesi dizisel kapalı fakat Y uzayında
Y
Y
kapalı olmasın, yani A 6= A olsun. w ∈ A \ A seçelim. A, Y uzayında dizisel
kapalı olduğundan, f → w (Y uzayında) olacak biçimde f ∈ AN dizisi yoktur.
Dolayısı ile X uzayında f → w olacak biçimde f ∈ AN dizisi yoktur. Diğer
Y
taraftan w ∈ A ⊂ A ve X Frechet-Uryshohn olduğundan, X uzayında g → w
olacak biçimde g ∈ AN dizisi vardır. Bu çelişkidir.
(ii) =⇒ (i): X Frechet-Uryshohn uzay olmasın.
A 6= scl(A)
olacak biçimde A ⊂ X vardır. X’nin topolojik altuzayı Y = A ∪ {x}’nı gözöne
alalım. Y uzayında Y \ {x} kümesi dizisel kapalı, fakat kapalı değildir. Bu
çelişki nedeniyle X Frechet-Uryshohn uzayıdır.
Alıştırmalar
1.5. Bi topolojik uzayın altkümesinin dizisel açık olması için gerekli ve yeterli koşulun tümleyeninin dizisel kapalı olması gerektiğuini gösteriniz.
1.6. Bir topolojik uzayda bir A kümesinin dizisel açık olmaması için gerekli ve yeterli koşul,
limiti A’da olan X \ A’de bir dizinin olmaması, olduğunu gösteriniz.
1.7. X bir topolojik uzay ve A ⊂ X verilsin. Açağıdakilerin denkliğini gösteriniz.
(i) A dizisel açıktır.
(ii) f → x ∈ A olacak biçimde f ∈ (X \ A)N yoktur.
1.8. Birinci dereceden sayilabilir olmayan Frechet-Urysohn ve Frechet-Urysohn olmayan dizisel topolojik uzay örnekleri veriniz.