Cevap

Bilkent Üniversitesi
Matematik Bölümü
Ayın Sorusu
Mart 2017
Soru:
Bir r rasyonel sayısı ve bir n pozitif tam sayısı için, Sr (n) = 1r + 2r + · · · + nr olsun.
a, b pozitif rasyonel sayı ve c pozitif tam sayı olmak üzere, sonsuz çoklukta n pozitif tam
sayısı için Sa (n) = (Sb (n))c olmasını sağlayan bütün (a, b, c) üçlülerini belirleyiniz.
Çözüm: Cevap: a = 3, b = 1, c = 2 ve a = b ∈ Q+ , c = 1.
Bernoulli eşitsizliğini kullanarak n ye göre tümevarımla tüm pozitif tam n ve pozitif
rasyönel r sayıları için
nr+1
(n + 1)r+1
≤ Sr (n) ≤
r+1
r+1
eşitsizliğini elde ederiz.
r = a ve r = b için Sa (n) = (Sb (n))c olduğundan
na+1
(n + 1)b+1 c
nb+1 c (n + 1)a+1
≤(
) ve (
) ≤
.
a+1
b+1
b+1
a+1
Buradan sonsuz sayıda pozitif n tam sayısı için
n(b+1)c
(b + 1)c
(n + 1)(b+1)c
≤
≤
(n + 1)a+1
a+1
na+1
elde ederiz.
Son eşitsizlikte n → ∞ alırsak (b + 1)c = a + 1 ve (b + 1)c = a + 1 olur. c = 1 ise a = b.
c > 1 ise c = (b + 1)c−1 ve buradan da c ve dolayısıyla b tam sayı olma zorundadır. b ≥ 1
olduğundan c ≥ 2c−1 ve buradan c = 2. Demek ki b = 1, a = 3. Bu çözüm de koşulları
sağlıyor.