Fiz-217-01-02 Titreşimler ve Dalgalar 1. Ara sınavı

advertisement
FİZ-217-01-02TitreşimlerveDalgalar
1.AraSınavı
26 Kasım 2011 (Cumartesi)
Süre: 120 dakika
Soru
1
2
3
4
5*
6*
Toplam
Adı-Soyadı:
No:
Puan
22: a=5 , b=9, c=8
22: a=3, b= 7, c= 7, d=5
20:
21: a=4, b= 9, c=8
15: a=5 , b=4, c=6
15:a=6, b=9
100
Şubesi:
İmzası :
5* ve 6* sorularından sadece birini yanıtlayınız.
SORULAR
1. Sürtünmesiz bir zemin üzerinde kütleleri m1 ve
m2 olan iki cisim, şekil-1’deki gibi sabit iki destek
arasına, kuvvet sabiti k olan yaylarla bağlıdır.
Kütlesi m1 olan cisme 𝐹(𝑡) = 𝐹0 𝑐𝑜𝑠𝑡 sürücü
dış kuvveti uygulanıyor. Şekildeki 𝑥1 ve 𝑥2
cisimlerin denge konumundan itibaren olan yer değiştirmelerdir.
Şekil-1
a) 𝑚1 ve 𝑚2 kütlelerinin hareket denklemlerini yazınız.
b) 𝑥1 = 𝐴1 𝑐𝑜𝑠𝑡 ve 𝑥2 = 𝐴2 𝑐𝑜𝑠𝑡 şeklinde çözümler kabul ederek 𝐴1 ve 𝐴2 genliklerini
belirleyiniz.
c) 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚 özel durumunda 𝐴1 genliğini çok büyük (matematiksel olarak sonsuz) ve sıfır
yapan  değerlerini belirleyiniz. 𝐴1 genliğinin 𝜔’ya bağlı değişimini çiziniz.
2. Yatay düzlemde kütlesi 𝑚 = 0,2 𝑘𝑔 olan bir blok, kuvvet sabiti 𝑘 = 60 𝑁/𝑚 olan yayın ucuna
bağlıdır. Yayın diğer ucu Şekil-2’deki gibi bir duvara bağlıdır. Kütleye yatay doğrultuda
𝐹(𝑡) = √5𝑐𝑜𝑠10𝑡 (N cinsinden) ile tanımlı bir dış sürücü kuvvet uygulanıyor. Kütle sönüm sabit
𝑏 = 2 𝑘𝑔/𝑠 olan viskoz bir ortamda hareket etmektedir.
Şekil-2
a) Hareketin diferansiyel denklemini yazınız.
b) Kararlı durumun (steady state) genliğini (𝐴) ve faz sabitini (𝛿) hesaplayınız.
1
c) Sürücü kuvvetin bir periyotluk sürede sisteme aktardığı ortalama gücün 𝑃𝑜𝑟𝑡 = 2 𝐴𝐹0 𝑤𝑠𝑖𝑛𝛿
ifadesi ile verileceğini gösteriniz ve değerini hesaplayınız.
d) Sürücü dış kuvvet kaldırıldığında sistem kritik altı (underdamped) durumdadır. Sürücü kuvvet
kalktıktan ne kadar süre sonra osilasyonların genliği başlangıç değerinin 1/𝑒 ’sine düşer?
Sistemin kalite faktörü 𝑄’nin değeri nedir?
1
3. Kütlesi m ve boyu L olan homojen ince bir çubuk, bir ucundan serbestçe dönecek şekilde, duvara
menteşelenmiştir. Çubuğun diğer ucu kütlesi ihmal edilebilen ve kuvvet sabiti k olan bir yaya
Şekil-3’deki gibi bağlıdır. Çubuk yatay durumdayken, yayın boyu serbest haldekine göre 𝑦0 kadar
uzamıştır. Daha sonra çubuğun yaya bağlı ucu y kadar aşağı çekilip bırakılıyor. Çubuğun basit
harmonik hareket (BHH) yapacağını, hareket denklemini yazarak gösteriniz ve hareketin titreşim
periyodunu bulunuz. Problemi çözerken y ve ’nin küçük olduklarını kabul ediniz. Çubuk için 𝐼𝑘𝑚 =
1
12
𝑚𝐿2 .
Şekil-3
4. Kütlesi ihmal edilebilen elastik bir ip 𝑇 gerilmesi altında uçları iki sabit noktaya tutturulmuş ve Şekil4’deki gibi l aralıklı 3 eşit parçaya bölünmüş olup kütleleri m olan 2 kütle taşımaktadır.
Şekil-4
a) Herhangi bir anda parçacıkların 𝑦1 ve 𝑦2 şeklinde enine küçük salınımlar yaptığını farzederek,
her bir kütlenin hareketinin diferansiyel denklemini yazınız.
b) 𝑦1 = 𝐴1 𝑠𝑖𝑛𝑡 ve 𝑦2 = 𝐴2 𝑠𝑖𝑛𝑡 şeklinde çözümler kabul ederek, titreşim modlarının açısal
frekanslarını bulunuz.
𝐴
c) Her iki mod için 𝐴1 genlikler oranını bulunuz ve bu verilerden yararlanarak titreşim modlarının
2
şekillerini çiziniz.
5. Sönümlü zorlanımlı harmonik hareketin diferansiyel denkleminin
𝑑2 𝑥
𝑑𝑥
𝑚 𝑑𝑡 2 +𝑏 𝑑𝑡 +𝑘𝑥 = 𝐹0 cos 𝜔𝑡
olduğunu ve kararlı durum çözümünün ise
𝑥𝑠𝑠 (𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 − 𝛿)
ile verildiğini biliyorsunuz.
a) Sistemin mekanik enerjisinin (𝐸 = 𝐾 + 𝑈)
1
1
𝐸(𝑡) = 2m𝜔2 𝐴2 sin2 (𝜔𝑡 − 𝛿) + 2m𝜔0 2 𝐴2 cos2 (𝜔𝑡 − 𝛿)
ifadesi ile verileceğini gösteriniz. Burada 𝜔0 = √𝑘/𝑚 dir.
2
b) 𝜔’nın hangi değeri için mekanik enerji zamandan bağımsız yani sabit olur? Bu 𝜔 değerinde
mekanik enerjin değeri nedir?
c) Bir periyotluk süreçte ortalama mekanik enerjiyi (𝐸𝑜𝑟𝑡 ) hesaplayınız.
6. Birbirlerine dik iki titreşim, 𝑥 = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 ve 𝑦 = 𝑏𝑠𝑖𝑛2𝜔𝑡 ifadelerine uymaktadır.
a) Bu iki titreşimin üst üste gelmesinden ortaya çıkan Lissajous eğrisinin analitik ifadesini türetiniz.
b) 𝑎 = 𝑏 = 2 özel durumunda meydana gelecek Lissajous eğrisini, Şekil-5’den yararlanarak, çiziniz.
Çizimi bu şekil üzerinde gösteriniz.
y
x
𝜋
𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛2𝑡 = 2cos(2𝑡 − 2 )
3
4
2
1,9
5
6
8
7
𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝑡
Şekil-5 (Şekildeki çemberler 450’lik eşit açılara bölünmüştür).
3
BAZI FORMÜLLER
eiθ = cosθ + isinθ;
𝑥3
sinx = 𝑥 −
3!
cosθ = (eiθ + e-iθ)/2
𝑥5
+
5!
−
𝑥7
+ ⋯;
7!
;sinθ = (eiθ - e-iθ)/2i
cosx = 1 −
𝑥2
2!
+
𝑥4
4!
−
𝑥6
6!
;
i =√−1
+⋯
1
1
sin 𝑥 ± sin 𝑦 = 2 sin (𝑥 ± 𝑦) cos (𝑥 ∓ 𝑦)
2
2
1
1
cos 𝑥 + cos 𝑦 = 2 cos (𝑥 + 𝑦) cos (𝑥 − 𝑦)
2
2
1
1
cos 𝑥 − cos 𝑦 = −2 sin (𝑥 + 𝑦) sin (𝑥 − 𝑦)
2
2
𝑠𝑖𝑛(𝑥 ± 𝑦) = 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 ± 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦
sin 2𝑥 = 2 sin 𝑥 cosx
𝑇
;
cos 2𝑥 = cos2 𝑥 - sin2 𝑥 = 1- 2sin2 𝑥 = 2cos2 𝑥 − 1
;
𝑇
1
∫0 sin2 (𝜔𝑡 − 𝛿) 𝑑𝑡 = 2 𝑇
𝑐𝑜𝑠(𝑥 ± 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦  𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦
1
𝑇
1
𝑇
; ∫0 cos 2 (𝜔𝑡 − 𝛿) 𝑑𝑡 = 2 𝑇 ;∫0 sin2 𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 2 𝑇 ; ∫0 cos 2 𝜔𝑡 𝑑𝑡 =
𝑇
1
𝑇 ∫0 sin 𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 0
2
𝑃 =
𝑑𝑊
= 𝐹. 𝑣 ; 𝑄 =
𝑑𝑡
𝜔0
𝛾
Titreşimler için genel diferansiyel denklemi:
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡 2
𝑑𝑥
𝐹
+𝛾 𝑑𝑡 +𝜔02 𝑥 = 𝑚0 cos(𝜔𝑡),
𝑏
𝛾 = 𝑚 ve 𝜔0 = √𝑘/𝑚
Çözümler:
𝑥(𝑡) = 𝐴0 𝑒 −
𝛾𝑡
2
cos(√𝜔02 −
𝑥(𝑡) = (𝐶1 + 𝐶2 𝑡)𝑒
𝛾
𝛾𝑡
−
2
𝛾2
4
𝑡 − )+ 𝑥𝑠𝑠 (𝑡),
+ 𝑥𝑠𝑠 (𝑡) ,
𝜔0 =

𝛼
𝛾
𝜔0 > 2
𝛾
2
𝛾
𝑥(𝑡) = 𝑒 −2𝑡 (𝐶1 𝑒 2 𝑡 +𝐶2 𝑒 −2𝑡 )+𝑥𝑠𝑠 (𝑡),
𝜔0 < 2
𝛼 = (𝛾 2 − 4𝜔02 )1/2
Kararlı Durum (steadystate) çözümü:
𝑥𝑠𝑠 (𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 − 𝛿)
olup burada
𝐴=
𝐹0
𝑚
1/2
[(𝜔02 −𝜔2 )2 +𝛾2 𝜔2 ]
𝑚𝑝
𝑑 2 𝑥𝑝
𝑑𝑡 2
;
𝛾𝜔
tan 𝛿 = (𝜔2 −𝜔2) dir.
0
+ 𝑘𝑝 (𝑥𝑝 - 𝑥𝑝−1 ) +𝑘𝑝+1 (𝑥𝑃 - 𝑥𝑝+1 ) = 0
4
FİZ-217-01-02TitreşimlerveDalgalar
Soru
1
2
3
4
5*
6*
Toplam
1.AraSınavı
26 Kasım 2011 (Cumartesi)
Süre: 120 dakika
Adı-Soyadı:
No:
Şubesi:
İmza:
Puan
22: a=5 , b=9, c=8
22: a=3, b= 7, c= 7, d=5
20:
21: a=4, b=9, c=8
15: a=5 , b=4, c=6
15: a=6, b=9
100
5* ve 6* sorularından sadece birini yanıtlayınız.
CEVAPLAR
5
Download