türev - files.eba.gov.tr

TÜREV
Tanım: A  R ve f:AR olmak üzere; f(x) fonksiyonu a  A için x=a noktasında
sürekli olmak üzere;
f ( x)  f (a )
lim
xa
xa
Limitinin sonucu reel sayıya eşitse; f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevi bu limit değerine
eşittir denir.
df ( a ) dy
f’(a),
,
gibi şekillerde gösterilebilir.
dx
dx xa
f ( x)  f (a )
f’(a) = lim
ifadesinde x=a+h değişikliği yapılırsa
xa
xa
f ( x)  f (a )
f ( a  h)  f ( a )
f’(a) = lim
= lim
xa
h 0
h
xa
elde edilir.
Sağdan ve Soldan Türev
f ( x)  f (a)
 f ' (a  )
* lim
x a
xa
Yani f(x) fonksiyonun x=a noktasındaki sağdan türevi denir.
f ( x)  f (a)
 f ' (a  )
* lim
x a
xa
Yani f(x) fonksiyonun x=a noktasındaki soldan türevi denir.
NOT: f Fonksiyonunun x=a noktasında türevli olabilmesi için önce x=a noktasında sürekli
olacak ve sağdan türev, soldan türev birbirine eşit olacak.
f ' (a  )  f ' (a  ) ve x=a noktasında sürekli ise türev vardır, denir.
Örnek1: f(x)=2x2 - 5x + 1 fonksiyonunun x=2 noktasındaki türevini bulunuz.
Çözüm:
Not: Sağdan ve soldan türevlere sadece kritik noktalarda bakılır.
TÜREV ALMA KURALLARI
1) Sabit sayının türevi;
c  R ise c’=0
Örnek2: Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini alanız.
a) y=3
b) y= 2 3
3
c) y=
4
d) y=ln9
2) Polinom türündeki ifadelerin türevleri:
n  R olmak üzere;
1
y=xn ise
y’=n.x(n-1) olur.
Örnek3: Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini alınız.
a) y=x4
b) y=x5
c) y=x-3
d) y=
e) y=
3
x2
1
x
3) Sabit sayı ile fonksiyonun çarpımı:
c  R olmak üzere;
y=c.f(x) ise y’=c.f’(x)
Örnek4: Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini hesaplayınız.
a) y=5.x4
b) y=-4x5
c) y=-5x-3
d) y=3x4
4) Toplam veya farkın türevi:
[f(x)+g(x)]’= f’(x)+g’(x)
Örnek5: Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini hesaplayınız.
a) y=3x5 + 7x + 3
b) y=5x3 + 5x-5 + 5x + 5
5
c) y=  5 x 5  5 x
x
3
d) y= 33 x  2  3x  2
x
2
3x  5 x  1
e) y=
4
Örnek6:
2 x 2  4 x  1, x  1
f(x)=  3
3x  9 x  2, x  1
olduğuna göre
a) f’(0) kaçtır?
b) f’(1) kaçtır? (dikkat önce süreklilik varmı?)
Örnek7:
4 x 2  ax  b, x  1
f ( x)   3
 x  4 x  7, x  1
Fonksiyonu bütün reel sayılarda türevlenebilir olduğuna göre b kaçtır?(Hem süreklilik, hem
sağdan ve soldan türev)
2
5) Çarpım Türevi:
[f(x).g(x)]’=f’(x).g(x) + f(x).g’(x)
Örnek8: Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini hesaplayınız
a) y=(x2+2x+2).(x3-4x+2)
b) y=(2x2+4x).(3x5-7x)
Örnek9: f(x)= 3 x 2 .( x 3  2 x  3) ise f’(x) nedir?
Örnek10: f(x)= x(x-1)(x-2)(x-3) olduğuna göre f’(1) kaçtır?
Örnek11: f(x)=2x2-a
g(x)= 3x2+5
olduğuna göre;
(f.g)’(1)= 20 olduğuna göre a kaçtır?
6) Bölüm Türevi:
 f ( x)  f ' ( x).g ( x)  f ( x).g ' ( x)

' 
g 2 ( x)
 g ( x) 
Örnek12: f(x)=
Örnek13:
2x2  3
olduğuna göre f’(x) nedir?
4x  5
d 2x
(
) nedir?
dx x 3  1
Örnek14: f(x)=
x 1
olduğuna göre f’(1) kaçtır?
x 1
Örnek15: f(x)=
x  2x  1
x  2x  1
3
2
ise f’(0) kaçtır?
Örnek16: f(x)= x 3 .( x  5 x 2  1) ise f’(x) kaçtır?
7) Bileşke Fonksiyonun Türevi:
(fog)’(x)= f ' ( g ( x)). g ' ( x)
Örnek17: f(x)=x3+4
g(x)= 3x2+2 fonksiyonları veriliyor.
3
Buna göre (fog)’(x) nedir?
Örnek18: y= (x2+3x+4)5 ise
dy
nedir?
dx
Örnek19: f:R+  R tanımlı olmak üzere;
f(2x2+1)= 4x3 - 2x2 + 1 olduğuna göre f’(3) kaçtır?
Örnek20: f(x)=
4
(3 x 3  4 x  2) 3 ise f’(x) kaçtır?
Örnek21: y= 2 x  3 2 x 2 ise
dy
kaçtır?
dx
dy
x 1
ise
in eşiti nedir?
dx
xx
Örnek22: y=


3
Örnek23: f(x)= 2 x 4  x  1 ( x  1) 4 ise f’(x) nedir?
8) Logaritmik Fonksiyonların Türevi:
a  R olmak üzere;
f ' ( x)
y= logaf(x) ise y’=
log a e
f ( x)
Örnek24: y=
3
log 22 (3 x  1) ise y’ nedir?
 2x2  1 
 ise y’ nedir?
Örnek25: y= log 3  3
 x 1 
Örnek26: f(x)= log(( x 2  x) 4 ) ise f’(x) nedir?
9) Üstel Fonksiyonun Türevi:
a  R olmak üzere;
y= af(x) ise y’= af(x). f’(x).lna
4
Örnek27: y= 2( x 5 x1) ise y’ nedir?
2
Örnek28: y= ex + xe ise y’ nedir?
Örnek29: f(x)= 2log3 ( x 1) ise f’(x) nedir?
2
Örnek30: f(x)= log 6 (3( 2 x1)  1) ise f’(1) kaçtır?
Örnek31: f(x)= log 3 (5(3 x x1) ) ise f’(1) kaçtır=
2
Örnek32: f(x)= 3 e x ise f’(x) nedir?
2 x  5
x  2


Örnek33: f(x)= 
( x 2  5)3
2 x2
 ln( x 2  3)  x  1
2 x

Olduğuna göre aşağıdaki türev değerlerini hesaplayınız.
a) f’(-3)
b) f’(-2)
c) f’(0)
d) f’(3)
e) (f(4))’
NOT: f(x)=u ve g(x)= v olsun
y=uv biçimindeki fonksiyonların türevi alınırken önce her iki tarafın (ln)’i alınır sonra
türev alınır.
y=uv
lny=lnuv
lny=v.lnu
y'
u'
 v'.ln u  v.
y
u
u'
y'=uv.(v’.lnu+v. ) elde edilir.
u
Örnek34: y= (2x)(3x) ise y’ nedir?
5
2 x3  x 
Örnek35: x 2  1
ise y’ nedir?
10) Mutlak Değer Fonksiyonun Türevi
f ( x)  0, (tekkök)
 yok
 0
f ( x)  0, (çiftkatkök)

| f ( x) | 
f ( x)  0
 f ' ( x)
 f ' ( x)
f ( x)  0
Örnek36: y=|x-5|.x+1 ise
a) y’(5)
b) y’(4)
c) y’(6) kaçtır?
Örnek37: f(x)=|(x-5)2.(x-1)| fonksiyonu için
a) f’(1)
b) f’(5)
c) f’(0) kaçtır?
Örnek38: f(x)= |x2 - (a+3)x+2a+3| fonksiyonu reel sayılarda türevli olması için a hangi
aralıkta olmalıdır?
Örnek39: f(x)= x.|x+2|+x+1 ise f’(2) kaçtır?
11) Trigonometrik Fonksiyonların Türevi
y= sinf(x) ise y’=f’(x).cosf(x)
y= cosf(x) ise y’=f’(x).(-sinf(x))
y= tanf(x) ise y’=f’(x).(1+tan2f(x))
y= cotf(x) ise y’=f’(x).(-1-cot2f(x))
Örnek40: y= 2sinx+3tanx ise y’ nedir?
Örnek41: y= 3cos(4x2+1)+4sin(2x) ise y’ nedir?
6
Örnek42: y= 3sin2(3x) + 2cos3(4x) ise
Örnek43: y 
dy
nedir?
dx
dy
tan 3x  1
ise
nedir?
2
dx
sin( x  x)
Örnek44: f(x)= (sin2(x2)).(cos3(3x)) ise f’(x) nedir?
12) Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi:
f ' ( x)
(arcsinf(x))’=
1  f 2 ( x)
(arccosf(x))’=
 f ' ( x)
1  f 2 ( x)
f ' ( x)
1  f 2 ( x)
 f ' ( x)
(arccotf(x))’=
1  f 2 ( x)
(arctanf(x))’=
Örnek45: y= arcsin2x ise y’ nedir?
Örnek46: y=arctan(3x) ise y’(1) kaçtır?
Örnek47: y= arcsin3(cosx) ise y’ nedir?
Örnek48: f(x)= sin(3x2+5)+arctan(2x+1) ise f’(x) nedir?
Örnek49: f(x)= arcsin(log(x2+x+1)) ise f’(x) nedir?
13) Kapalı Fonksiyonun Türevi:
F(x,y)=0 şeklinde ifadelere kapalı fonksiyon denir.
7
F’(x,y)=
dy
x' egöretürev
=
dx
y ' yegöretürev
Örnek50: y=f(x) fonksiyonunda;
x3 + y3 + 3x2y4 - 2x + 5y + 4=0
dy
ise
nedir?
dx
Örnek51: sin(2x+3y)+lnx=0 ise
Örnek52: x2 + y3 + 2xy + 4=0 ise
dy
nedir?
dx
dy
nedir?
dx
14) Ters Fonksiyonun Türevi:
f(a)=b ve f -1(b)=a olmak üzere;
1
f 1 ' (b) 
f ' (a)
 
Örnek53: f(x)= 2x ise ( f 1 )' (4) kaçtır?
Örnek54: f(x)= x3+3x2+3x+1 olmak üzere;
( f 1 )' (27) kaçtır?
Örnek55: f:(3,  )  R’ye tanımlı;
f(x)= x2 - 6x + 7 olduğuna göre
( f 1 )' (1) kaçtır?
Örnek56: f:( -  ,0)  R’ye tanımlı;
f(x)= x3 - 4x + 1 fonksiyonunda
( f 1 )' (1) kaçtır?
8
15) Parametrik Fonksiyonların Türevi:
İki farklı soru tipi vardır:
1. y=f(t)
x= g(t)
yani y ve x ikisi de sol tarafta ve yalnız ise
dy
dy dt
=
olur.
dx dx
dt
2. y=f(t)
t= g(x)
dy dy dt
= .
olur.
dx dt dx
Örnek57: y=2t3+4t
x= t+1 ise
dy
nedir?
dx
Örnek58: y= 2t2 - 3t + 1
t=3x2 + 5
dy
ise
nedir?
dx
Örnek59: y= e2t
t= ln3k
k= 5x2+1
dy
ise
nedir?
dx
16) Yüksek Mertebeden Türev:
y=f(x) olmak üzere;
dy
y’=
f(x)’in birinci türev
dx
d
d2y
y’’= ( y' )  2 yani ikinci türev
dx
dx
d
d3y
y’’’= ( y' ' )  3 yani üçüncü türev
dx
dx
n
d y
yn =
f(x) ‘in n. Mertebeden türevi denir.
dx n
9
Örnek60: y= x4 + 3x2 + 2 ise
a) y’ nedir?
d2y
b)
dx 2
c) y(4) nedir?
d) y(5) nedir?
Örnek61: f(x)= x20 + 10x2 + 5x + 1 ise
f(20)(x) nedir?
Örnek62: f(x)= sin(5x) ise f(101)(x) kaçtır?
Örnek63: f(x)=
x 1
ise f(10)(x) kaçtır?
x
TEST
2 x  ax  b x  1
1) f ( x)  
3
2
x  1
 3x  ax
Fonksiyonu tüm reel sayılarda türevli ise a+b kaçtır?
A)-18
B) -13
C) -8
D)-5
2
5
3
5
1
2
2) f(x)= 5 x  4 x  2 x  2 ise f’(1) kaçtır?
3
6
16
A)
B)
C)-1
D)
5
5
5
4
3) f ( x) 
A) 15
2 x

x
3x  4
B)9
2
E)3
E) 2
4
ise f’(1) kaçtır?
C)1
D)-9
10
E)-15
4) f ( x)  3 (2 x  1) 2 olmak üzere;
f ( x)  f (1)
limitinin sonucu kaçtır?
lim
x 1
x1
1
2
4
4
A)
B)
C)
D)
3
3
3
3
5) f : R   R ’ye tanımlı,
f(x2-2x+2)= 4x3-5x+1
fonksiyonu veriliyor. Buna göre f’(2) kaçtır?
34
43
43
A)
B)
C)
D)20
3
3
2

6) f(x)= sin3(cos2x) ise f ' ( ) kaçtır?
4
A)-6
B)3
C)0
D)3
E)
4
9
E)22
E) 6
d
1
1
(arctan(si n( ))) fonksiyonunun x= için eşiti kaçtır?
dx
x

1
1
A) 
B)  2
C) 2
D)
E)   2
7)


8) y=log3(sin2x) ise y’ nedir?
A)2tan2x.log3e
B) 2cot2x.ln3
D) cot2x.log3e
E) 2tan2x.ln3
 3 x  58 
 ise f’(-1) kaçtır?
9) f ( x)  ln 
3 


2
x

1


A)6
B)3
C)-3
C)2cot2x.log3e
D)-6
E)-9
10) f(x)= e x  3 x ise f’(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) e x  3 x. ln 3
B) e x  3 x
C) e x log e  3 x ln 3
D) e x  3 x ln 3
E) e x  x.3 x
11
11) f(x)=sin(x2) olmak üzere

lim
x
A)
2
3
3
f ( x)  f ( )
3 limitinin sonucu kaçtır?

x
3


 2
B)
C)
D)
3
3
3
12) f(x)= tan(arcsin (
A)-1
B)0
x
1 x2
E)
)) olduğuna göre f’(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
C)1
E)x2
D)x
13) f(x)= 2x + 3x + 4x + …+ 50x olduğuna göre f’(0) kaçtır?
A) 0
B)ln50
C)ln50!
D)2ln50
14) f(x)= x.(x-1)(x-2)(x-3) olduğuna göre f’(2) kaçtır?
A)-2
B)-1
C)0
D)1
E)ln1275
E)2
15) y  (22 x )( 2 ) fonksiyonunun x=0 noktasındaki türevi kaçtır?
A)2
B)4
C)ln4
D)ln16
E)ln32
x
16) y  (tan x)(sin x ) olduğuna göre
A)0
B)1
dy
dx
C) 2
x

değeri kaçtır?
4
D)2
E)4
17)
y=2+sint
x=3-cost
dy
Olduğuna göre
kaçtır?
dx t  
4
A)2
B) 2

6
C)1
D)
2
2
12
E)
1
2
y= 5(2t)
t=log5k
k=x2+1
dy
olmak üzere,
nedir?
dx
A) (x2+1)2.2x
D)4x2+3x
18)
B) 4x3+4x2
E)(x2+1)2.4x
C)4x3+4x
19) f(x)=|x+3|.(x+3) olduğuna göre f’(-3) kaçtır?
A) -3
B)-1
C)0
D)1
E)yoktur
dy
nedir?
dx
B) 2t – 2xt3
E) 2-2x
20) y= 2xt – x2t3 olduğuna göre
A)2x – 3x2t2
D)2t-3x2t2
21) sin(x+y)+cos(x+y)=1
A)-1
B)0
dy
nedir?
dx
C)1
C)2x-2xt3
D)x
E)y
22) x3+2y2+5x3y2 – 1=0 eğrisinin (1, 1) noktasındaki türevi kaçtır?
9
5
5
9
A)
B)
C)
D)1
E)
5
7
7
7
23) R’de tanımlı f(x) fonksiyonu;
f(x)=2x + 3x şeklinde tanımlanıyor.
Buna göre ( f 1 )' (2) kaçtır?
A)ln6
B)ln5
C) log6e
D)log32
24) R+’da tanımlı f(x) fonksiyonu;
x 1
) şeklinde tanımlanıyor.
f(x)= log 2 (
2
Buna göre ( f 1 )' (1) kaçtır?
A)ln16
B)ln4
C)ln2
D)4log2e
13
E)log65
E)2log2e
25) f : R   R tanımlı f(x) fonksiyonu
f(x)= 2x2+3x-4 şeklinde tanımlanıyor.
Buna göre ( f 1 )' (2) kaçtır?
1
1
1
A)
B)
C)
5
3
5
D)
1
11
E)
26) y= 32x olduğuna göre y(10)(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)32x.210
B)32x.ln10.3
C) 32x.210.log3e
D)32x.210.ln103
E) 32x.2.ln10
27) f(x)=log3x ise f(10)(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
10!
10!
 10!
A) 10
B) 10
C) 10
x
x ln 3
x ln 3
10
 10!
10!.x
D)
E) 10 . ln 3
x
ln 3
28) y=(cos4x-sin4x)2 ise
A) 2.(cos4x-sin4x))
D) -2.cos4x
dy
nedir?
dx
B) 2.(cos4x-sin4x)(sinx-cosx)
E) 4cos2x
14
C)-2.sin4x
1
7