stat*st*k ve olasılık ı

İTİCÜ
Mühendislik ve Tasarım
Fakültesi
Endüstri Mühendisliği
Bölümü
İSTATİSTİK VE OLASILIK I
10. Hafta: Örnekleme Teorisi
Öğr. Gör. Berk Ayvaz
2013
Örnekleme Teorisi




1.
2.

Modern istatistiğin en önemli görevi, anakütle parametrelerinin
örneklem değerleri (örnek istatistikleri) yardımıyla tahmin
edilmesine imkan sağlamaktır.
Uygulamada, bütün anakütlenin incelenmesi çoğu zaman mümkün
olmamaktadır.
Bunun yerine söz konusu anakütleden alınan bir rassal örneklemin
incelenmesi yoluna gidilmektedir.
Elde edilen örnek değerlerinin anakütle parametresi yerine
kullanılabilmesi için iki önemli şart vardır.
Anakütledeki her birimin örneğe girme şansının eşit olmasıdır.
Örneğin yeterince büyük olmasıdır.
Bu ikinci şarta göre anakütle büyüdükçe örneğin de büyük tutulması
gerekecektir.
Örnekleme Teorisi




Örnekleme ya iadeli veya iadesiz olur. Çekilen birimin anakütleye
tekrar iade edilmesi halinde iadeli örnekleme, aksi halde iadesiz
örnekleme söz konusudur.
Herhangi bir anakütle birimi, iadeli örneklemede örneğe bir kaç kere
girebileceği halde, iadesiz örneklemede bir kere girer.
Örnekleme ya sınırlı veya sınırsız anakütleler için yapılır.
Örneklemenin iadeli olarak yapıldığı sınırlı bir anakütle sınırsız
kabul edilir.
Örnekleme Teorisi





Bir anakütleden alınan RASSAL örneklerin her
birisi için örnek istatistikleri hesaplandığında
örnek dağılımları ortaya çıkar.
Mesela her bir örneğin ortalaması hesaplanmışsa
elde edilen X dağılımı ortalamaların örnek dağılımıdır.
Aynı şekilde, her örnek için p oranları
hesaplandığında oranların örnek dağılımı elde
edilmiş olur.
İki ayrı anakütlenin karşılaştırılması sözkonusu
olduğunda ise farklarla ilgili örnek dağılımları
ortaya çıkar. Her iki anakütleden alınan nA ve nB
büyüklüğündeki
örneklerin
ortalamaları
hesaplanmış ve bu 𝑋𝐴 ve 𝑋𝐵 değerleri arasındaki
farklar tesbit edilmişse elde edilen dağılım ortalamalar arası farkların örnek dağılımıdır.
Aynı şekilde, bu anakütlelerden alınan örnekler
için oranlar hesaplanmış ve bu oranların
anakütleler itibariyle gösterdikleri farklılıklar
ortaya konulmuşsa elde edilen dağılım oranlar
arası farkların örnek dağılımıdır.
Ortalamaların Örnek Dağılımı








Ortalamaların örnek dağılımının ortalaması anakütle ortalamasının iyi bir
tahmincisidir.
Herbiri n hacimli çok sayıda örneğe ait ortalamaların gösterdiği dağılımın
değişkenliği tek örneğin değişkenliğinden daha az olacaktır.
Ortalamaların örnek dağılımının değişkenliği standart hata terimiyle ifade
edilir.
Aşırı değerlerin etkisinin önemli ölçüde yok edilmesi, ortalamaların örnek
dağılımının değişkenliğini azaltıcı bir faktördür.
Anakütle standart sapması biliniyorsa standart sapma (standart hata),
𝛔𝐱
𝛔𝐱 =
𝐧
𝐧
eşitliği ile hesaplanır. Bu formül n≥ 𝟑𝟎 𝐲𝐚𝐝𝐚 𝐍 ≤ 𝟎. 𝟎𝟓 𝐢𝐬𝐞 𝐤𝐮𝐥𝐥𝐚𝐧ı𝐥ı𝐫.
Standart hata ortalamanın örnekleme dağılımının değişkenliğini gösterir.
Anakütle standart sapması bilinmiyor ve büyük örnek standart sapması,
anakütle standart sapmasının yerine kullanılıyorsa, anakütle standart
hatasının tahmini değeri,
𝐬𝐱
𝐬𝐱 =
𝐧
Ortalamaların Örnek Dağılımı

Sınırlı anakütleden iadesiz örnekleme yapılmışsa ve
yukarıdaki standart hata değerleri



≥ 𝟎. 𝟎𝟓 ise
düzeltme faktörü ile çarpılır.
Standart Z değerleri,
𝑧=

𝑁−𝑛
𝑁−1
𝐧
𝐍
𝑋−𝜇𝑥
𝜎𝑥
formülü ile hesaplanır.
Ortalamaların örnek dağılımında X değerlerinin yerini değerinin yerini
X ve 𝜎𝑥 değerinin yerini 𝛔𝐱 alır.
Bu yüzden herhangi bir X değerinin standart Z değerine
dönüştürmesinde aşağıdaki formül kullanılır.
𝑧=
X−𝜇𝑥
σx
Örnek 1

a)
b)
Şehirlerarası telefon görüşmeleri 𝝁𝒙 = 8 dk ortalama ve 𝝈𝒙 = 2 dk
standart sapma ile normal dağılım göstermektedir. Tesadüfi
olarak 49 şehirlerarası telefon görüşmesi seçildiğinde;
Ortalamaların örnek dağılımının standart hatası ne olur?
Örnek ortalamalarının % kaçı 7.8 dk ile 8.4 dk arasında olur?
Çözüm 1
a)
σx =
b)
𝑍1 =
σx
2
=
= 0.29
49
n
X−𝜇𝑥
𝑍2 =
σx
=
X−𝜇𝑥
σx
7.8−8
0.29
=
=-0.69
8.4−8
0.29
=1.38
Örneklem ortalamalarının 7.8 dk ile 8.4 dk arasında olma ihtimali;
P(7.8≤ 𝑋 ≤ 8.4)=P (-0.69 ≤Z ≤1.38) = 0.2549+0.4162=0.6711
Örnek 2
Türk telekomda çalışan bir operatörsünüz. Uzun mesafeli
telefon görüşmeleri  = 8 dk. &  = 2 dk. İle normal
dağılmakta. Eğer 25 aramalık örnekler seçerseniz örnek
ortalamalarının % kaçı 7.8 & 8.2 dk. arasında olacaktır?
Çözüm
10 2
X 
7.8  8
Z

 .50
 n 2 25
Örnekleme dağılımı
Z
X 

X = .4
n

8.2  8
2
25
 .50
Standart normal dağılım
Z = 1
.3830
.1915 .1915
7.8 8 8.2 X
-.50 0 .50
Z
Örnek 3
Bir sanaayi kuruluşunda çalışanların gündelikleri 800 TL ortalama ve 90
TL standart sapmaya sahiptir. Rasgele seçilen 81 işçinin gündeliklerinin
ortalamasının 810 TL ile 825 TL arasında olma olasılığı nedir?
Çözüm 3
Örnek 4
Bir üreticiye göre rulmanların ömrü ortalaması 36.000 standart sapması 4.000
mil olan bir normal dağılıma uymaktadır. 16 rulman içeren rassal bir
örneklemde ortalama ömür 34.500 mildir. Buna göre rassal seçilen bir
rulmanın ortalama değerde yada daha düşük ömre sahip olma olasılığı nedir?
Çözüm 4
=1-0,9332=0,0668
Merkezi Limit Teoremi
15


Bir populasyon parametresini tahminlemek için şans değişkenleri kullanılır:
Örnek ortalaması, örnek oranı, örnek medyanı…
Örnek hacmi
arttıkça
(n 30) ...
Merkezi Limit Teoremi
Örnekleme dağılışı
normal dağılıma
yaklaşır.
X
Merkezi Limit Teoremi

Evrenin dağılım şekli ne olursa olsun, basit rassal örneklem hacmi
büyüdükçe, X dağılımının örneklem dağılımı normal dağılıma
yaklaşır.
𝝈𝟐
𝒏

Bu dağılımın ortalaması μ, varyansı

Örneklem hacmi n için yeterli büyüklük, kesin olmamakla birlikte
uygulamada n ≥ 30 birim olarak kabul edilmektedir.
Eğer X ortalaması μ ve varyansı 𝜎 2 olan normal dağılımlı bir evrenden
seçilmiş n hacimlik basit bir rassal örneklemin ortalaması ise X ‘nın


′dir.
örnekleme dağılımı ortalaması μ, varyansı
dağılımdır.
X rassal değişkenin dağılımı normal olduğunda;
𝑿𝒊 − 𝝁
𝒁𝒊 = 𝝈
𝒏
𝜎2
𝑛
olan bir normal
Merkezi Limit Teoremi




Eşitliğiyle standart değişkene dönüştürülür.
Böylece, normal dağılımın özellikleri kullanılarak örneklem
aritmetik ortalamasından anakütle aritmetik ortalaması hakkında
bilgi üretmek kolaylaşır.
Normal dağılan bir anakütleden, rassal olarak seçilebilecek
birbirinden farklı n < 30 birimlik mümkün bütün örneklemlerin
𝑥−𝜇
seçildiğini, her örneklem için 𝑋𝑖 leri ve onların
standart
𝑠𝑥
değerlerini hesaplandığını düşünelim.
𝑥−𝜇
Değerler aralığı − ∞ <
< +∞ olan istatistiğin dağılımı (n-1)
𝑠𝑥
serbestlik derecesi (sd = n-1) ile t dağılımı adı verilen sürekli bir
dağılım gösterir ve bu istatistik;
𝒕=

Burada; 𝑺𝑿 =
𝒔
𝒏−𝟏
𝒙−𝝁
𝑺𝑿
şeklinde hesaplanır.
Merkezi Limit Teoremi




t dağılımı ortalaması sıfır olan tek modlu ve simetrik bir
dağılımdır.
Dağılımın şekli standart normal dağılıma benzer fakat değişkenliği
daha büyüktür.
Bu değişkenlik serbestlik derecesi ile ters orantılıdır.
Örneklem hacmi artarken (sd = n-1)büyür, t değerinin
hesaplanmasında 𝑆𝑋 nin kullanılması nedeniyle ortaya çıkan
değişkenlik küçülür ve t dağılımı standart normal dağılıma (z
dağılımına) yaklaşır.
Örnek 5
Otomobil lastiği üreticisi bir fabrikanın yöneticisi ürettikleri lastiklerin
ortalama ömrünü lastiklerin katettiği km olarak tahmin etmek istiyor. Bu
amaçla rassal olarak 100 lastik seçilmiş ve bu lastiklerin ortalama
ömrünün X = 40000 km ve standart sapmasının s=15000 km olduğu tespit
edilmiştir. Yönetim, ürettikleri lastiklerin 35000 Km ömürlü olmasını
planlamıştır.
Bu bilgileri kullanarak;
a) X’ nın örnekleme dağılımının ortalamasını hesaplayınız.
b)
İstenen tahminleme yapılırken işlenebilecek hata nedir?
c) X’ nın standart z değerini hesaplayınız.
Çözüm 5


E (X ) = μ = 4000 km
n= 100 lastik olduğu için standart hata (n≥ 30 birim) anakütle
standart sapması bilinmediği için
SX =

s 15000
=
n
100
= 150 km
hesaplanır. Üretilen lastiklerin tümünün ömrünü yukarıdaki verilere
göre tahminlerken işlenebilecek hata düzeyi 150 km’dir bilgisi elde
edilebilir.
Zi =
X−μ
Sx
40000−35000
=33,3
150
=
Oranların Örnek Dağılımı


Oranların örnek dağılımının ortalaması, anakütle oranına eşittir.
Bir örnekten elde edilen oranı p ve anakütle oranını P ile görterirsek,
oranların örnek dağılımının standart hatasını,
𝛔𝒑 =


eşitliği ile elde ederiz.
Sınırlı anakütlelerde yapılan iadesiz örneklemeler için standart hatanın
düzeltme faktörü ile çarpılması gerekir. Bir örnek oranının standart Z
değeri,
𝒛=

𝑷(𝟏 − 𝑷)
𝒏
eşitliği ile hesaplanır.
𝒑−𝑷
𝑷(𝟏−𝑷)
𝒏
Örnek 6
Büyük bir alış-veriş merkezinde 15 TL’dan alışveriş yapan müşterilerin
%30’unun kredi kartı kullandığı tesbit edilmiştir.
15 TL’dan fazla alışveriş yapan 100 müşteri için oranların örnek dağılımının
standart hatası ne olur?
15 TL’dan fazla alışveriş yapan 100 müşteriden %20 ile %25’inin kredi kartı
kullanması ihtimalini bulunuz.
Çözüm 6
a)
σp =
b)
𝒁𝟏 =
𝒁𝟐 =
P(1−P)
=
n
𝒑−𝑷
𝑷(𝟏−𝑷)
𝒏
𝒑−𝑷
𝑷(𝟏−𝑷)
𝒏
=
=
0.3(1−0.3)
=0.0458
100
𝟎.𝟐−𝟎.𝟑
0.3(1−0.3)
100
𝟎.𝟐𝟓−𝟎.𝟑
0.3(1−0.3)
100
= -2.18
= -1.09
P(0.2 ≤ 𝑋 ≤ 0.25)=P (-2.18 ≤Z ≤-1.09) = 0.4854+0.3621=0.1233
Örnek 7
Bir imalatçı herbiri 100 elektrik ampülünden meydana
gelen 1000 koli ampül gönderiyor. Ampüllerin %95 ’i
sağlam olduğuna göre kolilerin kaç tanesinde,
a) 90 taneden az sağlam ampül
b) 98 veya daha fazla sağlam ampül çıkacağını
hesaplayınız.
Çözüm 7
a)
σp =
P(1−P)
=
n
0.95(1−0.95)
100
=0.0218
100 üründen 90’ı yani p = 0,90 için;
𝒁 =
b)
𝒑−𝑷
𝑷(𝟏−𝑷)
𝒏
=
𝟎.𝟗𝟎−𝟎.𝟗𝟓
0.95(1−0.95)
100
= -2.29
P(𝑍 ≤ −2.29)=0,011
p=0,98 için;
𝒁 =
𝒑−𝑷
𝑷(𝟏−𝑷)
𝒏
=
𝟎.𝟗𝟖−𝟎.𝟗𝟓
0.95(1−0.95)
100
P(𝑍 ≥1.38)=0,0838
= 1.38
Ortalamalar Arası Farkların Örnek Dağılımı

Ortalamalar arasındaki farkın örnek dağılımı sözkonusu olunca dağılımın ortalamasını 𝜇1 − 𝜇2 ve standart hatasını 𝜎𝑥1−𝑥2 ile gösterebiliriz.

σ1 , birinci anakütlenin standart sapmasını; σ2 ise ikinci anakütlenin
standart sapmasını; 𝑛1 birinci anakütle için ömek büyüklüğünü; 𝑛2 ise
ikinci anakütle için örnek büyüklüğünü ifade ederse, ortalamalar arası
farkların ömek dağılımının standart hatası,
𝛔𝐱𝟏 −𝐱𝟐 =
𝒁=
𝛔𝟏 𝟐
𝐧𝟏
+
𝛔𝟐 𝟐
𝐧𝟐
𝑿𝟏 − 𝑿𝟐 − (𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 )
𝝈𝟏 𝟐
𝝈𝟐 𝟐
+
𝒏𝟏
𝒏𝟐
Anakütle varyanslarının
varyansları kullanılır.
bilinmemesi
durumunda
örneklem
Örnek 8
İki farklı un fabrikasında paketlenen standart 1 kg’lık un paketleri test
edilmiş ve birinci fabrikadan alınan 100 paketin ortalaması 1.03 kg, standart
sapması 0.04 kg; ikinci fabrikadan alınan 120 paketin ortalaması 0.99 kg,
standart sapması 0.05 kg bulunmuştur.
a) Anakütle
standart sapmaları bilinmediği için örnek standart
sapmalarından hareketle ortalamalar arası farkın standart hatasını
bulunuz.
b) Ortalamalar arasındaki farkın X1 − X 2 = 0.05 kg’dan fazla olması
ihtimalini bulunuz.
Çözüm 8
a)
σx1 −x2 =
b)
Z=
σ1 2
n1
+
σ2 2
n2
X1 −X2 −(μ1 − μ2 )
σ1 2
n1
+
σ2 2
n2
=
=
0.042
100
+
0.05
=1,17
0.006
0.052
120
= 0.085
Her iki anakütlenin ortalaması 1
kg olduğu için μ1 − μ2 =0 dır.
P[(X1 − X2 ) > 0.05] = P Z > 1,17 = 0,121
Örnek 9



A ve B firmalarının ürettikleri kabloların ortalama kırılma gücü
sırasıyla 200 kg ve 180 kg, standart sapmaları ise 13,5kg ve
9kg’dir. A marka 100 parça kablo ile B marka 50 parça kablo
teste tabi tutulduğunda A’nın ortalama kırılma gücünün B’den;
En fazla 17 kg fazla,
En az 15 kg fazla olma olasılığı nedir?
Çözüm 9
a)
σx1−x2 =
Z=
σ1 2
n1
+
σ2 2
=
n2
X1 −X2 −(μ1 − μ2 )
σ1 2
n1
+
σ2 2
n2
13.52
100
+
17−20
=
1.86
=
92
50
= 1.86
-1.61
P[(X1 − X2 ) ≤ 17] = P Z ≤ −1.61 = 𝟎. 𝟎𝟓𝟑𝟕
b)
Z=
X1 −X2 −(μ1 − μ2 )
σ1 2
n1
+
σ2 2
n2
15−20
=
1.86
=
-2.69
P[(X1 − X2 ) > 17] = P Z > −2.69 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟔𝟒
Oranlar Arası Farkların Örnek Dağılımı

Bu dağılımın ortalaması P1 − P2 ve standart hatası,
𝝈𝑷𝟏 −𝑷𝟐 =


eşitliği ile hesaplanır.
Birinci anakütleden alınan örneğin hacmi n1 ve ikinci anakütleden
alınan örneğin hacmi ise n2 ile gösterilmiştir. İki örnek oranı
arasındaki farka ait Z değerleri,
𝒁=

𝑷𝟏 (𝟏 − 𝑷𝟏 )
𝑷𝟐 (𝟏 − 𝑷𝟐 )
+
𝒏𝟏
𝒏𝟐
𝒑𝟏 − 𝒑𝟐 − (𝑷𝟏 − 𝑷𝟐 )
𝑷𝟏 (𝟏 − 𝑷𝟏 )
𝑷𝟐 (𝟏 − 𝑷𝟐 )
+
𝒏𝟏
𝒏𝟐
formülü yardımıyla hesaplanır, p değerleri örneklerden elde edilen
oranları gösterir.
Örnek 10
Birinci fabrikadaki kusurlu mamul oranının 0.08 ve ikinci
fabrikadaki kusurlu mamul oranının 0.05 olduğu bilinmektedir.
Tesadüfi olarak birinci fabrikadan 100, ikinci fabrikadan 150 mamul
seçilmiş ve birinci örnekteki kusurlu mamul oranı 0.09, ikinci
örnekteki kusurlu mamul oranı 0.06 olarak gözlenmiştir.
a)
Buna göre kusur oranları arasındaki farkın standart hatasını
bulunuz.
b)
Fabrikalardaki kusurlu mamul oranları arasındaki farkın en
fazla 0.01 olması ihtimalini hesaplayınız.
Çözüm 10
a)
σP1−P2 =
P1 (1−P1 )
+
n1
P2 (1−P2 )
n2
=
0.08(1−0.08)
+
100
0.05 (1−0.05)
150
=
0.0324
b)
Z=
p1 −p2 −(P1 −P2 )
P1 (1−P1 )
P (1−P2
+ 2
n1
n2
=
)
0.01−0.03
0.0324
= - 0.62
Buna göre kusurlu mamul oranları arasındaki farkın en fazla 0.01 olması ihtimali,
P(Z ≤-0.62) = 0.5 - 0.2324 = 0.2676
Örnek 11
A fabrikasında imal edilen pillerin %80’i 200 saatin üzerinde
performans sağlarken, B fabrikasında üretilen pillerin %73’ü 200
saatin üzerinde performans sağlayabilmektedir. A fabrikasından 50
ve B fabrikasından 60 pil incelemeye tabi tutulursa performans
oranları arasındaki farkın en az %10 olma ihtimali nedir?
Çözüm 11
a)
σP1−P2 =
P1 (1−P1 )
+
n1
P2 (1−P2 )
n2
=
0.8(1−0.8)
+
50
0.0805
b)
Z=
p1 −p2 −(P1 −P2 )
P1 (1−P1 )
P2 (1−P2
+
n1
n2
=
)
P(Z > 0.37) = 0.3557
0.1−0.07
0.0805
= 0.37
0.73 (1−0.73)
60
=